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Límites de funciones y derivadas , matemáticas
- 1. Límites de funcionesy Derivadas Instituto Tecnológico de Salina Cruz Departamento de Metal-Mecánica TENOLÓGICO NACIONAL DE MEXICO Noviembre /2016
- 2. Contenido Límite deuna función cuando x tiende a un número Definición intuitiva Ejemplos resueltos y Ejercicios propuestos Límites Infinitos Definición Teorema de límite Ejemplos resueltos y Ejercicios propuestos Limites en el infinito Definición Asíntota Horizontal Teorema Ejemplos resueltos y Ejercicios propuestos Derivadas Interpretación geométrica de la derivada Incremento y razón de cambio Definición de la derivada de una función Diferenciales Cálculo de derivadas Regla de la cadena Derivadas de funciones implícitas Derivadas de orden superior
- 3. Límite de unafunción cuando 𝑥 un número lim 𝑥→−4 16 − 𝑥2 4 + 𝑥 = 8 𝑓 𝑥 = 16 − 𝑥2 4 + 𝑥 = 8 7.85 7.9 7.95 8 8.05 8.1 8.15 -4.15 -4.1 -4.05 -4 -3.95 -3.9 -3.85 Axis Title Axis Title y 𝑥 𝑓(𝑥) -4.1 8.1 -4.01 8.01 -4.001 8.001 -3.9 7.9 -3.99 7.99 -3.999 7.999
- 4. Definición intuitiva La nociónde que f(x) tiende al numero L cuando x tiende al numero a se define en general como: “Si f(x) puede aproximarse arbitrariamente a un numero finito L, tomando a x suficiente mente cercano pero distinto de un numero a, tanto por el lado izquierdo como por el derecho de a, entonces lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿” Notación: 𝑥 → 𝑎− 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑥 → 𝑎+ 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 Si los límites unilaterales lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 𝑦 lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 tienen un valor común L lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝑳 y se dice entonces que lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿 existe y se escribe : lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝐿
- 11. x y -10 -0.18390715 -9-0.21234781 -8 -0.1431875 -7 -0.03515682 -6 -0.00663829 -5 -0.14326756 -4 -0.41341091 -3 -0.66333083 -2 -0.70807342 -1 -0.45969769 -0.1 -0.04995835 -0.01 -0.00499996 -0.001 -0.0005 -0.0001 -5E-05 0 #¡DIV/0! 0.0001 5E-05 0.001 0.0005 0.01 0.00499996 0.1 0.04995835 1 0.45969769 2 0.70807342 3 0.66333083 4 0.41341091 5 0.14326756 6 0.00663829 7 0.03515682 8 0.1431875 9 0.21234781
- 12. Ejercicios Trace una gráficapara encontrar el límite dado si es que existe. 1. lim 𝑥→2 3𝑥 + 2 2. . lim 𝑥→0 1 + 1 𝑥 3. lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 .4 lim 𝑥→−2 𝑥2 − 1 .5 lim 𝑥→5 𝑥 − 1 .6 lim 𝑥→0 𝑥2 − 3𝑥 𝑥 . 7. lim 𝑥→0 𝑥 𝑥 . 8. lim 𝑥→2 𝑥 − 2 . 9. . lim 𝑥→0 𝑓 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3, 𝑥 < 0 −𝑥 + 3 𝑥 ≥ 0 .10. . lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 < 2 𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 2
- 13. lim 𝑥→2 3𝑥 + 2 xy -10 -28 -9 -25 -8 -22 -7 -19 -6 -16 -5 -13 -4 -10 -3 -7 -2 -4 -1 -1 0 2 1.998 7.994 1.999 7.997 2 8 2.001 8.003 2.002 8.006 2.003 8.009 3 11 4 14 5 17 6 20 7 23 8 26 9 29 10 32 11 35 12 38 13 41 14 44 Si existe
- 14. lim 𝑥→0 1 + 1 𝑥 x y -100.9 -9 0.88888889 -8 0.875 -7 0.85714286 -6 0.83333333 -5 0.8 -4 0.75 -3 0.66666667 -2 0.5 -1 0 0 -499 -0.001 -999 0 #¡DIV/0! 0.001 1001 0.002 501 1 2 2 1.5 3 1.33333333 4 1.25 5 1.2 6 1.16666667 7 1.14285714 8 1.125 9 1.11111111 10 1.1 No existe
