1 2 Teoria Preeliminar

1 2 Teoria Preeliminar

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  Universidad Autónoma deBaja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali 1.2 Teoría Preeliminar DEFINICION Solución de una ecuación diferencial Cualquier función φ definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reduce la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo. Solución explícita Una solución en que la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente y constantes se llama Solución explícita. Ejemplo 1 dy Demuestre que ϕ ( x) = e 3 x es una solución explícita de = 3y dx Ejemplo 2 2 Demuestre que ϕ ( x) = x 2 – x –1 es una solución explícita de y ′′( x) – y ( x) = 0 x2 Solución Implícita Se dice que una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de la ecuación ⎛ dy dny⎞ F ⎜ x, y, ,.... n ⎟ en el intervalo I, si define una o más soluciones explícitas. ⎜ ⎝ dx dx ⎟ ⎠ Ejemplo: Demuestre que: dy 3 x 2 y 2 – x 3 + 8 = 0 es una solución implícita de = en el intervalo (2, α ) dx 2 y Problema de valor inicial Un problema de valor inicial de una ecuación diferencial de enésimo orden ⎛ dy dny⎞ F ⎜ x, y, ,.... n ⎟ ⎜ ⎝ dx dx ⎟ ⎠ Significa: encontrar una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que satisfaga en Xo las n condiciones iniciales. y ( x0 ) = y 0 dy ( x0 ) = y1 dx . . d n –1 y ( x0 ) = y n –1 dx n –1 Curso Ecuaciones Diferenciales
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  Universidad Autónoma deBaja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali donde x0 ,pertenece a I; y y 0 , y1 ,…… y n –1 son constantes dadas. Nota: El término de condiciones iniciales proviene de la mecánica, en donde y ( x0 ) = y 0 normalmente representa la ubicación de un objeto en el tiempo; dy ( x0 ) = y proporciona la velocidad del objeto en el 1 dx mismo tiempo. Ejemplo: Demuestre que ϕ ( x) = sen( x) – cos( x) es una solución del problema de valor inicial d2y + y = 0; dx 2 y (0) = –1 y ′(0) = 1 Por lo común, una ecuación diferencial posee infinidad de soluciones. En contraste, hay teoremas que aseguran que existe una solución única para ciertos problemas de valor inicial en los cuales se requiere encontrar una solución de la ecuación diferencial satisfaga condiciones iniciales dadas. Ejemplo: La función ϕ ( x) = c1e – x + c 2 e 2 x es una solución de: d 2 y dy – – 2y = 0 dx 2 dx Determine las constantes c1 y c2 de tal manera que se cumplan las condiciones iniciales: y (0) = 2 dy (0) = –3 dx dϕ Solución: Para determinar las constantes c1 y c2, primero se calcula , de tal manera dx que obtenemos: dϕ = – c1e – x + 2c 2 e 2 x dx La sustitución en las condiciones iniciales da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones: ϕ (0) = c1e 0 + c 2 e 0 = 2 c1 + c 2 = 2 dϕ da las sig. Ecs. (0) = – c1e + 2c 2 e = –3 0 0 – c1 + 2c 2 = –3 dx Curso Ecuaciones Diferenciales
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  Universidad Autónoma deBaja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali 7 1 Por lo que finalmente la solución es c1= y c2= – 3 3 TEOREMA Existencia y unicidad de una solución. Dado el problema de valor inicial dy = f ( x, y ), y y ( x0 ) = y 0 dx ∂f Supóngase que f ( x, y ) y son funciones continuas en un rectángulo dy R = {( x, y ) : a < x < b, c < y < d } que contienen al punto (xo,yo). Entonces el problema de valor inicial tiene una solución única ϕ (x) en algún intervalo xo–h < x < xo+h, donde h es un número positivo. Ejemplo: Para el problema de valor inicial: dy = x 2 – xy 3 y (1) = 6 dx Implica el teorema anterior la existencia de una solución única? ∂f En este caso f ( x, y ) = x 2 – xy 3 y = –3 xy 2 . Puesto que ambas funciones son ∂x continuas en cualquier rectángulo que contenga al punto (1,6), se cumplen las hipótesis del teorema anterior. Entonces, de el teorema de existencia y unicidad se deduce que el problema de valor inicial posee una solución única en un intervalo con centro x=1 de la forma (1–h, 1+h), donde h es algún número positivo. Curso Ecuaciones Diferenciales