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![= 𝑥 𝑣 1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 +
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2 +
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2
=𝑥 𝑣
1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 + 𝑘=0
∞
[𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘]𝑥 𝑘+2
Por lo tanto se debe cumplir que 1 + 2𝑣 𝐶1=0 y
𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘=0
𝐶 𝑘+2 = −
𝐶 𝑘
𝑘+2 𝑘+2+2𝑣
para k=0,1,2,3,…
Cuando 𝐶1=0 trae como consecuencia que 𝐶1=𝐶3 = 𝐶5 = 𝐶7 = ⋯ = 0
Así que cuando k=0,2,4,6,… 𝑘 + 2 = 2𝑛 , n=1,2,3,…
𝐶2𝑛 = −
𝐶2𝑛−2
22 𝑛 𝑛 + 𝑣](https://image.slidesharecdn.com/ecucaciondebessel-150718215711-lva1-app6891/75/Ecucacion-de-bessel-12-2048.jpg)
![FÓRMULAS DE RECURRENCIA
•
𝒅
𝒅𝒙
= [𝒙 𝒗
𝑱 𝒗 𝒙 ] = 𝒙 𝒗
𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 (1)
•
𝒅
𝒅𝒙
= [𝒙−𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 ] = −𝒙−𝒗 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 (2)
Al derivar el lado izquierdo de (1) como un producto, se tiene
𝒗𝒙 𝒗−𝟏
𝑱 𝒗 𝒙 + 𝒙 𝒗
𝑱′ 𝒗 𝒙 = 𝒙 𝒗
𝑱 𝒗−𝟏 𝒙
De donde al multiplicar por 𝒙−𝒗
, resulta
•
𝒗
𝒙
𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑱′ 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 (3)
Las fórmulas (1) y (2) también resultan útiles escritas en la forma
• 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑪 (4)
• 𝒙−𝒗
𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙−𝒗
𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑪 (5)
Primera Relación de Recurrencia:
•
𝟐𝒗
𝒙
𝑱 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 + 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 (6)](https://image.slidesharecdn.com/ecucaciondebessel-150718215711-lva1-app6891/75/Ecucacion-de-bessel-44-2048.jpg)
![Ejemplo 1. Hallar
𝐝
𝐝𝐱
[𝐱 𝟐 𝐉 𝟑 𝟐𝐱 ] en términos de funciones de Bessel.
Solución.
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥2 𝐽3 2𝑥 ] = 2x𝐽3 2𝑥 + 𝑥2. 2𝐽′3 2𝑥
Nota: Al derivar la función de Bessel se multiplica por la derivada del argumento.
Al utilizar (3) con v=3 y 2x en lugar de x, tenemos como sigue
𝟑
𝟐𝒙
𝑱 𝟑 𝟐𝒙 + 𝑱′
𝟑 𝟐𝒙 = 𝑱 𝟐 𝟐𝒙
𝑱′
𝟑 𝟐𝒙 = 𝑱 𝟐 𝟐𝒙 -
𝟑
𝟐𝒙
𝑱 𝟑 𝟐𝒙
Al sustituir 𝑱′
𝟑 𝟐𝒙 , se obtiene
𝒅
𝒅𝒙
[𝒙 𝟐 𝑱 𝟑 𝟐𝒙 ] = 𝟐𝒙𝑱 𝟑 𝟐𝒙 + 2𝒙 𝟐[𝑱 𝟐 𝟐𝒙 -
𝟑
𝟐𝒙
𝑱 𝟑 𝟐𝒙 ]
= 2𝑥2 𝐽2 2𝑥 - 𝑥𝐽3 2𝑥](https://image.slidesharecdn.com/ecucaciondebessel-150718215711-lva1-app6891/75/Ecucacion-de-bessel-45-2048.jpg)
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- 1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL Integrantes:Allaico, Arévalo, Asmal, Cabrera, Delgado, Gallegos, Jerves, Machado, Ordoñez, Sanchez, Solano, Zea. Ecuaciones Diferenciales, Grupo #2
- 2. INTRODUCCIÓN Las funcionesde Bessel fueron definida en primer lugar por el matemático Daniel Bernoulli y después generalizadas por el matemático Friedrich Bessel, son soluciones para la ecuación diferencial de Bessel. La ecuación de Bessel tiene gran importancia al momento de determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
- 3. BIOGRAFÍA Daniel Bernoulli( 8 de febrero de 1700 -17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés –suizo, que hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.
