### 朴素集合论-8、映射和数的集合构造
#### 8.1 有序对、关系和映射
本章节主要介绍了如何利用集合论中的基本概念来构造更复杂的结构，例如有序对、关系以及映射。这些概念是后续讨论数的集合构造的基础。
##### 8.1.1 定义无序对集合
- **定义**：无序对集合\(\{a, b\}\)称为由\(a\)和\(b\)组成的无序对。值得注意的是，当\(a = b\)时，\(\{a, a\}\)可以写作\(\{a\}\)，也就是说，一个元素也可以构成一个无序对。
- **特点**：无序对是一种非常简单的构造集合的方式，它不考虑元素之间的顺序，只关心元素是否属于集合。
##### 8.1.2 定义有序对集合
- **定义**：有序对集合\(<a, b>\)定义为\(\{\{a\}, \{a, b\}\}\)，其中\(a\)称为第一元素，\(b\)称为第二元素。这个定义的关键在于通过特定的集合构造方式来表示有序性，使得\(<a, b>\)不同于\(<b, a>\)。
- **构造方法**：有序对可以通过无序对构造得到，即通过将两个无序对\(\{a\}\)和\(\{a, b\}\)组成一个新的无序对，从而达到表示有序对的目的。
##### 8.1.3 定理
- **内容**：如果\(<a_1, b_1>\)与\(<a_2, b_2>\)相等，则\(a_1 = a_2\)且\(b_1 = b_2\)。这个定理确保了上述定义的有序对符合直观上对有序性的理解。
- **证明**：该定理的证明分为两种情况，一种是\(a_2 = b_2\)的情况，另一种是\(a_2 \neq b_2\)的情况。通过集合论的基本性质和操作（如子集、并集等）进行推理，最终得出结论。
##### 8.1.4 定理
- **内容**：任意两个集合\(A\)和\(B\)的笛卡尔积\(A \times B\)是\(P(P(A \cup B))\)的一个子集，其中\(P(X)\)表示集合\(X\)的幂集。
- **意义**：这一定理表明了两个集合的笛卡尔积可以通过集合的并集、幂集和子集运算得到，进一步说明了笛卡尔积的集合论构造方法。
##### 8.1.5 定义关系
- **定义**：关系是指有序对的集合。在这个上下文中，通常只讨论二元关系，并将它们简称为关系。
- **扩展**：可以基于此定义关系的逆和关系的复合等操作。
##### 8.1.6 定义定义域和值域
- **定义域**：给定一个关系\(R\)，其定义域\(dom(R)\)定义为所有存在\(y\)使得\(<x, y> \in R\)的\(x\)的集合。
- **值域**：给定一个关系\(R\)，其值域\(ran(R)\)定义为所有存在\(x\)使得\(<x, y> \in R\)的\(y\)的集合。
- **关系与定义域值域的关系**：关系\(R\)总是其定义域和值域的笛卡尔积的一个子集。
##### 8.1.7 定义关系的限制
- **定义**：给定一个关系\(R\)和集合\(B\)，关系\(R\)在\(B\)上的限制定义为所有满足\(x \in B\)且\(<x, y> \in R\)的有序对\(<x, y>\)的集合。
本章节通过引入有序对、关系和映射的概念，为我们构建了一个从简单到复杂的集合论框架。这些基本概念不仅为后续的数学研究提供了基础工具，也为理解和分析实际问题提供了一种抽象的语言和方法。