- 15. lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 x y -10 100.090909-9 -9 81.1 -8 -8 64.1111111 -7 -7 49.125 -6 -6 36.1428571 -5 -5 25.1666667 -4 -4 16.2 -3 -3 9.25 -2 -2 4.33333333 -1 -1 1.5 0 0 1 1 0.998 500.996004 1.998 0.999 1000.998 1.999 0.9999 10000.9998 1.9999 1 #¡DIV/0! 2 1.001 -998.997999 2.001 1.002 -498.995996 2.002 1.05 -18.8975 2.05 2 3 3 3 8.5 4 4 15.6666667 5 5 24.75 6 6 35.8 7 7 48.8333333 8 8 63.8571429 9 9 80.875 10 10 99.8888889 11 Si existe
- 16. lim 𝑥→0 𝑥 𝑥 x y -10 -1 -9-1 -8 -1 -7 -1 -6 -1 -5 -1 -4 -1 -3 -1 -2 -1 -1 -1 -0.5 -1 -0.1 -1 -0.01 -1 -0.001 -1 -0.0001 -1 0 #¡DIV/0! 0.0001 1 0.001 1 0.01 1 0.1 1 0.5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1
- 17. lim 𝑥→0 𝑓 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3, 𝑥 < 0 −𝑥 + 3 𝑥 ≥ 0 x y -10 -7 -9 -6 -8 -5 -7 -4 -6 -3 -5 -2 -4 -1 -3 0 -2 1 -1 2 -0.5 2.5 -0.1 2.9 -0.01 2.99 -0.001 2.999 -0.0001 2.9999 0 3 0.0001 2.9999 0.001 2.999 0.01 2.99 0.1 2.9 0.5 2.5 1 2 2 1 3 0 4 -1 5 -2 6 -3 7 -4 8 -5 9 -6 10 -7
- 18. Límites infinitos Son deinterés las funciones cuyos valores aumentan o disminuyen a medida que la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo. Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 3 (𝑥 − 2)2 x f(x) -1 0.33333333 0 0.75 1 3 1.5 12 1.75 48 1.9 300 1.99 30000 1.999 3000000 2 #¡DIV/0! 2.001 3000000 2.01 30000 2.1 300 2.25 48 2.5 12 3 3 lim 𝑥→2+ 3 (𝑥 − 2)2 = +∞ lim 𝑥→2− 3 (𝑥 − 2)2 = +∞ lim 𝑥→2 3 (𝑥 − 2)2 = +∞
- 19. Definición Sea una funcióndefinida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga a, excepto, posiblemente, en el número a mismo. Cuando x tiende a a, f(x) crece sin limite lo cual se escribe como lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = +∞ Si para cualquier número 𝑁 > 0 existe una δ > 0 tal que 𝑠𝑖 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥 > 𝑁
- 20. Sea una funcióndefinida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga a, excepto, posiblemente, en el número a mismo. Cuando x tiende a a, f(x) crece sin limite lo cual se escribe como lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = −∞ Si para cualquier número 𝑁 < 0 existe una δ > 0 tal que 𝑠𝑖 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥 < 𝑁
- 21. lim 𝑥→2 3 (𝑥 − 2)2 =−∞ x f(x) -1 -0.33333333 0 -0.75 1 -3 1.5 -12 1.75 -48 1.9 -300 2.1 -300 2.25 -48 2.5 -12 3 -3
- 22. lim 𝑥→1 2𝑥 𝑥 − 1 = xy -4 1.6 -3 1.5 -2 1.33333333 -1 1 -1.5 1.2 0 0 0.9 -18 0.99 -198 1.01 202 1.1 22 1.5 6 2 4 3 3 4 2.66666667 lim 𝑥→1− 2𝑥 𝑥 − 1 = −∞ lim 𝑥→1+ 2𝑥 𝑥 − 1 = +∞
- 23. Teorema de límite Sir es cualquier entero positivo, entonces 𝑖 lim 𝑥→0+ 1 𝑥𝑟 = +∞ 𝑖𝑖 lim 𝑥→0− 1 𝑥𝑟 = −∞ 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 +∞ 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
- 24. x y 0.2 125 0.58 1 1 2 0.125 3 0.03703704 4 0.015625 2 0.125 3 0.03703704 4 0.015625 x y 0.2 625 0.5 16 0.7 4.16493128 1 1 2 0.0625 3 0.01234568 4 0.00390625 5 0.0016 lim 𝑥→0+ 1 𝑥3 lim 𝑥→0+ 1 𝑥4
- 25. lim 𝑥→0− 1 𝑥3 x y -4 -0.015625 -3-0.03703704 -2 -0.125 -1 -1 -0.5 -8 -0.2 -125 lim 𝑥→0− 1 𝑥4 x y -4 0.00390625 -3 0.01234568 -2 0.0625 -1 1 -0.5 16 -0.2 625
