经验分布函数与 Bootstrap 方法
2020 年 5 月 16 日
1 经验分布函数定义、性质
在这一节中，我们总是假设 X
1
, X
2
, ..., X
n
为独立同分布随机变量列，且服从
分布 F 。经验分布函数定义为
Denition 1. 经验分布函数 F
n
是指每一个数据点 X
i
上的概率密度为
1
n
的 CDF,
用公式表示为
F
n
(x) =
n
i=1
I(X
i
≤ x)
n
, (1.1)
其中 I 为示性函数。
可以看出，经验分布函数本质上是用 (−∞, x] 上的赝本频率来估计 F (x) 的
值。经验分布函数 F
n
与分布函数 F 的重要关系可由以下定理描述。第一个定理
描述随着样本量增大，经验分布函数几乎必然趋于分布函数。
Theorem 1 (Glivenko-Cantelli 定理). 若 X
1
, X
2
, ..., X
n
为 i.i.d 随机变量，服从分
布 F ，那么, 当 n → ∞,
sup
x
|F
n
(x) − F (x)| → 0, a.s.
第二个定理则描述依概率收敛的收敛速度。
Theorem 2 (Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz(DKW) 不等式). 若 X
1
, X
2
, ..., X
n
为 i.i.d
随机变量，服从分布 F ，那么对任意 ϵ > 0,
P
sup
x
|F
n
(x) − F (x)| > ϵ
≤ e
−2nϵ
2
1
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