Funciones trigonométrica

Funciones trigonométrica

• 1.
  Funcionestrigonométrica La función seno Definicióngeométrica El seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica. sin t = coordenada y del punto P Definición "rueda bicicleta" Si una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a una velocidad de 1 unidad por segundo, sin t el la altura de un marcador fijo en su neumático después de t segundas, si se empieza a medio camino entre la parte superior y la parte inferior de la rueda. Gráfica de la función seno y = sin x Función seno general La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma: y = A sin[ω(x - α)] + C A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω. α es el desplazamiento de faso.
• 2.
  La función coseno Definicióngeométrica El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica. cos t = coordenada x del punto P sin t = coordenada y del punto P Gráfica de la función coseno y = cos x Función coseno general La función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma: y = A cos[ω(x - α)] + C A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω. α es el desplazamiento de faso. Identidades trigonométricas fundamentales: Relaciones entre seno y coseno El seno y coseno de un número t se relacionan con sin2t + cos2t = 1 Podemos obtener la curva coseno desplazando la curva seno hacia la izquierda una distancia igual a π/2. A la inversa, podemos obtener la curva seno desplazando la curva coseno π/2 hacia la derecha. Estos hechos se puede expresar como sigue cos t = sin(t + π/2) sin t = cos(t - π/2) Formulación alternativa Podemos también obtener la curva coseno por primero invertiendo la curva seno de manera vertical (reemplace t por -t) y después desplazando hacia la derecha una distancia igual a π/2. Esto nos da dos formulas alternativas (que son mas fáciles de recordar): cos t = sin(π/2 - t) El coseno es el seno del complemento. sin t = cos(π/2 - t) El seno es el coseno del complemento.
• 3.
  FUNCIONES EXPONENCIALES 2 x Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x y g(x) = 2 . Las funciones f y g no son 2 iguales. La función f(x) = x es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es x una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2 es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamadafunción exponencial. x Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. x 1) f(x) = 2 x Propiedades de f(x) = b , b>0, b diferente de uno: 1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). 2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 3) El eje de x es la asíntota horizontal. x 4) Si b > 1 (b, base), entonces b aumenta conforme aumenta x. x 5) Si 0 < b < 1, entonces b disminuye conforme aumenta x. 6) La función f es una función uno a uno. Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: x x 1) Leyes de los exponentes: 3) Para x diferente de cero, entonces a = b si y sólo si a = b. Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: x 1) 2 =8 x 2) 10 = 100 x-3 3) 4 =8 2-x 4) 5 = 125 Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: x y 2) a = a si y sólo si x = y x 1) 2 = 64 x+1 2) 27 =9
• 4.
  En la simplificaciónde expresiones exponenciales La función exponencial de base e y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las Al igual que p, e es un número irracional donde e ecuaciones exponenciales con base b. = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Ejemplos: Simplifica. Definición: Para un número real x, la x ecuación f(x) = e define a la función exponencial de base e. x+1 3x - 1 Las calculadoras científicas y gráficas contienen Ejemplo: Halla el valor de x en e = e x una tecla para la función f(x) = e . Práctica: 3x + 1 2x – 5 x La gráfica de f(x) = e es: 1) Simplifica: (e ) (e ) 3x – 4 2x 2) Halla el valor de x en e = e -x La gráfica de la función exponencial f(x) = e es: El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. x La función f(x) = e es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de x x x f(x) = e está entre f(x) = 2 y f(x) = 3 , como se ilustra a continuación: