七年级数学下册第8章幂的运算8.3同底数幂的除法作业设计新版苏科版202002242172

【知识点详解】 1. **科学记数法**：在题目中，多次出现了将小数转换成科学记数法的情况。科学记数法是一种表示数字的方法，通常形式为 \( a \times 10^n \)，其中 \( 1 \leq |a| < 10 \) 而 \( n \) 是整数。例如，0.00519 用科学记数法表示为 \( 5.19 \times 10^{-3} \)，0.013 用科学记数法表示为 \( 1.3 \times 10^{-2} \)。 2. **同底数幂的除法**：8.3章节的标题表明了本部分内容主要讨论同底数幂的除法。在数学中，同底数幂相除遵循公式 \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)，例如 \( t^{10} \div t^9 = t^{10-9} = t \)。这是解决诸如第5题、第7题和第12题的关键。 3. **幂次运算规则**：题目中的多个选择题涉及幂的乘方、开方、零指数幂等基本运算法则。例如，\( (a^m)^n = a^{mn} \)（第6题C选项错误），\( a^0 = 1 \)（第10题），以及 \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)（第11题和第13题）。 4. **代数式的简化**：题目中的填空题和解答题考察了代数式的简化，例如第21题使用幂的乘方性质 \( x^{2m} = (x^m)^2 \) 和 \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) 来简化表达式 \( x^{2m-3n} \)。第24题要求将 \( 3x^2 - y^3 \) 转换为只含正整数指数幂的形式，这涉及到指数法则的逆运算。 5. **指数方程的解法**：第26题要求解 \( ax \cdot ay = a^5 \) 和 \( ax \div ay = a \)，这需要应用同底数幂的乘法和除法规则来求解 \( x^2 - y^2 \) 的值。第28题通过设定等式 \( 3^{3 \cdot m + 4} \div 27^{2m - 1} = 729 \) 并考虑 \( 3^3 = 27 \) 和 \( 729 = 3^6 \) 来求解 \( m \) 的值。 6. **幂的乘方与指数的关系**：第29题的(1)部分，由 \( (a^m)^n = a^6 \) 和 \( (a^m)^2 \div a^n = a^3 \)，可以求解 \( mn \) 和 \( 2m - n \) 的值，这需要理解幂的乘方和除法法则。在(2)部分，利用 \( m \) 和 \( n \) 的结果求解 \( 4m^2 + n^2 \)。 7. **指数运算的综合应用**：第30题要求根据 \( 2^a = 3 \)，\( 2^b = 5 \)，\( 2^c = 75 \) 来求解 \( 2^{2a} \)，\( 2^{c-b+a} \) 的值，并证明 \( a + 2b = c \)。这需要运用指数的乘方、结合律以及 \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) 和 \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)。 这些知识点是初中数学幂运算的核心内容，通过各种题型的练习，学生可以加深对幂运算的理解并掌握其在实际问题中的应用。