Descargar como PDF, PPTX
![3. EVALUACION-cambiar
• PBL
PG + PA + PE (pr´acticas laboratorio) 4
Actividades desarrolladas en Moodle 2
Proyecto final 4
Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• M´etodo cl´asico
Pr´acticas de laboratorio 4
Examen final 6
Total . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Nota de pr´acticas = PG ( 0.4PA + 0.6PE )
en donde PG ∈ {0, 1} y PA, PE ∈ [0, 10]
16](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-16-2048.jpg)
![2.2. Elementos de una carta de estado
– Elementos gr´aficos: cartas, estados, transiciones y uniones
– Elementos de texto: lenguaje, datos y eventos.
• Carta: m´aquina de estados generaliza-
da – bloque de Simulink
• Estados: modos de funcionamiento
Nombre / acciones
Acciones: entry: a, exit: b, during:
c, on event e : d
Descomposici´on OR (trazo continuo) y
AND (trazo discontinuo).
• Transiciones: saltos
Nombre / acciones
Nombre: e (evento), [c] (condi-
ci´on)
Acciones: {a} (acci´on)
default-transition
• Uniones puntos de bifurcaci´on.
Conectivas – de historia
• Datos
Entrada de Simulink
Salida de Simulink
Local
Constante
Temporal
Workspace
• Eventos
Entrada de Simulink
Salida de Simulink
Local
I/O Simulink: disparo por ↑, ↓ o
133](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-150-2048.jpg)
![• Transiciones
• Forma de flecha – saltos entre estados – eventos
• Acciones asociadas
• Transici´on por defecto – se˜nala el estado inicial
Sintaxis:
e – nombre de un evento
[c] – expresi´on booleana – condici´on
{a} – acci´on
No texto – disparo con evento cualquiera en el sistema.
135](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-152-2048.jpg)
![Esquema:
0
E
x•S1 S2•
TRENd ddd
Componentes: barrera con motor-reductor
2 sensores S1 y S2
sistema digital, rel´es y elementos auxiliares.
Sensores:
S1 en x1 0 – evento en se˜nal s1 – llega tren
S2 en x2 0 – evento en se˜nal s2 – tren ha pasado
Presencia del tren en [x1, x2] – sensores S1 y S2.
Operaci´on sistema:
si S1 se activa la barrera debe cerrarse,
si S2 se activa la barrera puede abrirse.
140](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-157-2048.jpg)
![2.3. Modelo externo
Ecuaci´on diferencial:
a2¨x(t) + a1 ˙x(t) + a0x(t) = b1 ˙u(t) + b0u(t)
Aplicando la transformaci´on de Laplace tenemos
a2[s2X(s) − sx0 − ˙x0] + a1[sX(s) − x0] + a0X(s) = U(s)[b1s + b0]
y si suponemos condiciones iniciales nulas queda
X(s) =
b1s + b0
a2s2 + a1s + a0
U(s).
Funci´on de transferencia G(s):
X(s) = G(s)U(s)
G(s): funci´on racional; denom. de G(s) := polinomio caracter´ıstico.
146](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-163-2048.jpg)
![2.5. C´alculo de la respuesta temporal
1. Resoluci´on de la ecuaci´on diferencial
2. Modelo externo G(s):
• Integraci´on compleja:
y(t) = L−1
[Y (s)] =
1
2πj
σ+j∞
σ−j∞
Y (s)est
ds
• Transformada de Laplace – expansi´on frac. simmples:
u(t)
L
−→ U(s); G(s) U(s) = Y (s); Y (s)
L−1
−→ y(t)
• Integral de convoluci´on:
y(t) = u(t) ⊗ g(t) =
t
0
g(t − τ) u(τ) dτ
3. Modelo interno:
• Resoluci´on de la ecuaci´on de estado:
x(t) = eAt
x(0) +
t
0
eA(t−τ)
Bu(τ) dτ
148](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-165-2048.jpg)
![• Ejemplo. Modelo simple
Sistema de control en feedback con
K = 5, G(s) =
s + 1
s2 + 4
, H(s) =
2s + 1
s + 1
Ventana para dibujo: File → New → Model
G(s) y H(s): Continuous → Transfer Fcn
→ G(s): numerador = [1, 1] denominador = [1, 0, 4]
→ H(s): numerador = [2, 1] denominador = [1, 1]
K: Math Operations → Gain
→ K = 5
Suma: Math Operations → Sum
→ (+) (−) | flechas
152](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-169-2048.jpg)
![• C´alculo con Matlab para c. alterna
Escribimos en el archivo circuito.m los datos y las ´ordenes oportunas.
Vef=220; f=50; w=2*pi*f;
R1=1; L1=0.1; C1=100e-6; z1=R1+j*L1*w+1/(i*C1*w)
R2=1; L2=0.03; C2=220e-6; z1=R2+j*L2*w+1/(i*C2*w)
R3=0.25; L3=0.2; C3=100e-6; z1=R3+j*L3*w+1/(i*C3*w)
R4=5; L4=0.1; C4=100e-6; z1=R4+j*L4*w+1/(i*C4*w)
R5=20; L5=0.01; C5=100e-6; z1=R5+j*L5*w+1/(i*C5*w)
R6=25; L6=0.33; C6=100e-6; z1=R6+j*L6*w+1/(i*C6*w)
V = [Vef 0 0]’
Z = [ z_1+z_2+z_4 - z_2 - z_4
-z_4 - z_5 z_4+z_5+z_6
-z_2 z_2+z_5+z_3 - z_5 ];
I = inv(Z)*V
Para hacer el c´alculo, en la pantalla de comandos de Matlab escribimos
circuito
y, pulsando Enter , obtendremos el vector intensidades:
I = [17.9962 + 10.1363i, 2.1462 − 3.5405i, −0.4702 − 1.3816i]
155](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-172-2048.jpg)
![4. Sistemas no lineales – p´endulo
β
mg
f (t)
Ecuaci´on diferencial:
f(t) − mg sin(β(t)) − ma = 0
f(t) − mg sin(β(t)) − ml ¨β(t) = 0
ml ¨β + mg sin(β) − f(t) = 0
Cambio x1 := β, x2 := ˙β:
˙x1 = x2
˙x2 =
f(t) − mg sin x1
l m
En el archivo pendulo.m escribimos:
function x_prima=p´endulo(t,x)
l=1; m=1; g=9.8; % Par´ametros
if t1 % Fuerza exterior
f=1;
else f=0;
end % Ecuac. estado:
x_prima=[x(2) (f-m*g*sin(x(1)))/(m*l)]’;
Soluci´on num´erica del P.C.I.:
t0=0; tf=5; % Interv. integraci´on
x0=[0 0]’; % Cond. iniciales
[t,x]=ode23(’p´endulo’,t0,tf,x0);
plot(t,x)
156](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-173-2048.jpg)
![4.1. Respuesta – modelo externo
b
k
( )
( )tf
t0 x
m
Ecuaci´on diferencial:
m¨x(t) + b ˙x(t) + kx(t) = f(t)
↓ L
ms2X(s)+bsX(s)+kX(s)=F(s)
f(t) = 1(t) ⇒ F(s) = 1/s
Expansi´on en fraciones simples:
G(s) = 1
ms2+bs+k
; X(s) = G(s) 1
s
X(s) = r1
s−p1
+ r2
s−p1
+ r3
s−p3
L−1 es inmediata:
y(t) = r1ep1t + r2ep2t + r3ep3t
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
y(t)
C´alculo de x(t) con Matlab:
m=1; b=1; k=1; B=1;
A=[m b k 0];
[r,p,c]=residue(B,A)
t=[0:0.05:15];
x=r(1)*exp(p(1)*t)
+r(2)*exp(p(2)*t)
+r(3)*exp(p(3)*t);
plot(t,x)
M´as sencillo a´un: con impulse, step o lsim .
157](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-174-2048.jpg)
![• Resoluci´on simb´olica
Symbolic Toolbox de Matlab – Maple core –
• Transformada de Laplace L(f(t)) = F(s):
F = laplace(f,t,s)
• Transformada inversa de Laplace L−1(F(s)) = f(t):
f = ilaplace(F,s,t)
El mismo ejercicio anterior:
syms s t
m=1; b=1; k=1;
G = 1/(ms^2+b*s+k);
U = 1/s;
Y = G * U ;
y = ilaplace(Y,s,t);
ezplot(y, [0,15], axis([0, 15, 0, 1.25])
−→ gr´afica igual que la de antes.
158](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-175-2048.jpg)
![4.2. Respuesta – modelo interno
m1 m2
k
b
f t( )
( )x t1
x t( )2
0
f(t)−k(x1(t)−x2(t))−b( ˙x1(t)−˙x2(t))=m1 ¨x1(t)
k(x1(t)−x2(t))+b( ˙x1(t)−˙x2(t))=m2 ¨x2(t)
Cambios: x3 = ˙x1, x4 = ˙x2, u := f ⇓
¨x1 = − k
m1
x1 + k
m1
x2 − b
m1
˙x1 + b
m1
˙x2 + 1
m1
u
¨x2 = + k
m2
x1 − k
m2
x2 + b
m2
˙x1 − b
m2
˙x2
Modelo de estado (sup. salidas≡estados):
˙x1
˙x2
˙x3
˙x4
=
0 0 1 0
0 0 0 1
−k
m1
k
m1
−b
m1
b
m1
k
m2
−k
m2
b
m2
−b
m2
x1
x2
x3
x4
+
0
0
1
m1
0
u
y1
y2
y3
y4
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x1
x2
x3
x4
+
0
0
0
0
u
Resoluci´on con Matlab:
m_1=1; m_2=2;
k=0.1; b=0.25;
A=[0 0 1 0
0 0 0 1
-k/m_1 k/m_1 -b/m_1 b/m_1
k/m_2 -k/m_2 b/m_2 -b/m_2]
B=[0 0 1/m1 0]’
C=eye(4,4); D=zeros(4,1);
S=ss(A,B,C,D); % crea sistema
t=[0:0.1:12];
% Respuesta a escal´on unitario:
y=step(S,t)
% Gr´afica de la respuesta:
plot(t,y)
159](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-176-2048.jpg)
![8.1. Diagrama de Nyquist
Es un gr´afico en C de la funci´on
G : R → C
ω → G(iω)
M´etodos:
• Manual – tabla de valores
G(s) =
1
s + 1
M = |G(iω)|
φ = arg G(iω)
ω M φ
0.0 1.000 0.0
0.5 0.894 -26.6
1.0 0.707 -45.0
1.5 0.555 -56.3
2.0 0.447 -63.4
3.0 0.316 -71.6
5.0 0.196 -78.7
10.0 0.100 -84.3
• Con Matlab: [M,phi] = nyquist(num,den,w)
165](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-182-2048.jpg)
![9.1. Reglas para el trazado
Z(S)
P(s)
=
|s − z1|ejφz1 . . . |s − zm|ejφzm
|s − p1|ejφp1 . . . |s − pn|ejφpn
=
|s − z1||s − z2| . . . |s − zm|
|s − p1| . . . |s − pn|
ejΣφi
Ecuaci´on caracter´ıstica: P(s) + kZ(S) = 0
k
Z(S)
P(s)
= −1 ⇐⇒ k
|s − z1| . . . |s − zm|
|s − p1| . . . |s − pn|
ejΣφi
= e±j(2k+1)π
, k = 0, 1, 2, . . .
1. Condici´on ´angulo – trazado
arg[kG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π
2. Condici´on de magnitud – c´alculo de k en cada punto
k =
|s − p1| . . . |s − pn|
|s − z1| . . . |s − zm|
⇓
Reglas para el trazado
175](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-192-2048.jpg)
![9.2. Trazado por computador
Ejemplo de trazado del lugar de las ra´ıces mediante MATLAB:
G(s)H(s) =
s + 1
s(s + 2)(s2 + 6s + 13)
num=[1 1]
den=conv([1 2 0],[1 6 13])
rlocus(num,den)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Eje Real
EjeImag
176](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-193-2048.jpg)
![estacion1s/Chart
Printed 03−May−2005 18:20:38
S6a/entry: vT=0;
% traslado atras
S1/entry:
vA=1; % avance AP S30/entry:
PD = 1;
S2/entry: vA=0;
vP=1; % bajar VP
S31/
% poner c.i.
S2w/entry: vP=0;
t0=t;
S32/entry:
PD = 0;
S3/entry:
vP=−1; % subir VP
S3w/entry:vP=0;
t0=t; % temporizador
S4/entry:
vA=−1; % retro. A
S5/entry: vA=0;
vT=1; % trasladar
S6/entry: vT=−1;
% traslado atras
S0/
S7/entry: vE=1;
% expulsar
S9/entry: vMV=1;
% bajar MV
S8/entry: vE=−1;
% expulsor atras
exit: vE=0;
S10/entry:
vMV=0;
S11/entry:
vMV=−1; % subir MV S20/entry:
FM = 1;
S12/entry: vMV=0;
vMH=1; % avance MH
S21/entry: FM=0;
vMV=−1; % subir MV
exit: vMV=0;
S13/entry: vMH=0;
vMV=1; % bajar MV
S14/entry: vMV=0;
% cesar vacio ven
S15/entry:
vMV=−1; % subir MV
S16/entry: vMV=0;
vMH=−1; % retro MH
exit: vMH=0;
mh0
mv0
[ci==1] [ci==0]
e0
a1
rearme
p1
[ci==1]
[tt0+5]
p0
[tt0+5]
a0
tr1
tr0
[base==1][base==0]
e1 mv1
[vacio==1]
[vacio==0]
mv0
rearme
mh1
mv1
mv0
203](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-220-2048.jpg)
![Para un PCI de 2o orden, en el archivo f_prueba.m, pondremos
function xp = f_prueba(t,x)
xp = zeros(2,1) % indica el orden n = 2
xp(1) = f1(x(1),x(2),t)
xp(2) = f2(x(1),x(2),t)
en donde f1 y f2 vendr´an dadas.
Para hacer la llamada a ode23 o a ode45 escribiremos:
x0 = [a; b]; % condiciones iniciales (dadas)
t0 = 0; % es lo normal
tf = tiempo final;
[t,x] = ode23(@fprueba, [t0,tf], x0)
plot(t,x) % respuesta temporal
plot(x(:,1),x(:,2)) % phase portrait
en la ventana de comandos de Matlab o en un archivo .m.
231](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-248-2048.jpg)
![Ejemplo. Sistema mec´anico
f(t)
m
k
b
f(t) − k x(t) − b x (t) = m x (t)
Cambios: x1 = x, x2 = x ⇒
x1 = x2
x2 = − k
mx1 − b
mx2 + 1
mf
Soluci´on num´erica:
• Archivo f mkb.m
function xp = f mkb(t,x)
xp=zeros(2,1);f=1;m=1;k=2;b=1;
xp(1)= x(2);
xp(2)=-k/m*x(1)-b/m*x(2)+1/m*f;
• Llamada a ode23
x0=[0;1]; t0=0; tf=10;
[t,x]=ode23(’f mkb’,[t0,tf],x0)
plot(t,x),title(’Resp. temp.’)
