### 朴素集合论-5、序数和超穷归纳法
#### 5.1 良序集
在集合论中，对集合进行排序是非常重要的一个环节。在本章节中，我们将探讨“良序集”及其相关的概念。良序集不仅在理论数学中有着重要的地位，而且在计算机科学和其他领域中也有广泛的应用。
### 5.1.1 定义与基本性质
**定义**：良序集是指一个全序集，其中任何非空子集都有最小元。这里的全序关系指的是集合中的任意两个元素都可以相互比较，并且满足自反性、反对称性和传递性。具体来说，若集合\( A \)是全序集，并且对于\( A \)的任一非空子集\( X \)，\( X \)都存在最小元，则称\( A \)为良序集。
- **例子**：
- 空集是良序集，因为它没有非空子集。
- 自然数集\( N \)（包括所有非负整数）是良序集，这是基于自然数的最小数原理。
- 有限全序集（例如\( N_n = \{0, 1, 2, \ldots, n\} \)）是良序集。
- \( Z \)、\( Q \)和\( R \)等无限集不是良序集，因为它们自身没有最小元。
**性质**：
- **定理5.1.5**：良序集的子集仍然是良序集。这是因为，对于任意良序集\( A \)的子集\( B \)，\( B \)的任何非空子集在\( A \)中都有最小元，那么这个最小元同样也是\( B \)中的最小元。
- **前段**：如果\( B \subseteq A \)且对于\( B \)中的每个元素\( x \)，以及\( A \)中的每个元素\( y \)，如果\( y \leq x \)，那么\( y \in B \)，则称\( B \)为\( A \)的前段。直观上，前段是从集合\( A \)的最小元素开始，包含了所有小于或等于某个元素的所有元素组成的子集。如果\( B \neq A \)，则\( B \)被称为\( A \)的真前段。
### 5.1.2 良序集的例子
接下来，我们通过几个具体的例子来加深对良序集的理解。
- **例5.1.2**：除了标准的小于等于关系外，自然数集\( N \)上还可以定义其他良序关系。例如，对于\( n \geq 1 \)，可以通过定义\( R_n \)关系（参见例3.3.4），使得\( <N, R_n> \)成为一个良序集。
- **例5.1.3**：整数集\( Z \)上的小于等于关系不是良序关系，但是可以定义另一个良序关系\( R \)（参见例3.3.5），使得\( <Z, R> \)成为良序集。
- **例5.1.4**：考虑\( N \times N \)上的二元关系\( S \)，其中\( S=\{<<x, y>, <u, v>> | x < u \)或\( (x = u \)且\( y \leq v)\} \)。这个关系可以直观地表示为矩阵形式，其中每个元素按照一定的顺序排列。可以证明\( S \)是\( N \times N \)上的良序关系，从而\( <N \times N, S> \)是一个良序集。
### 总结
良序集的概念是集合论中的一个重要工具，特别是在处理无限集合时。通过对良序集的定义、性质和例子的探讨，我们可以更深入地理解集合之间的大小关系及其在不同情况下的应用。此外，良序集也为后续章节中序数和超穷归纳法的介绍奠定了基础。
