Ecuaciones diferenciales ordinarias

 Facultad de Ciencias de Ingeniería

I. Indicar el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) ( ) [ ( ) ]
Solución:
2do Orden; 2do Grado.

b) *( ) +
Solución:
⁄
{* + }

⁄
{ [( ) ]}

⁄
{ ( ) * ( )+}
⁄
{ ( ) ( )}

⁄
{( ) ( )}
⁄
{ ( ) ( )}
⁄
{ ( ) ( ) }

⁄
( ) ( ) ( )

4to Orden; 1er Grado.

( ⁄ )
c) ∫ √
Solución:
1er Orden; Grado no definido.

( )
d)
Solución:

( )

, * +-

Análisis Matemático IV – “A”
1


( )
* ( ) +

* +

( )
( ) * ( ) ( )+

* +

4to Orden; 1er Grado.

II. Compruébese si la función dada es solución de la ecuaciones diferenciales correspondiente:

a)
[ ( ) ( )]
Solución:
Derivando con respecto a "x": la ecuación

( )

( )

( )

[ ( ) ( )]

* ( )+

( )
Reemplazando:

( ) ( )

Igualando:

( ) ( )

2


Si es solución de la ecuación diferencial

b) ( ) ( )
Solución:
Derivando con respecto a "x": la ecuación
( )

( )

( )

[ ( ) ]

( )
Reemplazandoenlaecuación: ( )

[ ][ ( ) ]
( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]


c) ( )
Solución:

Despejando

√

Derivando:

Reemplazando: ( )

( ) ( )

( ) ( )

3


( )
( )

No es solución de la ecuación diferencial

d)
Solución:
Derivamos la ecuación:

Pero:

Reemplazando en:

Reemplazando en la EDO:

( )


4


e) ∫ ( ) ( )
Solución:
Primer Teorema Del Cálculo:
( )
∫ ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]
( )

Derivando

*∫ ( ) + ∫ ( )

{ ( ) ( ) ( )} ∫ ( )

( ) ∫ ( )

( )
∫ ( )

Despejan la integral en:

∫ ( )

∫ ( )

Reemplazando en la primera derivada:
( )

[ ( )]

Ahora reemplazamos en la solución de la EDO: ( )
[ ( )]
, - ( )

[ ( )] ( )
( ) ( )


f) ( ) ( )
Solución:
Hallamos:

5


( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

( )

( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

( )

III. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes de las curvas en el plano
XY:

a) Circunferencias con radio fijo r y tangente al eje X:
Solución:

Nuestras condiciones:
( ) ( )
Acomodando:
( )

( ) ……………. (a)
Derivando implícitamente (a) y despejando k:

6


( ) …………….(b)
( )

Reemplazando:
( )
( ( ))
( )
( )

b) Todas las circunferencias.
Solución:
Se tiene la ecuación de todas las circunferencias( ) ( ) derivando
respecto a “x”
( ) ( )
Se tiene:
( )

( )
Se tiene:

( )

( ) ( )( )( )
( ) ( ) Ecuacion diferencias de todas las circunferencias

c) Las cónicas centrales con focales con a y b fijos.
Solución:

( )
d) Las estrofoides
Solución:
Ordenando:
( ) ( )
( ) ( ) ………………………….(a)
Derivada implícita
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ……………………………(b)
Despejando a de (a):

( )

7


Reemplazando en (b)
( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )

Despejando a de (b):

( )

( )

e) Las trisectrices de Maclaurin ( ( ) ( )) .
Solución:
( ( ) ( ))

Despejando a y derivando:

( ) ( ) ( )
( )
( ( ) ( ))
( )

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

( )( ( ) ( ))

Por lo tanto:

( )

8


IV. Determinar para que valores de “m”, cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
tiene soluciones de la forma:

a)
Solución:
Derivando y respecto a x

Reemplazando en la EDO
( )
( )

Restricción:

( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:

b)
Solución:


( )

Restricción:
( )
( )( ) ( )
( )


c)
Solución:

9



( )
( )( )

Restricción:
( )( )
( )


d)
Solución:

Reemplazamos en la Ec. Diferencial:

Factorizando
( )
( )( )
( )
( )


e)
Solución:

Reemplazamos en la Ec. Diferencial:

( )
( )( )( )
( )
( )

10



V. Determinar para que valores de “m” , cada una de las siguientes ecuaciones de la forma:

a)
Solución:

( )
Reemplazando:
[ ( ) ] [ ]
( )
[ ]
[ ]

( )( )

b)
Solución:

( )
Reemplazando:
[ ( ) ] [ ]
( )
[ ]
[ ]

( )( )

VI. Resolver:
a) Demuéstrese que si ( ) e ( ) son dos soluciones diferentes de la
ecuación , entonces ( ) ( ) también es una solución
siendo A y B constantes.
Solución:

11


b) Verifique que e son soluciones de la ecuación diferencial de (a) y, por
consiguiente, que también es una solución.
Solución:

c) Utilizando el resuelto de (b), determínese una solución de la ecuación diferencial que
satisfaga las condiciones ( ) , ( )
Solución:

d) Aplicar este ejercicio en (IV) y (V) para hallar una solución que tenga tantas constantes
como es el orden de la ecuación diferencial.
Solución:

e) Determínese una solución de las ecuaciones diferenciales dada en (IV - e) anterior, que
satisfaga las condiciones ( ) ( ) ( ) .
Solución:

VII. Obténgase la ecuación en derivadas parciales de primer orden que tenga como primitiva a:

a)
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.

b)
Solución:
respecto a Y.
( ) ( )

( )

c)
Solución:
respecto a Y.

