Manual propedeutico-final-2014

Universidad Aut´onoma del Estado de Morelos
Facultad de Ciencias
Manual
Curso proped´eutico
2014

Curso Propedéutico
Facultad de Ciencias, UAEM
Ana Baray Esparza
Juan José Catalán Ram´ırez
Dan Sidney D´ıaz Guerrero
Rogelio Valdez Delgado
Beatriz Villa Bahena

Introducción
El curso propedéutico de la Facultad de Ciencias de la UAEM, se imparte a los estudian-
tes candidatos a ingresar a la Facultad de Ciencias, a la carrera de Licenciatura en Ciencias,
en sus cuatro áreas terminales como son Bioqu´ımica y biolog´ıa molecular, Ciencias compu-
tacionales, F´ısica y Matemáticas. La duración del curso propedéutico es de alrededor de 4
semanas.
Los temas que se tratan en este curso son principalmente de matemáticas de nivel bachillerato.
Este manual presentan los temas estudiados en el curso propedéutico, en el orden en que se
enseñan a lo largo de las 4 semanas de duración del curso.
El primer cap´ıtulo, cubre material básico de álgebra, como son sistemas númericos, valor
absoluto, leyes de los signos, operaciones algebraicas elementales, entre otros. El cap´ıtulo
dos, estudia las operaciones básicas como suma, multiplicación, división de expresiones con
literales, ya sea de monomios y polinomios. También se estudian los radicales y el concepto
de racionalización.
El tercer cap´ıtulo, trata acerca de los productos notables básicos, y se presentan unos ejemplos
geométricos de algunos de estos productos. También se da una introducción al teorema del
binomio de Newton. En el cap´ıtulo cuatro se presenta, lo que se podr´ıa llamar la operación
inversa de tomar el producto de dos expresiones, es decir, el concepto de factorización de
expresiones algebraicas. Se pone especial enfásis en los distintos métodos de factorización
que existen o en los más conocidos.
El quinto cap´ıtulo estudia las ecuaciones de primer grado, as´ı como el planteamiento de pro-
blemas que se resuelven usando este tipo de ecuaciones. De la misma manera, en el cap´ıtulo
seis se estudian las ecuaciones de segundo grado, la deducción de la fórmula general por el
método de completar cuadrados y se hacen observaciones fundamentales acerca del discrimi-
nante de una ecuación cuadrática. Al final, tambien se estudian problemas que se resuelven
por medio de ecuaciones de segundo grado.
El cap´ıtulo siete trata acerca de los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecua-
ciones, ya sea de sistemas de dos incógnitas o de tres incógnitas, incluyendo el método del
determinante. Se presentan aplicaciones para la resolución de problemas. En el cap´ıtulo ocho
se da un estudio breve de las desigualdades, as´ı como de las inecuaciones y su relación con
el valor absoluto.

II
El cap´ıtulo nueve trata acerca de funciones elementales básicas, como son la función logarit-
mo, las funciones exponenciales y las funciones trigonométricas, con especial enfásis en la
resolución de ecuaciones con este tipo de funciones.
A lo largo del material de este manual, se presentan varios ejemplos resueltos de los temas
vistos en cada cap´ıtulo o sección, y al final de casi todas las secciones de estas notas, una lista
de ejercicios para el lector es presentada. Estos ejercicios pueden funcionar como parte de la
tarea del curso.
Gran parte del material usado para la elaboración de este manual se recopilo de las clases
teóricas presentadas por distintos profesores investigadores, que a lo largo de los últimos
años han impartido el curso propedéutico.

Índice general
Introducción I
1. Números 1
1.1. Los números enteros y fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Los números racionales e irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Sistema decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2. Números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3. Elección del sentido positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4. El cero, los números positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Los s´ımbolos de relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y división) . . . . . . . 9
1.6.1. Los s´ımbolos de agrupamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2. Ley de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.5. Potencias de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Productos de potencias de un mismo número . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Operaciones con literales 13
2.1. Propiedades de los números reales con la suma y la multiplicación . . . . . . 13
2.2. Términos y notación algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Clasificación de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III

IV Índice general
2.3.1. Suma de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2. Suma de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3. Suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Producto y potencias de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1. Multiplicación de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2. Potencias de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. División de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1. Ley de los signos en la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2. División de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Simplificación de expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.1. Principios fundamentales de las fracciones . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.2. Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8. Suma y resta de expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9. Potencias fraccionarias y simplificación de radicales . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.1. Ra´ız de un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10. Racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Productos notables 35
3.1. Ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos números entre la suma
o resta de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Índice general V
3.3.2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos números entre
la suma o resta de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos números
entre la suma o resta de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Triángulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Factorización 45
4.1. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Factorización de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Distintos tipos de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Fracciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5. Ecuaciones de primer grado 63
5.1. Clases de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Concepto de solucion de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3. Planteamiento y resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6. Ecuaciones de segundo grado 69
6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.1. Ecuaciones incompletas de la forma ax2
+ c = 0 . . . . . . . . . . . 69
6.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
+ bx = 0 . . . . . . . . . . 71
6.1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. Ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.1. Deducción de la formula general de la solución de una ecuación de
segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

VI Índice general
6.2.4. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3. Planteamiento y resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4. Solución de ecuaciones de grado mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4.1. Procedimiento para resolver ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . 80
6.4.2. Solución de ecuaciones por factorización . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. Sistemas de ecuaciones lineales 83
7.1. Concepto de solución de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2. Resolución de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.1. Método de igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.2. Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2.3. Método de suma o resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.4. Método del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8. Desigualdades 95
8.1. Desigualdades de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9. Funciones elementales 101
9.1. Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Cap´ıtulo 1
Números
Consideramos que el lector está familiarizado con el conjunto de números que se utilizan
para contar. A este conjunto se le conoce como el conjunto de números naturales y se denota
por N, es decir,
N = {1, 2, 3, . . .}.
En este conjunto estamos acostumbrados a realizar dos operaciones, la suma y la multipli-
cación, entendiendo con esto que si sumamos o multiplicamos dos números del conjunto
obtenemos otro número natural. A estas operaciones las conocemos como la suma (o adi-
ción) y la multiplicación (o producto). En algunos libros el 0 se considera también como un
número natural, sin embargo, en este libro no, pero convenimos que 0 es tal que n + 0 = n,
para todo número natural n.
Ahora, supongamos que deseamos resolver la ecuación x + a = 0, con a ∈ N, es decir,
encontrar una x para la cual la igualdad anterior se cumpla. Esta ecuación no tiene solución
en el conjunto de los números naturales N, por lo cual necesitamos definir un conjunto de
números que incluya al conjunto de números N y a sus negativos. Es decir, necesitamos
extender el conjunto de los números N para que este tipo de ecuaciones tengan solución en
el nuevo conjunto. A este conjunto lo llamamos el conjunto de los números enteros y lo
denotamos por Z, es decir,
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
En este conjunto también hay dos operaciones, la suma y la multiplicación, que satisfacen las
siguientes propiedades.
Propiedades 1.0.1 (a) La suma y la multiplicación de números enteros son operaciones
conmutativas. Esto es, si a, b ∈ Z, entonces
a + b = b + a y ab = ba.
1

2 Cap´ıtulo 1. Números
(b) La suma y el producto de números enteros son operaciones asociativas. Esto es, si
a, b y c ∈ Z, entonces
(a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc).
(c) Existe en Z un elemento neutro para la suma, el número 0. Es decir, si a ∈ Z, entonces
a + 0 = 0 + a = a.
(d) Existe en Z un elemento neutro para la multiplicación, el número 1. Es decir, si a ∈ Z,
entonces
a1 = 1a = a.
(e) Para cada a ∈ Z existe su inverso aditivo que se denota por −a. Esto es,
a + (−a) = (−a) + a = 0.
(f) En Z, el producto se distribuye con respecto a la suma. Es decir, si a, b y c ∈ Z, entonces
a(b + c) = ab + ac.
Notemos que la existencia del inverso aditivo nos permite resolver cualquier ecuación del
tipo mencionado, es decir, x + a = b, donde a y b son números enteros. Sin embargo, no
existe necesariamente un número entero x que resuelva la ecuación qx = p, con p y q núme-
ros enteros, por lo que nuevamente surge la necesidad de extender el conjunto de números.
Consideramos ahora el conjunto de los números racionales, que denotamos como Q, es decir,
Q =
p
q
| p ∈ Z y q ∈ Z{0} .
En general, para trabajar con los números racionales p
q
pedimos que p y q no tengan factores
primos comunes, es decir, que sean primos relativos, esto lo denotamos como (p, q) = 1. En
el conjunto de números racionales también existen las operaciones de suma y producto, las
cuales cumplen las mismas propiedades que los números enteros. Además, en el producto
existe otra propiedad: la existencia del inverso multiplicativo.
Propiedad 1.0.2 Si p
q
∈ Q, con p = 0 y (p, q) = 1, entonces existe un único número, q
p
∈ Q,
llamado el inverso multiplicativo de p
q
tal que
p
q
·
q
p
= 1.
Con esta nueva propiedad tenemos garant´ıa de poder resolver cualquier ecuación de la for-
ma qx = p. Sin embargo, existen números que no podemos escribir como cociente de dos
números enteros, por ejemplo, si queremos resolver la ecuación x2
− 2 = 0, ésta no tiene
solución en el conjunto de los números Q. Las soluciones de la ecuación son x = ±
√
2 y
ahora mostremos que
√
2 no está en Q.

1.1. Los números enteros y fraccionarios 3
Proposición 1.0.3 El número
√
2 no es un número racional.
Demostración. Supongamos lo contrario, es decir, que
√
2 es un número racional, entonces
lo podemos escribir como
√
2 = p
q
, donde p y q no tienen factores comunes. Elevando al
cuadrado de ambos lados tenemos que 2 = p2
q2 , es decir, 2q2
= p2
. Esto quiere decir, que p2
es un número par, pero entonces el mismo p es par. Pero si p es par, digamos de la forma
p = 2m, entonces 2q2
= (2m)2
= 4m2
. Dividiendo entre 2 ambos lados de la ecuación
tenemos que q2
= 2m2
, esto es, q2
es par y entonces q es también par. As´ı, p y q son pares,
contradiciendo el hecho de que p y q no tienen factores comunes. Por lo tanto,
√
2 no es un
número racional.
1.1. Los números enteros y fraccionarios
Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematiza-
ción de los conocimientos matemáticos, los babilonios y los egipcios conoc´ıan las fracciones.
La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc.,
llevó al hombre a introducir números fraccionarios.
Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud con-
tinua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de dos cosas, que la unidad esté contenida
en un número entero de veces, o que no esté contenida en un número entero de veces. En el
primer caso representamos el resultado de la medición con un número entero. En el segun-
do caso tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres, en cuatro, o en tantas
partes iguales como sea necesario; de este modo hallaremos una fracción de la unidad que
esté contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta última medición
lo expresaremos con un par de números enteros, distintos de cero, llamados respectivamente
numerador y denominador. El denominador nos dará el número de partes en que hemos di-
vidido la unidad, y el numerador el número de subunidades contenidas en la magnitud que
acabamos de medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Algunos ejemplo de
números fraccionarios son
1
2
,
1
3
,
3
5
,
7
3
.
Podemos decir también que son números fraccionarios, los que nos permiten expresar el
cociente de una división inexacta, o lo que es lo mismo, una división en la cual el dividendo
no es múltiplo del divisor.
Un caso particular de números fraccionarios, son los números enteros, que podemos definir
como aquellos que expresan el cociente de una división exacta. Como ejemplo de números
enteros tenemos
1, 2, 3, 4, . . ..
El 0 es un número entero. Los números −1, −2, −3, etc., también son números enteros, a
estos se les conoce como enteros negativos.

