最小二乘法 拟合 圆

最小二乘法(least squares analysis)是一种 数学 优化 技术，它通过 最小化 误差 的平方和找到一组数据的最佳 函数 匹配。 最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。 最小二乘法通常用于 曲线拟合 (least squares fitting) 。这里有 拟合圆曲线 的公式推导过程 和 vc实现。 ### 最小二乘法拟合圆 #### 一、最小二乘法简介 最小二乘法（Least Squares Analysis）是一种数学优化技术，其核心思想是通过最小化误差的平方和来寻找一组数据的最佳函数匹配。这种方法在数据分析、统计学以及工程学等领域有着广泛的应用。在实际应用中，我们经常面临的情况是需要根据一组观测数据来估计未知参数或建立预测模型，这时最小二乘法便发挥出了它的强大功能。 #### 二、最小二乘法的基本原理 最小二乘法的基本思想可以概括为：通过调整参数使观测值与理论值之间的偏差平方和达到最小。对于给定的数据集，假设理论模型为 \( y = f(x, \theta) \)，其中 \( x \) 是自变量，\( y \) 是因变量，\( \theta \) 是模型参数。那么，最小二乘估计的目标是寻找一组参数 \( \hat{\theta} \)，使得残差平方和 \( S(\theta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - f(x_i, \theta))^2 \) 达到最小值。这里的 \( n \) 表示观测数据的数量，\( i \) 是观测数据的序号。 #### 三、最小二乘法拟合圆的基本步骤 对于最小二乘法拟合圆的问题，我们考虑的是如何根据一系列二维坐标点来确定一个最佳圆的方程。一个圆的一般方程可以表示为： \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \] 其中，\( a \) 和 \( b \) 分别是圆心的横纵坐标，\( r \) 是圆的半径。 为了使用最小二乘法求解 \( a \), \( b \), 和 \( r \)，我们可以将上述方程展开，并整理得到一个关于 \( a \), \( b \), 和 \( c \)（其中 \( c = -r^2 \)）的线性方程组： \[ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \] 接下来，我们需要定义一个目标函数 \( S(a, b, c) \) 来衡量拟合的优劣。该函数定义为所有数据点到拟合圆的距离平方和，即： \[ S(a, b, c) = \sum_{i=1}^{n} (x_i^2 + y_i^2 + ax_i + by_i + c)^2 \] #### 四、拟合圆的具体步骤 1. **初始化**：我们需要收集一组数据点 \( (x_i, y_i) \)（\( i = 1, 2, ..., n \)），这些点是我们要拟合的数据。 2. **计算中间变量**：计算以下几项： - \( X1 = \sum_{i=1}^{n} x_i \) - \( Y1 = \sum_{i=1}^{n} y_i \) - \( X2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \) - \( Y2 = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 \) - \( X3 = \sum_{i=1}^{n} x_i^3 \) - \( Y3 = \sum_{i=1}^{n} y_i^3 \) - \( X1Y1 = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i \) - \( X1Y2 = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i^2 \) - \( X2Y1 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2y_i \) 3. **求解系数**：利用上述计算结果，可以进一步求解 \( C \), \( D \), \( E \), \( G \), \( H \), \( N \) 等中间变量，进而解出 \( a \), \( b \), 和 \( c \) 的值。 4. **计算圆心和半径**：最终，可以通过 \( a \), \( b \), 和 \( c \) 计算出圆心坐标 \( (A, B) \) 和半径 \( R \)。 具体来说，圆心坐标 \( (A, B) \) 和半径 \( R \) 可以通过以下公式计算得出： - \( A = \frac{a}{-2} \) - \( B = \frac{b}{-2} \) - \( R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 - 4c}{4}} \) #### 五、VC++ 实现 根据上述描述，在 VC++ 中实现最小二乘法拟合圆的过程如下所示： ```cpp void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() { if (m_nNum < 3) { return; } int i = 0; double X1 = 0, Y1 = 0, X2 = 0, Y2 = 0, X3 = 0, Y3 = 0, X1Y1 = 0, X1Y2 = 0, X2Y1 = 0; for (i = 0; i < m_nNum; i++) { X1 += m_points[i].x; Y1 += m_points[i].y; X2 += m_points[i].x * m_points[i].x; Y2 += m_points[i].y * m_points[i].y; X3 += m_points[i].x * m_points[i].x * m_points[i].x; Y3 += m_points[i].y * m_points[i].y * m_points[i].y; X1Y1 += m_points[i].x * m_points[i].y; X1Y2 += m_points[i].x * m_points[i].y * m_points[i].y; X2Y1 += m_points[i].x * m_points[i].x * m_points[i].y; } double C, D, E, G, H, N; double a, b, c; N = m_nNum; C = N * X2 - X1 * X1; D = N * X1Y1 - X1 * Y1; E = N * X3 + N * X1Y2 - (X2 + Y2) * X1; G = N * Y2 - Y1 * Y1; H = N * X2Y1 + N * Y3 - (X2 + Y2) * Y1; a = (H * D - E * G) / (C * G - D * D); b = (H * C - E * D) / (D * D - G * C); c = -(a * X1 + b * Y1 + X2 + Y2) / N; double A, B, R; A = a / (-2); B = b / (-2); R = sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2; m_fCenterX = A; m_fCenterY = B; m_fRadius = R; } ``` 这段代码展示了如何在 VC++ 中实现最小二乘法拟合圆的过程，通过计算中间变量并求解系数，最终得到圆心坐标和半径。这种方法不仅适用于圆的拟合，还可以推广到其他形状的拟合问题。