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Matemática financiera
Autor: Jesús Mesa Oramas
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Presentación del curso
En este curso, a través de sus 14 clases se resumen los aspectos fundamentales
abordados por la Matemática Financiera, cuyos contenidos pueden agruparse en
los tres bloques siguientes: generalidades acerca de las finanzas que a partir de
su definición analiza la esfera de acción de esta disciplina así como los conceptos
y principios que la sustentan, un segundo grupo destinado a presentar los
métodos para las operaciones financieras que devengan interés, concluyendo con
una sección destinada a los métodos utilizados para cuantificar las operaciones
de renta y amortización de adeudos.

1. Generalidades sobre las finanzas
Las finanzas pueden definirse como la especialidad de las Ciencias Económicas
que se encarga del estudio de la disponibilidad de recursos así como la eficiencia
y eficacia en el manejo de éstos.
De la definición anterior se desprende el rol protagónico de esta disciplina como
puente entre la empresa y el entorno (mercados de activos y capitales), así como
el carácter dinámico y la dependencia temporal de su comportamiento, que
gráficamente puede representarse a través del flujo de tesorería, el cual se
muestra en la figura 1.
En correspondencia con todo lo expuesto, el papel del directivo financiero, es el
de actuar como un intermediario entre las operaciones de la empresa y el
entorno, por lo cual debe entender como actúan los mercados, lo que equivale a
comprender como serán valorados los activos en el transcurso del tiempo.
Por tanto, el trabajo de los especialistas en finanzas se encuentra encaminado a
brindar respuesta a las dos interrogantes siguientes:
- ¿Cuánto invertir y en qué?, cuya respuesta es la decisión de inversión.
- ¿Cómo conseguir los fondos para las inversiones?, que tiene como respuesta la
decisión de financiación.
De todo lo expuesto puede afirmarse que la elaboración de estrategias
financieras es «el arte de pronosticar el comportamiento de los flujos de recursos
financieros».

2. Conceptos generales
Riesgo. Es una condición desventajosa cuya tendencia es conocida, pues existen
antecedentes de donde se encuentran las dificultades y cual es el beneficio,
permitiendo la determinación de una probabilidad histórica.
Riesgo financiero. Es el riesgo de no estar en condiciones de cubrir los costos
financieros y est` asociado al crecimiento de los costos financieros fijos de la
empresa, a cambio de lo cual se obtiene un incremento superior al pronosticado
por el modelo lineal en las ganancias por acción.
Riesgo operativo. Es el riesgo de no estar en capacidad de cubrir los costos de
operación y está asociado al incremento de los Costos Fijos de la empresa, a
cambio de lo cual las utilidades antes de intereses e impuestos experimentan un
incremento superior al pronosticado por el modelo lineal con un incremento en
las ventas.
Incertidumbre. Es un caso particular de riesgo que ocurre cuando no se tienen
antecedentes históricos de las probabilidades de ocurrencia de eventos o
situaciones y por tanto no se puede determinar una probabilidad de ocurrencia
objetiva.
Costo de oportunidad. Rentabilidad del mercado de capitales a la que renuncia
para invertir en otra alternativa.
Mercado de capitales. Mecanismo a través del cual se puede transferir riqueza
a través del tiempo.

3. Principios Financieros y su impacto
Primer principio. Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad
monetaria mañana.
Este principio se fundamenta en dos hechos relevantes:
- Las unidades monetarias pueden entregarse al banco e incrementar el monto
inicial a través del interés obtenido como pago por la postergación de su empleo
por parte del propietario de esos recursos en otras transacciones de tipo
comercial o privadas.
- La políticas Macroeconómicas de los gobiernos, tienden a mantener una emisión
monetaria superior a sus ingresos, aunque sea en una escala moderada, como
consecuencia de los cual se presenta la inflación, que no es otra cosa que la
disminución en el transcurso del tiempo del poder adquisitivo de las unidades
monetarias.
Por tanto, este principio se refiere a la transferencia de riqueza en el tiempo, es
decir, al cambio de unidades monetarias del presente por unidades monetarias
del futuro.
Segundo principio. Una unidad monetaria segura vale más que una con riesgo.
Este principio se fundamenta en el hecho práctico de que la mayoría de los
inversionistas evitan el riesgo, cuando pueden hacerlo, sin sacrificar la
rentabilidad del negocio.
De lo expuesto puede afirmarse que este postulado, establece la necesidad de
transferir el riesgo. En la práctica, la materialización de este principio se lograr a
través de las instituciones del seguro, compra de opciones, etc.
Como resultado de estos dos principios en la estrategia financiera la selección de
proyectos de inversión se utiliza el criterio de que los índices de rentabilidad,
incluidos los pagos correspondientes al seguro sean iguales o superiores al
interés bancario alcanzado por el monto requerido para la inversión.

