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  Polinomios y fracciones 03 algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con expresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica en fracciones simples. d Trabajar con fracciones algebraicas con raíces.
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.1 Expresiones algebraicas 3.1 Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras ligados por operaciones. A las letras se les llama parte literal de la expresión y suelen designar magnitudes variables. Los números reciben el nombre de coeficientes. Algunos ejemplos son: b a) La expresión P 5 2a 1 2b puede servir para designar de forma genérica el perímetro de un rectángulo de lados a y b. Para un valor de P determinado, digamos P 5 100, la ex- a presión será 100 5 2a 1 2b. Fig. 3.1. b) La expresión D 5 10 000 2 2p puede dar la demanda de un producto en función de su precio p. Esta relación permite determinar la demanda para cada valor de p. e c) La fórmula v 5 expresa a velocidad de un objeto en función del espacio y el tiempo. t d) En física, la posición x de un móvil se expresa mediante una fórmula del tipo x 5 f(t), donde 1 t indica el tiempo transcurrido. Así, x 5 x 0 1 v 0t 1 at 2 da la posición de un móvil que parte 2 del punto x0 a una velocidad inicial v0 y está sujeto a una aceleración constante a. Si se fijan x0 5 0, v0 5 20 m/s y a 5 9,8 m/s2, la expresión queda: x 5 20t 1 4,9t2 En el CD y en el CEO (centro de e) La expresión P(x) 5 2x5 2 4x3 1 5x 2 6 es un polinomio de grado 5 en la indeterminada x. enseñanza on-line) creados para x 2 1 3 x 11 este proyecto podrás encontrar el f) A la expresión F ( x ) 5 se le llama fracción algebraica. siguiente material adicional: ( x 21)2 Enlaces, bibliografía y actividades g) x3 2 2 x2 1 1 5 0 es una expresión algebraica que recibe el nombre de ecuación. interactivas (polinomios y fracciones algebraicas). A. Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta cuando se sustituyen las letras por números. Por ejemplo: a) El valor numérico de P(x) 5 2x55 2 4x3 1 5x 2 6 para x 5 2 es: P(2)5 64 2 32 1 10 2 6 5 36. Análogamente, P(22) 5 248; y P(0) 5 26. b) En la expresión de la demanda, D 5 10 000 2 2p, el valor numérico para p 5 100 € es D 5 9 800. Este número indica que la demanda de un determinado producto será de 9 800 unidades cuando se vende a 100 €. x 2 1 3 x 11 21 c) Si F ( x ) 5 , los valores numéricos para x 5 21 y x 5 2 son: F( 21) 5 y ( x 21) 2 4 F(2) 5 1. d) Para t 5 10 s, la expresión x 5 20t 1 4,9t2 toma el valor x 5 690 m. Este resultado indica que el móvil se ha desplazado 690 metros al cabo de 10 segundos. e) Los valores de x que cumplen la expresión x3 2 2x2 1 1 5 0 reciben el nombre de solucio- nes. Para este caso, puedes comprobar que una de esas soluciones es x 5 1. 50
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.2 Polinomios: operaciones con polinomios 3.2 Polinomios: operaciones con polinomios Más datos… Los polinomios suelen darse ordenan- Un polinomio de grado n, en una variable x, es una expresión algebraica de la forma: do los términos por grados, de mayor P(x) 5 an x n 1 an 2 1x n 2 1 1 ... 1 a1x 1 a0, (an ± 0) a menor, o al revés. donde an, an21, …, a1, a0 son números llamados coeficientes. Todos lo exponentes deben ser El coeficiente 1 no suele escribirse: enteros positivos y el mayor de ellos, n en este caso, indica el grado del polinomio. x2 5 1 ? x2; 2x3 5 21 ? x3. A cada uno de los sumandos se les llama términos. Por ejemplo el término de grado 2 es a2X2. El término principal es anxn a, el de mayor grado. El número a0 se llama término indepen- diente. Dos términos son semejantes cuando sólo difieren en los coeficientes: anxn y bnxn son semejantes. En particular, 5x3 y 217x3 son semejantes; por el contrario, 10x2 y 10x no lo son. A. Suma y resta de polinomios Para sumar polinomios se agrupan, sumando o restando, los términos semejantes. a) La suma de monomios semejantes es inmediata. Así: 4x3 2 3x3 1 6x3 5 (4 2 3 1 6)x3 5 7x3 OJO: 2x5 2 4x3 no puede realizarse; b) Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes. Así: debe dejarse así. Lo más que puede (4x3 1 5x 2 6) 2 (3x3 2 2x2 1 7x) 1 (6x3 1 4x2 2 x 1 5) 5 hacerse es sacar factor común: 5 4x3 1 5x 2 6 2 3x3 1 2x2 2 7x 1 6x3 1 4x2 2 x 1 5 5 2x5 2 4x3 5 2x3 (x2 2 2). 5 (4x3 2 3x3 1 6x3 ) 1 (2x2 1 4x2 ) 1 (5x 2 7x 2 x) 1 (2 6 1 5) 5 5 7x3 1 6x2 2 3x 2 1 B. Multiplicación de polinomios Se utiliza la propiedad distributiva del producto y las propiedades de la potenciación. Por ejemplo: a) 3?(4x2 1 5x 2 6) 5 12x2 1 15x 2 18 Más datos… b) (2x2 1 5x 2 6)?(3x2 2 2x 1 3) 5 6x4 2 4x3 1 6x2 1 15x3 2 10x2 1 15x 2 18x2 1 12x 2 18 5 6x4 1 11x3 2 22x2 1 27x 2 18 Para realizar algunos productos no- tables se emplean formulas. Así, por 2 2 3 4 6 2 9 4 1 9 c) x 2 3 x ? 22 x 2 1 5 2 x4 1 x 1 6x 3 2 x 5 2 x 4 1 6x 3 1 x 2 2 x ejemplo: 3 4 5 12 4 5 2 4 d (2 1 3x2)2 5 4 1 12x2 1 9x4 d (2x 2 5)2 5 4x2 2 20x 1 25 Ejemplo 1 d ( x 2 2 1 3)( x 2 2 2 3) 5 5( x 2 2 )2 2 32 5 x 2 2 2 9 5 x 211 Calcula, agrupando los términos semejantes, las siguientes expresiones: 1 1 a) x 2 21 ? x 2 2 x 1 4 ; b) 4x 2 (x 2 2)2; c) (x2 2 1)? (x2 1 1) 2 (2 2 x2)2 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 a) x 21 ? x 2 2 x 1 4 5 x 4 2 x 3 1 x 2 2 x 2 1 x 2 4 5 x 4 2 x 3 1 x 2 4 4 2 4 8 2 4 8 2 b) 4x 2 (x 2 2) 5 4x 2 (x 2 4x 1 4) 5 2x 1 8x 2 4 2 2 2 c) (x2 2 1)?(x2 1 1) 2 (2 2 x2)2 5 x4 2 1 2 (4 2 4x2 1 x4) 2 4x2 2 5 Actividades Halla: a) (2 x 2 4 ) ? 1 2 1 1> x 2 x 15 ; b) (x 1 3)2 2 (x 2 3)2; c) (x 2 1)?(x2 1 2)2 2 (1 1 2x)2 4 2 1 3 R: a) x 22 x 2 112 x 220; b)12x ; c) x5 2 x4 1 4x3 2 8x2 2 5 2 51
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.2 Polinomios: operaciones con polinomios C. División de monomios La división de monomios se realiza aplicando las leyes de la simplificación de fracciones y de las operaciones con potencias. 12 x 3 12 x 3 2x 2 2 3x 3 1 a) 5 ? 56 x 2; b) 3 5 ; c) 5 2 x2 2x 2 x 5x 5x 29 x 3 D. División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio. Esto es una variante de la propiedad distributiva. Así, por ejemplo: 4 x 3 1 x 2 28 4 x 3 x 2 8 x 4 x 3 2 4 x 2 2 x x( x 2 2 4 x 21) x 2 2 4 x 11 a) 5 1 2 52 x 2 1 2 b) 5 5 Errores frecuentes 2x 2x 2x 2x 2 x 2x 2x 2 Los errores en operaciones como la anterior son muy frecuentes. Te indi- E. División de polinomios camos algunos: 4 x 3 22 x Para dividir polinomios hay que ordenarlos en grado decreciente. Recordamos el algoritmo Está MAL: 5 4 x 3 2 2. con el siguiente ejemplo: x 4 x3 2 2x 8x4 2 22x2 1 27x 2 18 2x2 1 x Lo correcto es: 5 4 x 2 2 2. x (2x 1 x)?(4x ) 2 2 8x 1 4x 4 3 4x2 2 2x 2 10 8x4/2x2 5 4x2 4 x 3 2 2 x 11 Está MAL: 5 4 x 2 2 2 11. Restamos 2 4x3 2 22x2 1 27x 2 18 24x3/2x2 5 22x x 4 x 3 2 2 x 11 1 (2x2 1 x)?(22x) 2 4x3 2 2x2 220x2/2x2 5 210 Está BIEN: 5 4 x 2 22 1 . x x Restamos 2 20x2 1 27x 2 18 (2x2 1 x)?(210) 2 20x2 2 10x Restamos 37x 2 18 El cociente de la división es c(x) 5 4x2 2 2x 2 10. El resto, r(x) 5 37x 2 18, es de grado 1, que es menor que el grado del divisor. Aplicación de la división Como sabes, en toda división se cumple: Comprueba Dividendo resto Dividendo 5 divisor · cociente 1 resto 5cociente1 . Comprueba que la división: divisor divisor (3x5 2 7x4 1 27x2 2 22x) : (x2 2 3) En el caso de polinomios podemos escribir: da de cociente c(x) 5 3x3 2 7x2 1 9x 1 6 D( x ) r(x) y de resto r(x) 5 5x 1 18. D(x) 5 d(x) ? c(x) 1 r (x) 5 c( x ) 1 d( x ) d( x ) La segunda igualdad se emplea con relativa frecuencia en Matemáticas, pues permite descom- poner la primera fracción algebraica en suma de un polinomio y de otra fracción más sencilla que la inicial. Por ejemplo: En la división anterior se cumple que (8x4 2 22x2 1 27x 2 18) 5 (2x2 1 x)? (4x2 2 2x 2 10) 1 37x 2 18. 8 x 4 222 x 2 127 x 218 37 x 218 Y también: 5 4 x 2 22 x 210 1 2 . 2x 2 1 x 2x 1 x 52
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.2 Polinomios: operaciones con polinomios F. Regla de Ruffini: división de P(x) entre (x 2 a) La Regla de Ruffini permite dividir rápidamente cualquier polinomio P(x) entre un binomio de la forma x2a. Para aplicar la regla, los coeficientes del dividendo se colocan ordenados, de mayor a menor grado, incluido el término independiente. Si faltase alguno de ellos, se pone un 0. Que el divisor sea de la forma x 2 a significa que se trata de un binomio La recordamos con un ejemplo. de primer grado con coeficiente uni- dad: el coeficiente y el exponente de a) Para dividir (2x3 2 3x) : (x 2 2) se procede así: la x del divisor debe ser 1. 2 0 23 0 Coeficientes del dividendo Valor de a en x 2 a 2 4 8 10 Para conocer algo de Paolo Ruffini Coeficientes del cociente 2 4 5 10 Resto busca en: http://www.divulgamat. net/weborriak/historia/MateOspet- El cociente de la división es: c(x) 5 2x2 1 4x 1 5. El resto, r 5 10. suak/Ruffini.asp b) Análogamente, para realizar la siguiente división 1 0 22 21 (x3 2 2x 2 1):(x 1 1) se disponen los números así: 21 21 1 1 El cociente de la división es c(x) 5 x2 2 x 2 1. El resto, r 5 0. 1 21 21 0 En este caso, el dividendo es múltiplo del divisor. Esto es: (x3 2 2x 2 1) 5 (x 1 1)(x2 2 x 2 1). También se dice que (x 1 1) es un factor de (x3 2 2x 2 1). G. Divisibilidad de polinomios En el CD y en el CEO (centro de enseñanza on-line) creados para Un polinomio D(x) es divisible por otro, d(x), cuando la división D(x):d(x) es exacta. Es este proyecto podrás encontrar acti- decir, el resto vale 0. vidades interactivas con polinomios y fracciones algebraicas. En este caso, se cumple que D(x) 5 d(x) ? c(x). Por tanto, D(x) puede escribirse como producto de dos factores, d(x) y c(x), de grado más pequeño. A d(x) y c(x) se les llama así: factores de D(x). Se dice que un polinomio es irreducible cuando no es divisible por otro polinomio de grado más pequeño. Veamos algunos ejemplos: a) El polinomio P(x) 5 x2 1 4x puede escribirse así: P(x) 5 x(x 1 4). Los factores de P(x) son x y x 1 4. b) El polinomio P(x) 5 x2 1 1 es irreducible. También son irreducibles los polinomios: P(x) 5 x, P(x) 5 x 1 4 y P(x) 5 2x 2 3. Todos los polinomios de primer grado son irreducibles. Más datos… c) Para determinar un polinomio que tenga por factores x 2 3 y x 1 4 basta con multiplicar- los. Obtendríamos Q(x) 5 (x 2 3)(x 1 4) 5 x2 1 x 2 12. El procedimiento para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de dos polinomios es simi- d) Como con los números naturales, también puede hablarse de factores comunes a dos o más lar al utilizado para números. polinomios, de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo. Así, los polinomios P(x) 5 x(x 1 4) y Q(x) 5 (x 2 3)(x 1 4) tienen un factor común, x 1 4. El m.c.d. (P(x), Q(x)) 5 x 1 4. El m.c.m. (P(x), Q(x)) 5 x(x 1 4)(x 2 3) 53
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.3 Factorización de polinomios 3.3 Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores irreducibles. El concepto es análogo al de descomposición de un número en factores primos. Por ejemplo, el número 462 Más datos… puede descomponerse en factores así: 462 5 2 · 3 · 7 · 11. Los teoremas del resto y del factor ayudan a descubrir los factores de un polinomio. El polinomio (x2 2 2x) no está factorizado, pues puede escribirse como: A. Teorema del resto (x2 2 2x) 5 x·(x 2 2). El polinomio (x2 1 4) no puede fac- torizarse: es irreducible. El teorema del resto dice lo siguiente: El valor numérico del polinomio P(x) para x 5 a, esto es P(a), es igual al resto de la división P(x) : (x 2 a). Demostración: Si al dividir P(x) entre (x 2 a) el cociente es c(x) y el resto r (en este caso, el resto es un número), entonces: P(x) 5 (x 2 a)·c(x) 1 r. Dando a x el valor a, se tiene: P(a) 5 (x 2 a)·c(a) 1 r 5 0 1 r. En páginas anteriores hemos visto: Por ejemplo, dado P(x) 5 x3 2 2x2 2 3x 1 4, su valor numérico para x 5 22 es: P(22) 5 26. Si dividimos por Ruffini P(x) : (x 1 2) se tiene: a) Para P(x) 5 2x3 2 3x y para x 5 2, se tiene que P(2) 5 10. 1 22 23 4 Observa que coincide con el resto 22 22 8 210 de la división (2x3 2 3x) : (x 2 2). 1 24 5 26 b) El valor numérico de P(x) 5 x3 2 2x 2 1 para x 5 21 es El resto es 26, que coincide con P(22). P(21) 5 0. También coincide con el resto de la división. B. Teorema del factor (x3 2 2x 2 1) : (x 1 1) En este caso, x 5 21 es una raíz del polinomio. El teorema del factor dice: (x 2 a) es un factor del polinomio P(x) x 5 a es una raíz de P(x). (Esto es, P(a) 5 0.) Demostración: d Si (x 2 a) es un factor del polinomio P(x) P(x) 5 (x 2 a)? Q(x), esto es, la división es exacta. En consecuencia, el resto es 0. Luego, por el teorema del resto, P(a) 5 0. Por Más datos… tanto, x 5 a es una raíz de P(x). d Si x 5 a es una raíz de P(x) P(a) 5 0, y, por lo mismo (por el teorema del resto), la Para demostrar una equivalencia, por división P(x):(x 2 a) es exacta. Por tanto, (x 2 a) es un factor de P(x). ejemplo que [A] [B], hay que de- Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) 5 0. mostrar que si se cumple A entonces Si sabemos que x1, x2 y x3 son las raíces de P(x), entonces el polinomio es de la forma: se cumple B; y que si se cumple B P(x) 5 c(x 2 x1)(x 2 x2)(x 2 x3), siendo c una constante. entonces se cumple A. Esto es, que [A] [B] y que [B] [A]. Por ejemplo: Un polinomio de tercer grado cuyas raíces son x 5 21, x 5 2 y x 5 3 es: P(x) 5 (x 1 1) (x 2 2) (x 2 3) 5 x3 2 4x2 1 x 1 6. También puede ser Q(x) 5 2 5(x 1 1)(x 2 2)(x 2 3). Hay infinitos: basta multiplicar por una constante diferente. Las raíces de P(x) 5 x3 2 4x son x 5 22, x 5 0 y x 5 2. Por tanto, P(x) 5 x(x 2 2)(x 1 2). Resumiendo: x 5 a es una raíz de P(x) P(a) 5 0 (x 2 a) es un factor de P(x) P(x) 5 (x 2 a)·Q(x), siendo Q(x) de un grado menor que P(x). 54
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.3 Factorización de polinomios C. Esquema para factorizar un polinomio Más datos… El teorema del factor nos permite escribir un polinomio como producto de factores de menor grado. Para conseguirlo puede seguirse el siguiente esquema: Las raíces o soluciones de una ecua- ción polinómica de grado superior a 1. Se saca factor común x, si se puede. dos pueden calcularse, cuando son 2. Se buscan las raíces del factor de mayor grado utilizando los métodos de resolución de enteras, por tanto, pues son divisores ecuaciones. Para cada raíz, x 5 a, se tiene el factor x 2 a. del término independiente. 3. Se divide por el factor x 2 a para obtener factores de menor grado, y por tanto, más cómodos a la hora de buscar las demás raíces. 4. Conviene saber que un polinomio tiene tantas raíces como indica su grado. Esas raíces pueden ser simples, múltiples (repetidas) o complejas. En este último caso no se hallan. En consecuencia, un polinomio de grado n tiene un máximo de n factores irreducibles. Más datos… Por ejemplo: En la próxima unidad estudiaremos con detalle la resolución de ecuacio- a) Si P(x) 5 x3 2 4x, se puede sacar factor común x (x 5 0 es una raíz). nes. Aquí no plantearemos situacio- Luego: P(x) 5 x3 2 4x 5 x(x2 2 4). nes difíciles, pues utilizaremos sólo lo Los otros dos factores se obtienen resolviendo la ecuación imprescindible para asimilar el con- x2 2 4 5 0 x 5 22; x 5 2. cepto de factorización. Por tanto, P(x) 5 x3 2 4x 5 x(x2 2 4) 5 x(x 2 2)(x 1 2). b) Para P(x) 5 x3 1 4x, se tiene que P(x) 5 x3 1 4x 5 x(x2 1 4). Como en este caso la ecuación x2 1 4 5 0 no tiene soluciones reales, no es posible hacer una descomponiendo más simple. Ejemplo 2 Descompón en factores los polinomios: a) P(x) 5 x2 2 3x 2 4 b) P(x) 5 2x2 1 8x 1 8 c) P(x) 5 2x3 2 10x2 1 14x 2 6. a) Las soluciones de x2 2 3x 2 4 5 0 son x 5 21 y x 5 4. En consecuencia: P(x) 5 x2 2 3x 2 4 5 (x 1 1)(x 2 4) b) P(x) 5 2x2 1 8x 1 8 5 2(x2 1 4x 1 4) Como la ecuación x2 1 4x 1 4 5 0 tiene una única solución doble, x 5 22, se tendrá: P(x) 5 2x2 1 8x 1 8 5 2(x 1 2)2 c) P(x) 5 2x3 2 10x2 1 14x 2 6, es un polinomio de tercer grado. No se puede sacar factor común x. Buscamos alguna raíz entera. Si existe debe ser uno de los divisores de 6, que es el término independiente. Estos divisores son: 1, 21, 2, 22, 3, 23, 6 y 26. Probamos con 21. Sustituyendo: P(21) 5 22 2 10 2 14 2 6 ± 0 21 no es raíz x 1 1 no es factor. Probamos con 1 P(1) 5 2 2 10 1 14 2 6 5 0 1 es raíz de P(x) (x 2 1) es un factor P(x) es divisible por (x 2 1). Se divide por Ruffini y se tiene: P(x) 5 2x3 2 10x2 1 14x 2 6 5 (x 2 1)(2x2 2 8x 1 6) 5 2(x 2 1)(x2 2 4x 1 3) Los otros dos factores se obtienen resolviendo la ecuación: x2 2 4x 1 3 5 0. Sus soluciones son x 5 1 y x 5 3 (x 2 1) y (x 2 3) son los factores. En consecuencia: P(x) 5 2x3 2 10x2 1 14x 2 6 5 2(x 2 1)(x 2 1)(x 2 3) 5 2(x 2 1)2 (x 2 3). En este caso, la solución x 5 1 es doble, pues el factor (x 2 1) se repite dos veces. Actividades 2> Descompón en factores los siguientes polinomios: a) P(x) 5 x2 1 4x 2 21; b) P(x) 5 x3 2 2x2 2 3x; c) P(x) 5 6x4 2 7x3 1 x a) (x 2 3)( x 1 7); b) x(x 1 1)(x 2 3); c) 6x(x 2 1)(x 2 1/2)(x 1 1/3) 55
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.4 Fracciones algebraicas 3.4 Fracciones algebraicas Las fracciones algebraicas son aquellas en las que el numerador y el denominador son poli- nomios. Se operan del mismo modo que las fracciones ordinarias. Son frecuentes los errores Nota: de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis. Puede ser conveniente, como con las fracciones ordinarias, hallar el m.c.m. A. Suma de los denominadores; ello simplifica los cálculos. La suma de fracciones algebraicas se hace igual que la suma de fracciones numéricas. Por tanto: A( x ) C ( x ) A( x ) ? D( x ) 6C ( x ) ? B( x ) A( x ) A( x ) 6C ( x ) ? B( x ) 6 5 ; 6C ( x ) 5 B( x ) D( x ) B( x ) ? D( x ) B( x ) B( x ) Así, por ejemplo: x2 1 22 x 2 x 2 (2 x 13) 1(1 22 x 2 )( x 11) 2 x 3 13 x 2 1 x 11 22 x 3 22 x 2 x 2 1 x 11 1 5 5 5 x 11 2 x 1 3 ( x 11)(2 x 13) 2 ( x 11)(2 x 13) ( x 11)(2 x 13) Ejemplo 3 Halla las siguientes sumas y restas de fracciones: x2 1 2x 2x 2 24 a) 2 1 2 ; b) 22 x x 11 x 21 x 21 x 11 a) El mínimo común múltiplo de los denominadores es x2 2 1, pues: (x 1 1)·(x 2 1) 5 x2 21. x2 1 2x x 2 ( x 21) x 11 2x x 3 2 x 2 1 x 21 Por tanto: 2 1 2 5 2 2 2 1 2 5 (1) x 11 x 21 x 21 x 21 x 21 x 21 x 2 21 2x 2 24 2 x 2 2 4 22 x( x 11) 2 x 2 2 4 22 x 2 22 x 2x 14 b) 22 x 5 5 =− x 11 x 11 x 11 x 11 Actividades 3> Halla las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas: 1 2 x 2 x 21 2x x 21 2x 2 24 2x a) 2 1 2 b) x 22 2 2 c) − x 12 x 22 x 2 4 x 11 x 11 x 13 23 x 2 12 x x 3 2 2 x 2 21 2 x 3 1 4 x 2 26 x 212 a) ; b) c) x2 24 x 2 11 x 2 1 4 x 13 B. Producto y división El producto y la división de fracciones algebraicas se hace igual que con fracciones numéricas. A( x ) C ( x ) A( x ) ? C ( x ) A( x ) C ( x ) A( x ) ? D( x ) Por tanto: ? 5 ; : 5 B( x ) D( x ) B( x ) ? D( x ) B( x ) D( x ) B( x ) ? C ( x ) Por ejemplo: 2 x 22 x 2 (2 x 22) x 2 2 x 3 22 x 2 a) 2 ? 5 2 5 3 (2) x 11 x 21 ( x 11)( x 21) x 2 x 2 1 x 21 x 2 29 x 13 ( x 2 29)·(3 2 x ) ( x 13)( x 23)(3 2 x ) ( x 23)2 b) : 5 5 52 2 x 11 3 2 x (2 x 11)( x 13) (2 x 11)( x 13) 2 x 11 56
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.4 Fracciones algebraicas Ejemplo 4 Halla las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: x 2 1 22 x x2 2x a) ? ; b) : x 11 x 2 2 x 25 x 2 225 x 2 1 22 x x 2 (1 22 x ) x 2 22 x 3 x2 2x x 2 ( x 2 225) x( x 25)( x 15) x 2 15 x a) ? 5 5 2 b) : 2 5 5 5 x 11 x 22 ( x 11)( x 22) x 2 x 22 x 25 x 225 2 x( x 25) 2( x 25) 2 Actividades 4> Halla las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: Errores frecuentes x 2 21 x 1 3 2 3 x 22 2 x 21 x 2 13 x 13 a) ? b) ? c) d) : x 23 5 3 5x x 23 2 2 6 Está MAL: 2 x 11 2x5 2 x3 2x 2 x3 5 ; x 3 13 x 2 2 x 23 6x 24 4 x 2 21 3( x 2 13) x4 1 a) b) c) 2 d) sigue MAL: 5 x 215 15 x x 23 x 13 2 x 5 2 x 3 2 x 5 21 5 x4 x Está BIEN: C. Simplificación de fracciones algebraicas 2 x 5 2 x 3 x 3 (2 x 2 21) 2 x 2 21 5 5 La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican x4 x4 x igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. La clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador. Por ejemplo, las expresiones (1) y (2) obtenidas antes se deberían haber simplificado. Así: x 3 2 x 2 1 x 21 ( x 21)( x 2 11) x 2 11 2 x 3 22 x 2 2( x 21) x 2 2x 2 (1) 5 5 . (2) 3 5 2 5 2 . x 2 21 x 2 21 x 11 x 2 x 2 1 x 21 ( x 11)( x 21) x + 1 Ejemplo 5 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2x 4 24 x 2 x 3 13 x ( x 21)( x 11)2 2( x 2 2 x ) ?( x 11) a) ; b) ; c) 2x 3 x 13 2 x 2 22 x 3 13 x a) b) es irreducible. x 13 ( x 21)( x 11)2 2( x 2 2 x ) ?( x 11) ( x 21)( x 11)2 2 x( x 21)( x 11) ( x 21)( x 11) ( x 11) 2 x x 11 2 x 1 c) 5 5 5 5 2 x 22 2 2( x 21)( x 11) 2( x 21)( x 11) 2 2 Actividades 5> Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 4 24 x2 14 x 4 2 x 3 26 x 1 4 2 x( x 23)2 22 x 2 ( x 23) a) ; b) ; c) 12 x 2x 14 ( x 23)4 26 x R: a) Irreducible; b) (x 2 1)2; c) ( x 23)3 57
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.5 Descomposición de una fracción racional en fracciones simples 3.5 Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Cuando el denominador de una fracción algebraica puede descomponerse en factores, la fracción se puede escribir como suma o diferencia de otras fracciones más sencillas. Este proceso se conoce con el nombre de descomposición en fracciones simples. Estudiaremos mx 1 n los casos más fáciles y frecuentes. En concreto, la fracción F ( x )5 2 . ax 1 bx 1 c Caso 1: El denominador es un polinomio de 2º grado con dos raíces reales simples. Esto es, la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 tiene dos soluciones distintas, x 5 x1, x 5 x2. La descomposición que se hace es: mx 1 n A B 5 1 , ax 1 bx 1 c a( x 2 x1 ) ( x 2 x2 ) 2 los valores de A y B, que son números, se determinan por el llamado método de identificación de coeficientes. Lo vemos con un ejemplo: 2 x 13 F ( x )5 2 . x 1 x 22 Como las soluciones de x2 1 x 2 2 5 0 son x 5 1 y x 5 22, la descomposición que se hace es: Más datos… 2 x 13 A B A( x 12) 1 B( x 21) 5 1 5 Si transformamos el segundo miem- x 2 1 x 2 2 x 21 x 1 2 ( x 21)( x 12) bro de la igualdad: La fracción dada y la obtenida al sumar las dos fracciones simples son iguales. Como sus de- 2x 1 3 5 A(x 1 2) 1 B(x 2 1) nominadores son iguales, también deben serlo sus numeradores; en consecuencia: 2x 1 3 5 (A 1 B)x 1 (2A 2 B) e iguala- 2x 1 3 5 A(x 1 2) 1 B(x 2 1) mos los coeficientes semejantes, se Si en esta igualdad damos a x dos valores se obtiene un sistema que nos permite calcular A y obtiene el sistema B. Los valores más cómodos son x 5 1 y x 5 2 (las raíces halladas). Se tiene: 25 A 1 B si x 5 1: 5 5 3A A 5 5/3 si x 5 22: 21 5 23B B 5 1/3 3 52 A 2 B 2 x 13 5/3 1/3 cuya solución es la misma: Por tanto: 5 1 x 2 1 x 2 2 x 21 x 1 2 A 5 5/3, B 5 1/3 Caso 2: El denominador es un polinomio de 2º grado con una raíz real doble. Esto es, la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 tiene una solución doble: x 5 x1. La descomposición que se hace es: mx 1 n A B 5 1 . ax 2 1 bx 1 c a( x 2 x1 )2 ( x 2 x1 ) Los valores de A y B, que son números, se determinan como en el ejemplo anterior. 3 x 25 Por ejemplo, para descomponer la fracción algebraica F ( x )5 2 . x 26 x 19 Como la ecuación x2 2 6x 1 9 5 0 tiene la solución doble x 5 3, la descomposición que se Más datos… 3 x 25 A B A 1 B( x 23) hace es: 2 5 + 5 Si la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 no tiene x 26 x 19 ( x 23)2 x 23 ( x 23)2 mx 1 n Como antes, la fracción dada y la obtenida al sumar las dos fracciones simples son iguales. raíces reales, la fracción ax 2 1 bx 1 c En consecuencia: 3x 2 5 5 A 1 B(x 2 3) no se puede descomponer. Si en esta igualdad damos a x dos valores se obtiene un sistema que nos permite calcular A y B. Los valores más cómodos son x 5 3 y x 5 0 (uno de ellos es la raíz del denominador). Si en esta igualdad damos a x dos valores se obtiene un sistema que nos permite calcular A y B. Los valores más cómodos son x = 3 y x = 0 (uno de ellos es la raíz del denominador). Se tiene: si x 5 3: 4 5 A A54 si x 5 0: 25 5 A 2 3B B53 3x 25 4 3 Por tanto: 5 1 x 2 26x 19 (x 23)2 x 23 58
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 3.6 Expresiones algebraicas con raíces 3.6 Expresiones algebraicas con raíces Para operar con estas expresiones se siguen los métodos ya estudiados con radicales, pudien- do plantearse la necesidad de extraer o introducir factores dentro de la raíz o la conveniencia de la racionalización de la expresión en cuestión. Veamos algunos ejemplos. x2 x a) Dada la expresión E(x)5 , podemos plantearnos hallar su valor numérico para x 11 x 5 4 y x 5 9, obteniéndose: 42 4 4 22 2 92 9 6 3 E(4)5 5 5 ; E(9)5 5 5 4 11 5 5 911 10 5 22 x b) Si F (x)5 , las operaciones E(x) 1 F(x) o E(x) ? F(x) valdrían: x1 x x2 x 22 x (x 2 x )(x 1 x )1(22 x )(x 11) E(x) 1 F(x) 5 1 5 5 x 11 x1 x (x 11)(x 1 x ) x 2 2( x )2 12x 2 x x 2 x 12 x 2 1 x 2 x x 2 x 12 5 5 (x 11)(x 1 x ) (x 11)(x 1 x ) x 2 x 22 x (x 2 x )(22 x ) 2x 2 x x 22 x 1 x E(x) ? F(x) 5 · 5 5 5 x 11 x 1 x (x 11)(x 1 x ) x2 1 x x 1 x 1 x 3x 2(x 12) x 5 x 1x x 1x1 x 2 Ejemplo 6 Racionaliza las siguientes expresiones: 12 x x a) ; b) ; x 11 x 2 x 21 5 (12 x )( x 21) 5 212 x 12 x 12 x a) x 11 ( x 11)( x 21) x 21 x x ( x 1 x 21) x 1 x x 21 b) = 5 5 x 1 x2 2 x x 2 x 21 ( x 2 x 21)( x 1 x 21) 1 Actividades 6> Expresa como una sola raíz: x 11 x x 1 x 1 a) ; b) ; c) ; d) x 2 x x x x 11 1 x 11 (x 11)2 R: a) ; b x; c) ; d) x 2 x2 x 59
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas Problemas resueltos Problemas resueltos Tipo I: Operaciones con polinomios Tipo II: Regla de Ruffini. Teoremas del resto y del factor 1> Calcula, simplificando: x x 3 2 3> El resto de la división de x3 1 px 1 2 entre x 2 3 vale 4 23 1 3 2 x 21 x 12 2. ¿Cuánto vale p? ¿Cuál es el cociente? 2 2 4 2 R: Dividiendo se tiene: x x 3 1 0 p 2 R: 4 23 1 3 2 x 21 x 12 5 2 2 4 3 3 9 3p 1 27 2 2 x 3 3 1 3 p19 3p 1 29 54 232 2 x 22 ? x ?1 112 x 12 5 2 4 4 Como el resto es 3p 1 29 5 2 p 5 29. x2 9 2 3 El cociente será: c(x) 5 x2 1 3x. 54 29 2 x 2 x 11 ?( x 12) 5 4 16 2 9 3 9 2 3 2 4> Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que 5 x 2 236 2 x 1 x 2 x 23 x 1 x 12 5 una de sus raíces es x 5 2, y que P(4) 5 22. 16 8 2 9 3 9 2 3 2 R: Sea P(x) 5 x2 1 bx 1 c el polinomio buscado. 5 x 2 236 2 x 2 x 1 x 13 x 2 x 22 5 16 8 2 Sabemos que P(x) 5 (x 2 x1)(x 2 x2), siendo x1 y x2 las 9 3 11 2 raíces de la ecuación x2 1 bx 1 c 5 0. 