《电磁场与电磁波》课后习题解答(全).doc

### 《电磁场与电磁波》课后习题解答知识点概览 #### 第一章：基础知识及应用 ##### 习题1.1 本题主要考察了如何利用数学表达式来解决问题，具体解答过程未给出。 ##### 习题1.2 同样，此题的具体解答过程未提供。 ##### 习题1.3 本题考查了向量的散度与旋度的概念及其应用。题目要求找出使得两个向量垂直的条件以及使得向量场为无旋场的条件。 - **知识点1：向量垂直** 要使两向量垂直，需满足它们的点积为零，即\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \]。对于给定的向量 \(\vec{A} = (3b + 8c)\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}\) 和 \(\vec{B} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}\)，要使 \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)，则必须满足 \(3b + 8c + 2 - 4 = 0\)，从而得出 \(3b + 8c = 1\)。 - **知识点2：无旋场** 无旋场指的是旋度为零的向量场。要使向量场 \(\vec{A}\) 为无旋场，则其旋度 \(\nabla \times \vec{A} = 0\)。对于给定的 \(\vec{A} = (3b + 8c)\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}\)，计算其旋度得到 \(b = -3\) 和 \(c = -8\)。 ##### 习题1.4 本题考查了如何通过向量分析的方法求解特定的向量场问题。题目要求找出满足特定条件的向量场。 - **知识点1：向量场的条件** 题目中给出了向量场 \(\vec{F} = f_1(x,y,z)\vec{i} + f_2(x,y,z)\vec{j} + f_3(x,y,z)\vec{k}\)，并要求该向量场满足 \(\nabla \cdot \vec{F} = 0\) 和 \(\nabla \times \vec{F} = 0\) 的条件。通过解方程组 \(\nabla \cdot \vec{F} = 0\) 和 \(\nabla \times \vec{F} = 0\) 可以求得 \(f_1(x,y,z) = x^2 + y + cz\)、\(f_2(x,y,z) = z\) 和 \(f_3(x,y,z) = -2z\)。 ##### 习题1.5 本题探讨了矢量线的微分方程及其求解方法。 - **知识点1：矢量线的微分方程** 矢量线是一条曲线，其上每一点的切向方向与给定向量场的方向一致。通过求解微分方程可以得到矢量线的表达式。题目中给出的微分方程为 \(\frac{dx}{f_1} = \frac{dy}{f_2} = \frac{dz}{f_3}\)，其中 \(f_1, f_2, f_3\) 分别是向量场在 \(x, y, z\) 方向的分量。通过对微分方程进行积分操作，可以得到矢量线的方程。 ##### 习题1.6 本题考查了无源场的概念及其判定方法。 - **知识点1：无源场** 无源场是指向量场的散度为零的场，意味着没有源点或汇点。题目要求确定参数 \(a, b, c\) 的值，使得给定的向量场 \(\vec{F} = (ax + by + cz)\vec{i} + (x^2 + 2xy + 1)\vec{j} + (z - x^2)\vec{k}\) 成为无源场。通过计算散度 \(\nabla \cdot \vec{F} = 0\)，可以求得 \(a = 2, b = -1, c = -2\)。 ##### 习题1.7 本题涉及到了矢径的概念及其应用。 - **知识点1：矢径与柱面** 矢径是从原点指向空间中某一点的向量。题目要求确定矢径 \(\vec{r}\) 与柱面之间的关系。通过计算矢径与柱面之间的距离，可以得到相应的表达式。 ##### 习题1.8 本题考查了向量场的点积与叉积的应用。 - **知识点1：点积与叉积** 向量场的点积和叉积是向量分析中的基本概念。题目中给出了向量场 \(\vec{F}\) 和 \(\vec{G}\)，要求计算它们的点积和叉积。通过公式 \(\vec{F} \cdot \vec{G} = F_xG_x + F_yG_y + F_zG_z\) 和 \(\vec{F} \times \vec{G}\) 的定义进行计算。 ##### 习题1.9 本题进一步讨论了无旋场的概念及其性质。 - **知识点1：无旋场** 无旋场是指旋度处处为零的向量场。题目中给出了向量场 \(\vec{F}\)，并通过计算其旋度来判断是否为无旋场。 ##### 习题1.10 本题考查了等值面方程的求解。 - **知识点1：等值面方程** 等值面是指空间中函数值相同的所有点构成的曲面。题目要求确定函数 \(\phi = ln(x^2 + y^2 + z^2)\) 的等值面方程。通过设定常数值 \(C = ln14\)，可以得到等值面方程 \(\phi = 14\)。 以上是第一章部分习题的关键知识点总结。这些习题不仅涵盖了向量场的基本概念，还深入探讨了散度、旋度、点积、叉积等重要的向量分析工具及其应用，对于理解和掌握电磁场的基础理论具有重要意义。