Espacios y Subespacios Vectoriales

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

CONTENIDO
1 INTRODUCCI ´ON
Motivaci´on
Algo de Conjuntos
2 ESPACIOS VECTORIALES
3 SUBESPACIOS VECTORIALES

En esta presentación se hace la definición de espacio vectorial, con propieda-
des y algunos ejemplos. También, se define subespacio vectorial con algunos
teoremas importantes.

INTRO MOTIVACI ÓN
MOTIVACI ÓN
Es evidente hacer pensar al estudiante que el mundo de las matemáticas
no es sólo el mundo de los reales Rn. Existen muchos más espacios que
se pueden trabajar de forma similar.
Se hace latente la necesidad de pensar diferente con el fin de poder
pensar en aplicaciones sobre espacios diferentes.
As´ı, se llega al hecho que se puede hacer matemática en cualquier lado.

INTRO ALGO DE CONJUNTOS
Existen conjuntos finitos y conjuntos infinitos.
ALGUNOS CONJUNTOS FINITOS
{0}.
{x : 0 ≤ x ≤ 10; x ∈ N}.
{Amarillo, Azul, Rojo}.
ALGUNOS CONJUNTOS INFINITOS
R.
Número de estrellas.
Número de granos de arena.

INTRO ALGO DE CONJUNTOS
¿C´omo pensar en otros conjuntos para hacer una estructura similar a la de los
reales?

ESPACIOS VECTORIALES
Se hace necesario dotar a un conjunto una serie de operaciones que cumplan
con ciertas caracter´ısticas.
FIGURA: Estructura de Grupo.

Existen algunas estructuras algebraicas que son mas sencillas, pero hacen en-
tender que los espacios vectoriales son estructuras complejas. Algunas de estas
estructuras son:
Grupos: Un conjunto con una operaci´on.
Anillos: Un conjunto con dos operaciones.
Campos: Un conjunto con dos operaciones y conmutatividad con una de
ellas dos.

Para hacer un conjunto más robusto, se hace necesario agregar dos operaciones.
Una vez agregadas, se define el espacio vectorial (V, +, ·).
DEFINICI ÓN
Sea V un conjunto (finito o infinito), y sean +, · dos operaciones binarias. La
operación + recibe el nombre de suma y la operación · recibe el nombre de
producto por escalar.

(V, +, ·) se dice espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:
OPERACI ´ON SUMA +
1 Cerradura: Si x ∈ V y v ∈ V , entonces x + y ∈ V .
2 Conmutatividad: si x, y ∈ V , entonces x + y = y + x.
3 Asociatividad: Para todo x, y y z en V , (x + y) + z = x + (y + z).
4 Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x.
5 Inverso aditivo: Si x ∈ V , existe −x ∈ V tal que x + (−x) = 0.

OPERACI ´ON PRODUCTO POR ESCALAR ·
1 Cerradura: Si x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ V .
2 Ley distributiva (i): Si x y y ∈ V y α es un escalar, entonces
α(x + y) = αx + αy.
3 Ley distributiva (ii): Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces
(α + β)x = αx + βx.
4 Asociatividad: Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x.
5 Elemento neutro: Para todo x ∈ V , 1x = x.

Es importante tener en cuenta que en algunos libros (Kolman, Strang,
Gerber), solo aparecen 4 propiedades para la suma y 4 propiedades para
el producto por escalar, ya que dan por hecho la propiedad de la
cerradura bajo las dos operaciones.
Se puede observar que se conocen estas propiedades y que han sido
trabajadas en los reales durante todo el tiempo de estudio de
matem´aticas.
Se puede deducir entonces que es posible aplicar estas propiedades en
cualquier grupo bajo las operaciones establecidas.

Algunos espacios vectoriales son:
(Rn, +, ·).
(Am×n, +, ·).
(0, +, ·). (Conjunto unitario).
(Pn(x), +, ·).
( d
dx f(x) ∈ C[0, 1], +, ·).
(
1
0 f(x)dx ∈ C[0, 1], +, ·).
Esto se puede veriﬁcar con las propiedades nombradas anteriormente. Se deben
cumplir todas las condiciones con las operaciones establecidas en el conjunto.

Los siguientes no son espacios vectoriales:
(N, +, ·).
(1, +, ·).
Rectas que no pasan por el origen.
El conjunto de las matrices invertibles.
El conjunto deja de ser espacio vectorial si no se cumple al menos una de las
condiciones dadas en la deﬁnici´on de espacio vectorial.