5 2 x 1 x 12 x 238 Una de las raíces es conocida, x 5 2, por tanto: 16 8 P(x) 5 (x 2 2)(x 2 x2) Como P(4) 5 22 P(4) 5 (4 2 2)(4 2 x2) 5 22 2> Divide 3x3 1 x 1 5 2 2x2 entre 2x 1 3. 2(4 2 x2) 5 22 8 2 2x2 5 22 2x2 5 214 x2 5 2 7. R: Ordenamos los términos del dividendo. El proceso es Por tanto, P(x) 5 (x 2 2)(x 1 7) 5 x2 1 5x 2 14. el siguiente: 3x3 2 2x2 1x 1 5 2x 1 3 5> Halla la expresión de todos los polinomios de segun- 9 2 3 2 13 43 do grado cuyas raíces sean 2 y 23. Determina aquel 23x3 2 x x 2 x1 2 2 4 8 cuyo valor numérico para x 5 1 es 28. 13 2 2 x 1x R: Si x 5 2 y x 5 23 son raíces, entonces (x 2 2) y 2 (x 1 3) son factores del polinomio. Como se desean 13 39 de 2º grado, los polinomios serán: 1 x2 1 x 2 4 P(x) 5 a(x 2 2)(x 1 3) 5 a(x2 1 x 2 6). 43 Hay infinitos polinomios; uno para cada valor de x 15 a ? 0. 4 Si P(1) 5 2 8 24a 5 2 8 a 5 2. 43 129 El polinomio pedido es: P(x) 5 2x2 1 2x 2 12 2 x 2 4 8 89 6> Factoriza los siguientes polinomios: 2 a) P(x) 5 x3 2 4x2 1 3x; 8 b) Q(x) 5 2x3 2 28x2 1 98x; c) R(x) 5 x4 1 4x2 3 2 13 43 89 Cociente: x 2 x1 . Resto: 2 . 2 4 8 8 R: a) Sacando factor común x, se tiene: Puedes comprobar que: P(x) 5 x3 2 4x2 1 3x 5 x(x2 2 4x 1 3) 5 (3x3 2 2x2 1 x 1 5) 5 5 x(x 2 1) ( x 2 3) Pues las soluciones de la ecuación x2 2 4x 1 3 5 0 ( )3 5 2 x 13 ? x 2 2 x 1 2 13 4 43 8 1 2 89 8 . son x 5 1 y x 5 3. b) Sacando factor común 2x, Q(x) 5 2x3 2 28x2 1 98x 5 2x(x2 2 14x 1 49). 60
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas Problemas resueltos Se observa que x2 2 14x 1 49 es el producto nota- 9> Descompón en fracciones simples: ble (x 2 7)2 . 2 2x Luego, Q(x) 5 2x3 2 28x2 1 98x 5 2x(x 2 7)2 a) ; b) 2 12 x 2 x 1 x 22 c) R(x) 5 x4 1 4x2 5 x2(x2 1 4). No es posible seguir descomponiendo, pues el fac- R: a) El denominador se puede escribir como tor x2 1 4 es irreducible. (1 2 x) (1 1 x), luego: 2 2 A B Tipo III: Fracciones algebraicas 5 5 1 5 12 x 2 (1 2 x )(1 1 x ) 1 2 x 1 1 x 7> Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: A(1 1 x )1 B(1 2 x ) 5 d 2 236 x 2 ( x 21)2 x( x 2 21) 12 x 2 a) ; b) Como la primera y la última fracción son iguales, 12 22d x 2 ( x 21)2 se tendrá que: 2 5 A(1 1 x) 1 B(1 2 x). R: a) Factorizando numerador y denominador queda: Luego: si x 5 1 : 2 5 2A A51 d 2 236 (d 16)?(d 26) si x 5 21 : 2 5 2B B51 5 5 12 22d 2(6 2 d ) Con esto: (d 16)?(d 26) (d 16)?(d 26) d 16 2 1 1 5 5 52 5 1 22(26 1 d ) 22(d 26) 2 12 x 2 12 x 11 x b) En ambos miembros de la fracción está el factor b) Las raíces del denominador son x 5 1 y x 5 2, luego x(x 2 1), luego: puede escribirse: x 2 ( x 21)2 x( x 2 21) A( x 12)1 B( x 21) 5 2x A B 5 x 2 ( x 21)2 5 1 x 2 1 x 2 2 x 21 x 1 2 ( x 21)( x 13) x( x 21)( x 2( x 11)) x 2( x 11) 21 5 = = . Igualando los numeradores: x ( x 21) 2 2 x( x 21) x( x 21) 2x 5 A(x 1 2) 1 B(x 2 1) si x 5 1:2 5 3A A 5 2/3 8> Halla: 3 x 21 si x 5 22:24 5 23B B 5 4/3 2 x 13 3 2 x 2 x 21 2x 2/3 4/3 a) 2 1 4 x; b) ; Por tanto: 2 5 1 . x 2 1 2 x 11 x 11 x 1 x 2 2 x 21 x 1 2 22 x R: a) Se multiplican el numerador y el denominador de Tipo IV: Operaciones con otras expresiones cada fracción por los denominadores de las demás; algebraicas el denominador de la tercera fracción es 1. 2 x 13 3 2 x 2 10> Si P(x) 5 x2 2 3x 1 1, halla la expresión correspon- 2 14 x 5 diente a: x 2 1 2 x 11 a) P(x/2); b) P(2x); c) P(x 1 1) 5 (2 x 13)(2 x 11) 2 (32 x )( x 21) 1 4 x ( x 21)(2 x 11) 5 2 x 2 x x2 3 ( x 21)(2 x 11) ( x 21) (2 x 11) ( x 21)(2 x 11) R: a) P( x / 2)5 2 2 3 11 5 2 x 11 2 4 2 4 x 1 2 x 1 6 x 1 3 2 (3 x 2 3 2 x 1 x ) 1 8 x 2 4 x 2 4 x 2 3 2 3 2 b) P(2x) 5 (2x)2 2 3·2x 1 1 5 4x2 2 6x 1 1 5 5 ( x 21 ) ( 2 x 11 ) c) P(x 1 1) 5 (x 1 1)2 2 3(x 1 1) 1 1 5 5 x2 1 2x 1 1 2 3x 2 3 1 1 5 x2 2 x 2 1 9 x 3 2 x 2 1 x 16 5 ( )( x 2 1 2 x 11 ) 11> Calcula: a) x2 x x1 x ? b) x 3 x 21 x 12 x 21 x 11 1 x 2 1 x 21 (3 x 21)(2 2 x ) 3 x 2 17 x 22 x2 x x1 x x 2 2( x )2 x2 2 x b) 5 5 R: a) ? 5 5 5 x 11 ( x 11)( x 21) x 2 21 x 12 x 21 ( x 12)( x 21) ( x 12)( x 21) 22 x x( x 21) x 5 5 ( x 12)( x 21) x 12 61
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas Problemas resueltos x x b) 5 z2 1 z2 5 x 2 z5 x 11 1 x 2 1 2 x ( x 11 2 x 2 1 ) Si el lado vertical vale y, como el perímetro es 6, se 5 5 cumplirá: ( x 11 1 x 21 )( x 11 2 x 21 ) 2x x 12 y 12z 56 x 12 y 1 56 x ( x 11 2 x 2 1 ) x ( x 11 2 x 2 1 ) 2 5 5 62 x(11 2) x 11 2( x 21) 2 y5 2 Tipo V. Aplicaciones El área de la ventana es la suma del área de la sección rectangular más la de la sección triangular: 12> Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de x2 62 x(11 2) x 2 una lámina rectangular de 32 cm de larga por 24 de A5 xy 1 5 x· 1 2 2 2 ancha. Para ello se recortará un cuadrado en cada esquina y se doblará. Halla, en función del lado x del 6x 2 2x 2 cuadrado cortado, la función que da el volumen de la A5 2 caja resultante. Se obtiene la expresión polinómica R: En esquema, lo que se pretende hacer es lo que indi- 2 2 camos en la Fig. 3.2. A(x)53x 2 x 2 2 2 Para x 5 2, A(2)53?22 ?2 5622 2 2 14> Dado P(x) 5 2x2 2 3x 1 1, halla su valor numérico para 24 x 24-2x x 5 0, x 5 1 y x 5 22. Descompón P(x) en factores. x 32-2x 32 R: P(0) 5 2 ? 02 2 3 ? 0 1 1 5 0 2 0 1 1 5 1 P(1) 5 2 ? 12 2 3 ? 