高斯混合模型GMM估计算法推导

### 高斯混合模型GMM估计算法推导 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）作为单一高斯概率密度函数的扩展，近年来在语音识别与说话人辨识等领域得到了广泛应用，其原因在于GMM能平滑地近似任意形状的密度分布。本文将详细探讨GMM及其参数估计方法，尤其是通过极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）算法来推导GMM的关键公式。 #### 高斯混合密度函数的参数估计 假设我们有一组数据\(X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}\)，这些数据在d维空间中的分布并非椭圆状，这意味着单个高斯密度函数无法准确描述这些数据点的概率密度。为了解决这一问题，我们可以采用多个高斯函数的加权平均来表示，例如，使用三个高斯函数时： \[ p(x) = \alpha_1 g(x; \mu_1, \Sigma_1) + \alpha_2 g(x; \mu_2, \Sigma_2) + \alpha_3 g(x; \mu_3, \Sigma_3) \] 其中，\(g(x; \mu_j, \Sigma_j)\)代表第j个高斯函数，\(\alpha_j\)是相应的权重，且满足条件\(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1\)。这种表示方式被称为“高斯混合密度函数”或“高斯混合模型”，简称GMM。 为了简化讨论，我们通常假设每个高斯密度函数的协方差矩阵可以表示为对角矩阵的形式，即： \[ \Sigma_j = \sigma^2_j I \] 其中，\(I\)是单位矩阵，\(\sigma^2_j\)是对应的方差。此时，单一高斯密度函数可写作： \[ g(x; \mu_j, \sigma^2_j) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sigma_j^{d}} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_j}{\sigma_j}\right)^T\left(\frac{x-\mu_j}{\sigma_j}\right)\right] \] 接下来，我们将对上述方程式进行微分，得到以下关键等式： \[ \nabla_{\mu_j} g(x; \mu_j, \sigma^2_j) = -\frac{1}{\sigma^2_j}(x-\mu_j)g(x; \mu_j, \sigma^2_j) \] \[ \nabla_{\sigma^2_j} g(x; \mu_j, \sigma^2_j) = \frac{1}{2\sigma^4_j}\left[(x-\mu_j)^T(x-\mu_j)-d\sigma^2_j\right]g(x; \mu_j, \sigma^2_j) \] 这些等式将在后续的推导过程中反复应用。 #### 极大似然估计（MLE） 当协方差矩阵可以表示为一个常数和单位矩阵的乘积时，GMM的\(p(x)\)可以进一步简化为： \[ p(x) = \alpha_1 g(x; \mu_1, \sigma^2_1) + \alpha_2 g(x; \mu_2, \sigma^2_2) + \alpha_3 g(x; \mu_3, \sigma^2_3) \] 此时，GMM的参数\(\theta\)由\((\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2, \mu_1, \mu_2, \mu_3, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\)构成，参数个数为\(3d+6+1=3d+7\)。为了求得最优的\(\theta\)值，我们遵循MLE原则，最大化以下对数似然函数： \[ J(\theta) = \sum_{i=1}^n \log p(x_i|\theta) = \sum_{i=1}^n \log \left[\alpha_1 g(x_i; \mu_1, \sigma^2_1) + \alpha_2 g(x_i; \mu_2, \sigma^2_2) + \alpha_3 g(x_i; \mu_3, \sigma^2_3)\right] \] 为简化讨论，引入另一个数学符号——后验概率\(\beta_j(x)\)： \[ \beta_j(x) = \frac{\alpha_j g(x; \mu_j, \sigma^2_j)}{\alpha_1 g(x; \mu_1, \sigma^2_1) + \alpha_2 g(x; \mu_2, \sigma^2_2) + \alpha_3 g(x; \mu_3, \sigma^2_3)} \] \(\beta_j(x)\)表示数据点\(x\)属于第j个高斯分布的概率。 #### GMM参数更新 利用MLE原理，我们可以通过迭代优化过程来更新GMM的参数，这个过程通常涉及两个主要步骤：E步和M步。 - **E步**：计算后验概率\(\beta_j(x_i)\)，这一步是基于当前的参数估计值。 - **M步**：根据后验概率更新参数\(\alpha_j, \mu_j, \sigma^2_j\)。具体来说，参数更新规则为： \[ \hat{\alpha}_j = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^n \beta_j(x_i) \] \[ \hat{\mu}_j = \frac{\sum_{i=1}^n \beta_j(x_i) x_i}{\sum_{i=1}^n \beta_j(x_i)} \] \[ \hat{\sigma}^2_j = \frac{\sum_{i=1}^n \beta_j(x_i) (x_i - \mu_j)^T(x_i - \mu_j)}{\sum_{i=1}^n \beta_j(x_i)} \] 整个过程不断重复E步和M步，直到参数收敛，即两次迭代之间的变化小于预先设定的阈值为止。这种方法称为EM算法（Expectation-Maximization algorithm）。 #### 结论 通过上述推导，我们不仅理解了GMM的基本概念和参数估计方法，还深入了解了MLE和EM算法在GMM参数优化中的应用。GMM作为一种强大的工具，其在模式识别、数据聚类、信号处理等多个领域都有着广泛的应用前景。