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- 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMÉRICA DOMINIODEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN EL SUBNIVEL DE BÀSICA ELEMENTAL I PARALELO 03 TAREA No. 2 TEMA: Conjuntos y su Clasificación Profesor: Lcdo. John Acosta, Msc. Estudiante: Christian Conteron Nivel: Quinto paralelo 3 Carrera: Educación Básica Fecha entrega: domingo 22 de noviembre del 2020 AÑO 2020 -2021
- 2. INTRODUCCIÓN/ANTECEDENTE La mente humanaposee una inclinación natural a reunir o agrupar Cuando vemos en el cielo cinco estrellas reunidas, en lugar de considerarlas como cinco elementos separados, las personas tendemos a verlas como un grupo de estrellas Nuestra mente trata de encontrar orden y patrones En matemáticas, esta tendencia a agrupar es representada mediante el concepto de conjunto DESARROLLO 1.- Los Conjuntos (Relación) Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Objetos que pueden ser cualquier cosa, a saber: números, personas, letras, animales, etc. 1.2.- ¿Qué es un conjunto? Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación de elementos con características comunes Estos objetos se llaman elementos o miembros de conjunto 1.3.- Los elementos son los objetos que conforman los conjuntos a estos los llamamos elementos. Si pensamos en el conjunto de los planetas del sistema solar, los elementos de este conjunto serán precisamente Mercurio, Venus, La tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Otros ejemplos de conjuntos
- 3. 2.- Representación gráficade los conjuntos La representación de los conjuntos no es más que una forma de mostrar cómo se escriben o como se pueden dibujar. Hay tres formas de representar los conjuntos , por medio de diagrama de Venn, por extensión y por comprensión .Ver solo los nombres de la representación puede parecer complejo, pero en realidad no lo es tanto : Veamos: Diagrama de Venn El diagrama de Venn no es más que la representación gráfica de los conjuntos. Es decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de una superficie limitada por una línea: Imagina que tienes una bolsa en la que hay diferentes frutas. Entonces al introducirlo como un conjunto se veria la A como lo que representa todas frutas. El circulo seria la bolsa y lo que se encuentra adentro, en este caso cada fruta( manzana , banano , naranja) serían los elementos que forman el conjunto de las frutas. Ejemplo Nº 2 Por ejemplo, si el conjunto A está conformado por los elementos 1, 2, 3 y 4 se puede representar como en la figura.
- 4. Ejemplo Nº 3 Sidos conjuntos, el conjunto A está conformado por las letras m, n, p y t, y que el conjunto B está conformado por las letras n, p, q y s. Como puedes ver los conjuntos A y B comparten los elementos n y p, y se representa: Es equivalente Q= {1, 3, p, z } Ejemplo Nº 4 Usamos las llaves {} para representar y definir conjuntos. Dentro de las llaves se ubican los diferentes elementos que conforman el conjunto separados por comas. Esta representación escrita es equivalente a la representación gráfica de diagramas de Venn. Ejemplo se quiere definir de forma matemática al conjunto Q como el conformado por los elementos 1, p, z, y 3 se puede representar de las siguientes formas: Descripción de conjuntos por extensión y descripción de conjuntos por comprensión Conjuntos: 1) por enumeración (extensión). 2) por comprensión. a.- Descripción de conjuntos por extensión Es una representación escrita de los conjuntos y se utilizan las llaves para hacerlo. Por ejemplo:
- 5. A = {manzana,mora, fresa, sandia, banano, naranja} Básicamente, dice lo mismo que en el ejemplo que utilizamos en el Diagrama de Ven , solo que esta de forma escrita; A es la representación de todas las frutas. Las llaves cumplirían el papel bolsa donde están las frutas. Y la Manzana, Banano, Naranja serian cada uno de los elementos que están conformando el conjunto. Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por extensión. Definamos Q como el conjunto conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto Q por extensión así: Q= {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, índigo, violeta} b.- Descripción de conjuntos por comprensión En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada cantidad de elementos y la descripción por extensión resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los conjuntos mencionando las características que comparten los elementos que los conforman. Por ejemplo, si C es el conjunto conformado por todos los países del mundo se puede escribir: C={x|x es un país} En donde la barra | se lee como “tales que”. Así, la anterior expresión se lee: “C es el conjunto de los x, tales que x es un país”. En este caso el símbolo x es usado simplemente para representar los elementos del conjunto C.