- 4. Friedrich Bessel(22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemático alemán, astrónomo y sistematizador de las funciones de Bessel. Se hizo famoso por elaborar el método estelar PARALLAX, el primero método exacto para medir distancias estelares. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad de la Tierra.
- 5. PRERREQUISITOS Método deFrobenius 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛+𝑟 En donde: x = a es un punto singular regular r es una raíz de la ecuación indicial
- 6. PRERREQUISITOS Función Gamma Lafunción Γ n para n>0, se define como: Γ n = 0 ∞ 𝑡 𝑛−1 𝑒−𝑡 𝑑𝑡 Γ n + 1 = 𝑛Γ n Γ 1 = 1 Γ 1 2 = 𝜋
- 7. DEFINICIÓN Una ecuaciónde Bessel tiene la forma: 𝒙 𝟐 𝒚′′ + 𝒙𝒚′ + 𝒙 𝟐 − 𝒗 𝟐 𝒚 = 𝟎 Donde v≥0 es un parámetro real y x=0 es un punto singular regular
- 8. DESARROLLO POR MÉTODODE FROBENIUS 𝑦 = 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟 Al derivar 𝑦′ = 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑥 𝑛+𝑟−1 𝑦′′ = 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1) 𝑥 𝑛+𝑟−2
- 9. DESARROLLO POR MÉTODODE FROBENIUS Sustituyendo queda 𝑥2 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑥 𝑛+𝑟−2 + 𝑥 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑥 𝑛+𝑟−1 + 𝑥2 − 𝑣2 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟 = 0 Simplificando 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑥 𝑛+𝑟 + 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑥 𝑛+𝑟 + 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟+2 − 𝑣2 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟 = 0 Para n=0 (Frobenius) 𝐶0 𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 − 𝑣2 = 0
- 10. DESARROLLO POR MÉTODODE FROBENIUS 𝐶0 no puede ser cero, por tanto 𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 − 𝑣2 = 0 (𝑟 + 𝑣)(𝑟 − 𝑣) = 0 Entonces, las raíces son: 𝑟1 = 𝑣 𝑟2 = −𝑣
- 11. Cuando 𝑟1 =𝑣 la ecuación anteriormente mencionada se transforma en cuando : = 𝑥 𝑣 𝑛=1 𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑣 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2 Para que el exponente de x empiece elevada a la misma potencia en ambas sumatorias se saca el primer contador de la primera sumatoria. 