数学建模第四版课后答案

### 数学建模第四版课后答案解析 #### 一、引言 《数学建模》第四版由姜启源教授主编，是国内较为权威且广泛使用的数学建模教材之一。本书不仅介绍了数学建模的基本理论与方法，还通过丰富的实例帮助读者理解如何将数学工具应用于实际问题中。本次解析主要针对该书中的课后练习题，旨在帮助学习者更好地掌握数学建模的核心思想和技术。 #### 二、课后答案解析方法论 在解析《数学建模》第四版的课后习题时，我们遵循以下原则： 1. **准确性**：确保每一道题目的解答都基于正确的数学理论和逻辑推理。 2. **详尽性**：尽可能地提供完整的解题步骤，包括中间计算过程以及关键假设条件。 3. **条理性**：答案组织结构清晰，便于读者理解和参考。 4. **实用性**：强调解题方法的实际应用价值，帮助读者在未来遇到类似问题时能够灵活运用所学知识。 #### 三、典型习题解析示例 ##### 示例1：线性规划问题 **题目描述**：某工厂生产A、B两种产品，每生产一件A产品需要消耗原材料1千克，工时2小时；每生产一件B产品需要消耗原材料2千克，工时1小时。已知工厂每天最多能获得原材料50千克，每天工作时间为20小时。若A产品的单位利润为10元，B产品的单位利润为8元，请问如何安排生产计划才能使得总利润最大化？ **解题思路**： 1. **建立模型**：设x为A产品的产量，y为B产品的产量，则目标函数为\[max\ Z = 10x + 8y\]。 2. **约束条件**：根据题意可得\[x + 2y \leq 50\]（原材料约束），\[2x + y \leq 20\]（工时约束），\[x \geq 0, y \geq 0\]。 3. **求解**：利用线性规划的方法（如图解法或单纯形法）求解最优解。 **答案**：通过图解法可以得到，当\(x=10, y=20\)时，目标函数取得最大值\(Z_{max} = 280\)元。 ##### 示例2：微分方程建模 **题目描述**：一个水池初始有100升水，其中含有0.1克盐。现向池中以每分钟0.1升的速度连续注入含盐浓度为0.05克/升的水，并以每分钟0.1升的速度排放混合后的水。试建立描述水池中盐含量随时间变化的微分方程，并求解该方程。 **解题思路**： 1. **定义变量**：设t时刻池中盐的质量为y(t)克。 2. **建立方程**：根据题意，盐的流入速率是0.1×0.05=0.005克/分钟，流出速率是\(\frac{0.1}{100+t}y(t)\)克/分钟。因此，可得微分方程\[y'(t) = 0.005 - \frac{0.1}{100+t}y(t)\]。 3. **求解方程**：这是一个一阶线性微分方程，可以通过求解特征方程或使用积分因子法求解。 **答案**：利用积分因子法，可以得到方程的通解为\[y(t) = (100+t)e^{-\int{\frac{0.1}{100+t}dt}}+C\]，其中C为积分常数。结合初始条件y(0)=0.1克，可以求得C的具体值，从而得到特解。 #### 四、结语 通过对《数学建模》第四版课后习题的详细解析，不仅加深了对数学建模基本理论的理解，更重要的是掌握了如何将这些理论应用于解决实际问题的方法。希望本解析能够为广大学习者提供帮助，同时也欢迎读者就具体题目提出疑问或分享自己的见解，共同进步。