Integral definida

La Integral Definida
• Contenido:
– Notación Sigma.
– Suma Superior e Inferior.
– Integral Definida.
• Propiedades.
– Teorema de Valor Medio para integrales.
– Teorema fundamental del calculo.
– Aplicación de métodos.
• Sustitución.
• Cambio de variables.

Participante: Carlos Mantilla

Notación Sigma
El símbolo de Sumatoria

Definición.- Dado n números reales a1 ,⋅ ⋅ ⋅, a n , para expresar la
n
suma de éstos números se emplea el símbolo
∑a
i =1
i

y se lee como la suma de los ai desde i = 1 hasta i = n , i.e
n

∑a
i =1
i = a1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an
Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como
n

∑i = 1+ ⋅⋅⋅ + n igualmente la suma de los cuadrados de los
n

∑
i =1
primeros n enteros es i 2 = 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2
i =1

Propiedades de la Sumatoria

n n

1. Ley conmutativa ∑ ak = ∑ an+1−k
k =1 k =1
n n

2. ∑ ca
k =1
k =c ∑a
k =1
k

n n n

3. Ley distributiva ∑ ( ak ± bk ) = ∑ ak ± ∑ bk
k =1 k =1 k =1
n

4. ∑ c = cn
k =1
n

5. Propiedad Telescópica ∑ ( ak − ak −1 ) = an − a0
k =1

Algunas veces ak ( )
se expresa como a k = f k

Por medio de éstas propiedades se pueden obtener fórmulas para:
n n n

∑k , ∑k
k =1 k =1
2
,…., ∑
k =1
kn

Así tenemos que
n( n + 1)
n

∑
k =1
k=
2 ,
n( n + 1)( 2n + 1)
n

∑
k =1
k2 =
6 ,
2
 n( n + 1) 
n

∑
k =1
k3 = 
 2 


Suma superior y Suma inferior

Partición.- Dado un intervalo [a, b], donde a<b, el conjunto de
puntos P = { xi ∈ [ a, b] / a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn = b} recibe el nombre
de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos:

a = x0 x1 xi −1 xi xn = b

Toda partición P de un intervalo [a, b], divide a éste en n sub-
intervalos [ xi −1 , xi ], i = 1,⋅ ⋅ ⋅, n no necesariamente de igual longitud

La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por ∆ i x = xi −1 − xi , i = 1,⋅ ⋅ ⋅, n
y la longitud de la partición P se denota por P = ∆ = max{ ∆ i x / i = 1,⋅ ⋅ ⋅, n}

Partición Regular.- Dado un intervalo [a, b] una partición P se dice
que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud.
Para una partición − a n+1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se
b
con
denota por ∆ i x = es decir, [a, b] se divide en n partes iguales,
n
b−a
siendo los puntos de la partición: xi = a + i , i = 1,⋅ ⋅ ⋅, n
n
Una función f : ℜ → ℜ se dice que es acotada sobre un intervalo [a, b],
si existen números reales m, M tales que m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [ a, b]
Dada una partición P de [a, b], y f una función acotada sobre [a, b],
entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo [ xi −1 , xi ], i = 1,⋅ ⋅ ⋅, n en
consecuencia números reales mi, Mi tales que
mi = inf { f ( x ) / x ∈ [ xi −1 , xi ]}
M i = sup{ f ( x ) / x ∈ [ xi −1 , xi ]}

verificándose la desigualdad m ≤ mi ≤ f ( x ) ≤ M i ≤ M , ∀i = 1,⋅ ⋅ ⋅, n
NOTA.- Si la función f es continua sobre [a, b], entonces
Mi = valor máximo de f sobre [a, b] y mi = valor mínimo de f

Integral superior e integral inferior
Integral superior de f sobre el intervalo [a, b] denotado por

∫a f = inf { SS ( f , P ) / P ∈℘ }
b

Integral inferior de f sobre el intervalo [a, b] denotado por

∫a f = sup { SI ( f , P ) / P ∈℘ }
b

Definición.- Una función f : ℜ → ℜ acotada sobre [a, b] se dice que es
integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden

∫a f ( x ) dx
b
lo que se denota por:
Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b.
La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas
partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se
simboliza por una S alargada

Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [a, b] , entonces

m( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a )
b b
a a

Teorema 2.- Si f es integrable sobre [a, b] entonces

m( b − a ) ≤ SI ( f , P ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ SS ( f , P ) ≤ M ( b − a ) , ∀P ∈℘
b
a

NOTA.- Como SI ( f , P ) ≤ ∫a f ( x ) dx ≤ SS ( f , P )
b
entonces
1
f ( x ) dx − ( SS ( f , P ) + SI ( f , P ) ) ≤ 1 ( SS ( f , P ) − SI ( f , P ) )
b
∫a 2 2

1
f ( x ) dx ≅ ( SS + SI ) con un error máximo de
b
Es decir ∫a 2
1
( SS − SI )
2

Ejemplos.- Suponiendo que las siguientes funciones son integrables.
Hallar un valor aproximado de:
5 1
1. ∫0 dx
1 + x2
a) Una partición regular de longitud 1
b) Con la partición P = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 3, 3.5, 4, 5}
π
5. ∫0
2 1 + cos 2 x dx con una partición regular de longitud 15°

3 3
3. ∫−3x dx con una partición regular de longitud 0.5
5 1
Solución 1 a: ∫0 1 + x 2 dx ≅ 1.35 con un error máximo de 0.22, ya que
xi 0 1 2 3 4 5

f ( xi ) 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03

Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre éste
intervalo, sí y sólo si para ε > 0, ∃ P ∈℘ tal que SS ( f , P ) − SI ( f , P ) < ε

Teorema 4.- Toda función f continua sobre [a, b] es integrable sobre éste
intervalo.

Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [a, b], entonces para
y todos los xi ∈ [ xi −1 , xi ]
*
cada ε > 0 , ∀P ∈℘/ P < ε

( )
n
f ( x ) dx − ∑ f xi* ( xi − xi −1 ) < ε
b
∫a i =1

OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede

∑ ( )
n
f ( x ) dx = lím f xi* ( xi − xi −1 )
b
expresar como: ∫a P →0
i =1

En particular, si P es una partición regular con n+1 puntos, entonces
b−a
P= , P → 0 es equivalente a n → ∞ y como xi* ∈ [ xi −1 , xi ]
n
xi* podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e
i i −1
xi* = a + ( b − a ) ó xi* = a + (b − a) de modo que
n n
n
 i b−a
f ( x ) dx = lím ∑ f  a + ( b − a ) 
b
∫a n→∞
i =1  n  n
n
i −1

f ( x ) dx = lím ∑ f  a + ( b − a)  b − a
b
∫a n→∞
i =1  n

 n

Área bajo una curva
Se conoce como área bajo la curva y = f(x), al área de la región acotada por
las rectas x = a, x = b, el eje X y la gráfica de la función y = f(x).
a) Si f ( x ) ≥ 0 sobre el intervalo [a, b], entonces el área de la región es

A( R ) = ∫ f ( x ) dx
b
a
b) Sif ( x ) < 0 sobre el intervalo [a, b], entonces el área de la región es
A( R ) = − ∫ f ( x ) dx
b
a

PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA
• Si f es una función constante sobre [a, b], entonces
∫a c = c( b − a )
b

2. Si f es integrable sobre [a, b], entonces cf es integrable sobre [a, b]
b b
∫a cf = c ∫ f
a

3. Si f es integrable sobre [a, b], y c ∈ [ a, b] , entonces f es integrable
sobre [a, c] y sobre [c, d], además
b c b
∫a f =∫ f +∫ f
a c

• Si f , g son integrables sobre [a, b] , entonces f ± g es integrable
∫a ( f ± g ) = ∫a f ± ∫a g
b b b

• Si f , g son integrables sobre [a, b], f ≤ g entonces
b b
∫a f ≤∫ g
a

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