plot(x(:,1),x(:,2)),
title(’Mapa fase’)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Respuesta temporal
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Mapa de fase
x(0)
• Interpretaci´on geom´etrica
Sistema mec´anico (m, k, b):
x1(t) = x2(t)
x2(t) = −
k
m
x1(t) −
b
m
x2(t) +
1
m
f(t)
232](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-249-2048.jpg)
![−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Campo vectorial
x(0)
Con Matlab es posible superponer el cam-
po de vectores (interpretaci´on geom´etrica)
y la soluci´on num´erica:
m=1; k=2; b=1; f=1;
[X1,X2]=meshgrid(-1.2:0.2:1.2);
U1 = X2;
U2 = -k/m*X1-b/m*X2+1/m*f;
M = sqrt(U1.^2 + U2.^2);
V1 = ones(size(M))./M .* U1;
V2 = ones(size(M))./M .* U2;
quiver(X1,X2,V1,V2),axis square
233](https://image.slidesharecdn.com/automatizacindeprocesosindustriales-josmaragonzlez-161130180216/75/Automatizacion-de-procesos-industriales-Jose-Maria-Gonzalez-250-2048.jpg)
Automatización de procesos industriales José María González
- 1. Automatizaci´on de Procesos Industriales Ingenierode Organizaci´on. Curso 1o Jos´e Mar´ıa Gonz´alez de Durana Dpto. I.S.A. EUI –UPV/EHU– Vitoria-Gasteiz Directory • Table of Contents • Begin Article Copyright c 2006 Last Revision Date: Febrero 2004
- 2. Table of Contents 1.OBJETIVOS 2. M´ETODO 3. EVALUACION-cambiar 4. Contenidos . Tema 1. Introducci´on 1. Perspectiva hist´orica 2. La empresa productiva • Procesado de un elemento • Montaje • Movimiento de material • Almacenamiento • Inspecci´on y control • Job Shops • Producci´on por lotes • L´ıneas de producci´on • Producci´on continua • Producto en posici´on fija • Por clases de procesos • En flujo de producto • Por tecnolog´ıa de grupo 3. El significado del control 4. La automatizaci´on industrial • T´ecnicas anal´ogicas • T´ecnicas digitales
- 3. 5. Modelos matem´aticosde sistemas Parte I. Elementos de la Automatizaci´on . Tema 2. Automatismos el´ectricos 1. S´ımbolos y normas para esquemas el´ectricos 2. Circuitos y esquemas el´ectricos 3. El rel´e . Tema 3. Sensores 1. Tipos de sensores 1.1. Clasificaci´on 1.2. Caracter´ısticas 2. Calibraci´on (sensores anal´ogicos) 3. Tipos de transductores 3.1. El potenci´ometro como sensor de posici´on 3.2. Sensores – detectores de proximidad 3
- 4. . Tema 4.Neum´atica 1. Instalaci´on de aire comprimido 2. Cilindros 2.1. V´alvulas . Tema 5. Aut´omatas programables 1. Descripci´on de un PLC 2. Programacion de PLC’s 2.1. Ladder Diagram (LD) 2.2. Structured Text (ST) 2.3. Functional Block (FB) 2.4. Instruction List (IL) 2.5. Sequential Function Chart (SFC) 2.6. Aut´omata programable Omron CPM2A-30CDR-A 2.7. Ejemplos 3. C´elula flexible SMC 3.1. Componentes 4
- 5. Parte II. Modelos,simulaci´on y dise˜no . Tema 6. Sistemas booleanos 1. Dispositivos l´ogicos 2. Algebra de Boole 2.1. Funciones booleanas • Formas can´onicas 2.2. Simplificaci´on de funciones booleanas • M´etodo de Karnaugh • M´etodo de Quine-McCluskey • Algoritmo de Quine 3. Sistemas combinacionales 3.1. Funciones l´ogicas elementales • Funci´on NOT • Funci´on AND • Funci´on OR • Funci´on NAND • Funci´on NOR • Funci´on XOR 4. Sistemas secuenciales 4.1. Aut´omata de Mealy 5
- 6. 4.2. Aut´omata deMoore 4.3. Tablas de estado 4.4. Diagrama de estado 4.5. Dispositivos biestables • Biestable R-S . Tema 7. Modelos de sistemas 1. Sistemas continuos . Tema 8. Modelos computacionales 1. Grafcet 1.1. Estructuras b´asicas • Secuencia simple • Divergencia OR • Convergencia OR • Divergen- cia AND • Convergencia AND • Saltos • Posibilidades avanzadas 2. Cartas de estado 2.1. Stateflow 2.2. Elementos de una carta de estado • Estados • Transiciones • Uniones 6
- 7. 2.3. Elementos detexto especiales • Datos • Eventos 3. Creaci´on de un modelo con Stateflow–Simulink • Observaciones • Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril . Tema 9. Procesos continuos 1. Sistemas continuos • Ejemplo. Dep´osito 2. Modelos de sistemas continuos 2.1. Ecuaci´on diferencial 2.2. Sistemas lineales - par´ametros constantes • Modelo externo • Modelo interno 2.3. Modelo externo 2.4. Modelo interno 2.5. C´alculo de la respuesta temporal • C´alculo de la respuesta con Matlab 3. Simulink 7
- 8. • Ejemplo. Modelosimple • Ejemplo, Circuito el´ectrico • C´alculo con Matlab para c. alterna 4. Sistemas no lineales – p´endulo 4.1. Respuesta – modelo externo • Resoluci´on simb´olica 4.2. Respuesta – modelo interno 5. Sistema de primer orden 6. Sistema de segundo orden 7. Linealizaci´on • Ejemplo. Dep´osito 8. Respuesta de frecuencia 8.1. Diagrama de Nyquist 8.2. Criterio de Nyquist • Principio del argumento • Criterio de estabilidad de Nyquist • Ejem- plo 1 • Ejemplo 2 • Ejemplo 3 • Ejemplo 4 8.3. Diagramas de Bode 8
- 9. 9. El lugarde las ra´ıces 9.1. Reglas para el trazado 9.2. Trazado por computador . Tema 10. Dise˜no de Sistemas de Control continuos 1. Introducci´on 2. Tipos de controladores • Realizaci´on de los controladores • Controlador PID • Controladores de adelanto y de retraso de fase • Controlador de adelanto-retraso con red pasiva • Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional 3. Dise˜no en el lugar de las ra´ıces • Efecto de a˜nadir un cero • Efecto de a˜nadir un polo 3.1. Dise˜no de un controlador de adelanto de fase 3.2. Dise˜no de un controlador PID . Tema 11. Dise˜no de Automatismos Parte III. Automatizaci´on global 9
- 10. . Tema 12.Niveles de Automatizaci´on 1. Fabricaci´on inteligente Parte IV. APENDICES . Tema A. Ecuaciones diferenciales 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI) 2. Estudio cualitativo 3. Orden de una ecuaci´on diferencial 4. Interpretaci´on geom´etrica 5. Sistemas de 2o orden • Interpretaci´on geom´etrica 6. Soluci´on num´erica 7. Soluci´on num´erica con Matlab • Interpretaci´on geom´etrica 10
- 11. 7.1. M´etodo deKelvin . Tema B. Realizaci´on del control 1. Realizaci´on f´ısica 2. Actuadores 2.1. Tipos de actuadores 2.2. Otros actuadores 2.3. Accesorios mec´anicos 2.4. El motor de c.c. 2.5. Ecuaciones diferenciales 2.6. Modelo externo 2.7. Funci´on de transferencia del motor 2.8. Reductor de velocidad 2.9. Funci´on de transferencia del reductor 2.10.Reductor con poleas el´asticas 2.11.Aplicaci´on pr´actica: sistema de control de posici´on 3. Especificaciones de funcionamiento 11
- 12. 3.1. Especificaciones entiempo • Valores para el sistema de 2o orden • Otros valores 3.2. Especificaciones en frecuencia 4. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales 12
- 13. 1. OBJETIVOS • Formarpersonas con capacidad para el planeamiento, gesti´on, dise˜no y desarrollo de proyectos de automatizaci´on. • Fomentar los m´etodos de trabajo en grupo. • Utilizar tecnolog´ıas y m´etodos de actualidad. • Inculcar un marco te´orico en el que tengan cabida los complejos procesos productivos. • Visualizar los m´etodos y tecnolog´ıas existentes. • Fases: an´alisis, dise˜no y realizaci´on. 13
- 14. 2. M´ETODO PBL: aprendizajebasado en problemas 1. PBL • Clases te´oricas Contenidos API Planteamiento problemas Trabajos en grupo Actividades en Moodle • Clases pr´acticas Problemas guiados (PG). Problemas asistidos (PA). Problemas de evaluaci´on (PE). Proyecto final. • Tutor´ıas: apoyo y evaluaci´on PBL, dudas, grupos. 2. Examen final 14
- 15. Herramientas • Plataforma Moodlede la UPV/EHU http://moodle.ehu.es/moodle • Programas para PLC’s: Omron CX-Programmer, CX-Supervisor • Programas para control: Matlab, Scilab, Octave, Maple • Programas para simulaci´on de sistemas: GPSS, ARENA • Programaci´on en lenguajes est´andar: C, C++, Java Prerrequisitos • Algebra Lineal: espacios vectoriales, matrices. • An´alisis Matem´atico: an´alisis real y complejo (b´asico), ecuaciones dife- renciales ordinarias. • Inform´atica: manejo del ordenador, windows, nociones de programaci´on (C, C++, Java). • F´ısica: nociones de mec´anica, electricidad, calor, fluidos. 15
- 16. 3. EVALUACION-cambiar • PBL PG+ PA + PE (pr´acticas laboratorio) 4 Actividades desarrolladas en Moodle 2 Proyecto final 4 Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 • M´etodo cl´asico Pr´acticas de laboratorio 4 Examen final 6 Total . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Nota de pr´acticas = PG ( 0.4PA + 0.6PE ) en donde PG ∈ {0, 1} y PA, PE ∈ [0, 10] 16
- 17. 4. Contenidos 1. Automatizaci´on •Automatizaci´on en la f´abrica • Sensores, actuadores, controladores • El Simatic CPM-2A: zonas de memoria, ciclo scan, Hostlink no node, Ladder, timers 2. Automatizaci´on local • Actuadores • Captadores • Automatismos el´ectricos, neum´aticos e hidr´aulicos • Controladores y Aut´omatas programables (PLC’s) 3. Modelado y simulaci´on • Control de procesos continuos – Matlab, Simulink • Procesos con eventos – Redes de Petri, Grafcet, Stateflow • Procesos estoc´asticos – Scada, Arena 4. Automatizaci´on global • Buses industriales de comunicaci´on • Rob´otica • GEMMA • SCADA 17
- 18. Tema 1. Introducci´on Automatizaci´on:teor´ıas y tecnolog´ıas para sustituir el trabajo del hombre por el de la m´aquina. Mecanismo de feedback Relacionada con las Teor´ıas de Control y de Sistemas. Adopta los m´as recientes avances. Para automatizar procesos: saber c´omo funcionan esos procesos. • Procesos continuos • Procesos comandados por eventos 18
- 19. 1. Perspectiva hist´orica Fuego: •Homo sapiens→ calefacci´on → alimentos • Edad Bronce → metales → cer´amica → “procesos fabricaci´on” Energ´ıa e´olica: • 2000 A.C: embarcaciones a vela • 1000 A.C.: Fenicios → Mediterr´aneo • Edad Media: Europa → molinos de viento Energ´ıa hidr´aulica: 50 A.C: Romanos → noria M´aquina de vapor • James Watt, 1750 → Revoluci´on Industrial • Maquina de vapor → bombas agua (minas de Gales) • Automatizaci´on telares (Manchester) 19
- 20. El governor deWatt B A C Ax Cx w(t) Actuador válvula xC: consigna de velocidad ωref (fija) Si ω aumenta ⇒ aumenta fuerza centr´ıfuga ⇒ bolas B se separan ⇒ A sube ⇒ A cierra v´alvula vapor de la caldera ⇒ baja la presi´on ⇒ ω disminuye Feedback: artificio b´asico del control. 20
- 21. Locom´ovil Marsall sons &Co. Ltd. Gainsborough, U.K. Primer cuarto del siglo XX Museo de la Cultura del Vino Dinast´ıa Vivanco Briones, La Rioja 21
- 22. Teor´ıas, tecnolog´ıas y´areas • Teor´ıas Teor´ıas de Control, Sistemas y Se˜nal Sistemas de eventos discretos M´aquinas de estado, Redes de Petri, Grafcet, Statechart • Tecnolog´ıas Neum´atica, Hidr´aulica Electr´onica Microprocesadores, Ordenadores, Aut´omatas programables Rob´otica Comunicaciones Desarrollo del software • Areas tecnol´ogicas Automatizaci´on de las m´aquinas-herramienta Control por computador, CAD, CAM, CIM Control de procesos distribuido C´elulas flexibles 22
- 23. 2. La empresaproductiva Ente socioecon´omico – adecuaci´on parcial de flujos: producci´on y consumo Dos subsistemas: uno para medir las necesidades de los consumidores y de trasferirles los productos que las satisfagan y otro que se encarga de la pro- ducci´on. Elemento productivo – Elemento consumidor (de materias primas) Departamentos o secciones: • Finanzas • Gesti´on • Compras • Almac´en de materias primas • Producci´on • Almac´en de productos terminados • Ventas 23
- 24. Actividad de laempresa Gestión Almacén deAlmacén de productos terminadosProducciónmaterias primas Finanzas MERCADO Compras Ventas Gesti´on: controla a todos los dem´as • parte superior: generaci´on del producto (gesti´on de producci´on) • parte inferior: ventas − comparas = beneficio (mercadotecnia) Objetivo: maximizar el beneficio. 24
- 25. El proceso productivo yauxiliares Energia Productos base Proceso Productivo Productos elaborados y residuos • Incrementa valor a˜nadido • Simple o compuesto de subprocesos • Con o sin intervenci´on humana (autom´atico) • Intervenci´on humana: operaci´on, vigilancia, ajuste, mantenimiento • Modelo: sistema de eventos discretos 25
- 26. Operaciones b´asicas defabricaci´on • Procesado de un elemento EMateria prima Mecanizado EPieza • Montaje EMat. prima 1 Mecanizado 1 EPieza 1 EMat. prima 2 Mecanizado 2 EPieza 2 Montaje EProducto • Movimiento de material • Almacenamiento • Inspecci´on y control 26
- 27. Tipos de procesos •Job Shops - amplia gama, alta tecnolog´ıa, series medianas–peque˜nas - mano de obra y maquinaria especializadas – elevados costes • Producci´on por lotes - muy extendida – lotes tama˜no medio, cada lote de una tirada - maquinaria y el personal preparados – cambio lote • L´ıneas de producci´on - cadena – grandes series - pocos productos – autom´oviles - cintas trasportadoras – estaciones (proceso o montaje) – almacenes • Producci´on continua - productos simples – grandes cantidades – petroqu´ımica - flujo continuo de producto 27
- 28. Ubicaci´on de losprocesos Importancia: procesos, comodidad del personal, cableados, buses etc. Programas simulaci´on (estoc´astica) • Producto en posici´on fija El producto no debe moverse – obras – naval y aeron´autica • Por clases de procesos M´aquinas en locales por clases de procesos – mecanizado – flexible • En flujo de producto M´aquinas a lo largo del flujo • Por tecnolog´ıa de grupo Por clases + en flujo de producto 3. El significado del control Controlar: conducir, dirigir, gobernar, comardar, ... trayectoria prefijada — controles 28
- 29. ch´ofer → volante acelerador frenos cambio demarchas → veh´ıculo Teor´ıa de Control sistema de control = entidad – terminales de entrada (controles) → est´ımulos – terminales de salida → respuesta Caja negra o bloque – planta o proceso Entrada SalidaE Bloque E 29
- 30. El control enla empresa El esquema de feedback es aplicable los procesos de la empresa. • Control de producci´on • Control de calidad • Control de presupuestos • Control de procesos Elementos esenciales: • medida de variables del proceso a controlar • realimentaci´on de las variables medidas • comparaci´on con una consigna • actuaci´on sobre el proceso 30
- 31. 4. La automatizaci´onindustrial Objetivos • Reducci´on de costes de mano de obra, materiales y energ´ıa • Reducci´on de tiempos de fabricaci´on, plazos de entrega • Mejora de dise˜no • Mejora de la calidad • Eliminaci´on de trabajos peligrosos o nocivos • Fabricaci´on de elementos sofisticados Procesos a automatizar • Operaciones manuales → autom´aticas • M´aquinas semiautom´aticas → autom´aticas • Producci´on r´ıgida → producci´on flexible 31
- 32. Ventajas e inconvenientesde la automatizaci´on Ventajas: Permite aumentar la producci´on y adaptarla a la demanda Disminuye el coste del producto Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante Mejora la gesti´on de la empresa Disminuye de la mano de obra necesaria Hace m´as flexible el uso de la herramienta Inconvenientes: • Incremento del paro en la sociedad • Incremento de la energ´ıa consumida por producto • Repercusi´on de la inversi´on en el coste del producto • Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios 32
- 33. Automatizar: aplicar feedback •T´ecnicas anal´ogicas Controlador: mec´anico, neum´atico, hidr´aulico, el´ectrico, electr´onico, ´optico Controlador PID – procesos Continuos x(t) = C( (t)) = Kp 1 + Td dx(t) dt + 1 Ti t 0 x(τ)dτ • T´ecnicas digitales Ordenador – microprocesadores – microcontroladores – ordenador personal comuni- caciones – software ... Controlador PID – procesos continuos Aut´omata programable – procesos de eventos discretos Control distribuido – automatizaci´on global 33
- 34. Estructura de unsistema automatizado Procesos continuos – esquema de regulaci´on en feedback E yref m+ ym(t) E(t) C Ex(t) A Eu(t) m+ Ev(t) P r Ey(t) 'M T− c d(t) yref −→ Entrada de referencia C Controlador PID d(t) −→ Entrada perturbadora A Actuador y(t) −→ Salida P Planta o Proceso (t) −→ Error M Medidor 34
- 35. Procesos de eventosdiscretos de Mando Parte ordenes eventos Operativa Parte Esquema b´asico Procesador PLC PLC A S P PLC A S P S P A S P A S P A S P A Comunicaciones Control distribuido 35
- 36. Parte Operativa Recibe ´ordenesde PM, opera sobre el proceso productivo y env´ıa eventos a PM. • Elementos de almacenaje • Elementos de transporte: cintas, carros • M´aquinaria, herramientas y utillaje • Actuadores: motores, cilindros, manipuladores, robots • Sensores Parte de Mando Recibe eventos de PO, los procesa y env´ıa ´ordenes a PO. Di´alogo con m´aquinas. Tratamiento y acondicionamiento de se˜nales. • Ordenadores, aut´omatas programables, procesadores electr´onicos, neum´aticos • Interfaces hombre-m´aquina • Buses y redes de comunicaci´on 36
- 37. Tipos de automatizaci´on Proceso1 Proceso 3 Proceso 4Proceso 2 • Automatizaci´on fija – producci´on muy alta – autom´oviles • Automatizaci´on programable – producci´on baja – diversidad de productos • Automatizaci´on flexible – producci´on media – pocos productos • Automatizaci´on total 37
- 38. Tecnolog´ıas de laautomatizaci´on • Mec´anica: herramientas, mecanismos, m´aquinas, elementos de transporte • El´ectrica: automatismos el´ectricos, motores el´ectricos de c.c. y c.a., cableados – fuerza – mando, aparillajes el´ectricos • Electr´onica: controladores anal´ogicos, sensores, pre-accionadores, drivers, ac- cionamientos, communicaciones, telemando-telemetr´ıa, comunicaci´on inal´ambri- ca • Neum´atica – electro-neum´atica: cilindros neum´aticos, v´alvulas neum´aticas y electro-neum´aticas, automatismos neum´aticos • Hidr´aulica y electro-hidr´aulica: cilindros hidr´aulicos, v´alvulas hidraulocas y electro-hidr´aulicas, automatismos hidr´aulicos • Control e Inform´atica Industrial: controladores de procesos, control por com- putador, embedded control, aut´omatas programables, visi´on artificial, rob´oti- ca, mecatr´onica, c´elulas – fabricaci´on flexible – mecanizado – montaje, control num´erico, CAD-CAM, CIM, redes y buses – comunicaciones 38
- 39. 5. Modelos matem´aticosde sistemas Modelo matem´atico: ecuaci´on o sistema de ecuaciones que lo representa y cuya evoluci´on en el tiempo se corresponde con la del sistema. Permite hacer c´alculos, predicciones, simulaciones y dise˜nar. Clasificaci´on: • Sistemas continuos en el tiempo • Sistemas discretos en el tiempo • Sistemas de eventos discretos Sistemas de eventos discretos = sistemas reactivos = sistemas comandados por eventos (event-driven systems) Modelos complejos – procesos estoc´asticos – procesos de colas – modelos no ma- tem´aticos basados en computador. 39
- 40. Parte I. Elementosde la Automatizaci´on 40
- 41. Automatismos Automatismo: conjunto desensores, actuadores y controladores conectados con- venientemente por medio de circuitos y/o buses de comunicaci´on un determinado proceso para que funcione con una m´ımima intervenci´on humana. Tecnolog´ıas de realizaci´on • Sensores: electr´onica, neum´atica • Actuadores: el´ectrica, electromec´anica, neum´atica, hidr´aulica • Controladores: electrica, electr´onica, inform´atica, neum´atica • Circuitos: electrica, neum´atica • Buses: electr´onica, inform´atica Observese que s´olo las tecnolog´ıas El´ectrica y Neum´atica permiten construir auto- matismos completos. 41
- 42. Tema 2. Automatismosel´ectricos 1. S´ımbolos y normas para esquemas el´ectricos Norma IEC 61082: preparaci´on de la documentaci´on • IEC 61082-1: requerimientos generales (Ingl´es) • IEC 61082-2: orientaci´on funciones en esquemas (Ingl´es) • IEC 61082-3: esquemas, tablas y listas de conexiones (Ingl´es y Espa˜nol) • IEC 61082-4: documentos localizaci´on instalaci´on. (Ingl´es y Espa˜nol) Normas EN 60617, UNE EN 60617, IEC 60617, CEI 617:1996: s´ımbolos gr´aficos esquemas (Ingl´es y Espa˜nol) • EN 60617-2: elementos de s´ımbolos, s´ımbolos distintivos y generales • EN 60617-3: conductores y dispositivos de conexi´on • EN 60617-4: componentes pasivos b´asicos • EN 60617-5: emiconductores y tubos de electrones • EN 60617-6: producci´on, transformaci´on y conversi´on de energ´ıa el´ectrica 42
- 43. • EN 60617-7:aparatos y dispositivos de control y protecci´on • EN 60617-8: aparatos de medida, l´amparas y dispositivos de se˜nalizaci´on • EN 60617-9: telecomunicaciones: equipos de conmutaci´on y perif´ericos • EN 60617-10:telecomunicaciones: transmisi´on • EN 60617-11: esquemas y planos de instalaciones arquitect´onicas y topogr´afi- cas • EN 60617-12: elementos l´ogicos binarios • EN 60617-13: operadores anal´ogicos Norma IEC 60445: interfaz hombre-m´aquina, seguridad, marcado e identificaci´on http://www.tecnicsuport.com 43
- 44. 2. Circuitos yesquemas el´ectricos Circuito de potencia • Conexi´on controlada entre red y receptores de potencia • Interruptores, seccionadores, contactores, fusibles • Elementos de protecci´on Circuito de mando • Conexiones entre controladores, circuitos, sensores y actuadores • Contactos, componentes, equipos de protecci´on y medida • Elementos de regulaci´on y control • Pulsadores, interruptores, conmutadores, contactores, rel´es • Sensores, detectores • Elementos de se˜nalizaci´on 44
- 45. Tipos de esquemas •Esquema unifilar varias fases agrupadas se pierde detalle planos de l´ıneas de distribuci´on poco usado en automatismos • Esquema desarrollado representaci´on detallada facilita la comprensi´on del funcionamiento fundamental para el cableado, reparaci´on y mantenimiento asocia cada aparato con sus componentes mediante letras y n´umeros ej: contactor KM2 → contactos KA1 21-22 A2A1 −KM1 22 21 −KA1 45
- 46. Identificadores de dispositivos AAparatos de serie M Motores B Sensores N Aparatos no serie C Condensadores P Prueba y medida D Dispositivos binarios Q Interruptores mec´anicos E Electricidad R Resistencias F Protecci´on S Switches manuales G Generadores T Transformadores H Se˜nalizaci´on V V´alvulas electr´onicas K Rel´es y contactores W Wave transmision KA auxiliares X Conexiones, regletas, bornas KM de potencia Y Electromec´anicos L Inductancias Z Filtos 46
- 47. Rotulado de conductoresy bornas Conductores fase: L → L10, L11, L12, . . . neutro: N → N4, N6, N9, . . . tierra: PE → PE1, PE3, . . . otros: 10, 11, 20, . . . 50 Hz3N ~ 400V L1 L3 N1 L2 3x120 mm + 1x50 mm2 2 Contactos de potencia: una cifra por contacto 1, 3, 5, . . . , (arriba) 2, 4, 6, . . . (abajo) 1 3 5 2 4 6 auxiliares: dos cifras por contacto 1a cifra: n´umero de contacto 2a cifra: 1,2 = NC 3,4 = NA 5,6 = NC especial 7,8 = NA especial 1112 2324 3536 4748 Bobinas: A1, B1, C1, . . . A2, B2, C2, . . . A2A1 B2B1 Bornas control: regleteros X1, X2, . . . con bornas 1, 2, 3, . . . 3 5 6 72 4X3 1 Bornas potencia: L1, L2, L3 (l´ıneas), N (neutro), PE (tierra), U, V, W (salidas) 47
- 48. Elementos de control Pulsador contactoNA Seta con enganche contacto NC Interrruptor giratorio contacto NA 48
- 49. 3. El rel´e •Interruptor accionado por electroim´an • Dispositivo fundamental en automatismos el´ectricos • Contactores • Diagrama de contactos NC NA A1 A2 1 1A A2 12 14 11 Esquema seg´un norma CEI 49
- 50. Funciones l´ogicas conrel´es + a − s + a s− − −+ a K K Identidad Negaci´on Negaci´on con rel´e + − a b s −+ a b s K K −+ a b s K K Funci´on AND Funci´on AND Funci´on NAND 50
- 51. Elementos con memoria + a − s + as− − −+ a K K Identidad Negaci´on Negaci´on con rel´e + − a b s −+ a b s K K −+ a b s K K Funci´on AND Funci´on AND Funci´on NAND 51
- 52. Componentes de dialogocon el usuario • Entradas: pulsadores, setas, interruptores, potenci´ometros • Salidas: luces, alarmas • Pantallas tactiles 52
- 53.