4. Recursos Financieros
Los recursos financieros pueden clasificarse atendiendo a diversos aspectos, pero
una forma de hacerlo muy importante es en correspondencia con la liquidez
(capacidad inmediata de pago) que representan.
Bajo este criterio pueden identificarse las siguientes cinco categorías:
- Efectivo (en caja o banco): es el recurso financiero que obviamente
proporciona la mayor liquidez. Tiene asociado el riesgo de la inflación y de las
variaciones en el tipo de cambio.
- Obligaciones de pago de corto plazo: ocupa el segundo lugar en términos
de liquidez y está constituido por los diferentes documentos que avalan la deuda
contraída con la entidad por personas naturales o jurídicas. Tiene asociado el
riesgo de la insolvencia de los deudores.
- Obligaciones de pago a largo plazo: ocupan el tercer lugar en cuanto a la
factibilidad de aportar liquidez, ya que la disponibilidad de esos recursos es más
distante que en el caso anterior. En este caso el riesgo existente, además de la
insolvencia (cuya probabilidad es superior al caso anterior ya que se requiere de
un mayor tiempo para efectuar el cobro) es la inflación y el tipo de cambio.
- Inventarios: Normalmente los inventarios se consideran los activos con mayor
inercia en el aporte de liquidez, atendiendo a que su venta mayorista puede
demorar bastante, al representar un monto elevado. No obstante, en esta
clasificación se ubican por delante de los activos fijos, atendiendo a que éstos
últimos se comercializan en su totalidad en el caso extremo de que la empresa
cierre por cualquier causa y no durante su operación cotidiana, donde es posible
que se reemplace una parte de los mismos. Tiene asociado el riesgo del
deterioro, el vencimiento y la obsolescencia, asumiendo una debida cobertura en
el seguro.
- Activos Fijos: ocupan el último lugar en los recursos financieros pues su
realización es la más demorada, ya que generalmente el monto de la transacción
es relativamente elevado. A este tipo de recurso se le asocia el riesgo de la
depreciación moral.
Tipos de obligaciones de pagos
Obligaciones. Son valores representativos de deuda que pagan un interés que
se calcula usando un procedimiento determinado desde la emisión del título.
Bonos. es una obligación en la cual se hace constar que una sociedad anónima
se compromete a pagar una suma determinada en una fecha fija, y al abono de
intereses sobre su valor nominal al porcentaje que el documento indique.
Acciones. Parte alícuota del capital, valor de renta variable, tiene un valor de
vencimiento de la inversión desconocido e incierto
Letra de cambio. Es un Título de Crédito, mediante la cual una persona
(Librador) manda a pagar a su orden o a la de otra persona (Tomador o
Beneficiario) una cantidad determinada en una cierta fecha a una tercera

persona (Librado).
Pagaré. Es un título de valor muy similar a la letra de cambio utilizado
generalmente para obtener recursos financieros, mediante el cual una persona
natural o jurídica se compromete a pagar a otra o a su orden una determinada
cantidad de dinero en una fecha acordada previamente.

5. Interés (I)
Conceptos fundamentales
Préstamo. Operación financiera mediante la cual una persona natural o jurídica
(acreedor o prestamista) entrega a otra (deudor o prestatario) una cierta
cantidad de recursos monetarios (deuda u obligación) para su utilización.
Principal (P). Cantidad de recursos monetarios con que se inicia una operación.
Monto o Valor Final (M). Es la cantidad total de recursos monetarios que debe
entregar el deudor al acreedor de un principal al término de una operación.
Interés (I). Cantidad adicional al Monto del Préstamo que el deudor entrega al
acreedor por el uso de los recursos monetarios de éste durante el tiempo
pactado.
Interés comercial u ordinario. Utiliza como base de tiempo el año comercial
de 360 días (12 meses de 30 días), para referir los plazos de interés.
Interés real o exacto. Utiliza el año calendario de 365 días (366). En este tipo
de operación para el cálculo del tiempo se excluye del cómputo el día en que se
inicia la operación (fecha inicial o de otorgamiento) o el día en que la operación
concluye con la devolución del principal (fecha final o de vencimiento). Cuando
no se especifica se asume el interés comercial u ordinario.
Plazo o tiempo de imposición (T). Tiempo convenido para la liquidación de la
deuda, el cual se considera dividido en una cierta cantidad de intervalos de
tiempo (t) unitarios.