1.2. Los números racionales e irracionales
Los números racionales, como vimos anteriormente, son aquellos que se pueden representar
de la forma p
q
, donde p y q son números enteros y q es distinto de cero, es decir, los núme-
ros racionales son todos los números enteros y fraccionarios, tanto los positivos como los
negativos, por ejemplo, 1
2
, −5
3
, 3
1
.
Existen números que no se pueden representar de la forma p
q
, a estos se les llama números
irracionales, por ejemplo,
√
3,
√
5, π, e.
Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los números irracionales.
Los historiadores de la matemática, están de acuerdo en atribuir a Pitágoras (550 A. C.) el
descubrimiento de estos números, al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la
diagonal del mismo. Más tarde, Teodoro de Cirene (400 A. C.), matemático de la escuela
pitagórica, demostró geométricamente que
√
2,
√
3,
√
5,
√
7, etc., son irracionales. Euclides
(300 A. C.), estudió en el libro X de sus “Elementos”, ciertas magnitudes que al ser medidas
no se encuentra ningún número entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se
llaman inconmensurables, y los números que se originan al medir tales magnitudes se llaman
irracionales.
1.3. Los números reales
Se les llama números reales a los números descritos anteriormente (enteros, racionales e
irracionales). Se pueden representar en forma decimal (como veremos a continuación), por
ejemplo el número 1 lo podemos escribir como 1.000 . . ., el −3 como −3.000 . . . , la fracción
1
3
como 0.333 . . .,
√
2 como 1.4142 . . ., π = 3.1415 . . . .
1.3.1. Sistema decimal
El sistema decimal es un sistema posicional en el que cada d´ıgito toma un valor de acuerdo
a su posición con relación al punto decimal. Esto es, el d´ıgito se multiplica por una potencia
de 10. Para el d´ıgito de las unidades, o sea, el d´ıgito que está inmediatamente a la izquierda
del punto decimal, lo tenemos que multiplicar por 10n
, con n = 0. El d´ıgito de las decenas lo
multiplicamos por 101
= 10. El exponente aumenta de uno en uno conforme nos movemos a
la izquierda y disminuye de uno en uno conforme nos movemos a la derecha. Por ejemplo,
87325.31 = 8 · 104
+ 7 · 103
+ 3 · 102
+ 2 · 101
+ 5 · 100
+ 3 · 10−1
+ 1 · 10−2
.
En general, todo número real puede escribirse como una expansión decimal infinita de la
siguiente manera
bm . . . b1b0.a1a2a3 . . . ,
donde los bi y los ai están en {0, 1, . . . , 9}. Los puntos suspensivos de la derecha signifi-
can que después del punto decimal podemos tener una infinidad de d´ıgitos, as´ı el número

1.3. Los números reales 5
bm . . . b1b0.a1a2a3 . . . , representa al número real
bm · 10m
+ · · · + b1 · 101
+ b0 · 100
+ a1 · 10−1
+ a2 · 10−2
+ · · · .
Por ejemplo,
1
3
= 0.3333 . . . , 3
7
= 0.428571428571 . . .,
1
2
= 0.50000 . . . ,
√
2 = 1.4142135 . . ..
Con esta notación podemos también distinguir entre los números racionales y los irracionales.
Los números racionales son aquellos para los cuales la expansión decimal es finita o bien
infinita pero en algún momento se hace periódica, como por ejemplo en 34
275
= 0.123636 . . .,
que se hace periódica de periodo 2 a partir del tercer d´ıgito. En cambio, para los números
irracionales, la expansión decimal es infinita, pero no sólo eso, sino que además nunca se
hace periódica.
1.3.2. Números con signo
En Álgebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos,
es decir, que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición
o modo de ser de las cantidades por medio de los signos + y −, anteponiendo el signo + a
las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el
signo − a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).
As´ı, por ejemplo, el tener, se designa con el signo + y las deudas con el signo −. Para expresar
que una persona tiene 100, diremos que tiene +100, y para expresar que debe 100, diremos
que tiene −100.
Los grados sobre cero del termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con
el signo −. As´ı, para indicar que el termómetro marca 10◦
sobre cero escribiremos +10◦
y
para indicar que marca 8◦
bajo cero escribiremos −8◦
.
El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto dado, se designa con el signo +
y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de ese mismo punto se representa con el
signo −. As´ı, si hemos recorrido 200 m, a la derecha de un punto dado, diremos que hemos
recorrido +200 m, y si recorremos 300 m a la izquierda del mismo punto, escribiremos −300
m.
El tiempo transcurrido después de Cristo, se considera positivo y el tiempo transcurrido antes
de Cristo, negativo. As´ı, +150 años significa 150 años D.C. y −78 años significa 78 años
A.C.
En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porción que se halla del
suelo hacia arriba y con el signo − la porción que se halla del suelo hacia abajo. As´ı, para
expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m, escribiremos
+15 m, y si la porción introducida en el suelo es de 8 m, escribiremos −8 m.

La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo −; la longitud este
se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya
situación geográfica sea +45◦
de longitud y −15◦
de latitud se hallará a 45◦
al este del primer
meridiano y a 15◦
bajo el Ecuador.
1.3.3. Elección del sentido positivo
La elección de fijar el sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos
opuestos, es arbitraria, depende de nuestra voluntad, es decir, podemos elegir uno de los
sentidos como sentido positivo, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a
éste será el negativo. As´ı, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la derecha
de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto será negativo, pero nada nos
impide tomar como positivo el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino
recorrido a la derecha del punto ser´ıa negativo.
1.3.4. El cero, los números positivos y negativos
El cero es la ausencia de cantidad. Los números positivos son todos los números reales ma-
yores que cero, en algunas ocasiones estos números están precedidos por el signo +. Los
números negativos son todos los números reales menores que cero, estos números se carac-
terizan por ser precedidos por el signo −.
Ejemplos de números positivos: 5, +0.25, 1
7
, π.
Ejemplos de números negativos: −2, −0.333 . . . , −1
5
, −π.
1.4. Los s´ımbolos de relación de orden
En los números reales está definida una relación de orden, como se enuncia a continuación.
Propiedades 1.4.1 Si x, y son números reales, se cumple una y solamente una de las condi-
ciones siguientes:
(a) x = y,
(b) x < y,
(c) x > y.
El s´ımbolo = se lee igual a. As´ı, x = y se lee “x igual a y”. El s´ımbolo < se lee menor que.
As´ı, x < y se lee “x menor que y”. El s´ımbolo > se lee mayor que. Luego, x > y se lee “x
mayor que y”.

