05 metodo algebraico

Programación Lineal

Método algebraico

Introducción
 Conjuntos convexos, teoremas
 Forma canónica y estándar de un P.L.
 Soluciones básicas posibles
 Método Algebraico

IO1 R.Delgadillo 2

Conceptos
 Conjunto convexo: Un conjunto de
puntos S es convexo, si el segmento de
línea que une cualquier par de punto de
S esta en S.
 Esto es, S es un conjunto convexo, si
para todo xi S
x1 (1 ) x2 S para 0,1

IO1 R.Delgadillo

Conceptos
Conjuntos convexos
B

B A
A
A B

A
B

A
B
Conjuntos no convexos
IO1 R.Delgadillo 4

Conceptos
 Punto extremo: Un punto P es
denominado punto extremo (esquina) ,
si todo segmento de línea que esta
completamente en S y contiene a P,
tiene a P como punto extremo del
segmento de línea.
 Esto es si P no puede ser representado
como una combinación convexa
estricta de dos puntos distintos en S.
IO1 R.Delgadillo
(0,1) 5

Conceptos

x2 .
.
.P
x3

Punto extremo

IO1 R.Delgadillo 6

Conceptos
 Región Factible: Es un conjunto de
todos los puntos que satisfacen todas
las restricciones del problema
 Teorema 1: La región factible de un
problema de programación lineal es un
conjunto convexo y tiene un número
finito de puntos extremos.

IO1 R.Delgadillo 7

Conceptos
 Solución óptima: Es un punto de la
región factible con mayor valor de la
F.O. (problema de Max)
 Teorema 2: Todo problema de
programación lineal que tiene solución
óptima, tiene un punto extremo que es
óptimo.

IO1 R.Delgadillo 8

Problemas de PL
Forma genérica ó canónica de un PPL, se
denomina así cuando se escribe
n
max Z c j x j co
j 1

s.a. aij x j bi i 1,...,m ; j 1,..n

xj 0
donde c j cos tos de la función objetivo

IO1 R.Delgadillo 9

Problemas de PL
Variables artificiales: se denominan así a
las variables que se agregan al
problema con la finalidad de hacer una
restricción de desigualdad en igualdad.
 Si la restricción es >= la variable artificial es
de exceso
 Si la restricción es <= la variable artificial es
de holgura.

IO1 R.Delgadillo 10

Problemas de PL
Forma normal ó estándar de un PPL, se
denomina así cuando se escribe
n
max Z c j x j co
j 1

s.a. aij x j bi i 1,...,m ; j 1,..n

xj 0
donde c j cos tos de la función objetivo

 Esto es, todas las restricciones son de igualdad

IO1 R.Delgadillo 11

Ejemplo:
 Dado el siguiente problema en la forma
genérica
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 <= 9
x1 + 2 x2 <= 16
x1, x2 > 0

IO1 R.Delgadillo 12

Ejemplo:
 La forma normal se obtiene agregando
las variables de holgura
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 + + x4 = 16
x1, x2 , x3, x4 > 0

IO1 R.Delgadillo 13

Conceptos
 Base: De un espacio vectorial es cualquier
conjunto de vectores que pertenezcan al
espacio y que además:
 Son linealmente independientes
 Son un conjunto generador del espacio vectorial.
 Ejemplo: v1 v2 x3 v1 v2 v3

1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 2
0 0 1 0 0 -3

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Conceptos
 Dado un sistema de ecuaciones lineales, de n
variables y m restricciones:
AX b
suponga n ≥ m,
=> si n-m variables tomen valor =0,
garantiza que las m variables restantes
asuma valores únicos.

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Conceptos
 Variables no Básicas: Son las variables
que no pertenecen a la base y toman valores
iguales a cero.
# VNB = # variables – # restricciones.
= n–m
 Variable Básicas: Son aquellas variables
que pertenecen a la base y toman valores
positivos (≥0)
#VB = # de restricciones =m

IO1 R.Delgadillo 16

Conceptos
 Solución Básica: Es una solución que
satisface Ax = b y cuyas VB ≥0 y VNB = 0.
así las columnas asociadas a las VB son
linealmente independiente.
 Solución Básicas posible: Son soluciones
básicas con valores de sus variables todos ≥0
 Solución Básica degenerada: Son
soluciones básicas en las que algunas VB
toman valor igual a cero.

IO1 R.Delgadillo 17

Conceptos
 Solución Básica óptima: Es una
solución básica posible y cuyo valor de
Z (F.O.) es máximo.
 Solución adyacente básica posibles
Dos soluciones básicas posibles son
adyacentes, si sus conjuntos de
variables básicas tienen m-1 variables
básicas en común.

