arit2.pdfacademiapitagorascicloveranitossj

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  Aritmética JHON SÁNCHEZ G.
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  PROPORCIONES PROPORCIÓN. CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA. PROPIEDADES DELA PROPORCIÓN. CLASES DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.
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   PROPORCIÓN Una proporciónes el resultado de igualar dos razones y estas pueden ser: proporción aritmética y proporción geométrica. Proporción Aritmética Es el resultado de igualar dos razones aritméticas . Sean los números 𝑎𝑎 ; 𝑏𝑏 ; 𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑑𝑑 , la proporción aritmética correspondiente es: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 Proporción Geométrica Es el resultado de igualar dos razones geométricas . Sean los números 𝑎𝑎 ; 𝑏𝑏 ; 𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑑𝑑 , la proporción geométrica correspondiente es: 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 Notación: 𝑎𝑎: 𝑏𝑏 ∷ 𝑐𝑐 ∶ 𝑑𝑑 Se lee: “𝑎𝑎” es a “𝑏𝑏”, como “𝑐𝑐” es a “𝑑𝑑”. Para ambas proporciones, se cumple: • Términos de la primera razón: 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑏𝑏 • Términos de la segunda razón: 𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑑𝑑 • Antecedentes : 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑐𝑐 • Consecuentes: 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑑𝑑 • Extremos : 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑑𝑑 • Medios: 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐  CLASES DE PROPORCIÓN ARTIMÉTICA La proporción aritmética es discreta, si sus términos medios son distintos. 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 Al término "𝑑𝑑 “ se le conoce como cuarta diferencial Discreta
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  𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸: La proporción aritméticadiscreta que se puede formar con los términos : 24 ; 18 ; 50 𝑦𝑦 44 𝑒𝑒𝑒𝑒: 24 − 18 = 50 − 44 R.A = 6 R.A = 6 Continua La proporción aritmética es continua si sus términos medios son iguales. 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 Tenemos: “𝑏𝑏” es la media diferencial o media aritmética de “𝑎𝑎” y "𝑐𝑐𝑐 Su valor es : 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 2 “𝑐𝑐𝑐 es la tercera diferencial de “𝑎𝑎𝑎 y “𝑏𝑏𝑏 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸: La proporción aritmética continua que se puede formar con los términos : 36 ; 28 𝑦𝑦 20 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∶ 36 − 28 = 28 − 20 R.A = 8 R.A = 8  CLASES DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Discreta La proporción geométrica es discreta si sus términos medios son diferentes. 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 Al término “𝑑𝑑 " se le conoce como cuarta proporcional . El producto de los extremos es igual al producto de los términos medios.
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  𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸: La proporción geométricadiscreta que se puede formar con los números : 15 ; 20 ; 24 ; 32 𝑅𝑅. 𝐺𝐺 = 15 20 = 24 32 𝑅𝑅. 𝐺𝐺 = 3 4 𝑅𝑅. 𝐺𝐺 = 3 4 Continua La proporción geométrica es continua si sus términos medios son iguales. 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 𝑐𝑐 Tenemos: “𝑏𝑏𝑏 es la media proporcional o media geométrica de “𝑎𝑎𝑎 y “𝑐𝑐𝑐 Su valor es: 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑜𝑜 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 “𝑐𝑐𝑐 es la tercera proporcional de “𝑎𝑎 y "b" 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸: La proporción geométrica continua que se puede formar con los números : 10; 30 𝑦𝑦 90 𝑒𝑒𝑒𝑒: 10 30 = 30 90 𝑅𝑅. 𝐺𝐺 = 1 3 𝑅𝑅. 𝐺𝐺 = 1 3 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸: 1.- Encontrar la cuarta diferencial de los números: 54; 45 y 32 Resolución: Se trata de una proporción aritmética discreta: 54 − 45 = 32 − 𝑥𝑥 9 9 𝑥𝑥 = 23
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  2.- Encontrar lamedia diferencial o media aritmética de 17 y 31 Resolución: Se trata de una proporción aritmética continua 17 – 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 31 𝑥𝑥 = 24 Otra forma: 17 + 31 2 = 24 3.- Encontrar la tercera diferencial de 64 y 50 Resolución: Se trata de una proporción aritmética continúa: 64 − 50 = 50 − 𝑥𝑥 14 14 𝑥𝑥 = 36 4.- Calcular la cuarta proporcional de los números : 36 , 48 y 45 Resolución: Se trata de una proporción geométrica discreta: 36 48 = 45 𝑥𝑥 48 𝑥𝑥 45 36 = 60 5.- Calcular la media proporción o media geométrica de 24 y 54 Resolución: Se trata de una proporción geométrica continua. 24 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 54 𝑥𝑥2 = 24 𝑥𝑥 54 = 1296 𝑥𝑥 = 36 6.- Calcular la tercera proporcional de 48 y 60 Resolución: Se trata de una proporción geométrica continua. 48 60 = 60 𝑥𝑥 60 𝑥𝑥 60 48 = 75
