Inecuaciones ppt

INECUACIONES
Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas
(incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las
incógnitas, o tal vez nunca se verifica.

e Desigualda d
x3 2 x
Inecuación
y seny y
Conjunto Solución (C.S.)
Ejemplos:

1) 2x + 1 > 7
x>3 C.S. = 3 ; +

2) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0 C.S. = R
1

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1.Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una
misma cantidad el sentido de la desigualdad no varía.
Si a>b=> a c > b c
2.Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no
varía.
Si a > b y c > 0

3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se
invierte.
ac bc
4. Si a > b y c < 0
a/c b/c
2

5. Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la
segunda mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la
tercera.
Si a > b y b > c  a > b > c  a > c
6. Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido.
Si a > b y c < d  a – c > b + d
7 .Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido que la desigualdad minuendo.
Si a>b y c < d  a-c > b-d
8. Si se multiplica miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se
obtiene una desigualdad, del mismo sentido.
Si a > b siendo b > 0 y c > d siendo d > 0  ac > bd 3
En consecuencia: Si a > b siendo b > O => an > bn

9. Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, cuyos miembros son positivos, como resultados se obtiene
a b
una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividiendo.
c d
Si a > b siendo b > 0 y c < d siendo c > 0 
10.Si los dos miembros de una desigualdad se eleva a una misma
potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
Si a > b ^ a2n+1>b2n+l
11.Si se eleva a una misma potencia par los dos miembros de una
desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene
una desigualdad de sentido contrario.
Si a > b  siendo
12.Si se eleva a una misma potencia par los miembros de una
desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y uno
negativo, no se puede predecir el sentido de la desigualdad.
Si a > b siendo
13.Si a los dos miembros de una desigualdad se le extrae una misma
4
raíz de grado impar,nel sentido de la desigualdad no varía.
2n 1
Si a > b
a 2 1b

Punto Crítico
En la inecuación:

P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0

P(x) : Polinomios
Los puntos críticos son las raíces de P (x), es decir:

" " es punto crítico P( x ) 0

Ejemplo:

P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2 5

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En la inecuación polinomial

a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0

1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1.
2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.

+ +
......
xn x3 x2 x1

Si : P( x ) 0 Si : P( x ) 0
ZONA ZONA
ó C.S. ó C.S.
POSITIVA ( ) NEGATIVA ( )
P( x ) 0 P( x ) 0
6

Ejemplos:
Resolver las Sgtes. inecuaciones

1) x2 – 5x + 6 0

(x – 2)(x – 3) 0

Puntos críticos: 2 ; 3

+ +
C.S. = 2; 3
2 3

2) (2 – x)(x + 5) < 0

Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0

+ +
-5 2 7
C.S. = - ; -5 2;+

INECUACIONES POLINOMIALES

1) INECUACION LINEAL

ax b 0 ; a 0

RESOLUCIÓN

ax b 0 b
ax b (  )
b 0 (  )
b * Si a 0 x
  a
0 b b
ax b * Si a 0 x
a

8

Ejemplo:
2 2
a x + b < b x +a
Si: 0< a < b a–b<0
Solución:
( ) ( )
(a b)(a b) x (a b)
(a b )x 1
1
x
a b
INECUACIÓN CUADRATICA

P( x ) ax 2 bx c 0 ; a 0
Resolución:

1) 0 TRINOMIO CUADRADOPERFECTO

Donde: : discriminante 9
= b2 – 4ac

Ejemplos:
2
1. –4x – 4x + 1 < 0
=0
2
(2x – 1) < 0 C.S. =

2 3
2. (2x – 3) > 0 C.S. = R
2
2
3. (-2x + 4) 0 C.S. = R

2
4. (-5x + 20) 0 C.S. = {4}
10

2) 0 METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS

Ejemplos:
2
1) x – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9
x -9
x -4
+ +
4 9

2
2) x – 2x – 2 0
2
= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x – 2x – 2 = 0
2 12
x
+ + 2
1 3
1 3 1 3
11

C.S. = - ;1 3 1+ 3;+

INECUACION FRACCIONARIA

P( x )
0
Q( x )

Resolución:
1) C. A
V. : Q(x) 0
Conjunto de v alores
Admisibles

P( x ) 2
2) 2
Q( x ) 0.Q (X)
Q( x )
P( x ) Q( x ) 0
12

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:

x 2
1) 0
x 3
. C.V.A. : x -3

x 2
. (x 3)2 0 (x 3)2
x 3

(x – 2)(x + 3) 0
C.S.* = -3 ; 2

. C.S. = C.V.A C.S.*
C.S. = -3 ; 2

(x 1)( x 2)
2) 0
( x 3)

. x -3
+ +
-3 -1 2 13
C.S. = -3 ; -1 2,+

3. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”

14

4. Encontrar el intervalo al que pertenece
“x”

15

5. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”

16

INECUACION IRRACIONAL

Forma General: I( x ) 0

Expresión algebraica irracional

Ejemplo:

x 1 x 1 ; 2x 3 5x 1

RESOLUCIÓN:

1) Hallamos su C.V.A.
Ejm:

2n 1 2n
  1
 x  x 
 2 2 ; n N

x R x 2
17

C.V.A. = 2 ; - >

6. Resolver: x2 4x 5x 1
Solución:
x 2 4x 0 5x 1 0
x( x 4) 0 x 1/ 5

x - ;4 0;

1
C.V.A = ;
5
2
2
Operamos: x 4x (5x 1)2
24x2 – 14x + 1 > 0
(12x – 1) (2x – 1) > 0
1 1
x ; ; ……….. ( )
12 2
1
C.S. = C.V.A. ( )= ;
2
18

7. Se desea contar cierto lote de vacunas, al hacerlo se conto de 4 en 4,
no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de9 en 9 se
completaron 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene
el lote?
SOLUCIÓN
X = N de vacunas

En el intervalo X solo puede tomar un
valor en el conjunto de los números
enteros 19

8. Rubí dispone de S/.32.00 nuevos soles para asistir al cine con sus
primas, si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero y si compra
entradas de S/.4.00 le sobra dinero. ¿Cuál es número de primas que
invito Rubí?
SOLUCIÓN:
Supongamos que el N de personas que asisten al cine son “x”

Si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero

Si compra entradas de S/.4.00 le sobra dinero

De lo anterior se observa que “x” pertenece al intervalo

El único número entero en el intervalo es:

Por tanto se afirma que: 20

RESPUESTA: Rubí invito 6 primas

PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Sean:
A = {x R / x -2 v x 3}
B = {x R / -2 x 3}
Hallar A U B

02) Del problema anterior, hallar A B

03) Si a + 3 0. calcular el mínimo valor de (a + 5)

04) Resolver le inecuación: x +8 < 3x + 4

05) Hallar el mayor valor de “x” verifica: 4x – 56 16 – 2x

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