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1000 Problemas de Razonamiento Logico Matematico Ccesa007.pdf

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Título original: 1000 PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Lógica, Aritmética, Álgebra y Geometría con soluciones paso a paso Autor: Luque Zevallos Helbert Justo Editor independiente: Luque Zevallos Helbert Justo Coop. Vista Alegre E-2, Alto Selva Alegre, Arequipa, Perú Publicado a través de amazon.com Disponible en https://www.amazon.es Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra DERECHOS RESERVADOS N° DEP. LEGAL 2025-12825 Primera Edición Virtual Noviembre 2025 Idioma : Español Serie: Mil Ejercicios de Matemática Kindle
Capítulo 1 Presentación 1000 problemas de razonamiento lógico matemático reúne un banco de problemas orientado a fortalecer, de manera sistemática, las competencias de análisis, abstracción y argumentación matemática. El libro está organizado en cuatro capítulos —Lógica y Conjuntos, Razonamiento Aritmético, Ra- zonamiento Algebraico y Razonamiento Geométrico— que avanzan desde nociones fundamentales hasta retos de mayor complejidad, combinando pro- blemas resueltos paso a paso y propuestos para la práctica deliberada. Cada sección inicia con un breve recordatorio conceptual y continua con: ✿ Problemas resueltos que modelan el razonamiento, señalan errores co- munes y ofrecen verificaciones. ✿ Problemas propuestos graduados por dificultad para consolidar compe- tencias. ✿ Etiquetas temáticas que facilitan localizar y repasar contenidos. Se recomienda estudiar en sesiones de 20–40 minutos, alternando un bloque de resueltos y otro de propuestos, registrando dudas y estrategias utilizadas. No se requieren herramientas especiales; cuando se sugiere calculadora o software se indica explícitamente. Capítulo 1: Lógica y Conjuntos. Presenta el lenguaje formal de la mate- mática: proposiciones, conectivos, tablas de verdad, cuantificadores y reglas básicas de inferencia. En teoría de conjuntos se trabajan pertenencia, inclu- sión, operaciones (unión, intersección, diferencia, complemento), familias de conjuntos y problemas típicos con diagramas de Venn. El objetivo es entre- nar la validez del argumento y la correcta traducción entre lenguaje natural y simbólico. Razonamiento Lógico Matemático 3 Helbert Justo Luque Zevallos
CAPÍTULO 1. PRESENTACIÓN Capítulo 2: Razonamiento Aritmético. Aborda propiedades de los números naturales y enteros, divisibilidad, descomposición en primos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, congruencias elementales, potencias y raí- ces, así como porcentajes, razones y estimaciones. Se incluyen problemas de conteo básico y patrones numéricos que refuerzan el cálculo mental y la toma de decisiones. Capítulo 3: Razonamiento Algebraico. Desarrolla técnicas para manipular expresiones y resolver ecuaciones y desigualdades: identidades notables, fac- torización, fracciones algebraicas, sistemas lineales sencillos, funciones ele- mentales y relaciones entre variables. Se enfatiza la modelación algebraica para traducir situaciones a ecuaciones y seleccionar el método más eficiente. Capítulo 4: Razonamiento Geométrico. Trabaja geometría plana y elemen- tos de geometría analítica básica: triángulos (congruencia y semejanza), polí- gonos, circunferencia y círculo, ángulos notables, áreas y perímetros, así como coordenadas cartesianas para la resolución de problemas. Se promueve el uso de diagramas limpios, construcción de auxiliares y argumentación con pasos justificados. Al finalizar, el lector habrá fortalecido su precisión en el uso del lenguaje lógico, su dominio de técnicas aritméticas y algebraicas fundamentales, y su capacidad para argumentar en geometría con claridad. La progresión de difi- cultad permite que estudiantes, docentes y autodidactas empleen el libro para nivelación, prácticas dirigidas y preparación de exámenes. Usamos N, Z, Q y R para naturales, enteros, racionales y reales, res- pectivamente. La notación y los símbolos se introducen cuando aparecen por primera vez y se mantienen consistentes en todo el volumen. Helbert Justo Luque Zevallos Autor Helbert Justo Luque Zevallos 4 Razonamiento Lógico Matemático
Índice general 1 Presentación 3 I Lógica y Conjuntos 13 1 Proposición Lógica 15 1.1 Tipos de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Proposiciones declarativas . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Proposiciones condicionales . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2 Conectivos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.1 Operadores binarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.2 Condicionales y bicondicionales . . . . . . . . . . . . 44 1.3 Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.4 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.4.1 Ley de De Morgan para la negación de conjunciones 66 1.4.2 Ley de De Morgan para la negación de disyunciones 77 2 Álgebra Proposicional 89 1.1 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.1.1 Tablas de verdad de conectivos simples . . . . . . . 89 1.1.2 Análisis de tautologías y contradicciones . . . . . . . 102 1.2 Inferencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.2.1 Aplicación del Modus Ponens en problemas lógicos 113 1.2.2 Aplicación del Modus Tollens en argumentos . . . . 120 Razonamiento Lógico Matemático 5 Helbert Justo Luque Zevallos
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 1.3.1 Problemas con múltiples variables. . . . . . . . . . . 124 1.3.2 Análisis de secuencias lógicas en tiempo. . . . . . . 135 3 Razonamiento 149 1.1 Razonamiento inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.1.1 Reconocimiento de series numéricas . . . . . . . . . 149 1.1.2 Identificación de patrones geométricos . . . . . . . . 157 1.2 Razonamiento deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 1.2.1 Deducción en argumentos matemáticos . . . . . . . 168 1.2.2 Análisis de premisas en demostraciones . . . . . . . 175 1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 1.3.1 Analogías basadas en progresiones aritméticas . . 182 1.3.2 Series geométricas aplicadas a problemas visuales 189 4 Funciones 195 1.1 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.1.1 Predicados de una variables . . . . . . . . . . . . . . 195 1.1.2 Predicados de dos variables . . . . . . . . . . . . . . 199 1.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 1.2.1 Uso de cuantificadores en proposiciones universales 204 1.2.2 Ejemplos de cuantificadores existenciales en proble- mas lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 1.3 Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 1.3.1 Negación de proposiciones con cuantificadores univer- sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 1.3.2 Negación de proposiciones con cuantificadores exis- tenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5 Álgebra de Conjuntos 237 Helbert Justo Luque Zevallos 6 Razonamiento Lógico Matemático
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 1.1 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 1.1.1 Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 237 1.1.2 Diagramas de Venn para representar operaciones . 246 1.2 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 1.2.1 Diagramas con tres conjuntos . . . . . . . . . . . . . 269 1.2.2 Diagramas para problemas de probabilidad . . . . . 297 1.3 Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 1.3.1 Resolución de problemas con conjuntos disjuntos . 325 1.3.2 Aplicación de conjuntos en probabilidad condicional 330 1.3.3 Teorema de Bayes con conjuntos . . . . . . . . . . . 335 II Razonamiento Aritmético 341 6 Sistemas 343 1.1 Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 1.1.1 Conversión entre sistemas numéricos . . . . . . . . 343 1.1.2 Aplicaciones del sistema binario en computación . . 353 1.2 Problemas de edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 1.2.1 Ecuaciones lineales aplicadas a problemas de edades 364 1.3 Cronometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 1.3.1 Conversión entre horas, minutos y segundos . . . . 372 1.3.2 Cálculo de tiempos en recorridos . . . . . . . . . . . 379 7 Divisibilidad y Fracciones 385 1.1 MCD y MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 1.1.1 Método de descomposición simultánea . . . . . . . . 385 1.1.2 Algoritmo de Euclides para el MCD . . . . . . . . . . 389 1.2 Problemas de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 1.2.1 Problemas de divisibilidad con números primos . . . 395 Razonamiento Lógico Matemático 7 Helbert Justo Luque Zevallos
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 1.2.2 Aplicación en divisibilidad de números compuestos 401 1.3 Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 1.3.1 Fracciones homogéneas y heterogéneas . . . . . . . 406 1.3.2 Aplicación en problemas financieros . . . . . . . . . 411 8 Razones, Proporciones y Porcentajes 417 1.1 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 1.1.1 Proporciones directas e inversas . . . . . . . . . . . 417 1.1.2 Problemas de escalas y mapas . . . . . . . . . . . . 421 1.2 Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 1.2.1 Aplicaciones en problemas de mezclas . . . . . . . . 425 1.2.2 Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . 430 1.3 Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 1.3.1 Aplicación en problemas financieros . . . . . . . . . 434 1.3.2 Descuentos progresivos en el comercio . . . . . . . 441 9 Sucesiones y Series 449 1.1 Sucesiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 1.1.1 Aplicaciones en problemas de interés simple . . . . 449 1.1.2 Resolución de problemas con progresiones aritméti- cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 1.2 Sucesiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 1.2.1 Aplicaciones en problemas de crecimiento exponen- cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 1.2.2 Resolución de series infinitas . . . . . . . . . . . . . 469 1.3 Patrones y generalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 1.3.1 Identificación de patrones en figuras geométricas . 474 1.3.2 Generalización de patrones numéricos . . . . . . . . 479 Helbert Justo Luque Zevallos 8 Razonamiento Lógico Matemático
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL III Razonamiento Algebraico 487 10 Modelación Matemática 489 1.1 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 1.1.1 Problemas de movimiento y velocidad . . . . . . . . 489 1.1.2 Problemas con costos y precios . . . . . . . . . . . . 495 1.2 Resolución gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 1.2.1 Gráficas de ecuaciones de primer grado . . . . . . . 501 1.2.2 Intersecciones y pendientes en gráficas . . . . . . . 515 1.3 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 1.3.1 Solución por igualación y reducción . . . . . . . . . . 528 1.3.2 Aplicaciones en problemas geométricos . . . . . . . 535 11 Ecuaciones Cuadráticas 541 1.1 Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 1.1.1 Método de completar el cuadrado . . . . . . . . . . . 541 1.1.2 Aplicación de la fórmula cuadrática . . . . . . . . . . 545 1.2 Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 1.2.1 Problemas de caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . 550 1.2.2 Cálculo de áreas con ecuaciones cuadráticas . . . . 555 1.3 Gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 1.3.1 Cálculo de vértices a partir de la fórmula general . . 560 1.3.2 Gráficas en relación con problemas físicos . . . . . 577 12 Modelación Matemática 605 1.1 Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 1.1.1 Resolución de inecuaciones con una variable . . . . 605 1.1.2 Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 1.2 Intervalos y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1.2.1 Intervalos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . 631 Razonamiento Lógico Matemático 9 Helbert Justo Luque Zevallos
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 1.2.2 Resolución de desigualdades con valor absoluto . . 648 1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 1.3.1 Aplicación en maximización de recursos . . . . . . . 654 1.3.2 Problemas de minimización en geometría . . . . . . 662 IV Razonamiento Geométrico 671 13 Proporcionalidad y Semejanza 673 1.1 Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 1.1.1 Aplicación en triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 1.1.2 Aplicación en sombras y escalas . . . . . . . . . . . 679 1.2 Criterios de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 1.2.1 Aplicación en mapas y diseños . . . . . . . . . . . . 684 1.2.2 Proporciones en figuras geométricas . . . . . . . . . 689 1.3 Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 1.3.1 Escalas de reducción en planos . . . . . . . . . . . . 694 1.3.2 Proporciones en la cartografía . . . . . . . . . . . . . 699 14 Relaciones Métricas 705 1.1 Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 1.1.1 Aplicación en problemas físicos . . . . . . . . . . . . 705 1.1.2 Cálculo de distancias en el espacio . . . . . . . . . . 710 1.2 Alturas, medianas y bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 1.2.1 Aplicación en construcción de triángulos . . . . . . . 715 1.2.2 Uso de medianas en diseño geométrico . . . . . . . 730 1.3 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 1.3.1 Fórmula de Herón para triángulos . . . . . . . . . . . 737 1.3.2 Cálculo de áreas irregulares . . . . . . . . . . . . . . 743 15 Regiones Planas 749 Helbert Justo Luque Zevallos 10 Razonamiento Lógico Matemático
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 1.1 Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 1.1.1 Cálculo de áreas en polígonos regulares . . . . . . . 749 1.1.2 Aplicaciones en problemas de diseño arquitectónico 756 1.2 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762 1.2.1 Cálculo de distancias en el plano cartesiano . . . . 762 1.2.2 Pendientes y ángulos entre rectas . . . . . . . . . . . 767 1.3 Rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 1.3.1 Aplicación en diseños 3D . . . . . . . . . . . . . . . . 772 1.3.2 Resolución de problemas espaciales . . . . . . . . . 778 16 Sólidos Geométricos 785 1.1 Cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 1.1.1 Volumen de prismas y cilindros . . . . . . . . . . . . 785 1.1.2 Áreas superficiales de conos y esferas . . . . . . . . 790 1.2 Cálculo de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 1.2.1 Aplicaciones en problemas de ingeniería . . . . . . . 795 1.2.2 Cálculo de volúmenes en objetos irregulares . . . . 800 1.3 Problemas prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 1.3.1 Aplicación en problemas de empaquetamiento . . . 805 1.3.2 Uso de sólidos en diseño de objetos . . . . . . . . . 811 V Adicionales 819 1.4 Lógica y Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 1.5 Razonamiento Aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 1.6 Razonamiento Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 1.7 Razonamiento Geométrico Plano y Espacial . . . . . . . . . 829 Razonamiento Lógico Matemático 11 Helbert Justo Luque Zevallos
Parte I Lógica y Conjuntos Razonamiento Lógico Matemático 13 Helbert Justo Luque Zevallos
Capítulo 1 Proposición Lógica 1.1. Tipos de proposiciones 1.1.1. Proposiciones declarativas Problema 1 Para cada uno de los siguientes enunciados, determina si es una propo- sición declarativa. Si lo es, indica su posible valor de verdad (verdadero o falso) y justifica brevemente; si no lo es, explica por qué no cumple con los criterios: 1. La luna está hecha de queso. 2. ¿Vendrás mañana a la reunión? 3. 2 más 3 es igual a 5. 4. ¡Qué hermosa puesta de sol! 5. Cierra la ventana. Demostración. Una proposición declarativa es un enunciado que afirma o niega algo acerca de la realidad y cuyo valor de verdad está bien definido (verdadero o falso), independientemente de creencias, órdenes o emociones. 1. Es proposición declarativa. Valor de verdad: falso. Justificación: el enuncia- do afirma una composición material concreta; la composición real de la Luna (silicatos, óxidos, etc.) contradice la afirmación, por lo que es falsable y, de hecho, falsa. 2. No es proposición. Es una pregunta (interrogativa directa); las preguntas no son verdaderas ni falsas, carecen de valor de verdad. 3. Es proposición declarativa. Valor de verdad: verdadero. Justificación: en arit- mética de los naturales, 2 + 3 = 5 por las definiciones y propiedades de la suma (p. ej., axiomas de Peano). Razonamiento Lógico Matemático 15 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TIPOS DE PROPOSICIONES CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓN LÓGICA 4. No es proposición. Es un enunciado exclamativo que expresa una aprecia- ción estética/subjetiva; no tiene un valor de verdad objetivo bien definido. 5. No es proposición. Es un imperativo (una orden); los imperativos no descri- ben estados de cosas y carecen de valor de verdad. ■ Problema 2 El siguiente enunciado es ambiguo: El jugador es el mejor. 1. Explica qué hace que el enunciado no pueda evaluarse como verda- dero o falso tal cual está. 2. Reescribe el enunciado de forma que sí sea una proposición declara- tiva precisa y explícita (elige un criterio claro para el mejor). Demostración. (1) El enunciado es ambiguo por al menos cuatro razones lógicas: ✿ Dominio indeterminado: no especifica el conjunto de referencia (¿todos los jugadores del mundo, de una liga, de un equipo?). ✿ Criterio de comparación difuso: “el mejor” no indica métrica (goles, asisten- cias, eficiencia, valoración media, etc.). ✿ Horizonte temporal: no precisa la temporada, fecha o período de evaluación. ✿ Reglas de desempate: no se indica cómo resolver empates en la métrica elegida. Sin fijar dominio, métrica, período y desempate, el enunciado no determina una condición verificable; por tanto, no es evaluable como verdadero/falso. (2) Proposición precisa (un ejemplo posible): Juan Pérez es el jugador con mayor promedio de goles por 90 minutos en la Liga 1 Helbert Justo Luque Zevallos 16 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓN LÓGICA 1.1. TIPOS DE PROPOSICIONES Perú 2024 al finalizar la jornada 30, entre quienes acumulan ≥ 900 minutos. Esta versión fija: (i) dominio (Liga 1 Perú 2024), (ii) sujeto (Juan Pérez), (iii) métrica (goles/90’), (iv) condición de elegibilidad (≥ 900 min), (v) corte temporal (tras jornada 30). Su valor de verdad es empírico: verdadero o falso según los datos registrados. ■ Problema 3 Escribe las siguientes proposiciones compuestas usando conectivos ló- gicos y luego explica el valor de verdad de cada una, suponiendo que las proposiciones simples involucradas son verdaderas o falsas según se indica: 1. Hace sol y la temperatura es mayor a 30°C. (supón que hace sol es verdadero y la temperatura es 28°C). 2. Si estudio, entonces apruebo. (supón que estudiaste pero no aprobas- te). 3. No es cierto que llueve. (supón que efectivamente está lloviendo). Demostración. Denotemos por S: “Hace sol”, por T: “La temperatura es > 30◦ C”, por E: “Estudio” y por A: “Apruebo”, y por L: “Llueve.” 1. Forma lógica: S ∧ T. Dado S = V y la temperatura real es 28◦ C, tenemos T = F. Por la tabla de verdad de la conjunción, V ∧ F = F. Conclusión: falso. 2. Forma lógica: E → A. Se asume E = V (estudiaste) y A = F (no aprobaste). Por la tabla del condicional material, V → F = F. Conclusión: falso (caso contraejemplo de la implicación). 3. Forma lógica: ¬L. Se asume que L = V (está lloviendo). Entonces ¬L = F. Conclusión: falso. ■ Razonamiento Lógico Matemático 17 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TIPOS DE PROPOSICIONES CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓN LÓGICA Problema 4 Convierte cada uno de los siguientes enunciados del lenguaje natural a una proposición declarativa formal, eliminando subjetividades o impera- tivos, y explícita su posible valoración de verdad: 1. Es un buen día. 2. Debes entregar el informe antes del viernes. 3. María es la mejor estudiante de la clase. (especifica un criterio para mejor). Demostración. 1. Proposición objetiva (un ejemplo): “La temperatura máxima diaria en Lima el 14-09-2025 es ≥ 24◦ C y la precipitación total del día es 0 mm.” Esta proposición es verificable mediante datos meteorológicos y, por tanto, es verdadera o falsa según dichos datos. Se eliminó la subjetividad de “buen”. 2. Transformación a proposición factual (dos opciones comunes): ✿ Norma explícita: “La fecha límite de entrega del informe es anterior al viernes 19-09-2025 a las 17:00 (hora local).” ✿ Hecho cumplido: “El informe fue entregado antes del viernes 19-09-2025 a las 17:00 (hora local).” La primera describe una regla (verdadera/falsa según el calendario oficial); la segunda describe un hecho (verdadera/falsa según el registro de entre- ga). En ambos casos hay valor de verdad bien definido. 3. Criterio objetivo para “mejor” (ejemplo): “El promedio final ponderado de Ma- ría en el curso X del semestre Y es estrictamente mayor que el promedio de cualquier otro estudiante de esa clase; en caso de empate en el promedio, María tiene mayor mediana de calificaciones.” Esta proposición es verdade- ra o falsa según los registros de calificaciones y el criterio de desempate fijado. Helbert Justo Luque Zevallos 18 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓN LÓGICA 1.1. TIPOS DE PROPOSICIONES ■ Problema 5 Analiza el siguiente enunciado: Todos los cisnes son blancos. 1. ¿Fue siempre verdadero en un contexto histórico? Explícita qué des- cubrimiento lo refutó. 2. ¿Es ahora una proposición declarativa? ¿Cuál es su valor de verdad actual? Justifica. Demostración. Formalización: ∀, (Cisne() → Blanco()). (1) En lógica clásica, el valor de verdad de una proposición universal no de- pende del conocimiento humano sino del estado del mundo. La existencia de un solo contraejemplo la hace falsa: si ∃, (Cisne() ∧ ¬Blanco()), enton- ces la universal es falsa. Históricamente, el descubrimiento de cisnes negros en Australia (especie Cygnus atratus, documentada por exploradores euro- peos desde fines del siglo XVII) proporciona tales contraejemplos. Por consi- guiente, aun cuando en ciertos contextos culturales se creyera verdadera, la proposición era de hecho falsa en cuanto existían cisnes no blancos. (2) Sí, es una proposición declarativa (universal cuantificada) y su valor de verdad actual es falso, puesto que existen cisnes negros (Cygnus atratus). En términos lógicos, la constatación empírica de ∃, (Cisne() ∧ ¬Blanco()) refuta ∀, (Cisne() → Blanco()). ■ Problema 6 Dada la proposición condicional: Si llueve, entonces la calle estará mo- jada. 1. Identifica la hipótesis y la conclusión. 2. Escribe su contraria, su recíproca y su contrarrecíproca. 3. Para cada una, explica si es necesariamente verdadera o puede ser falsa en general. Razonamiento Lógico Matemático 19 Helbert Justo Luque Zevallos
