918915-Presion-y-Estatica-de-Fluidos.pdf

JOSE LUIS ZUÑIGA NAVARRO
ALVARO DAVID RODRIGUEZ
PRESION Y
ESTATICA DE
FLUIDOS

PRESION Y ESTATICA DE FLUIDOS
Los fluidos describen distintos comportamientos, sea que se encuentre en reposo
o en movimiento. En el caso de los fluidos que se encuentran en reposo o
movimientos a velocidad constante se analizan ciertas propiedades relacionadas
con la presión que ejercen estos como, presión manométrica, presión en un punto,
variación de la presión con la profundidad, además de los mecanismos necesarios
para calcular estas presiones dependiendo del fenómeno en que se presente.
PRESIÓN
La presión es la fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de área. El término
presión solo se aplica en los gases o líquidos, para los sólidos esta fuerza se
denomina esfuerzo normal. La presión tiene como unidad el Newton por metro
cuadrado
𝑁
𝑚2 , siendo estas las unidades del Pascal; es decir:
1𝑃𝑎 =
𝑁
𝑚2
En la práctica se usan frecuentemente los múltiplos del pascal como el kilopascal
1𝐾𝑃𝑎 = 103
𝑃𝑎 y el megapascal 1𝑀𝑃𝑎 = 106
𝑃𝑎 . A parte de estas unidades se
utilizan otras unidades de presión como la atmosfera, el bar y el kilogramo-fuerza
por centímetro cuadrado:
1𝑏𝑎𝑟 = 105
𝑃𝑎 = 0.1𝑀𝑃𝑎 = 100𝐾𝑃𝑎
1𝑎𝑡𝑚 = 101325𝑃𝑎 = 101.325𝐾𝑃𝑎 = 1.01325𝑏𝑎𝑟
1𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚2
= 9.807 𝑁 𝑐𝑚2
= 9.807 × 104
𝑁 𝑚2
= 9.807 × 104
𝑃𝑎 = 0.9807𝑏𝑎𝑟
Cabe resaltar que la unidad de presión en el sistema inglés es la libra-fuerza por
pulgada cuadrada
𝐿𝑏𝑓
𝑖𝑛2
y una atmósfera equivale a 14.696 psi.
Como se mencionó líneas arriba el esfuerzo normal es la presión que se usa para
los sólidos y es la fuerza que actúa perpendicular a la superficie por unidad de
área. Por ejemplo, una persona que pesa 120𝑙𝑏 con un área de impresión de los
pies de 40𝑖𝑛2
ejerce una presión de 120𝑙𝑏𝑓 40𝑖𝑛2
= 3.0 psi sobre el suelo. Si la
persona se para sobre uno de sus pies, la presión se duplica.

La presión absoluta se denomina a la presión real que se encuentra en una
posición dada. Los instrumentos que se usan para medir la presión están
calibrados para que den una lectura de cero en la atmosfera.
La presión manométrica es la diferencia entre la presión absoluta y la presión
atmosférica. También está la presión de vacío que es la presión que se encuentra
por debajo de la presión atmosférica. La presión manométrica y la presión de
vacío se indican así:
𝑃
𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑃
𝑣𝑎𝑐 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃𝑎𝑏𝑠
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
EJEMPLO
Un medidor de vacío conectado a una cámara da como lectura 6.1psi en un lugar
donde la presión atmosférica es 14psi. Determine la presión absoluta en la cámara
Solución:
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃
𝑣𝑎𝑐 = 14𝑝𝑠𝑖 − 6.1𝑝𝑠𝑖 = 7.9 𝑝𝑠𝑖

PRESIÓN EN UN PUNTO
Se sabe que la presión es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área y que
la presión en cualquier punto de un fluido es la misma en todas las direcciones,
con la misma magnitud, tomándose como una cantidad escalar. Esto se puede
demostrar cuando se toma un elemento de fluido en forma de cubo y se le aplican
presiones en su superficie tal como se muestra en la figura:
𝑃1
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑃3 𝑃4
𝑑𝑥
𝑊 𝑃2 𝑑𝑤 = 𝜌𝑔𝑑∀
Por la segunda ley de Newton:
Para 𝑃3 𝑌 𝑃4
→ ∑ 𝐹𝑦 = 0
0 = 𝑃3𝑑𝑥𝑑𝑧 – 𝑃4𝑑𝑥𝑑𝑧
𝑃3 = 𝑃4 = 𝑃′
Para 𝑃2 𝑦 𝑃1

↑ ∑ 𝐹𝑧 = 0
0 = 𝑃2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦
0 = 𝑃2 – 𝜌𝑔𝑑𝑧 – 𝑃1 = 0
𝑃2 = 𝑃1 = 𝑃′′
Variación de la presión con la profundidad
La presión en un fluido en reposo no cambia en la dirección horizontal. Esto se
verifica al considerar una delgada capa horizontal del un fluido y se realiza un
balance de fuerzas en cualquier dirección horizontal. Para la dirección vertical no
ocurre lo mismo, la presión en un fluido aumenta con la profundidad debido a que
descansa mas fluido sobre las capas mas profundas y la consecuencia de este
peso adicional sobre la capa mas profunda se equilibra por un aumento de
presión.
𝑃
𝑚𝑎𝑛
Para entender mejor la variación de la presión con la profundidad considérese un
elemento rectangular de fluido en equilibrio con densidad 𝜌, como se muestra en
la figura:

