Funciones Inversas

Funciones Inversas

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  Republica Bolivariana deVenezuela Ministerio del poder popular para la educación y el trabajo Universidad Fermín Toro FUNCIONES INVERSAS José Chirinos 27290763 MI31
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  INTRODUCCIÒN Con el objetivode entender a profundidad las funciones inversas, es importante tener claro que es una función matemática y las características que esta posee. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Dicho esto podemos definir a la función inversa.
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  FUNCION INVERSA Existen diferentesdefiniciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Para hallar la inversa de una función no se requiere de la utilización de la definición. Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa. Propiedades: La inversa de una función cuando existe, es única. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe. Las gráficas de f y f−1 son simétricas respecto a la función identidad y = x. aunado a lo anterior podemos agregar las siguiente propiedades.  La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:  Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.  La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.
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   La funcióninversa no siempre existe. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa. Grafica de una función inversa: La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen: Por tanto si M (b, a) es un punto de f, y por tanto sabemos que M´(a, b) será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en M son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m. El ejemplo más conocido e importante de funciones inversas es la función exponencial y la función logarítmica. Y como podemos ver sus representaciones gráficas son simétricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante:
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  ¿Cómo calculamos lafunción inversa?: Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f (x). Procedimiento 1. Se asila x en la ecuación y = f(x). 2. Se intercambian x por y y viceversa para obtener y = f -1(y) Ejemplo 1: Hallar la función inversa de f(x)=3x+5. Vamos a seguir los pasos anteriormente descritos, antes que nada tendremos en cuenta que f(x)=y, por tanto empezaremos nuestros pasos a partir de la siguiente función: y=3x+5. 1º. Hacemos el cambio, obteniendo: x=3y+5. 2º. Despejamos y en función de x: 3y=x-5; y=(x-5)/3. 3º. Por tanto la función inversa es y=(x-5)/3. Ejemplo 2: Calcular la siguiente función inversa: 1º. Hacemos el cambio de y por x: 2º. Despejamos la y: 3º. Finalmente, la función inversa es: