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6. Contrastes de Hipótesis
Este documento describe los conceptos básicos de los contrastes de hipótesis estadísticos, incluyendo la hipótesis nula y alternativa, los estadísticos de contraste, la región crítica, y los tipos de errores. Explica que el objetivo es determinar si existe evidencia suficiente en los datos para rechazar la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa, pero nunca para aceptar la hipótesis nula. También discute ejemplos específicos de contrastes de hipótesis para la media y vari
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- 1. Instituto Tecnológico Superiorde Zacapoaxtla Departamento de Desarrollo Académico María del Consuelo Valle Espinosa
- 2. Un contraste dehipótesis estadístico se plantea como una decisión entre dos hipótesis. La hipótesis nula consiste en una afirmación acerca de la población de origen de la muestra. Usualmente, es más simple que su antagonista. Se designa a la hipótesis nula con el símbolo H0. La hipótesis alternativa es igualmente una afirmación acera de la población de origen. Muchas veces, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de H0. La hipótesis alternativa se designa con el símbolo H1.
- 3. Un estadístico decontraste es un estadístico cuyo valor se determina a partir de los datos de una muestra. Dependiendo del valor que tome este estadístico, la hipótesis nula será o no será rechazada. La región crítica, también denominada región de rechazo, es el conjunto de valores del estadístico de contraste para los que se rechazará la hipótesis nula.
- 4. El rechazo dela hipótesis nula Ho es una sentencia fuerte en el sentido de que Ho no parece ser consistente con los datos observados. No rechazar la hipótesis nula es una sentencia débil que se deberá interpretar en el sentido de que Ho es consistente con los datos.
- 5. El procedimiento clásicopara contrastar una hipótesis nula es fijar, primero, un pequeño nivel de significación α y, después, obligar a que, si Ho es cierta, la probabilidad de rechazar Ho sea menor o igual a α. Si se va a rechazar la hipótesis nula, se debe decir que existe evidencia suficiente como para aceptar la hipótesis de la investigación . Si se va a decir que la hipótesis de la investigación no se cumple (es decir, no se va a rechazar la hipótesis nula) se debe decir que no existe evidencia suficiente para aceptar la hipótesis de la investigación (es decir para rechazar la hipótesis nula).
- 6. El contraste dehipótesis estadísticas son procedimientos que solo rechazan la hipótesis nula Al final siempre se dice “hay evidencia suficiente” o “no hay evidencia suficiente” para rechazar la hipótesis nula. La clave está en no decir nunca “aceptar la hipótesis nula” ni “rechazar la hipótesis de la investigación”
- 7. Esto implica que antes de llevar a cabo el experimento, uno tiene en mente un valor para el parámetro poblacional. El propósito del experimento es obtener pruebas que contribuyan a defender o refutar el valor contrario al que ya se tiene pensado. La situación que deseamos defender o refutar se llama hipótesis de investigación (o hipótesis alterna)
- 15. La decisión derechazar o no la hipótesis nula está al fin y al cabo basado en la elección de una muestra tomada al azar, y por tanto es posible cometer decisiones erróneas. Los errores que se pueden cometer se clasifican como sigue: Error de tipo I: Es el error que consiste en rechazar Ho cuando es cierta. La probabilidad de cometer este error es lo que anteriormente hemos denominado nivel de significación. Es una costumbre establecida el denotarlo siempre con la letra α Error de tipo II: Es el error que consiste en no rechazar Ho cuando es falsa. La probabilidad de cometer este error la denotamos con la letra β
- 16. Los errores detipo I y II no están relacionados más que del siguiente modo: Cuando α decrece β crece. Por tanto no es posible encontrar contrastes que hagan tan pequeños como queramos ambos errores simultáneamente. De este modo es siempre necesario privilegiar a una de las hipótesis, de manera que no será rechazada, a menos que su falsedad se haga muy evidente. En los contrastes, la hipótesis privilegiada es Ho que sólo será rechazada cuando la evidencia de su falsedad supere el umbral del (1 − α).
- 17. Las hipótesis sobreµ pueden tomar tres formas generales, en donde µ0 es el valor hipotético de la media poblacional:
- 20. La Secretaría deSalud ha fijado en 70 el número medio de bacterias por centímetro cúbico de agua que constituye un nivel máximo aceptable para las aguas donde se recolecta almejas. Un valor superior a 70 parece ser peligroso porque comer almejas colectadas en tales aguas puede causar hepatitis. Se tomó una muestra aleatoria de 9 datos y el valor observado del estimador fue:
- 21. Dado que lamedia en la muestra es un estimador no sesgado para la media poblacional esperamos que el valor observado de la media en la muestra esté próximo a 70 si Ho es cierta. Esto fuerza al numerador del estimador a ser pequeño. Si embargo si Hi es cierta, esperamos que la media en la muestra sea mayor que 70, forzando al numerador del estimador a ser grande y positivo. De aquí que lógicamente rechacemos Ho siempre que el valor observado del estimador sea positivo y demasiado grande para que su aparición se deba al azar.
- 22. Por lo tanto,la región crítica natural para el contraste de hipótesis es la cola derecha, de la distribución T8 con un error de decisión (error del tipo I) de 5 %
- 23. Puesto que 2.12(valor observado del estimador) es mayor que 1.86 rechazamos Ho y declaramos que las aguas no son seguras para la recolección de almejas. Solamente hay un 5 % de posibilidad de que cometamos un error del tipo I
- 25. Los contrastes dehipótesis para la varianza de la población toman las mismas tres formas generales que los relativos a la media. En la figura se presentan, donde σo 2 es el valor hipotético de la varianza poblacional.
- 26. Bajo el supuestode que el valor hipotético de la varianza poblacional es correcto, sigue una distribución Chi- cuadrado con n – 1 grados de libertad. Las regiones criticas de rechazo para las tres formas anteriormente mencionadas se presentan en la figura.
- 27. La varianza habitualcon respecto a la altura de los machos de Lhasa Apso es de 0.25. Un criador está intentando reducir esta cifra. Después del periodo de crianza selectiva, hay que elegir y medir una muestra aleatoria de 15 machos. Puesto que el argumento del investigador se toma como hipótesis alterna, el propósito del experimento es contrastar: Ho; σ2 0.25 Hi; σ2 < 0.25 El estimador de prueba a utilizar es:
- 28. Cuando se realizóel experimento, se obtuvo una varianza de en la muestra de 0.21. El valor observado del estimador de prueba es 14(0.21)/0.25 = 11.76.
- 29. 11.76 no eslo suficientemente pequeño como para pretender que se haya reducido la variabilidad en la altura. Por lo tanto, no podemos rechazar Ho sobre la base de los datos disponibles.
- 30. Referencia: ESTADISTICA PARA BIOLOGIAY CIENCIAS DE LA SALUD J.SUSAN MILTON MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A., 2007 ISBN 9788448159962