6. Interés Simple (II)
Interés Simple (ls). Se define como la magnitud Is que se obtiene de la
siguiente expresión donde:
i: tasa de Interés Simple.
t: cantidad de intervalos unitarios de tiempo que durará la operación.
Como consecuencia de la definición anterior se cumple que el Interés Simple
devengado en cualquier periodo de tiempo es el mismo.
Tasas equivalentes. Dos o más tasas son equivalentes si aplicadas a un mismo
principal (P) durante la misma cantidad de intervalos de tiempo unitarios (t)
producen el mismo interés (I).
Monto Simple (Ms). Es el monto de un principal cuando el interés es obtenido
por el Método Simple. Matemáticamente viene dado por la siguiente ecuación:
Función Interés Simple (Is(t)). Es una función que expresa la relación entre
el Interés Simple y el tiempo.
Función Monto Simple (Ms(t)). Es una función que expresa la relación
existente entre el Monto Simple y el tiempo.
La representación gráfica de las funciones Monto e Interés Simple se muestra en
la siguiente figura.

7. Interés Compuesto (III)
Intervalo de acumulación. Intervalo de tiempo, considerado unitario, al final
del cual el Interés Simple devengado se incorpora a la suma que devengará
intereses en el próximo intervalo.
Interés Compuesto (lc). Es el interés devengado por un principal P a la tasa de
interés i durante t intervalos de acumulación. Matemáticamente la magnitud de
Ic viene dada por la siguiente expresión, donde los símbolos tiene el mismo
significado que en el Interés Simple:
Tasas de Interés Compuesto. Es la tasa de interés simple a la cual se calcula
el interés correspondiente a cada intervalo de acumulación. En este caso si se
conoce in, entonces:
- El plazo de la operación se considera dividido en t intervalos de acumulación de
1/n años.
- Los intereses se acumulan n veces cada año a la suma que devenga intereses.
- Cada unidad monetaria impuesta en un intervalo de acumulación devenga i
unidades monetarias como interés en dicho intervalo.
Tasa efectiva (in). Tasa de Interés Compuesto que describe la acumulación real
de los intereses de una operación financiera dada.
Tasa nominal anual (jn). Es la tasa proporcional a la cual se enuncia in y se
calcula mediante la expresión jn=nin.
Tasa efectiva anual (i1). Tasa de Interés Compuesto que describe la
acumulación real de los intereses de una operación financiera dada en el periodo
de un año. La relación entre la tasa efectiva anual y la tasa efectiva, viene dada
a través de la siguiente expresión:
Tasas compuestas equivalentes. Dos tasas de Interés Compuesta son
equivalentes si se cumple que , donde m y n representan la cantidad respectiva
de intervalos de acumulación pactados en la operación.

8. Interés Continuo (IV)
Interés Continuo (lcc). Es el Interés Compuesto devengado por un principal P
a la tasa de interés i cuando el número de períodos de acumulación (m) es muy
grande y puede suponerse infinito.
Monto Continuo (Mcc). Es el monto de un principal cuando el interés es
obtenido por el Método Continuo.
Matemáticamente, la expresión para Mcc puede deducirse transformando la
expresión de Mc convenientemente.
Se un Principal P colocado a la tasa efectiva anual i con m periodos de
acumulación anual durante n años. Entonces se cumple que el valor de Mcc
puede obtenerse a través de fórmula
El cálculo de Icc puede realizarse directamente restando a la expresión de Mcc el
principal P. Por tanto, Icc viene dada por:
No obstante, queda indeterminado en la práctica cuando puede considerarse m
grande y cual es la interpretación del Tipo de Interés Continuo. En la práctica, el
Interés Continuo puede interpretarse como un Tipo de Interés Compuesto en el
cual el periodo de acumulación de los intereses es diario.

9. Valor Actual y Descuento
Valor Actual o real (V). Se define como la suma con la cual se liquida una
operación en la fecha de evaluación o vencimiento, que matemáticamente viene
dada a través de la siguiente expresión, donde las magnitudes que aparecen en
la misma tienen el significado que se explica a continuación:
Ck: cobro esperado en el periodo k.
rk: tasa de interés (descuento) del periodo de tiempo k. Es la compensación que
exige el inversor por un pago aplazado. También se denomina tasa de
rentabilidad, tasa mínima o Costo de Oportunidad.
Descuento. Consiste en la liquidación de una deuda o hacer efectivo un
documento mercantil que la representa, mediante el pago de su Valor Actual en
una determinada fecha de evaluación.
Elementos de una operación de descuento
- Valor Actual (V). Suma con la cual se liquida la operación en la fecha de
evaluación o de vencimiento.
- Valor nominal o monto (V). Valor Actual de la inversión o deuda en la fecha
de vencimiento pactada.
- Descuento (D). Interés que recibe como estímulo una persona natural o
jurídica que liquida con anticipación una deuda o inversión, o en hacer efectivo
un documento mercantil que la representa.
- Tasa de descuento (d). Tasa bajo la cual se calcula el descuento D.
- Tiempo de anticipo (ta). Intervalo de tiempo comprendido entre la fecha de
descuento y la fecha de vencimiento, que se considera dividido en t periodos de
tiempo. Por tanto, toda fecha en que se realiza un descuento es también fecha
de evaluación por calcularse el valor actual con que se liquida la operación dada,
el cual viene dado por V=M-D.

10. Rentas e imposiciones (I)
Definiciones fundamentales
Renta (R). Toda sucesión de abonos periódicos. Nótese que el concepto de renta
implica necesariamente periodicidad.
Término de una renta. Cada uno de los abonos que forman parte de la renta.
Periodo de renta. Intervalo de tiempo entre dos términos consecutivos.
Anualidades. Es un término de una renta de periodo anual.
Fecha de convenio (fc). Fecha en que se concierta la renta.
Fecha inicial (fi). Fecha en que se inicia en primer periodo de una renta dada y
que puede coincidir o no con la fecha de convenio.
Fecha final (ff). Fecha en que termina el último periodo de una renta dada.
Plazo de una renta (T). Intervalo de tiempo entre la fecha inicial y final
(incluye ambas), el cual se considera dividido en t intervalos unitarios de tiempo,
considerándose como unidad el periodo de renta.
Imposición. Es un caso particular de renta que constituye un subconjunto del
conjunto de las rentas, en el cual cada término devenga interés (simple o
compuesto) desde la fecha de su abono hasta la fecha final.

11. Rentas e imposiciones (II)
Clasificación de las Rentas
Rentas eventuales, contingentes o vitalicias. Rentas cuyo comienzo y/o final
es incierto, dependiendo de algún acontecimiento probable, pero de fecha
indeterminada.
Rentas ciertas o fijas. Rentas cuyo comienzo y final están perfectamente
determinados y pueden clasificarse como se indica en la tabla siguiente.

12. Rentas e imposiciones (III)
Representación esquemática de las Rentas Fijas

13. Amortización (I)
Definiciones fundamentales
Amortización. Cualquier pago periódico o no destinado a reponer el principal de
una deuda.
Liquidación. Cualquier pago que incluye la amortización y el pago de intereses
de una deuda.
Fondo de Amortización. Cantidad de recursos monetarios que se acumulan con
el objetivo de amortizar una inversión o deudas a través de una imposición cierta
con tasa y plazos preestablecidos.
Término o cuota del Fondo de Amortización. Los abonos colocados a la tasa
del Fondo de Amortización y cuyo monto se corresponde con el deuda que se
desea amortizar.

14. Amortización (II)
Métodos de liquidación de adeudos con pago único
a) Amortización con pago único del adeudo y los intereses
En este método en la fecha de vencimiento se abona el monto de la operación
(M) dado por M = D + I, donde, D representa el adeudo a liquidar e I el interés a
pagar.
b) Amortización con pago único del adeudo y los intereses mediante
renta constante
En este método la liquidación del adeudo se realiza mediante el siguiente
procedimiento:
- En la fecha de vencimiento se amortiza el adeudo pagando D.
- Al final de cada periodo unitario se realiza el pago de los intereses devengados
durante el periodo.
c) Reconstitución del Principal
Es un procedimiento que se utiliza cuando el deudor que desea amortizar su
adeudo con un pago único en la fecha de vencimiento, pero no quiere realizar la
extracción íntegramente en ese momento, para lo cual acumula gradualmente la
suma necesitada en el Fondo de Amortización. La depreciación es un ejemplo de
este método, en cuya formación del fondo se utilizan los métodos que se
relacionan en la tabla siguiente.

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