Parte II Razonamiento Aritmético Razonamiento Lógico Matemático 341 Helbert Justo Luque Zevallos
Capítulo 6 Sistemas 1.1. Sistemas de numeración 1.1.1. Conversión entre sistemas numéricos Problema 321 Convierta el número hexadecimal (3F7A)_16 a base 2, luego a base 10 y finalmente a base 7. Demostración. Primero, de base 16 a base 2. Cada dígito hexadecimal co- rresponde a 4 bits: 3 7→ 0011, F 7→ 1111, 7 7→ 0111, A 7→ 1010. Por tanto, (3F7A)16 = (0011 1111 0111 1010)2 = (11111101111010)2. Segundo, a base 10: (3F7A)16 = 3·163 +15·162 +7·161 +10 = 3·4096+15·256+112+10 = 12288 + 3840 + 122 = 16250. Así, (3F7A) ∗ 16 = (16250) ∗ 10. Finalmente, de base 10 a base 7 por divisiones sucesivas: Razonamiento Lógico Matemático 343 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS 16250 = 7 · 2321 + 3, 2321 = 7 · 331 + 4, 331 = 7 · 47 + 2, 47 = 7 · 6 + 5, 6 = 7 · 0 + 6. Leyendo los restos de abajo hacia arriba: (16250)_10 = (65243)_7. Conclusión: (3F7A)16 = (11111101111010)2 = (16250)10 = (65243)7. ■ Problema 322 Exprese el número decimal 0,3 en base 2 utilizando el algoritmo de mul- tiplicaciones sucesivas. Determine si la expansión es finita o periódica. Demostración. Sea  = 0,3 = 3 10 . Aplicamos el algoritmo de multiplicación por 2, registrando la parte entera en cada paso: 3 10 · 2 = 3 5 ⇒ bit 0, nuevo 3 5 3 5 · 2 = 6 5 = 1 + 1 5 ⇒ bit 1, nuevo 1 5 1 5 · 2 = 2 5 ⇒ bit 0, nuevo 2 5 2 5 · 2 = 4 5 ⇒ bit 0, nuevo 4 5 4 5 · 2 = 8 5 = 1 + 3 5 ⇒ bit 1, nuevo 3 5 . A partir de aquí se repite el estado 3 5 , por lo que los bits se repiten con Helbert Justo Luque Zevallos 344 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN período 4. La expansión es 0,310 = 0,010012 = 0,0100110011 . . . 2. Criterio de finitud: una fracción /b en base 2 tiene expansión finita si y sólo si, en forma irreducible, b es potencia de 2. Aquí 3 10 tiene denominador 10 = 2 · 5; tras cancelar el factor 2, queda un factor 5 ̸| 2k , de donde la expansión no es finita. El período se relaciona con el orden multiplicativo de 2 módulo 5: como 24 ≡ 1 (mód 5) y 4 es mínimo, la longitud del período es 4. Existe un prefijo no periódico de longitud 1 (debido al factor 2 en el denominador). ■ Problema 323 Demuestre que el número fraccionario 1 7 tiene expansión periódica en base 10, y encuentre la longitud de su período en base 2 y en base 16. Demostración. Sea b ≥ 2 entero. Si gcd(b, 7) = 1, entonces 1 7 tiene ex- pansión puramente periódica en base b, y la longitud del período es el or- den multiplicativo de b módulo 7, es decir, el menor t ≥ 1 tal que bt ≡ 1 (mód 7). En base 10: gcd(10, 7) = 1 y 10 ≡ 3 (mód 7), 31 ≡ 3, 32 ≡ 2, 33 ≡ 6, 34 ≡ 4, 35 ≡ 5, 36 ≡ 1 (mód 7), luego el orden es 6. Por tanto, 1 7 = 0.14285710. En base 2: gcd(2, 7) = 1 y Razonamiento Lógico Matemático 345 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS 21 ≡ 2, 22 ≡ 4, 23 ≡ 8 ≡ 1 (mód 7), por lo que el orden es 3. La expansión es puramente periódica de longitud 3: 1 7 = 0.0012. En base 16: como 16 = 24 y el orden de 2 módulo 7 es 3, el orden de 16 módulo 7 es ord7(16) = ord7(2) gcd(ord7(2), 4) = 3 gcd(3, 4) = 3. Luego la longitud del período en base 16 también es 3. De hecho, 1 7 = 0.24916. ■ Problema 324 Encuentre la representación en base 5 de 510 − 1. Discuta la relación entre su forma y el teorema de divisibilidad por b − 1. Demostración. En base 5, el número 5 es la base, por lo que (510 )10 = (1 00 . . . 0 | {z } 10 ceros )5. Restando 1 se obtiene una “cadena de 4” de longitud 10: 510 − 1 = (4444444444)5. Relación con el teorema de divisibilidad por b − 1: para cualquier base b ≥ 2, Helbert Justo Luque Zevallos 346 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN bn − 1 = (b − 1) (bn−1 + bn−2 + · · · + b + 1), de modo que bn − 1 es múltiplo de b − 1. En representación base b, bn − 1 se escribe como n dígitos todos iguales a b − 1. Aquí, con b = 5 y n = 10, aparece exactamente (4444444444)_5. Además, la congruencia “suma de dígitos” mod b − 1 explica esta forma: el residuo de un número en base b módulo b − 1 coincide con la suma de sus dígitos módulo b − 1, y la suma n · (b − 1) es múltiplo de b − 1. ■ Problema 325 Convierta directamente el número binario (10101101)_2 a base 16 y a base 8 sin pasar por base 10. Demostración. De base 2 a base 16: se agrupan bits en bloques de 4 desde la derecha: (10101101)2 = (1010 1101)2 = (A D)16 = (AD)16. De base 2 a base 8: se agrupan bits en bloques de 3 desde la derecha; para 8 bits, se agrega un cero inicial para completar múltiplos de 3: (10101101)2 = (010 101 101)2 ⇒ (2 5 5)8 = (255)8. Así, sin pasar por base 10, (10101101)2 = (AD)16 = (255)8. ■ Razonamiento Lógico Matemático 347 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Problema 326 Realice la suma de (245) ∗ 7 + (356) ∗ 7 en base 7. Luego convierta el resultado a base 10 y base 2 para verificar la coherencia. Demostración. Suma en base 7. Sumamos dígito a dígito con acarreo en base 7: 2 4 5 + 3 5 6 6 3 4 (7) Explicación: unidades 5 + 6 = 11 = 7 · 1 + 4 ⇒ escribimos 4 y llevamos 1; sietes 4 + 5 + 1 = 10 = 7 · 1 + 3 ⇒ escribimos 3 y llevamos 1; cuarenta y nueve 2 + 3 + 1 = 6 (sin acarreo). Por tanto, (245)7 + (356)7 = (634)7. Verificación en base 10. (245)7 = 2 · 72 + 4 · 7 + 5 = 98 + 28 + 5 = 131, (356)7 = 3 · 49 + 5 · 7 + 6 = 147 + 35 + 6 = 188. Suma decimal 131 + 188 = 319. Además, (634)7 = 6 · 49 + 3 · 7 + 4 = 294 + 21 + 4 = 319. Conversión a base 2. 319 = 256 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, por lo que (319)10 = (100111111)2. Helbert Justo Luque Zevallos 348 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN En consecuencia, (245)7 + (356)7 = (634)7 = (319)10 = (100111111)2. ■ Problema 327 Pruebe que un número en base b es divisible por b + 1 si y solo si la suma alternada de sus dígitos es divisible por b + 1. Aplique la regla para verificar si (10110)_2 es divisible por 3 en base decimal. Demostración. Sea N un número escrito en base b con dígitos _k, _k − 1, . . . , _0: N = k X j=0 jbj , 0 ≤ j ≤ b − 1. Trabajando módulo b + 1 observamos que b ≡ −1 (mód b + 1), por tanto N ≡ k X j=0 j(−1)j (mód b + 1). Se sigue que b + 1 | N si y solo si b + 1 divide la suma alternada de los dígitos _0 − _1 + _2 − · · · + (−1)k _k. Aplicación a (10110)_2. Aquí b = 2 y probamos divisibilidad por b + 1 = 3. Escribimos los dígitos de derecha a izquierda (de _0 a _4): _0 = 0, _1 = 1, _2 = 1, _3 = 0, _4 = 1. La suma alternada es 0 − 1 + 2 − 3 + 4 = 0 − 1 + 1 − 0 + 1 = 1. Como 1 ̸≡ 0 (mód 3), el número (10110)_2 no es divisible por 3. De hecho (10110) ∗ 2 = (22) ∗ 10 y 22 ≡ 1 (mód 3). ■ Razonamiento Lógico Matemático 349 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Problema 328 Exprese 220 en base 16 y en base 8. Compare la cantidad de dígitos obtenidos en cada representación. Demostración. En base 16. Como 16 = 24 , se tiene 220 = (24 )5 = 165 , por lo que 220 = (100000)16 (un 1 seguido de cinco ceros en base 16). En base 8. Como 8 = 23 , 220 = (23 )6 · 22 = 86 · 4, de modo que 220 = (4000000)8 (un 4 seguido de seis ceros en base 8). Comparación de dígitos. En base 16 aparecen 6 dígitos; en base 8 apa- recen 7 dígitos. Intuitivamente, al agrupar 20 bits en bloques de 4 (hexade- cimal) resulta exactamente 1 seguido de 5 ceros; al agrupar en bloques de 3 (octal) quedan 6 bloques completos más 2 bits sobrantes, lo que produce un dígito inicial distinto de 1 (el 4) y, por ello, un total de 7 dígitos. ■ Problema 329 Calcule el producto (123) ∗ 4 × (21) ∗ 4 en base 4, y luego convierta el resultado a base 10 y base 2. Demostración. Producto en base 4. Podemos multiplicar directamente en base 4: Helbert Justo Luque Zevallos 350 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN (123)4 × (21)4 (123)4 · 1 = (123)4 +(123)4 · 2 (desplazado 1 lugar) = (1022)4 (3303)4 (Verificación rápida: 2 · 3 = 6 = 4 · 1 + 2, llevamos 1; se procede en base 4 a cada paso.) Verificación en base 10. (123)4 = 1·16+ 2·4+ 3 = 27, (21)4 = 2·4+ 1 = 9, 27·9 = 243. Además, (3303)4 = 3 · 64 + 3 · 16 + 0 · 4 + 3 = 192 + 48 + 0 + 3 = 243. Conversión a base 2. 243 = 128 + 64 + 32 + 16 + 2 + 1, luego (243)10 = (11110011)2. En conclusión, (123)4 · (21)4 = (3303)4 = (243)10 = (11110011)2. ■ Razonamiento Lógico Matemático 351 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Problema 330 Convierta el número racional 7 20 a base 3 utilizando el algoritmo de mul- tiplicaciones sucesivas. Determine la longitud de la expansión periódica. Demostración. Aplicamos el algoritmo para la parte fraccionaria en base 3: si _0 = 7 20 , definimos _n + 1 = 3_n y el n-ésimo dígito fraccionario es ⌊3_n⌋. 30 = 21 20 = 1 + 1 20 ⇒ 1 = 1, 1 = 1 20 , 31 = 3 20 = 0 + 3 20 ⇒ 2 = 0, 2 = 3 20 , 32 = 9 20 = 0 + 9 20 ⇒ 3 = 0, 3 = 9 20 , 33 = 27 20 = 1 + 7 20 ⇒ 4 = 1, 4 = 7 20 = 0. El residuo vuelve a _0 tras cuatro pasos, por lo que la expansión es puramente periódica de período 4. Así, 7 20 10 = 0.1001 3 . Verificación del período. Como 20 = 22 · 5 y gcd(3, 20) = 1, la longitud del período es el orden multiplicativo de 3 módulo 20. Se cumple 34 = 81 ≡ 1 (mód 20) y ningún menor exponente lo logra, luego la longi- tud del período es 4. Además, 0.10013 = 3−1 + 3−4 1 − 3−4 = 1 3 + 1 81 1 − 1 81 = 28/81 80/81 = 28 80 = 7 20 . ■ Helbert Justo Luque Zevallos 352 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.1.2. Aplicaciones del sistema binario en computación Problema 331 Implemente paso a paso la suma binaria de los números (1101101)_2 y (1010111)_2, mostrando el cálculo de la suma y el acarreo en cada posición. Verifique el resultado convirtiendo ambos sumandos y la suma al sistema decimal. Demostración. Sumamos bit a bit de derecha a izquierda (de menor a mayor peso). Denotamos por c_ el acarreo que entra a la posición  y por s_ el bit de suma en dicha posición.   b c  + b + c s c+1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 1 2 0 1 2 1 1 1 3 1 1 3 1 0 1 2 0 1 4 0 1 1 2 0 1 5 1 0 1 2 0 1 6 1 1 1 3 1 1 Al finalizar, queda un acarreo final c_7 = 1. Leyendo de más significativo a menos significativo, la suma es (1 1000100)2 = (11000100)2. Verificación en decimal: Razonamiento Lógico Matemático 353 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS (1101101)2 = 1 · 64 + 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 = 109, (1010111)2 = 1 · 64 + 0 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 = 87, 109 + 87 = 196 y (11000100)2 = 1 · 128 + 1 · 64 + 0 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 = 196. Ambas vías coinciden: la suma correcta es (11000100) ∗ 2 = 196 ∗ 10. ■ Problema 332 Calcule la multiplicación binaria de (1011)_2 por (110)_2, mostrando todas las etapas intermedias. Luego convierta el resultado a decimal y compruebe la equivalencia. Demostración. Sea A = (1011)_2 y B = (110)_2. Formamos los produc- tos parciales desplazando A según los bits de B. Helbert Justo Luque Zevallos 354 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN (1011)2 × (110)2 bit 0 de B = 0 : (0000)2 bit 1 de B = 1 : (1011)2 ≪ 1 = (10110)2 bit 2 de B = 1 : (1011)2 ≪ 2 = (101100)2 suma de parciales : (0000)2 + (10110)2 + (101100)2 = (1000010)2 Verificación decimal: (1011)2 = 1110, (110)2 = 610, 11 · 6 = 66. Además (1000010)2 = 1 · 64 + 0 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 0 = 66. Coinciden ambas representaciones; el producto es (1000010) ∗ 2 = 66 ∗ 10. ■ Problema 333 Diseñe un circuito de sumador completo usando únicamente puertas ló- gicas NAND. Explique paso a paso cómo se obtiene la suma y el acarreo de salida utilizando combinaciones de estas puertas. Demostración. Un sumador completo recibe A, B, C_in y produce S = A ⊕ B ⊕ Cin, Cout = AB + Cin(A ⊕ B). Usaremos que la puerta NAND es universal. Recordatorios con NAND: Razonamiento Lógico Matemático 355 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS NOT(X) = X NAND X, X AND Y = (X NAND Y) NAND (X NAND Y), X OR Y = (X NAND X) NAND (Y NAND Y) (por De Morgan). Construcción de X = A ⊕ B usando solo NAND (realización estándar de 4 NAND): P = A NAND B, Q = A NAND P, R = B NAND P, X = Q NAND R. Entonces X = A ⊕ B. Construcción de S = X ⊕ C_in con la misma topología XOR via NAND: P2 = X NAND Cin, Q2 = X NAND P2, R2 = Cin NAND P2, S = Q2 NAND R2. Para C_out = AB + C_inX hacemos dos productos y luego un OR, todo en NAND. Producto AB con NAND: T1 = A NAND B, U1 = T1 NAND T1 (así U1 = AB). Producto C_inX con NAND: T2 = Cin NAND X, U2 = T2 NAND T2 (así U2 = CinX). OR entre U_1 y U_2 usando NAND: Helbert Justo Luque Zevallos 356 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN U1 = U1 NAND U1, U2 = U2 NAND U2, Cout = U1 NAND U2. Por De Morgan, esto implementa C_out = U_1 + U_2 = AB + C_in(A ⊕ B). Resumen de bloques: 1. Dos XOR en cascada vía 8 puertas NAND para obtener S. 2. Dos AND vía NAND y un OR vía NAND para obtener C_out. Todo el sumador completo queda realizado exclusivamente con puertas NAND, cumpliendo las expresio- nes canónicas de S y C_out. ■ Problema 334 Determine la representación binaria en código ASCII de la palabra DATA. Explique cómo se combinan estos códigos para formar un flujo de bits que pueda almacenarse en memoria. Demostración. ASCII de 7 bits se usa usualmente en octetos con un bit de relleno a la izquierda. Para mayúsculas: D = 6810 = 4416 = (01000100)2, A = 6510 = 4116 = (01000001)2, T = 8410 = 54 La palabra DATA se codifica como la concatenación 01000100 | {z } D 01000001 | {z } A 01010100 | {z } T 01000001 | {z } A . En memoria, cada octeto ocupa una dirección contigua según la conven- ción de la arquitectura; el flujo de bits resultante es la concatenación en el orden de lectura, y el bus de datos los transporta octeto por octeto. Si el siste- ma añade paridad u otros metadatos, estos se incluyen fuera del octeto ASCII Razonamiento Lógico Matemático 357 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS base. ■ Problema 335 Explique cómo se representa en binario una imagen en escala de grises de 256 × 256 píxeles con 8 bits por píxel. Calcule la cantidad total de memoria en bytes que requiere la imagen. Demostración. Con 8 bits por píxel (profundidad de 8), cada píxel toma un valor en 0, 1, . . . , 255, donde típicamente 0 es negro y 255 es blanco. La imagen de 256 × 256 contiene 256 · 256 = 65536 píxeles. Cada píxel ocupa 8 bits = 1 byte, por lo que el tamaño total de la matriz de intensidades es 65536 píxeles × 1 byte/píxel = 65536 bytes = 64 KiB. La representación binaria se organiza como una matriz 256 × 256 alma- cenada en memoria lineal. En orden de almacenamiento por filas, el byte del píxel (r, c) aparece tras los 256 · r + c bytes iniciales. En ausencia de ca- beceras o metadatos, el bloque crudo (raw) de la imagen es exactamente la concatenación de los 65536 octetos que codifican sus niveles de gris. ■ Problema 336 Un registro de desplazamiento de 4 bits recibe la secuencia de entra- da 1, 0, 1, 1, 0. Determine el contenido del registro después de cada desplazamiento a la derecha. ¿Cuál es la salida final si el registro era inicialmente (0000)2? Demostración. Supondremos un desplazamiento a la derecha síncrono clá- sico de 4 bits, con inserción serie por el extremo más significativo (MSB) y Helbert Justo Luque Zevallos 358 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN salida serie por el bit menos significativo (LSB). Si el contenido del registro es [b3, b2, b1, b0] (siendo b3 el MSB), un pulso de reloj realiza [b3 b2 b1 b0] 7−→ [ b3 b2 b1], donde  ∈ 0, 1 es el nuevo bit de entrada, y la salida serie es el bit expul- sado b0. Condición inicial: [0000]. Secuencia de bits de entrada: 1, 0, 1, 1, 0. Evolución paso a paso: Paso Entrada  Contenido tras desplazar Salida serie (LSB expulsado) 0 − [0000] − 1 1 [1000] 0 2 0 [0100] 0 3 1 [1010] 0 4 1 [1101] 0 5 0 [0110] 1 Contenido del registro después de cada desplazamiento: [1000] → [0100] → [1010] → [1101] → [0110]. La salida serie en los cinco desplazamien- tos es la sucesión 0, 0, 0, 0, 1. Por tanto, el contenido final del registro es (0110)2 y el último bit emitido fue 1. ■ Problema 337 Diseñe un circuito lógico que genere el bit de paridad par para una pala- bra de 5 bits de entrada. Explique cómo se detecta un error de transmi- sión si se recibe la palabra (10101)2 con bit de paridad incluido. Razonamiento Lógico Matemático 359 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Demostración. Sea la palabra de 5 bits X = (1, 2, 3, 4, 5). El bit de paridad par p debe satisfacer que el número total de unos en (1, . . . , 5, p) sea par. Equivalentemente, p = 1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5, donde ⊕ denota XOR. Un generador de paridad par se implementa con una cadena de compuertas XOR de dos entradas. Detección de errores: en el receptor se calcula  = 1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ p. Si  = 0, se asume ausencia de error de un bit; si  = 1, se detecta (al menos) un error impar en el total de bits. Ejemplo con la palabra X = (10101)2: la cuenta de unos es 3 (impar). Por paridad par, se envía p = 1: p = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1. El receptor computa  = 1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕1 = 0, por lo que no se detecta error. Si, por ejemplo, hubiera un solo bit alterado en tránsito (caso típico), entonces  valdría 1 y el error sería detectado (aunque no corregido). ■ Problema 338 Explique cómo realizar la operación (1011011)2 + (1101100)2 (mód 28 ) utilizando aritmética binaria modular. Verifique el resultado en decimal. Demostración. Trabajamos módulo 28 = 256. En aritmética binaria módulo 28 , la suma se efectúa como suma binaria usual y se conservan únicamente los 8 bits menos significativos (se descarta cualquier acarreo más allá del bit Helbert Justo Luque Zevallos 360 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 6. SISTEMAS 1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 7). Primero igualamos a 8 bits: (1011011)2 = (01011011)2, (1101100)2 = (01101100)2. Sumamos: (01011011)2 + (01101100)2 (11000111)2 No aparece un noveno bit de acarreo, por lo que el resultado módulo 28 es directamente (11000111)2. Verificación decimal: (01011011)2 = 91, (01101100)2 = 108, y 91 + 108 = 199. Como 199 256, se cumple 199 mód 256 = 199, 199 = (11000111)2. Por tanto, el resultado modular es (11000111)2. ■ Problema 339 En el algoritmo RSA, considere p = 11, q = 13, n = pq = 143 y e = 7. Represente en binario los cálculos necesarios para cifrar el mensaje m = 9. Explique cómo la aritmética binaria afecta la eficiencia del algoritmo. Demostración. Parámetros: φ(n) = (p − 1)(q − 1) = 10 · 12 = 120, Razonamiento Lógico Matemático 361 Helbert Justo Luque Zevallos
1.3. PATRONES Y GENERALIZACIÓNCAPÍTULO 9. SUCESIONES Y SERIES = 2! n + 1 3 + n + 1 2 = n + 1 3 + n + 2 3 , usando k2 = k(k − 1) = 2! k 2 y la identidad telescópica n X k=1 k r = n + 1 r + 1 . Generalización: por la expansión mediante números de Stirling de segunda especie S(m, j), km = m X j=0 S(m, j), k j = m X j=0 S(m, j), j! k j . Sumando de k = 1 a n y aplicando la identidad de las combinaciones acumu- ladas, n X k=1 km = m X j=0 S(m, j), j! n X k=1 k j = m X j=0 S(m, j), j! n + 1 j + 1 . Esta fórmula combinatoria equivale a Faulhaber y evita números de Bernoulli, expresando la suma como combinación lineal de coeficientes binomiales en n. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 486 Razonamiento Lógico Matemático
Parte III Razonamiento Algebraico Razonamiento Lógico Matemático 487 Helbert Justo Luque Zevallos
Capítulo 10 Modelación Matemática 1.1. Ecuaciones lineales 1.1.1. Problemas de movimiento y velocidad Problema 561 Dos trenes parten de ciudades diferentes separadas por 480 km y se dirigen uno hacia el otro. El primero viaja a 80 km/h y el segundo a 100 km/h. ¿En qué punto y después de cuánto tiempo se encontrarán? Demostración. Sea t el tiempo, en horas, transcurrido hasta el encuentro. Como se acercan, la velocidad relativa es 80+100 = 180 km/h. La distancia total a cerrar es 480 km, por lo que 180 t = 480 =⇒ t = 480 180 = 8 3 h = 2 h 40 min. La posición del encuentro medida desde la ciudad de partida del primer tren es 1 = 80 · 8 3 = 640 3 km ≈ 213,33 km, y desde la del segundo tren es 480 − 640 3 = 800 3 km ≈ 266,67 km. En consecuencia, se encuentran 2 h 40 min después, a 640 3 km de la primera ciudad. ■ Problema 562 Un automóvil A viaja a 90 km/h y parte de una ciudad. Dos horas más tarde, parte un automóvil B desde la misma ciudad a 120 km/h en la misma dirección. ¿A qué distancia de la ciudad alcanzará B a A? Demostración. La ventaja inicial de A es 90 · 2 = 180 km. La velocidad relativa de acercamiento de B respecto de A es 120− 90 = 30 km/h, así que Razonamiento Lógico Matemático 489 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA el tiempo desde que parte B hasta alcanzarlo satisface 30 t = 180 =⇒ t = 6 h. La distancia desde la ciudad en el momento del alcance es la recorrida por B en ese lapso: d = 120 · 6 = 720 km. Por tanto, B alcanza a A a 720 km de la ciudad. ■ Problema 563 Un bote navega en un río con corriente. En aguas tranquilas puede avan- zar a 12 km/h. Si recorre 30 km río arriba en 5 horas, halle la velocidad de la corriente y el tiempo que tardará en regresar. Demostración. Sea c la velocidad de la corriente en km/h. Río arriba la velo- cidad efectiva es 12 − c. Dado que recorre 30 km en 5 h, se tiene 12 − c = 30 5 = 6 =⇒ c = 6 km/h. Río abajo la velocidad es 12 + c = 18 km/h. El tiempo de regreso para 30 km es tvuelta = 30 18 = 5 3 h = 1 h 40 min. Así, la corriente vale 6 km/h y el regreso toma 1 h 40 min. ■ Problema 564 Un avión vuela 600 km con viento en contra y 600 km con viento a favor. Su velocidad en aire tranquilo es 300 km/h, y el viaje de ida toma 2 horas más que el de vuelta. ¿Cuál es la velocidad del viento? Helbert Justo Luque Zevallos 490 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES Demostración. Sea  la velocidad del viento en km/h. Los tiempos son t1 = 600 300 −  , t2 = 600 300 +  , con t1 − t2 = 2. Entonces 600 300 −  − 600 300 +  = 2. Equivalente a 600 (300 + ) − (300 − ) (300 − )(300 + ) = 2 =⇒ 1200 90000 − 2 = 2. De aquí 2 + 600 − 90000 = 0, cuyas soluciones son  = −600 ± p 720000 2 . Como  0,  = −600 + 600 p 2 2 = 300( p 2 − 1) ≈ 124,26 km/h. Por tanto, la velocidad del viento es 300( p 2 − 1) km/h. ■ Problema 565 Un automóvil se dirige hacia el este a 60 km/h y otro hacia el norte a 80 km/h, partiendo simultáneamente desde el mismo punto. ¿Cuál es la distancia entre ambos después de 2 horas y con qué rapidez se separan en ese instante? Demostración. A tiempo t (en horas), las posiciones son (60t, 0) y (0, 80t). La distancia entre ellos es D(t) = q (60t)2 + (80t)2 = t Æ 602 + 802 = 100t. Razonamiento Lógico Matemático 491 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Para t = 2 h, D(2) = 200 km. La rapidez de separación es dD dt = 100 km/h, constante en el tiempo. En consecuencia, a las 2 horas están a 200 km y se separan en ese instante a 100 km/h. ■ Problema 566 Un estudiante recorre 5 km a pie a 5 km/h y luego continúa otros 15 km en bicicleta. Si el tiempo total del viaje es de 2 horas, halle la velocidad de la bicicleta. Demostración. El tiempo caminando es t1 = 5 5 = 1 h. Si  es la velocidad de la bicicleta (km/h), el tiempo en bicicleta para 15 km es t2 = 15  . Dado que el tiempo total es 2 h, se cumple t1 + t2 = 2 =⇒ 1 + 15  = 2 =⇒ 15  = 1 =⇒  = 15. Por lo tanto, la velocidad de la bicicleta es 15 km/h. ■ Problema 567 Dos autos parten simultáneamente de puntos A y B, separados 300 km en línea recta. El auto de A viaja hacia B a 80 km/h, mientras que el de B viaja perpendicularmente a la recta AB a 60 km/h. Determine la distancia mínima entre ellos y el instante en que ocurre. Demostración. Ubique A = (0, 0) y B = (300, 0). Para t horas, el auto de A está en (80t, 0) y el de B en (300, 60t). La distancia entre ellos es D(t) = q (300 − 80t)2 + (60t)2. Minimizar D equivale a minimizar D2 (t) = (300−80t)2 +(60t)2 = 90000− Helbert Justo Luque Zevallos 492 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES 48000t + 20000t2 . Derivando y anulando: d dt D2 (t) = −48000 + 40000t = 0 =⇒ t = 48000 40000 = 2,4 h. En ese instante, Dmı́n = q (300 − 80 · 2,4)2 + (60 · 2,4)2 = Æ 1082 + 1442 = p 32400 = 180 km. La distancia mínima es 180 km y ocurre a las 2,4 h. ■ Problema 568 Un tren de 200 m de longitud viaja a 72 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en cruzar un puente de 300 m? Además, si otro tren de 150 m viene en sen- tido contrario a 90 km/h, ¿en cuánto tiempo se cruzan completamente? Demostración. Convierta 72 km/h a m/s: 72 = 72 · 1000 3600 = 20 m/s. Para cruzar un puente, la distancia a recorrer es la suma de longitudes: 200 + 300 = 500 m. El tiempo es t = 500 20 = 25 s. Para dos trenes que se cruzan, la distancia relativa es 200 + 150 = 350 m. La velocidad relativa es 72 + 90 = 162 km/h = 162 · 1000 3600 = 45 m/s, así que t = 350 45 = 70 9 s ≈ 7,78 s. Por consiguiente, tarda 25 s en cruzar el puente y 70/9 s en cruzarse com- pletamente con el otro tren. ■ Razonamiento Lógico Matemático 493 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Problema 569 Dos ciclistas parten simultáneamente del mismo punto de una pista circu- lar de 400 m. El primero corre a 8 m/s y el segundo a 6 m/s, en la misma dirección. ¿Cada cuánto tiempo se encontrarán en el mismo punto de la pista? Demostración. La velocidad relativa es 8 − 6 = 2 m/s. Se encuentran en el mismo punto de la pista cuando la diferencia de recorridos es un múltiplo de 400 m. El primer encuentro ocurre al completar una vuelta relativa: t = 400 2 = 200 s. En t = 200 s, el primero recorre 8 · 200 = 1600 m y el segundo 6 · 200 = 1200 m, ambos múltiplos de 400, por lo que coinciden en el mismo punto de la pista. Así, se encontrarán cada 200 s. ■ Problema 570 Tres automóviles parten del mismo punto: A hacia el este a 90 km/h, B hacia el norte a 120 km/h y C hacia el oeste a 60 km/h. ¿Cuál será la distancia entre A y C cuando hayan transcurrido 2 horas y cuál será la distancia entre A y B en ese instante? Demostración. A las 2 horas, sus posiciones son: A = (180, 0) km, B = (0, 240) km y C = (−120, 0) km. La distancia entre A y C es la separación sobre el eje este-oeste: AC = |180 − (−120)| = 300 km. La distancia entre A y B es AB = q (180 − 0)2 + (0 − 240)2 = Æ 1802 + 2402 = p 90000 = 300 km. Helbert Justo Luque Zevallos 494 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES Por lo tanto, tras 2 horas, AC = 300 km y AB = 300 km. ■ 1.1.2. Problemas con costos y precios Problema 571 Una empresa produce dos artículos, A y B. El artículo A se vende a $120 con un costo variable de $70 por unidad, mientras que el artículo B se vende a $150 con un costo variable de $90 por unidad. Los costos fijos de la empresa son $30,000. Si la proporción de ventas es 3:2 a favor de A, determine el número de unidades de cada producto que deben venderse para alcanzar el punto de equilibrio. Demostración. Las contribuciones unitarias son mA = 120 − 70 = 50 y mB = 150 − 90 = 60. Con mezcla 3 : 2, cada paquete de 5 unidades (tres A y dos B) aporta mpaquete = 3 · 50 + 2 · 60 = 270. El número de paquetes de equilibrio es n = 30000 270 = 111.1. En términos exactos, el equilibrio ocurre con 3n = 333.3 unidades de A y 2n = 222.2 de B. Si se requieren cantidades enteras respetando la mezcla, el mínimo es 112 paquetes: A = 336 y B = 224, cuya contribución 112 · 270 = 30240 cubre los costos fijos. Por lo tanto, en la práctica se necesitan 336 unidades de A y 224 de B. ■ Problema 572 Un fabricante vende un producto a $200, con un costo variable de $120 por unidad y costos fijos de $8,000. Si se aplica un descuento del 15 % en el precio de venta y se desea obtener un beneficio neto de $12,000, Razonamiento Lógico Matemático 495 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA determine el número mínimo de unidades que deben venderse. Demostración. El nuevo precio es 200(1 − 0,15) = 170 y la contribución unitaria es 170 − 120 = 50. Para lograr un beneficio de 12000 se requiere contribución total de 8000 + 12000 = 20000, por lo que q = 20000 50 = 400. Se deben vender al menos 400 unidades para alcanzar el beneficio deseado. ■ Problema 573 Una empresa produce un máximo de 500 unidades al mes. El precio de venta por unidad es de $80, el costo variable unitario es de $40 y los costos fijos ascienden a $10,000. Determine cuál es el beneficio máximo posible y cuántas unidades deben producirse y venderse para alcanzarlo. Demostración. El beneficio para una producción q ≤ 500 es π(q) = (80 − 40)q − 10000 = 40q − 10000, función lineal creciente en q. El máximo bajo la restricción se logra en q = 500: πm́x = 40 · 500 − 10000 = 10000. El beneficio máximo es 10000 y se alcanza produciendo y vendiendo 500 unidades. ■ Problema 574 Un producto puede venderse a dos precios distintos: $100 con una de- manda proyectada de 500 unidades, o $90 con una demanda de 700 unidades. El costo fijo es de $20,000 y el costo variable por unidad es de Helbert Justo Luque Zevallos 496 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES $50. Determine en qué escenario se obtiene mayor beneficio y cuál debe elegirse. Demostración. Para P = 100, la contribución unitaria es 50 y el beneficio π1 = 50 · 500 − 20000 = 5000. Para P = 90, la contribución unitaria es 40 y el beneficio π2 = 40 · 700 − 20000 = 8000. Como π2 π1, conviene el precio 90 con 700 unidades, que genera un beneficio de 8000. ■ Problema 575 La demanda de un producto está dada por la función lineal q(p) = 1, 000−5p, donde p es el precio por unidad. El costo fijo es de $15,000 y el costo variable unitario es de $20. Determine el precio p que maximi- za el beneficio y calcule dicho beneficio máximo. Demostración. El ingreso es R(p) = p(1000 − 5p) = 1000p − 5p2 y el costo C(p) = 15000 + 20(1000 − 5p) = 35000 − 100p. El beneficio (p) = R(p) − C(p) = 1100p − 5p2 − 35000 es cuadrática cóncava, cuyo máximo satisface d dp = 1100 − 10p = 0, de donde p∗ = 110. Entonces (p∗ ) = 1100 · 110 − 5 · 1102 − 35000 = 25500. El precio que maximiza el beneficio es p = 110 y el beneficio máximo es Razonamiento Lógico Matemático 497 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA 25500. ■ Problema 576 Una fábrica presenta un costo variable unitario que aumenta con la pro- ducción según la fórmula c(q) = 30 + 0,02q, donde q es la cantidad producida. El precio de venta por unidad es de $80 y los costos fijos as- cienden a $25,000. Determine la cantidad de producción que maximiza el beneficio y el valor del beneficio máximo. Demostración. El costo variable total es CV(q) = q c(q) = q(30+0,02q) = 30q + 0,02q2 . El ingreso es (q) = 80q. El beneficio es π(q) = (q) − CV(q) − 25000 = −0,02q2 + 50q − 25000, cuadrática cóncava. El máximo se obtiene con π′ (q) = −0,04q + 50 = 0, de donde q∗ = 50 0,04 = 1250. El beneficio máximo es π(q∗ ) = −0,02(1250)2 +50·1250−25000 = −31250+62500−25000 = 6250. La producción que maximiza el beneficio es q∗ = 1250 unidades y el bene- ficio máximo es $6,250. ■ Problema 577 Una empresa vende un producto a $50 por unidad, con costos fijos de $12,000 y costos variables de $35 por unidad. Si en un mes solo logra vender 600 unidades, determine si obtiene beneficio o pérdida y calcule el monto exacto. Demostración. La contribución unitaria es 50 − 35 = 15. Con 600 unida- des, la contribución total es 15 · 600 = 9000. El beneficio es π = 9000 − 12000 = −3000. Helbert Justo Luque Zevallos 498 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES Se obtiene una pérdida de $3,000. ■ Problema 578 Una compañía produce un artículo que se vende a $250. El costo fijo mensual es de $40,000 y el costo variable por unidad es de $150. De- termine el margen de contribución por unidad, el número de unidades necesarias para el punto de equilibrio y la cantidad de ventas necesarias para obtener un beneficio de $20,000. Demostración. El margen de contribución por unidad es 250− 150 = 100. El punto de equilibrio en unidades es qpe = 40000 100 = 400. Para un beneficio de $20,000 se requiere una contribución total de 40000 + 20000 = 60000, por lo que q = 60000 100 = 600. Con 600 unidades, el ingreso de ventas es 250·600 = 150000. Por tanto: margen $100 por unidad, equilibrio a 400 unidades y para $20,000 de bene- ficio se necesitan 600 unidades (ventas $150,000). ■ Problema 579 Una empresa analiza dos proyectos: ✿ Proyecto A: costos fijos $50,000, costo variable por unidad $60, precio de venta $100. ✿ Proyecto B: costos fijos $80,000, costo variable por unidad $40, precio de venta $90. Determine a partir de qué cantidad de ventas conviene elegir el Proyecto B en lugar del Proyecto A. Razonamiento Lógico Matemático 499 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Demostración. Los beneficios en función de q son πA(q) = (100 − 60)q − 50000 = 40q − 50000, πB(q) = (90 − 40)q − 80000 = 50q − 80000. Conviene B cuando πB(q) ≥ πA(q): 50q − 80000 ≥ 40q − 50000 =⇒ 10q ≥ 30000 =⇒ q ≥ 3000. A partir de 3000 unidades (inclusive) conviene el Proyecto B; con menos de 3000 conviene el A. ■ Problema 580 La demanda de un producto sigue la relación q = 2, 000 − 10p, con p el precio por unidad. Los costos fijos ascienden a $50,000 y el costo variable unitario es de $20. Encuentre el precio de venta que maximiza el beneficio y calcule dicho beneficio. Demostración. El ingreso es R(p) = p(2000 − 10p) = 2000p − 10p2 . El costo total es C(p) = 50000 + 20(2000 − 10p) = 90000 − 200p. El beneficio es (p) = R(p) − C(p) = −10p2 + 2200p − 90000, cuadrática cóncava. El máximo satisface d dp = −20p + 2200 = 0, dando p∗ = 110. El beneficio máximo es (p∗ ) = −10(110)2 +2200·110−90000 = −121000+242000−90000 = 31000. El precio óptimo es p∗ = 110 y el beneficio máximo es $31,000. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 500 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA 1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA 1.2. Resolución gráfica 1.2.1. Gráficas de ecuaciones de primer grado Problema 581 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y tiene pen- diente m = − 3 4 . Grafíquela e indique sus intersecciones con los ejes coordenados. Demostración. Utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la rec- ta: y − y1 = m( − 1) Sustituyendo el punto (2, 5) y la pendiente m = − 3 4 : y − 5 = − 3 4 ( − 2) Desarrollando: y − 5 = − 3 4  + 3 2 y = − 3 4  + 3 2 + 5 y = − 3 4  + 13 2 Para hallar la intersección con el eje  (donde y = 0): 0 = − 3 4  + 13 2 3 4  = 13 2  = 13 2 · 4 3 = 26 3 Intersección con eje : € 26 3 , 0 Š Razonamiento Lógico Matemático 501 Helbert Justo Luque Zevallos
1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Para hallar la intersección con el eje y (donde  = 0): y = − 3 4 (0) + 13 2 = 13 2 Intersección con eje y: € 0, 13 2 Š  y (2, 5) ( 26 3 , 0) (0, 13 2 ) 2 4 6 8 2 4 6 Por lo tanto, la ecuación de la recta es y = − 3 4  + 13 2 , con intersecciones en € 26 3 , 0 Š y € 0, 13 2 Š . ■ Problema 582 Determine la ecuación de la recta paralela a y = 2 − 3 que pasa por el punto (4, 1). Justifique algebraicamente y represente gráficamente. Demostración. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendien- te. La recta dada y = 2 − 3 tiene pendiente m = 2. Por lo tanto, la recta buscada también tiene pendiente m = 2 y pasa por el punto (4, 1). Usando la forma punto-pendiente: y − 1 = 2( − 4) y − 1 = 2 − 8 Helbert Justo Luque Zevallos 502 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA 1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA y = 2 − 7 Verificación algebraica: Ambas rectas tienen la forma y = 2 + b, con b1 = −3 y b2 = −7. Como las pendientes son iguales (m1 = m2 = 2) y los interceptos diferentes (b1 ̸= b2), las rectas son paralelas.  y y = 2 − 3 y = 2 − 7 (4, 1) 2 4 −2 2 4 La ecuación de la recta paralela es y = 2 − 7. ■ Problema 583 Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a 3 − 4y + 12 = 0 que pasa por el punto (2, −1). Verifique que el producto de pendientes es −1. Demostración. Primero, encontramos la pendiente de la recta dada. Reescri- bimos 3 − 4y + 12 = 0 en la forma pendiente-ordenada: −4y = −3 − 12 y = 3 4  + 3 La pendiente de la recta dada es m1 = 3 4 . Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes Razonamiento Lógico Matemático 503 Helbert Justo Luque Zevallos
1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA debe ser −1: m1 · m2 = −1 3 4 · m2 = −1 m2 = − 4 3 Usando la forma punto-pendiente con el punto (2, −1) y pendiente m2 = − 4 3 : y − (−1) = − 4 3 ( − 2) y + 1 = − 4 3  + 8 3 y = − 4 3  + 8 3 − 1 y = − 4 3  + 5 3 Verificación: m1 · m2 = 3 4 · € − 4 3 Š = − 12 12 = −1 ✓  y 3 − 4y + 12 = 0 y = − 4 3  + 5 3 (2, −1) −4 −2 2 4 2 4 6 Helbert Justo Luque Zevallos 504 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA 1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA La ecuación de la recta perpendicular es y = − 4 3  + 5 3 . ■ Problema 584 Calcule el punto de intersección de las rectas y = 1 2 +1 y y = −2+5. Represéntelas en el plano cartesiano e interprete geométricamente el resultado. Demostración. Para hallar el punto de intersección, igualamos las dos ecua- ciones: 1 2  + 1 = −2 + 5 Multiplicando por 2 para eliminar fracciones:  + 2 = −4 + 10  + 4 = 10 − 2 5 = 8  = 8 5 Sustituyendo en la primera ecuación: y = 1 2 · 8 5 + 1 = 4 5 + 1 = 9 5 Verificación en la segunda ecuación: y = −2 · 8 5 + 5 = − 16 5 + 25 5 = 9 5 ✓ Razonamiento Lógico Matemático 505 Helbert Justo Luque Zevallos
Parte IV Razonamiento Geométrico Razonamiento Lógico Matemático 671 Helbert Justo Luque Zevallos
Capítulo 13 Proporcionalidad y Semejanza 1.1. Teorema de Tales 1.1.1. Aplicación en triángulos Problema 741 Demuestre que en un triángulo isósceles la altura relativa a la base coin- cide con la mediana y la bisectriz, y utilice esta propiedad para calcular la altura en un triángulo isósceles de lados , , b. Demostración. Sea △ABC isósceles con AB = AC =  y base BC = b. Trace desde A la altura AD a la base BC, de modo que AD ⊥ BC en D. Entonces los triángulos rectángulos △ABD y △ACD tienen AB = AC y com- parten AD; además BD = DC si y solo si son congruentes. Por el criterio LAL (lado–ángulo recto–lado), △ABD ∼ = △ACD. De la congruencia se deduce BD = DC (luego AD es mediana) y ∠BAD = ∠DAC (luego AD es bisectriz). Para la altura, por Pitágoras en △ABD, AD = Æ AB2 − BD2 = v u t 2 − b 2 2 . Concluimos que en un triángulo isósceles la altura a la base es simultánea- mente mediana y bisectriz, y su longitud vale h = r 2 − b2 4 . ■ Problema 742 En un triángulo rectángulo de catetos  y b, halle las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa c y demuestre que h2 = m · n. Demostración. Sea △ABC rectángulo en A, con BC = c, AB = c1 = , Razonamiento Lógico Matemático 673 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TEOREMA DE TALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA AC = c2 = b. Trace la altura AH = h a BC con pie H, y denote BH = m, HC = n; entonces m + n = c. Por semejanza de triángulos (Teorema de las alturas en el rectángulo), △ABC ∼ △ABH ∼ △AHC. De la semejanza se obtiene AB BC = BH AB ⇒ 2 = c m, AC BC = HC AC ⇒ b2 = c n. Además, △AHB ∼ △AHC ⇒ AH BH = HC AH ⇒ h2 = mn. Por tanto, las proyecciones cumplen m = 2 c , n = b2 c y h2 = mn. ■ Problema 743 Sea △ABC con AB = 10, AC = 14. Una ceviana desde A corta al lado BC en D de modo que BD : DC = 2 : 3. Utilizando semejanza de triángulos, determine la longitud de AD si BC = 12. Demostración. Del cociente BD : DC = 2 : 3 y BC = 12 se obtiene BD = 2 5 · 12 = 24 5 y DC = 3 5 · 12 = 36 5 . Denote b = AC = 14, c = AB = 10,  = BC = 12, m = BD = 24 5 , n = DC = 36 5 . Por el teorema de Stewart (derivable de semejanza y ley de cosenos), b2 n + c2 m =  AD2 + mn . Despejando, AD2 = b2n + c2m  −mn = 196 · 36 5 + 100 · 24 5 12 − 24 5 · 36 5 = 9456 60 − 864 25 = 3076 25 . Helbert Justo Luque Zevallos 674 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES Por tanto, AD = p 3076 5 = 2 p 769 5 ≈ 11,09. ■ Problema 744 Demuestre que en cualquier triángulo △ABC, la altura h relativa al lado  puede expresarse como h = b sin C = c sin B utilizando semejanza de triángulos. Demostración. Sea h la altura desde A al lado BC = , con pie H. Los triángulos rectángulos △ABH y △ACH son semejantes, respectivamente, a △ABC (comparten ángulos B y C). En △ABH se tiene sin B = h c ⇒ h = c sin B, y en △ACH, sin C = h b ⇒ h = b sin C. Luego h = b sin C = c sin B, como se quería. ■ Problema 745 Sea △ABC con AB = 8, AC = 6 y bisectriz del ángulo A cortando a BC en D. Demuestre que BD DC = AB AC y calcule BD y DC si BC = 10. Demostración. Trace por A la bisectriz que corta a BC en D. Considere los triángulos △ABD y △ADC: comparten el ángulo en A que ha sido bisecado, de modo que ∠BAD = ∠DAC, y comparten el ángulo en D al ser adyacentes sobre la recta BC; por semejanza (AAA) se deduce BD DC = AB AC . Razonamiento Lógico Matemático 675 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TEOREMA DE TALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Con AB = 8, AC = 6, resulta BD DC = 8 6 = 4 3 . Además, BD+DC = BC = 10, por lo que BD = 4 7 · 10 = 40 7 , DC = 3 7 · 10 = 30 7 . Así, la razón de segmentos coincide con la razón de lados adyacentes, y los valores son BD = 40 7 y DC = 30 7 . ■ Problema 746 En un triángulo equilátero de lado , determine el punto interior P que minimiza el área del triángulo APB y justifique la solución mediante se- mejanza. Demostración. Sea h la altura del triángulo equilátero y sea d(P, AB) la dis- tancia de P a la recta que contiene AB. Para cualquier punto interior P, [APB] = 1 2 AB · d(P, AB) =  2 d(P, AB). Considérese el triángulo rectángulo formado por la altura y la paralela por P al lado AB; por semejanza de triángulos rectángulos, d(P, AB) es proporcio- nal a la “profundidad” de P hacia el interior medida sobre la altura. Por ser d(P, AB) 0 para puntos estrictamente interiores y poder hacerse tan pe- queño como se quiera acercando P a AB, se concluye que [APB] no alcanza un mínimo positivo en el interior: su ínfimo es 0, aproximable con P tendien- do a AB. En consecuencia, no existe punto interior que minimice [APB]; el ínfimo 0 se logra sólo en el borde AB. ■ Problema 747 Demuestre que el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con cada lado de un triángulo divide dicho lado en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. Demostración. Sea △ABC y su circunferencia inscrita de centro  tangente a Helbert Justo Luque Zevallos 676 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES BC, CA, AB en D, E, F, respectivamente. Por propiedad de tangentes desde un punto, BF = BA − AB ∩ tangencia = s − b y AF = s − , donde s es el semiperímetro; análogamente, CE = s − c, AE = s − , BD = s − b, DC = s − c. Consideremos los triángulos rectángulos △BF y △CF; ambos comparten el ángulo en  y son rectángulos, luego son semejantes, lo que preserva las razones de proyecciones sobre AB y AC. En particular, BD DC = s − b s − c = AB AC , CE EA = s − c s −  = BC BA , AF FB = s −  s − b = CA CB . Así, cada punto de tangencia divide el lado en la razón de los lados adyacen- tes. ■ Problema 748 Use la semejanza de triángulos para demostrar el teorema de Menelao en un triángulo △ABC cortado por una transversal que intersecta a los lados (o sus prolongaciones). Demostración. Sea una transversal que intersecta AB, BC, CA en P, Q, R, respectivamente (admitiendo intersecciones en prolongaciones). Traza por A una paralela a la transversal que corte las rectas BP y CQ en P′ , Q′ . Por construcción, △ABP ∼ △AP′ B y △BCQ ∼ △CQ′ B, por lo que AP PB = AP′ P′B , BQ QC = BQ′ Q′C . Análogamente, usando la tercera pareja con CR y AR, se obtiene una tercera razón semejante. Como P′ Q′ es paralela a la transversal, los triángulos AP′ Q′ y ARQ son semejantes, lo que relaciona los cocientes anteriores y conduce a AP PB · BQ QC · CR RA = 1, que es la identidad de Menelao (con el signo adecuado si algunas interseccio- Razonamiento Lógico Matemático 677 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TEOREMA DE TALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA nes están en prolongaciones). La deducción se apoya únicamente en seme- janza de triángulos originada por trazos paralelos. ■ Problema 749 Demuestre que en un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hi- potenusa es igual a la mitad de la hipotenusa, utilizando semejanza de triángulos. Demostración. Sea △ABC rectángulo en A, hipotenusa BC = c, y M el punto medio de BC. Considérese los triángulos △ABM y △CBM: comparten el ángulo en B y tienen ∠AMB = ∠CMB por ser adyacentes en la recta BC; además, ∠ABM = ∠CBM por construcción de M. Más directo: los triángulos △ABC y △AMB son semejantes (ángulo recto en A y ángulo en B común), por lo que AM AB = MB BC . Como MB = c 2 y AB es un cateto de △ABC, análogamente con la semejanza △ABC ∼ △AMC se obtiene la misma razón usando el ángulo en C. Combi- nando, resulta AM = c 2 . Por tanto, la mediana a la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa. ■ Problema 750 Un poste de 12 m proyecta una sombra de 8 m en el mismo instante en que un árbol proyecta una sombra de 20 m. Usando semejanza de triángulos, determine la altura del árbol. Demostración. Los triángulos formados por altura y sombra del poste y del árbol son semejantes (mismo ángulo solar de elevación). Si H es la altura del árbol, entonces H 20 = 12 8 =⇒ H = 20 · 12 8 = 30. Helbert Justo Luque Zevallos 678 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES La altura del árbol es 30 metros. ■ 1.1.2. Aplicación en sombras y escalas Problema 751 Un poste de 2,5 m proyecta una sombra de 3,2 m al mismo tiempo que una torre proyecta una sombra de 28,8 m. Calcule la altura de la torre usando semejanza de triángulos. Demostración. En un mismo instante el ángulo solar es el mismo, por lo que los triángulos semejantes dan la proporción altura de la torre 28,8 = 2,5 3,2 . Así, H = 28,8 · 2,5 3,2 = 28,8 · 25 32 = 720 32 = 22,5. La torre mide 22,5 m. ■ Problema 752 Un edificio de h metros proyecta una sombra de 12 m cuando el ángulo de elevación del sol es θ. Exprese h en función de θ y determine su valor si θ = 60◦ . Demostración. Por trigonometría en el triángulo rectángulo formado por la altura y la sombra, tn θ = h 12 =⇒ h = 12 tn θ. Para θ = 60◦ , tn 60◦ = p 3, luego h = 12 p 3 ≈ 20,7846 m. ■ Razonamiento Lógico Matemático 679 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TEOREMA DE TALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 753 En un plano a escala 1 : 25, 000, la distancia entre dos ciudades es de 12 cm. Determine la distancia real en kilómetros y calcule cuánto mediría un lago de área 36 cm2 en la realidad. Demostración. Cada centímetro en el plano representa 25,000 cm reales. La distancia real es 12 · 25,000 = 300,000 cm = 3,000 m = 3 km. El factor de escala de áreas es (25,000)2 . Así, el área real del lago es 36 · (25,000)2 = 36 · 625,000,000 = 22,500,000,000 cm2 . Como 1 km2 = 1010 cm2 , se obtiene 22,500,000,000 cm2 = 2,25 km2 . La distancia real es 3 km y el área real es 2,25 km2 . ■ Problema 754 Un árbol y un poste vertical proyectan sombras al mismo tiempo. El ár- bol mide 15 m y su sombra 20 m, mientras que el poste proyecta una sombra de 4,8 m. Determine la altura del poste. Demostración. Por semejanza, la razón altura/sombra es constante: altura del poste 4,8 = 15 20 = 3 4 . Entonces H = 3 4 · 4,8 = 3,6 m. Helbert Justo Luque Zevallos 680 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES La altura del poste es 3,6 m. ■ Problema 755 Una maqueta de un edificio se realiza a escala 1 : 40. Si el edificio real mide 80 m de altura y tiene un volumen de 25, 600 m3 , determine la altura y el volumen de la maqueta. Demostración. La escala lineal es 1/40. La altura de la maqueta es hmaqueta = 80 40 = 2 m. El factor de escala volumétrico es (1/40)3 = 1/64,000. Por tanto, Vmaqueta = 25,600 64,000 = 0,4 m3 . La maqueta tiene 2 m de altura y volumen 0,4 m3 . ■ Problema 756 Una torre y un mástil proyectan sombras de 24 m y 6 m, respectivamen- te. Si el mástil mide 4,5 m, determine la altura de la torre. Verifique el resultado aplicando semejanza de triángulos. Demostración. En el mismo instante el ángulo solar es común, por lo que los triángulos rectángulos (altura–sombra) son semejantes y se conserva la razón altura/sombra: Htorre 24 = 4,5 6 . Despejando, Htorre = 24 · 4,5 6 = 24 · 3 4 = 18. Por semejanza la proporción se cumple en ambos triángulos, confirmando que la torre mide 18 m. ■ Razonamiento Lógico Matemático 681 Helbert Justo Luque Zevallos
1.1. TEOREMA DE TALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 757 Un mapa tiene escala 1 : 150, 000. Un río mide 7,5 cm en el mapa. Determine la longitud real del río en kilómetros. Si en otro mapa aparece con escala 1 : 100, 000, ¿cuánto mediría en ese nuevo mapa? Demostración. La escala 1 : 150,000 implica 1 cm en el mapa ↔ 150,000 cm reales. Entonces Lreal = 7,5 × 150,000 = 1,125,000 cm = 11,250 m = 11,25 km. En una escala 1 : 100,000, la longitud en el mapa es la real en centímetros dividida entre 100,000: Lmapa nuevo = 1,125,000 100,000 = 11,25 cm. Por tanto, la longitud real es 11,25 km y en el nuevo mapa mediría 11,25 cm. ■ Problema 758 Un poste de 3 m proyecta una sombra de 2,4 m. Al mismo tiempo, un árbol proyecta una sombra de 18 m. Calcule la altura del árbol. Luego determine la longitud de la sombra del árbol si el poste proyectara 4 m de sombra bajo otro ángulo solar. Demostración. Con el mismo ángulo solar, la razón altura/sombra es cons- tante: Hárbol 18 = 3 2,4 = 5 4 =⇒ Hárbol = 18 · 5 4 = 22,5 m. Si cambia el ángulo y el poste proyecta 4 m, la nueva razón es 3 4 . En ese Helbert Justo Luque Zevallos 682 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES instante la sombra del árbol s satisface 22,5 s = 3 4 =⇒ s = 22,5 · 4 3 = 30 m. Así, el árbol mide 22,5 m y su sombra sería 30 m bajo el nuevo ángulo solar. ■ Problema 759 Una maqueta de un puente tiene un área de tablero de 0,48 m2 y fue construida a escala 1 : 120. Determine el área real del tablero y el volumen aproximado del puente si la altura media es de 6 m. Demostración. El factor de escala de áreas es 1202 = 14,400. Luego el área real es Areal = 0,48 × 14,400 = 6,912 m2 . Aproximando el volumen como base por altura media, V ≈ Areal · 6 = 6,912 × 6 = 41,472 m3 . El tablero real tiene 6,912 m2 y el volumen aproximado es 41,472 m3 . ■ Problema 760 Un obelisco proyecta una sombra de 45 m. En el mismo instante, un poste de 2 m proyecta una sombra de 1,5 m. Determine la altura del obelisco. Luego represente en un plano a escala 1 : 500 la altura del obelisco y la longitud de su sombra. Demostración. Por semejanza, Hobelisco 45 = 2 1,5 = 4 3 =⇒ Hobelisco = 45 · 4 3 = 60 m. En escala 1 : 500, una longitud L se representa como L/500 en metros del Razonamiento Lógico Matemático 683 Helbert Justo Luque Zevallos
1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA plano. Por tanto, altura en el plano = 60 500 = 0,12 m = 12 cm, sombra en el plano = 45 500 = 0,09 m = 9 cm. El obelisco mide 60 m; en el plano a 1:500 se representan 12 cm de altura y 9 cm de sombra. ■ 1.2. Criterios de semejanza 1.2.1. Aplicación en mapas y diseños Problema 761 En un mapa a escala 1 : 200, 000, la distancia entre dos ciudades es de 7,5 cm. Determine la distancia real en kilómetros. Luego, exprese la misma distancia en un mapa a escala 1 : 50, 000 y calcule cuántos centímetros ocuparía. Demostración. A escala 1 : 200,000, cada centímetro del mapa representa 200,000 cm reales. Por tanto, la distancia real es 7,5 × 200,000 = 1,500,000 cm = 15,000 m = 15 km. En un mapa a escala 1 : 50,000, la longitud representada es la distancia real en centímetros dividida entre 50,000: 1,500,000 50,000 = 30 cm. La distancia real es 15 km y, a escala 1 : 50,000, ocuparía 30 cm en el mapa. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 684 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA Problema 762 Un plano de una vivienda fue elaborado a escala 1 : 100, pero se ne- cesita reescalarlo a 1 : 50. Si una pared mide 8 cm en el plano original, ¿cuánto medirá en el plano ampliado? ¿Cuál será la relación entre las áreas de las dos representaciones? Demostración. Sea L la longitud real de la pared. En 1 : 100 se representa como L/100 = 8 cm, luego L = 800 cm. En 1 : 50 la longitud dibujada es L/50 = 800/50 = 16 cm. El factor lineal de ampliación es 2, por lo que las áreas se escalan con el cuadrado del factor: 22 = 4. Así, la pared medirá 16 cm en el plano 1 : 50 y el área en el plano ampliado es 4 veces la del original. ■ Problema 763 En un mapa a escala 1 : 250, 000, un lago ocupa un área de 12 cm2 . Determine el área real en kilómetros cuadrados. Luego, calcule cuál sería el área representada en un mapa a escala 1 : 100, 000. Demostración. El factor de escala de áreas es (250,000)2 . El área real es Areal = 12·(250,000)2 = 12·62,500,000,000 = 750,000,000,000 cm2 . Como 1 km2 = 1010 cm2 , se obtiene Areal = 7,5 × 1011 1010 = 75 km2 . A escala 1 : 100,000, el área dibujada es Areal dividido entre (100,000)2 = 1010 : Amapa = 7,5 × 1011 cm2 1010 = 75 cm2 . El área real es 75 km2 y, a escala 1 : 100,000, se representaría con 75 cm2 . ■ Razonamiento Lógico Matemático 685 Helbert Justo Luque Zevallos
1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 764 Un parque rectangular de dimensiones reales 120 × 80 metros debe ser representado en un plano a escala 1 : 500. Determine las dimen- siones en el plano. Si se desea realizar un segundo plano más detallado a escala 1 : 200, ¿qué dimensiones tendría en este nuevo plano? Demostración. A escala 1 : 500, las dimensiones representadas son 120 500 = 0,24 m = 24 cm, 80 500 = 0,16 m = 16 cm. A escala 1 : 200, las dimensiones son 120 200 = 0,6 m = 60 cm, 80 200 = 0,4 m = 40 cm. Por tanto, el plano 1 : 500 muestra 24 cm × 16 cm y el plano 1 : 200 muestra 60 cm × 40 cm. ■ Problema 765 Una maqueta de un tanque cilíndrico se construye a escala 1 : 25. Si el tanque real tiene un volumen de 490 π m3 , determine el volumen de la maqueta. ¿Qué relación existe entre los volúmenes del modelo y del tanque real? Demostración. El factor de escala volumétrico es el cubo del factor lineal: (1/25)3 = 1/15625. Por tanto, Vmaqueta = 490π 15625 = 98π 3125 m3 . La relación entre volúmenes es Vmaqueta/Vreal = (1/25)3 . ■ Helbert Justo Luque Zevallos 686 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA Problema 766 En un mapa topográfico a escala 1 : 50, 000, la distancia horizontal entre dos curvas de nivel consecutivas es de 2 cm, representando una diferencia de altura de 20 metros. Determine la pendiente real del te- rreno en porcentaje. Demostración. La distancia horizontal real entre curvas es 2 cm × 50,000 = 100,000 cm = 1,000 m. La pendiente en porcentaje es pendiente ( %) = Δh Δ · 100 = 20 1,000 · 100 = 2 %. La pendiente real es 2 %. ■ Problema 767 Un ingeniero civil diseña una curva de carretera con radio real de 400 metros. Si el plano se dibuja a escala 1 : 2, 000, determine el radio de la curva en el plano en centímetros. ¿Cómo cambiaría el radio en el plano si se emplea una escala 1 : 500? Demostración. En 1 : 2,000, el radio dibujado es 400 m 2,000 = 0,2 m = 20 cm. En 1 : 500, el radio dibujado es 400 m 500 = 0,8 m = 80 cm. Por tanto, a 1:2,000 el radio en el plano es 20 cm y a 1:500 es 80 cm. ■ Razonamiento Lógico Matemático 687 Helbert Justo Luque Zevallos
1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 768 Una parcela agrícola tiene forma cuadrada y un área real de 9 hectáreas. Determine la longitud de cada lado en un plano a escala 1 : 10, 000. Luego, represente el área en centímetros cuadrados dentro del plano. Demostración. Como 1 ha = 10,000 m2 , el área real es 9 × 10,000 = 90,000 m2 . El lado real es p 90,000 = 300 m. A escala 1:10,000, el lado dibujado es 300 m 10,000 = 0,03 m = 3 cm. El área en el plano es 3 cm × 3 cm = 9 cm2 . ■ Problema 769 En un mapa a escala 1 : 100, 000, la carretera entre dos pueblos mi- de 12 cm. En otro mapa a escala 1 : 250, 000, la misma carretera aparece con otra medida. Determine cuál es la longitud en cada mapa y explique la diferencia en representación. Demostración. La distancia real es 12 cm × 100,000 = 1,200,000 cm = 12,000 m = 12 km. En el mapa 1:250,000, la longitud dibujada correspondiente es 1,200,000 cm 250,000 = 4,8 cm. Así, la carretera mide 12 cm en 1:100,000 y 4,8 cm en 1:250,000; una escala con denominador mayor representa la misma distancia con menor lon- Helbert Justo Luque Zevallos 688 Razonamiento Lógico Matemático
CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA gitud en el papel. ■ Problema 770 Un arquitecto elabora una maqueta tridimensional de un edificio cúbico de 30 metros de lado, a escala 1 : 150. Calcule: 1. La longitud de los lados en la maqueta. 2. El área superficial de la maqueta. 3. El volumen de la maqueta. Compare con las magnitudes reales y verifique la proporcionalidad de k, k2 y k3 . Demostración. Sea k = 1/150 el factor lineal. (1) Lado en maqueta: 30 m · k = 30 150 = 0,2 m = 20 cm. (2) Área superficial real = 6 · 302 = 5,400 m2 , Amaqueta = 5,400 · k2 = 5,400 · 1 1502 = 0,24 m2 . (3) Volumen real = 303 = 27,000 m3 , Vmaqueta = 27,000 · k3 = 27,000 · 1 1503 = 0,008 m3 . Se verifica la proporcionalidad: longitudes ∝ k, áreas ∝ k2 y volúmenes ∝ k3 . ■ 1.2.2. Proporciones en figuras geométricas Problema 771 Dos prismas rectos semejantes tienen alturas de 12 cm y 30 cm. Si el volumen del prisma menor es 864 cm3 , determine el volumen del prisma mayor. Demostración. En sólidos semejantes, toda longitud escala por un factor k y Razonamiento Lógico Matemático 689 Helbert Justo Luque Zevallos
1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA los volúmenes por k3 . Con alturas 12 y 30, k = 30 12 = 5 2 . Entonces Vmayor = Vmenor·k3 = 864 5 2 3 = 864· 125 8 = 108·125 = 1,687,5 cm3 . El volumen del prisma mayor es 1,687,5 cm3 . ■ Problema 772 Dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes en la razón 3 : 5. Si el área del triángulo menor es 54 cm2 , calcule el área del triángulo mayor. Demostración. Si la razón lineal es 3 : 5, la razón de áreas es (3 : 5)2 = 9 : 25. Por tanto, Amayor = 54 · 25 9 = 6 · 25 = 150 cm2 . El triángulo mayor tiene área 150 cm2 . ■ Problema 773 Dos cilindros son semejantes con razón de semejanza k = 4 3 . Si el área superficial del cilindro menor es 135π cm2 , halle el área superficial del cilindro mayor. Demostración. Para sólidos semejantes, las áreas escalan por k2 . Así, Amayor = 135π 4 3 2 = 135π · 16 9 = 15 · 16 π = 240π cm2 . El área superficial del cilindro mayor es 240π cm2 . ■ Helbert Justo Luque Zevallos 690 Razonamiento Lógico Matemático
1.7. RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO PLANO Y ESPACIAL por dos semicírculos que se cortan con ángulo en el centro igual al ángulo del triángulo). El área de un lunes de ángulo central θ es 2θR2 . La unión de los tres lunes cubre dos veces el triángulo y el resto de la esfera exactamente una vez, por lo que 2(α + β + γ)R2 = 4πR2 + 2 Area(△ABC). Dividiendo por 2R2 se obtiene α + β + γ = π + Area(△ABC) R2 . Así, la suma de los ángulos excede π y el exceso angular E = α + β + γ − π satisface E = Area/R2 (teorema de Girard). ■ Problema 1000 Prueba que toda isometría del plano es una traslación, una rotación, una reflexión o una simetría deslizante. Demostración. Toda isometría del plano euclídeo es composición de a lo su- mo tres reflexiones respecto de rectas. Si la composición tiene un número par de reflexiones, resulta una orientación preservada: dos reflexiones respecto de rectas concurrentes equivalen a una rotación (doble del ángulo entre rectas) y dos respecto de rectas paralelas equivalen a una traslación (doble del vector perpendicular entre rectas). Si el número es impar, se invierte la orientación: una reflexión simple es una reflexión axial; la composición de una reflexión y una traslación a lo largo de la dirección del eje produce una simetría deslizan- te, que no es reducible a rotación ni a reflexión sola. Como estas posibilidades agotan los casos según la paridad y la posición relativa de los ejes, toda iso- metría es una traslación, rotación, reflexión o simetría deslizante. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 832 Razonamiento Lógico Matemático
Razonamiento Lógico-Matemático Helbert Justo Luque Zevallos 2025 Primera Edición 1 Serie: Mil Ejercicios de Matemática Kindle • Matemáticas Básicas • Razonamiento Lógico-Matemático • Análisis Matemático I • Álgebra • Estadı́stica y Teorı́a de Probabilidades • Análisis II • Álgebra Lineal I • Inferencia Estadı́stica • Análisis Real I • Análisis Numérico • Álgebra Lineal II • Estructuras Algebraicas • Topologı́a • Análisis Real II • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias • Optimización Lineal • Ecuaciones Diferenciales Parciales • Introducción a la Geometrı́a Hiperbólica • Teorı́a de Galois • Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferen- ciales • Medida e Integración • Optimización No Lineal • Teorı́a Cualitativa • Análisis Funcional • Geometrı́a Diferencial I • Introducción a la Topologı́a Algebraica • Variedades Diferenciables • Introducción a Métodos Variacionales para Ecuaciones Diferenciales • Introducción a la Topologı́a Diferencial • Superficies Mı́nimas I • Geometrı́a Diferencial II • Introducción al Método de Elementos Finitos • Introducción a la Geometrı́a de Formas Difer- enciales

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  • 2.
    Título original: 1000 PROBLEMASDE RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Lógica, Aritmética, Álgebra y Geometría con soluciones paso a paso Autor: Luque Zevallos Helbert Justo Editor independiente: Luque Zevallos Helbert Justo Coop. Vista Alegre E-2, Alto Selva Alegre, Arequipa, Perú Publicado a través de amazon.com Disponible en https://www.amazon.es Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra DERECHOS RESERVADOS N° DEP. LEGAL 2025-12825 Primera Edición Virtual Noviembre 2025 Idioma : Español Serie: Mil Ejercicios de Matemática Kindle
  • 3.