1.5. Valor absoluto 7
1.5. Valor absoluto
Definimos el valor absoluto de un número real x como
|x| =
x, si x ≥ 0,
−x, si x < 0.
Para k un número real no negativo, la identidad |x| = k sólo la satisfacen los números x = k
y x = −k.
La desigualdad |x| ≤ k es equivalente a −k ≤ x ≤ k, lo cual podemos ver de la siguiente
manera. Si x ≥ 0, entonces 0 ≤ x = |x| ≤ k. Por otro lado, si x ≤ 0, entonces −x = |x| ≤ k,
de donde x ≥ −k. Como consecuencia de lo anterior observemos que x ≤ |x|. En la figura
siguiente se muestran los valores de x que satisfacen la desigualdad, éstos son los que se
encuentran entre −k y k, incluyéndolos. Al conjunto [−k, k] = {x ∈ R | − k ≤ x ≤ k}
le llamamos un intervalo cerrado, ya que contiene a k y −k. A −k y k les llamamos los
puntos extremos del intervalo.
Análogamente, la desigualdad |x| ≥ k es equivalente a x ≥ k o −x ≥ k. En la figura
siguiente los valores de x que satisfacen las desigualdades son los que se encuentran antes, o
son iguales, a −k o después, o son iguales, a k. El conjunto (−k, k) = {x ∈ R | −k < x < k}
le llamamos un intervalo abierto, ya que no contiene a k y −k, es decir, un intervalo abierto
es aquel que no contiene sus puntos extremos. Con esta definición vemos que el conjunto de
las x que cumplen que |x| ≥ k, son los valores de x /∈ (−k, k).
Observación 1.5.1 Si x es un número real cualquiera, entonces la relación entre la ra´ız
cuadrada y el valor absoluto está dada por
√
x2 = |x|, la identidad se sigue de que |x|2
= x2
y |x| ≥ 0.
Propiedades 1.5.2 Si x y y son números reales, se cumple lo siguiente:
(a) |xy| = |x||y|. De aqu´ı se sigue también que x
y
= |x|
|y|
, si y = 0.
(b) |x + y| ≤ |x| + |y|, donde la igualdad se da si y sólo si xy ≥ 0.
1.5.1. Ejercicios resueltos
1. Hallar el valor absoluto de los siguientes números:
a) 4, b) −7, c) 0.47, d) −0.3, e) 1
2
, f) −5
8
.
Solución. Es directo ver que |4| = 4, |7| = 7, |0.47| = 0.47, |−0.3| = 0.3, 1
2
= 1
2
, −5
8
= 5
8
.
2. Resuelva la ecuación |2x − 4| = |x + 5|.

Solución. Tenemos que
|2x − 4| =
2x − 4, si x ≥ 2,
−2x + 4, si x < 2.
Además, tenemos que
|x + 5| =
x + 5, si x ≥ −5,
−x − 5, si x < −5.
Si x ≥ 2, entonces 2x−4 = x+5, es decir, x = 9. Si x < −5, entonces −2x+4 = −x−5, de
donde x = 9, lo cual es imposible ya que x < −5. El último caso que nos falta considerar es
−5 ≤ x < 2, entonces la ecuación que tenemos que resolver es −2x+4 = x+5, despejando
x, tenemos que x = −1
3
. Por lo tanto, los números que resuelven la ecuación son x = 9 y
x = −1
3
.
1.5.2. Ejercicios
Hallar el valor absoluto de los siguientes números:
a) 3.1416 b) −27 + 14
c) −1.4142 d) 2 − π.
Resuelva las ecuaciones siguientes.
e) 2
3
x + 3 + 4 = 10 f) |5x + 3| = |3x + 25|.
En cada caso encuentra los números reales x que satisfacen la ecuación.
g) |x − 1| − |x + 1| = 0.
h) |x − 1||x + 1| = 1.
i) |x − 1| + |x + 1| = 2.
Muestra lo siguiente.
j) Si a y b son números reales cualesquiera, demuestra que
||a| − |b|| ≤ |a − b|.