- 26. Teorema de límite Sia es cualquier número real, y si lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 0, y lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 𝑐, donde c es una constante diferente de 0, entonces 𝑖 𝑠𝑖 𝑐 > 0 𝑦 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 → 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑖𝑖 𝑠𝑖 𝑐 > 0 𝑦 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 → 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑖 𝑐 < 0 𝑦 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 → 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑖𝑣 𝑠𝑖 𝑐 < 0 𝑦 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 → 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +∞ El teorema también es válido si "𝑥 → 𝑎” se sustituye por "𝑥 → 𝑎+ ” o "𝑥 → 𝑎− ”
- 27. Ejercicios lim 𝑥→1− 2𝑥 𝑥 − 1 = lim 𝑥→3+ 𝑥2+ 𝑥 + 2 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = lim 𝑥→2+ 𝑥2 − 4 𝑥 − 2 = lim 𝑥→1+ 2𝑥 𝑥 − 1 = lim 𝑥→3− 𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = lim 𝑥→2− 𝑥2 − 4 𝑥 − 2 = lim 𝑥→2 3 (𝑥 − 2)2 = lim 𝑥→4 −2 (𝑥 − 4)2 = lim 𝑥→3− 𝑥3 + 9𝑥2 + 20𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 12 = lim 𝑡→2+ 𝑡 + 2 𝑡2 − 4 = lim 𝑥→0− 3 + 𝑥2 𝑥 = lim 𝑥→1+ 𝑥 − 1 2𝑥 − 𝑥2 − 1 =
- 28. Límites en elinfinito A diferencia de las funciones con limites infinitos en las que sus valores crecen o disminuyen sin límites a medida que la variable independiente tiende a un número real. En las funciones con límites en el infinito la variable independiente aumenta o disminuye sin límite. 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 𝑥2 + 2 lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 2
- 29. Definición Sea 𝑓 unafunción definida en todos los números de algún intervalo 𝑎. +∞ . El límite de 𝒇(𝒙) , cuando 𝒙 crece sin límite es 𝑳, y se representa como lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si para cualquier ϵ > 0, no importa que tan pequeña sea existe un número 𝑁 > 0, tal que 𝑆𝑖 𝑥 > 𝑁 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖 Sea 𝑓 una función definida en todos los números de algún intervalo −∞, 𝑎 . El límite de 𝒇(𝒙) , a medida que 𝒙 disminuye sin límite es 𝑳, y se representa como lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Si para cualquier ϵ > 0, no importa que tan pequeña sea existe un número 𝑁 < 0, tal que 𝑆𝑖 𝑥 < 𝑁 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖
- 30. Asíntota horizontal -500 1.999992 -2501.999968 -175 1.9999347 -85 1.99972322 -70 1.99959192 -25 1.99680511 -12 1.9862069 -6 1.94594595 -4 1.88235294 -3 1.8 -1 1 0 0 1 1 3 1.8 4 1.88235294 6 1.94594595 25 1.99680511 70 1.99959192 85 1.99972322 175 1.9999347 250 1.999968 500 1.999992 Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x Se dice que la recta 𝑦 = 𝑏 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑓 si cuando menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: i) lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑏, y para algún número 𝑁, si 𝑥 > 𝑁, entonces, 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏 ii) lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝑏, y para algún número 𝑁, si 𝑥 < 𝑁, entonces, 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏
- 31. Teorema lim 𝑥→+∞ 1 𝑥𝑟 = 0 lim 𝑥→−∞ 1 𝑥𝑟 = 0 Sir es cualquier entero positivo, entonces