𝑥 𝑣 1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 + 𝑛=2 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛 + 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2 Entonces: Para 𝑛=2 ∞ 𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛 Se hace que 𝑘 = 𝑛 − 2 entonces 𝑛 = 𝑘 + 2 reemplazamos en la sumatoria. 𝑘=0 ∞ 𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2 Para 𝑛=0 ∞ 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2 se hace 𝑘 = 𝑛 reemplazamos. 𝑘=0 ∞ 𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2
- 12. = 𝑥 𝑣1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 + 𝑘=0 ∞ 𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2 + 𝑘=0 ∞ 𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2 =𝑥 𝑣 1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 + 𝑘=0 ∞ [𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘]𝑥 𝑘+2 Por lo tanto se debe cumplir que 1 + 2𝑣 𝐶1=0 y 𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘=0 𝐶 𝑘+2 = − 𝐶 𝑘 𝑘+2 𝑘+2+2𝑣 para k=0,1,2,3,… Cuando 𝐶1=0 trae como consecuencia que 𝐶1=𝐶3 = 𝐶5 = 𝐶7 = ⋯ = 0 Así que cuando k=0,2,4,6,… 𝑘 + 2 = 2𝑛 , n=1,2,3,… 𝐶2𝑛 = − 𝐶2𝑛−2 22 𝑛 𝑛 + 𝑣
- 13. 𝐶2𝑛 = − 𝐶2𝑛−2 22𝑛 𝑛 + 𝑣 Entonces: 𝐶2 = − 𝐶0 221 1+𝑣 𝐶4 = − 𝐶2 222 2 + 𝑣 = 𝐶0 241 ∗ 2 1 + 𝑣 (2 + 𝑣) 𝐶6 = − 𝐶4 223 3 + 𝑣 = − 𝐶0 261 ∗ 2 ∗ 3 1 + 𝑣 (2 + 𝑣)(3 + 𝑣 . . . 𝐶2𝑛 = (−1) 𝑛 𝐶0 22𝑛 𝑛! 1 + 𝑣 2 + 𝑣 … (𝑛 + 𝑣)
- 14. Se acostumbraa elegir un valor patrón especifico para 𝐶0 que es: 𝐶0 = 1 2 𝑣Γ(1+𝑣) Sabemos que Γ(1+ ∝ )= ∝ Γ( ∝) Ejemplos: Γ(1+𝑣 + 1)= 𝑣 + 1 Γ(𝑣 + 1) Γ(1+𝑣 + 2)= 𝑣 + 2 Γ(𝑣 + 2) = 𝑣 + 2 (v+1)Γ(𝑣 + 1) Por lo que podemos expresar a 𝐶2𝑛 en 𝐶2𝑛 = (−1) 𝑛 22𝑛+2 𝑛! 1+𝑣 2+𝑣 …(𝑛+𝑣)Γ(1+ 𝑣 ) = (−1) 𝑛 22𝑛+2 𝑛!Γ(1+ 𝑣 +𝑛)
- 15. Funcion de Bessel 𝑱𝒏 𝒙 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝑽 = 𝒏 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨
- 16. LOS VALORES ENTEROSDE V SE DENOTAN POR N. ESTA ES LA NORMA. PARA V = N LA RELACIÓN ANTERIOR QUEDA COMO: 𝒂 𝟐𝒎 = −𝟏 𝒎 𝒂 𝟎 𝟐 𝟐𝒎 𝒎! 𝒏 + 𝟏 𝒏 + 𝟐 … 𝒏 + 𝒎 , 𝑚 = 1,2, … . DONDE 𝑎0 SIGUE SIENDO ARBITRARIA. ES NECESARIO HACER UNA ELECCIÓN 𝑎0 = 1, PERO MAS PRACTICO ES: 𝑎0 = 1 2 𝑛 𝑛! PORQUE ENTONCES 𝑛! 𝑛 + 1 … 𝑛 + 𝑚 = (𝑚 + 𝑛)!, DE DONDE: 𝒂 𝟐𝒎 = −𝟏 𝒎 𝟐 𝟐𝒎+𝒏 𝒎! 𝒏 + 𝒎 ! , 𝑚 = 1,2, … . CON ESTOS COEFICIENTES Y 𝑟1 = 𝑣 = 𝑛 SE OBTIENE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR, DENOTADA POR 𝐽 𝑛 𝑥 , LLAMADA LA FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN N: 𝑱 𝒏 𝒙 = 𝒙 𝒏 𝒎=𝟎 ∞ −𝟏 𝒎 𝒙 𝟐𝒎 𝟐 𝟐𝒎+𝒏 𝒎! 𝒏 + 𝒎 !
- 17. Esta serie convergepara toda x, con mucha rapidez debido a los factoriales del denominador. EJEMPLO: Funciones de Bessel 𝐽 𝑛 𝑥 𝑦 𝐽1 𝑥 Para n = 0 se obtiene la función de Bessel de orden 0 𝐽0 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑚=0 ∞ −1 𝑚 𝑥2𝑚 22𝑚(𝑚!)2 = 1 − 𝑥2 22 1! 2 + 𝑥4 24 2! 2 − 𝑥6 26 3! 2 + − ⋯ , Que es similar al coseno. Para n = 1 se obtiene la función de Bessel de orden 1 𝐽1 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑚=0 ∞ −1 𝑚 𝑥2𝑚+1 22𝑚+1 𝑚! (𝑚 + 1)! = 𝑥 2 − 𝑥3 231! 2! + 𝑥5 252! 3! − 𝑥7 273! 4! + − ⋯ , Que es similar al seno.
- 18. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣 ≥ 0
- 19. Observando la funciónde Bessel con v = n entero se observa 𝐽 𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑚=0 ∞ (−1) 𝑚 𝑥2𝑚 22𝑚+𝑛 𝑚! (𝑛 + 𝑚)! El problema al plantear para cualquier 𝑣 ≥ 0 es que no hay factorial de números racionales por esto recurrimos a la función Gamma Γ DEFINICION DE LA FUNCION GAMMA Γ 𝛼 = 0 ∞ 𝑒−𝑡 𝑡 𝛼−1 𝑑𝑡 PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA Γ 𝛼 + 1 = 𝛼Γ 𝛼 Propiedad 1 Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! Propiedad 2 La segunda propiedad de Gamma generaliza la función factorial para cualquier 𝑣 ≥ 0
- 20. Se conoce quepara 𝑣 = 𝑛 ∈ 𝐼 𝑎0 = 1 2 𝑛 𝑛! entonces con Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! tenemos 𝑎0 = 1 2 𝑛Γ 𝑛 + 1 Reemplazando n por v se tiene 𝑎0 = 1 2 𝑣Γ 𝑣 + 1 Luego 𝑎2𝑚 = (−1) 𝑚 22𝑚 𝑚! 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . (𝑣 + 𝑚) . 𝑎0 𝑎2𝑚 = (−1) 𝑚 22𝑚+𝑣 𝑚! 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . (𝑣 + 𝑚)Γ 𝑣 + 1
- 21. En el denominadorse tiene que: 𝑣 + 1 Γ 𝑣 + 1 = Γ 𝑣 + 1 + 1 = Γ 𝑣 + 2 para m=1 𝑣 + 2 Γ 𝑣 + 2 = Γ 𝑣 + 3 ,etc. Para m=2 De modo que para cualquier m 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . 𝑣 + 𝑚 Γ 𝑣 + 1 = 𝑣 + 𝑚 Γ 𝑣 + 𝑚 = Γ 𝑣 + 𝑚 + 1 Entonces la expresión para 𝑎2𝑚 se reduce a: 𝑎2𝑚 = (−1) 𝑚 22𝑚+𝑣 𝑚!Γ 𝑣+𝑚+1 Finalmente con 𝑟 = 𝑟1 = 𝑣 ≥ 0 obtenemos 𝑱 𝒗 𝒙 = 𝒙 𝒗 𝒎=𝟎 ∞ (−𝟏) 𝒎 𝒙 𝟐𝒎 𝟐 𝟐𝒎+𝒗 𝒎! 𝜞 𝒗 + 𝒎 + 𝟏 Denominada Función de Bessel de primera clase de orden v
- 22. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓNDE BESSEL(TEOREMA 1)
- 23. (Ecuación diferencial deBessel) (funciones de Bessel) Solución de la ecuación de diferencial de Bessel
- 24. (Ecuación diferencial deBessel) (funciones de Bessel) Solución de la ecuación de diferencial de Bessel
- 25.
