MATLAB样例之雅克比迭代法

雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法是数值线性代数中求解线性方程组的两种常用方法，特别是在大型稀疏矩阵的情况下。这两种方法都是基于迭代的思想，通过逐步逼近来求解线性方程组的解。 雅克比迭代法的原理是将线性方程组写成矩阵形式Ax=b，其中A是对称正定或至少是严格对角占优的矩阵。在雅克比迭代法中，我们构建一个迭代矩阵B，它是A的对角分量的倒数与A的其余部分之差的矩阵，即B=inv(D)*(D-A)，其中D是对角矩阵，对角元素取自A。初始解x0通常取为零向量，然后进行迭代计算x1=B*x0+f，其中f是b与D的乘积。如果迭代过程中解的变化量小于预设的误差限eps，迭代停止，输出当前解作为近似解。否则，如果达到最大迭代次数N而仍未满足精度要求，系统会提示“迭代超限”。 MATLAB中的雅克比迭代法实现如下： ```matlab A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(any(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限 eps='); N=input('迭代次数 N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); while 1 x1=B*x0+f; K=K+1; fprintf('第-%d次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)<eps fprintf('满足精度要求的解为\n') disp(x1'); break end if K>N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end ``` 接下来是高斯-赛德尔迭代法，它是在雅克比迭代法基础上的一种改进。在每次迭代时，高斯-赛德尔法会逐个更新各个未知数，而不是一次性更新所有未知数。这样，每次迭代时，新值是利用最新计算的结果而不是前一次迭代的值。在MATLAB中，高斯-赛德尔迭代法的实现如下： ```matlab A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(all(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限 eps='); N=input('迭代次数 N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); x00=x0; while 1 x11=B*x0+f; x00(1,1)=x11(1,1); x12=B*x00+f; x00(2,1)=x12(2,1); x13=B*x00+f; x00(3,1)=x13(3,1); x1=x00; K=K+1; fprintf('第-%d次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)<eps fprintf('满足精度要求的解为\n') disp(x1'); break end if K>N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end ``` 这两种方法都依赖于矩阵的性质，如对角占优、正定等，以保证收敛性。在实际应用中，高斯-赛德尔迭代法通常比雅克比迭代法更快地收敛，因为它利用了最新的信息。然而，当矩阵不是严格对角占优时，雅克比法可能会失去收敛性，而高斯-赛德尔法在某些情况下仍能保持收敛。因此，选择哪种方法取决于具体问题和矩阵的特性。