算法设计与分析：5-Lec8-simplex-cycling.pdf

在文件【算法设计与分析：5-Lec8-simplex-cycling.pdf】中，提到了线性规划问题的单纯形方法中的一种现象，即循环(cycling)。单纯形方法是由美国数学家George Dantzig于1947年提出的一种用于求解线性规划问题的算法。其基本思想是：在保持线性规划问题的可行域的顶点上进行搜索，通过选择适当的非基变量进入基，然后相应的基变量退出，最终达到最优解。 循环现象是指单纯形方法在执行的过程中，可能会出现一系列的枢轴运算(pivoting)，这些运算最终会回到一个与起始时相同的基可行解，导致算法无法继续进行，即在没有达到最优解的情况下不断地重复执行一系列运算。这个问题在单纯形方法的早期发展中被发现并引起了关注。 循环问题的发现可以追溯到1953年，由数学家Hoffman提供了一个包含11个变量和3个方程的例子。随后在1955年，E.M.L. Beale提供了一个具有7个变量和3个方程的更小的例子。这两个例子均证明了单纯形方法在某些情况下可能出现循环，并且可能会无限循环下去。 为了解决循环问题，研究者们提出了一些改进算法。其中，最著名的是采用Bland规则。Bland规则是一种避免循环的单纯形方法变种，其基本思想是选择进入基的变量和退出基的变量时，总是选择下标最小的一个。这一规则保证了在每一步选择过程中，基变量和非基变量之间不会产生重复和循环，从而避免了循环现象的发生。 单纯形算法的执行过程可以分为多个步骤。在每一步中，算法都会进行枢轴运算。枢轴运算是指将某个非基变量引入到基变量中，并且同时需要一个基变量退出。选择进入基的变量通常基于目标函数值的改善潜力，即选择使目标函数值减少最多的非基变量。而退出基的变量的选择则基于所谓的最小比率测试(minimum ratio test)，选择使目标函数改善最多的同时保证可行性（即不违反任何约束条件）的变量。 单纯形算法有两种基本形式：标准形式和松弛形式。标准形式线性规划问题是指所有的变量都是非负的，约束条件是等式形式。松弛形式则是将原始的线性规划问题转化为包含松弛变量的形式，约束条件由不等式变为等式。松弛变量通常被引入原始问题以使不等式约束变为等式约束。 在文件中提到的单纯形算法的一个例子中，展示了如何通过一系列的枢轴操作从一个基可行解到达另一个基可行解，以及如何通过最小比率测试来选择合适变量进入和退出基。 这个例子展示了单纯形算法的一个迭代过程，其中每一步选择一个负系数的变量进入基，同时通过最小比率测试确定哪个基变量退出基。例子中还展示了如何在每次迭代后更新基可行解以及非基变量的系数。这个过程重复进行，直到找到最优解，或者如果出现循环则需要采用避免循环的策略。 上述内容涉及的单纯形算法知识点，为理解和应用单纯形方法提供了理论基础。对于计算机科学和运筹学领域的学者和学生来说，掌握这些知识点是解决线性规划问题不可或缺的技能。通过学习这些概念，可以更好地理解单纯形方法的原理以及其在实际应用中可能遇到的问题和解决方案。