Aplicando la segunda ley de Newton
↑ ∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 = 0
0 = 𝑃2𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦
Teniendo en cuenta que el peso 𝑊 = 𝑚𝑔 y la masa es igual a 𝜌𝑑𝑣 entonces
𝑑𝑊 = 𝜌𝑑𝑣𝑔, reemplazando se obtiene:
0 = 𝑃2𝑑𝑥𝑑𝑦 – 𝜌𝑑𝑣𝑔 – 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦
Se toma la presión 1 en la superficie, abierta a la atmosfera, donde la presión es la
atmosférica, entonces:
𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕
Esto demuestra que la variación de la densidad con respecto a la profundidad no
es muy grande y se desprecia. No se puede decir lo mismo cuando la densidad
varia con respecto a la temperatura o grandes profundidades; por ejemplo, a
grandes profundidades como las de los océanos donde la variación de la densidad

es grande debido a la compresión que ejerce gran cantidad de peso líquido sobre
un cuerpo sumergido.
Se puede decir que la aceleración de la gravedad varía con la altura; desde el
nivel del mar hasta grandes alturas la gravedad tiende a cambiar un poco, pero el
cambio es tan pequeño que suele despreciarse y no se toma en cuenta.
MANOMETRO
El manómetro es un instrumento usado para medir presiones pequeñas, consta de
un tubo en U que puede contener variedad de fluidos como agua, aceite, alcohol,
mercurio, etc.
El manómetro de la figura mide la presión en un tanque con un líquido en el
manómetro de densidad 𝜌, una altura 𝑕 y la columna del mismo abierta a la
atmosfera, aquí la presión contenida en el tanque se calcula con la siguiente
ecuación:
𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕
EJEMPLO
Se usa un manómetro para medir la presión en un tanque. El fluido que se utiliza
es mercurio cuya densidad específica es 13.6 y la elevación de la columna del
manómetro es de 60𝑐𝑚, tal como se muestra en la figura. Si la columna del
manómetro está abierta a la atmósfera, determine la presión absoluta del tanque.

Solución:
𝑕: 60𝑐𝑚 = 0.6𝑚
𝐺𝐸 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 13.6 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠:
𝜌: 13600
𝑘𝑔
𝑚3
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000
kg
m3
La densidad de un fluido se obtiene cuando se multiplica la densidad específica
del fluido por la densidad del agua.
𝑃𝑎𝑡𝑚 : Como la columna del manómetro eta abierta a la atmósfera, entonces la
presión atmosférica en ese punto es cero.
Luego:
𝑃: 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑕
𝑃: 0 + 13600
𝑘𝑔
𝑚3
(9.807
𝑚
𝑠2
) (0.6𝑚)
𝑃 = 80025 𝑃𝑎 = 80.25 𝑘𝑃𝑎
Pero no solo se pueden resolver problemas donde intervenga un solo fluido, en la
ingeniería se trabajan con manómetros que pueden contener varios fluidos con
densidades diferentes. Básicamente estos problemas son fáciles de resolver si se
tiene en cuenta que la presión es positiva hacia abajo y negativa hacia arriba, dos
puntos a la misma altura en un fluido en reposo están a la misma presión y que el
cambio de presión a una altura h es ∆𝑃: 𝜌𝑔𝑕
Con esto se puede decir que:
𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌1𝑔𝑕1 + 𝜌2𝑔𝑕2 + ⋯ + 𝜌𝑛 𝑔𝑕𝑛 = 𝑃1
EJEMPLO
Basándose en los datos de la figura siguiente determinar la presión del aire
contenida en el tanque.

Solución:
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 : 1000 𝑘𝑔/ 𝑚³
𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 850 𝑘𝑔/ 𝑚³
𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 : 13600 𝑘𝑔/ 𝑚³
𝜌𝑎𝑡𝑚 : 0
𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑃
𝑜 + 𝜌𝐻𝑔𝑔𝑕4 – 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔𝑕3 + 𝜌𝐻𝑔𝑔𝑕2 − 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑔𝑕1
𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 =
1000𝑘𝑔
𝑚3
× 9.807𝑚/𝑠² × (13.6 × 7𝑚 – 0.85 × 1𝑚 + 13.6 × 6 sin 45 − 1
× 8𝑚)
𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 =
1000𝑘𝑔
𝑚3
× 9.807𝑚/𝑠² × (143.04𝑚)
𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1402793.28 𝑃𝑎 = 1402.79𝑘𝑃𝑎 = 1.402𝑀𝑃𝑎.
BAROMETRO Y LA PRESION ATMOSFERICA
El barómetro es el instrumento con el que se mide la presión atmosférica, también
llamada presión barométrica. Evangelista Torricelli, científico italiano que probó
que se puede medir la presión atmosférica en un tubo invertido con mercurio
sumergido en un recipiente con el mismo liquido, tal como se muestra en la figura.

La medida del tubo es de 800𝑚𝑚 y al sumergirlo en el recipiente, el nivel de
mercurio bajó hasta 760𝑚𝑚 de mercurio a 0°𝐶. Por ello:
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔𝑕
𝜌: Densidad del mercurio
𝑔: Aceleración de la gravedad
𝑕: Altura de la columna de mercurio
En diferentes sistemas de unidades los 760𝑚𝑚𝐻𝑔 equivalen a 760 𝑡𝑜𝑟𝑟 (unidad
llamada asi en honor a Torricelli) y que también es igual a 29.92 𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑔 o
101325 𝑃𝑎. La altura es uno de los factores mas importantes que afectan la
presión atmosférica, debido que a mayor altitud, la presión disminuye.
EJEMPLO
Determinar la presión atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de
700𝑚𝑚𝐻𝑔 y la aceleración de la gravedad es de 9,807𝑚/𝑠². suponga que la
temperatura del mercurio es de 0°𝐶 a la cual su densidad es de 13600𝑘𝑔/𝑚³.
Solución:

𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔𝑕
𝑃𝑎𝑡𝑚 = (13600𝑘𝑔/𝑚³) (9.807𝑚/𝑠²) (0.7𝑚)
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 93362.64𝑃𝑎 = 93.362𝑘𝑃𝑎
INTRODUCCION A LA ESTATICA DE FLUIDOS
La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. A
diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto
el estudio de ambos filudos presentan algunas características diferentes; el
estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases se
llama aerostática. Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes la
estática de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten de
deformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa de forma perpendicular al
cuerpo.
La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerpos
flotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcción de muchas
obras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.
FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
SUMERGIDAS
Una compuerta de un observatorio marino o una pared de un tanque de
almacenamiento de líquidos, son ejemplos de superficies sumergidas. Estas
superficies quedan sometidas a presiones constantes ∫ 𝑃𝑑𝐴 = 𝑃∫ 𝑑𝐴 = 𝑃𝐴
que se distribuyen a lo largo de su superficie como fuerzas paralelas que
aumentan conforme a su profundidad, por lo que es necesario hallar su centro de
presión, que es la magnitud de la fuerza aplicada a dicha superficie. El otro lado
de estas superficies, por lo general, está expuesto a la atmosfera, por lo que la
ecuación de la presión dentro del fluido es:
𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕 → 𝑃 = 𝜌𝑔𝑕
Se considera una placa sumergida totalmente en un líquido como se muestra en la
figura.

Partiendo de este gráfico, se halla un método de solución para calcular la
magnitud y la ubicación de la fuerza resultante que produce la presión hidrostática
sobre una superficie plana sumergida.
1. Determinar el área y el centroide de la compuerta que se encuentra sumergida
a partir de un marco de referencia. (𝐴, 𝑥, 𝑦 ).

2. Evaluar a que profundidad se encuentra el centroide de la superficie, medir
desde el punto centroidal en forma totalmente ortogonal a la superficie libre del
fluido 𝑕𝑐 .
3. Calcular el valor de la presión promedio sobre la superficie sumergida, teniendo
presente que “la presión promedio sobe una superficie sumergida es equivalente
a la presión en el centroide de esta”, 𝑃
𝑝𝑟𝑜𝑚 .
Recordar que 𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕 𝑦 𝑃
𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑕𝑐
4. Hallar la magnitud de la fuerza resultante de la presión hidrostática sobre la
superficie plana sumergida 𝐹𝑅 . Recordar que 𝐹𝑅 = 𝑃
𝑝𝑟𝑜𝑚 × 𝐴 (la fuerza resultante
sobre la superficie equivale a la presión).
5. Transformar la profundidad del centroide por la distancia inclinada de la
superficie del centroide a la superficie libre, tener presente que este paso
corresponde solo a superficies inclinadas 𝑦𝑐 .
Teniendo presente el ángulo de inclinación la relación existente es 𝑦𝑐 =
𝑕𝑐
sin 𝜃
.
6. Calcular la ubicación de la fuerza sobre la superficie 𝑦𝑝 .
El valor de la distancia para superficies con ancho constante, se calcula como el
centroide de prismas de presión pero en forma general, para cualquier clase de
formas geométricas y con ancho variables se tiene que 𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥
𝑦𝑐∗𝐴
, donde 𝐼𝑥𝑥
corresponde al valor del momento de inercia del área centroidal de la compuerta.
Para aéreas compuestas es imprescindible utilizar el teorema de los ejes
paralelos, teniendo presente que la distancia de separación vertical para cada
área del compuesto se mide desde cada centro de las partes hasta el centro de la
compuerta. 𝐼𝑥𝑥 = ∑ 𝐼𝑥𝑥−1
𝑛
𝑖=1 + ∑ 𝐴𝑖𝑑𝑖
2
𝑛
𝑖=1 .

EJEMPLO
Para el caso mostrado en la figura determinar la fuerza hidrostática resultante y el
punto exacto donde se ejerce dicha fuerza sobre la superficie.
Solución:
El área de la superficie triangular es:
𝐴 = (𝑏 × 𝑎)/2 = (4 × 9)/2 = 18
El centroide del triángulo es:
1
3
𝑏 =
1
3
9 = 3
𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜌𝑔𝑕 = 1025𝑘𝑔 𝑚3
× 9.807 𝑚 𝑠2
× 13 = 130664 𝑁 𝑚2
𝐹𝑅= 𝑃
𝑝𝑟𝑜𝑚 × 𝐴
𝐹𝑅= 130664.9 𝑁
𝑚2 × 18𝑚2
= 2351969.1𝑁
𝐼𝑥𝑥 =
𝑎𝑏3
36
=
4 × 93
36
= 81𝑚4
𝑦𝑐 =
𝑕𝑐
𝑠𝑒𝑛 30°
= 26𝑚
𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥
𝑦𝑐 × 𝐴
= 26𝑚 +
81𝑚4
26𝑚 × 18𝑚2
= 26.173𝑚

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE CURVAS SUMERGIDAS
La manera mas fácil de obtener la fuerza hidrostática resultante 𝐹𝑅 para
superficies curvas sumergidas es determinar la fuerza horizontal 𝐹𝑕 y la fuerza
vertical 𝐹
𝑣 cada una por separado.
En la figura se muestran todas las fuerzas que intervienen sobre la superficie
curva sumergida. El cuerpo sumergido proyecta dos superficies planas (una
horizontal y otra vertical), para las cuales se les hace el análisis de fuerzas
hidrostáticas, además del peso del propio cuerpo. Es decir, la superficie vertical es
la proyección de la superficie curva en un plano vertical. Lo mismo es para la
proyección horizontal. A esto se le aplica la tercera ley de newton (acción fuerza).
𝐹𝑕 = 𝐹
𝑥
𝐹
𝑣 = 𝐹
𝑦 + 𝑤
Se tiene en cuenta que en la fuerza vertical 𝐹
𝑣, 𝐹
𝑦 + 𝑤 se suman si actúan en la
misma dirección, pero se restan si ejercen su fuerza en sentido contrario.