- 26. DEPENDENCIA LINEAL DELA FUNCIÓN DE BESSEL(TEOREMA 2) Y(x)= c1Jv(x)+c2J-v (x) Con v = n (entero): Por definición: y(x)= c1Jn (x)+c2J-n(x) Jn (x) = xn (-1)m x2m 22m+n m!(m+n)!m=0 ¥ å
- 27. DEPENDENCIA LINEAL DELA FUNCIÓN DE BESSEL J-n (x) = (-1)m x2m-n 22m-n m!(m-n)!m=n ¥ å = (-1)n+s x2s+n 22s+n s!(s+n)!m=n ¥ å m = n+ ss = m-n G(m-n+1) = (m-n)! (-1)n+s x2s+n 22s+n s!(s+n)!m=n ¥ å = (-1)s (-1)n x2s+n 22s+n s!(s+n)!m=n ¥ å = (-1)s Jn (x) (-1)n Jn (x) = J-n(x)
- 28. DEPENDENCIA LINEAL DELA FUNCIÓN DE BESSEL y(x)= c1Jn (x)+c2J-n(x) y(x)= c1Jn (x)+c2(-1)n Jn(x) y(x)= Jn (x)(c1 +c2 (-1)n ) por lo tanto son linealmente dependientes, y no es una solución a la ecuación diferencial Pudo ser comprobada directamente con las propiedades, pero aquí se demostró dicha propiedad
- 29.
- 30. 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐀𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐝𝐞𝑱 𝒗 𝒙 Las funciones de Bessel 𝐽𝑣 𝑥 satisfacen un número alto de relaciones, estas son posibles descubrir por propiedades de las funciones especiales a partir de sus series. A continuación se discuten cuatro de las más elementales:
- 35. Ejemplos Ejemplo 1Calcule J3(x): Usando 𝟐𝒗 𝒙 𝑱 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 + 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝑱 𝟏 𝒙 = 𝑱 𝟎 𝒙 + 𝑱 𝟐 𝒙 𝑱 𝟐 𝒙 = 𝟐 𝒙 𝑱 𝟏 𝒙 − 𝑱 𝟎 𝒙 𝟏 𝑱 𝟑 𝒙 = 𝟒 𝒙 𝑱 𝟐 𝒙 − 𝑱 𝟏 𝒙 𝟐 Reemplazando 1 en 2: 𝑱 𝟑 𝒙 = 𝟖 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝑱 𝟏 𝒙 − 𝟒 𝒙 𝑱 𝟎 𝒙
- 36. Ejemplo 2Evalúe: 𝐼 = 1 2 𝑥−3 𝐽4(𝑥) 𝑑𝑥 Usando 𝑑(𝑥−𝑣 𝐽 𝑣 𝑥 ) 𝑑𝑥 = −𝑥−𝑣 𝐽𝑣+1(𝑥) 𝑢 = 𝑥−3 𝐽3 𝑥 𝑑𝑢 = −𝑥−3 𝐽4(𝑥)𝑑𝑥 𝐼 = 1 2 𝑑𝑢 = −1 8 𝐽3 2 + 𝐽3 1 Sabiendo lo que definimos anteriormente podemos obtener mediante tablas que: −1 8 𝐽3 2 + 𝐽3 1 = 0.0038
- 37. 𝑱 𝒗 𝒙𝒄𝒐𝒏 𝒗 = ± 𝟏 𝟐 , ± 𝟑 𝟐 , … … 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 Para explicar esto definiremos primero: 𝐽1 2 𝑥 = 2 𝑥 𝑚=0 ∞ (−1) 𝑚 𝑥2𝑚+1 22𝑚+1 𝑚! Г 𝑚 + 3 2 Sabemos que: Г 1 2 = 𝜋 Luego definimos que: Г 𝑚 + 3 2 = 𝑚 + 1 2 𝑚 − 1 2 ∗ ⋯ ∗ 3 2 ∗. .∗ 1 2 Г 1 2 Г 𝑚 + 3 2 = 2− 𝑚+1 2𝑚 + 1 2𝑚 − 1 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗. .∗ 1 𝜋 22𝑚+1 𝑚! = 2 𝑚+1 2𝑚 2𝑚 − 2 ∗ ⋯ .∗ 4 ∗. .∗ 2 Con estas dos definiciones llegamos a determinar que: 𝐽1 2 𝑥 = 2 𝑥𝜋 𝑚=0 ∞ (−1) 𝑚 𝑥2𝑚+1 2𝑚 + 1 ! Esta serie que obtenemos se denomina como serie de Maclaurin de sen(x): 𝐽1 2 𝑥 = 2 𝑥𝜋 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
- 38. Teorema Las funcionesde Bessel Jv de órdenes v = ± 𝟏 𝟐 , ± 𝟑 𝟐 , … son elementales; pueden expresarse por un número finito de cosenos y senos y potencias de x. 𝐽3/2 𝑥 = 2 𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 − cos(𝑥) 𝐽−3/2 𝑥 = − 2 𝜋𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 + sen(𝑥)
- 39.