1 1 1 5 2 2 3 1 1 5 0 Fig. 3.2. P(22) 5 2 ? (22)2 2 3 ? (22) 1 1 5 8 1 6 1 1 5 15 La caja es un prisma rectangular cuyo volumen 5 área Como P(1) 5 0, 1 es raíz de P(x) y x 2 1 es un fac- de la base por la altura. Si se corta un cuadrado de tor de P(x). Dividiendo P(x) entre x 2 1 se obtiene lado x, la base será un rectángulo de dimensiones 2x 2 1, que es el otro factor. Luego: 32 2 2x y 24 2 2x; su altura valdrá x. Por tanto, el P(x) 5 (x 2 1)(2x 2 1) volumen de la caja obtenida será: También podría escribirse así: V 5 (32 2 2x)(24 2 2x) x V 5 4x3 2 112x2 1 768x P(x) 5 2(x 2 1)(x 2 1/2) (Para ello se saca factor común 2 en el segundo fac- 13> El perímetro de una ventana simétrica, como la que tor; así sabemos que la otra raíz es 1/2.) se muestra en la figura adjunta, vale 6 m. Determi- na la expresión que da su superficie en función del lado x. (El ángulo superior es recto.) ¿Cuánto valdrá esa superficie si x 5 2 m? x Fig. 3.3. R: Hallamos en primer lugar el valor del lado inclinado. Si vale z, por Pitágoras, se tendrá: 62
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas Problemas propuestos Problemas propuestos 1 5 3 Tipo I: Operaciones con polinomios b) 3x2 1 5x 2 6; 2 3x 2 1 c) x 2 1 x 2 ; 2 4 4 1> Calcula: Tipo II: Regla de Ruffini. Teoremas del resto y a) (31x 2 6x2 1 5x3) 2 (12x3 2 6x2 1 x) del factorización b) (8x4 2 9x3 1 1) 2 (2x 1 3x3 2 5x4) 1 3 1 6> Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes c) 2 x 3 2 x 2 13 2 x 2 15 x 2 2 4 3 divisiones: a) (x7 2 x) entre (x 1 2); b) (x5 1 x 2 2x3):(x 2 1) R: a) 2 7x3 1 30x; b) 13x4 2 12x3 2 2x 1 1; c) (2x3 2 x5 2 3x); d) (3x4 2 6):(x 1 1) 5 10 c) 2 x 3 2 x 2 25 x 1 4 3 R: a) C(x) 5 x6 2 2x5 1 4x4 2 8x3 1 16x2 2 32x 1 63; R(x) 5 2126; 2> Calcula: b) x4 1 x3 2 x2 2 x; 0; a) (4x 1 5) 2 (2 1 x)2 1 (2x)2 c) 2 x4 2 3x3 2 7x2 2 21x 2 66; 2 198; b) (2 2 3x)2 2 5[(3x 2 1)·(3x 1 1) 2 2x] d) 3x3 2 3x2 1 3x 2 3; 2 3 c) 3x6 ? 4x5 2 (22x5)(214x3) 1 (2x5)(23x4) 2 x6(24x2) 7> Descompón en factores el polinomio R: a) 1 1 3x2 b) 236x2 2 2x 1 9 c) 12x11 2 6x9 2 24x8 P(x) 5 2x3 2 10x2 1 14x 2 6, sabiendo que x 5 1 es una de sus raíces. 3> Halla: a) (x 2 6)2 b) (4 1 x2)2 R: 2(x 2 1)2 (x 2 3) c) (3x 1 1)2 d) (2x 2 1)2 8> Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que 1 1 una de sus raíces es x 5 25 y que P(2) 5 27. e) x 15 x 25 f) (4x 2 1)(4x 1 1) 2 2 R: x2 1 2x 2 15 R: a) x2 2 12x 1 36 d) 4x2 2 4x 1 1 1 9> Escribe un polinomio de cuarto grado que tenga por b) 16 1 8x2 1 x4 e) x 2 − 25 raíces: 4 a) 1, 2, 3 y 4. b) 1, 2 y 3 doble. c) 9x2 1 6x 1 1 f) 16x2 2 1 c) 1 y 2, las dos dobles. 4> Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios: R: a) (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4) a) (5x2 1 3x 2 5)(7x3 2 6x 1 3) b) (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)2 c) (x 2 1)2(x 2 2)2 1 b) x 2 2 x 2 4 3 8 ( ) x 2 25 x 214 10> Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que 2 3 1 2 1 3 4 tiene por raíces x 5 1 y x 5 26 y que P(0) 5 212. c) x 2 x 1 ? 2 x2 1 x 2 3 4 2 2 5 R: 2x2 1 10x 2 12 R: a) x5 1 21x4 2 65x3 2 3x2 1 39x 2 15; 11> Factoriza las siguientes expresiones polinómicas: 21 105 2 43 21 b) x 4 2 x 3 2 x 1 x1 ; a) 3x2 1 14x 2 5 b) 4x5 1 2x4 2 2x3 4 8 8 4 c) x 1 5x 1 8x 3 2 25 4 47 3 11 2 1 2 c) 2x 5 1 x 2 x 2 x 1 x 2 24 60 20 2 5 R: a) 3(x 2 1/3) (x 1 5) b) 4x3(x 2 1/2) (x 1 1) c) x(x2 1 5x 1 8) 5> Divide: a) (5x4 2 14 1 5x 1 x3) : (3 2 x2) 12> Factoriza los siguientes polinomios: b) (20x3 1 12x4 1 29 2 39x2 2 28x) : (4x2 25) a) P(x) 5 2 5x2 2 x; c) (2x3 2 3x 1 2):(2x 2 1) b) P(x) 5 4x4 1 10x2 c) P(x) 5 10x3 2 250x R: a) C(x) 5 25x2 2 x 2 15; R(x) 5 8x 1 31; d) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2 63
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas Problemas propuestos R: a) 2 x (5x 1 1) b) 2x2 (2x2 1 5) 17> Calcula el resultado, factorizando si conviene: c) 10x(x 1 5)(x 2 5) d) 8x2(x 1 5)2 2 x 21 2 x 2 2 6 x 1 4 a) 2 3 x 23 3 x 2 26 x 13 13> Halla el valor de b y factoriza P(x) 5 x3 1 bx2 2 12 x, 3 x 2 212 x 112 6 x 3 254 x sabiendo que x 5 22 es una de sus raíces. b) : 3 x 2 25 x 16 x 26 x 2 19 x R: 24 1 x 22 R: a) b) Tipo III: Fracciones algebraicas x 21 ( 2 x 13 ) 18> Halla, simplificando el resultado: 14> Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 3x x 13 21 x 2 42 x 3x 2 24 x a) (2 x 21) : b) a) b) c) x 11 3 x 22 7 x 214 x 2 3 x 212 x3 x 11 4 x 28 3 x 212 2 ( x 21)2 x 2 21 x 11 x 13 x 2 2 4 x 1 4 d) e) f) 2 c) : ; d) 2x x 12 x 21 x x 12 x 22 x 2 29 3x 1 3x 2 24 3 x 4 215 x 3 118 x 2 3 x 2 115 x R: a) b) − c) e) : 2 1 22 x 3 x2 x 2 2 8 x 115 x 225 2( x 22) x 21 5x 2 24 x 22 5 x 2 120 x 115 d) e) 3(x 2 2) f) f) 2 1 x x 11 x 2 4 5 x 115 x 12 15> Simplifica: 2 x 2 1 x 21 x 2 1 4 x 13 x 2 1 x 22 x 2 16 x 27 4 x 2 2 40 x 1 100 R: a) b) c) ; a) b) 3x 3 x 22 x 2 x 22 4 x 2 2 100 x 22 x2 d) ; e) x2 2 2x; f) 3x 2 6x 3 2 x 23 x 22 c) 4 3 x 1 24 x 3 2 60 x 2 D( x ) x 17 x 25 1 19> Transforma, sin hacer la división, la expresión en R: a) ; b) ; c) d( x ) r(x) 2 x 15 x 110 su equivalente de la forma C ( x )1 , en los casos: d( x ) 16> Halla, simplificando el resultado: 2 x 2 23 x 15 x 2 13 x 25 a) b) 2 x 21 x x2 a) x 21 1 b) 2 x 2 2 x 11 x x 2 23 x 15 x2 c) d) 1 2 4 8 3 x 22 3 x 23 x 23 x 21 c) 2 2 1 3 2 4 d) 2 x x x x x x 12 5 3 x 25 5 3x 3 x 21 2 R: a) 2 x − 3 + b) 1 1 e) 2 1 2 2 f) 11 x x2 x x 1 x x 11 x 11 5 1 c) x 1 d) x 11 1 x 11 8x x x 22 2x 2 x 23 x 21 g) 1 2 h) 1 2 2 x 15 x 225 3 x 19 3 x 29 3 x 227 20> Descompón en fracciones simples: 1 2 x 21 3 x 12 x 11 2 2 x 2 x 11 3 a) 2 b) 2 c) R: a) b) x 24 x 13 x 2 4 x 2 13 x x 11 x2 x 3 22 x 2 1 4 x 2 8 7x 2 4 1/4 1/4 1/5 9/5 2/3 7/3 c) d) R: a) 2 b) 1 c) 1 x4 x( x 1 2) x 22 x 12 x 21 x 1 4 x x 13 5 2x 2 1 2 e) 2 f) Tipo IV: Operaciones con otras expresiones x ( x 11)2 x 21 −2 algebraicas g) h) x25 3( x − 3) 21> Sea P(x) 5 x2 2 1 y Q(x) 5 2x2 2 x 1 2, halla: 64