La magnitud de la fuerza hidrostática resultante es:
𝐹𝑅 = 𝐹𝑕
2
+ 𝐹
𝑣
2
El ángulo que forma con la horizontal es:
𝜃 = tan−1
𝐹
𝑣
𝐹𝑕
Se localiza el punto de acción de la 𝐹𝑅 cuando la proyección de 𝐹𝑕 𝑦 𝐹
𝑣 se
interceptan.
La solución de ejercicios de esta índole se hace más fácil si se consideran los
siguientes pasos:
1. Cálculo de la fuerza horizontal:
 Determinar el área proyectada horizontalmente A.
 Determinar la distancia desde el centroide hasta la superficie libre 𝑕𝑐.
 Calcular la presión promedio en el centroide 𝑃𝑝𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑕𝑐
 Calcular fuerza horizontal, 𝐹𝑕 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝐴
 Calcular 𝑦𝑐, 𝑦𝑐 =
𝑦𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝜃
2. Cálculo de fuerza vertical.
𝐹
𝑣 = 𝐹
𝑦 + 𝑤
𝐹
𝑦 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝐴𝑕𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
3. Cálculo de la fuerza resultante.
𝐹𝑅 = 𝐹𝑕
2
+ 𝐹
𝑣
2
4. Calcular el ángulo de inclinación.
𝜃 = tan−1
𝐹
𝑣
𝐹𝑕
EJEMPLO
La superficie sumergida en agua es la cuarta parte de un círculo con un radio de
15 𝑚 y una longitud de 150𝑚. Calcular la fuerza hidrostática que se ejerce sobre la
superficie curva y determinar su línea de acción.

Solución:
 𝐴 = 150𝑚 × 10𝑚 = 1500𝑚2
 𝑕𝑐 = 7.5𝑚
 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝜌𝑔𝑕𝑐 = 1000
𝐾𝑔
𝑚3 × 9.81
𝑚
𝑠2 × 7.5𝑚 = 73575𝑃𝑎
 𝐹𝑕 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 × 𝐴 = 110.3625 × 106
𝑁
 𝑦𝑐 = 7.5𝑚
 𝐹
𝑣 = 𝐹
𝑦 + 𝑤 = 0 + 𝑤
𝑤 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔𝑉 = 1000
𝐾𝑔
𝑚3
× 9.81
𝑚
𝑠2
× 150𝑚 ×
𝜋
4
× 15𝑚 2
𝑤 = 260.0355 × 106
𝑁
𝐹
𝑣 = 0 + 260.0355 × 106
𝑁 = 260.0355 × 106
𝑁
 𝐹𝑅 = 𝐹𝑕
2
+ 𝐹
𝑣
2
= 282.486 × 106
 𝜃 = tan−1 𝐹𝑣
𝐹𝑕
= tan−1 260.0355×106𝑁
110.3625×106𝑁
= 67°

FLOTACION Y ESTABILIDAD
Principio de Arquímedes
Desde hace más de 2200 años el principio de Arquímedes es utilizado por el
hombre. Cuando un cuerpo es introducido (sin importar su geometría)
completamente en un fluido de densidad conocida se le puede conocer su
volumen midiendo la perdida aparente en peso de este. En conclusión
Arquímedes planteó:
¨todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje ascensional igual al
peso del líquido que desaloja¨.
Con este principio surgen los conceptos de flotabilidad y flotación.
Flotabilidad: es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobre
un cuerpo colocado en el.
Estabilidad: se conoce como la propiedad que tiene un cuerpo para regresar a su
posición original luego de haber sido inclinado con respecto a su eje.
Al observar la flotabilidad de varios objetos cuyo material de constitución son
diferentes, cada uno presenta características diferentes. Como es el caso de los
objetos constituidos por madera, plástico u otros materiales ligeros, que flotan en
el agua. Esto permite apreciar que el fluido donde se encuentran inmersos ejerce
una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo. Esta fuerza que tiende a empujar el
cuerpo hacia la superficie se denomina fuerza de flotación 𝐹𝐵. La fuerza de
flotación esta asociada a la presión de un fluido y esta a su profundidad. Para el
caso se considera una placa sumergida en un fluido con una densidad 𝜌𝑓 , un
espesor h, una distancia s y un área A.

La placa se encuentra paralela a la superficie libre. Ambos lados de la placa tienen
un área A y las presiones en la superficie superior como la inferior son:
Presión superior: 𝜌𝑓𝑔𝑠 fuerza hidrostática superior, 𝐹
𝑠𝑢𝑝 = 𝜌𝑓𝑔𝑠𝐴
Presión inferior: 𝜌𝑓𝑔(𝑠 + 𝑕) fuerza hidrostática inferior, 𝐹𝑖𝑛𝑓 = 𝜌𝑓𝑔(𝑠 + 𝑕)𝐴
𝐹
𝑠𝑢𝑝 actúa hacia debajo de la placa y es menor en comparación con la 𝐹𝑖𝑛𝑓 que
actúa hacia arriba desde la parte inferior de la placa. De estas dos fuerzas surge la
fuerza de flotación.
𝐹𝐵 = 𝐹𝑖𝑛𝑓 − 𝐹
𝑠𝑢𝑝
𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔 (𝑠 + 𝑕)𝐴 − 𝜌𝑓𝑔𝑠𝐴
𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔𝑕𝐴
𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔∀
∀= 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎.
Por lo anterior se deduce que 𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔∀ es el peso del líquido cuyo volumen es
igual al peso de la placa. Es decir, la fuerza de flotación ejercida sobre la placa es
igual al peso del líquido desplazado por la misma placa. Además es notorio que la
distancia que separa al cuerpo de la superficie libre como la densidad del cuerpo
no tiene relación con la fuerza de flotabilidad o fuerza boyante.
La ecuación anterior es valida para cualquier forma geométrica que presente un
cuerpo. Esto se ve partiendo del argumento de que la fuerza de flotación que
actúa sobre un cuerpo sumergido es igual al peso del fluido desplazado por el
cuerpo y actúa hacia arriba pasando por el centroide de dicho volumen. Cuando
se tienen cuerpos flotantes, el peso completo del cuerpo debe ser igual a la fuerza
de flotación. Esto indica lo siguiente:
𝐹𝐵 = 𝑤
𝜌𝑓𝑔∀𝑠𝑢𝑚 = 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 𝑔∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜌𝑓∀𝑠𝑢𝑚 = 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 ∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∀𝑠𝑢𝑚
∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝜌𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜
𝜌𝑓
Con la relación de densidades de la ecuación anterior se observa que:

