【立体几何专题】
立体几何是高中数学中的一个重要部分，它主要研究三维空间中的几何图形及其性质。本专题涉及的问题涵盖了正三棱锥、正n棱锥、二面角、距离计算、几何体的表面积与体积等多个核心概念。
1. **正三棱锥**：在正三棱锥 P-ABC 中，O 作为底面三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与棱的交点 Q、R、S 的位置变化，题目考察的是这些交点位置与平面 QRS 的关系。这类问题通常涉及到几何变换和点的位置最值。
2. **二面角**：二面角 α-a-β 为 60°，点 A 在这两个平面内，点 A 到两个平面的距离分别为 4 和 2。当 B 和 C 分别在两个平面上时，求解△ABC 周长的最小值，这需要利用距离公式和三角函数来解决。
3. **正四面体**：正四面体的性质及其中点构造的四边形EFGH 的面积范围，涉及中位线、相似三角形和面积公式。
4. **角的度量**：题目中 f(λ) 表示 EF 与 AC 和 BD 的夹角，考察夹角随 λ 变化的性质，可能需要用到余弦定理和线性代数中的向量运算。
5. **距离问题**：直线 a 与平面 β 的平行和距离，以及点到这两者距离相等的集合，这涉及到空间直角坐标系和点到直线和平面距离的计算。
6. **体积与表面积**：正四棱锥的底面积和侧面积给出，求解体积，需要用到体积公式 V = 1/3 * 底面积 * 高。
7. **球面几何**：球面上两点间弦长的范围，根据球的性质，最短距离为零（同一纬度），最长距离为直径，从而确定弦长的取值范围。
8. **线面平行与垂直**：平面 α 与 β 的交线 l，m 是 α 内的直线，分析是否存在平行线和垂直线，这涉及平面和平面的性质以及线面关系。
9. **多面体表面展开图**：通过多面体的表面展开图判断顶点数，这需要理解几何体的结构和展开过程。
10. **等边三角形与等距问题**：等边三角形内点到三边距离之和为定值，推广至正四面体，考察空间几何中的距离之和的性质。
11. **距离和的定值**：等边三角形内点到三边距离之和，正四面体内点到各面距离之和，需要利用几何体的对称性和相似性质来解决。
12. **外心性质**：点 P 到三角形顶点距离相等，求点到边的距离，可以考虑用外心和垂径定理。
13. **组合几何体**：将两个正三棱锥拼接得到的六面体，求最远两顶点间距离，需要理解空间几何体的结构并应用勾股定理。
14. **密铺问题**：等球密布在正四面体中，求底部的球数，涉及球体的排列和空间利用率。
15. **最大体积问题**：固定直线 l1 和垂足 M，动直线 l2 过定点 N，求四面体体积最大时的条件和最大值，这是一道优化问题，需要用到微积分或者几何方法。
16. **正方形与异面直线**：通过正方形和中点构建的角度、距离和异面直线之间的关系，需要用到空间向量和线面关系。
17. **折纸问题**：将三角形翻折后形成新的几何体，求向量表达和异面直线所成角，以及平面垂直性的判定。
18. **斜棱柱**：斜棱柱的几何特性，包括侧面与底面的夹角，以及判断平面垂直的证明，这需要利用线面垂直的定义和性质。
以上内容是对题目中涉及的立体几何知识点的详细解析，每个问题都需要综合运用几何推理、空间想象和计算技巧来解决。在实际解题过程中，还需要注意图形的画法，以及熟练掌握平面几何、立体几何的基本定理和公式。