- 54. Tema 3. Sensores Partesde un sensor Captador: dispositivo con un par´ametro p sensible a una magnitud f´ısica h – emite energ´ıa w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte. Transductor: recibe la energ´ıa w del captador, la transforma en energ´ıa el´ectrica e(t) y la retransmite. Acondicionador: recibe la se˜nal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles de voltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t). h t( ) e t( ) ( )v t p h( ) ( ) ( ) ( )w p h t AcondicionadorTransductor Captador Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador • Anal´ogicos: todas las se˜nales son anal´ogicas • Digitales: v(t) digital. Sistemas de control: medici´on de variables que intervienen en el proceso. El sensor ha de ser de gran calidad. Est´atica – Din´amica. 54
- 55. 1. Tipos desensores Anal´ogicos: par´ametro sensible – magnitud f´ısica • Resistencia R – desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas) • Capacidad C – desplazamiento, presencia • Autoinducci´on, reluctancia L – desplazamiento (n´ucleo m´ovil) • Efecto Seebeck – temperatura (termopar) • Piezoelectricidad – fuerza, presi´on • Dispositivos electr´onicos – temperatura, presi´on • Avanzados: ionizaci´on, ultrasonidos, l´aser, c´amaras CCD, etc. Digitales: binarios o n bits • Fin de carrera – presencia (interruptor) • Dilataci´on – temperatura (termostato) • Resistencia, capacidad, autoinducci´on – presencia • Efecto fotoel´ectrico – presencia (1 bit), posici´on (n bits), velocidad 55
- 56. 1.1. Clasificaci´on Aspecto –tipos • Se˜nal de salida – anal´ogicos, digitales • Energ´ıa – pasivos, activos • Funcionamiento – deflexi´on, comparaci´on 1.2. Caracter´ısticas Aspecto – caracter´ısticas • Dise˜no – el´ectrico, dise˜no mec´anico, actuaci´on • Escalas – rango, resoluci´on • Est´atica – precisi´on, linealidad, hist´eresis, repetitividad, derivas • Din´amica – orden cero, orden uno, orden dos • Fiabilidad 56
- 57. 2. Calibraci´on (sensoresanal´ogicos) Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido – salida medida v Tabla de calibraci´on: varios puntos h1 → v1, . . . , hn → vn, dentro del rango Curva de Calibraci´on: representaci´on gr´afica (h, v) Necesario: aparato de medida de mayor precisi´on que el sensor Linealizaci´on: curva de calibraci´on → l´ınea recta • Por punto final: v = m h, en donde m = vn/hn • Por l´ınea independiente: v = m h + b • Por m´ınimos cuadrados: v = m h + b, en donde m = n n i=1 hivi − n i=1 hi n i=1 vi n n i=1 h2 i − n i=1 hi 2 , b = n i=1 vi n − m n i=1 hi n 57
- 58. 3. Tipos detransductores Temperatura • Termistor – par´ametro sensible: R (ptc, ntc) RT = R0e β(( 1 T0 )−( 1 T )) , β = cte., T0 = 250C – formas variadas • Termopar – ∆T → ∆v – r´apido (ms) – se˜nal d´ebil – T alta • Circuitos integrados – LM335 (10 mV/0K), AD592 (1µ A/0K). Posici´on • Resistivos – potenci´ometro (R) – lineal y angular • Inductivos – LVDT • Encoder – digital – lineal y angular • Ultrasonidos • L´aser Velocidad • D´ınamo tacom´etrica • Encoder Aceleraci´on, fuerza, presi´on, luz, color, etc. 58
- 59. 3.1. El potenci´ometrocomo sensor de posici´on R Rx V + c i(t) x(t) vx(t) 0 Rx = ρ A x(t) i(t) = V + R vx(t) = Rx i(t) = ρ A x(t) V + R = Kpot x(t) • Ventajas: precio econ´omico • Inconvenientes: –rozamiento –ruido en la medida • Tipos: –lineal –circular –de una vuelta –de varias vueltas • Si ponemos V − en vez de 0 mide x negativos 59
- 60. 3.2. Sensores –detectores de proximidad 60
- 61.
- 62.
- 63. Tema 4. Neum´atica •Tecnolog´ıa b´asica de la automatizaci´on – fabricaci´on y montaje • Utilizaci´on de la energ´ıa potencial del aire comprimido. DIN 24300 • Ventajas: sencillez de dise˜no, rapidez de montaje, flexibilidad, fiabilidad, eco- nom´ıa, admite sobrecargas • Inconvenientes: instalacion aire comprimido, rendimiento bajo, ruidos Componentes: actuadores, sensores, controladores 63
- 64. 1. Instalaci´on deaire comprimido • Compresor –alternativo –rotativo • Filtros –entrada compresor –en l´ıneas –en m´aquinas • Secadores –absorci´on –adsobrci´on –regrigeraci´on • Dep´ositos –control de presi´on –man´ometros –presostatos • Tubos y accesorios de distribuci´on 64
- 65. 2. Cilindros Energ´ıa airecomprimido → energ´ıa mec´anica Tubo de acero – ´embolo – v´astago – una o dos tomas de aire P P P Cilindro de simple efecto Cilindro de doble efecto Tipos: con amortiguador, en t´andem, multiposicionales, rotativos y mesas, de impacto, sin v´astago, etc. 65
- 66. 2.1. V´alvulas Sirven paracontrolar el paso de fluido – notaci´on: no v´ıas / no de posiciones Distribuidoras: pieza fija + pieza m´ovil. Muchas formas y dimensiones Accionamiento: • Manual, con pulsador, seta, palanca o pedal. • Mec´anico, con leva, rodillo o varilla. • Neum´atico, con orificios especiales para se˜nales neum´aticas. • El´ectrico, con electroim´an. • Electroneum´atico. ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¢¡¢¢¡¢ £¡££¡££¡£ ¤¡¤¤¡¤¤¡¤ ¥¡¥¥¡¥¥¡¥ ¦¡¦¦¡¦¦¡¦ §¡§§¡§§¡§ ¨¡¨¨¡¨¨¡¨ ©¡©¡©¡©¡©©¡©¡©¡©¡©©¡©¡©¡©¡© ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ A A P PR R V´alvula 3/2 de corredera y con accionamiento mec´anico 66
- 67. V´alvulas de dosv´ıas V´alvula 2/2: dos orificios o v´ıas de aire (entrada y salida), y dos posiciones de trabajo. Dos tipos: NC y NA. Reposo: cuadrado dcha. P A A P Con accionamientos: P A A P V´alvulas de tres v´ıas Tres v´ıas y dos o tres posiciones de trabajo. V´alvulas 3/2: 3 v´ıas y 2 posiciones y pueden ser de tipo NC o NA. 67
- 68. P R A P A R V´alvulas 3/3:3 v´ıas de aire y 3 posiciones. P R A abrir ← (centro: las tres v´ıas cerradas) → cerrar V´alvulas de cuatro y cinco v´ıas 4 v´ıas y 2 o 3 posiciones trabajo; 5 v´ıas y 2, 3 o 4 posiciones de trabajo 68
- 69. A B X P R X PR A B Y V´alvulas 4/2 y 4/3 R S P A B X Y X A B Y R P S X A B R P S YX A B R P S Y V´alvulas 5/2, 5/3 y 5/4 V´alvula selectora Conductos internos con forma de T; la bolita tapona la entrada X o Y Si pX pY entonces la bolita tapa la entrada Y y pA = pX. En cambio, si pY pX ocurre lo contrario y pA = pY 69
- 70. A X Y Si pX= pY = baja entonces pA = baja; Si pX = pY = alta entonces pA = alta. Realiza neum´aticamente la funci´on l´ogica OR. 70
- 71. V´alvulas de simultaneidad Llevauna corredera en el conducto que comunica las entradas X e Y . La corredera tiene dos tapones ubicados en sendas cavidades, uno para la entrada X y otro para la entrada Y y unidos por una varilla. Si pX pY entonces la cavidad de la entrada X resulta taponada y pA = pY . A X Y Por el contrario, si pY pX se tapona la cavidad de Y y la presi´on en pA = pX. Si pX = pY , la corredera queda en el centro y entonces pX = pA = pY . Realiza neum´aticamente la funci´on l´ogica AND. 71
- 72. Aplicaci´on sencilla Control deun cilindro de doble efecto desde dos posiciones X e Y mediante una v´alvula selectora de tipo OR. X Y 72
- 73. Cilindros Linear Compact RotaryRodless Guided Hydraulic Grippers Specials Accessories Suministro de aire Combination Units Dryers Filters Lubricators Regulators 73
- 74. V´alvulas Air Pilot ManualMechanical Solenoid Accesories 2 Port 3 port 4 5 port Porportional Fittings One touch Special Manifolds Tubing 74
- 75. Tema 5. Aut´omatasprogramables 1. Descripci´on de un PLC Externamente un PLC se compone de una o varias cajas de pl´astico acopladas mec´anica y el´ectricamente entre s´ı. Una de ellas contiene la CPU (Central Process Unit) y las otras son m´odulos complementarios para entradas, salidas, comunicacio- nes, alimentaci´on y otras funciones especiales. CPU • Datan de la d´ecada de los 80 – sustituir rel´es y temporizadores. • Potentes PLC: operaciones potentes – tipo maestro. • PLC’s de gama baja: actuadores – senso- res – pocas I/O – tipo esclavo. Tanto la CPU como los m´odulos adicionales tienen bornas para los cables de co- nexi´on del aut´omata con sensores y actuadores as´ı como con otros aut´omatas y ordenadores. 75
- 76. Arquitectura de unPLC Buses: direcciones − datos − control EEPROMROMCPURAMEPROM opto − entradasrelés − salidas • Sistema basado en microprocesador. • Entradas opto-acopladas y filtradas, salidas por rel´e. • Alta inmunidad al ruido – gran fiabilidad. 76
- 77. Cableado directo I/O Proceso1 Proceso 2 Proceso 3 CPU Drivers Drivers • Sensores y actuadores cl´asicos. • Las entradas – salidas se cablean hasta el proceso. • Posiblilidad de errores de transmisi´on. • Gran cantidad de cables. 77
- 78. Cableado por busde campo Proceso 1 Proceso 2 CPU CPU 1 0 22 3 • Sensores y actuadores “inteligentes”. • Aut´omata esclavo en proceso. • Reducido numero de cables. • Posibilidad de usar elementos de radiofrecuencia (wifi). 78
- 79. Funcionamiento Un aut´omata programableejecuta un programa almacenado en memoria, de modo secuencial y c´ıclico, en base a lo que suele denominarse ciclo de scan. • Primero se actualizan las salidas del aut´omata con los valores de los registros internos asociados y a continuaci´on las entradas se chequean y sus valores se almacenan en los registros asociados a las mismas. • Una vez terminada la tarea I/O, se ejecuta el programa con los datos alma- cenados en los registros internos. • El tiempo necesario para completar un ciclo de scan se llama tiempo de scan, transcurrido el cual puede haber un periodo de tiempo inactivo idle. Este proceso se ejecuta de un modo permanente, ciclo tras ciclo y sin fin. Fabricantes ABB, Afeisa, Allen Bradley (Rockwell), Entrelec, Exor, Fuji, GE-Fanuc, Hitachi, Hitech, Ibercomp, Idec, Koan, Mitsubishi, Matsushita, Moeller, National, Omron, Pilz, Siei, Siemens, Sprecher, Telemecanique (Schneider), Tri, Xycom, Yaskawa. 79
- 80. Ejemplo de procesosimple piezas STOP codigo lectoraswitch maquina robot PLC salidas entradas S´ımbolo e/s elemento on/off significado E1 e microswitch on llega pieza S1 s lectora de c´odigo on leer c´odigo E2 e lectora de c´odigo on pieza ok S2 s robot on cargar pieza S3 s robot on descargar pieza E3 e robot on robot ocupado S4 s contactor on parar equipo E4 e m´aquina on m´aquina ocupada E5 e m´aquina on tarea completa 80
- 81. 2. Programacion dePLC’s Lenta evoluci´on de los lenguajes de control industrial. Motivo: los programas se pueden usar en ´areas en las que los fallos pueden originar riesgos para la seguridad humana o producir enormes p´erdidas econ´omicas. Antes de que una nueva t´ecnica ser aceptada, debe ser probada para verificar que cumple unas severas condiciones de seguridad y fiabilidad. Los programas deben ser comprendidos por otras personas ajenas al programador: t´ecnicos (electricistas, mec´anicos, etc.), encargados de planta e ingenieros de proceso → lenguajes con caracter´ısticas especiales. Es posible resolver el mismo problema con diferentes lenguajes. El grado de dificultad puede variar. Hay sistemas que convierten autom´aticamente de un lenguaje a otro. Programaci´on con rat´on mediante interfaces gr´aficas bajo windows. Aut´omatas gama alta: programables en C o SFC, dise˜no con Statecharts. Aut´omatas gama baja: conversi´on (manual) SFC → LD 81
- 82. La norma IEC1131 Intento de normalizaci´on del empleo de PLC’s en automatizaci´on. Antes de la IEC 1131-3: lenguajes espec´ıficos de cada PLC → confusi´on, mala coordinaci´on y p´erdidas de tiempo y dinero. Objetivo de la IEC 1131-3: hacer que los programas se entiendan mejor. Familias de la IEC 1131: • IEC 1131-1 Informaci´on general: definici´on de t´erminos, normas para la elec- ci´on de PLC’s y perif´ericos. • IEC 1131-2 Hardware: requisitos m´ınimos de construcci´on y servicio. • IEC 1131-3 Lenguajes de programaci´on: elementos comunes, sintaxis, sem´anti- ca. • IEC 1131-4 Gu´ıa de usuario: para todo proyecto de automatizaci´on. • IEC 1131-5 Comunicaciones: PLC – perif´ericos, PLC – PLC, PLC – PC. 82
- 83. La IEC 1131-3.Lenguajes de programacion Norma para el dise˜no de software para sistemas de control industrial, en particular para PLC’s (Programmable Logic Controller). Fue publicada por primera vez en 1993. Hasta entonces no hab´ıa ning´un est´andar para la programaci´on de sistemas PLC. Lenguajes incluidos en la norma IEC 61131-3: • Ladder Diagram (LD) • Structured Text (ST) • Functional Block (FB) • Instruction List (IL) • Sequential Function Chart (SFC) Metodolog´ıa flexible de programaci´on. Permite combinar bloques realizados en diferentes lenguajes. 83
- 84. Elementos comunes 1. Naturalezade los datos • Entradas y salidas • Marcas (memoria) • Temporizadores y contadores • Datos globales (permanentes) • Datos locales (temporales) 2. Tipos de datos b´asicos • boolean: bool (1 bit) • bit string: bool, byte, word, dword, lword (8, 16, 32, 64 bits) • integer: sint, int, dint, lint (1, 2, 4, 8 bytes) • unsigned integer: usint, uint, udint, ulint (1, 2, 4, 8 bytes) • real: real, lreal (4, 8, bytes) • time: time, date, tod, dt • string: string 3. Variables: direcciones de memoria o I/O 4. Configuraci´on, recursos y tareas 5. Organizaci´on Programas: Funciones, Bloques de funci´on, Programas 6. Sequential Function Charts (Grafcet) 84
- 85. 2.1. Ladder Diagram(LD) • Lenguaje de contactos • Dise˜nado para t´ecnicos electricistas • Cada contacto representa un bit: entrada, salida, memoria Elementos (instrucciones) 1. Rel´es: contactos, bobinas 2. Timers, Counters 3. Aritm´etica 4. Manipulacion de Datos 5. Secuenciadores, etc. 85
- 86. Programaci´on en lenguajeLD Paso 1: Si llega pieza y equipo no est´a en parada, acciona la lectora Paso 2. Si la pieza es correcta, activa parada equipo Paso 3. Si equipo en parada y m´aquina no ocupada y robot no ocupado, carga pieza Paso 4. Si tarea es completada y robot no ocupado, descarga la m´aquina e ne s ns E1 01 S1 11 E2 02 S2 12 E3 03 S3 13 E4 04 S4 14 E5 05 Tabla de s´ımbolos 01 E1 14 S4
- 87.
