选修 杨辉三角与二项式系数的性质一PPT学习教案.pptx

杨辉三角，又称帕斯卡三角，是中国南宋数学家杨辉提出的一种数列图形，它在二项式定理中有重要应用。二项式定理是数学中的一个基础理论，指出任何幂次为 \( n \) 的二项式 \( (a + b)^n \) 可以展开为一系列项的和，其中每一项都是 \( a \) 和 \( b \) 的不同幂次的组合。二项式系数是指展开式中每一项的系数，它们在杨辉三角中以特定的排列方式呈现。 在杨辉三角形中，每一行的首尾都是1，中间的每个数都是它上方两个数的和。例如，第 \( n \) 行的第 \( k \) 个数表示 \( (n-1) \) 阶乘除以 \( k \) 阶乘和 \( (n-k) \) 阶乘的比值，即 \( C(n-1, k-1) \) 或 \( \binom{n-1}{k-1} \)。 二项式系数具有以下性质： 1. 对称性：二项式系数关于中间项对称，也就是说，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 \( C(n, k) = C(n, n-k) \)。 2. 增减性与最大值：中间项的二项式系数通常具有最大值。当 \( n \) 是偶数时，中间的一项 \( C(n, \frac{n}{2}) \) 取得最大值；而当 \( n \) 是奇数时，中间的两项 \( C(n, \frac{n-1}{2}) \) 和 \( C(n, \frac{n+1}{2}) \) 相等且最大。 3. 各项和：所有二项式系数的和等于 \( 2^n \)。这可以通过在二项式定理中令 \( a = b = 1 \) 得出，即 \( (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) = 2^n \)。 此外，还有其他几个重要的二项式系数性质： 4. 当 \( r \) 从0到 \( n \) 变化时，二项式系数 \( C(n, r) \) 形成一个“V”型结构，先递增后递减。 5. 若 \( C(n, r) \) 是 \( (n+1) \) 行的某一项，则 \( C(n, r-1) \) 和 \( C(n, r+1) \) 分别是 \( n \) 行相邻的两项。 6. 二项式系数满足递推关系：\( C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r) \)。 课堂练习的解答： 1. 已知 \( C(a, 5) = C(b, 5) \)，因为二项式系数只与行数有关，所以 \( a = b \)，因此 \( a - b = 0 \)。 2. 展开式 \( (a+b)^n \) 的二项式系数的最大值出现在中间项，当 \( n \) 为偶数时是 \( C(n, \frac{n}{2}) \)，为奇数时是 \( C(n, \frac{n-1}{2}) \) 和 \( C(n, \frac{n+1}{2}) \)。 3. 展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，说明 \( n \) 必须是11或12，因为11项和12项的系数分别是11行的中间项和12行的前两项，所以 \( n = 11 \) 或 \( n = 12 \)。 例题解答： 1. 要证明奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，可以利用 \( C(n, r) = C(n, n-r) \) 的对称性，将奇数项的系数与对应的偶数项系数配对，每一对的和为1。 2. 如果 \( C(4, r) = 7 \cdot C(4, r-2) \)，则 \( \frac{4!}{r!(4-r)!} = 7 \cdot \frac{4!}{(r-2)!(4-(r-2))!} \)，解得 \( r = 2 \)。展开式中 \( x \) 的一次项即 \( C(4, 1) a^{4-1}b^1 = 4ab \)。 这些是二项式定理和杨辉三角的一些基本概念和性质，对于理解和解决相关数学问题至关重要。