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas Problemas propuestos P( x ) Q( x )22 a) P(x) 2 2Q(x) b) c) b) ¿Y al cabo de 10 s? ¿Cómo interpretas este último Q( x ) P( x ) resultado? x 11 x R: a) 3x2 1 2x 2 5; b) 2 ; c) x 12 12 x R: a) 45; 80; 125; b) 0; cae. 22> Para los mismos P(x) y Q(x), halla: 28> El coste total, en euros, de la producción de x uni- a) (P(x) 1 Q(x))2; b) (P(x))2 1 x2 Q(x); dades de un determinado producto viene dado por la c) (P(x) 2 Q(x)(P(x) 1 Q(x)) expresión C ( x )5100 x 11000. Halla: R: a) (x 2 1)2 b) 1 2 x3 c) 22x3 1 x2 1 4x 2 3 a) El coste de producir 16, 100, y 400 unidades. ¿A cuánto sale la unidad en cada caso? 23> Halla: b) Determina la expresión que da el coste por unidad cuando se fabrican x unidades. a) (2 x 2 x )2; b) 2(4 x 23 x )2( x 23)2; 100 x 11 000 R: a) 87,5; 20; 7,5 €; b) c( x )5 1 12 x x x c) 1 2 2 x x x 29> Halla la expresión que da la superficie de un triángulo x2 x isósceles de perímetro 8 cm en función de la base x. R: a) 4 x 2 2 4 x x 1 x b) 7x 2 9 c) Calcula el valor de esa área cuando x 5 3. x2 x2 x x1 x 24> Dadas las expresiones E( x )5 y F ( x )5 , R: A( x ) = 4 x 2 − x 3 ; 3 cm2 halla: x 11 x 21 a) E(1), F(1), E(4) y F(4) b) E(x) ? F(x) 30> Una piscina rectangular está rodeada por un pasillo x enlosado de 1,5 m de ancho. Si la piscina es 10 m R: a) 0; no definido; 2/5; 2 b) más larga que ancha, halla: x 11 a) La expresión que da el área del rectángulo que 25> Racionaliza las siguientes expresiones: delimita la piscina. x 11 12 x x b) La expresión que da el área del pasillo enlosado. a) b) c) x x 11 x 2 x 21 R: a) x2 1 16x 1 39; b) 6x 1 39 ( x 11) x 2x 21 12 x R: a) d) f) x 1 x( x 21) 32> Expresa (en función del primero de ellos) el producto x x 21 de tres números positivos cuya suma es 60 y tal que el segundo sea doble del primero. Tipo V: Aplicaciones R: 26x3 1 120x2 26> Expresa algebraicamente: a) Cuatro veces x menos su décima parte. 33> En la pared lateral de una buhardilla, se quiere poner b) El producto de dos números consecutivos vale 462. un panel rectangular como el que se muestra en la c) El precio de una entrada de cine es x más el 6 por Figura 3.4. Determina la superficie de dicho panel en 100 de IVA aplicado sobre x. función del lado x de la base. d) El cuadrado de la diferencia entre x e y, más el doble del cuadrado de x. x 2,80 m R: a) 4 x 2 b) x ? (x 1 1) 5 462 10 6 c) P = x 1 d) (x 2 y)2 1 2x2 1m x; 100 x 6m 27> La altura de un cohete viene dada por la expresión h(t) 5 50t 2 5t2, donde t viene dado en segundos y Fig. 3.4. h(t) en metros. a) ¿Qué altura alcanza el cohete al cabo de 1, 2 y 5 s? R: 2,8x 2 0,3x2 65
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  3. Polinomios yfracciones algebraicas 10 cuestiones básicas • 2 cuestiones para investigar 10 cuestiones básicas Las 10 cuestiones que siguen debes contestarlas, aproximadamente, en 10 minutos. Si fallas más de dos, te recomendamos que estudies un poco más. 1> Expresa algebraicamente: a) La mitad de x más el cuadrado de y. b) La velocidad es el espacio partido por el tiempo. c) La mitad de la suma de B y b, por h. (Área de un trapecio.) 2> Halla: (2x 2 3)2 2 (2x 1 4) ? (2x 2 4) 5 4x2 2 12x 1 9 2 (4x2 2 9) 5 212x 1 18. 3> Simplifica: 5 ( 2 x 2 16 x 2 x x 13 ) 5 x 1 3. 2x 2x 2 1 4> Halla: x 1 2x . 3 2 5> Halla el resto y el cociente de la división: (x3 2 2x 1 1):(x 2 3). 6> Calcula el valor numérico de P(x) 5 2x3 2 9x 1 2 par x 5 21 y x 5 2. ¿Puedes dar un factor de P(x) de la forma x 2 a? 7> Sin resolver la ecuación de segundo grado asociada al polinomio Q(x) 5 x2 1 7x, halla sus raíces. 10 x 1100 x 11 000 8> La expresión c( x )5 da el coste en euros por unidad fabricada de un determinado producto, x cuando se fabrican x unidades de él. ¿A cuánto sale la unidad cuando se fabrican 10 000 unidades? 9> Halla la expresión que da la superficie de un triángulo equilátero en función del lado x. 10> Halla un polinomio de segundo grado que tenga por raíces x 5 21 y x 5 22. x e B 1b 4 5 1 R: 1. a) 1 y 2 b) v 5 c) ? h 2. 212x 1 25 3. x 1 3 4. 2 x 2 2 x 1 5. x2 1 3x 1 7; 22 6. 9; 0; (x 2 2) 2 t 2 3 3 2 3 2 7. 0 y 27 8. 11,1 € 9. x 10. x2 1 3x 1 2. 4 2 cuestiones para investigar 1> Algo de historia del Álgebra. En la página web http://riie.com.es/?a532226 puedes encontrar una breve historia de la evolución de la notación algebraica. Si quieres ampliar un poco más entra en http://www.euclides.org/menu/articles/article7.htm#3.1. 2> Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de la división (2x3 2 4x2 1 x 2 5):(2x 2 3). En la página www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/archivos/contenidos/17_EA_Division_polinomios_c.pdf puedes encontrar una generalización de la regla de Ruffini. 66