- 88.
- 89.
- 90.
- 91. 2.2. Structured Text(ST) • Lenguaje de alto nivel • Sintaxis similar a Pascal o C • Operadores, expresiones, asignaciones • Llamadas a funci´on • Control del flujo de programa • Funciones, Bloques Funci´on 87
- 92. Programaci´on en lenguajeST PROGRAM proceso_simple VAR_INPUT E1 : BOOL; E2 : BOOL; E3 : BOOL; E4 : BOOL; E5 : BOOL; END_VAR VAR_OUTPUT S1 : BOOL : FALSE; S2 : BOOL : FALSE; S3 : BOOL : FALSE; S4 : BOOL : FALSE; END_VAR S1 := E1 AND (NOT S4); S2 := S4 AND (NOT E4) AND (NOT E3); S3 := E5 AND (NOT E4); S4 := E2; END_PROGRAM 88
- 93. 2.3. Functional Block(FB) FB’s • Elementos de software empaquetados que pueden ser reutilizados en diferentes partes de una aplicaci´on e incluso en diferentes proyectos • Pueden tener algoritmos escritos en cualquier lenguaje IEC-1131-3 • V´alidos para todos los lenguajes IEC-1131-3 • Funcionan como bloques constructivos de un sistema de control • Dise˜nados por el usuario o por el fabricante Contadores, Temporizadores Controladores PID Algoritmos control no lineal 89
- 94. Up Counter Functionblock Cuenta impulsos que llegan a CU hasta que su n´umero supera a PV y entonces saca la cuenta por CV y pone a 1 Q. Con R (reset) se pone a cero. BOL CU CTU Q BOL BOL R INT PV CV INT CU : inpulsos a contar R : puesta a cero PV : valor a reponer Q : salida CV : valor contado Algoritmo en lenguaje ST: FUNCTION BLOCK CTU VAR_INPUT CU : BOOL; R : BOOL; PV : INT; END_VAR VAR_OUTPUT Q : BOOL; CV : INT; END_VAR IF R THEN CV := 0; ELSEIF CU AND (CV PV) THEN CV := CV + 1; END_IF; Q := (CV = PV); END_FUNCTION_BLOCK 90
- 95. 2.4. Instruction List(IL) • Lenguaje de bajo nivel similar a un lenguaje ensamblador. • Simple, f´acil de aprender e ideal para dispositivos de programaci´on manuales. • Cada l´ınea tiene cuatro partes: label, operator, operand, and comment. Instrucciones LD N load N into register ST N store register in N S set operand true R reset operand false AND N, Op Boolean AND OR N, Op Boolean OR XOR N, Op Boolean XOR ADD Op addition SUB Op subtraction MUL Op multiplication DIV Op division GT Op greater than GE Op greater than and equal to EQ Op equal NE Op not equal LE Op less than and equal to LT Op less than JMP C, N jump to label CAL C, N call function block RET C, N return “N”: negacion. “C”; condici´on, la operaci´on se ejecuta si el valor del registro es cierto. 91
- 96. Programaci´on en lenguajeIL PROGRAM proceso_simple VAR_INPUT E1 : BOOL; E2 : BOOL; E3 : BOOL; E4 : BOOL; E5 : BOOL; END_VAR VAR_OUTPUT S1 : BOOL : FALSE; S2 : BOOL : FALSE; S3 : BOOL : FALSE; S4 : BOOL : FALSE; END_VAR LD E1 ANDN S4 ST S1 LD S4 ANDN E4 ANDN E3 ST S2 LD E5 ANDN E4 ST S3 LD E2 ST S4 END_PROGRAM 92
- 97. 2.5. Sequential FunctionChart (SFC) 93
- 98. Programaci´on en SFC Sequentialfunction chart (GRAFCET) 00 E1 and (not S4) 1 E2 2 S4 and (not E3) and (not E4) 3 E5 and (not E5) 4 S1 S4 S2, S4 S3 94
- 99. Conversion manual SFC→ LD ON e1 keep(11) e0 e0 r1 e2 keep(11) e1 e1 r2 e3 keep(11) e2 ... ... en−1 rn en+1 keep(11) en 00 r1 1 r2 2 r3... rn n rn+1 95
- 100. 2.6. Aut´omata programableOmron CPM2A-30CDR-A 18 entradas cccccccccccccccccc 12 salidas cccccccccccc Programa Memoria RS-232Perif. Lenguaje: LD + instrucciones –16 bits– Entradas: IR 00000-IR 00915 (o bits) Ch: 00.00 a 00.11 y 01.00 a 01.05 Salidas: IR 01000-IR 01915 (o bits) Ch: 10.00 a 10.07 y 11.00 a 00.03 Bits: IR 02000-IR 04915 y IR 20000-IR 22715 Especial: SR 22800-SR 25515 Temporal: TR 0-TR 7 Holding: HR 0000-HR 1915 Auxiliar: AR 0000-AR 2315 Link: LR 0000-LR 1515 Timers: TIM/CNT 000 to TIM/CNT 255 Memoria datos: DM 0000-DM 6655 (RW) Interrupciones externas: 4 Salida de pulsos: 2 puntos 10 KHz Entradas respuesta r´apida: 4 (50µ s) Controles anal´ogicos: 2 (0-200) 2 Puertos comunicaciones: perif., RS232 96
- 101. 2.7. Ejemplos Programa 1:al pulsar M se encender´a la luz FM. M 0.00
- 102.
- 103. Programa 2: alpulsar M se encender´a la luz FM y se mantendr´a encendida; al pulsar P se apagar´a. M 0.00 keep(11) eP 0.01 e hr00
- 104.
- 105. 3. C´elula flexibleSMC Transfer (cinta trasportadora) + 8 Estaciones. Producto: montaje simple 99
- 106. Estaciones de proceso •Parte frontal: mandos, control el´ectrico/electr´onico, interruptor magneto-t´ermi- co, PLC para control del proceso y comunicaci´on • Parte superior: actuadores, electrov´alvulas, proceso Estaciones: 1. Alimentaci´on de la base 2. Montaje rodamiento 3. Prensa hidr´aulica 4. Inserci´on del eje 5. Colocaci´on de la tapa 6. Montaje de tornillos 7. Robot atornillador 8. Almac´en conjuntos terminados 100
- 107. Estaci´on 1 Elementos • Actuadores:6 cilindros neum´aticos controlados por electrov´alvulas • Sensores: detectores magn´eticos • Pulsadores de marcha, paro y rearme. • Selector ciclo, seccionador, seta emergencia • Piloto indicador error • PLC con 13 entradas y 10 salidas Operaciones • Sacar la base del almac´en (cilindro A) • Verificar posici´on correcta (cilindro V) • Trasladar base al manipulador (cilindro T) • Rechazar base incorrecta (cilindro R) • Insertar base en palet (cilindros MH y MV) 101
- 108. 3.1. Componentes • Almac´enpara 12 bases Actuadores: Cilindro empujador doble efecto Ø16, C:100mm (CD85N16-100B), con reguladores de caudal y detectores de posici´on inicial y final. Controlado por electrov´alvula 5/2 monoestable. Sensores: Detectores magn´eticos tipo Reed (D-C73L) • M´odulo verificaci´on posici´on Actuadores: Cilindro doble efecto Ø12, C:50mm (CD85N12-50B), con regu- ladores de caudal y detector de posici´on final. Controlado por electrov´alvula 5/2 monoestable. Sensores: Detector magn´etico tipo Reed (D-A73CL) • M´odulo desplazamiento Actuadores: Cilindro empujador secci´on rectangular Ø25, C:200mm (MDUB25-200DM), con reguladores de caudal y detector de posici´on final. Controlado por electrov´alvula 5/2 monoestable. Sensores: Detector magn´etico tipo Reed (D-A73CL) • M´odulo rechazo base invertida Actuadores: Cilindro expulsor simple efecto Ø10, C:15mm (CJPB10-15H6) con regulador de caudal. Controlado por elec- trov´alvula 3/2 monoestable. • M´odulo inserci´on en palet Actuadores: Eje horizontal: Cilindro v´astagos paralelos Ø20, C:150mm (CXSWM20 102
- 109. 150- XB11), conreguladores de caudal y detectores de posici´on inicial y final. Controlado por electrov´alvula 5/2 biestable. Eje vertical: Cilindro v´astagos paralelos Ø15, C:50mm (CXSM15-50), con re- guladores de caudal y detectores de posici´on inicial y final. Controlado por electrov´alvula 5/2 monoestable. Placa sujeci´on: 4 Ventosas telesc´opicas Ø16 (ZPT16CNK10-B5-A10), con eyec- tor para generaci´on del vac´ıo (ZU07S). Controlado por electrov´alvula 3/2 mo- noestable. Sensores: Detectores magn´eticos tipo Reed (D-Z73L) Vacuostato salida PNP (PS1100-R06L) • Panel el´ectrico control: Montado sobre malla perforada 550 x 400 mm Bornero accesible con conexiones alimentaci´on e I/O codificadas. Interruptor magnetot´ermico Merlin Gerin C-60N I/O estaci´on: 13 entradas, 10 salidas. Fuente de alimentaci´on: Omron S82K-05024 24V/2.1A PLC control: Omron CPM2A con tarjeta para la conexi´on entre aut´oma- tas. 103
- 110.
- 111. Parte II. Modelos,simulaci´on y dise˜no 105
- 112. Tema 6. Sistemasbooleanos 1. Dispositivos l´ogicos Dispositivos f´ısicos con s´olo dos estados: mec´anicos, interruptor, v´alvula, transistor → automatismos. 0 1 • Sistemas combinacionales • Sistemas secuenciales 106
- 113. Dispositivos biestables: b´asicospara las memorias RAM ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡££¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ 1 2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ 2 1 sistemas con memoria. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢ 1 2£££ ¤ ¤¤¥¥ ¥ ¦ ¦¦ Figura 6.1: Pulsador sistemas sin memoria 2. Algebra de Boole Conjunto U — dos operaciones + , · tales que ∀a, b, c ∈ U: 107
- 114. 1. Idempotentes: a+ a = a · a = a 2. Conmutativas: a + b = b + a, a · b = b · a 3. Asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c 4. Absorciones: a · (a + b) = a + (a · b) = a ⇒ (U, +, ·) es un ret´ıculo. Si adem´as 5. Distributivas: a + (b · c) = (a + b) · (a + c), a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ⇒ (U, +, ·) ret´ıculo distributivo. Si 6. Cotas universales: ∃ 0, 1 ∈ U tales que 0 · a = 0, 0 + a = a, 1 · a = a, 1 + a = 1 7. Complemento: ∀a ∈ U ∃a ∈ U | a + a = 1, a · a = 0 ⇒ (U, +, ·, , 0, 1) es un ´algebra de Boole. Z2 := ({0, 1} , OR , AND) es un ´algebra de Boole. 108
- 115. 2.1. Funciones booleanas f: Zn 2 → Z2 (x1, . . . , xn) → f(x1, . . . , xn) Tabla de verdad f(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn) equivalentes ⇐⇒ tablas de verdad coinciden P. ej., f(x1, x2, x3) = x1x2, g(x1, x2, x3) = x1x2(x3 + x3) equivalentes: x1 x2 x3 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 x1 x2 x3 g 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 109
- 116. • Formas can´onicas ≡func. booleanas: relaci´on de equivalencia → representantes can´onicos: • suma de min-terms, p. ej., f(a, b, c, d) = abcd + abcd + abcd • producto de max-terms: f = (a + b + c + d)(a + b + c + d)(a + b + c + d) n variables ⇒ 2n t´erminos can´onicos diferentes minterms f(x) x, x f(x, y) xy, xy, xy, xy f(x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz min-term = n´umero binario = n´umero decimal p. ej., xyz = 010 = 2. Obtenci´on de la f.c.: • Tabla de verdad ⇒ f.c. (inmediato) • Para i = 1, . . . , n mult. por (xi + xi) los t´erminos de f sin xi. 2.2. Simplificaci´on de funciones booleanas Aplicar la ley de complementaci´on: x + x = 1 ⇒ f · (x1 + x1) ≡ f. 110
- 117. f = sumade implicantes primos (t´erminos irreducibles). • M´etodo de Karnaugh f(a, b, c, d) = b + bc cd ab 00 01 11 10 00 00 00 00 01 00 11 00 10 01 01 00 01 01 01 11 01 10 11 11 00 11 01 11 11 11 10 10 10 00 10 01 10 11 10 10 d d ab cd 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 1 1 0 d d # ! # ! – cada casilla representa un min-term – 111
- 118. • M´etodo deQuine-McCluskey Ejemplo: f(x1, x2, x3, x4) = Σ(0, 7∗ , 9, 12∗ , 13, 15) i min-terms 0 0 0 0 0 7∗ 0 1 1 1 9 1 0 0 1 12∗ 1 1 0 0 13 1 1 0 1 15 1 1 1 1 Tabla de verdad u i 1-term 2-term 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 9 1 0 0 1 1 - 1 1 12∗ 1 1 0 0 1 1 0 - 3 7∗ 0 1 1 1 - 1 1 1 13 1 1 0 1 1 1 - 1 4 15 1 1 1 1 (a) Ordenar tabla por n´umero de unos de cada t´ermino → grupos. (b) Los elementos de cada grupo se combinan con los del siguiente. (c) Repetir el proceso hasta que no se puedan combinar m´as. f = x1x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4. Un t´ermino indiferente puede aprovecharse si cubre m´as de un min-term. 112
- 119. • Algoritmo deQuine Como ya se ha indicado, el m´etodo de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Kar- naugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una funci´on f en forma can´onica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente: 1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m. 2. para i desde 1 hasta m − 1 hacer Elegir el t´ermino i-´esimo, Ti, de la lista para j desde i + 1 hasta m hacer Tomar el t´ermino j-´esimo, Tj, de la lista Simplificar, si es posible, la expresi´on Ti +Tj, aplicando la ley a+a = 1 y poner el t´ermino simplificado en una nueva lista. 3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo 4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar m´as. Gran coste computacional si el n es elevado. 113
- 120. 3. Sistemas combinacionales Sistemade control con p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2 y q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2, yi(t) = fi(u1(t), . . . , up(t)), i = 1 . . . q. Tiempo continuo: I ⊂ R; tiempo es discreto: I = {t0, t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .}, t0, T ∈ R. Eu1(t) Eu2(t) Eup(t) ... S.C. Ey1(t) Ey2(t) Eyq(t) ... Los valores de las salidas en el instante t s´olo dependen de los valores que en ese mismo instante tengan las entradas. 114
- 121. 3.1. Funciones l´ogicaselementales • Funci´on NOT x z 0 1 1 0 x zd zx • Funci´on AND x y z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ex Ez E y x z y 115
- 122. • Funci´on OR xy z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Ex ≥ 1 Ez E y x z y • Funci´on NAND x y z 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ex d Ez E y x z y • Funci´on NOR x y z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Ex ≥ 1 d Ez E y x y z 116
- 123. • Funci´on XOR xy z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ex = 1 d Ez E y zx y 117
- 124. 4. Sistemas secuenciales Sistemade control con p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2 , q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2 y n variables de estado. Eu1(t) Eu2(t) Eup(t) ... x1(t) x2(t) ... xn(t) Ey1(t) Ey2(t) Eyq(t) ... Las variables de estado x1(t), . . . , xn(t) ∈ Z2 memorizan el comportamiento del sistema en instantes anteriores a t. Modelos: modelo de estado (ecuaci´on en diferencias finitas), m´aquinas de estados, redes de Petri ⇒ modelos computacionales: grafcet, StateCharts. 118
- 125. 4.1. Aut´omata deMealy M1 = {U, Y, X, f, g} U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado. estado: f : U × X → X (u, x) → x = f(u, x) salida: g : U × X → Y (u, x) → y = f(u, x) 4.2. Aut´omata de Moore M2 = {U, Y, X, f, g} U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado. estado: f : U × X → X (u, x) → x = f(u, x) salida: g : X → Y (x) → y = f(x) Aut´omata de Mealy ↔ Aut´omata de Moore. 119
- 126. 4.3. Tablas deestado f(x, u): tabla de transici´on, g(x, u): tabla de salida. Aut´omata de Mealy: u1 u2 . . . u2q x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q ... ... ... ... x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q u1 u2 . . . u2q x1 y1,1 y1,2 . . . y1,2q x2 y2,1 y2,2 . . . y2,2q ... ... ... ... x2n y2n,1 y2n,2 . . . y2n,2q Aut´omata de Moore: u1 u2 . . . u2q x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q ... ... ... ... x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q x1 y1 x2 y2 ... x2n y2n Tama˜no (m´aximo): (2n × 2q) casillas. 120
- 127. 4.4. Diagrama deestado Grafo orientado con N v´ertices y q aristas. Mealy: ddx u 0 1 A = 00 00 01 B = 01 01 10 C = 10 00 01 11 − − Tabla de transici´on ddx u 0 1 A = 00 0 0 B = 01 0 0 C = 10 0 1 11 − − Tabla de salida A@GAFBECD 1/0 ÔÔ 0/0 B@GAFBECD1/0 RR 0/0 QQ C@GAFBECD 0/0 444444444441/1 ss Moore: ddx u 0 1 A = 00 00 01 B = 01 10 01 C = 10 00 11 D = 11 10 01 Tabla de transici´on x y A = 00 0 B = 01 0 C = 10 0 D = 11 1 Tabla de salida A/ 0@GAFBECD 1 ÖÖ
- 138. 0 B/ 0@GAFBECD1 RR 0 GGC/ 0@GAFBECD 0 ˆˆ22222222222 1 PP D/1@GAFBECD 0 rr 1 ff 121