- 40. Reducir laecuación diferencial a la ecuación de Bessel 9𝑥2 𝑦′′ + 9𝑥𝑦′ + 36𝑥4 − 16 𝑦 = 0 Cambio de variable 𝑥2 = 𝑧 𝑑𝑥 = 2𝑧 1 2 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 2𝑧 1 2 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2𝑧 1 2 = 𝑦′′ = 𝑑 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑦′′ = 𝑑 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑧 1 2 = 𝑦′′ = 𝑑 𝑑𝑧 2𝑧 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2𝑧 1 2 𝑦′′ = 2𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 4𝑧 𝑑2 𝑦 𝑑𝑧2
- 41. 𝑥2 𝑦′′ +𝑥𝑦′ + 4𝑥4 − 16 9 𝑦 = 0 2𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 4𝑧2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑧2 + 2𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 4𝑧2 − 16 9 𝑦 = 0 4𝑧2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑧2 + 4𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 4𝑧2 − 16 9 𝑦 = 0 𝑧2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑧2 + 𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 4𝑧2 − 4 9 𝑦 = 0 𝑦 = 𝐽2 3 (𝑧) + 𝑐2 𝐽−2 3 (𝑧) 𝑦 = 𝐽2 3 (𝑥2) + 𝑐2 𝐽−2 3 (𝑥2)
- 42. Expresar lasiguiente integral en términos de funciones de Bessel 𝐼 = 𝑥−2 𝐽2 𝑑𝑥 𝐼 = 𝑥−4 (𝑥2 𝐽2)𝑑𝑥 Integrando por partes 𝑢 = 𝑥2 𝐽2 𝑑𝑢 = 𝑥2 𝐽1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥−4 𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑥−3 3 𝐼 = − 1 3𝑥 𝐽2 + 1 3 𝑥−1 𝐽1 𝑑𝑥 𝐼 = − 1 3𝑥 𝐽2 + 1 3 𝑥−2 (𝑥𝐽1)𝑑𝑥
- 43. 𝐼 = − 1 3𝑥 𝐽2+ 1 3 𝑥−2 (𝑥𝐽1)𝑑𝑥 Integrando por partes nuevamente 𝑢 = 𝑥𝐽1 𝑑𝑢 = 𝑥𝐽0 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥−2 𝑑𝑥 𝑣 = − 1 𝑥 𝐼 = − 1 3𝑥 𝐽2 + 1 3 − 𝐽1 + 𝐽0 𝑑𝑥 𝐼 = − 1 3𝑥 𝐽2 − 𝐽1 3 + 1 3 𝐽0 𝑑𝑥
- 44. FÓRMULAS DE RECURRENCIA • 𝒅 𝒅𝒙 =[𝒙 𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 ] = 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 (1) • 𝒅 𝒅𝒙 = [𝒙−𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 ] = −𝒙−𝒗 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 (2) Al derivar el lado izquierdo