    Capítulo 1 Presentación 1000problemas de razonamiento lógico matemático reúne un banco de problemas orientado a fortalecer, de manera sistemática, las competencias de análisis, abstracción y argumentación matemática. El libro está organizado en cuatro capítulos —Lógica y Conjuntos, Razonamiento Aritmético, Ra- zonamiento Algebraico y Razonamiento Geométrico— que avanzan desde nociones fundamentales hasta retos de mayor complejidad, combinando pro- blemas resueltos paso a paso y propuestos para la práctica deliberada. Cada sección inicia con un breve recordatorio conceptual y continua con: ✿ Problemas resueltos que modelan el razonamiento, señalan errores co- munes y ofrecen verificaciones. ✿ Problemas propuestos graduados por dificultad para consolidar compe- tencias. ✿ Etiquetas temáticas que facilitan localizar y repasar contenidos. Se recomienda estudiar en sesiones de 20–40 minutos, alternando un bloque de resueltos y otro de propuestos, registrando dudas y estrategias utilizadas. No se requieren herramientas especiales; cuando se sugiere calculadora o software se indica explícitamente. Capítulo 1: Lógica y Conjuntos. Presenta el lenguaje formal de la mate- mática: proposiciones, conectivos, tablas de verdad, cuantificadores y reglas básicas de inferencia. En teoría de conjuntos se trabajan pertenencia, inclu- sión, operaciones (unión, intersección, diferencia, complemento), familias de conjuntos y problemas típicos con diagramas de Venn. El objetivo es entre- nar la validez del argumento y la correcta traducción entre lenguaje natural y simbólico. Razonamiento Lógico Matemático 3 Helbert Justo Luque Zevallos
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    CAPÍTULO 1. PRESENTACIÓN Capítulo2: Razonamiento Aritmético. Aborda propiedades de los números naturales y enteros, divisibilidad, descomposición en primos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, congruencias elementales, potencias y raí- ces, así como porcentajes, razones y estimaciones. Se incluyen problemas de conteo básico y patrones numéricos que refuerzan el cálculo mental y la toma de decisiones. Capítulo 3: Razonamiento Algebraico. Desarrolla técnicas para manipular expresiones y resolver ecuaciones y desigualdades: identidades notables, fac- torización, fracciones algebraicas, sistemas lineales sencillos, funciones ele- mentales y relaciones entre variables. Se enfatiza la modelación algebraica para traducir situaciones a ecuaciones y seleccionar el método más eficiente. Capítulo 4: Razonamiento Geométrico. Trabaja geometría plana y elemen- tos de geometría analítica básica: triángulos (congruencia y semejanza), polí- gonos, circunferencia y círculo, ángulos notables, áreas y perímetros, así como coordenadas cartesianas para la resolución de problemas. Se promueve el uso de diagramas limpios, construcción de auxiliares y argumentación con pasos justificados. Al finalizar, el lector habrá fortalecido su precisión en el uso del lenguaje lógico, su dominio de técnicas aritméticas y algebraicas fundamentales, y su capacidad para argumentar en geometría con claridad. La progresión de difi- cultad permite que estudiantes, docentes y autodidactas empleen el libro para nivelación, prácticas dirigidas y preparación de exámenes. Usamos N, Z, Q y R para naturales, enteros, racionales y reales, res- pectivamente. La notación y los símbolos se introducen cuando aparecen por primera vez y se mantienen consistentes en todo el volumen. Helbert Justo Luque Zevallos Autor Helbert Justo Luque Zevallos 4 Razonamiento Lógico Matemático
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    Índice general 1 Presentación3 I Lógica y Conjuntos 13 1 Proposición Lógica 15 1.1 Tipos de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Proposiciones declarativas . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Proposiciones condicionales . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2 Conectivos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.1 Operadores binarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.2 Condicionales y bicondicionales . . . . . . . . . . . . 44 1.3 Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.4 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.4.1 Ley de De Morgan para la negación de conjunciones 66 1.4.2 Ley de De Morgan para la negación de disyunciones 77 2 Álgebra Proposicional 89 1.1 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.1.1 Tablas de verdad de conectivos simples . . . . . . . 89 1.1.2 Análisis de tautologías y contradicciones . . . . . . . 102 1.2 Inferencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.2.1 Aplicación del Modus Ponens en problemas lógicos 113 1.2.2 Aplicación del Modus Tollens en argumentos . . . . 120 Razonamiento Lógico Matemático 5 Helbert Justo Luque Zevallos
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    ÍNDICE GENERAL ÍNDICEGENERAL 1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 1.3.1 Problemas con múltiples variables. . . . . . . . . . . 124 1.3.2 Análisis de secuencias lógicas en tiempo. . . . . . . 135 3 Razonamiento 149 1.1 Razonamiento inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.1.1 Reconocimiento de series numéricas . . . . . . . . . 149 1.1.2 Identificación de patrones geométricos . . . . . . . . 157 1.2 Razonamiento deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 1.2.1 Deducción en argumentos matemáticos . . . . . . . 168 1.2.2 Análisis de premisas en demostraciones . . . . . . . 175 1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 1.3.1 Analogías basadas en progresiones aritméticas . . 182 1.3.2 Series geométricas aplicadas a problemas visuales 189 4 Funciones 195 1.1 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.1.1 Predicados de una variables . . . . . . . . . . . . . . 195 1.1.2 Predicados de dos variables . . . . . . . . . . . . . . 199 1.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 1.2.1 Uso de cuantificadores en proposiciones universales 204 1.2.2 Ejemplos de cuantificadores existenciales en proble- mas lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 1.3 Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 1.3.1 Negación de proposiciones con cuantificadores univer- sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 1.3.2 Negación de proposiciones con cuantificadores exis- tenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5 Álgebra de Conjuntos 237 Helbert Justo Luque Zevallos 6 Razonamiento Lógico Matemático
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    ÍNDICE GENERAL ÍNDICEGENERAL 1.1 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 1.1.1 Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 237 1.1.2 Diagramas de Venn para representar operaciones . 246 1.2 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 1.2.1 Diagramas con tres conjuntos . . . . . . . . . . . . . 269 1.2.2 Diagramas para problemas de probabilidad . . . . . 297 1.3 Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 1.3.1 Resolución de problemas con conjuntos disjuntos . 325 1.3.2 Aplicación de conjuntos en probabilidad condicional 330 1.3.3 Teorema de Bayes con conjuntos . . . . . . . . . . . 335 II Razonamiento Aritmético 341 6 Sistemas 343 1.1 Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 1.1.1 Conversión entre sistemas numéricos . . . . . . . . 343 1.1.2 Aplicaciones del sistema binario en computación . . 353 1.2 Problemas de edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 1.2.1 Ecuaciones lineales aplicadas a problemas de edades 364 1.3 Cronometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 1.3.1 Conversión entre horas, minutos y segundos . . . . 372 1.3.2 Cálculo de tiempos en recorridos . . . . . . . . . . . 379 7 Divisibilidad y Fracciones 385 1.1 MCD y MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 1.1.1 Método de descomposición simultánea . . . . . . . . 385 1.1.2 Algoritmo de Euclides para el MCD . . . . . . . . . . 389 1.2 Problemas de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 1.2.1 Problemas de divisibilidad con números primos . . . 395 Razonamiento Lógico Matemático 7 Helbert Justo Luque Zevallos
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    ÍNDICE GENERAL ÍNDICEGENERAL 1.2.2 Aplicación en divisibilidad de números compuestos 401 1.3 Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 1.3.1 Fracciones homogéneas y heterogéneas . . . . . . . 406 1.3.2 Aplicación en problemas financieros . . . . . . . . . 411 8 Razones, Proporciones y Porcentajes 417 1.1 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 1.1.1 Proporciones directas e inversas . . . . . . . . . . . 417 1.1.2 Problemas de escalas y mapas . . . . . . . . . . . . 421 1.2 Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 1.2.1 Aplicaciones en problemas de mezclas . . . . . . . . 425 1.2.2 Regla de tres compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . 430 1.3 Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 1.3.1 Aplicación en problemas financieros . . . . . . . . . 434 1.3.2 Descuentos progresivos en el comercio . . . . . . . 441 9 Sucesiones y Series 449 1.1 Sucesiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 1.1.1 Aplicaciones en problemas de interés simple . . . . 449 1.1.2 Resolución de problemas con progresiones aritméti- cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 1.2 Sucesiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 1.2.1 Aplicaciones en problemas de crecimiento exponen- cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 1.2.2 Resolución de series infinitas . . . . . . . . . . . . . 469 1.3 Patrones y generalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 1.3.1 Identificación de patrones en figuras geométricas . 474 1.3.2 Generalización de patrones numéricos . . . . . . . . 479 Helbert Justo Luque Zevallos 8 Razonamiento Lógico Matemático
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    ÍNDICE GENERAL ÍNDICEGENERAL III Razonamiento Algebraico 487 10 Modelación Matemática 489 1.1 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 1.1.1 Problemas de movimiento y velocidad . . . . . . . . 489 1.1.2 Problemas con costos y precios . . . . . . . . . . . . 495 1.2 Resolución gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 1.2.1 Gráficas de ecuaciones de primer grado . . . . . . . 501 1.2.2 Intersecciones y pendientes en gráficas . . . . . . . 515 1.3 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 1.3.1 Solución por igualación y reducción . . . . . . . . . . 528 1.3.2 Aplicaciones en problemas geométricos . . . . . . . 535 11 Ecuaciones Cuadráticas 541 1.1 Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 1.1.1 Método de completar el cuadrado . . . . . . . . . . . 541 1.1.2 Aplicación de la fórmula cuadrática . . . . . . . . . . 545 1.2 Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 1.2.1 Problemas de caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . 550 1.2.2 Cálculo de áreas con ecuaciones cuadráticas . . . . 555 1.3 Gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 1.3.1 Cálculo de vértices a partir de la fórmula general . . 560 1.3.2 Gráficas en relación con problemas físicos . . . . . 577 12 Modelación Matemática 605 1.1 Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 1.1.1 Resolución de inecuaciones con una variable . . . . 605 1.1.2 Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 1.2 Intervalos y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1.2.1 Intervalos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . 631 Razonamiento Lógico Matemático 9 Helbert Justo Luque Zevallos
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    ÍNDICE GENERAL ÍNDICEGENERAL 1.2.2 Resolución de desigualdades con valor absoluto . . 648 1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 1.3.1 Aplicación en maximización de recursos . . . . . . . 654 1.3.2 Problemas de minimización en geometría . . . . . . 662 IV Razonamiento Geométrico 671 13 Proporcionalidad y Semejanza 673 1.1 Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 1.1.1 Aplicación en triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 1.1.2 Aplicación en sombras y escalas . . . . . . . . . . . 679 1.2 Criterios de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 1.2.1 Aplicación en mapas y diseños . . . . . . . . . . . . 684 1.2.2 Proporciones en figuras geométricas . . . . . . . . . 689 1.3 Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 1.3.1 Escalas de reducción en planos . . . . . . . . . . . . 694 1.3.2 Proporciones en la cartografía . . . . . . . . . . . . . 699 14 Relaciones Métricas 705 1.1 Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 1.1.1 Aplicación en problemas físicos . . . . . . . . . . . . 705 1.1.2 Cálculo de distancias en el espacio . . . . . . . . . . 710 1.2 Alturas, medianas y bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 1.2.1 Aplicación en construcción de triángulos . . . . . . . 715 1.2.2 Uso de medianas en diseño geométrico . . . . . . . 730 1.3 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 1.3.1 Fórmula de Herón para triángulos . . . . . . . . . . . 737 1.3.2 Cálculo de áreas irregulares . . . . . . . . . . . . . . 743 15 Regiones Planas 749 Helbert Justo Luque Zevallos 10 Razonamiento Lógico Matemático
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    ÍNDICE GENERAL ÍNDICEGENERAL 1.1 Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 1.1.1 Cálculo de áreas en polígonos regulares . . . . . . . 749 1.1.2 Aplicaciones en problemas de diseño arquitectónico 756 1.2 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762 1.2.1 Cálculo de distancias en el plano cartesiano . . . . 762 1.2.2 Pendientes y ángulos entre rectas . . . . . . . . . . . 767 1.3 Rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 1.3.1 Aplicación en diseños 3D . . . . . . . . . . . . . . . . 772 1.3.2 Resolución de problemas espaciales . . . . . . . . . 778 16 Sólidos Geométricos 785 1.1 Cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 1.1.1 Volumen de prismas y cilindros . . . . . . . . . . . . 785 1.1.2 Áreas superficiales de conos y esferas . . . . . . . . 790 1.2 Cálculo de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 1.2.1 Aplicaciones en problemas de ingeniería . . . . . . . 795 1.2.2 Cálculo de volúmenes en objetos irregulares . . . . 800 1.3 Problemas prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 1.3.1 Aplicación en problemas de empaquetamiento . . . 805 1.3.2 Uso de sólidos en diseño de objetos . . . . . . . . . 811 V Adicionales 819 1.4 Lógica y Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 1.5 Razonamiento Aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 1.6 Razonamiento Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 1.7 Razonamiento Geométrico Plano y Espacial . . . . . . . . . 829 Razonamiento Lógico Matemático 11 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Parte I Lógica yConjuntos Razonamiento Lógico Matemático 13 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Capítulo 1 ProposiciónLógica 1.1. Tipos de proposiciones 1.1.1. Proposiciones declarativas Problema 1 Para cada uno de los siguientes enunciados, determina si es una propo- sición declarativa. Si lo es, indica su posible valor de verdad (verdadero o falso) y justifica brevemente; si no lo es, explica por qué no cumple con los criterios: 1. La luna está hecha de queso. 2. ¿Vendrás mañana a la reunión? 3. 2 más 3 es igual a 5. 4. ¡Qué hermosa puesta de sol! 5. Cierra la ventana. Demostración. Una proposición declarativa es un enunciado que afirma o niega algo acerca de la realidad y cuyo valor de verdad está bien definido (verdadero o falso), independientemente de creencias, órdenes o emociones. 1. Es proposición declarativa. Valor de verdad: falso. Justificación: el enuncia- do afirma una composición material concreta; la composición real de la Luna (silicatos, óxidos, etc.) contradice la afirmación, por lo que es falsable y, de hecho, falsa. 2. No es proposición. Es una pregunta (interrogativa directa); las preguntas no son verdaderas ni falsas, carecen de valor de verdad. 3. Es proposición declarativa. Valor de verdad: verdadero. Justificación: en arit- mética de los naturales, 2 + 3 = 5 por las definiciones y propiedades de la suma (p. ej., axiomas de Peano). Razonamiento Lógico Matemático 15 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TIPOS DEPROPOSICIONES CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓN LÓGICA 4. No es proposición. Es un enunciado exclamativo que expresa una aprecia- ción estética/subjetiva; no tiene un valor de verdad objetivo bien definido. 5. No es proposición. Es un imperativo (una orden); los imperativos no descri- ben estados de cosas y carecen de valor de verdad. ■ Problema 2 El siguiente enunciado es ambiguo: El jugador es el mejor. 1. Explica qué hace que el enunciado no pueda evaluarse como verda- dero o falso tal cual está. 2. Reescribe el enunciado de forma que sí sea una proposición declara- tiva precisa y explícita (elige un criterio claro para el mejor). Demostración. (1) El enunciado es ambiguo por al menos cuatro razones lógicas: ✿ Dominio indeterminado: no especifica el conjunto de referencia (¿todos los jugadores del mundo, de una liga, de un equipo?). ✿ Criterio de comparación difuso: “el mejor” no indica métrica (goles, asisten- cias, eficiencia, valoración media, etc.). ✿ Horizonte temporal: no precisa la temporada, fecha o período de evaluación. ✿ Reglas de desempate: no se indica cómo resolver empates en la métrica elegida. Sin fijar dominio, métrica, período y desempate, el enunciado no determina una condición verificable; por tanto, no es evaluable como verdadero/falso. (2) Proposición precisa (un ejemplo posible): Juan Pérez es el jugador con mayor promedio de goles por 90 minutos en la Liga 1 Helbert Justo Luque Zevallos 16 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓNLÓGICA 1.1. TIPOS DE PROPOSICIONES Perú 2024 al finalizar la jornada 30, entre quienes acumulan ≥ 900 minutos. Esta versión fija: (i) dominio (Liga 1 Perú 2024), (ii) sujeto (Juan Pérez), (iii) métrica (goles/90’), (iv) condición de elegibilidad (≥ 900 min), (v) corte temporal (tras jornada 30). Su valor de verdad es empírico: verdadero o falso según los datos registrados. ■ Problema 3 Escribe las siguientes proposiciones compuestas usando conectivos ló- gicos y luego explica el valor de verdad de cada una, suponiendo que las proposiciones simples involucradas son verdaderas o falsas según se indica: 1. Hace sol y la temperatura es mayor a 30°C. (supón que hace sol es verdadero y la temperatura es 28°C). 2. Si estudio, entonces apruebo. (supón que estudiaste pero no aprobas- te). 3. No es cierto que llueve. (supón que efectivamente está lloviendo). Demostración. Denotemos por S: “Hace sol”, por T: “La temperatura es > 30◦ C”, por E: “Estudio” y por A: “Apruebo”, y por L: “Llueve.” 1. Forma lógica: S ∧ T. Dado S = V y la temperatura real es 28◦ C, tenemos T = F. Por la tabla de verdad de la conjunción, V ∧ F = F. Conclusión: falso. 2. Forma lógica: E → A. Se asume E = V (estudiaste) y A = F (no aprobaste). Por la tabla del condicional material, V → F = F. Conclusión: falso (caso contraejemplo de la implicación). 3. Forma lógica: ¬L. Se asume que L = V (está lloviendo). Entonces ¬L = F. Conclusión: falso. ■ Razonamiento Lógico Matemático 17 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TIPOS DEPROPOSICIONES CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓN LÓGICA Problema 4 Convierte cada uno de los siguientes enunciados del lenguaje natural a una proposición declarativa formal, eliminando subjetividades o impera- tivos, y explícita su posible valoración de verdad: 1. Es un buen día. 2. Debes entregar el informe antes del viernes. 3. María es la mejor estudiante de la clase. (especifica un criterio para mejor). Demostración. 1. Proposición objetiva (un ejemplo): “La temperatura máxima diaria en Lima el 14-09-2025 es ≥ 24◦ C y la precipitación total del día es 0 mm.” Esta proposición es verificable mediante datos meteorológicos y, por tanto, es verdadera o falsa según dichos datos. Se eliminó la subjetividad de “buen”. 2. Transformación a proposición factual (dos opciones comunes): ✿ Norma explícita: “La fecha límite de entrega del informe es anterior al viernes 19-09-2025 a las 17:00 (hora local).” ✿ Hecho cumplido: “El informe fue entregado antes del viernes 19-09-2025 a las 17:00 (hora local).” La primera describe una regla (verdadera/falsa según el calendario oficial); la segunda describe un hecho (verdadera/falsa según el registro de entre- ga). En ambos casos hay valor de verdad bien definido. 3. Criterio objetivo para “mejor” (ejemplo): “El promedio final ponderado de Ma- ría en el curso X del semestre Y es estrictamente mayor que el promedio de cualquier otro estudiante de esa clase; en caso de empate en el promedio, María tiene mayor mediana de calificaciones.” Esta proposición es verdade- ra o falsa según los registros de calificaciones y el criterio de desempate fijado. Helbert Justo Luque Zevallos 18 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 1. PROPOSICIÓNLÓGICA 1.1. TIPOS DE PROPOSICIONES ■ Problema 5 Analiza el siguiente enunciado: Todos los cisnes son blancos. 1. ¿Fue siempre verdadero en un contexto histórico? Explícita qué des- cubrimiento lo refutó. 2. ¿Es ahora una proposición declarativa? ¿Cuál es su valor de verdad actual? Justifica. Demostración. Formalización: ∀, (Cisne() → Blanco()). (1) En lógica clásica, el valor de verdad de una proposición universal no de- pende del conocimiento humano sino del estado del mundo. La existencia de un solo contraejemplo la hace falsa: si ∃, (Cisne() ∧ ¬Blanco()), enton- ces la universal es falsa. Históricamente, el descubrimiento de cisnes negros en Australia (especie Cygnus atratus, documentada por exploradores euro- peos desde fines del siglo XVII) proporciona tales contraejemplos. Por consi- guiente, aun cuando en ciertos contextos culturales se creyera verdadera, la proposición era de hecho falsa en cuanto existían cisnes no blancos. (2) Sí, es una proposición declarativa (universal cuantificada) y su valor de verdad actual es falso, puesto que existen cisnes negros (Cygnus atratus). En términos lógicos, la constatación empírica de ∃, (Cisne() ∧ ¬Blanco()) refuta ∀, (Cisne() → Blanco()). ■ Problema 6 Dada la proposición condicional: Si llueve, entonces la calle estará mo- jada. 1. Identifica la hipótesis y la conclusión. 2. Escribe su contraria, su recíproca y su contrarrecíproca. 3. Para cada una, explica si es necesariamente verdadera o puede ser falsa en general. Razonamiento Lógico Matemático 19 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Parte II Razonamiento Aritmético RazonamientoLógico Matemático 341 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Capítulo 6 Sistemas 1.1.Sistemas de numeración 1.1.1. Conversión entre sistemas numéricos Problema 321 Convierta el número hexadecimal (3F7A)_16 a base 2, luego a base 10 y finalmente a base 7. Demostración. Primero, de base 16 a base 2. Cada dígito hexadecimal co- rresponde a 4 bits: 3 7→ 0011, F 7→ 1111, 7 7→ 0111, A 7→ 1010. Por tanto, (3F7A)16 = (0011 1111 0111 1010)2 = (11111101111010)2. Segundo, a base 10: (3F7A)16 = 3·163 +15·162 +7·161 +10 = 3·4096+15·256+112+10 = 12288 + 3840 + 122 = 16250. Así, (3F7A) ∗ 16 = (16250) ∗ 10. Finalmente, de base 10 a base 7 por divisiones sucesivas: Razonamiento Lógico Matemático 343 Helbert Justo Luque Zevallos
  • 20.
    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS 16250 = 7 · 2321 + 3, 2321 = 7 · 331 + 4, 331 = 7 · 47 + 2, 47 = 7 · 6 + 5, 6 = 7 · 0 + 6. Leyendo los restos de abajo hacia arriba: (16250)_10 = (65243)_7. Conclusión: (3F7A)16 = (11111101111010)2 = (16250)10 = (65243)7. ■ Problema 322 Exprese el número decimal 0,3 en base 2 utilizando el algoritmo de mul- tiplicaciones sucesivas. Determine si la expansión es finita o periódica. Demostración. Sea  = 0,3 = 3 10 . Aplicamos el algoritmo de multiplicación por 2, registrando la parte entera en cada paso: 3 10 · 2 = 3 5 ⇒ bit 0, nuevo 3 5 3 5 · 2 = 6 5 = 1 + 1 5 ⇒ bit 1, nuevo 1 5 1 5 · 2 = 2 5 ⇒ bit 0, nuevo 2 5 2 5 · 2 = 4 5 ⇒ bit 0, nuevo 4 5 4 5 · 2 = 8 5 = 1 + 3 5 ⇒ bit 1, nuevo 3 5 . A partir de aquí se repite el estado 3 5 , por lo que los bits se repiten con Helbert Justo Luque Zevallos 344 Razonamiento Lógico Matemático
  • 21.