- 139. 4.5. Dispositivos biestables Sonlos sistemas secuenciales m´as simples. • Una o dos entradas u1, u2 • Una variable de estado Q • Una salida y1 = Q (salida adicional y2 = Q). As´ıncronos o s´ıncronos. Qt+1 = f(Qt, u1, u2), S´ıncronos: Clk se˜nal de reloj 1 t Clk 0 El valor del estado Q se actualiza en los flancos de bajada. 122
- 140. • Biestable R-S Biestableas´ıncrono b´asico. R S Q Q _ Tabla de transici´on: ddQ SR 00 01 11 10 0 0 0 − 1 1 1 0 − 1 S R Q Q S R Q Q Clk Combinaci´on de entradas “11” no permitida (contradicci´on: Q = Q = 0) 123
- 141. Tema 7. Modelosde sistemas 1. Sistemas continuos Son sistemas de control cuyo modelo es una ecuaci´on diferencial (ordinaria) dx dt (t) = f(t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rq f : R × Rn × Rq → Rn continua, u : R → Rq (entrada, dada). Las soluciones x(t) representan el “movimiento” del sistema. Ecuaci´on de salida y(t) = g(x, u), y(t) ∈ Rp. u1(t) u2(t) x(t) y(t) 124
- 142. Sistemas discretos enel tiempo El modelo es una ecuaci´on en diferencias finitas. t = k T ∈ T Z x((k + 1)T) = f(kT, x(kT), u((k + 1)T)), x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq f : R × Rn × Rq → Rn; u(t) : R → Rq (entrada, dada). T ∈ R : periodo de discretizaci´on o de muestreo. Ecuaci´on de salida y(kT) = g(x(kT), u(kT)), y(t) ∈ Rp. El ordenador realiza el elgoritmo de control 125
- 143. Sistemas de eventosdiscretos – sistemas h´ıbridos a) Producen eventos: sistemas continuos o discretos. b) Reaccionan ante eventos que reciben (sistemas reactivos). a b) Sistemas h´ıbridos. Modelos matem´aticos: ecuaci´on diferencial (ordinaria) dx dt (t) = f(t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rq f : R × Rn × Rq → Rn discontinua; u : R → Rq (entrada, dada) Modelos computacionales: Matlab + Simulink + Stateflow u(t) x(t) y(t) s1 s2 s3 126
- 144. Tema 8. Modeloscomputacionales 1. Grafcet Graphe de Comands Etape/Transition. • Association Fran¸caise pour la Cybern´etique Economique et Technique (AF- CET) • Comisi´on Normalizaci´on de la Representaci´on de controladores L´ogicos (1977). • GRAFCET: modelo gr´afico de representaci´on y funcionamiento • Reconocido por normas IEC-848 e IEC-61131 y fabricantes de PLC’s • Formalismo inspirado en las redes Petri • Elementos gr´aficos: etapas y transiciones → evoluci´on din´amica • Etapas: estados del sistema • Transiciones: condiciones de paso de una etapa a otra • Grafcet = grafo con etapas y transiciones 127
- 145. Esquema P.C. P.O. órdenes eventos Sistema automatizadode producci´on • Parte operativa: dispositivos que interact´uan sobre el producto: preactuadores, actuadores y captadores • Parte de Comando (control): computadores, procesadores o aut´omatas 128
- 146. Elementos b´asicos 0 1 2 Bajar Subir P h_min h_max Etapa:situaci´on estable (estado) del sistema • rect´angulo con n´umero • parte de comando invariable • en cada instante hay s´olo una etapa activa – (varias si son concurrentes) • etapa inicial: activa en estado inicial – doble rect´angulo • puede tener acciones asociadas Transici´on: paso de una etapa a otra • trazo ortogonal a l´ınea de uni´on de etapas • receptividad: condici´on necesaria para pasar la transici´on • transici´on v´alida: todas las etapas de entrada estan activas • transici´on franqueable = trsnsici´on v´alida y con receptividad verdadera Segmentos paralelos: procesos concurrentes 129
- 147. 1.1. Estructuras b´asicas •Secuencia simple • Divergencia OR • Convergencia OR • Divergencia AND • Convergencia AND • Saltos • Posibilidades avanzadas • Paralelismo • Sincronizaci´on • Jerarqu´ıa • Comunicaci´on 130
- 148. 2. Cartas deestado Statecharts – David Harel, 1987. Generalizaci´on m´aquinas de estados. • Capacidad de agrupar varios estados en un superestado. • Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos es- tados. • Necesidad de transiciones m´as generales que la flecha etiquetada con un simple evento. • Posibilidad de refinamiento de los estados. Formalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular que per- mite el agrupamiento de estados (jerarqu´ıa), la ortogonalidad (paralelismo) y el refinamiento de estados. Admite la visualizaci´on tipo ”zoom”entre los diferentes niveles de abstracci´on. Implementaciones: Statemate, Stateflow etc. 131
- 149. 2.1. Stateflow Toolbox deMatlab para modelar sistemas de eventos discretos. Tiene un ´unico elemento: Chart = carta de estados (D.Harel) Creaci´on de un modelo: Matlab → Simulink → new-model → Chart • Crear la carta Stateflow • Utilizar el Explorer de Stateflow • Definir un interface para los bloques de Stateflow • Ejecutar la simulaci´on • Generar el c´odigo Carta de estados de Stateflow Generadores de c´odigo: • sf2vdh: traductor de Stateflow a VHLD • sf2plc: genera c´odigo para programar algunos PLC. 132
- 150. 2.2. Elementos deuna carta de estado – Elementos gr´aficos: cartas, estados, transiciones y uniones – Elementos de texto: lenguaje, datos y eventos. • Carta: m´aquina de estados generaliza- da – bloque de Simulink • Estados: modos de funcionamiento Nombre / acciones Acciones: entry: a, exit: b, during: c, on event e : d Descomposici´on OR (trazo continuo) y AND (trazo discontinuo). • Transiciones: saltos Nombre / acciones Nombre: e (evento), [c] (condi- ci´on) Acciones: {a} (acci´on) default-transition • Uniones puntos de bifurcaci´on. Conectivas – de historia • Datos Entrada de Simulink Salida de Simulink Local Constante Temporal Workspace • Eventos Entrada de Simulink Salida de Simulink Local I/O Simulink: disparo por ↑, ↓ o 133
- 151. • Estados Sintaxis: nombre / entry:acci´on exit: acci´on during: acci´on on event e: acci´on Acci´on: cambiar salida – llamada a funci´on. S1 S2 e Estado (padre) = { subestados (hijos) } Descomposici´on AND: todos activos – hijos en l´ınea discontinua Descomposici´on OR: s´olo uno activo – hijos en l´ınea continua. 134
- 152. • Transiciones • Formade flecha – saltos entre estados – eventos • Acciones asociadas • Transici´on por defecto – se˜nala el estado inicial Sintaxis: e – nombre de un evento [c] – expresi´on booleana – condici´on {a} – acci´on No texto – disparo con evento cualquiera en el sistema. 135
- 153. • Uniones • Formade peque˜no c´ırculo • Uniones conectivas – puntos de bifurcaci´on – decisi´on condicionada • Uniones de historia – descomposici´on OR – activo = ´ultimo C2 e1 e2 e3 P H C1 136
- 154. 2.3. Elementos detexto especiales • Datos • Entrada de Simulink • Salida a Simulink • Local • Constante • Temporal • Workspace • Eventos • Entrada de Simulink • Salida a Simulink • Local Activaci´on: flanco subida - flanco de bajada - flanco indiferente 137
- 155. 3. Creaci´on deun modelo con Stateflow–Simulink Matlab → Simulink → new-model Stateflow → Chart Chart estados, transiciones, etc. Pasos a seguir: • Crear carta Stateflow • Establecer interface Simulink – Stateflow • Con Explorer de Stateflow declarar datos y eventos • Ejecutar la simulaci´on • Generar el c´odigo (ANSI C, sf2vhld, sf2plc) • Observaciones Simulaci´on larga: t = inf Chart → File → Chart Properties → “Execute (enter) Chart At Initialization” 138
- 156. • Ejemplo. Controlde barrera de ferrocarril Objetivo – cerrar la barrera si llega tren – abrirla si ha pasado. Sistema de eventos discretos: tren llega – tren ha pasado. 139
- 157. Esquema: 0 E x•S1 S2• TRENd ddd Componentes:barrera con motor-reductor 2 sensores S1 y S2 sistema digital, rel´es y elementos auxiliares. Sensores: S1 en x1 0 – evento en se˜nal s1 – llega tren S2 en x2 0 – evento en se˜nal s2 – tren ha pasado Presencia del tren en [x1, x2] – sensores S1 y S2. Operaci´on sistema: si S1 se activa la barrera debe cerrarse, si S2 se activa la barrera puede abrirse. 140
- 158. Sistema de controlde eventos discretos – divisi´on en paralelo (paralelismo) – trasmisi´on de eventos. Sensores: S1 y S2 – Manual Switch de Simulink flanco de subida en s1 : llega el tren flanco de bajada en s2 : el tren se ha ido. Carta de estados: dos estados Tren y Barrera, en paralelo. Barrera – dos hijos Abrir y Cerrar, Tren – dos hijos Fuera y Dentro. S2 S1 0 1 0 1 Chart Tren 1 Barrera 2 Dentro Fuera Cerrar Abrir s2/e2 e2s1/e1 e1 141
- 159. Tema 9. Procesoscontinuos 1. Sistemas continuos Las magnitudes que evolucionan en el proceso son funciones continuas en la variable t (tiempo). Ejemplos de procesos continuos: • Generadores y motores el´ectricos • Industria qu´ımica • Industria petroqu´ımica • Industria papelera • Industria del cemento • M´aquina herramienta • Aeron´autica y astron´autica 142
- 160. • Ejemplo. Dep´osito Si1 → 2 no hay p´erdidas de energ´ıa ⇒ Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2 q t( ) a t( ) h t( ) 1 2 m m Area A m g h(t) = Ep1 Ec2 = 1 2 m v(t)2 ⇓ v(t) = 2gh(t) Caudal = a(t) v(t) = d Volumen dt q(t) = a(t)v(t) = a(t) 2gh(t) = d dt A h(t) = A dh dt Ecaci´on diferencial: dh dt = 1 A a(t) 2gh(t) 143
- 161. 2. Modelos desistemas continuos 2.1. Ecuaci´on diferencial Sistema f´ısico Leyes f´ısicas −→ Ecuaci´on diferencial i fi = ma m1 m2 k b f t( ) ( )x t1 x t( )2 0 Ecuaci´on diferencial: f(t) − k (x1(t) − x2(t)) − b dx1(t) dt − dx2(t) dt = m1 d2x1(t) dt k (x1(t) − x2(t)) + b dx1(t) dt − dx2(t) dt = m2 d2x2(t) dt 144
- 162. 2.2. Sistemas lineales- par´ametros constantes • Modelo externo Ecuaci´on diferencial L −→ G(s) funci´on de transferencia • Modelo entrada – salida • Diagrama de bloques • Modelo interno Ecuaci´on diferencial cambios −→ ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) modelo de estado • Algebra lineal • C´alculo por computador • Sistemas multivariable 145
- 163. 2.3. Modelo externo Ecuaci´ondiferencial: a2¨x(t) + a1 ˙x(t) + a0x(t) = b1 ˙u(t) + b0u(t) Aplicando la transformaci´on de Laplace tenemos a2[s2X(s) − sx0 − ˙x0] + a1[sX(s) − x0] + a0X(s) = U(s)[b1s + b0] y si suponemos condiciones iniciales nulas queda X(s) = b1s + b0 a2s2 + a1s + a0 U(s). Funci´on de transferencia G(s): X(s) = G(s)U(s) G(s): funci´on racional; denom. de G(s) := polinomio caracter´ıstico. 146
- 164. 2.4. Modelo interno Ecuaci´ondiferencial: a2¨x(t) + a1 ˙x(t) + a0x(t) = b1 ˙u(t) + b0u(t) ⇓ cambios: x1 := x; x2 := ˙x; u1 := u; u2 := ˙u Modelo de estado ˙x1(t) = x2(t) ˙x2(t) = −a0 a2 x1(t) − a1 a2 x2(t) + b0 a2 u1(t) + b1 a2 x2(t) Ecuaci´on de estado: ˙x1(t) ˙x2(t) = 0 1 −a0 a2 −a1 a2 x1(t) x2(t) + 0 0 b0 a2 b1 a2 u1(t) u2(t) Ecuaci´on de salida (si salidas ≡ estados): y1(t) y2(t) = 1 0 0 1 x1(t) x2(t) + 0 0 0 0 u1(t) u2(t) Modelo de estado: ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) 147
- 165. 2.5. C´alculo dela respuesta temporal 1. Resoluci´on de la ecuaci´on diferencial 2. Modelo externo G(s): • Integraci´on compleja: y(t) = L−1 [Y (s)] = 1 2πj σ+j∞ σ−j∞ Y (s)est ds • Transformada de Laplace – expansi´on frac. simmples: u(t) L −→ U(s); G(s) U(s) = Y (s); Y (s) L−1 −→ y(t) • Integral de convoluci´on: y(t) = u(t) ⊗ g(t) = t 0 g(t − τ) u(τ) dτ 3. Modelo interno: • Resoluci´on de la ecuaci´on de estado: x(t) = eAt x(0) + t 0 eA(t−τ) Bu(τ) dτ 148
- 166. • C´alculo dela respuesta con Matlab • Circuitos C´alculos con matrices – metodos de mallas y nudos • Sistemas lineales y no lineales Resoluci´on ecuaci´on diferencial ode23 y ode45 • Modelo externo residue – expansi´on de Y (s) en frac. simples series, parallel, feedback: simplificaci´on diagr. bloques. impulse, step, lsim – respuesta temporal (num´erica) Symbolic Toolbox – transformadas de Laplace L y L−1 • Modelo interno impulse, step, lsim – respuesta temporal (num´erica) • Conversi´on modelos interno y externo ss2tf, tf2ss 149
- 167. 3. Simulink Simulink: librer´ıa(toolbox) de Matlab para modelado y simulaci´on. Modelo externo – Modelo interno – Sist. no lineales – Sist. reactivos . . . Ventana gr´afica de Simulink Ventana de comandos de Matlab Ventana con la respuesta temporal 150
- 168. Inicio: – escribirsimulink en Matlab command window – clic en el icono Simulink Simulink − Simulink — Countinous — Discrete — Math Operations — Signal Routing — Sinks — Sources ... + Dials Gauges Blockset + Stateflow ... 151
- 169. • Ejemplo. Modelosimple Sistema de control en feedback con K = 5, G(s) = s + 1 s2 + 4 , H(s) = 2s + 1 s + 1 Ventana para dibujo: File → New → Model G(s) y H(s): Continuous → Transfer Fcn → G(s): numerador = [1, 1] denominador = [1, 0, 4] → H(s): numerador = [2, 1] denominador = [1, 1] K: Math Operations → Gain → K = 5 Suma: Math Operations → Sum → (+) (−) | flechas 152
- 170. Entrada escal´on: Sources→ Step → Step time = 0, Initial value = 0, Final value = 1. Visualizaci´on: Sinks → Scope Uni´on con flechas s+1 s +42 Transfer Fcn Sum Step Scope 5 Gain 2s+1 s+1 Transfer Fcn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t y(t) Respuesta temporal Simulaci´on: Simulation → Simulation parameters → t inicial, t final, algoritmo, paso, etc. 153
- 171. • Ejemplo, Circuitoel´ectrico + - 3 5 4 6 2 1 2 3 1 Z Z Z Z Z Z i i i v Metodo de mallas: v = (z1 + z2 + z4)i1 − z2i2 − z4i3 0 = −z4i1 − z5i2 + (z4 + z5 + z6)i3 0 = −z2i1 + (z2 + z5 + z3)i2 − z5i3 En forma matricial: V = Z I, es decir v 0 0 = z1 + z2 + z4 −z2 −z4 −z4 −z5 z4 + z5 + z6 −z2 z2 + z5 + z3 −z5 i1 i2 i3 Soluci´on: I = Z−1 V 154
- 172. • C´alculo conMatlab para c. alterna Escribimos en el archivo circuito.m los datos y las ´ordenes oportunas. Vef=220; f=50; w=2*pi*f; R1=1; L1=0.1; C1=100e-6; z1=R1+j*L1*w+1/(i*C1*w) R2=1; L2=0.03; C2=220e-6; z1=R2+j*L2*w+1/(i*C2*w) R3=0.25; L3=0.2; C3=100e-6; z1=R3+j*L3*w+1/(i*C3*w) R4=5; L4=0.1; C4=100e-6; z1=R4+j*L4*w+1/(i*C4*w) R5=20; L5=0.01; C5=100e-6; z1=R5+j*L5*w+1/(i*C5*w) R6=25; L6=0.33; C6=100e-6; z1=R6+j*L6*w+1/(i*C6*w) V = [Vef 0 0]’ Z = [ z_1+z_2+z_4 - z_2 - z_4 -z_4 - z_5 z_4+z_5+z_6 -z_2 z_2+z_5+z_3 - z_5 ]; I = inv(Z)*V Para hacer el c´alculo, en la pantalla de comandos de Matlab escribimos circuito y, pulsando Enter , obtendremos el vector intensidades: I = [17.9962 + 10.1363i, 2.1462 − 3.5405i, −0.4702 − 1.3816i] 155
- 173. 4. Sistemas nolineales – p´endulo β mg f (t) Ecuaci´on diferencial: f(t) − mg sin(β(t)) − ma = 0 f(t) − mg sin(β(t)) − ml ¨β(t) = 0 ml ¨β + mg sin(β) − f(t) = 0 Cambio x1 := β, x2 := ˙β: ˙x1 = x2 ˙x2 = f(t) − mg sin x1 l m En el archivo pendulo.m escribimos: function x_prima=p´endulo(t,x) l=1; m=1; g=9.8; % Par´ametros if t1 % Fuerza exterior f=1; else f=0; end % Ecuac. estado: x_prima=[x(2) (f-m*g*sin(x(1)))/(m*l)]’; Soluci´on num´erica del P.C.I.: t0=0; tf=5; % Interv. integraci´on x0=[0 0]’; % Cond. iniciales [t,x]=ode23(’p´endulo’,t0,tf,x0); plot(t,x) 156
- 174. 4.1. Respuesta –modelo externo b k ( ) ( )tf t0 x m Ecuaci´on diferencial: m¨x(t) + b ˙x(t) + kx(t) = f(t) ↓ L ms2X(s)+bsX(s)+kX(s)=F(s) f(t) = 1(t) ⇒ F(s) = 1/s Expansi´on en fraciones simples: G(s) = 1 ms2+bs+k ; X(s) = G(s) 1 s X(s) = r1 s−p1 + r2 s−p1 + r3 s−p3 L−1 es inmediata: y(t) = r1ep1t + r2ep2t + r3ep3t 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t y(t) C´alculo de x(t) con Matlab: m=1; b=1; k=1; B=1; A=[m b k 0]; [r,p,c]=residue(B,A) t=[0:0.05:15]; x=r(1)*exp(p(1)*t) +r(2)*exp(p(2)*t) +r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,x) M´as sencillo a´un: con impulse, step o lsim . 157
- 175. • Resoluci´on simb´olica SymbolicToolbox de Matlab – Maple core – • Transformada de Laplace L(f(t)) = F(s): F = laplace(f,t,s) • Transformada inversa de Laplace L−1(F(s)) = f(t): f = ilaplace(F,s,t) El mismo ejercicio anterior: syms s t m=1; b=1; k=1; G = 1/(ms^2+b*s+k); U = 1/s; Y = G * U ; y = ilaplace(Y,s,t); ezplot(y, [0,15], axis([0, 15, 0, 1.25]) −→ gr´afica igual que la de antes. 158
- 176. 4.2. Respuesta –modelo interno m1 m2 k b f t( ) ( )x t1 x t( )2 0 f(t)−k(x1(t)−x2(t))−b( ˙x1(t)−˙x2(t))=m1 ¨x1(t) k(x1(t)−x2(t))+b( ˙x1(t)−˙x2(t))=m2 ¨x2(t) Cambios: x3 = ˙x1, x4 = ˙x2, u := f ⇓ ¨x1 = − k m1 x1 + k m1 x2 − b m1 ˙x1 + b m1 ˙x2 + 1 m1 u ¨x2 = + k m2 x1 − k m2 x2 + b m2 ˙x1 − b m2 ˙x2 Modelo de estado (sup. salidas≡estados): ˙x1 ˙x2 ˙x3 ˙x4 = 0 0 1 0 0 0 0 1 −k m1 k m1 −b m1 b m1 k m2 −k m2 b m2 −b m2 x1 x2 x3 x4 + 0 0 1 m1 0 u y1 y2 y3 y4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x1 x2 x3 x4 + 0 0 0 0 u Resoluci´on con Matlab: m_1=1; m_2=2; k=0.1; b=0.25; A=[0 0 1 0 0 0 0 1 -k/m_1 k/m_1 -b/m_1 b/m_1 k/m_2 -k/m_2 b/m_2 -b/m_2] B=[0 0 1/m1 0]’ C=eye(4,4); D=zeros(4,1); S=ss(A,B,C,D); % crea sistema t=[0:0.1:12]; % Respuesta a escal´on unitario: y=step(S,t) % Gr´afica de la respuesta: plot(t,y) 159
- 177. 5. Sistema deprimer orden EU(s) A s + a EY (s) Entrada: • Impulso de Dirac u(t) = δ(t) L −→ U(s) = 1 G(s)U(s) = A s+a = Y (s) L−1(Y (s)) = y(t) = Ae−at • Escal´on unitario u(t) = 1(t) L −→ U(s) = 1/s G(s)U(s) = A s(s+a) = Y (s) L−1(Y (s)) = y(t) = A a − A a e−at τ := 1/a constante de tiempo 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t Respuesta impulsional 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t Respuesta al escalon 160
- 178. 6. Sistema desegundo orden EU(s) ω2 n s2 + 2ξωns + ω2 n EY (s) Entrada: • Impulso de Dirac u(t) = δ(t) L −→ U(s) = 1 G(s)U(s) = ω2 n s2+2ξωns+ω2 n = Y (s) y(t) = ωn√ 1−ξ2 e−ξωnt sin (ωn √ 1−ξ2) t • Escal´on unitario u(t) = 1(t) L −→ U(s) = 1/s G(s)U(s) = ω2 n s(s2+2ξωns+ω2 n) = Y (s) y(t) = 1 − 1√ 1−ξ2 e−ξωnt sin (ωn √ 1−ξ2t + α) ωn: pulsaci´on nat. ξ: coef. amort. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t Respuesta impulsional ϕ s 1 s 2 im re ωn ξω n α 161
- 179. 7. Linealizaci´on a) Casomonovariable. ˙x = f(x(t), u(t), t), x ∈ R, u ∈ R Soluci´on {x0(.), u0(.)} (equilibrio). Perturbamos: x(t) = x0(t) + δx(t), u(t) = u0(t) + δu(t) Suponemos que (δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i 1 Derivando respecto a t, ˙x(t) = ˙x0(t) + ˙δx(t) tenemos que ˙δx(t) = ˙x(t) − ˙x0(t) f(.) lisa ⇒ Desarrollo Taylor: f(x, u, t) = f(x0, u0, t) + fxδx + fuδu + o(δx, δu) ˙x − ˙x0 = fxδx + fuδu + o(δx, δu) ˙δx = Aδx + Bδu + o(δx, δu) en donde A = fx(t) = ∂f ∂x ˛ ˛ ˛ ˛ x0,u0 , B = fu(t) = ∂f ∂u ˛ ˛ ˛ ˛ x0,u0 b) Caso multivariable f(.), x(.), u(.): vectores. ⇒ fx(.) y fu(.): jacobianos de f(.) resp. de x y u Jx0 = ∂f ∂x ˛ ˛ ˛ x0,u0 = 0 B @ ∂f1 ∂x1 . . . ∂f1 ∂xn . . . . . . . . . ∂fn ∂x1 . . . ∂fn ∂xn 1 C A x0,u0 Ju0 = ∂f ∂u ˛ ˛ ˛ x0,uo = 0 B @ ∂f1 ∂u1 . . . ∂f1 ∂un . . . . . . . . . ∂fn ∂u1 . . . ∂fn ∂un 1 C A x0,u0 De donde ˙δx = fxδx + fuδu (9.1) o bien ˙¯x(t) = A(t)¯x(t) + B(t)¯u(t) en donde ¯x(t) = δx(t), ¯u(t) = δu(t), A(t) = fx(t), B(t) = fu(t) Las matrices A(t) y B(t) (jacobianos) son funcio- nes de tiempo si la soluci´on de la ecuaci´on diferen- cial no es constante. 162
- 180. • Ejemplo. Dep´osito qt( ) a t( ) h t( ) Area A1 Elemento – masa m: Ep = mgh(t) = 1 2 mv(t)2 = Ec, ⇒ velocidad de salida v(t) = p 2gh(t). Caudal de salida: q(t) = a(t)v(t) = a(t) p 2gh(t) Pero caudal = variaci´on de volumen, q(t) = d dt A1h(t) = A1 dh dt Igualando, dh dt = 1 A1 a(t) p 2gh(t) Punto de funcionamiento (o estado de equilibrio) a0, h0: valores de equilibrio de (a(t), h(t)). x(t) := h(t)−h0 y u(t) := a(t)−a0 : “peque˜nos” incrementos. f(h, a) = 1 A1 a(t) p 2gh(t), Derivando f respecto de h, tenemos ∂f ∂h ˛ ˛ ˛ ˛ ho,a0 = 1 A1 2ga 2 √ 2gh ˛ ˛ ˛ ˛ ho,a0 = ga0 A1 √ 2gh0 := A, y, derivando f respecto de a, ∂f ∂a ˛ ˛ ˛ ˛ ho,a0 = 1 A1 p 2gh0 := B. Modelo linealizado en h0, a0: ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Hemos supuesto (impl´ıcitamente) que no hay p´erdidas de energ´ıa por rozamiento. 163
- 181. 8. Respuesta defrecuencia EU(s) G(s) EY (s) G(s) = b(s) a(s) estable Entrada sinusoidal: u(t) = sin ωt L −→ U(s) = ω s2 + ω2 ⇒ ω s2 + ω2 G(s) = Y (s) Y (s) = k0 s − iω + ¯k0 s + iω + k1 s − s1 + k2 s − s2 + . . . + kn s − sn s1, . . . , sn: ra´ıces (sup. simples) de a(s); k0, ¯k0, k1, . . . , kn: res´ıduos de Y (s). y(t) = k0eiωt + ¯k0e−iωt + K1es1t + K2es2t + . . . + Knesnt yss(t) → 0 yss(t) = M sin(ωt + φ) M = |G(iω)| , φ = arg G(iω) 164
- 182. 8.1. Diagrama deNyquist Es un gr´afico en C de la funci´on G : R → C ω → G(iω) M´etodos: • Manual – tabla de valores G(s) = 1 s + 1 M = |G(iω)| φ = arg G(iω) ω M φ 0.0 1.000 0.0 0.5 0.894 -26.6 1.0 0.707 -45.0 1.5 0.555 -56.3 2.0 0.447 -63.4 3.0 0.316 -71.6 5.0 0.196 -78.7 10.0 0.100 -84.3 • Con Matlab: [M,phi] = nyquist(num,den,w) 165
- 183. 8.2. Criterio deNyquist Sirve para averiguar si un sistema con realimentaci´on, de la forma E j U(s) Y (s) E G(s) E H(s) T ' r es estable o no, conociendo el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) y el n´umero de polos en C+ de G(s)H(s). • Principio del argumento Sea f : C → C anal´ıtica en todos los puntos –excepto en un n´umero finito de polos– de un dominio D y en todos los puntos de su contorno δ, y sean Zf y Pf los n´umeros de polos y de ceros, respectivamente, de f(z) en D. Entonces Zf − Pf = 1 2π ∆ s∈γ arg f(z) 166
- 184. E T Plano z Principiodel argumento E TPlano f(z) E T Plano s Criterio de Nyquist E T −1 Plano G(s)H(s) 167
- 185. • Criterio deestabilidad de Nyquist G(s) = nG dG , H(s) = nH dH , G(s)H(s) = nG nH dG dH T(s) = G(s) 1+G(s)H(s) = nG dG 1+ nG nH dG dH = nG dH dG dH +nG nH F(s) = 1 + G(s)H(s) = 1 + nG nH dG dH = dG dH +nG nH dG dH polos de T(s) ≡ ceros de F(s) polos de G(s)H(s) ≡ polos de F(s) Aplicamos el principio del argumento a F(s): 1 2π ∆ s∈γ arg F(s) = ZF − PF = PT − PGH Criterio de Nyquist: PT = PGH + 1 2π ∆ s∈γ arg F(s) No polos de T(s) en C+ = No de polos de G(s)H(s) en C+ + No de vueltas de G(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j) 168
- 186. • Ejemplo 1 −2−1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 Plano s −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Plano G(s)H(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2) , H(s) = 2 Polos de G(s)H(s) = {−1, −2} PT = PGH + 1 2π ∆ s∈γarg F(s) = 0 + 0 = 0 T(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) es estable. 169
- 187. • Ejemplo 2 −2−1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 Plano s −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Plano G(s)H(s) G(s) = 5 s3 + 5s2 + 9s + 5 , H(s) = 1 Polos de G(s)H(s) = {−2 + i, −2 − i, −1} PT = PGH + 1 2π ∆ s∈γarg F(s) = 0 + 0 = 0 T(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) es estable. 170
- 188. • Ejemplo 3 −2−1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 Plano s −2 −1.5 −1 −0.5 0 −1 −0.5 0 0.5 1 Plano G(s)H(s) G(s) = 5 s4 + 4s3 + 4s2 − 4s − 5 , H(s) = 2 Polos de G(s)H(s) = {−2 + i, −2 − i, −1, 1} PT = PGH + 1 2π ∆ s∈γarg F(s) = 1 + 1 = 2. T(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) es inestable. 171
- 189. • Ejemplo 4 −2−1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 Plano s −2 −1.5 −1 −0.5 0 −1 −0.5 0 0.5 1 Plano G(s)H(s) G(s) = 5 s4 + 4s3 + 4s2 − 4s − 5 , H(s) = 1.4(s + 0.95) Polos de G(s)H(s) = {−2 + i, −2 − i, −1, 1} PT = PGH + 1 2π ∆ s∈γarg F(s) = 1 − 1 = 0. T(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) es estable. 172
- 190. 8.3. Diagramas deBode Se compone de dos gr´aficos en R, asociados a la funci´on G : R → C ω → G(iω), que representan M(ω) y φ(ω). M´etodos: • Manual – l´apiz y regla • Con Matlab: bode(num,den,w) ωn=10 ζ=1/8 -40 dB/dec 173
- 191. 9. El lugarde las ra´ıces EU(s) j+ E k E G(s) s EY (s) 'H(s) T− G(s) = nG dG , H(s) = nH dH , k ∈ R G(S)H(s) = nG nH dG dH = Z(s) P(s) = K (s − z1)(s − z2) . . . (s − zm) (s − p1)(s − p2) . . . (s − pn) T(s) = kG(s) 1 + kG(s)H(s) = knG dG 1 + knG dG nH dH = k nG dH dG dH + k nG nH = k nG dH P(s) + k Z(s) = nT dT L.R. es el lugar geom´etrico, en C, de las ra´ıces de dT (s) al variar k en R+ 174
- 192. 9.1. Reglas parael trazado Z(S) P(s) = |s − z1|ejφz1 . . . |s − zm|ejφzm |s − p1|ejφp1 . . . |s − pn|ejφpn = |s − z1||s − z2| . . . |s − zm| |s − p1| . . . |s − pn| ejΣφi Ecuaci´on caracter´ıstica: P(s) + kZ(S) = 0 k Z(S) P(s) = −1 ⇐⇒ k |s − z1| . . . |s − zm| |s − p1| . . . |s − pn| ejΣφi = e±j(2k+1)π , k = 0, 1, 2, . . . 1. Condici´on ´angulo – trazado arg[kG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π 2. Condici´on de magnitud – c´alculo de k en cada punto k = |s − p1| . . . |s − pn| |s − z1| . . . |s − zm| ⇓ Reglas para el trazado 175
- 193. 9.2. Trazado porcomputador Ejemplo de trazado del lugar de las ra´ıces mediante MATLAB: G(s)H(s) = s + 1 s(s + 2)(s2 + 6s + 13) num=[1 1] den=conv([1 2 0],[1 6 13]) rlocus(num,den) -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 Eje Real EjeImag 176
- 194. Tema 10. Dise˜node Sistemas de Control continuos 1. Introducci´on Aplicaci´on en numerosos campos en tecnolog´ıa y ciencia. • pilotos autom´aticos en barcos o aviones • control teledirigido de naves espaciales • controles de posici´on y velocidad – m´aquinas herramientas • control de procesos industriales – robots • controles en autom´oviles – suspensi´on activa • controles en electrodom´esticos Desarrollo: Bajo coste y miniaturizaci´on de electr´onica. Objeto del dise˜no: controlador. Control: sistemas SISO y MIMO. Realizaci´on: componentes electr´onicos anal´ogicos – computador digital. 177
- 195. 2. Tipos decontroladores Dise˜no: determinar Gc(s) para conseguir un adecuado funcionamiento. Gc Gp H R(s) D(s) Y(s)ε Controlador Gc(s): P Proporcional : Gc(s) = Kp I Integrador : Gc(s) = 1 sTi D Derivativo : Gc(s) = sTd PID Gc(s) = Kp(1 + 1 sTi + sTd) • Realizaci´on de los controladores 178
- 196. P R R2 R1 Vi Vo V0 Vi = R1 + R2 R1 =Kp = R1 + R2 R1 I R1 R V C1 i Vo V0 Vi = − 1 sR1C1 ; Ti = sR1C1 D R1 R V C1 i Vo V0 Vi = −sR1C1; Td = sR1C1 179
- 197. • Controlador PID Kp 1 1 dsT isT ViVo Gc = V0 Vi = Kp 1 + 1 sTi + sTd Kp = R5 R4 , Ti = R2C2, Td = R3C3 R1V C 2 i Vo C3 R1 R4 R4 R4 R5 R1 R3 180
- 198. • Controladores deadelanto y de retraso de fase Gc = V0 Vi = Kc s − zc s − pc a) | zc || pc | adelanto de fase a) | zc || pc | retraso de fase R1 C R2 Vi Vo R1 R2 Vi Vo C a) b) Gc = Kc s−zc s−pc = 1+αTs α(1+Ts) Gc = Kc s−zc s−pc = 1+Ts 1+αTs α = R1+R2 R2 , T = CR1R2 R1+R2 α = R1+R2 R2 , T = R2C 181
- 199. • Controlador deadelanto-retraso con red pasiva R1 Vi Vo R2 C1 C 2 Gc = V0 Vi = (1 + αT1s)(1 + βT2s) (1 + T1s)(1 + T2s) donde α 1, β = 1/α, αT1 = R1C1, T2 = R2C2 y T1T2 = R1R2C1C2. 182
- 200. • Controlador deadelanto-retraso con amp. operacional R1 Vi C1 R2 C2 Vo Gc = V0 Vi = Kc s − zc s − pc = − C1(s + 1/R1C1) C2(s + 1/R2C2) • Eliminando R2 ⇒ controlador PI • Eliminando C2 ⇒ controlador PD 183
- 201. 3. Dise˜no enel lugar de las ra´ıces G(s) = 1 s2 Sistema marginalmente estable para cualquier K. 184
- 202. • Efecto dea˜nadir un cero Cero en z1 = (−2.5, 0); G(s) = s + 2.5 s2 Es como si z1 “tirase” del L.R. hacia s´ı, estabilizando el sistema. • Efecto de a˜nadir un polo Polo en p1 = (−2, 0); G(s) = 1 s2(s + 2) 185
- 203. Es como sip1 empujara al L.R., desestabilizando el sistema. 3.1. Dise˜no de un controlador de adelanto de fase El controlador es Gc(s) = Kc s − zc s − pc , |zc| |pc| (10.2) Dise˜no: hallar zc y pc para que el L.R. pase por un punto dado, definido a partir de las especificaciones de funcionamiento. 186
- 204. Ejemplo. Dado unsistema con G(s) = 1 s2 , H(s) = 1, (10.3) dise˜nar un controlador de adelanto de fase para conseguir las siguientes especifica- ciones de funcionamiento: Mp 0.2, Ts 4 s para = 2 % siendo ± la banda de tolerancia de error. 187
- 205. Resoluci´on. Para el sistemade 2o orden sabemos que Mp = e−ξπ/ √ 1−ξ2 ⇒ ξ = − ln(Mp) ln(Mp)2 + π2 = 0.456. Para t = 4τ tenemos que e−t/τ = e−4 = 0.0183 0.02. Por tanto, si ts = 4τ tenemos que para t ts se cumple que y(t) 0.02. ts = 4τ = 4 ξωn Sustituyendo, 4 = 4 0.456 ωn ⇒ ωn = 2.22. Por tanto, el punto s0 ∈ C correspondiente a las especificaciones dadas es: s0 = −ξωn ± iωn 1 − ξ2 = −1 ± 2i. Ahora el problema es calcular Gc(s) para que el L.R. pase por s0. 188
- 206. Ponemos el cerodel controlador en el punto zc = −1, bajo el punto s0 = (−1 ± 2i) por donde ha de pasar el L.R. re im -1-2-3-4-5 1 2 3 θ 90º 116.56º Raíz deseada p Por la condici´on de ´angulo, 90o − 2(116.56o ) − θp = −180o ⇒ θp = 38o , se deduce que el polo ha de ser pc = −3.6. Aplicando ahora la condici´on de m´odulo en el punto s = −1 + 2i resulta Kc = 8.1. 189
- 207. El lugar delas ra´ıces del sistema con controlador es El controlador dise˜nado es Gc(s) = 8.1 s + 1 s + 3.6 . 190
- 208. 3.2. Dise˜no deun controlador PID Ejemplo. Se trata dise˜nar un controlador PID para un sistema con Gp(s) = 1/s2 y H(s) = 1. Las especificaciones son las mismas en el ejemplo anterior. Mp 0.2, Ts 4 s para = 2 % siendo ± la banda de tolerancia de error. Resoluci´on. Como en el ejemplo anterior, el lugar de las ra´ıces ha de pasar por el punto s0 = (−1 ± 2j). La funci´on de transferencia del PID es Gc = Kp 1 + 1 sTi + sTd = Kp TdTis2 + Tis + 1 Tis = TdKp s2 + 1 Td s + 1 TdTi s = Kc (s − z1)(s − z2) s , con Kc = TdKp. 191
- 209. re im -1-2-3-4-5 1 2 3 θ 90º 116.56º Raíz deseada z2 M´etodosimple: (a) suponemos que los ceros z1 y z2 son reales, (b) ponemos el cero z1 bajo la ra´ız s0 deseada, (c) aplicando la condici´on de ´angulo, determinamos el otro cero, (d) aplicando la condici´on de m´odulo, hallamos Kp. 192
- 210. (a) z1 yz2 en el eje real. (b) z1 = −1 (c) Condici´on de ´angulo: 90o + θz2 − 3(116.56o ) = −180o , θz2 = 3(116.56) − 180o − 90o = 79.6952o ⇒ z2 = −1.3636. Con z1 y z2 ya podemos hallar Td, Ti y Kp: Kc s2 + 1 Td s + 1 TdTi s = Kc (s − z1)(s − z2) s ≡ Kc s2 + 2.3636s + 1.3636 s , siendo Kc = TdKp, de donde resulta Td = 1 2.3636 = 0.4231 s, Ti = 2.3636 1.3636 = 1.7333 s (d) Por ´ultimo, aplicando la condici´on de m´odulo, hallamos Kp. ( √ 12 + 22)3 2 (1.3636 − 1)2 + 22 = 2.750 = Kc ⇒ Kp = Kc Td = 6.5 193
- 211.
- 212. Control del balanceode una barra Dise˜no de un sistema de control para mantener una barra en posici´on vertical. x f θ y • Barra de longitud l y masa m • Movimiento en el plano xy • Fuerza f(t) horizontal • Desplazamiento x(t) de la base • Giro θ(t) de la barra ¿Es posible el control —sin feedback— de la barra? 195
- 213. Modelo matem´atico. 2aley de Newton : P = J d2θ dt2 f(t) θ(t) mg O J := l 0 x2 dm = l 0 x2 ρAdx = ρA l3 3 = 1 3 ρAl l2 = 1 3 m l2 f(t) l 2 cos θ(t) + mg l 2 sin θ(t) = J d2θ dt2 Linealizaci´on: cos θ 1, sin θ θ ⇓ 1 3 m l2 d2θ dt2 − mg l 2 θ(t) = l 2 f(t) ⇓ L d2θ dt2 − 3g 2l θ(t) = 3 2ml f(t) (s2 − 3g 2l )θ(s) = 3 2ml F(s) Modelo externo: θ(s) = 3 2ml s2 − 3g 2l F(s) Datos: g = 9.8, m = 1, l = 1 ⇒ polos : p1 = 3.834058, p2 = −3.834058. 196
- 214. Lugar de lasra´ıces. −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis ImaginaryAxis Sistema inestable o marginalmente estable con controlador P 197
- 215. Dise˜no de uncontrolador. Especificaciones: tp = 1 4 , Mp = 1 3 Sistema de segundo orden: Mp = e−ξπ/ √ 1−ξ2 ⇒ ξ = − ln(Mp) ln(Mp)2 + π2 = 0.403712 tp = π ωn 1 − ξ2 ⇒ ωn = π tp 1 − ξ2 = 10.301589 Polo del sistema: s0 = −ξωn ± i ωn 1 − ξ2 = −4.158883 ± 9.424777i Problema: hallar Gc(s) para que el L.R. pase por s0. 198
- 216. C´alculo de lospar´ametros de Gc(s). φp1φzcφp2φpc s0 p1p2zcpc ⇒ pc = −4 − 8.440951 = −12.440951 Condici´on de ´angulo: φzc − φp1 − φp2 − φpc = (2k + 1)π ⇒ φpc = 0.840410 rad =48.151970o Condici´on de m´odulo: K = |s0 − p1||s0 − p2||s0 − pc| |s0 − zc| = 156.425395 199
- 217. Tema 11. Dise˜node Automatismos Dise˜no con StateCharts va vr si sd x cilindro A Scope M 1 0 va vr Chart x(t) 0 1 3 x 2 sd 1 si 1 s 0 1 1 0 2 vr 1 va chart_1cil_doble_4e/Chart Printed 09−May−2005 12:07:20 I/ va=0; vr=0; D/ va=0; vr=0; R/ va=0; %retro. vr=1; A/ va=1; %avance vr=0; M sd si M 200
- 218. Implementaci´on con LD ON 0.00 R 20.03 si 0.04keep(11) IA 20.01 I 20.00 M 0.01 keep(11) AD 20.02 A 20.01 sd 0.05 keep(11) DR 20.03 D 20.02 M 0.01 keep(11) RI 20.00 A 20.01 g va 10.01 R 20.03 g vr 10.02 201
- 219. Simulaci´on estaci´on 1en Matlab vacio rearme pos c.i. v L R x T Scope v L R x P v L R x MV v L R x MH 0 Falta material v L R x E 0 Defecto 0 1 0 1 0 0 1 1 base vacio ci vA vP vT vE vMV vMH FM PD Chart v L R x A 202
- 220. estacion1s/Chart Printed 03−May−2005 18:20:38 S6a/entry:vT=0; % traslado atras S1/entry: vA=1; % avance AP S30/entry: PD = 1; S2/entry: vA=0; vP=1; % bajar VP S31/ % poner c.i. S2w/entry: vP=0; t0=t; S32/entry: PD = 0; S3/entry: vP=−1; % subir VP S3w/entry:vP=0; t0=t; % temporizador S4/entry: vA=−1; % retro. A S5/entry: vA=0; vT=1; % trasladar S6/entry: vT=−1; % traslado atras S0/ S7/entry: vE=1; % expulsar S9/entry: vMV=1; % bajar MV S8/entry: vE=−1; % expulsor atras exit: vE=0; S10/entry: vMV=0; S11/entry: vMV=−1; % subir MV S20/entry: FM = 1; S12/entry: vMV=0; vMH=1; % avance MH S21/entry: FM=0; vMV=−1; % subir MV exit: vMV=0; S13/entry: vMH=0; vMV=1; % bajar MV S14/entry: vMV=0; % cesar vacio ven S15/entry: vMV=−1; % subir MV S16/entry: vMV=0; vMH=−1; % retro MH exit: vMH=0; mh0 mv0 [ci==1] [ci==0] e0 a1 rearme p1 [ci==1] [tt0+5] p0 [tt0+5] a0 tr1 tr0 [base==1][base==0] e1 mv1 [vacio==1] [vacio==0] mv0 rearme mh1 mv1 mv0 203
- 221. Parte III. Automatizaci´onglobal 204
- 222. Tema 12. Nivelesde Automatizaci´on Esquema simple de una empresa Gestión Almacén deAlmacén de productos terminadosProducciónmaterias primas Finanzas MERCADO Compras Ventas Nivel productivo de automatiza- ci´on • Redes de comunicaci´on • Controladores • Actuadores • Sensores • Procesos Fases de automatizaci´on: Producci´on → Dise˜no → Gesti´on → Automatizaci´on total 205
- 223. Automatizaci´on producci´on –Software • CAD Computer Aided Design – m´aquinas herramientas • CAPP Computer Aided Process Planning – planificaci´on sistemas • PPS Planning Production System – optimizaci´on producci´on • MRP Material Requirement Planning – almac´en materias primas • CAM Computer Aided Manufacturing – equipos productivos • CNC Computer numeric control • NC Numeric control • SFC Shop Floor Control – almac´en → planta → pedidos • QC Quality Circle – mejora calidad – reducci´on costes • CAPC Computer Aided Production control – control producci´on • CAPM Computer Aided Production management – gesti´on producci´on • TMS Transportation Management System – gesti´on i/o productos 206
- 224. Pir´amide de Automatizaci´on ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e C´elula– Planta Baja Proceso – Campo Producci´on – Planta Factor´ıa G Sensor, Actuador, PID PLC, CNC, NC WS, PCC, PC MF, WS, PC, CAD/CAM, CAPP, etc. MF, WS, PC, Gesti´on SCADA Supervisory Control and Data Acquisition (de Control Supervisor y Adquisici´on de Datos). Software de captura de informaci´on de un proceso o planta. –an´alisis o 207
- 225. estudios –retroalimentaci´on ycontrol del proceso. • Generaci´on, transmisi´on y distribuci´on energ´ıa el´ectrica • Sistemas del control del medio ambiente • Procesos de fabricaci´on • Gesti´on de se˜nales de tr´afico • Gesti´on de abastecimiento de aguas • Sistemas de tr´ansito masivo • Supervisi´on y control de estaciones remotas Caracter´ısticas de SCADA: • Mostrar de forma inteligible las lecturas de medidas y de estado de la planta en las computadoras principales. • Permitir a los operadores controlar la planta de maneras predefinidas. 208
- 226. • Para restringirel acceso a las computadoras principales se suelen emplear consolas especiales conectadas con ellas en red. • El interfaz hombre-maquina de SCADA permite generalmente que los opera- dores puedan ver el estado de cualquier parte del equipo de la planta. • La interacci´on del operador con el sistema se realiza mayormente a trav´es de un sistema de alarmas. Las alarmas son condiciones anormales autom´ati- camente detectadas en el equipo de la planta que requieren la atenci´on del operador, y posiblemente su intervenci´on actuando adecuadamente sobre el proceso quiz´as guardando informaci´on importante y volviendo a ponerlo a funcionar suavemente. • Las computadoras principales de SCADA funcionan t´ıpicamente bajo un siste- ma operativo est´andar. Casi todos los programas SCADA funcionan en alguna variante de UNIX, pero muchos vendedores est´an comenzando a suministrar Microsoft Windows como sistema operativo. • Los sistemas de SCADA disponen generalmente de una base de datos distri- buida que contiene datos llamados puntos. Un punto representa un solo valor de la entrada o de la salida supervisado o controlado por el sistema. Los pun- tos pueden ser “duros” o “suaves”. Un punto duro representa una entrada real o salida conectada con el sistema, de mientras que uno suave es el resultado de operaciones l´ogicas y matem´aticas aplicadas a otros puntos duros y suaves. 209
- 227. • El interfazhombre-m´aquina de un sistema SCADA suministra un programa de dibujo para poder representar estos puntos. Las representaciones pueden ser tan simples como un sem´aforo en pantalla que represente el estado de un sem´aforo real en el campo, o tan complejas como una imagen de realidad virtual que representa la evoluci´on real de la planta. • En la pasada d´ecada la demanda de aplicaciones civiles de sistemas de SCADA ha ido creciendo, requiriendo realizar cada vez m´as operaciones autom´atica- mente. • Por otro lado, soluciones SCADA han adoptado una estructura distribuida, con posibilidad de adaptarse a los componentes de un sistema de control dis- tribuido (DCS) con m´ultiples RTUs o PLCs inteligentes, capaces de ejecutar procesos simples en modo aut´onomo sin la participaci´on de la computadora principal. • Los RTUs y PLCs actuales pueden programarse en los lenguajes de definidos en la norma IEC 61131-3, como el BFD (Function Block Diagram), lo que a los programadores de SCADA para realizar el dise˜no y puesta a punto de programas. Ello permite que algunos programas comunes (intercambio de datos, calidad, gesti´on de alarmas, seguridad, etc.) puedan ser realizados por los programadores de estaci´on principal y luego cargados desde ella en todos los aut´omatas. De este modo los requisitos de seguridad ahora se aplican al sistema en su totalidad, e incluso el software de la estaci´on principal debe resolver los est´andares de seguridad rigurosos para algunos mercados. 210
- 228. • Adem´as, elsoftware de la estaci´on principal realiza an´alisis de datos, an´alisis hist´oricos y an´alisis asociados a requisitos particulares de la industria para presentarlos a los operadores de la gesti´on de la empresa. • En algunas instalaciones los costes que resultar´ıan de fallar del sistema de control son extremadamente altos, pudiendo incluso perderse vidas humanas en algunos casos. • La fiabilidad de los sistemas de SCADA ha de estar garantizada para sopor- tar variaciones de temperatura, vibraciones, fluctuaciones de voltaje y otras condiciones extremas empleando a veces para ello hardware y canales de co- municaci´on redundantes. • Si un fallo se identifica r´apidamente, el control puede ser autom´aticamente asumido por el hardware de reserva y as´ı la parte averiada puede sustituirse sin parar el proceso. • La fiabilidad de tales sistemas se puede calcular estad´ısticamente. El tiempo calculado de fallo de algunos sistemas de alta calidad puede ser incluso de siglos. • Algunos sistemas SCADA utilizan la comunicaci´on por radio o por tel´efono. Esto abre nuevas posibilidades, impensables hace pocos a˜nos, a la automati- zaci´on industrial. • Indicadores sin retroalimentaci´on inherente: 211
- 229. Estado actual delproceso: valores instant´aneos Desviaci´on o deriva del proceso: Evoluci´on hist´orica y acumulada • Indicadores con retroalimentaci´on inherente (afectan al proceso, despu´es al operador): Generaci´on de alarmas; MHI (Interfaces hombre-m´aquina); Toma de decisiones: + Mediante operatoria humana; + Autom´atica (me- diante la utilizaci´on de sistemas basados en el conocimiento o sistemas expertos). etc. Aplicaci´on diferentes ´areas industriales: • Gesti´on de la producci´on (facilita la programaci´on de la fabricaci´on); • Mantenimiento (proporciona magnitudes de inter´es tales para evaluar y de- terminar modos de fallo, MTBF, ´ındices de Fiabilidad, entre otros); • Control de Calidad (proporciona de manera automatizada los datos necesarios para calcular ´ındices de estabilidad de la producci´on CP y CPk, tolerancias, ´ındice de piezas NOK/OK, etc; • Administraci´on (actualmente pueden enlazarse estos datos del SCADA con un servidor SAP e integrarse como un m´odulo m´as); 212
- 230. • Tratamiento hist´oricode informaci´on (mediante su incorporaci´on en bases de datos). Etapas de un sistema SCADA: Las etapas de un sistema de adquisici´on de datos comprenden una serie de pasos que van desde la captura de la magnitud a su postprocesado. 213
- 231. Molido de lamalta Uno de los primeros procesos en la elaboraci´on de la cerveza. La malta y el grano se pesan y se muelen seg´un la receta elegida. 214
- 232. Elaboraci´on de lacerveza Una vez molido el grano y obtenido el mosto, se bombea en grandes tinas y comienza el proceso. Aqu´ı vemos tres grandes tinas con sus tubos. 215
- 233. Embotellado La cerveza elaboradase embotella. Vemos el proceso de embotellado mostrando las identificaciones de lote y producto, la hora de inicio e informaci´on de alarmas. 216
- 234. Empaquetado Finalmente, la cervezaen botella se empaqueta en cajas. Aqu´ı, se ponen seis paquetes en cada caja. Las cajas se sellan y se cargan sobre las plataformas. 217
- 235. 1. Fabricaci´on inteligente IntellutioniHistorian: La importancia de transformar datos de fabricaci´on en inteligencia de planta. 218
- 236. El Desaf´ıo: Convertirdatos en conocimiento Hist´oricamente la fabricaci´on se ha identificado con la maquinaria ruidosa instalada en la planta baja, v´alvulas del vapor silbando y chimeneas humeando. Hoy, la fabricaci´on se ha convertido en uno de los sectores de informaci´on m´as intensivos del mundo. Junto con los productos que salen l´ıneas de empaquetado o se vierten a trav´es de tuber´ıas, el producto de las instalaciones fabriles, es una corriente cada vez mayor de datos se originan en el nivel de planta. Estos datos se utilizan para optimizar el inventario y la producci´on, mejorar cali- dad y consistencia del producto, para el correcto mantenimiento del equipo, y para asegurar que las plantas cumplen con las leyes ambientales, de seguridad y de salud. Para convertir el torrencial flujo de datos de las instalaciones de fabricaci´on actuales en conocimiento, las compa˜n´ıas deben poder capturarlo de un amplio n´umero de fuentes, juntarlo en un formato com´un, y ponerlo a disposici´on del software que puede interpretarlo, d´andole el significado y el valor. Por ejemplo, en una l´ınea de empaquetado con tres l´ıneas de llenado de botellas que genera datos sobre el estado de cada l´ınea, cuando esos datos se analizan al cabo de cierto tiempo se puede determinar el grado de paradas no programadas ocurridas en una determinada m´aquina. Esto lleva a unas mejores decisiones informadas sobre mantenimiento preventivo y a gastos de capital en equipo nuevo de la planta. Crear una ”planta inteligente”, sin embargo, requiere algo m´as que elaborar datos representativos e implementar aplicaciones para interpretarlos. La pieza de este rom- 219
- 237. pecabezas que hafaltado a muchos fabricantes hasta la fecha es un simple dep´osito central para los masivos vol´umenes de datos hist´oricos que emanan de los sistemas de operaciones a trav´es de la planta: un historiador de planta extensa. Estos historiadores de planta extensa pueden surtir estos datos a una amplia varie- dad de usos en los niveles operativo y de negocio de la empresa. Algunos historiadores de datos de planta extensa han estado ya en el mercado hace a˜nos, pero se han considerado demasiado costosos y complejos para casi todas las instalaciones de fabricaci´on corrientes, excepto para las m´as grandes, tales como ciertas operaciones de proceso continuo como las industrias qu´ımicas y las refiner´ıas de petr´oleo. 220
- 238.
- 239. Tema A. Ecuacionesdiferenciales 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden La ecuaci´on diferencial dx dt = ax(t), a = constante (A.4) es una de las m´as simples. Dice: ∀t la ecuaci´on x (t) = ax(t) es cierta. Soluciones: son las funciones u(t) que verifican la ecuaci´on diferencial (A.4). En este caso es f´acil hallarlas: • f(t) = k eat es una soluci´on de (A.4) ya que f (t) = a k eat = a f(t) • No hay m´as soluciones: sea u(t) una soluci´on cualquiera. Entonces d dt u(t) e−at = u (t) e−at + u(t) (−a e−at ) = a u(t)e−at − u(t) a e−at = 0 ⇒ u(t) e−at = cte. ⇒ u(t) = cte. eat Hemos probado la existencia y unicidad de la soluci´on de (A.4). 222
- 240. 1.1. Problema decondiciones iniciales (PCI) x(t) = k eat soluci´on de (A.4), a dada k queda determinada si nos dan el valor x0 de x(t) en t0: x(t0) = k eat0 = x0 ⇒ k = e−at0 x0; si t0 = 0 entonces k = x0. Por tanto, la ecuaci´on diferencial x (t) = a x(t) tiene una ´unica soluci´on que cumple la condici´on inicial x(t0) = x0 Problema de condiciones iniciales: Dadas x (t) = a x(t) x(t0) = x0 (A.5) hallar la soluci´on u(t) que pasa por x0. 223
- 241. 2. Estudio cualitativo Elproblema de condiciones iniciales es el que m´as interesa en las aplicaciones de ingenier´ıa. Pero s´olo estudia una soluci´on. ¿Hay alguna forma de estudiar todas las soluciones a la vez? PCI: x (t) = a x(t) x(t0) = x0 Soluci´on: x(t) = x0 eat a 0 ⇒ l´ım t→∞ x0eat = ∞ a = 0 ⇒ x(t) = cte. a 0 ⇒ l´ım t→∞ x0eat = 0 El signo de a es crucial para el comportamiento de la soluci´on. 224
- 242. ¿Qu´e ocurre sise perturba el par´ametro a? E T x0 t x a 0 E T x0 t x a = 0 E T x0 t x a 0 • a = 0 : el comportamiento no cambia al perturbar a • a = 0 : cambio radical a = 0 es un punto de bifurcaci´on en la familia de ecuaciones diferenciales {x = a x, a ∈ R} 225
- 243. 3. Orden deuna ecuaci´on diferencial (a) sistema orden 1 : x = f(t, x) | t, x ∈ R, f : R × R → R orden 2 : x1 = f1(t, x1, x2) x2 = f2(t, x1, x2) t, x1, x2 ∈ R f1, f2 : R × R2 → R ... orden n : x = f(t, x) | t ∈ R, x ∈ Rn, f : R × Rn → Rn (b) ecuaci´on x(n) = F(t, x, x , x , . . . , x(n−1)) orden = n´umero n de ecuaciones en (a) = orden de la derivada de orden m´aximo en (b). Con x = x1, x = x2, x = x3, . . . , x(n−1) = xn se pasa de (b) a (a). Si la ecuaci´on diferencial (a) es de la forma x = f(x) i.e. no depende expl´ıcitamente de t, entonces se llama sistema aut´onomo. 226
- 244. 4. Interpretaci´on geom´etrica dx dt= f(t, x) asigna a cada punto (t, x), un n´umero: la pendiente. f : R2 → R (t, x) → dx dt = pendiente −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 t x(t) x(0) 227
- 245. 5. Sistemas de2o orden La ecuaci´on diferencial dx dt = f(t, x), t ∈ R, x ∈ R2 , f : R × R2 → R2 es de segundo orden. Tambi´en puede escribirse como un sistema dx1 dt = f1(t, x1, x2) dx2 dt = f2(t, x1, x2) t, x1, x2 ∈ R f1, f2 : R × R2 → R2 de dos ecuaciones de primer orden; se llama sistema de segundo orden. • Interpretaci´on geom´etrica A cada punto (t, x1, x2) ∈ R3 le asociamos el vector (f1, f2). Si el sistema es aut´ono- mo (no depende de t), entonces es en R2. 228
- 246. 6. Soluci´on num´erica Obtenersoluciones u(t) expresadas por funciones elementales de x (t) = f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn , es a veces dif´ıcil o imposible, incluso si n = 1. En esos casos procede hacer un estudio cualitativo, la interpretaci´on geom´etrica o hallar la soluci´on num´erica Soluci´on num´erica: tabla de valores de la soluci´on u(t) del PCI. t u1 u2 . . . un −10 −3 −1.1 . . . 0.2 ... ... ... ... 0 ... 10 Tabla → representaci´on gr´afica Obtenci´on: • algoritmo: Euler, Runge-Kutta, etc. • del gr´afico de pendientes (i. geom.) • gr´aficamente: quebradas de Euler 229
- 247. 7. Soluci´on num´ericacon Matlab M´etodos: • ode23 • ode45 • Simulink ode23 y ode45 implementan m´etodos num´ericos de Euler, Runge-Kutta, etc. Para hallar la soluci´on del PCI x (t) = f(t, x) x(0) = x0 t ∈ R, x ∈ Rn hemos de hacer dos cosas: • archivo .m de Matlab para describir la funci´on • llamada a ode23 230
- 248. Para un PCIde 2o orden, en el archivo f_prueba.m, pondremos function xp = f_prueba(t,x) xp = zeros(2,1) % indica el orden n = 2 xp(1) = f1(x(1),x(2),t) xp(2) = f2(x(1),x(2),t) en donde f1 y f2 vendr´an dadas. Para hacer la llamada a ode23 o a ode45 escribiremos: x0 = [a; b]; % condiciones iniciales (dadas) t0 = 0; % es lo normal tf = tiempo final; [t,x] = ode23(@fprueba, [t0,tf], x0) plot(t,x) % respuesta temporal plot(x(:,1),x(:,2)) % phase portrait en la ventana de comandos de Matlab o en un archivo .m. 231
- 249. Ejemplo. Sistema mec´anico f(t) m k b f(t)− k x(t) − b x (t) = m x (t) Cambios: x1 = x, x2 = x ⇒ x1 = x2 x2 = − k mx1 − b mx2 + 1 mf Soluci´on num´erica: • Archivo f mkb.m function xp = f mkb(t,x) xp=zeros(2,1);f=1;m=1;k=2;b=1; xp(1)= x(2); xp(2)=-k/m*x(1)-b/m*x(2)+1/m*f; • Llamada a ode23 x0=[0;1]; t0=0; tf=10; [t,x]=ode23(’f mkb’,[t0,tf],x0) plot(t,x),title(’Resp. temp.’) plot(x(:,1),x(:,2)), title(’Mapa fase’) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Respuesta temporal 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Mapa de fase x(0) • Interpretaci´on geom´etrica Sistema mec´anico (m, k, b): x1(t) = x2(t) x2(t) = − k m x1(t) − b m x2(t) + 1 m f(t) 232
- 250. −1.5 −1 −0.50 0.5 1 1.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Campo vectorial x(0) Con Matlab es posible superponer el cam- po de vectores (interpretaci´on geom´etrica) y la soluci´on num´erica: m=1; k=2; b=1; f=1; [X1,X2]=meshgrid(-1.2:0.2:1.2); U1 = X2; U2 = -k/m*X1-b/m*X2+1/m*f; M = sqrt(U1.^2 + U2.^2); V1 = ones(size(M))./M .* U1; V2 = ones(size(M))./M .* U2; quiver(X1,X2,V1,V2),axis square 233
- 251. 7.1. M´etodo deKelvin Teorema. z(t) es una soluci´on del P.C.I. x (t) = f(t, x) x(0) = x0 (1) si y s´olo si z(t) = x0 + t t0 f(s, z(s))ds. (2) Demostraci´on. z(t) soluci´on de (1) ⇒ z (t) = f(t, z(t)) ⇒ t t0 z (s)ds = t t0 f(s, z(s)) ⇒ z(t) − z(0) = t t0 f(s, z(s) ⇒ z(t) = x0 + t t0 f(s, z(s). z(t) verifica (2) ⇒ dz dt = f(t, z(t)). ⇒ z(0) = x0 + t0 t0 f(s, z(s))ds = x0. 234
- 252. Idea de Kelvin:construir un integrador f´ısico (mec´anico) y realizar f´ısicamente (mec´anicamente) el esquema Ex(t)r 'f Ex (t) x0 E ' t Muchas veces en los sistemas de control 235
- 253. Tema B. Realizaci´ondel control Realizaciones • Realizaci´on matem´atica lineal de orden n. Dada G(s) ∈ R(s)p×q, hallar A, B, C, D, tales que el sistema ˙x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t), con A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×q, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×q, tenga por matriz de transfe- rencia G(s). Se llama realizaci´on minimal si el n´umero entero n es el menor que puede encontrarse. Las m´as simples son las llamadas realizaciones can´oni- cas: controlador, observador, controlabilidad y observabilidad. • Realizaci´on anal´ogica. – modelo – circuito electr´onico • Realizaci´on digital. – programa (Matlab, Simulink, C++, Java, etc.) • Realizaci´on f´ısica. – prototipo – fabricaci´on 236
- 254. 1. Realizaci´on f´ısica EEntradam+ E C E A E P r ESalida 'S T− P Planta o proceso a controlar. –fijo –dado A Actuador. –potencia suficiente para ”mover”la planta S Sensor. –adecuado a la se˜nal de salida C Controlador. –PID –adelanto/retraso –anal´ogico/digital • En el caso lineal los bloques son funciones de transferencia • Diferentes tecnolog´ıas: neum´atica, el´ectrica, electr´onica • Los bloques A y S son (pr´acticamente) constantes • Problema de dise˜no: Dada la planta P, hallar C para que el sistema funcione de forma adecuada (especificaciones). 237
- 255. 2. Actuadores Actuador: dispositivoque ejerce acciones de cierta ponencia. Transforma energ´ıa: el´ectrica → el´ectrica – el´ectrica → mec´anica – etc. 2.1. Tipos de actuadores Actuadores hidr´aulicos – potencia alta • Principio de Pascal – aceite especial – 200 bar – 0.25 l/s • Cargas mayores de 6 o 7 Kg • Control: servov´alvulas (con motor) – controlan el flujo de fluido Actuadores neum´aticos – potencia baja – control neum´atico • Cilindros - motores - movimientos r´apidos - poca precisi´on • fluido: aire – aire comprimido – 5 a 10 bar Actuadores el´ectricos • Motores el´ectricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso, brushless, etc. 238
- 256. 2.2. Otros actuadores •Rel´es – automatismos el´ectricos • Contactores • Arrancadores y Drivers para motores • Amplificadores electr´onicos de potencia 2.3. Accesorios mec´anicos • M´aquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodi- llos, poleas, agitadores, vibradores, etc. • Poleas, cremalleras, pi˜nones: translaci´on → rotaci´on • Reductores de velocidad • M´aquinas complejas 239
- 257. 2.4. El motorde c.c. va(t) + − N S c φ c φ c ia(t)θ(t) 240
- 258. 2.5. Ecuaciones diferenciales va(t) + − vf(t) + − ea(t) Ra La Lf Rf E ia(t) ' if (t) ' φ(t) inductor: vf (t) = Rf if (t) + Lf dif dt inducido: va(t) − ea(t) = Ra ia(t) + La dia dt flujo magn´etico: φ(t) = kf if (t) par motor: Pm(t) = kt φ(t) ia(t) variables de rotaci´on: ω(t) = dθ dt α(t) = dω dt f.c.e.m.: ea(t) = ke φ(t) ω(t) carga mec´anica: Pm(t) − Pl(s) = Jm dω dt + Bmω(t) 241
- 259. 2.6. Modelo externo Transformadade Laplace con condiciones iniciales nulas: vf (t) = Rf if (t) + Lf dif dt L =⇒ Vf (s) = (Rf + s Lf )If (s) va(t) − ea(t) = Ra ia(t) + La dia dt L =⇒ Va(s) − Ea(s) = (Ra + s La)Ia(s) φ(t) = kf if (t) L =⇒ φ(s) = kf If (s) Pm(t) = kt φ(t) ia(t) L =⇒ Pm(s) = kt φ(s) Ia(s) ω(t) = dθ dt α(t) = dω dt L =⇒ ω(s) = sθ(s) α(s) = sω(s) ea(t) = ke φ(t) ω(t) L =⇒ Ea(s) = ke φ(s) ω(s) Pm(t) − Pl(t) = Jm dω dt + Bmω(t) L =⇒ Pm − Pl = s Jm + Bmω(s) Motor de c.c. controlado por inducido: φ = cte. Kt = ktφ , Ke = keφ EVa(s) m+ E 1 sLa + Ra E Kt E m+ E 1 sJm + Bm r Eω(s) 'Ke T− c Pl(s) Ia(s) Pm(s) Ea(s) 242
- 260. 2.7. Funci´on detransferencia del motor Y (s) = G(s) U(s) G(s) ∈ R(s)1×2 U(s) = Va(s) Pm(s) G(s) = G11 G12 Y (s) = ω(s) G11 = Kt (sLa + Ra)(sJm + Bm) 1 + KtKe (sLa + Ra)(sJm + Bm) = Kt s2LaJm + s(LaBm + RaJm) + RaBm + KtKe G12 = 1 (sJm + Bm) 1 + KtKe (sLa + Ra)(sJm + Bm) = sLa + Ra s2LaJm + s(LaBm + RaJm) + RaBm + KtKe ω(s) = G11 G12 Va(s) Pm(s) = G11Va(s) + G12Pm(s) 243
- 261. 2.8. Reductor develocidad 1 2 3 4 Pm Pl 1 : Pm(t) − P21(t) = J1 d2θ1 dt2 + B1 dθ1 dt L =⇒ Pm(s) − P21(s) = s (J1s + B1) θ1(s) 2 : P12(t) − P32(t) = J2 d2θ2 dt2 + B2 dθ2 dt L =⇒ P12(s) − P32(s) = s (J2s + B2) θ2(s) 3 : P23(t) − P43(t) = J3 d2θ3 dt2 + B3 dθ3 dt L =⇒ P23 − P21(s) = s (J3s + B3) θ3(s) 4 : P34(t) − Pl(t) = J4 d2θ4 dt2 + B4 dθ4 dt L =⇒ P34 − Pl(s) = s (J4s + B4) θ4(s) E Pm(s)
- 262.
- 263.
- 264.
- 265. + E 1 sJ4+B4 sE 1 s E θ4(s) 'D4 d3 T J3s+B3 T− s'D3 d2 T J2s+B2 T− s'D2 d1 T J1s+B1 T− c Pl P21 P12 ω1 P32 P23 ω2 P43 P34 ω3 ω4 244
- 266. 2.9. Funci´on detransferencia del reductor El diagrama de bloques puede reducirse a EPm(s) m+ E 1 sJr + Br Eω1(s) Kr Eω4(s) 1 s Eθ4(s) c Pl(s) 1 Kr c en donde Jr = d1 2 d2 2 d3 2 D2 2D4 2D3 2 J4 + d1 2 d2 2 D3 2D2 2 J3 + d1 2 D2 2 J2 + J1 Br = d1 2 d2 2 d3 2 D2 2D4 2D3 2 B4 + d1 2 d2 2 D3 2D2 2 B3 + d1 2 D2 2 B2 + B1 Kr = d1 d2 d3 D2 D3 D4 . Es un sistema de primer orden (para ω) o de segundo (para θ). 245
- 267. 2.10. Reductor conpoleas el´asticas E Pm(s)
- 268. + E 1 J1s+B1 E ω1(s)1 s s E θ1(s) c r1 c x1(s)
- 269.
- 270. + E 1 J2s+B2 E ω2(s)1 s s E θ2(s) T R2 T−x2(s) cT−P32(s) E Pl(s)
- 271. + 1 : f12(s)= K12(r1θ1(s) − R2θ2(s)) P21(s) = r1 f12(s) P12(s) = R1 f12(s) Pm(s) − P21(s) = s (J1s + B1) 2 : f23(s) = K23(r2θ2(s) − R3θ3(s)) P32(s) = r2 f23(s) P23(s) = R3 f23(s) P12(s) − P32(s) = s (J2s + B2) 3 : f34(s) = K34(r1θ3(s) − R2θ4(s)) P43(s) = r3 f34(s) P34(s) = R4 f34(s) P23(s) − P32(s) = s (J3s + B3) 4 : P34(s) − Pl(s) = s (J4s + B4) Es un sistema de orden 2 × no de poleas. Modelo externo: formula de Mason. 246
- 272. 2.11. Aplicaci´on pr´actica:sistema de control de posici´on Motor de c.c. Poleas Carrito C A S + − Vxr x(t) Entrada = Vx –control –referencia –consigna Salida = x(t) C Controlador = PID anal´ogico A Actuador = Amplificador de potencia P Planta = Motor c.c. + Poleas + Carrito S Sensor = Potenci´ometro 247
- 273. 3. Especificaciones defuncionamiento Son condiciones que se exigen a un sistema de control para que su funcionamiento sea aceptable. 1. Estabilidad 2. Rapidez 3. Precisi´on Las especificaciones de funcionamiento suelen expresarse por n´umeros que se definen a partir de • la respuesta en el tiempo • la respuesta en frecuencia Problema de dise˜no: dado una planta o proceso a controlar y fijadas unas especi- ficaciones de funcionamiento, obtener el modelo matem´atico de un controlador tal que el sistema de control resultante cumpla tales especificaciones. 248
- 274. 3.1. Especificaciones entiempo • Respuesta temporal: gr´afica de la se˜nal de salida. • Entradas de prueba: impulso de Dirac, escal´on unitario, funci´on rampa, fun- ci´on par´abola, etc. • Respuesta para entrada escal´on ⇒ revela especificaciones. Mp : estabilidad tp : rapidez error : precisi´on 249
- 275. • Valores parael sistema de 2o orden y(t) = 1 + 1 1 − ξ2 e−ξωnt sin(ωn 1 − ξ2t − φ), φ = arctan −ξ 1 − ξ2 y (t) = e−ξωnt −ξ2ωn 1 − ξ2 + ωn 1 − ξ2 sin(ωn 1 − ξ2t) = 0 ⇒ sin(ωn 1 − ξ2t) = 0 ⇒ t = kπ ωn 1 − ξ2 , k = 0, 1, 2, . . . Para k = 1 (primer m´aximo), tP = π ωn 1 − ξ2 ; y(tP ) = 1 + 1 1 − ξ2 e−ξωntp (− 1 − ξ2 cos π + ξ sin π) y(tp) = 1 + MP ⇒ Mp = e−ξπ/ √ 1−ξ2 • Otros valores tr = arctan(− 1 − ξ2/ξ) ωn 1 − ξ2 , ts 4 ξωn , 1 ξωn = constante de tiempo 250
- 276. 3.2. Especificaciones enfrecuencia Respuesta de G(s) con u(t) = A sin(ωt): yss(t) = M sin(ωt + φ), M = |G(jω)|, φ = arg G(jω) • Frecuencias de corte: ωA, ωB; -3 dB • Anchura de banda BW = ωB − ωA ⇒ rapidez • Ganancia en BW: constante ⇒ precisi´on • M´argenes de ganancia y fase ⇒ estabilidad No hay una relaci´on expl´ıcita entre las especificaciones en tiempo y en frecuencia. 251
- 277. 4. Estabilidad, controlabilidady observabilidad, sistemas lineales Sistema lineal S: modelo de estado A B C D ∈ R(n+q)×(n+p) ⇒ G(s) ∈ R(s)p×q • Estabilidad – G(s) – polos simples s1, s2, . . . , sn y(t) = k1es1t + k2es2t + . . . + knesnt Si alg´un si ∈ C+ ⇒ y(t) → ∞ – sistema inestable. • Controlabilidad: Q = [B AB A2B . . . An−1B] ∈ Rn×nq • Observabilidad: R = [C CA CA2 . . . CAn−1]T ∈ Rnp×n S controlable ⇐⇒ rank Q = n S observable ⇐⇒ rank R = n Si S es controlable y observable se puede realizar un feedback de estado para reubicar los polos de S, i.e., se puede S inestable state feedback −−−−−→ S estable 252