TEOREMA
Sea V un espacio vectorial. Entonces:
α0 = 0, α ∈ R.
0 · x = 0, x ∈ V .
Si αX = 0, entonces α = 0 o x = 0 (o ambos).
(−1)x = −x, x ∈ V .

Con lo anterior, se debe tener claridad en el significado de un espacio vectorial.
Además, tenga en cuenta que no siempre las operaciones que acompañan al
conjunto serán las de suma y producto por escalar. Esa es, precisamente, la
ventaja que tiene el estudio de éstos con el fin de poder hacer álgebra en objetos
diferentes al de los reales.

SUBESPACIOS VECTORIALES
DEFINICI ÓN
Se dice que H es un subespacio vectorial de V si H es un subconjunto no
vac´ıo de V , y H es un espacio vectorial, junto con las operaciones de suma
entre vectores y multiplicación por un escalar definidas para V .
Es decir, H hereda las propiedades de V .

TEOREMA
Un subconjunto no vac´ıo H de un espacio vectorial V es un subespacio de V
si se cumplen las dos propiedades de cerradura:
Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H.
Si x ∈ H, entonces αx ∈ H para todo escalar α.

Algunos subespacios vectoriales son:
Conjunto de rectas que pasan por el origen y sean subconjunto de Rn.
Planos metidos en el espacio y que contengan a 0.
Subconjunto en si mismo (subespacios propios).
Polinomios de orden 5.
Matrices triangulares superiores.
Es importante tener en cuenta que el conjunto con las operaciones dadas son
subespacios vectoriales si cumplen las propiedades de cerradura.

Para tener en cuenta: Un conjunto siempre tiene un subconjunto propio; es
decir, si quiere mostrar que cierto conjunto es un espacio vectorial, basta con
mostrar las propiedades de cerradura, teniendo claro que éste está contenido en
si mismo. A es subconjunto propio de B si todo elemento de A está contenido
en B.

EJEMPLO
Considerar el conjunto W de matrices 2 × 3 que tienen la forma dada por:
W =
a b 0
0 c d
Donde a, b, c y d son n´umeros reales arbitrarios. W es un subespacio vectorial
de Mm×n ya que cumple las condiciones del teorema.

¿Qu´e subconjuntos de R2, con las operaciones usuales de suma y producto por
escalar son subespacios vectoriales?

EJEMPLO
Considerar el sistema homog´eneo Ax = 0, donde Am×n y x ∈ Rn. Sea H el
subconjunto de Rn formado por todas las soluciones de dicho sistema. H es
un subespacio de Rn ya que cumple con las dos propiedades del teorema.

EJEMPLO
Se supone que x y y son soluciones; es decir Ax = 0 y Ay = 0.
Entonces:
A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0
y cumple con la condición.
Por otro lado, si se supone que α es un escalar, entonces:
A(αx) = α(Ax) = α0 = 0
As´ı, αx también es solución.
As´ı, se concluye que H es un subespacio de Rn.

El subespacio H del ejemplo anterior recibe el nombre de espacio soluci´on del
sistema homog´eneo Ax = 0, o espacio nulo de la matriz Am×n.
PARA TENER EN CUENTA
El conjunto de soluciones del sistema lineal Ax = b, donde Am×n y x ∈ Rn
no es un subespacio de Rn, si b = 0. (Ejercicio propuesto).

TEOREMA
Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V . Entonces H1 ∩ H2
es un subespacio de V .

EJEMPLO
Para ilustrar un ejemplo del teorema anterior, se considera en R3:
H1 = {(x, y, z) : 2x − y − z = 0}
H2 = {(x, y, z) : x + 2y + 3z = 0}
H1 y H2 son subespacios vectoriales de R3 (¿por qu´e?). H1 ∩ H2 es la
intersecci´on de los dos planos que se calcula:
1 2 3 | 0
2 −1 −1 | 0
→
1 2 3 | 0
0 −5 −7 | 0
→
→
1 0 1
5 | 0
0 1 7
5 | 0

EJEMPLO
As´ı, las soluciones al sistema homogéneo están dadas por
−
1
5
z, −
7
5
z, z
Al considerar z = t, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta
L ∈ R3:
x = −
1
5
t,
y = −
7
5
t,
z = t.
Formando un subespacio en R3.

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