    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN período 4. La expansión es 0,310 = 0,010012 = 0,0100110011 . . . 2. Criterio de finitud: una fracción /b en base 2 tiene expansión finita si y sólo si, en forma irreducible, b es potencia de 2. Aquí 3 10 tiene denominador 10 = 2 · 5; tras cancelar el factor 2, queda un factor 5 ̸| 2k , de donde la expansión no es finita. El período se relaciona con el orden multiplicativo de 2 módulo 5: como 24 ≡ 1 (mód 5) y 4 es mínimo, la longitud del período es 4. Existe un prefijo no periódico de longitud 1 (debido al factor 2 en el denominador). ■ Problema 323 Demuestre que el número fraccionario 1 7 tiene expansión periódica en base 10, y encuentre la longitud de su período en base 2 y en base 16. Demostración. Sea b ≥ 2 entero. Si gcd(b, 7) = 1, entonces 1 7 tiene ex- pansión puramente periódica en base b, y la longitud del período es el or- den multiplicativo de b módulo 7, es decir, el menor t ≥ 1 tal que bt ≡ 1 (mód 7). En base 10: gcd(10, 7) = 1 y 10 ≡ 3 (mód 7), 31 ≡ 3, 32 ≡ 2, 33 ≡ 6, 34 ≡ 4, 35 ≡ 5, 36 ≡ 1 (mód 7), luego el orden es 6. Por tanto, 1 7 = 0.14285710. En base 2: gcd(2, 7) = 1 y Razonamiento Lógico Matemático 345 Helbert Justo Luque Zevallos
  • 22.
    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS 21 ≡ 2, 22 ≡ 4, 23 ≡ 8 ≡ 1 (mód 7), por lo que el orden es 3. La expansión es puramente periódica de longitud 3: 1 7 = 0.0012. En base 16: como 16 = 24 y el orden de 2 módulo 7 es 3, el orden de 16 módulo 7 es ord7(16) = ord7(2) gcd(ord7(2), 4) = 3 gcd(3, 4) = 3. Luego la longitud del período en base 16 también es 3. De hecho, 1 7 = 0.24916. ■ Problema 324 Encuentre la representación en base 5 de 510 − 1. Discuta la relación entre su forma y el teorema de divisibilidad por b − 1. Demostración. En base 5, el número 5 es la base, por lo que (510 )10 = (1 00 . . . 0 | {z } 10 ceros )5. Restando 1 se obtiene una “cadena de 4” de longitud 10: 510 − 1 = (4444444444)5. Relación con el teorema de divisibilidad por b − 1: para cualquier base b ≥ 2, Helbert Justo Luque Zevallos 346 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN bn − 1 = (b − 1) (bn−1 + bn−2 + · · · + b + 1), de modo que bn − 1 es múltiplo de b − 1. En representación base b, bn − 1 se escribe como n dígitos todos iguales a b − 1. Aquí, con b = 5 y n = 10, aparece exactamente (4444444444)_5. Además, la congruencia “suma de dígitos” mod b − 1 explica esta forma: el residuo de un número en base b módulo b − 1 coincide con la suma de sus dígitos módulo b − 1, y la suma n · (b − 1) es múltiplo de b − 1. ■ Problema 325 Convierta directamente el número binario (10101101)_2 a base 16 y a base 8 sin pasar por base 10. Demostración. De base 2 a base 16: se agrupan bits en bloques de 4 desde la derecha: (10101101)2 = (1010 1101)2 = (A D)16 = (AD)16. De base 2 a base 8: se agrupan bits en bloques de 3 desde la derecha; para 8 bits, se agrega un cero inicial para completar múltiplos de 3: (10101101)2 = (010 101 101)2 ⇒ (2 5 5)8 = (255)8. Así, sin pasar por base 10, (10101101)2 = (AD)16 = (255)8. ■ Razonamiento Lógico Matemático 347 Helbert Justo Luque Zevallos
  • 24.
    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Problema 326 Realice la suma de (245) ∗ 7 + (356) ∗ 7 en base 7. Luego convierta el resultado a base 10 y base 2 para verificar la coherencia. Demostración. Suma en base 7. Sumamos dígito a dígito con acarreo en base 7: 2 4 5 + 3 5 6 6 3 4 (7) Explicación: unidades 5 + 6 = 11 = 7 · 1 + 4 ⇒ escribimos 4 y llevamos 1; sietes 4 + 5 + 1 = 10 = 7 · 1 + 3 ⇒ escribimos 3 y llevamos 1; cuarenta y nueve 2 + 3 + 1 = 6 (sin acarreo). Por tanto, (245)7 + (356)7 = (634)7. Verificación en base 10. (245)7 = 2 · 72 + 4 · 7 + 5 = 98 + 28 + 5 = 131, (356)7 = 3 · 49 + 5 · 7 + 6 = 147 + 35 + 6 = 188. Suma decimal 131 + 188 = 319. Además, (634)7 = 6 · 49 + 3 · 7 + 4 = 294 + 21 + 4 = 319. Conversión a base 2. 319 = 256 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, por lo que (319)10 = (100111111)2. Helbert Justo Luque Zevallos 348 Razonamiento Lógico Matemático
  • 25.
    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN En consecuencia, (245)7 + (356)7 = (634)7 = (319)10 = (100111111)2. ■ Problema 327 Pruebe que un número en base b es divisible por b + 1 si y solo si la suma alternada de sus dígitos es divisible por b + 1. Aplique la regla para verificar si (10110)_2 es divisible por 3 en base decimal. Demostración. Sea N un número escrito en base b con dígitos _k, _k − 1, . . . , _0: N = k X j=0 jbj , 0 ≤ j ≤ b − 1. Trabajando módulo b + 1 observamos que b ≡ −1 (mód b + 1), por tanto N ≡ k X j=0 j(−1)j (mód b + 1). Se sigue que b + 1 | N si y solo si b + 1 divide la suma alternada de los dígitos _0 − _1 + _2 − · · · + (−1)k _k. Aplicación a (10110)_2. Aquí b = 2 y probamos divisibilidad por b + 1 = 3. Escribimos los dígitos de derecha a izquierda (de _0 a _4): _0 = 0, _1 = 1, _2 = 1, _3 = 0, _4 = 1. La suma alternada es 0 − 1 + 2 − 3 + 4 = 0 − 1 + 1 − 0 + 1 = 1. Como 1 ̸≡ 0 (mód 3), el número (10110)_2 no es divisible por 3. De hecho (10110) ∗ 2 = (22) ∗ 10 y 22 ≡ 1 (mód 3). ■ Razonamiento Lógico Matemático 349 Helbert Justo Luque Zevallos
  • 26.
    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Problema 328 Exprese 220 en base 16 y en base 8. Compare la cantidad de dígitos obtenidos en cada representación. Demostración. En base 16. Como 16 = 24 , se tiene 220 = (24 )5 = 165 , por lo que 220 = (100000)16 (un 1 seguido de cinco ceros en base 16). En base 8. Como 8 = 23 , 220 = (23 )6 · 22 = 86 · 4, de modo que 220 = (4000000)8 (un 4 seguido de seis ceros en base 8). Comparación de dígitos. En base 16 aparecen 6 dígitos; en base 8 apa- recen 7 dígitos. Intuitivamente, al agrupar 20 bits en bloques de 4 (hexade- cimal) resulta exactamente 1 seguido de 5 ceros; al agrupar en bloques de 3 (octal) quedan 6 bloques completos más 2 bits sobrantes, lo que produce un dígito inicial distinto de 1 (el 4) y, por ello, un total de 7 dígitos. ■ Problema 329 Calcule el producto (123) ∗ 4 × (21) ∗ 4 en base 4, y luego convierta el resultado a base 10 y base 2. Demostración. Producto en base 4. Podemos multiplicar directamente en base 4: Helbert Justo Luque Zevallos 350 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN (123)4 × (21)4 (123)4 · 1 = (123)4 +(123)4 · 2 (desplazado 1 lugar) = (1022)4 (3303)4 (Verificación rápida: 2 · 3 = 6 = 4 · 1 + 2, llevamos 1; se procede en base 4 a cada paso.) Verificación en base 10. (123)4 = 1·16+ 2·4+ 3 = 27, (21)4 = 2·4+ 1 = 9, 27·9 = 243. Además, (3303)4 = 3 · 64 + 3 · 16 + 0 · 4 + 3 = 192 + 48 + 0 + 3 = 243. Conversión a base 2. 243 = 128 + 64 + 32 + 16 + 2 + 1, luego (243)10 = (11110011)2. En conclusión, (123)4 · (21)4 = (3303)4 = (243)10 = (11110011)2. ■ Razonamiento Lógico Matemático 351 Helbert Justo Luque Zevallos
  • 28.
    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Problema 330 Convierta el número racional 7 20 a base 3 utilizando el algoritmo de mul- tiplicaciones sucesivas. Determine la longitud de la expansión periódica. Demostración. Aplicamos el algoritmo para la parte fraccionaria en base 3: si _0 = 7 20 , definimos _n + 1 = 3_n y el n-ésimo dígito fraccionario es ⌊3_n⌋. 30 = 21 20 = 1 + 1 20 ⇒ 1 = 1, 1 = 1 20 , 31 = 3 20 = 0 + 3 20 ⇒ 2 = 0, 2 = 3 20 , 32 = 9 20 = 0 + 9 20 ⇒ 3 = 0, 3 = 9 20 , 33 = 27 20 = 1 + 7 20 ⇒ 4 = 1, 4 = 7 20 = 0. El residuo vuelve a _0 tras cuatro pasos, por lo que la expansión es puramente periódica de período 4. Así, 7 20 10 = 0.1001 3 . Verificación del período. Como 20 = 22 · 5 y gcd(3, 20) = 1, la longitud del período es el orden multiplicativo de 3 módulo 20. Se cumple 34 = 81 ≡ 1 (mód 20) y ningún menor exponente lo logra, luego la longi- tud del período es 4. Además, 0.10013 = 3−1 + 3−4 1 − 3−4 = 1 3 + 1 81 1 − 1 81 = 28/81 80/81 = 28 80 = 7 20 . ■ Helbert Justo Luque Zevallos 352 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.1.2. Aplicaciones del sistema binario en computación Problema 331 Implemente paso a paso la suma binaria de los números (1101101)_2 y (1010111)_2, mostrando el cálculo de la suma y el acarreo en cada posición. Verifique el resultado convirtiendo ambos sumandos y la suma al sistema decimal. Demostración. Sumamos bit a bit de derecha a izquierda (de menor a mayor peso). Denotamos por c_ el acarreo que entra a la posición  y por s_ el bit de suma en dicha posición.   b c  + b + c s c+1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 1 2 0 1 2 1 1 1 3 1 1 3 1 0 1 2 0 1 4 0 1 1 2 0 1 5 1 0 1 2 0 1 6 1 1 1 3 1 1 Al finalizar, queda un acarreo final c_7 = 1. Leyendo de más significativo a menos significativo, la suma es (1 1000100)2 = (11000100)2. Verificación en decimal: Razonamiento Lógico Matemático 353 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS (1101101)2 = 1 · 64 + 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 = 109, (1010111)2 = 1 · 64 + 0 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 = 87, 109 + 87 = 196 y (11000100)2 = 1 · 128 + 1 · 64 + 0 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 = 196. Ambas vías coinciden: la suma correcta es (11000100) ∗ 2 = 196 ∗ 10. ■ Problema 332 Calcule la multiplicación binaria de (1011)_2 por (110)_2, mostrando todas las etapas intermedias. Luego convierta el resultado a decimal y compruebe la equivalencia. Demostración. Sea A = (1011)_2 y B = (110)_2. Formamos los produc- tos parciales desplazando A según los bits de B. Helbert Justo Luque Zevallos 354 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN (1011)2 × (110)2 bit 0 de B = 0 : (0000)2 bit 1 de B = 1 : (1011)2 ≪ 1 = (10110)2 bit 2 de B = 1 : (1011)2 ≪ 2 = (101100)2 suma de parciales : (0000)2 + (10110)2 + (101100)2 = (1000010)2 Verificación decimal: (1011)2 = 1110, (110)2 = 610, 11 · 6 = 66. Además (1000010)2 = 1 · 64 + 0 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 0 = 66. Coinciden ambas representaciones; el producto es (1000010) ∗ 2 = 66 ∗ 10. ■ Problema 333 Diseñe un circuito de sumador completo usando únicamente puertas ló- gicas NAND. Explique paso a paso cómo se obtiene la suma y el acarreo de salida utilizando combinaciones de estas puertas. Demostración. Un sumador completo recibe A, B, C_in y produce S = A ⊕ B ⊕ Cin, Cout = AB + Cin(A ⊕ B). Usaremos que la puerta NAND es universal. Recordatorios con NAND: Razonamiento Lógico Matemático 355 Helbert Justo Luque Zevallos
  • 32.
    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS NOT(X) = X NAND X, X AND Y = (X NAND Y) NAND (X NAND Y), X OR Y = (X NAND X) NAND (Y NAND Y) (por De Morgan). Construcción de X = A ⊕ B usando solo NAND (realización estándar de 4 NAND): P = A NAND B, Q = A NAND P, R = B NAND P, X = Q NAND R. Entonces X = A ⊕ B. Construcción de S = X ⊕ C_in con la misma topología XOR via NAND: P2 = X NAND Cin, Q2 = X NAND P2, R2 = Cin NAND P2, S = Q2 NAND R2. Para C_out = AB + C_inX hacemos dos productos y luego un OR, todo en NAND. Producto AB con NAND: T1 = A NAND B, U1 = T1 NAND T1 (así U1 = AB). Producto C_inX con NAND: T2 = Cin NAND X, U2 = T2 NAND T2 (así U2 = CinX). OR entre U_1 y U_2 usando NAND: Helbert Justo Luque Zevallos 356 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN U1 = U1 NAND U1, U2 = U2 NAND U2, Cout = U1 NAND U2. Por De Morgan, esto implementa C_out = U_1 + U_2 = AB + C_in(A ⊕ B). Resumen de bloques: 1. Dos XOR en cascada vía 8 puertas NAND para obtener S. 2. Dos AND vía NAND y un OR vía NAND para obtener C_out. Todo el sumador completo queda realizado exclusivamente con puertas NAND, cumpliendo las expresio- nes canónicas de S y C_out. ■ Problema 334 Determine la representación binaria en código ASCII de la palabra DATA. Explique cómo se combinan estos códigos para formar un flujo de bits que pueda almacenarse en memoria. Demostración. ASCII de 7 bits se usa usualmente en octetos con un bit de relleno a la izquierda. Para mayúsculas: D = 6810 = 4416 = (01000100)2, A = 6510 = 4116 = (01000001)2, T = 8410 = 54 La palabra DATA se codifica como la concatenación 01000100 | {z } D 01000001 | {z } A 01010100 | {z } T 01000001 | {z } A . En memoria, cada octeto ocupa una dirección contigua según la conven- ción de la arquitectura; el flujo de bits resultante es la concatenación en el orden de lectura, y el bus de datos los transporta octeto por octeto. Si el siste- ma añade paridad u otros metadatos, estos se incluyen fuera del octeto ASCII Razonamiento Lógico Matemático 357 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS base. ■ Problema 335 Explique cómo se representa en binario una imagen en escala de grises de 256 × 256 píxeles con 8 bits por píxel. Calcule la cantidad total de memoria en bytes que requiere la imagen. Demostración. Con 8 bits por píxel (profundidad de 8), cada píxel toma un valor en 0, 1, . . . , 255, donde típicamente 0 es negro y 255 es blanco. La imagen de 256 × 256 contiene 256 · 256 = 65536 píxeles. Cada píxel ocupa 8 bits = 1 byte, por lo que el tamaño total de la matriz de intensidades es 65536 píxeles × 1 byte/píxel = 65536 bytes = 64 KiB. La representación binaria se organiza como una matriz 256 × 256 alma- cenada en memoria lineal. En orden de almacenamiento por filas, el byte del píxel (r, c) aparece tras los 256 · r + c bytes iniciales. En ausencia de ca- beceras o metadatos, el bloque crudo (raw) de la imagen es exactamente la concatenación de los 65536 octetos que codifican sus niveles de gris. ■ Problema 336 Un registro de desplazamiento de 4 bits recibe la secuencia de entra- da 1, 0, 1, 1, 0. Determine el contenido del registro después de cada desplazamiento a la derecha. ¿Cuál es la salida final si el registro era inicialmente (0000)2? Demostración. Supondremos un desplazamiento a la derecha síncrono clá- sico de 4 bits, con inserción serie por el extremo más significativo (MSB) y Helbert Justo Luque Zevallos 358 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN salida serie por el bit menos significativo (LSB). Si el contenido del registro es [b3, b2, b1, b0] (siendo b3 el MSB), un pulso de reloj realiza [b3 b2 b1 b0] 7−→ [ b3 b2 b1], donde  ∈ 0, 1 es el nuevo bit de entrada, y la salida serie es el bit expul- sado b0. Condición inicial: [0000]. Secuencia de bits de entrada: 1, 0, 1, 1, 0. Evolución paso a paso: Paso Entrada  Contenido tras desplazar Salida serie (LSB expulsado) 0 − [0000] − 1 1 [1000] 0 2 0 [0100] 0 3 1 [1010] 0 4 1 [1101] 0 5 0 [0110] 1 Contenido del registro después de cada desplazamiento: [1000] → [0100] → [1010] → [1101] → [0110]. La salida serie en los cinco desplazamien- tos es la sucesión 0, 0, 0, 0, 1. Por tanto, el contenido final del registro es (0110)2 y el último bit emitido fue 1. ■ Problema 337 Diseñe un circuito lógico que genere el bit de paridad par para una pala- bra de 5 bits de entrada. Explique cómo se detecta un error de transmi- sión si se recibe la palabra (10101)2 con bit de paridad incluido. Razonamiento Lógico Matemático 359 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. SISTEMAS DENUMERACIÓN CAPÍTULO 6. SISTEMAS Demostración. Sea la palabra de 5 bits X = (1, 2, 3, 4, 5). El bit de paridad par p debe satisfacer que el número total de unos en (1, . . . , 5, p) sea par. Equivalentemente, p = 1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5, donde ⊕ denota XOR. Un generador de paridad par se implementa con una cadena de compuertas XOR de dos entradas. Detección de errores: en el receptor se calcula  = 1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ p. Si  = 0, se asume ausencia de error de un bit; si  = 1, se detecta (al menos) un error impar en el total de bits. Ejemplo con la palabra X = (10101)2: la cuenta de unos es 3 (impar). Por paridad par, se envía p = 1: p = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1. El receptor computa  = 1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕1 = 0, por lo que no se detecta error. Si, por ejemplo, hubiera un solo bit alterado en tránsito (caso típico), entonces  valdría 1 y el error sería detectado (aunque no corregido). ■ Problema 338 Explique cómo realizar la operación (1011011)2 + (1101100)2 (mód 28 ) utilizando aritmética binaria modular. Verifique el resultado en decimal. Demostración. Trabajamos módulo 28 = 256. En aritmética binaria módulo 28 , la suma se efectúa como suma binaria usual y se conservan únicamente los 8 bits menos significativos (se descarta cualquier acarreo más allá del bit Helbert Justo Luque Zevallos 360 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 6. SISTEMAS1.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 7). Primero igualamos a 8 bits: (1011011)2 = (01011011)2, (1101100)2 = (01101100)2. Sumamos: (01011011)2 + (01101100)2 (11000111)2 No aparece un noveno bit de acarreo, por lo que el resultado módulo 28 es directamente (11000111)2. Verificación decimal: (01011011)2 = 91, (01101100)2 = 108, y 91 + 108 = 199. Como 199 256, se cumple 199 mód 256 = 199, 199 = (11000111)2. Por tanto, el resultado modular es (11000111)2. ■ Problema 339 En el algoritmo RSA, considere p = 11, q = 13, n = pq = 143 y e = 7. Represente en binario los cálculos necesarios para cifrar el mensaje m = 9. Explique cómo la aritmética binaria afecta la eficiencia del algoritmo. Demostración. Parámetros: φ(n) = (p − 1)(q − 1) = 10 · 12 = 120, Razonamiento Lógico Matemático 361 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.3. PATRONES YGENERALIZACIÓNCAPÍTULO 9. SUCESIONES Y SERIES = 2! n + 1 3 + n + 1 2 = n + 1 3 + n + 2 3 , usando k2 = k(k − 1) = 2! k 2 y la identidad telescópica n X k=1 k r = n + 1 r + 1 . Generalización: por la expansión mediante números de Stirling de segunda especie S(m, j), km = m X j=0 S(m, j), k j = m X j=0 S(m, j), j! k j . Sumando de k = 1 a n y aplicando la identidad de las combinaciones acumu- ladas, n X k=1 km = m X j=0 S(m, j), j! n X k=1 k j = m X j=0 S(m, j), j! n + 1 j + 1 . Esta fórmula combinatoria equivale a Faulhaber y evita números de Bernoulli, expresando la suma como combinación lineal de coeficientes binomiales en n. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 486 Razonamiento Lógico Matemático
