ejercicio de trabajo y energia

ejercicio de trabajo y energia

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  Ing.Miguel BulaPicón Whatsapp:3014018878 PROBLEMA 5 Uncollarín de 3 𝑘𝑔 puede deslizarse sin fricción sobre una varilla vertical y descansa en equilibrio sobre un resorte. Se empuja hacia abajo, comprimiendo el resorte 150 𝑚𝑚 y se suelta. Si se sabe que la constante del resorte es 𝑘 = 2,6 𝑘𝑁 𝑚⁄ , determine: a) La atura máxima ℎ que alcanza el collarín sobre su posición de equilibrio. b) La rapidez máxima del collarín. SOLUCION: a) En la altura máxima y en el punto mas bajo donde comprime el resorte tenemos que 𝑣1 = 0 = 𝑣2; por lo que las energías cinéticas serian cero: 𝐾1 = 0 = 𝐾2 La energía potencial se conforma de la siguiente manera: 𝑈 = 𝑈𝑔 + 𝑈𝑒 Ahora estudiaremos en los puntos extremos:  Para el punto (1), la deflexión total desde el punto de equilibrio 𝑥1, se halla asi: 𝑥1 = 𝑚𝑔 𝑘 + 0,15 = (3𝑘𝑔)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) 2,6 × 103 𝑁 𝑚⁄ + 0,15𝑚 = 0,1613𝑚
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  Ing.Miguel BulaPicón Whatsapp:3014018878 Ahora laenergía potencial elástica almacenada en el resorte se calcula asi: ( 𝑈𝑒)1 = 1 2 𝑘𝑥2 = 1 2 (2,6 × 103 𝑁 𝑚⁄ )(0,1613𝑚)2 = 33,83𝐽 Para la posición 2 (altura máxima), tenemos que: ( 𝑈𝑔) 2 = 𝑚𝑔ℎ 𝑡 = 𝑚𝑔(0,15 + ℎ)) ( 𝑈𝑒)2 = 0 (en éste punto el collarín ya no está bajo efecto de la fuerza del resorte Por lo cual reemplazando en la ecuación de la conservación de la energía, tenemos: 𝐾1 + 𝑈1→2 = 𝐾2 → 0 + 0 + ( 𝑈𝑒)1 − (( 𝑈𝑔) 2 + 0) = 0 Reemplazando valores tenemos que: 33,83𝐽 = 3(9,81)(0,15 + ℎ) → ℎ = 33,83𝐽 3(9,81) 𝑁 − 0,15𝑚 = 0,9995𝑚 ≈ 𝟏𝒎 Ahora calcularemos la velocidad máxima que adquiere el collarín en su trayectoria; esto ocurre cuando la aceleración 𝑎 = 0, en la posición de equilibrio (punto (3)). La energía cinética será: 𝐾3 = 1 2 𝑚𝑣3 2 = 1 2 (3𝑘𝑔) 𝑣3 2 = 1,5𝑣3 2 La energía potencial será: 𝑈3 = ( 𝑈𝑔) 3 + ( 𝑈𝑒)3 = 𝑚𝑔𝑦 + 1 2 𝑘( 𝑥1 − 𝑦)2 𝑈3 = (3𝑘𝑔)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ )(0,15𝑚)+ 1 2 (2,6 × 103 𝑁 𝑚⁄ )(0,1613𝑚 − 0,15𝑚)2 = 4,581𝐽 Reemplazando valores en la ecuación de conservación de la energía tenemos: 𝐾1 + 𝑈1→3 = 𝐾3 → 0 + 0 + ( 𝑈𝑒)1 − 𝑈3 = 𝐾3 33,83𝐽 − 4,581𝐽 = 1,5𝑣3 2 → 𝑣3 = √ 33,83𝐽 − 4,581𝐽 1,5 ≈ 𝟒, 𝟒𝟐 𝒎 𝒔⁄