12


√

Reemplazando:

√

d) ( )
Solución:
respecto a Y.
( )
( )

e) ( )
Solución:
respecto a Y.

VIII. Aplicando el método de las isóclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones
diferenciales ordinarias siguientes:
a)
Solución:
1)
( )

Familia de rectas
Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)

2) Determinar isóclinas particulares:

Si:
Si:

13


Si:
Si:
Si:

3) Los valores extremos:

4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:

(Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).

5) Analizando si una isóclina en una curva integral:

6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )

7) Grafico:

14


b)
Solución:
1)
( )

Familia de rectas
Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y
mín.)


Si:
Si:
Si:
Si:
Si:



( ) (Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).


( )
( )

7) Grafico:

15


c) ( )
Solución:
1)
( )
√
Puntos
Se: (punto)

√ [ 〉
Si:
Si:
Si: √
Si: √
Si:

( )


16


( )
( )( )
( )
(Punto).


( ) ( )
( )

7) Grafico:

d)
Solución:
1)
( )
√
Las graficas son:
Si c es positivo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “x”

17


Si c es negativo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “y”
Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y
mín.)

√
Si: √
Si: √
Si:
Si: √
Si: √



( )


( )
( )

7) Grafica:

18


e)
Solución:
1)
( )

Familia de parábolas que se abre hacia “y”
Si: (una parábola vértice de (-1; -1) por el origen sobre la cual
están los máx. y mín.)


Si:
Si:
Si:
Si:
Si:


( )
( )

19



( )

Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.

( )
( )

7) Grafica:

f)

Solución:
1)
( )
( )

20


Familia de rectas que p0asa por el origen
Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)

( )

Si:
Si:
Si:
Si:
Si:


( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[( ) ( )]
( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )



( )

21


( )

7) Grafica:

g) ( )
Solución:
1)
( )

Familia de rectas
Si: (recta sobre la cual están los máx. y mín.)


Si:

Si:

22


Si:

Si:

Si:


( )

( )

( )
( )




( ) ( )
( )

7) Grafica:

23


h)
Solución:
1)
( )
( )
Familia de rectas
Si: (punto)

( )
Si: ( )
Si: ( )
Si:
Si: ( )
Si: ( )



24


( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )

( )

( )

Ecuación no tiene puntos de inflexión.



( )
( )

7) Grafica:

25


IX. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( )
Solución:

( )
( )

( )

∫ ∫
( )
( )
∫ ∫ ∫
( )

Solución General:

( )

Con:

( )

( )

26


Solución Particular:

( ) ( )

b) ( ) ( )
Solución:
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
No es de variable separable

c) ( ( ) ( ) )
Solución:
( ) ( )
[ ( )] ( )
( )
[ ( )]
( )
∫ ∫ ∫
[ ( )]

( )
∫ ∫
* ( ) +

[ ( ) ⁄ ]
∫ ∫
[ ( ) ⁄ ]

Solución General:

[ ( ) ]

d) ( ) ( ) ( )
Solución:

( )
( )

∫ ( ) ∫ ∫
( )

27


[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ } ∫

Solución General:
[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ }

Con:
[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ }

{∑ }

∑

[ ( )]
[ ( ) ] { | ( )| ∑ } ∑

e) ( )
Solución:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
∫ ∫ ∫
( ) ( )
∫ ∫ ∫
( ) ( )

Solución General:
( )

f)
Solución:

28


∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Solución General:

g) ̇ ( )
Solución:

̇
̇

∫ ∫ ∫

( ) ( )

Solución General:
( )

Con:
( )
( )
( )
( )


h) ( ) ( )
Solución:

( ) ( )

29


( ) ( )

( ) ( )

( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )

( ⁄ )
( ⁄ )

∫ ∫ ( ⁄ ) ∫
( ⁄ )
| ( ⁄ ) ( ⁄ )| ( ⁄ )

Solución General:

| ( ⁄ ) ( ⁄ )| ( ⁄ )

i) ( ) ( )
Solución:

( ) ( )
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )

Solución General:
[( )( ) ]

j) ( )( ) ( )
Solución:
( )
( ) ( )
( ) [( ) ( )]
[( ) ( )]
( )
[( ) ( )]
∫ ∫ ∫
( )

30


∫ ∫( ) ∫

( ) ( )

Solución General:
( ) ( )

k) ( ) ( )
Solución:
[( ) ( )] [ ]
( )( ) [ ( ) ( ) ( )]
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )

∫ ∫ ∫
( )
∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

Solución General:

[( )( )] ( )

l) ( ) ( )
Solución:

( ( ) ) ( )( )
( )
( )
( )

( )

31


∫ ∫ ∫

( ) ∫
( )
( ) ∫

( ) ( )

Solución General:

( )

Con: ⁄
( )
[ ]
( )


√
√( )

m)
Solución:

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) )( )
( ) ( )( )
( ) [ ]
( )

32


( ) ( ) ( )
( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )

( )
∫ ∫ ∫
( )
( ) ∫

Solución General:

33

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