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    Parte III Razonamiento Algebraico RazonamientoLógico Matemático 487 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Capítulo 10 ModelaciónMatemática 1.1. Ecuaciones lineales 1.1.1. Problemas de movimiento y velocidad Problema 561 Dos trenes parten de ciudades diferentes separadas por 480 km y se dirigen uno hacia el otro. El primero viaja a 80 km/h y el segundo a 100 km/h. ¿En qué punto y después de cuánto tiempo se encontrarán? Demostración. Sea t el tiempo, en horas, transcurrido hasta el encuentro. Como se acercan, la velocidad relativa es 80+100 = 180 km/h. La distancia total a cerrar es 480 km, por lo que 180 t = 480 =⇒ t = 480 180 = 8 3 h = 2 h 40 min. La posición del encuentro medida desde la ciudad de partida del primer tren es 1 = 80 · 8 3 = 640 3 km ≈ 213,33 km, y desde la del segundo tren es 480 − 640 3 = 800 3 km ≈ 266,67 km. En consecuencia, se encuentran 2 h 40 min después, a 640 3 km de la primera ciudad. ■ Problema 562 Un automóvil A viaja a 90 km/h y parte de una ciudad. Dos horas más tarde, parte un automóvil B desde la misma ciudad a 120 km/h en la misma dirección. ¿A qué distancia de la ciudad alcanzará B a A? Demostración. La ventaja inicial de A es 90 · 2 = 180 km. La velocidad relativa de acercamiento de B respecto de A es 120− 90 = 30 km/h, así que Razonamiento Lógico Matemático 489 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO10. MODELACIÓN MATEMÁTICA el tiempo desde que parte B hasta alcanzarlo satisface 30 t = 180 =⇒ t = 6 h. La distancia desde la ciudad en el momento del alcance es la recorrida por B en ese lapso: d = 120 · 6 = 720 km. Por tanto, B alcanza a A a 720 km de la ciudad. ■ Problema 563 Un bote navega en un río con corriente. En aguas tranquilas puede avan- zar a 12 km/h. Si recorre 30 km río arriba en 5 horas, halle la velocidad de la corriente y el tiempo que tardará en regresar. Demostración. Sea c la velocidad de la corriente en km/h. Río arriba la velo- cidad efectiva es 12 − c. Dado que recorre 30 km en 5 h, se tiene 12 − c = 30 5 = 6 =⇒ c = 6 km/h. Río abajo la velocidad es 12 + c = 18 km/h. El tiempo de regreso para 30 km es tvuelta = 30 18 = 5 3 h = 1 h 40 min. Así, la corriente vale 6 km/h y el regreso toma 1 h 40 min. ■ Problema 564 Un avión vuela 600 km con viento en contra y 600 km con viento a favor. Su velocidad en aire tranquilo es 300 km/h, y el viaje de ida toma 2 horas más que el de vuelta. ¿Cuál es la velocidad del viento? Helbert Justo Luque Zevallos 490 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES Demostración. Sea  la velocidad del viento en km/h. Los tiempos son t1 = 600 300 −  , t2 = 600 300 +  , con t1 − t2 = 2. Entonces 600 300 −  − 600 300 +  = 2. Equivalente a 600 (300 + ) − (300 − ) (300 − )(300 + ) = 2 =⇒ 1200 90000 − 2 = 2. De aquí 2 + 600 − 90000 = 0, cuyas soluciones son  = −600 ± p 720000 2 . Como  0,  = −600 + 600 p 2 2 = 300( p 2 − 1) ≈ 124,26 km/h. Por tanto, la velocidad del viento es 300( p 2 − 1) km/h. ■ Problema 565 Un automóvil se dirige hacia el este a 60 km/h y otro hacia el norte a 80 km/h, partiendo simultáneamente desde el mismo punto. ¿Cuál es la distancia entre ambos después de 2 horas y con qué rapidez se separan en ese instante? Demostración. A tiempo t (en horas), las posiciones son (60t, 0) y (0, 80t). La distancia entre ellos es D(t) = q (60t)2 + (80t)2 = t Æ 602 + 802 = 100t. Razonamiento Lógico Matemático 491 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Para t = 2 h, D(2) = 200 km. La rapidez de separación es dD dt = 100 km/h, constante en el tiempo. En consecuencia, a las 2 horas están a 200 km y se separan en ese instante a 100 km/h. ■ Problema 566 Un estudiante recorre 5 km a pie a 5 km/h y luego continúa otros 15 km en bicicleta. Si el tiempo total del viaje es de 2 horas, halle la velocidad de la bicicleta. Demostración. El tiempo caminando es t1 = 5 5 = 1 h. Si  es la velocidad de la bicicleta (km/h), el tiempo en bicicleta para 15 km es t2 = 15  . Dado que el tiempo total es 2 h, se cumple t1 + t2 = 2 =⇒ 1 + 15  = 2 =⇒ 15  = 1 =⇒  = 15. Por lo tanto, la velocidad de la bicicleta es 15 km/h. ■ Problema 567 Dos autos parten simultáneamente de puntos A y B, separados 300 km en línea recta. El auto de A viaja hacia B a 80 km/h, mientras que el de B viaja perpendicularmente a la recta AB a 60 km/h. Determine la distancia mínima entre ellos y el instante en que ocurre. Demostración. Ubique A = (0, 0) y B = (300, 0). Para t horas, el auto de A está en (80t, 0) y el de B en (300, 60t). La distancia entre ellos es D(t) = q (300 − 80t)2 + (60t)2. Minimizar D equivale a minimizar D2 (t) = (300−80t)2 +(60t)2 = 90000− Helbert Justo Luque Zevallos 492 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES 48000t + 20000t2 . Derivando y anulando: d dt D2 (t) = −48000 + 40000t = 0 =⇒ t = 48000 40000 = 2,4 h. En ese instante, Dmı́n = q (300 − 80 · 2,4)2 + (60 · 2,4)2 = Æ 1082 + 1442 = p 32400 = 180 km. La distancia mínima es 180 km y ocurre a las 2,4 h. ■ Problema 568 Un tren de 200 m de longitud viaja a 72 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en cruzar un puente de 300 m? Además, si otro tren de 150 m viene en sen- tido contrario a 90 km/h, ¿en cuánto tiempo se cruzan completamente? Demostración. Convierta 72 km/h a m/s: 72 = 72 · 1000 3600 = 20 m/s. Para cruzar un puente, la distancia a recorrer es la suma de longitudes: 200 + 300 = 500 m. El tiempo es t = 500 20 = 25 s. Para dos trenes que se cruzan, la distancia relativa es 200 + 150 = 350 m. La velocidad relativa es 72 + 90 = 162 km/h = 162 · 1000 3600 = 45 m/s, así que t = 350 45 = 70 9 s ≈ 7,78 s. Por consiguiente, tarda 25 s en cruzar el puente y 70/9 s en cruzarse com- pletamente con el otro tren. ■ Razonamiento Lógico Matemático 493 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Problema 569 Dos ciclistas parten simultáneamente del mismo punto de una pista circu- lar de 400 m. El primero corre a 8 m/s y el segundo a 6 m/s, en la misma dirección. ¿Cada cuánto tiempo se encontrarán en el mismo punto de la pista? Demostración. La velocidad relativa es 8 − 6 = 2 m/s. Se encuentran en el mismo punto de la pista cuando la diferencia de recorridos es un múltiplo de 400 m. El primer encuentro ocurre al completar una vuelta relativa: t = 400 2 = 200 s. En t = 200 s, el primero recorre 8 · 200 = 1600 m y el segundo 6 · 200 = 1200 m, ambos múltiplos de 400, por lo que coinciden en el mismo punto de la pista. Así, se encontrarán cada 200 s. ■ Problema 570 Tres automóviles parten del mismo punto: A hacia el este a 90 km/h, B hacia el norte a 120 km/h y C hacia el oeste a 60 km/h. ¿Cuál será la distancia entre A y C cuando hayan transcurrido 2 horas y cuál será la distancia entre A y B en ese instante? Demostración. A las 2 horas, sus posiciones son: A = (180, 0) km, B = (0, 240) km y C = (−120, 0) km. La distancia entre A y C es la separación sobre el eje este-oeste: AC = |180 − (−120)| = 300 km. La distancia entre A y B es AB = q (180 − 0)2 + (0 − 240)2 = Æ 1802 + 2402 = p 90000 = 300 km. Helbert Justo Luque Zevallos 494 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES Por lo tanto, tras 2 horas, AC = 300 km y AB = 300 km. ■ 1.1.2. Problemas con costos y precios Problema 571 Una empresa produce dos artículos, A y B. El artículo A se vende a $120 con un costo variable de $70 por unidad, mientras que el artículo B se vende a $150 con un costo variable de $90 por unidad. Los costos fijos de la empresa son $30,000. Si la proporción de ventas es 3:2 a favor de A, determine el número de unidades de cada producto que deben venderse para alcanzar el punto de equilibrio. Demostración. Las contribuciones unitarias son mA = 120 − 70 = 50 y mB = 150 − 90 = 60. Con mezcla 3 : 2, cada paquete de 5 unidades (tres A y dos B) aporta mpaquete = 3 · 50 + 2 · 60 = 270. El número de paquetes de equilibrio es n = 30000 270 = 111.1. En términos exactos, el equilibrio ocurre con 3n = 333.3 unidades de A y 2n = 222.2 de B. Si se requieren cantidades enteras respetando la mezcla, el mínimo es 112 paquetes: A = 336 y B = 224, cuya contribución 112 · 270 = 30240 cubre los costos fijos. Por lo tanto, en la práctica se necesitan 336 unidades de A y 224 de B. ■ Problema 572 Un fabricante vende un producto a $200, con un costo variable de $120 por unidad y costos fijos de $8,000. Si se aplica un descuento del 15 % en el precio de venta y se desea obtener un beneficio neto de $12,000, Razonamiento Lógico Matemático 495 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO10. MODELACIÓN MATEMÁTICA determine el número mínimo de unidades que deben venderse. Demostración. El nuevo precio es 200(1 − 0,15) = 170 y la contribución unitaria es 170 − 120 = 50. Para lograr un beneficio de 12000 se requiere contribución total de 8000 + 12000 = 20000, por lo que q = 20000 50 = 400. Se deben vender al menos 400 unidades para alcanzar el beneficio deseado. ■ Problema 573 Una empresa produce un máximo de 500 unidades al mes. El precio de venta por unidad es de $80, el costo variable unitario es de $40 y los costos fijos ascienden a $10,000. Determine cuál es el beneficio máximo posible y cuántas unidades deben producirse y venderse para alcanzarlo. Demostración. El beneficio para una producción q ≤ 500 es π(q) = (80 − 40)q − 10000 = 40q − 10000, función lineal creciente en q. El máximo bajo la restricción se logra en q = 500: πm́x = 40 · 500 − 10000 = 10000. El beneficio máximo es 10000 y se alcanza produciendo y vendiendo 500 unidades. ■ Problema 574 Un producto puede venderse a dos precios distintos: $100 con una de- manda proyectada de 500 unidades, o $90 con una demanda de 700 unidades. El costo fijo es de $20,000 y el costo variable por unidad es de Helbert Justo Luque Zevallos 496 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES $50. Determine en qué escenario se obtiene mayor beneficio y cuál debe elegirse. Demostración. Para P = 100, la contribución unitaria es 50 y el beneficio π1 = 50 · 500 − 20000 = 5000. Para P = 90, la contribución unitaria es 40 y el beneficio π2 = 40 · 700 − 20000 = 8000. Como π2 π1, conviene el precio 90 con 700 unidades, que genera un beneficio de 8000. ■ Problema 575 La demanda de un producto está dada por la función lineal q(p) = 1, 000−5p, donde p es el precio por unidad. El costo fijo es de $15,000 y el costo variable unitario es de $20. Determine el precio p que maximi- za el beneficio y calcule dicho beneficio máximo. Demostración. El ingreso es R(p) = p(1000 − 5p) = 1000p − 5p2 y el costo C(p) = 15000 + 20(1000 − 5p) = 35000 − 100p. El beneficio (p) = R(p) − C(p) = 1100p − 5p2 − 35000 es cuadrática cóncava, cuyo máximo satisface d dp = 1100 − 10p = 0, de donde p∗ = 110. Entonces (p∗ ) = 1100 · 110 − 5 · 1102 − 35000 = 25500. El precio que maximiza el beneficio es p = 110 y el beneficio máximo es Razonamiento Lógico Matemático 497 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO10. MODELACIÓN MATEMÁTICA 25500. ■ Problema 576 Una fábrica presenta un costo variable unitario que aumenta con la pro- ducción según la fórmula c(q) = 30 + 0,02q, donde q es la cantidad producida. El precio de venta por unidad es de $80 y los costos fijos as- cienden a $25,000. Determine la cantidad de producción que maximiza el beneficio y el valor del beneficio máximo. Demostración. El costo variable total es CV(q) = q c(q) = q(30+0,02q) = 30q + 0,02q2 . El ingreso es (q) = 80q. El beneficio es π(q) = (q) − CV(q) − 25000 = −0,02q2 + 50q − 25000, cuadrática cóncava. El máximo se obtiene con π′ (q) = −0,04q + 50 = 0, de donde q∗ = 50 0,04 = 1250. El beneficio máximo es π(q∗ ) = −0,02(1250)2 +50·1250−25000 = −31250+62500−25000 = 6250. La producción que maximiza el beneficio es q∗ = 1250 unidades y el bene- ficio máximo es $6,250. ■ Problema 577 Una empresa vende un producto a $50 por unidad, con costos fijos de $12,000 y costos variables de $35 por unidad. Si en un mes solo logra vender 600 unidades, determine si obtiene beneficio o pérdida y calcule el monto exacto. Demostración. La contribución unitaria es 50 − 35 = 15. Con 600 unida- des, la contribución total es 15 · 600 = 9000. El beneficio es π = 9000 − 12000 = −3000. Helbert Justo Luque Zevallos 498 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA1.1. ECUACIONES LINEALES Se obtiene una pérdida de $3,000. ■ Problema 578 Una compañía produce un artículo que se vende a $250. El costo fijo mensual es de $40,000 y el costo variable por unidad es de $150. De- termine el margen de contribución por unidad, el número de unidades necesarias para el punto de equilibrio y la cantidad de ventas necesarias para obtener un beneficio de $20,000. Demostración. El margen de contribución por unidad es 250− 150 = 100. El punto de equilibrio en unidades es qpe = 40000 100 = 400. Para un beneficio de $20,000 se requiere una contribución total de 40000 + 20000 = 60000, por lo que q = 60000 100 = 600. Con 600 unidades, el ingreso de ventas es 250·600 = 150000. Por tanto: margen $100 por unidad, equilibrio a 400 unidades y para $20,000 de bene- ficio se necesitan 600 unidades (ventas $150,000). ■ Problema 579 Una empresa analiza dos proyectos: ✿ Proyecto A: costos fijos $50,000, costo variable por unidad $60, precio de venta $100. ✿ Proyecto B: costos fijos $80,000, costo variable por unidad $40, precio de venta $90. Determine a partir de qué cantidad de ventas conviene elegir el Proyecto B en lugar del Proyecto A. Razonamiento Lógico Matemático 499 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. ECUACIONES LINEALESCAPÍTULO10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Demostración. Los beneficios en función de q son πA(q) = (100 − 60)q − 50000 = 40q − 50000, πB(q) = (90 − 40)q − 80000 = 50q − 80000. Conviene B cuando πB(q) ≥ πA(q): 50q − 80000 ≥ 40q − 50000 =⇒ 10q ≥ 30000 =⇒ q ≥ 3000. A partir de 3000 unidades (inclusive) conviene el Proyecto B; con menos de 3000 conviene el A. ■ Problema 580 La demanda de un producto sigue la relación q = 2, 000 − 10p, con p el precio por unidad. Los costos fijos ascienden a $50,000 y el costo variable unitario es de $20. Encuentre el precio de venta que maximiza el beneficio y calcule dicho beneficio. Demostración. El ingreso es R(p) = p(2000 − 10p) = 2000p − 10p2 . El costo total es C(p) = 50000 + 20(2000 − 10p) = 90000 − 200p. El beneficio es (p) = R(p) − C(p) = −10p2 + 2200p − 90000, cuadrática cóncava. El máximo satisface d dp = −20p + 2200 = 0, dando p∗ = 110. El beneficio máximo es (p∗ ) = −10(110)2 +2200·110−90000 = −121000+242000−90000 = 31000. El precio óptimo es p∗ = 110 y el beneficio máximo es $31,000. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 500 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA 1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA 1.2. Resolución gráfica 1.2.1. Gráficas de ecuaciones de primer grado Problema 581 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y tiene pen- diente m = − 3 4 . Grafíquela e indique sus intersecciones con los ejes coordenados. Demostración. Utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la rec- ta: y − y1 = m( − 1) Sustituyendo el punto (2, 5) y la pendiente m = − 3 4 : y − 5 = − 3 4 ( − 2) Desarrollando: y − 5 = − 3 4  + 3 2 y = − 3 4  + 3 2 + 5 y = − 3 4  + 13 2 Para hallar la intersección con el eje  (donde y = 0): 0 = − 3 4  + 13 2 3 4  = 13 2  = 13 2 · 4 3 = 26 3 Intersección con eje : € 26 3 , 0 Š Razonamiento Lógico Matemático 501 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICACAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA Para hallar la intersección con el eje y (donde  = 0): y = − 3 4 (0) + 13 2 = 13 2 Intersección con eje y: € 0, 13 2 Š  y (2, 5) ( 26 3 , 0) (0, 13 2 ) 2 4 6 8 2 4 6 Por lo tanto, la ecuación de la recta es y = − 3 4  + 13 2 , con intersecciones en € 26 3 , 0 Š y € 0, 13 2 Š . ■ Problema 582 Determine la ecuación de la recta paralela a y = 2 − 3 que pasa por el punto (4, 1). Justifique algebraicamente y represente gráficamente. Demostración. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendien- te. La recta dada y = 2 − 3 tiene pendiente m = 2. Por lo tanto, la recta buscada también tiene pendiente m = 2 y pasa por el punto (4, 1). Usando la forma punto-pendiente: y − 1 = 2( − 4) y − 1 = 2 − 8 Helbert Justo Luque Zevallos 502 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA 1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA y = 2 − 7 Verificación algebraica: Ambas rectas tienen la forma y = 2 + b, con b1 = −3 y b2 = −7. Como las pendientes son iguales (m1 = m2 = 2) y los interceptos diferentes (b1 ̸= b2), las rectas son paralelas.  y y = 2 − 3 y = 2 − 7 (4, 1) 2 4 −2 2 4 La ecuación de la recta paralela es y = 2 − 7. ■ Problema 583 Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a 3 − 4y + 12 = 0 que pasa por el punto (2, −1). Verifique que el producto de pendientes es −1. Demostración. Primero, encontramos la pendiente de la recta dada. Reescri- bimos 3 − 4y + 12 = 0 en la forma pendiente-ordenada: −4y = −3 − 12 y = 3 4  + 3 La pendiente de la recta dada es m1 = 3 4 . Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes Razonamiento Lógico Matemático 503 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICACAPÍTULO 10. MODELACIÓN MATEMÁTICA debe ser −1: m1 · m2 = −1 3 4 · m2 = −1 m2 = − 4 3 Usando la forma punto-pendiente con el punto (2, −1) y pendiente m2 = − 4 3 : y − (−1) = − 4 3 ( − 2) y + 1 = − 4 3  + 8 3 y = − 4 3  + 8 3 − 1 y = − 4 3  + 5 3 Verificación: m1 · m2 = 3 4 · € − 4 3 Š = − 12 12 = −1 ✓  y 3 − 4y + 12 = 0 y = − 4 3  + 5 3 (2, −1) −4 −2 2 4 2 4 6 Helbert Justo Luque Zevallos 504 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 10. MODELACIÓNMATEMÁTICA 1.2. RESOLUCIÓN GRÁFICA La ecuación de la recta perpendicular es y = − 4 3  + 5 3 . ■ Problema 584 Calcule el punto de intersección de las rectas y = 1 2 +1 y y = −2+5. Represéntelas en el plano cartesiano e interprete geométricamente el resultado. Demostración. Para hallar el punto de intersección, igualamos las dos ecua- ciones: 1 2  + 1 = −2 + 5 Multiplicando por 2 para eliminar fracciones:  + 2 = −4 + 10  + 4 = 10 − 2 5 = 8  = 8 5 Sustituyendo en la primera ecuación: y = 1 2 · 8 5 + 1 = 4 5 + 1 = 9 5 Verificación en la segunda ecuación: y = −2 · 8 5 + 5 = − 16 5 + 25 5 = 9 5 ✓ Razonamiento Lógico Matemático 505 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Parte IV Razonamiento Geométrico RazonamientoLógico Matemático 671 Helbert Justo Luque Zevallos
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    Capítulo 13 Proporcionalidady Semejanza 1.1. Teorema de Tales 1.1.1. Aplicación en triángulos Problema 741 Demuestre que en un triángulo isósceles la altura relativa a la base coin- cide con la mediana y la bisectriz, y utilice esta propiedad para calcular la altura en un triángulo isósceles de lados , , b. Demostración. Sea △ABC isósceles con AB = AC =  y base BC = b. Trace desde A la altura AD a la base BC, de modo que AD ⊥ BC en D. Entonces los triángulos rectángulos △ABD y △ACD tienen AB = AC y com- parten AD; además BD = DC si y solo si son congruentes. Por el criterio LAL (lado–ángulo recto–lado), △ABD ∼ = △ACD. De la congruencia se deduce BD = DC (luego AD es mediana) y ∠BAD = ∠DAC (luego AD es bisectriz). Para la altura, por Pitágoras en △ABD, AD = Æ AB2 − BD2 = v u t 2 − b 2 2 . Concluimos que en un triángulo isósceles la altura a la base es simultánea- mente mediana y bisectriz, y su longitud vale h = r 2 − b2 4 . ■ Problema 742 En un triángulo rectángulo de catetos  y b, halle las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa c y demuestre que h2 = m · n. Demostración. Sea △ABC rectángulo en A, con BC = c, AB = c1 = , Razonamiento Lógico Matemático 673 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TEOREMA DETALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA AC = c2 = b. Trace la altura AH = h a BC con pie H, y denote BH = m, HC = n; entonces m + n = c. Por semejanza de triángulos (Teorema de las alturas en el rectángulo), △ABC ∼ △ABH ∼ △AHC. De la semejanza se obtiene AB BC = BH AB ⇒ 2 = c m, AC BC = HC AC ⇒ b2 = c n. Además, △AHB ∼ △AHC ⇒ AH BH = HC AH ⇒ h2 = mn. Por tanto, las proyecciones cumplen m = 2 c , n = b2 c y h2 = mn. ■ Problema 743 Sea △ABC con AB = 10, AC = 14. Una ceviana desde A corta al lado BC en D de modo que BD : DC = 2 : 3. Utilizando semejanza de triángulos, determine la longitud de AD si BC = 12. Demostración. Del cociente BD : DC = 2 : 3 y BC = 12 se obtiene BD = 2 5 · 12 = 24 5 y DC = 3 5 · 12 = 36 5 . Denote b = AC = 14, c = AB = 10,  = BC = 12, m = BD = 24 5 , n = DC = 36 5 . Por el teorema de Stewart (derivable de semejanza y ley de cosenos), b2 n + c2 m =  AD2 + mn . Despejando, AD2 = b2n + c2m  −mn = 196 · 36 5 + 100 · 24 5 12 − 24 5 · 36 5 = 9456 60 − 864 25 = 3076 25 . Helbert Justo Luque Zevallos 674 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES Por tanto, AD = p 3076 5 = 2 p 769 5 ≈ 11,09. ■ Problema 744 Demuestre que en cualquier triángulo △ABC, la altura h relativa al lado  puede expresarse como h = b sin C = c sin B utilizando semejanza de triángulos. Demostración. Sea h la altura desde A al lado BC = , con pie H. Los triángulos rectángulos △ABH y △ACH son semejantes, respectivamente, a △ABC (comparten ángulos B y C). En △ABH se tiene sin B = h c ⇒ h = c sin B, y en △ACH, sin C = h b ⇒ h = b sin C. Luego h = b sin C = c sin B, como se quería. ■ Problema 745 Sea △ABC con AB = 8, AC = 6 y bisectriz del ángulo A cortando a BC en D. Demuestre que BD DC = AB AC y calcule BD y DC si BC = 10. Demostración. Trace por A la bisectriz que corta a BC en D. Considere los triángulos △ABD y △ADC: comparten el ángulo en A que ha sido bisecado, de modo que ∠BAD = ∠DAC, y comparten el ángulo en D al ser adyacentes sobre la recta BC; por semejanza (AAA) se deduce BD DC = AB AC . Razonamiento Lógico Matemático 675 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TEOREMA DETALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Con AB = 8, AC = 6, resulta BD DC = 8 6 = 4 3 . Además, BD+DC = BC = 10, por lo que BD = 4 7 · 10 = 40 7 , DC = 3 7 · 10 = 30 7 . Así, la razón de segmentos coincide con la razón de lados adyacentes, y los valores son BD = 40 7 y DC = 30 7 . ■ Problema 746 En un triángulo equilátero de lado , determine el punto interior P que minimiza el área del triángulo APB y justifique la solución mediante se- mejanza. Demostración. Sea h la altura del triángulo equilátero y sea d(P, AB) la dis- tancia de P a la recta que contiene AB. Para cualquier punto interior P, [APB] = 1 2 AB · d(P, AB) =  2 d(P, AB). Considérese