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   PROPIEDADES DEUNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA I. La suma o diferencia de los antecedentes es la suma o diferencia de los consecuentes, como cada antecedente es a su respectivo consecuente. Sea: 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 Se cumple: 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 II. A partir de una proporción geométrica, podemos escribir otras 8 proporciones geométricas: Sea la proporción original: 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 Se pueden conseguir las siguientes proporciones: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
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  1.- Si 𝑚𝑚es la tercera diferencial de 29 y 17, y n es la meda proporcional de 12 y 75, halle 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 A) 28 B) 30 C) 24 D) 35 E) 38 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 29 − 17 = 17 − 𝑚𝑚 12 = 17 − 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 5 12 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 75 𝑛𝑛2 = 12 . 75 𝑛𝑛2 = 36. 25 𝑛𝑛 = 36 . 25 𝑛𝑛 = 30 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 35 CLAVE D
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  2.- En unaproporción aritmética, la suma de sus términos es 96 y la diferencia de los términos medios es 24. Calcule el mayor de los términos medios. A) 18 B) 36 C) 24 D) 30 E) 20 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 96 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 96 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 96 2𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 = 96 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 48 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 24 2𝑏𝑏 = 72 𝑏𝑏 = 36 CLAVE B
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  3.- Si 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4y 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 = 17 , halle 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 A) 32 B) 35 C) 37 D) 42 E) 40 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 4 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 = 17 𝑎𝑎 = 4𝑏𝑏 𝑐𝑐 = 4𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 4𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 = 4𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 5𝑏𝑏 = 3𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑑𝑑 = 3 5 𝑏𝑏 = 3𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 5𝑘𝑘 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 = 17 4𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 = 17 20𝑘𝑘 − 3𝑘𝑘 = 17 17𝑘𝑘 = 17 𝑘𝑘 = 1 𝑎𝑎 = 12𝑘𝑘 = 12 𝑏𝑏 = 3𝑘𝑘 = 3 𝑐𝑐 = 20𝑘𝑘 = 20 𝑑𝑑 = 5𝑘𝑘 = 5 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 40 CLAVE E
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  4.- Se tieneuna proporción de razón 3/5. Si suma de los antecedentes es 21 y la diferencia de los consecuentes es 5, halle el mayor de los términos. A) 24 B) 35 C) 30 D) 20 E) 40 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 = 3 5 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 21 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = 5 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 = 3 5 21 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 = 3 5 7 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 = 35 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = 5 2𝑏𝑏 = 40 𝑏𝑏 = 20 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 = 35 CLAVE D
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  5.- En unaproporción continua, el primer término es 8 veces más que el último término. Halle la media proporcional si la suma de los términos extremos es 50. A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 30 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 9𝑐𝑐 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑏𝑏2 = 9𝑐𝑐2 𝑏𝑏 = 3𝑐𝑐 9𝑐𝑐 + 𝑐𝑐 = 50 10𝑐𝑐 = 50 𝑐𝑐 = 5 𝑏𝑏 = 15 CLAVE B
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  6.- Si sesabe que • A es la media diferencial de 27 y 11 • B es la tercera proporcional de 18 y 12 • C es la cuarta proporcional de 18 y 12 Halle la cuarta diferencial de A, B y C A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 6 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐴𝐴 = 27 + 11 2 = 38 2 = 19 18 12 = 12 𝐵𝐵 18𝐵𝐵 = 144 𝐵𝐵 = 8 24 16 = 30 𝐶𝐶 24𝐶𝐶 = 16 . 30 𝐶𝐶 = 20 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 − 𝑥𝑥 19 − 8 = 20 − 𝑥𝑥 11 = 20 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 9 CLAVE A
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  7.- ¿Cuánto esla cantidad que se le debe sumar a los números 3; 7 ; 15 y 25 para que estos formen una proporción geométrica? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 3 + 𝑥𝑥 7 + 𝑥𝑥 = 15 + 𝑥𝑥 25 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 25 = (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 + 15) 𝑥𝑥2 + 28𝑥𝑥 + 75 = 𝑥𝑥2 + 22𝑥𝑥 + 105 6𝑥𝑥 = 30 𝑥𝑥 = 5 CLAVE E
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  PRACTICA Y APRENDERÁS