de (1) como un producto, se tiene 𝒗𝒙 𝒗−𝟏 𝑱 𝒗 𝒙 + 𝒙 𝒗 𝑱′ 𝒗 𝒙 = 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 De donde al multiplicar por 𝒙−𝒗 , resulta • 𝒗 𝒙 𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑱′ 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 (3) Las fórmulas (1) y (2) también resultan útiles escritas en la forma • 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑪 (4) • 𝒙−𝒗 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙−𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑪 (5) Primera Relación de Recurrencia: • 𝟐𝒗 𝒙 𝑱 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 + 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 (6)
- 45. Ejemplo 1. Hallar 𝐝 𝐝𝐱 [𝐱𝟐 𝐉 𝟑 𝟐𝐱 ] en términos de funciones de Bessel. Solución. 𝑑 𝑑𝑥 [𝑥2 𝐽3 2𝑥 ] = 2x𝐽3 2𝑥 + 𝑥2. 2𝐽′3 2𝑥 Nota: Al derivar la función de Bessel se multiplica por la derivada del argumento. Al utilizar (3) con v=3 y 2x en lugar de x, tenemos como sigue 𝟑 𝟐𝒙 𝑱 𝟑 𝟐𝒙 + 𝑱′ 𝟑 𝟐𝒙 = 𝑱 𝟐 𝟐𝒙 𝑱′ 𝟑 𝟐𝒙 = 𝑱 𝟐 𝟐𝒙 - 𝟑 𝟐𝒙 𝑱 𝟑 𝟐𝒙 Al sustituir 𝑱′ 𝟑 𝟐𝒙 , se obtiene 𝒅 𝒅𝒙 [𝒙 𝟐 𝑱 𝟑 𝟐𝒙 ] = 𝟐𝒙𝑱 𝟑 𝟐𝒙 + 2𝒙 𝟐[𝑱 𝟐 𝟐𝒙 - 𝟑 𝟐𝒙 𝑱 𝟑 𝟐𝒙 ] = 2𝑥2 𝐽2 2𝑥 - 𝑥𝐽3 2𝑥
- 46. Ejemplo 2. HallarI = 𝒙 𝟒 𝑱 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 en términos de 𝑱 𝟎 𝒙 y 𝑱 𝟏 𝒙 Solución. 𝑰 = 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟐 𝑱 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 Integrando por partes: u = 𝑥2; du = 2x.dx dv = 𝑥2 𝐽1 𝑥 ; v = 𝑥2 𝐽1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝐽2 𝑥 I = 𝑥4 𝐽2 𝑥 - 2 𝑥3 𝐽2 𝑥 𝑑𝑥 Al utilizar (4) nuevamente, se obtiene como sigue I = 𝑥4 𝐽2 𝑥 - 2𝑥3 𝐽3 𝑥 + C Al sustituir los resultados conocidos 𝑱 𝟐 𝒙 y 𝑱 𝟑 𝒙 en la ecuación anterior 𝐽2 𝑥 = 2 𝑥 𝐽1 𝑥 − 𝐽0 𝑥 ^ 𝐽3 𝑥 = 4 𝑥 𝐽2 𝑥 − 𝐽1 𝑥 = ( 8 𝑥2 − 1) 𝐽1 𝑥 - 4 𝑥 𝐽0 𝑥 Y aplicando (6), resulta finalmente I = 𝑥4 𝐽1 𝑥 𝑑𝑥 = (8𝑥2−𝑥4) 𝐽0 𝑥 + (4𝑥3−16𝑥)𝐽1 𝑥 + 𝐶 Nota: Se puede obtener 𝑱 𝟐 𝒙 y 𝑱 𝟑 𝒙 aplicando con v = 1 y v = 2 en la Primera Relación de Recurrencia (6).