el triángulo rectángulo formado por la altura y la paralela por P al lado AB; por semejanza de triángulos rectángulos, d(P, AB) es proporcio- nal a la “profundidad” de P hacia el interior medida sobre la altura. Por ser d(P, AB) 0 para puntos estrictamente interiores y poder hacerse tan pe- queño como se quiera acercando P a AB, se concluye que [APB] no alcanza un mínimo positivo en el interior: su ínfimo es 0, aproximable con P tendien- do a AB. En consecuencia, no existe punto interior que minimice [APB]; el ínfimo 0 se logra sólo en el borde AB. ■ Problema 747 Demuestre que el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con cada lado de un triángulo divide dicho lado en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. Demostración. Sea △ABC y su circunferencia inscrita de centro  tangente a Helbert Justo Luque Zevallos 676 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES BC, CA, AB en D, E, F, respectivamente. Por propiedad de tangentes desde un punto, BF = BA − AB ∩ tangencia = s − b y AF = s − , donde s es el semiperímetro; análogamente, CE = s − c, AE = s − , BD = s − b, DC = s − c. Consideremos los triángulos rectángulos △BF y △CF; ambos comparten el ángulo en  y son rectángulos, luego son semejantes, lo que preserva las razones de proyecciones sobre AB y AC. En particular, BD DC = s − b s − c = AB AC , CE EA = s − c s −  = BC BA , AF FB = s −  s − b = CA CB . Así, cada punto de tangencia divide el lado en la razón de los lados adyacen- tes. ■ Problema 748 Use la semejanza de triángulos para demostrar el teorema de Menelao en un triángulo △ABC cortado por una transversal que intersecta a los lados (o sus prolongaciones). Demostración. Sea una transversal que intersecta AB, BC, CA en P, Q, R, respectivamente (admitiendo intersecciones en prolongaciones). Traza por A una paralela a la transversal que corte las rectas BP y CQ en P′ , Q′ . Por construcción, △ABP ∼ △AP′ B y △BCQ ∼ △CQ′ B, por lo que AP PB = AP′ P′B , BQ QC = BQ′ Q′C . Análogamente, usando la tercera pareja con CR y AR, se obtiene una tercera razón semejante. Como P′ Q′ es paralela a la transversal, los triángulos AP′ Q′ y ARQ son semejantes, lo que relaciona los cocientes anteriores y conduce a AP PB · BQ QC · CR RA = 1, que es la identidad de Menelao (con el signo adecuado si algunas interseccio- Razonamiento Lógico Matemático 677 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TEOREMA DETALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA nes están en prolongaciones). La deducción se apoya únicamente en seme- janza de triángulos originada por trazos paralelos. ■ Problema 749 Demuestre que en un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hi- potenusa es igual a la mitad de la hipotenusa, utilizando semejanza de triángulos. Demostración. Sea △ABC rectángulo en A, hipotenusa BC = c, y M el punto medio de BC. Considérese los triángulos △ABM y △CBM: comparten el ángulo en B y tienen ∠AMB = ∠CMB por ser adyacentes en la recta BC; además, ∠ABM = ∠CBM por construcción de M. Más directo: los triángulos △ABC y △AMB son semejantes (ángulo recto en A y ángulo en B común), por lo que AM AB = MB BC . Como MB = c 2 y AB es un cateto de △ABC, análogamente con la semejanza △ABC ∼ △AMC se obtiene la misma razón usando el ángulo en C. Combi- nando, resulta AM = c 2 . Por tanto, la mediana a la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa. ■ Problema 750 Un poste de 12 m proyecta una sombra de 8 m en el mismo instante en que un árbol proyecta una sombra de 20 m. Usando semejanza de triángulos, determine la altura del árbol. Demostración. Los triángulos formados por altura y sombra del poste y del árbol son semejantes (mismo ángulo solar de elevación). Si H es la altura del árbol, entonces H 20 = 12 8 =⇒ H = 20 · 12 8 = 30. Helbert Justo Luque Zevallos 678 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES La altura del árbol es 30 metros. ■ 1.1.2. Aplicación en sombras y escalas Problema 751 Un poste de 2,5 m proyecta una sombra de 3,2 m al mismo tiempo que una torre proyecta una sombra de 28,8 m. Calcule la altura de la torre usando semejanza de triángulos. Demostración. En un mismo instante el ángulo solar es el mismo, por lo que los triángulos semejantes dan la proporción altura de la torre 28,8 = 2,5 3,2 . Así, H = 28,8 · 2,5 3,2 = 28,8 · 25 32 = 720 32 = 22,5. La torre mide 22,5 m. ■ Problema 752 Un edificio de h metros proyecta una sombra de 12 m cuando el ángulo de elevación del sol es θ. Exprese h en función de θ y determine su valor si θ = 60◦ . Demostración. Por trigonometría en el triángulo rectángulo formado por la altura y la sombra, tn θ = h 12 =⇒ h = 12 tn θ. Para θ = 60◦ , tn 60◦ = p 3, luego h = 12 p 3 ≈ 20,7846 m. ■ Razonamiento Lógico Matemático 679 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TEOREMA DETALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 753 En un plano a escala 1 : 25, 000, la distancia entre dos ciudades es de 12 cm. Determine la distancia real en kilómetros y calcule cuánto mediría un lago de área 36 cm2 en la realidad. Demostración. Cada centímetro en el plano representa 25,000 cm reales. La distancia real es 12 · 25,000 = 300,000 cm = 3,000 m = 3 km. El factor de escala de áreas es (25,000)2 . Así, el área real del lago es 36 · (25,000)2 = 36 · 625,000,000 = 22,500,000,000 cm2 . Como 1 km2 = 1010 cm2 , se obtiene 22,500,000,000 cm2 = 2,25 km2 . La distancia real es 3 km y el área real es 2,25 km2 . ■ Problema 754 Un árbol y un poste vertical proyectan sombras al mismo tiempo. El ár- bol mide 15 m y su sombra 20 m, mientras que el poste proyecta una sombra de 4,8 m. Determine la altura del poste. Demostración. Por semejanza, la razón altura/sombra es constante: altura del poste 4,8 = 15 20 = 3 4 . Entonces H = 3 4 · 4,8 = 3,6 m. Helbert Justo Luque Zevallos 680 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES La altura del poste es 3,6 m. ■ Problema 755 Una maqueta de un edificio se realiza a escala 1 : 40. Si el edificio real mide 80 m de altura y tiene un volumen de 25, 600 m3 , determine la altura y el volumen de la maqueta. Demostración. La escala lineal es 1/40. La altura de la maqueta es hmaqueta = 80 40 = 2 m. El factor de escala volumétrico es (1/40)3 = 1/64,000. Por tanto, Vmaqueta = 25,600 64,000 = 0,4 m3 . La maqueta tiene 2 m de altura y volumen 0,4 m3 . ■ Problema 756 Una torre y un mástil proyectan sombras de 24 m y 6 m, respectivamen- te. Si el mástil mide 4,5 m, determine la altura de la torre. Verifique el resultado aplicando semejanza de triángulos. Demostración. En el mismo instante el ángulo solar es común, por lo que los triángulos rectángulos (altura–sombra) son semejantes y se conserva la razón altura/sombra: Htorre 24 = 4,5 6 . Despejando, Htorre = 24 · 4,5 6 = 24 · 3 4 = 18. Por semejanza la proporción se cumple en ambos triángulos, confirmando que la torre mide 18 m. ■ Razonamiento Lógico Matemático 681 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.1. TEOREMA DETALESCAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 757 Un mapa tiene escala 1 : 150, 000. Un río mide 7,5 cm en el mapa. Determine la longitud real del río en kilómetros. Si en otro mapa aparece con escala 1 : 100, 000, ¿cuánto mediría en ese nuevo mapa? Demostración. La escala 1 : 150,000 implica 1 cm en el mapa ↔ 150,000 cm reales. Entonces Lreal = 7,5 × 150,000 = 1,125,000 cm = 11,250 m = 11,25 km. En una escala 1 : 100,000, la longitud en el mapa es la real en centímetros dividida entre 100,000: Lmapa nuevo = 1,125,000 100,000 = 11,25 cm. Por tanto, la longitud real es 11,25 km y en el nuevo mapa mediría 11,25 cm. ■ Problema 758 Un poste de 3 m proyecta una sombra de 2,4 m. Al mismo tiempo, un árbol proyecta una sombra de 18 m. Calcule la altura del árbol. Luego determine la longitud de la sombra del árbol si el poste proyectara 4 m de sombra bajo otro ángulo solar. Demostración. Con el mismo ángulo solar, la razón altura/sombra es cons- tante: Hárbol 18 = 3 2,4 = 5 4 =⇒ Hárbol = 18 · 5 4 = 22,5 m. Si cambia el ángulo y el poste proyecta 4 m, la nueva razón es 3 4 . En ese Helbert Justo Luque Zevallos 682 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.1. TEOREMA DE TALES instante la sombra del árbol s satisface 22,5 s = 3 4 =⇒ s = 22,5 · 4 3 = 30 m. Así, el árbol mide 22,5 m y su sombra sería 30 m bajo el nuevo ángulo solar. ■ Problema 759 Una maqueta de un puente tiene un área de tablero de 0,48 m2 y fue construida a escala 1 : 120. Determine el área real del tablero y el volumen aproximado del puente si la altura media es de 6 m. Demostración. El factor de escala de áreas es 1202 = 14,400. Luego el área real es Areal = 0,48 × 14,400 = 6,912 m2 . Aproximando el volumen como base por altura media, V ≈ Areal · 6 = 6,912 × 6 = 41,472 m3 . El tablero real tiene 6,912 m2 y el volumen aproximado es 41,472 m3 . ■ Problema 760 Un obelisco proyecta una sombra de 45 m. En el mismo instante, un poste de 2 m proyecta una sombra de 1,5 m. Determine la altura del obelisco. Luego represente en un plano a escala 1 : 500 la altura del obelisco y la longitud de su sombra. Demostración. Por semejanza, Hobelisco 45 = 2 1,5 = 4 3 =⇒ Hobelisco = 45 · 4 3 = 60 m. En escala 1 : 500, una longitud L se representa como L/500 en metros del Razonamiento Lógico Matemático 683 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.2. CRITERIOS DESEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA plano. Por tanto, altura en el plano = 60 500 = 0,12 m = 12 cm, sombra en el plano = 45 500 = 0,09 m = 9 cm. El obelisco mide 60 m; en el plano a 1:500 se representan 12 cm de altura y 9 cm de sombra. ■ 1.2. Criterios de semejanza 1.2.1. Aplicación en mapas y diseños Problema 761 En un mapa a escala 1 : 200, 000, la distancia entre dos ciudades es de 7,5 cm. Determine la distancia real en kilómetros. Luego, exprese la misma distancia en un mapa a escala 1 : 50, 000 y calcule cuántos centímetros ocuparía. Demostración. A escala 1 : 200,000, cada centímetro del mapa representa 200,000 cm reales. Por tanto, la distancia real es 7,5 × 200,000 = 1,500,000 cm = 15,000 m = 15 km. En un mapa a escala 1 : 50,000, la longitud representada es la distancia real en centímetros dividida entre 50,000: 1,500,000 50,000 = 30 cm. La distancia real es 15 km y, a escala 1 : 50,000, ocuparía 30 cm en el mapa. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 684 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA Problema 762 Un plano de una vivienda fue elaborado a escala 1 : 100, pero se ne- cesita reescalarlo a 1 : 50. Si una pared mide 8 cm en el plano original, ¿cuánto medirá en el plano ampliado? ¿Cuál será la relación entre las áreas de las dos representaciones? Demostración. Sea L la longitud real de la pared. En 1 : 100 se representa como L/100 = 8 cm, luego L = 800 cm. En 1 : 50 la longitud dibujada es L/50 = 800/50 = 16 cm. El factor lineal de ampliación es 2, por lo que las áreas se escalan con el cuadrado del factor: 22 = 4. Así, la pared medirá 16 cm en el plano 1 : 50 y el área en el plano ampliado es 4 veces la del original. ■ Problema 763 En un mapa a escala 1 : 250, 000, un lago ocupa un área de 12 cm2 . Determine el área real en kilómetros cuadrados. Luego, calcule cuál sería el área representada en un mapa a escala 1 : 100, 000. Demostración. El factor de escala de áreas es (250,000)2 . El área real es Areal = 12·(250,000)2 = 12·62,500,000,000 = 750,000,000,000 cm2 . Como 1 km2 = 1010 cm2 , se obtiene Areal = 7,5 × 1011 1010 = 75 km2 . A escala 1 : 100,000, el área dibujada es Areal dividido entre (100,000)2 = 1010 : Amapa = 7,5 × 1011 cm2 1010 = 75 cm2 . El área real es 75 km2 y, a escala 1 : 100,000, se representaría con 75 cm2 . ■ Razonamiento Lógico Matemático 685 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.2. CRITERIOS DESEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 764 Un parque rectangular de dimensiones reales 120 × 80 metros debe ser representado en un plano a escala 1 : 500. Determine las dimen- siones en el plano. Si se desea realizar un segundo plano más detallado a escala 1 : 200, ¿qué dimensiones tendría en este nuevo plano? Demostración. A escala 1 : 500, las dimensiones representadas son 120 500 = 0,24 m = 24 cm, 80 500 = 0,16 m = 16 cm. A escala 1 : 200, las dimensiones son 120 200 = 0,6 m = 60 cm, 80 200 = 0,4 m = 40 cm. Por tanto, el plano 1 : 500 muestra 24 cm × 16 cm y el plano 1 : 200 muestra 60 cm × 40 cm. ■ Problema 765 Una maqueta de un tanque cilíndrico se construye a escala 1 : 25. Si el tanque real tiene un volumen de 490 π m3 , determine el volumen de la maqueta. ¿Qué relación existe entre los volúmenes del modelo y del tanque real? Demostración. El factor de escala volumétrico es el cubo del factor lineal: (1/25)3 = 1/15625. Por tanto, Vmaqueta = 490π 15625 = 98π 3125 m3 . La relación entre volúmenes es Vmaqueta/Vreal = (1/25)3 . ■ Helbert Justo Luque Zevallos 686 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA Problema 766 En un mapa topográfico a escala 1 : 50, 000, la distancia horizontal entre dos curvas de nivel consecutivas es de 2 cm, representando una diferencia de altura de 20 metros. Determine la pendiente real del te- rreno en porcentaje. Demostración. La distancia horizontal real entre curvas es 2 cm × 50,000 = 100,000 cm = 1,000 m. La pendiente en porcentaje es pendiente ( %) = Δh Δ · 100 = 20 1,000 · 100 = 2 %. La pendiente real es 2 %. ■ Problema 767 Un ingeniero civil diseña una curva de carretera con radio real de 400 metros. Si el plano se dibuja a escala 1 : 2, 000, determine el radio de la curva en el plano en centímetros. ¿Cómo cambiaría el radio en el plano si se emplea una escala 1 : 500? Demostración. En 1 : 2,000, el radio dibujado es 400 m 2,000 = 0,2 m = 20 cm. En 1 : 500, el radio dibujado es 400 m 500 = 0,8 m = 80 cm. Por tanto, a 1:2,000 el radio en el plano es 20 cm y a 1:500 es 80 cm. ■ Razonamiento Lógico Matemático 687 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.2. CRITERIOS DESEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Problema 768 Una parcela agrícola tiene forma cuadrada y un área real de 9 hectáreas. Determine la longitud de cada lado en un plano a escala 1 : 10, 000. Luego, represente el área en centímetros cuadrados dentro del plano. Demostración. Como 1 ha = 10,000 m2 , el área real es 9 × 10,000 = 90,000 m2 . El lado real es p 90,000 = 300 m. A escala 1:10,000, el lado dibujado es 300 m 10,000 = 0,03 m = 3 cm. El área en el plano es 3 cm × 3 cm = 9 cm2 . ■ Problema 769 En un mapa a escala 1 : 100, 000, la carretera entre dos pueblos mi- de 12 cm. En otro mapa a escala 1 : 250, 000, la misma carretera aparece con otra medida. Determine cuál es la longitud en cada mapa y explique la diferencia en representación. Demostración. La distancia real es 12 cm × 100,000 = 1,200,000 cm = 12,000 m = 12 km. En el mapa 1:250,000, la longitud dibujada correspondiente es 1,200,000 cm 250,000 = 4,8 cm. Así, la carretera mide 12 cm en 1:100,000 y 4,8 cm en 1:250,000; una escala con denominador mayor representa la misma distancia con menor lon- Helbert Justo Luque Zevallos 688 Razonamiento Lógico Matemático
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    CAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDADY SEMEJANZA1.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA gitud en el papel. ■ Problema 770 Un arquitecto elabora una maqueta tridimensional de un edificio cúbico de 30 metros de lado, a escala 1 : 150. Calcule: 1. La longitud de los lados en la maqueta. 2. El área superficial de la maqueta. 3. El volumen de la maqueta. Compare con las magnitudes reales y verifique la proporcionalidad de k, k2 y k3 . Demostración. Sea k = 1/150 el factor lineal. (1) Lado en maqueta: 30 m · k = 30 150 = 0,2 m = 20 cm. (2) Área superficial real = 6 · 302 = 5,400 m2 , Amaqueta = 5,400 · k2 = 5,400 · 1 1502 = 0,24 m2 . (3) Volumen real = 303 = 27,000 m3 , Vmaqueta = 27,000 · k3 = 27,000 · 1 1503 = 0,008 m3 . Se verifica la proporcionalidad: longitudes ∝ k, áreas ∝ k2 y volúmenes ∝ k3 . ■ 1.2.2. Proporciones en figuras geométricas Problema 771 Dos prismas rectos semejantes tienen alturas de 12 cm y 30 cm. Si el volumen del prisma menor es 864 cm3 , determine el volumen del prisma mayor. Demostración. En sólidos semejantes, toda longitud escala por un factor k y Razonamiento Lógico Matemático 689 Helbert Justo Luque Zevallos
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    1.2. CRITERIOS DESEMEJANZACAPÍTULO 13. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA los volúmenes por k3 . Con alturas 12 y 30, k = 30 12 = 5 2 . Entonces Vmayor = Vmenor·k3 = 864 5 2 3 = 864· 125 8 = 108·125 = 1,687,5 cm3 . El volumen del prisma mayor es 1,687,5 cm3 . ■ Problema 772 Dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes en la razón 3 : 5. Si el área del triángulo menor es 54 cm2 , calcule el área del triángulo mayor. Demostración. Si la razón lineal es 3 : 5, la razón de áreas es (3 : 5)2 = 9 : 25. Por tanto, Amayor = 54 · 25 9 = 6 · 25 = 150 cm2 . El triángulo mayor tiene área 150 cm2 . ■ Problema 773 Dos cilindros son semejantes con razón de semejanza k = 4 3 . Si el área superficial del cilindro menor es 135π cm2 , halle el área superficial del cilindro mayor. Demostración. Para sólidos semejantes, las áreas escalan por k2 . Así, Amayor = 135π 4 3 2 = 135π · 16 9 = 15 · 16 π = 240π cm2 . El área superficial del cilindro mayor es 240π cm2 . ■ Helbert Justo Luque Zevallos 690 Razonamiento Lógico Matemático
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    1.7. RAZONAMIENTO GEOMÉTRICOPLANO Y ESPACIAL por dos semicírculos que se cortan con ángulo en el centro igual al ángulo del triángulo). El área de un lunes de ángulo central θ es 2θR2 . La unión de los tres lunes cubre dos veces el triángulo y el resto de la esfera exactamente una vez, por lo que 2(α + β + γ)R2 = 4πR2 + 2 Area(△ABC). Dividiendo por 2R2 se obtiene α + β + γ = π + Area(△ABC) R2 . Así, la suma de los ángulos excede π y el exceso angular E = α + β + γ − π satisface E = Area/R2 (teorema de Girard). ■ Problema 1000 Prueba que toda isometría del plano es una traslación, una rotación, una reflexión o una simetría deslizante. Demostración. Toda isometría del plano euclídeo es composición de a lo su- mo tres reflexiones respecto de rectas. Si la composición tiene un número par de reflexiones, resulta una orientación preservada: dos reflexiones respecto de rectas concurrentes equivalen a una rotación (doble del ángulo entre rectas) y dos respecto de rectas paralelas equivalen a una traslación (doble del vector perpendicular entre rectas). Si el número es impar, se invierte la orientación: una reflexión simple es una reflexión axial; la composición de una reflexión y una traslación a lo largo de la dirección del eje produce una simetría deslizan- te, que no es reducible a rotación ni a reflexión sola. Como estas posibilidades agotan los casos según la paridad y la posición relativa de los ejes, toda iso- metría es una traslación, rotación, reflexión o simetría deslizante. ■ Helbert Justo Luque Zevallos 832 Razonamiento Lógico Matemático
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    Razonamiento Lógico-Matemático Helbert JustoLuque Zevallos 2025 Primera Edición 1 Serie: Mil Ejercicios de Matemática Kindle • Matemáticas Básicas • Razonamiento Lógico-Matemático • Análisis Matemático I • Álgebra • Estadı́stica y Teorı́a de Probabilidades • Análisis II • Álgebra Lineal I • Inferencia Estadı́stica • Análisis Real I • Análisis Numérico • Álgebra Lineal II • Estructuras Algebraicas • Topologı́a • Análisis Real II • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias • Optimización Lineal • Ecuaciones Diferenciales Parciales • Introducción a la Geometrı́a Hiperbólica • Teorı́a de Galois • Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferen- ciales • Medida e Integración • Optimización No Lineal • Teorı́a Cualitativa • Análisis Funcional • Geometrı́a Diferencial I • Introducción a la Topologı́a Algebraica • Variedades Diferenciables • Introducción a Métodos Variacionales para Ecuaciones Diferenciales • Introducción a la Topologı́a Diferencial • Superficies Mı́nimas I • Geometrı́a Diferencial II • Introducción al Método de Elementos Finitos • Introducción a la Geometrı́a de Formas Difer- enciales