计算方法课件

### 计算方法知识点概述 #### 一、课程基本信息 - **课程名称**: 数值分析 - **授课教师**: 鞠颖 - **联系方式**: - E-mail: [email protected] - Phone: 18959283921 (Mobile) - **办公地点**: 海韵科研2号楼312室 - **助教信息**: - 助教姓名: 王旭 - E-mail: [email protected] - Phone: 15260221293 - **教材信息**: - 名称: 数值分析第5版 - 作者: 李庆扬、王能超、易大义 - 出版社: 清华大学出版社 - **FTP服务器信息**: - IP地址: 59.77.16.37 - 用户名: CPTM - 密码: CPTM - **英文课程名称**: Computing Method - **中文课程名称**: - 数值计算方法 - 数值分析 - 应用数学计算方法 #### 二、学习方式与考核标准 - **学习方式**: - 课堂讲授: 每周4学时, 分两次进行。 - 课外自学: 完成作业及编程练习。 - **考核标准**: - 笔试: 占总成绩的80%。 - 作业: 占总成绩的10%。 - 考勤: 占总成绩的10%, 三次点名。 - 编程实验: 可获得附加10%的分数。 #### 三、数值分析基础概念 - **目标**: - 数值分析与数学分析的区别。 - 数学分析: 通过解析方式求解问题。 - 数值分析: 通过数值方法求解问题。 - 学习计算方法的原因: 当解析方法无法解决问题时, 使用数值方法。 - **数值方法的应用场景**: - 插值 - 逼近与拟合 - 求积分、微分 - 求解线性方程组 - 求解非线性方程 - 求矩阵特征值 - **基本思想**: - 结果只需达到要求的精度。 - 将复杂问题分解成若干个简单问题。 - 使用近似方法或迭代法求解。 - 控制误差, 估算误差大小并进行修正。 - **误差来源**: - 模型误差 - 观测误差 - 截断误差(方法误差) - 计算误差(舍入误差) #### 四、误差定义与分类 - **误差类型**: - 绝对误差 - 相对误差 - 有效数字 - **绝对误差**: - 定义: 近似值与真实值之差。 - 举例: 若x=0.1, x*=0.2, 则绝对误差e*=0.2-0.1=0.1。 - **相对误差**: - 定义: 绝对误差与真实值的比值。 - 举例: 若x=0.1, x*=0.2, 则相对误差er*=(0.2-0.1)/0.1=1。 - **有效数字**: - 定义: 表示近似值精度的方式, 由左向右第一个非零数字开始计数。 - 特性: 有效位数越多, 绝对误差限越小; 相对误差限越小。 - **误差估计**: - 公式: |e|=|x*-x|, |er|=|e|/|x|。 - 误差限: 上界, 表示误差的最大可能值。 - **函数误差**: - 一般情况: f(x1,...,xn)。 - 特殊情况: f(x)。 #### 五、病态问题与稳定性 - **病态问题**: - 定义: 输入数据微小扰动导致输出数据相对误差很大。 - 条件数: Cp, 表示问题的敏感程度。 - 判断: Cp≥10视为病态问题。 - **稳定性**: - 定义: 如果由舍入误差引起的误差可以得到控制, 则数值方法是稳定的。 - 关系: 病态问题不一定导致不稳定的数值方法, 但不稳定的数值方法往往处理的是病态问题。 #### 六、数值运算基本原则 - **基本原则**: - 避免做除数接近零的除法运算。 - 避免做两相近数的减法运算。 - 尽量简化运算步骤, 减少运算过程中的误差累积。 综上所述, 数值分析是一门重要的学科, 它不仅涵盖了数学分析的基础知识, 更侧重于如何利用数值方法解决实际问题。通过本课程的学习, 学生将掌握数值计算的基本理论和方法, 并能够运用这些知识解决实际工程问题。同时, 对误差的深入理解以及如何有效地控制误差, 对提高数值计算结果的准确性至关重要。