- 32. Ejemplos lim 𝑡→+∞ 2𝑡 + 1 5𝑡− 2 = lim 𝑡→+∞ 2 + lim 𝑡→+∞ 1 𝑡 lim 𝑡→+∞ 5 − lim 𝑡→+∞ 2 𝑡 = = 2 + 0 5 − 0 = 2 5 lim 𝑡→+∞ 2𝑡 𝑡 + 1 𝑡 lim 𝑡→+∞ 5𝑡 𝑡 − 2 𝑡 = lim 𝑡→+∞ 2𝑡 + 1 𝑡 lim 𝑡→+∞ 5𝑡 − 2 𝑡 = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 + 5 𝑥3 = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 + 5 𝑥3 lim 𝑥→+∞ 𝑥3 𝑥3 = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 𝑥3 + lim 𝑥→+∞ 5 𝑥3 lim 𝑥→+∞ 1 = lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 + lim 𝑥→+∞ 5 𝑥3 lim 𝑥→+∞ 1 = 0 + 0 1 = 0 lim 𝑡→+∞ 2𝑡 + 1 𝑡 5𝑡 − 2 𝑡 = =
- 33. Ejercicios propuestos lim 𝑥→−∞ 6𝑥 −4 3𝑥 + 1 = lim 𝑥→−∞ 2𝑥 + 7 4 − 5𝑥 = lim 𝑥→+∞ 1 + 5𝑥 2 − 3𝑥 = lim 𝑥→+∞ 7𝑥2 − 2𝑥 + 1 3𝑥2 + 8𝑥 + 5 = lim 𝑠→−∞ 4𝑠2 + 3 2𝑠2 − 1 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 + 4 3𝑥2 − 5 = lim 𝑦→+∞ 2𝑦2 − 3𝑦 𝑦 + 1 = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 − 2𝑥 + 5 7𝑥3 + 𝑥 + 1 = lim 𝑥→−∞ 3𝑥 + 1 𝑥2 = lim 𝑥→+∞ 𝑥2 + 4 𝑥 + 4 = lim 𝑥→−∞ 𝑥2 + 4 𝑥 + 4 = lim 𝑥→−∞ 𝑤2 − 2𝑤 + 3 𝑤 + 5 =
- 34. Las razones decambio y la derivada Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.
- 35. Definiciones de Derivada Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto (x , f(x) ) es la derivada de f en x. Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto P(x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x. Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad. Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
- 36. Una forma clásicade construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación: A medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante: Tangente a una gráfica
- 37. El cálculo dela ecuación de la recta tangente de una función dada, en un punto especifico de la misma., requiere de : a) Conocer las coordenadas del punto; P 𝑎, 𝑓 𝑎 b) La pendiente de la recta ; m Aproximar la pendiente m, a través de las pendientes de rectas secantes que pasen por el punto fijo P y cualquier otro punto Q 𝑚𝑠𝑒𝑐 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑎 = ∆𝑦 ∆𝑥
- 38. Definición Sea 𝑦 =𝑓(𝑥) una función continua. La recta tangente a la gráfica en el punto 𝑎. 𝑓(𝑥) , es la que pasa por tal punto y su pendiente es : 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 Siempre que el límite exista. Simplificando la aplicación de la definición anterior en cuatro pasos: 𝑖) 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 𝑖𝑖) ∆𝑦 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 𝑖𝑖𝑖) ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎) ∆𝑥 𝑖𝑣) 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥
- 39. Ejemplos Determine la pendientede la recta tangente a la grafica de la función dada 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 ; (4, 7) (𝑎, 𝑓(𝑎)) = (4, 7) Solución: 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑖) 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 𝑓 𝑎 = 𝑓 4 = 2 4 − 1 = 8 − 1 = 7 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 = 𝑓 4 + ∆𝑥 = 2 4 + ∆𝑥 − 1 = 8 + 2∆𝑥 − 1 = 7 + 2∆𝑥 𝑖𝑖) ∆𝑦 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 4 + ∆𝑥 − 𝑓 4 = 7 + 2∆𝑥 − 7 = 2∆𝑥 𝑖𝑖𝑖) ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎) ∆𝑥 = 2∆𝑥 ∆𝑥 = 2 𝑖𝑣) 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 2 = 2 Para cualquier ∆𝑥 ≠ 0