- 6. 3.- Clases deconjuntos Existen varios tipos de conjuntos que se destacan por sus características especiales. Conocerlos te ayudará a comprender mejor la estructura y el mundo de los conjuntos. a.- Conjunto Universal Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de dónde se están tomando los elementos que lo conforman. Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos estos elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra U para representar el conjunto universal. Ejemplo Por ejemplo, si quieres definir B como el conjunto conformado por las vocales a , e , i el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto B y su conjunto universal U. Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más. b.- Conjunto vacío Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío. Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de abajo: Ejemplo
- 7. También, haciendo usode la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes . Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes. c.- Conjuntos unitarios El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento. No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario. Ejemplo d.- Conjuntos finitos Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee. Un conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman. Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27 letras. En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos. Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos. Ejemplos
- 8. e.- Conjuntos infinitos Losconjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen. El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión. Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del conjunto y los estaremos determinando a todos. Considera el conjunto de los números que terminan en tres, podríamos definirlo así: Sea Ejemplos Sea T={x|x es número y termina en tres}. También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por extensión. Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto T ,definido en el párrafo anterior y conformado por los números que terminan en tres, se tiene . T= {3,13,23,33,43, 53,}. Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos los encontramos en los números. ¿Cuántos números pares hay? ¿cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene. Ejemplo No debes confundir los conjuntos infinitos con conjuntos finitos que tienen una gran cantidad de elementos. Por ejemplo, ¿consideras el conjunto de todos los granos de arena en el planeta Tierra, un conjunto infinito? En este caso, aunque el conjunto tenga una gran cantidad de elementos debe existir un número que la represente, así sea muy grande
- 9. 4.- Relación depertenencia Un elemento pertenece a un conjunto cuando es de él. Si el elemento a pertenece al conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece al conjunto A se escribe p ∉ A. Ejemplos: a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El elemento 7∉ E. b) El conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}. El número 10 ∈ N, pero 3,2 ∉ N. c) De manera inconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que una persona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en un edificio”. d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números enteros, racionales y reales, respectivamente. e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto de todos los números reales menos los números −2 y 3. 5.- Relación de Pertenencia y No Pertenencia Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagrama de Ven dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto. Ahora aprenderás a representar esta relación por medios de símbolos matemáticos. Se usa el símbolo que se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura, como el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de abajo a la derecha 5.- Símbolos para su representación. Subconjuntos Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el conjunto ∅ y el mismo A. Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también se lee “B está contenido en A”. Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A. El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A ⊃ B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.) No debe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A. En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento
- 10. a entre llavesse considera el conjunto unitario {a}. Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A. Un conjunto tiene muchos subconjuntos. Hay subconjuntos con un solo elemento, que podrían llamarse subconjuntos elementales; subconjuntos con dos elementos; etc. (Puede demostrase que si un conjunto A tiene n elementos, el número de subconjuntos de A es 2n , incluyendo el vacío y el mismo A.) La relación de contenido cumple las propiedades siguientes. 1. Si C ⊂ B y B ⊂ A ⇒ C ⊂ A. 2. Si A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B. 3. Para todo conjunto A, ∅ ⊂ A. Definamos los conjuntos H={a,c,e}, I={a,e} y J={c,e,h}. ¿Crees que existe alguna relación de contenencia entre estos conjuntos? Fíjate bien, recuerda que un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus elementos pertenece también al otro conjunto. En este caso cada elemento del conjunto I pertenece también al conjunto H, decimos entonces que I está contenido en H, o que I es subconjunto de H. Para representar estas relaciones a través del símbolo de contenencia se escribe de la manera que puedes ver en la figura de la derecha. Estas expresiones se leen así: “I está contenido en H”, o “I es subconjunto de H”, y “J no está contenido en H”, o “J no es subconjunto de H”.
- 11. Es importante aprendera representar gráficamente la relación de contenencia entre conjuntos. Para el caso de nuestros conjuntos I, J y H, se pueden representar de la siguiente manera: 6.- Relación de igualdad Decimos que dos o más conjuntos son iguales si dichos conjuntos tienen los mismos elementos. Recuerda que para determinar la igualdad de conjuntos no importa el orden de sus elementos. Tampoco importa si los elementos están repetidos. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo Observa los conjuntos K y L definidos así: K={p,q,r,q,s,r,p} y L={s,r,p,q} ¿Consideras que los conjuntos K y L son iguales? Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente. Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro. BIBLIOGRAFIA
- 12.