𝜌𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 < 𝜌𝑓 = el cuerpo flota
𝜌𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 > 𝜌𝑓 = el cuerpo se hunde hasta el fondo.
𝜌𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 = 𝜌𝑓 = el cuerpo se suspende, permaneciendo en reposo en cualquier
punto del fluido donde se deje.
EL HIDROMETRO
Para determinar las densidades relativas de los líquidos se usa el hidrómetro,
instrumento que usa el principio de flotación.
Fuente: Mecánica de los fluidos. Víctor L. Streeter, Benjamín Wylie
Como el líquido de la figura (a) es agua el hidrómetro flota en equilibrio:
𝑊 = 𝜌𝑓 𝑔∀𝑠𝑢𝑚
𝑊 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑕𝑖𝑑𝑟ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝜌𝑓 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑔 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
∀𝑠𝑢𝑚 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜

En la imagen a el hidrómetro marca 1 en la parte superior que coincide con la
superficie del agua. Esto indica la unidad de la gravedad específica del fluido, en
este caso es 1.
Cuando el hidrómetro flota en otro líquido, la ecuación de equilibrio se transforma
en:
(∀𝑠𝑢𝑚 − ∆∀𝑠𝑢𝑚 )𝑠𝑔𝜌𝑓 = 𝑊
∆𝑉
𝑠𝑢𝑚 = 𝑎∆𝑕
Como se tienen dos ecuaciones para 𝑊, se igualan y se despeja ∆𝑕:
𝜌𝑓𝑔∀𝑠𝑢𝑚 = (∀𝑠𝑢𝑚 − ∆∀𝑠𝑢𝑚 )𝑠𝑔𝜌𝑓
∀𝑠𝑢𝑚 = (∀𝑠𝑢𝑚 − 𝑎∆𝑕)𝑠
∀𝑠𝑢𝑚
𝑠
= ∀𝑠𝑢𝑚 − 𝑎∆𝑕
𝑎∆𝑕 = ∀𝑠𝑢𝑚 −
∀𝑠𝑢𝑚
𝑠
∆𝑕 =
∀𝑠𝑢𝑚
𝑎
−
∀𝑠𝑢𝑚
𝑎𝑠
∆𝑕 =
∀𝑠𝑢𝑚 (𝑠 − 1)
𝑎𝑠
Con esta diferencia de alturas se puede determinar densidades relativas para
diferentes fluidos.
EJEMPLO
Se desea calcular la densidad de un fluido, para ello se utiliza un hidrómetro que
previamente se sumerge en agua y marca un altura de 15 cm desde el fondo del
tubo hasta la superficie del liquido, indicando el nivel, el cual se marca. Luego se
introduce el liquido de densidad desconocida y se observa que la marca a
ascendido 0.8 cm por arriba de la superficie libre. Determinar la densidad del
fluido. El hidrómetro es de forma cilíndrica, tiene 1 cm de diámetro y no posee
marcas de división a su costado.

Solución:
En agua, 𝑊 = 𝜌𝑤 𝑔𝑕𝑤 𝐴
En el líquido desconocido, 𝑊 = 𝜌𝑙𝑔𝑕𝑙𝐴
Se igualan los dos pesos:
𝜌𝑤 𝑔𝑕𝑤 𝐴 = 𝜌𝑙𝑔𝑕𝑙𝐴
𝜌𝑤 𝑕𝑤 = 𝜌𝑙𝑕𝑙
𝜌𝑙 =
𝜌𝑤 𝑕𝑤
𝑕𝑙
𝜌𝑙 =
1000
𝑘𝑚
𝑚3 × 0.15𝑚
0.15𝑚 − 0.008𝑚
𝜌𝑙 = 1056.338
𝑘𝑔
𝑚3

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS Y DE LOS
FLOTANTES
En un fluido un cuerpo se considera estable si regresa a su posición original luego
de haberse girado un poco alrededor de su eje horizontal. La estabilidad es
diferente dependiendo si el cuerpo esta sumergido o se encuentra flotando.
ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS
Ejemplos de cuerpos que se encuentran sumergidos son los submarinos. Estos
cuerpos necesitan que el centro de gravedad del mismo deba estar por debajo del
centro de flotabilidad para que se presente estabilidad.
El centro de estabilidad de un cuerpo se ubica en el centroide del volumen de
fluido desplazado y es a través de este punto como actúa la fuerza de empuje en
dirección vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del
centro de gravedad.
Las figuras a continuación muestran la estabilidad de cuerpos sumergidos:
Fuente: Mecánica de fluidos aplicada. Robert L. Mott

Para el submarino mostrado los puntos 𝑐𝑏 y 𝑐𝑔 son los centros de flotabilidad y de
gravedad, respectivamente. La figura (b) muestra el efecto de la fuerza boyante
𝐹𝐵 y el peso 𝑊 que suministra un par que tiende a girar el submarino de regreso a
su posición original luego de haber sido desplazado ligeramente. Lo que origina
que el cuerpo sea estable. Por otro lado en la figura (c) se ve lo que sucedería si
la configuración estuviera al contrario de lo que se presenta en la figura (a).
Cuando se gira el cuerpo de la figura (c), la fuerza boyante 𝐹𝐵 y el peso 𝑊
producen un par que tiende a voltear el submarino. Esta orientación es inestable.
Si el centro de gravedad y el centro de flotabilidad de un cuerpo coinciden, como
sucede con un cuerpo solido, la fuerza boyante 𝐹𝐵 y el peso 𝑊 actúan a través del
mismo punto sin que se produzca el par. Esto le confiere una estabilidad neutral al
cuerpo y permanecerá en cualquier orientación en la que se coloque, con respecto
a un eje vertical.
ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES
La condición de estabilidad para cuerpos flotantes se da si su centro de gravedad
está por debajo del metacentro. Ver figura.
Fuente: Mecánica de fluidos aplicada. Robert L. Mott
El casco de un barco, mostrado en la figura (a), está en su orientación de equilibrio
y el centro de gravedad (𝑐𝑔) se encuentra por encima del centro de flotabilidad
(𝑐𝑏). En la figura (b) se ve que al girar el casco respecto a su eje horizontal, el
centro de flotabilidad se desplaza en una nueva posición debido que la forma o
geometría del volumen que ha sido desplazado se ha modificado. En este caso 𝐹𝐵

Y 𝑊 producen un par de rectificación que hace al cuerpo regresar a su orientación
original. De esta manera el cuerpo es estable.
El metacentro (𝑚𝑐) es el punto de intersección del eje vertical de un cuerpo
cuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical que pasa por la
nueva posición del centro de flotabilidad cuando el casco, en este caso, está
girado ligeramente.
Para saber si un cuerpo flotante es estable se calcula la posición de su
metacentro. La distancia del metacentro al centro de flotabilidad, se denota con
(𝑀𝐵), calculándose a partir de la siguiente ecuación:
𝑀𝐵 =
𝐼
𝑉𝑑
𝐼 = Volumen desplazado del fluido.
𝑉𝑑 = Mínimo momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo, tomada en
la superficie del fluido.
Si la distancia 𝑀𝐵 coloca al metacentro por encima del centro de gravedad el
cuerpo es estable.
FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO
Cuando los fluidos son transportados, por ejemplo en contenedores, la aceleración
hace que el fluido se mueva hacia la parte posterior, formándose una nueva
superficie libre que no es horizontal. Cada partícula del fluido adquiere la misma
aceleración y la masa del fluido se comporta como un cuerpo rígido. Al fluido no
tener deformación no se presenta ningún esfuerzo cortante.
Para analizar lo que sucede dentro del fluido, este se analiza por medio de un
elemento rectangular diferencial del fluido con lados 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧.

Se aplica la segunda ley de newton del movimiento al elemento:
𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎
𝛿𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝛿𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Sobre el cuerpo actúa la gravedad (𝑔) y las fuerzas superficiales, como las
fuerzas de presión, actuando sobre la superficie del elemento y proporcionales al
área superficial. Otras fuerzas como la eléctrica, magnética, esfuerzo cortante, no
se tienen en cuenta, debido a que las posiciones relativas de los elementos de
fluido permanecen inalteradas.
La presión (𝑃) se toma en el centro del elemento:
Presión en la superficie superior: 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
Presión en la superficie inferior: 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2

La fuerza neta superficial que actúa sobre el elemento en la dirección 𝑍 es la
diferencia entre las fuerzas de presión que actúan sobre las caras superior e
inferior.
𝛿𝐹
𝑠,𝑧 = 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝛿𝐹
𝑠,𝑧 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Lo mismo ocurre en las direcciones 𝑋 𝑦 𝑌.
𝛿𝐹
𝑠,𝑥 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝛿𝐹
𝑠,𝑦 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
La fuerza superficial neta que actúa sobre el elemento es:
𝛿𝐹
𝑠 = 𝛿𝐹
𝑠,𝑥𝑖 + 𝛿𝐹
𝑠,𝑦 𝑗 + 𝛿𝐹
𝑠,𝑧𝑘
𝛿𝐹
𝑠 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑖 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑗 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘
𝛿𝐹
𝑠 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑖 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑗 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑘
𝛿𝐹
𝑠 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝛿𝐹
𝑠 = −∇𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∇𝑃 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛.
Sobre el elemento de fluido actúa su propio peso en dirección 𝑍 negativa, se
denota con 𝛿𝐹𝐵,𝑍:
𝛿𝐹𝐵,𝑍 = −𝑔𝛿𝑚 = −𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝛿𝐹𝐵,𝑍 = −𝑔𝛿𝑚𝑘 = −𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘
La fuerza total que actúa sobre el elemento es:
𝛿𝐹 = 𝛿𝐹
𝑠 + 𝛿𝐹𝐵 = −∇𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘
𝛿𝐹 = − ∇𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Como 𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎, se sustituye en la segunda ley de newton;
− ∇𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎
∇𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝑎 𝐸𝑐. 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠
Se puede expresar en forma vectorial como:
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑘 + 𝜌𝑔𝑘 = −𝜌 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
Al igualar cada vector unitario se obtienen las ecuaciones de fluidos en
aceleración:
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= −𝜌𝑎𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= −𝜌𝑎𝑦
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧
CASO ESPECIAL 1. FLUIDOS EN REPOSO
Cuando los fluidos se mueven en una trayectoria recta a velocidad constante o
están en reposo, la aceleración es cero en cualquier componente por lo que las
ecuaciones quedan así:
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔
La expresión queda de la siguiente manera:
𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧
Se integra entre dos puntos: 𝑝0 y 𝑝.
𝑝 = 𝑝0 − 𝜌𝑔𝑧 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

CASO ESPECIAL 2. CAIDA LIBRE DE UN CUERPO DE FLUIDO
Cuando se deja caer un cuerpo este acelera bajo la influencia de la gravedad. Si
despreciamos la resistencia que ofrece el aire, la aceleración del cuerpo es igual a
la gravedad y en dirección horizontal la aceleración es cero. Las ecuaciones
quedan así:
𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = 0 𝑎𝑧 = −𝑔
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌 𝑔 − 𝑔 = 0
Si por el contrario se invierte la dirección del movimiento acelerando en dirección
vertical, pero hacia arriba, entonces 𝑎𝑧 = +𝑔 , entonces:
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌 𝑔 + 𝑔 = −2𝜌𝑔
𝑝 = 𝑝0 − 2𝜌𝑔𝑧

ACELERACION SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA
Al considerar el gráfico se observa que cuando un fluido contenido en un
recipiente se somete a una aceleración el fluido se desplaza hacia la parte
posterior formando una superficie libre diferente. Al no existir movimiento en la
dirección 𝑦 entonces 𝑎𝑦 = 0 . Las ecuaciones para el movimiento se reducen a:
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= −𝜌𝑎𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧
Estas ecuaciones indican que la presión es independiente de 𝑦. La presión
diferencial total de 𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑧 es:
𝑑𝑃 =
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧

𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑑𝑧 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Para una densidad constante, la diferencia de presiones entre dos puntos 1 y 2 en
el fluido:
𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
𝑃2
𝑃1
− −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑑𝑧
𝑧2
𝑧1
𝑃2−𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2 − 𝑧1
Al tomar 𝑃1 = origen, entonces 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, donde la presión es 𝑃0 y el punto 𝑃2
como cualquier punto en el fluido.
La variación de la presión se expresa:
𝑃2 = 𝑃1 − 𝜌𝑎𝑥𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧
𝑃 = 𝑃0 − 𝜌𝑎𝑥𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧 𝑃0 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑃 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
El ascenso o descenso de las superficie libre se calcula al hacer tanto 1 como 2
sobre la superficie libre.

𝑃2 = 𝑃1, entonces:
𝑃2 − 𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2 − 𝑧1
0 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2 − 𝑧1
𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2 − 𝑧1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1
𝑧2 − 𝑧1 = ∆𝑧𝑠 = −
𝑎𝑥
𝑔 + 𝑎𝑧
𝑥2+𝑥1
Aquí 𝑧𝑠 es la proyección vertical de la superficie libre del fluido. Las superficies de
presión constantes, isobaras, se obtienen al hacer 𝑑𝑃 = 0.
𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑑𝑧
𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎
𝑑𝑥
= −
𝑎𝑥
𝑔 + 𝑎𝑧
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑧 = 𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎
Las pendientes de las isobaras son:
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑑𝑥
= −
𝑎𝑥
𝑔 + 𝑎𝑧
= −𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑎𝑥
𝑔 + 𝑎𝑧
EJEMPLO
Un recipiente que contiene agua es transportado en dirección horizontal, la
superficie libre forma un ángulo de 17° con respecto a la horizontal. Calcular la
aceleración del recipiente y cual es la altura sobre el nivel en reposo que se
levanta el fluido cuando este se somete a una aceleración.

𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 =
𝑎𝑥
𝑔 + 𝑎𝑧
𝑎𝑧 = 0
𝑡𝑎𝑛𝑔 17° 𝑔 = 𝑎𝑥 𝑎𝑥 = 2.999
𝑚
𝑠2
Luego:
𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 =
∆𝑧𝑠
2.5𝑚

∆𝑧𝑠 = 2.5𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃
∆𝑧𝑠 = 0.7643𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎.
ROTACION EN UN RECIPIENTE CILINDRICO
Cuando un fluido contenido en un recipiente se hace girar respecto a un eje la
superficie libre es cóncava, generando a la vez un movimiento de vértice forzado.
Al considerar el recipiente de la figura este contiene un fluido que se hace girar
alrededor de su eje a una velocidad constante angular 𝜔. Luego de iniciar el
movimiento el fluido se comporta como un cuerpo rígido junto con el recipiente.
Aquí tampoco existe deformación, ni esfuerzo cortante y al igual que en los casos
anteriores las partículas que componen el fluido se moverán a la misma velocidad
angular.
Para buscar las ecuaciones en este tipo de movimiento se consideran todas las
componentes mostrada en la figura.
Al ser un cilindro y tener movimiento rotacional se usan coordenadas cilíndricas
(𝑟, 𝜃, 𝑧). Se conoce que la velocidad angular del fluido es 𝜔, por lo tanto la
eceleracion centrípeta es 𝑟𝜔2
, siendo 𝑟 la distancia hacia el eje de rotación,
dirección negativa, por lo tanto se denomina aceleración radial 𝑎𝑟 = −𝑟𝜔2
. aquí

no existe relación con el ángulo 𝜃, por lo que se desprecia; por ello la presión
depende del radio y de altura z. Además, la aceleración tangencial 𝑎𝜃 es igual a
cero y 𝑎𝑧 tambien es cero.
Considerando lo anterior las ecuaciones del movimiento rotacional son:
𝜕𝑃
𝜕𝑟
= −𝜌𝑟𝜔2
𝜕𝑃
𝜕𝜃
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔
La diferencial de presión es:
𝑑𝑃 =
𝜕𝑃
𝜕𝑟
𝑑𝑟 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2
𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧
Para obtener la ecuación de las superficies de presión constante (isobara), se
procede igual que en el caso anterior.
A saber 𝑑𝑃 = 0 𝑦 𝑧 = 𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎
0 = 𝜌𝑟𝜔2
𝑔𝑑𝑧 = 𝑟𝜔2
𝑑𝑟
𝑑𝑟
=
𝑟𝜔2
𝑔

