Funciones

Funciones Rosa Margarita López UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO Recinto de Ponce Departamento de Estudios Graduados

Funciones II Funciones Inversas Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas Funciones Trigonométrica Inversas

Definir la inversa de una función. Verificar si dos funciones son inversas. Trazar la gráfica de la inversa de una función. Dada la tabla de valores de una función, encontrar los valores de la inversa. Encontrar la inversa de una función algebraicamente. Objetivos

Def. Una función f se dice que es uno a uno si, para cualquiera números x 1 y x 2 , x 1  x 2 , en el dominio de f , tenemos que f ( x 1 )  f ( x 2 ). Ejemplos: Determina si las funciones son 1-1. La función es u n o a u n o. 2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)} La función n o es u n o a u n o . 1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}

Teorem a: Prueba de la línea Horizontal. Si alguna líne a horizontal intersec a la gr áfica de un a funci ó n f e n m á s de u n p u nt o , en tonces f no es una función 1-1.

Ej . Use la gr áfica para determin ar si la funci ó n es 1-1.

Def. Sea una función uno a uno. Decimos que es es la función inversa de si y para todo en el dominio de y todo en el dominio . Denotamos la inversa de por . Nota:

Domin io de f Alcance de f

¿ Cu á ndo una función tiene una función inversa? Considere la siguiente función: Halla su función inversa: x 3 2 - 2 4 7 5 10 2 3 4 -1 6 8 -3 x 2 3 4 -1 6 8 -3 3 2 -2 4 7 5 10

Teorem a: La gr áfica de un a funci ó n f y la gr áfica de s u invers a son s i m é tric as con respect o a la líne a identidad y = x .

Ej. Verificar si las funciones son inversas.

Ej. Construir la tabla de la función inversa. x -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -8 -4 1 3 7 10 x -10 -8 -4 1 3 7 10

Ej. Halla la invers a de La funci ó n e s 1- 1 . 3 . f x x x ( ) ,    5 3

Ej. Encuentra la función inversa de:

Objetivos Reconocer y analizar las funciones logarítmicas Estudiar sus gráficas. Aplicar dichas funciones a la solución de problemas.

Tabla de contenido Definición de logaritmo Logaritmo natural Funición inversa exponencial Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones Determinar logaritmos comunes y naturales Función inversa logaritmo Evaluar logaritmos Logaritmo común Dominio y alcance de la función logaritmo Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 Ecuaciones logarítmicas Problemas de Aplicación Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 Selecciona el tema que trabajarás Leyes de los logaritmos

Logaritmos El logaritmo de x con base b está definido por: Ej.

Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones exponenciales y viceversa La ecuación exponencial es de la forma donde argumento o resultado Presiona aquí para continuar Si observas la base 2 en la forma exponencial se escribe un poco más abajo del logaritmo, el resultado se escribe al lado del logaritmo y el exponente fuera. Es muy distinto a la forma exponencial. Entonces si tenemos 2 4 = 16 en forma exponencial al escribirla en forma logarítmica es así: log 2 16 = 4 b c = a Forma logarítmica log b a = c

Ejemplos Ej. Resuelve cada ecuación

Escribir ecuaciones logarítmicas como exponenciales y viceversa Intenta lo siguiente: Selecciona la respuesta correcta . La forma exponencial del log 10 10 = 1 es: a . 10 10 = 1 b . 1 10 = 10 c . 10 1 = 10 2. La forma logarítmica de 3 3 = 27 es: a . log 3 27 = 3 b . log 27 3 = 3 c . log 3 3 = 27

Notación: Logaritmo Común Logaritmo Natural Leyes de Logaritmos Conociendo las propiedades podrás evaluar los logaritmos Presiona aquí para continuar

Ejemplo Utilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión:

Evaluar logaritmos Para evaluar un logaritmo observa el siguiente ejemplo: log 4 16 = x Puedes hacerte la siguiente pregunta: ¿ 4 elevado a qué potencia es 16? En este momento puedes cambiarlo a forma exponencial, así: 4 x = 16 4 x = 4 2 x = 2 El 16 lo represento en forma exponencial Al ser las bases iguales los exponentes también son iguales Entonces: log 4 16 = 2 Presiona aquí para continuar

Evaluar logaritmos Evalúa los siguientes logaritmos. log 3 81 = log 5 125 = log 4 256 = log 2 32 = Es tu turmo Presiona para verificar tus respuestas

Evaluar logaritmos Soluciones log 3 81 = 4 log 5 125 = 3 log 4 256 = 4 log 2 32 = 5

Logaritmo Común ( denominados también como logaritmos de Brigg) La función logarítmica con base 10 se conoce como función logaritmo común. La misma se evalúa con la tecla de en la calculadora. Para usar esta tecla, debes cambiar la base. Fórmula de Cambio de base: log a x = log 10 x log 10 a log

Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos ) Si x es un número real positivo, entonces el logaritmo natural de x se denota por: log e x o ln x ( la segunda notación es la más común) Una función dada por f ( x ) = a + ln b x es llamada función logaritmo natural. Ejemplo: Resuelve Presiona aquí para continuar

Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos ) Ejemplo: Resuelve Aplicar ln en ambos lados

Determinar logaritmos comunes y naturales Intenta tu lo siguiente: Halla el logartimo común de: log 2 10 = log 3 10 = log 6 216 = log 5 12 = e. ln 52400 f. ln 2.35 g. ln x = 2.386 Verifica tu respuesta

Determinar logaritmos comunes y naturales Soluciones: log 2 10 ≈ 3.32 log 3 10 ≈ 2.10 log 6 216 = 3 log 5 12 ≈ 1.54 e. ln 52400 ≈ 10.87 f. ln 2.35 ≈ 0.85 g. ln x = 2.386 Verifica tu respuesta ln x = 2.386 e 2.386 = x 10.87

Dominio y alcance de la función logaritmo El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de los números reales. Presiona aquí para continuar

Función Logarítmica La función logarítmica de x con base b está definida por: Propiedades: 1. Dominio: ( 0,  ) 2. Rango: ( -  ,  ) 3. Intercepto en x : (1, 0) 4. Continua en (0,  ) 5. Creciente en (0,  ) si b > 1 6. Decresiente en (0,  ) si b < 1

Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que log a 1 = 0 y = log a x ( a > 1) Dominio ( 0, ∞ ) Recorrido ℝ Puntos ( 1, 0) y ( a, 1) Creciente Continua

Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que log a 1 = 0 Cuando 0 < a < 1, entonces Dominio ( 0, ∞ ) Recorrido ℝ Puntos ( 1, 0) y ( a, 1) Decreciente Continua Presiona aquí para continuar

Gráficas de Funciones Logarítmicas Ej. (1,0) x x y y (1,0) (0, 1) (0, 1)

Función inversa exponencial Las funciones exponenciales también son inyectivas y tiene su inversa. Si y = b x ( a 0 = 1) entonces la función inversa de ésta debería intercambiar la x y y de modo que x = b y . Definiremos la inversa de la fórmula como: y = log b x Presiona aquí para continuar

Función inversa exponencial Ejemplo: y = 2 x x = 2 y y = log 2 x Pasos: Intercambiar las variables, o sea la y la cambias por la x en la función y la x por la y . Escribir la función en forma logarítmica.

Función inversa logarítmica La inversa de la función logarítmica es la función exponencial. Ejemplo: ln x = y ln y = x e x = y

Ecuaciones logarítmicas Para resolver las ecuaciones logarítmicas debes repasar las propiedades logarítmicas ya estudiadas. Observa el ejercicio a continuación. Resuelve la ecuación: log 4 64 = - x + 3 Presiona aquí para continuar

Ecuaciones logarítmicas log 4 64 = - x + 3 Solución: log 4 64 = - x + 3 4 - x + 3 = 64 4 - x + 3 = 4 3 - x + 3 = 3 3-3 = x 0 = x Cambiar a forma exponencial Expresar el 64 como exponente Despejas para x . Presiona aquí para continuar

Ecuaciones logarítmicas Otro ejemplo: log x + log ( x + 3) = 2 log ( x + 1) log [ x ( x + 3) ] = log ( x + 1) 2 x ( x + 3) = ( x + 1) 2 x 2 + 3 x = x 2 + 2 x + 1 x = 1 Se aplicaron las reglas de producto y la de potencia de los logaritmos.