- 40. 𝑓 𝑥 =2𝑥2 + 8𝑥 ; (0, 0) Solución: (𝑎, 𝑓(𝑎)) = (0, 0) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑖) 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 𝑓 𝑎 = 𝑓 0 = 2 0 2 + 8 0 = 0 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 = 𝑓 0 + ∆𝑥 = 2 0 + ∆𝑥 2 + 8 0 + ∆𝑥 = 2∆𝑥2 + 8∆𝑥 𝑖𝑖) ∆𝑦 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 0 + ∆𝑥 − 𝑓 0 = 2∆𝑥2 + 8∆𝑥 − 0 = 2∆𝑥2 + 8∆𝑥 𝑖𝑖𝑖) ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎) ∆𝑥 = 2∆𝑥2 + 8∆𝑥 ∆𝑥 = ∆𝑥(2∆𝑥 + 8) ∆𝑥 = 2∆𝑥 + 8 𝑖𝑣) 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 2∆𝑥 + 8 = 2 0 + 8 = 8 Para cualquier ∆𝑥 ≠ 0
- 41. Ejercicios propuestos 𝑓 𝑥= − 1 2 𝑥 + 3 ; (𝑎, 𝑓(𝑎)) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 ; (3, 9) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4 ; (−1, 5) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 ; (2, −2) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 ; (1, 𝑓(1)) 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 𝑥2 ; (2, 𝑓(2)) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 ; (1 3 , 𝑓(1 3)) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 1 2 ; (0, 𝑓(0))
- 42. Encuentre una ecuaciónde la recta tangente a la grafica de la función dada en el valor de x indicado 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 ; 𝑥 = 5 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 2 ; 𝑥 = −3 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 4 + 6𝑥 ; 𝑥 = 1 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 10 ; 𝑥 = 7 𝑓 𝑥 = 1 1 + 2𝑥 ; 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 4 − 8 𝑥 ; 𝑥 = −1
- 43. Ejemplo 𝑓 𝑥 =1 − 𝑥2 ; 𝑥 = 5 (𝑎, 𝑓(𝑎)) = (5, 𝑓(𝑎)) 𝑓 𝑎 = 𝑓 5 = 1 − 5 2 = 1 − 25 = −24 (𝑎, 𝑓(𝑎)) = (5, −24) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑖) 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 = 𝑓 5 + ∆𝑥 = 1 − 5 + ∆𝑥 2 = 1 − 25 + 10∆𝑥 + ∆𝑥2 = = 1 − 25 − 10∆𝑥 − ∆𝑥2 = −24 − 10∆𝑥 −∆𝑥2 𝑖𝑖) ∆𝑦 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 5 + ∆𝑥 − 𝑓 5 𝑖𝑖𝑖) ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎) ∆𝑥 = −10∆𝑥 − ∆𝑥2 ∆𝑥 = −10 − ∆𝑥 = −24 − 10∆𝑥 − ∆𝑥2 − (−24)
- 44. 𝑖𝑣) 𝑚𝑡𝑎𝑛 =lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 −10 − ∆𝑥= − 10 − 0 = −10 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 = −10𝑥 + 𝑏 Sabemos: ; (𝑎, 𝑓 𝑎 ) = (5, −24) 𝑓 5 = −24 = −10(5) + 𝑏 −24 = −10(5) + 𝑏 Despejando, 𝑏 −24 = −10 5 + 𝑏 −24 = −50 + 𝑏 −24 + 50 = 𝑏 𝑓 𝑥 = −10𝑥 + 26 26 = 𝑏
- 45. Tangentes Verticales Puede sucederque el límite no exista para una función 𝑓 en un número 𝑎 y aún así haya tangente en 𝑎 𝑓 𝑥 . La recta tangente en un punto puede ser vertical en cuyo caso la pendiente no esta definida. 𝑎 𝑓 𝑥 = (0,0) 𝑓(𝑥) = 𝑥1/3
- 46. Puede no habertangente La gráfica de una función 𝑓 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟á recta tangente en un punto siempre que : 𝑖) 𝑓 𝑠𝑒𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑖𝑖) 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑓 𝑎 ) 𝑖𝑖𝑖) 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
- 47. Razón de cambio Lapendiente ∆𝑦 ∆𝑥 de una recta secante que pasa por 𝑎, 𝑓(𝑥) se llama también razón media de cambio (o tasa media de variación) de 𝑓 en 𝑎. La pendiente 𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 es la razón de cambio instantánea de la función en 𝑎
- 48. Bibliografía Cálculo conGeometría Analítica Dennis G. Zill Grupo Editorial Iberoamérica ISBN 968-7270-37-3 El Cálculo con Geometría Analítica Louis Leithold Sexta Edición HARLA ISBN 970-613-040-3