Clase 03 CDI

CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

DEFINICIONES Y NOTACIONES
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:
Dados dos conjuntos, A y B; una función de A en B, es una regla o ley que a cada elemento de A asigna un
único elemento de B.
SÍMBOLO
ELEMENTOS QUE LA
CARACTERIZAN
CONDICIONES A
CUMPLIR POR LA
LEY
REPRESENTACIÓN
Para nombrar una
función usamos una
letra (f, g, h, …)
Por costumbre,
usamos:
• Dos conjuntos:
A; B
• Una regla o ley de
asignación
• Asignar a cada
elemento de A un
único elemento de
B.
f
:f A B
x y
→
→

CONVENCIÓN DE NOMBRES Y SÍMBOLOS
:f A B→ Se lee f aplica A en B.
Al conjunto de partida ( A ) lo llamamos DOMINIO
Al conjunto de llegada ( B ) lo llamamos CODOMINIO
A los elementos del dominio o codominio los llamamos: VARIABLES

CONVENCIÓN DE NOMBRES Y SÍMBOLOS
Si y representa el valor obtenido de aplicar f a un x de A entonces:
lo llamamos
y
lo indicamos
imagen de x por f
( )y f x=
Símbolo que usamos para
enfatizar la función aplicada ( f ) y,
la variable elegida ( x )
f(x) se usa también para dar la ley de la función
La ley de f se puede dar a través de indicar como
se procede para obtener la imagen de f, para un
x genérico del dominio.
Si el dominio es finito, la ley de f se dar
indicando la imagen de x por f para cada uno de
los elementos del dominio
Indica que f actúa “duplicando” el
valor de x
( ) 2f x x=
   , ; 2,1
:
( ) 2
( ) 1
A a b B
f A B
f a
f b
= =
→
=
=

FORMAS DE INFORMAR FUNCIONES
ALGEBRAICAMENTE
NUMÉRICAMENTE
GRÁFICAMENTE
VERBALMENTE
2
( )
o o
y f t
y y v t at
=
= + +
t (min.) 0 5 10 15 20 25 30
τ (ºK ) 314.94 319.54 325.85 332.20 338.45 344.55 350.90
Juan, que es dueño de un negocio, comenta a su
vecino que dado el aumento del costo de vida va a
tener que aumentar en un 20% los precios de la
mercadería que vende. Agrega que la tarea va a ser
fácil ya que en la actualidad los precios son todos
valores enteros entre 5 y 15, excepto 10, ya que los
artículos de $10 los vendió todos
0.2n a ap p p= +

FORMAS DE VISUALIZAR FUNCIONES
APLICACIÓN
DIAGRAMAS DE
VENN
DIAGRAMAS DE
CORRESPONDENCIA
GRAFICOS
CARTESIANOS
:f A B→
DIAGRAMAS DE
MÁQUINA

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Llamamos gráfica de f al conjunto de todos
los pares ordenados cuya primera
componente es un elemento x del dominio y
su segunda componente, la imagen de x por
f es:
( )  ( ) graf , / , ( ) , ( ) /f x y x A y f x x f x x A=  = = 
Eje horizontal ↔variable independiente ↔dominio
Eje vertical ↔ variable dependiente ↔imagen

Si P pertenece a la gráfica de la
función f entonces, si su abscisa es a,
su ordenada es f(a)
( ), graf. . ( )P a b f a D f y b f a   =
Eje horizontal ↔dominio →
Eje vertical ↔imagen → b eje y
a eje x
Una curva plana C es el gráfico de una función de x si y solo sí
ninguna recta vertical corta a la curva en mas de un punto

Sea C = graf f; entonces:
• Dn = Proyección de C sobre el eje x.
• Im = Proyección de C sobre el eje y.

SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
La parte del gráfico que corresponde a
los valores negativos de x se refleja a
través del eje y sobre la parte que
corresponde a los valores positivos de
x.
f es simétrica respecto al eje y.
Función Par: Una función f se
dice que es par si y sólo si:
( ) ( ); ff x f x x D− =  

La parte del gráfico que corresponde a
los valores negativos de x se puede
obtener girando 180º alrededor del
origen, la parte correspondiente a los
valores positivos de x.
f es simétrica respecto al origen 0.
Función Impar: Una función f se
dice que es impar si y sólo si:
( ) ( ); ff x f x x D− = −  

✓Una función podrá ser par o impar si
y sólo si su dominio es simétrico
respecto del origen.
✓La función podrá ser impar si y solo
si f(0) = 0.
✓La propiedad de ser par o impar está
ligada a la simetría de la gráfica. Es
decir que si la gráfica no es
simétrica, la función no es par ni
impar.

MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Función Creciente: Decimos que
f es una función creciente en D,
si y sólo si:
1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )fx x D si x x entonces f x f x   

Función Decreciente: Decimos
que f es una función decreciente
en D, si y sólo si:
1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )fx x D si x x entonces f x f x   

➢Si ꓯ x1 < x2 resulta f(x1) < f(x2) entonces decimos que la función es
estrictamente creciente en D.
➢Si ꓯ x1 < x2 resulta f(x1) > f(x2) entonces decimos que la función es
estrictamente decreciente en D.
➢Cuando sólo queremos indicar que la función tiene un
comportamiento definido en D; o sea que en todo su dominio no
cambia el sentido en que se desarrolla, decimos que la función es
monótona en D.
➢La monotonía es una propiedad que depende del dominio.

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
DESPLAZAMIENTO VERTICAL.
Si sumas una constante k a una función de gráfica
conocida y = f(x), se produce un desplazamiento k
unidades hacia arriba de la gráfica de la función
original.
Si restas una constante k el efecto que produce es un
desplazamiento k unidades hacia abajo de la gráfica de
la función original.
( ) ( )g x f x k= + ( ) ( )g x f x k= −

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL.
Si sumas una constante k a la variable independiente x
de una función de gráfica conocida y = f(x), se produce
un desplazamiento k unidades hacia la izquierda de la
gráfica de la función original.
Si restas una constante k el efecto que produce es un
desplazamiento k unidades hacia la derecha de la
gráfica de la función original.
( ) ( )g x f x k= + ( ) ( )g x f x k= −

REFLEXIÓN VERTICAL.
Multiplicar una función por -1 es equivalente a cambiar
el signo de todas sus imágenes (valores de y). Con lo
cual obtenemos la simétrica de la señal original
respecto al eje de abscisas.
( ) ( )g x f x= −

REFLEXIÓN HORIZONTAL.
Dada una función f(x) su simétrica respecto al eje y se
obtiene cambiando x por –x en la representación
analítica de la original.
( ) ( )g x f x= −

EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN VERTICAL
Se puede expandir o contraer una función en el eje y
multiplicándola por un número k mayor que uno o
entre cero y uno respectivamente.
( ) ( )g x k f x= 
Si k > 1, la función se dilata en el eje y.
Si 0 < k < 1, la función se contrae en el eje y.

EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN HORIZONTAL
Se puede expandir o contraer una función en el eje x
multiplicándola por un número k.
( ) ( )g x f k x= 
Si k > 1, la función se contrae en el eje x.
Si 0 < k < 1, la función se expande en el eje x.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Según su Forma
Algebraicas
Función
Constante.
Función Lineal
Función
Cuadrática
Función Cúbica
Función Cuártica
Trascendentes
Trigonométricas
Logarítmicas
Exponenciales
Trigonométricas
Inversas
( )f x a=
( )f x mx b= +
2
( )f x ax bx c= + +
3 2
( )f x ax bx cx d= + + +
4 3 2
( )f x ax bx cx dx e= + + + +
( ) Sin( )f x x=
( ) log( ) 2f x x= +
1
( ) x
f x e −
=
( ) arcsin( )f x x=

Según su
Gráfica
Continuas
Discontinuas
( ) Sin( )f x x=
( ) Tan( )f x x=

Según su
Monotonía
Crecientes
Decrecientes

Según la relación
entre Dominio y
Contradominio
Funciones
Inyectivas
Funciones
Suprayectivas
Funciones
Biyectivas

OPERACIONES CON FUNCIONES
• Al operar algebraicamente con dos funciones f y g obtenemos las
siguientes funciones:
FUNCIÓN SUMA : ; ley ( ) ( ) ( )
FUNCIÓN RESTA : ; ley ( ) ( ) ( )
FUNCIÓN PRODUCTO : ; ley ( ) ( ) ( )
FUNCIÓN COCIENTE : / ; ley ( ) ( ) / ( )
S S f g S x f x g x
R R f g R x f x g x
P P f g P x f x g x
C C f g C x f x g x
• = + → = +
• = − → = −
• =  → = 
• = → =
n f gD D D=
 / ( ) 0n f gD D D x g x = − = 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
( )
( ); ( )
( )
y f u u g x
y f g x f g
= =
= =

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