Integrando se obtiene la ecuación para las superficies de presión constante.
𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 =
𝑧2
𝑧1
𝑟𝜔2
𝑔
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
𝑧2 − 𝑧1 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 =
𝜔2
2𝑔
𝑟2−𝑟1
2
+ 𝑐1
𝑟2−𝑟1 = 𝑟
𝑧2 − 𝑧1=𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎
𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 =
𝜔2
𝑟2
2𝑔
+ 𝑐1
Por la ecuación anterior se deduce que las superficies de presión constante son
paraboloides. Al hacer 𝑟 = 0,
𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 0 = 𝑐1 = 𝑕𝑐
𝑕𝑐 es la distancia que hay desde la superficie libre al fondo del recipiente, como
siempre va a existir liquido 𝑧𝑠 nunca va a ser igual a cero a menos que no exista
líquido. La ecuación para la superficie libre se transforma en:
𝑧𝑠 =
𝜔2
𝑟2
2𝑔
+ 𝑕𝑐
Aquí 𝑧𝑠 es la distancia desde la superficie libre hasta el fondo del tanque a lo largo
del eje de rotación.
El volumen formado por la superficie libre se puede determinar conociendo un
elemento de cascaron cilíndrico de radio 𝑟, altura 𝑧𝑠 y espesor 𝑑𝑟.

𝑑𝑣 = 2𝜋𝑟𝑧𝑠 𝑑𝑟
𝑣 = 2𝜋𝑟𝑧𝑠 𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
𝑣 = 2𝜋
𝜔2
𝑟3
2𝑔
+ 𝑟𝑕𝑐 𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
𝑣 = 2𝜋
𝜔2
𝑅4
8𝑔
+
𝑅2
2
𝑕𝑐
𝑣 = 𝜋
𝜔2
𝑅4
4𝑔
+ 𝑅2
𝑕𝑐
𝑣 = 𝜋𝑅2
𝜔2
𝑅2
4𝑔
+ 𝑕𝑐
𝑣 = 𝜋𝑅2
𝑕0
𝑕0 es la altura original del fluido en el recipiente sin flotación.

De la gráfica se obtiene:
𝑕𝑐 = 𝑕0 −
𝜔2
𝑅2
4𝑔
𝑧𝑠 −
𝜔2
𝑟2
2𝑔
= 𝑕0 −
𝜔2
𝑅2
4𝑔
𝑧𝑠 = 𝑕0 −
𝜔2
𝑅2
4𝑔
+
𝜔2
𝑟2
2𝑔
𝑧𝑠 = 𝑕0 −
𝜔2
𝑅2
+ 2𝜔2
𝑟2
4𝑔
𝑧𝑠 = 𝑕0 −
𝜔2
4𝑔
𝑅2
− 2𝑟2
La altura máxima vertical se da en el borde cuando 𝑟 = 𝑅 y la diferencia máxima
en las alturas entre el borde y el centro de la superficie se obtiene al evaluar 𝑧𝑠 en
𝑟 = 𝑅 y 𝑟 = 0 y se calcula la diferencia. La altura máxima es igual a:
𝑧𝑠 = 𝑕0 −
𝜔2
4𝑔
𝑅2
− 2𝑟2
𝑧𝑠 = 𝑕0 −
𝜔2
4𝑔
𝑅2
− 2𝑅2

𝑧𝑠 = 𝑕0 −
𝜔2
4𝑔
−𝑅2
𝑧𝑠 = 𝑕0 +
𝜔2
𝑅2
4𝑔
La diferencia máxima en las alturas es 𝑧𝑠 𝑅 = 𝑧𝑠 0
𝑧𝑠 𝑅 = 𝑕0 −
𝜔2
4𝑔
𝑅2
− 2𝑟2
𝑧𝑠 𝑅 = 𝑕0 +
𝜔2
𝑅2
4𝑔
𝑧𝑠 0 = 𝑕0 −
𝜔2
4𝑔
𝑅2
− 2 0 2
𝑧𝑠 0 = 𝑕0 −
𝜔2
𝑅2
4𝑔
Luego:
𝑧𝑠 𝑅 = 𝑧𝑠 0 = 𝑕0 +
𝜔2
𝑅2
4𝑔
− 𝑕0 −
𝜔2
𝑅2
4𝑔
∆𝑧𝑠,𝑚𝑎𝑥 =
𝜔2
𝑅2
4𝑔
+
𝜔2
𝑅2
4𝑔
𝜔2
𝑅2
+ 𝜔2
𝑅2
4𝑔
2𝜔2
𝑅2
4𝑔
𝜔2
𝑅2
2𝑔
Para obtener la diferencia de presión entre dos puntos 𝑃1 y 𝑃2 se integra.
𝑑𝑃 = −𝜌𝑟𝜔2
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
𝑃2
𝑃1
− −𝜌𝑔𝑑𝑧
𝑧2
𝑧1

𝑃2−𝑃1 =
𝜌𝜔2
2
𝑟2
2
− 𝑟1
2
− 𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1
Al tomar 𝑃1como el origen, 𝑟 = 0 y 𝑧 = 0 ;𝑃1 = 𝑃0 ; 𝑃2se toma como cualquier punto
en el fluido.
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑃 = 𝑃0 +
𝜌𝜔2
2
𝑟2
− 𝜌𝑔𝑧
EJEMPLO
Se hace girar un tanque cilíndrico de diámetro 2.5 𝑚 con agua a 15 𝑟𝑝𝑚. La
presión en el centro de la superficie del fondo es de 100 𝑘𝑃𝑎. Calcular la presión
en el borde de la superficie del fondo.

𝑤 = 2𝜋𝑛 = 2𝜋 15
𝑅𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
𝑤 = 1.571
𝑅𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛
𝑃 = 𝑃0 +
𝜌𝜔2
2
𝑟2
− 𝜌𝑔𝑧
𝑃 = 100000𝑘𝑃𝑎 +
1000
𝑘𝑔
𝑚3 × 1.571
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2
2
1.25𝑚 2
− 1000
𝑘𝑔
𝑚3
× 9.81
𝑚
𝑠2
× 0
𝑃𝐵𝑜𝑟𝑑𝑒 = 101.928𝑘𝑃𝑎.

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