Problemas de Aplicación de Funciones logarítmicas Ejercicio 1: Crecimiento de una colonia de hormigas Ejercicio 2: Rapidez al caminar Ejercicio 3: La presión arterial de un niño Selecciona en el menú de la izquierda que ejercicio quieres trabajar.

Ejercicio 1 Una colonia de hormigas se triplica cada semana. Si actualmente hay unas 8,000 hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que hallan 100,000? Presiona aquí para continuar

Ejercicio 1 Si definimos y como el número de hormigas en la colonia cada t semanas entonces y = 8,000 (3) t Debemos calcular t con y = 100,000. Al sustituir este número en la fórmula obtenemos que 100,000 = 8,000 (3) t Presiona aquí para continuar

Ejercicio 1 Solución: y = 8,000 (3) t 100,000 = 8,000 (3) t 8,000 8,000 12.5 = 3 t t = log 3 12.5 Presiona aquí para continuar

Problemas de Aplicación de Funciones Logarítmicas Solución: t = log 3 12.5 Necesitamos hacer un cambio de base: t ≈ 2.30 Así que se tomará más de 2 semanas, aproximadamente dos y un tercio de semanas, para que hallan 100,000.

Ejercicio 2 En una investigación realizada por los sicólogos Boinstein y Bornstein se llegó a la conclusión de que la función R(P) = .37 ln P + .05 da la rapidez del caminar de las personas, en pies, en una comunidad de población P, dada en miles. La población en Seattle, Washington es 531,000. ¿Con qué rapidez caminan sus habitantes? Solución

Ejercicio 2 Solución: R(P) = .37 ln P + .05 R(531,000) = .37 ln (531,00) + .05 = .37 (13.18) +.05 = 4.88 + .05 = 4.93 ft/sec

Ejercicio 3 La presión sistólica normal de un niño es aproximada a la función donde p ( x ) es la medida en milímetros del mercurio, x es el peso en libras, y m y b son constantes. Dado que m = 19.4 y b = 18, determina la presión sistólina de un niño que pesa 92 lb. = 105.72lb

Funciones Trigonométricas Inversas

Objetivos Representar las funciones trigonométricas inversas. Hallar el periodo de las funciones trigonométricas inversas Construir la función inversa de la funciones: y = sen x. y = cos x. y = tan x Conocer el dominio y recorrido de las funciones: y = arc sen x y = arc cos x y = arc tan x

ArcoSeno En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así que: y es igual al seno de x , la función inversa: lo que significa que: lo que significa que Si sin 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es decir, arc sin 0.5 = 30°.

Arcoseno La función f(x)=sin x, definida en el intervalo cerrado [- π /2, π /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por f -1 (x)=arc sin x estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente .

Arco Coseno La función f(x)=cos x , definida en el intervalo cerrado [0,  ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por f -1 (x)=arc cos x estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.

Arc Tangente En la función tangente, esta tiene un periodo de π y completa un ciclo en el intervalo ( −  /2 ,  /2 ). Cuando y = tan x está restringida a −  /2 ≤ x ≤  /2 tenemos una función uno a uno cuyo rango consta de todos los números Reales.

Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Localiza en la calculadora las teclas de sin, cos y tan. sin cos tan

Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Sobre estas teclas están sin -1 , cos -1 y tan -1 . sin -1 cos -1 tan -1

Calculadora Sin -1 no quiere decir Cos -1 no quiere decir Al igual que con la tangente Sino que sin -1 es el arcsin Y el cos -1 es el arcocoseno. Lo mismo sucede con la tangente

Ejercicios de Práctica Encuentra el valor. 1. Tan -1 ( − 1) = 2. Sin -1 ( cos  /2 ) = 3. Arcsin ( - 1 ) = 4. Arccos (− ½ ) = 5. Cos ( arcsin 0 ) = 6. Sin ( arcsin 1 ) =

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