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Ejemplo
 Grafique e identifique, soluciones
básicas, soluciones básicas posibles,
solucion básica óptima.
max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 <= 9
x1 + 2 x2 <= 16
x1, x2 > 0

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Ejemplo
Agregando las variables de holgura se tiene:
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 +x4 = 16
x1, x2, x3, x4 > 0

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Ejemplo

(0,9,0,-2)
x3=0 Sol. óptima
(0,8,1,0)
(2,7,0,0)
x1=0 Sol. básica
x4=0

x2=0
(0,0,9,16)
IO1 R.Delgadillo Sol. Básica factible (9,0,0,7} (16,0,-7,0)
21

Método Algebraico
 El método consiste en :
 Generar una solución básica posible
 Evaluar si la solución básica es óptima
 En caso que no lo es, generar una nueva
solución básica posible, tal que
Znuevo > Zanterior

IO1 R.Delgadillo 22

Método algebraico
 Del problema anterior
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 + + x4 = 16
x1, x2 , x3, x4 > 0

IO1 R.Delgadillo 23

Método algebraico
 La primera base es la formada por
las variables de holgura:
B1 = { x3, x4}
NB = { x1, x2} , x1 = x2 = 0
=> x3 = 9
x4 = 16
Z=0

IO1 R.Delgadillo 24

Método algebraico
Escribimos las Variables básicas y
Z en función de las no básicas.
Usemos la función explícita:
x3 = 9 – x1 – x2
Variables
básicas x4 = 16- x1 –2x2
z = 0 + 3x1 + 4x2
Variables no básicas

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Método algebraico
 Evaluamos si SBP es óptima;
observememos que si x1 ó x2 <>0
Z crece.
=> (x3, x4) no es solución óptima.
 Criterio de solución óptima: ninguna
de las variables de la no base tienen
coeficientes estrictamente positivos

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Método algebraico
 Generamos otra base, por el
intercambio de una de las variables de
la base y de la no base; esto es, sale
una variable de la base y entra una
variable de la no base.
 Es más facil ver la variable que sale que
la que entra.

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Método algebraico
 Criterio para la variable que entra
en la base: debe entrar la variable
que tenga mayor coeficiente positivo;
que hace que Z crezca rápidamente.
 En el ejemplo la variable que entra es
x2. X1 permanece con valor cero
(x1=0)
B2 = {x2, ?}

IO1 R.Delgadillo 28

Método algebraico
 Criterio para la variable que sale de la
base: debe salir la variable que toma valor
cero cuando la variable que entra toma su
máximo valor. Esto es limita el crecimiento de
la variable de entrada pues todas las
variables deben ser ≥ 0 ( Xi ≥0).
 Como x1 =0; se tiene
x3 = 9 – x2 ≥ 0 => x2 ≤9
x4 = 16 –2x2 ≥ 0 => x2 ≤ 8
=> x2 = 8 y X4 = 0 , => sale x4
IO1 R.Delgadillo 29

Método algebraico
 Ahora la base es:
B2 = {x2, x3} y NB = {x1,x4}
Y el valor de las variables es:
x2 = (16- x1- x4)/2 = 8- ½ x1 –½ x4
x3 = 1-1/2 x1 + ½ x4
Z = 32 + x1 – 2x4
 Evaluamos si es óptimo:

si entra x1=> Z crece,
si entra x4 => Z decrece.
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Método algebraico
 No es óptimo! =>
Generamos nueva solución posible
La variable que entra es : x1 y x4
permanece con valor cero. (x4 =0)
Variable que sale es:
x2 = 8 - ½ x1 ≥ 0 => x1 ≤ 16
x3 = 1-1/2 x1 ≥ 0 => x1 ≤ 2
ahora x1 = 2 => x3 =0 sale x3
ahora B3 = {x1, x2} y NB = {x3,x4}

IO1 R.Delgadillo 31

Método algebraico

El valor de las variables básicas es:
x1 = 2 –2x3 +x4
x2 = 7 + x3 – x4
Z = 34 – 2x3 –x4
 Evaluamos si es óptimo: no hay variable no
basica que haga crecer Z
=> si es óptimo!
x1= 2
x2 = 7
Z = 34.
IO1 R.Delgadillo 32

Método algebraico

9
x3=0 Sol. óptima
B2={x2,x3} 8
B3={x1,x2}
x1=0
x4=0

B1={x3,x4} x2=0
IO1 R.Delgadillo
9 16 33

Método algebraico
 Resuelva el siguiente ejercicio:

max z 5x1 3x2 x3
s.a.
2 x1 x2 x3 6
x1 2 x2 x3 7
x1 , x2 , x3 0

IO1 R.Delgadillo 34

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