1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y división) 9
1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y
división)
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. En ma-
temáticas, las letras se emplean usualmente para representar toda clase de cantidades, ya
sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas usualmente se expresan por las
primeras letras del alfabeto:
a, b, c, d, . . . .
Las cantidades desconocidas usualmente se representan por las últimas letras del alfabeto:
w, x, y, z.
En Álgebra se pueden aplicar a cantidades las mismas operaciones que se usan en aritmética
como son la suma, resta, multiplicación y división, que se indican con los signos siguientes:
El signo de la suma es +, que se lee más. As´ı x + y se lee “x más y”.
El signo de la resta es −, que se lee menos. As´ı x − y se lee “x menos y”.
El signo de la multiplicación es ×, que se lee multiplicando por. As´ı, x × y se lee “x mul-
tiplicando por y ”. En lugar del signo ×, se puede usar un punto entre los factores y también
se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. As´ı x·y = (x)(y) = x×y.
Entre factores literales o entre un factor numérico y un literal, el signo de la multiplicación
suele omitirse. Por ejemplo x × y × z = xyz, 5 × x × w = 5xw.
El signo de la división se denota por ÷, que se lee dividido entre. As´ı, x ÷ y se lee “x
dividido entre y ”. También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una
raya horizontal. De esta manera,
x
y
equivale a x ÷ y.
1.6.1. Los s´ımbolos de agrupamiento
Los s´ımbolos de agrupamiento son ( ), [ ], { }. Se utilizan para dar una jerarqu´ıa en el orden
de las operaciones. Sea x un número real, convenimos que
x = (x) = [x] = {x}.
As´ı, (x + y)z indica que el resultado de la suma de x y y debe multiplicarse por z; [w − x]y
indica que la diferencia entre w y x debe multiplicarse por y; {w + x} ÷ {y − z} indica que
la suma de w y x debe dividirse entre la diferencia de y y z.
Por ejemplo, si tenemos 5 + {4 + [3 − (2 × 5)]} significa que primero debemos realizar la
operación (2×5), as´ı obtenemos 5+{4+[3−10]}. Después realizamos la operación [3−10],
as´ı obtenemos 5 + {4 − 7}, y por último realizamos la operación {4 − 7}, por lo que
5 + {4 + [3 − (2 × 5)]} = 5 − 3 = 2.

1.6.2. Ley de los signos
La ley de los signos es la siguiente:
(+)(+) = +
(+)(−) = −
(−)(+) = −
(−)(−) = +.
Cuando realizamos operaciones con los n´umeros reales es posible que obtengamos expresio-
nes como 5 + (+9), −1 − (−3), 2 + (−5), 4 − (+6). En estos casos aplicamos la ley de los
signos de la siguiente manera
5 + (+9) = 5 + 9,
−1 − (−3) = −1 + 3,
2 + (−5) = 2 − 5,
4 − (+6) = 4 − 6.
Calcule las operaciones indicadas.
1. −(2 + 5) + (−3) = −(7) − 3 = −7 − 3 = −10.
2. (−5)(15) + (2 − 7) = (−75) + (−5) = −75 − 5 = −80.
3.
(−2)
5
−7
8
=
(−2(8))
(5(−7))
= −16
−35
= 16
35
.
4.
(−6 + 2)(−5)
(1 − 3)(4)
=
(−4)(−5)
(−2)(4)
=
20
−8
=
−5
2
.
1.6.4. Ejercicios
Calcule las operaciones indicadas.
a) 1 − 1
2
+ 1
4
b) −2 − 7 + 8
c) 5 − 1
2
(2 − 3(1
2
)) d) 7 + 1
3
(4 − 6(3
2
− 1
3
))
e)
2
3
+
1
2
+(−2)+7(
1
4
) f) −3(1−2)+2{−4[−2−3(1+1)]}−{−[−(1+1)]}

1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación y división) 11
g) 2(1
5
) + {−[5
7
+ (3
5
− 5
6
) + 2 − (−1
5
+ 1
7
− (5
6
+ 4)] − (−1
5
+ 1
7
)}
h) 5 + {−(2 + 7) − [−4 + 21 − (2 + 7) + (−2 − 7) + (−2 + 7) − 2}
i) −{5 + 1
3
− 2(5 − 1
3
) + 3{−[10 + 1
3
− 3(5 + 1
3
− 1)]} − 3[−5 + 2(−1 + 5)]}
j) 3
2
− 3(3
2
+ 2
5
) + [−{−(−3 + 2
5
− 2 − 3[3
2
− 2
5
+ 1]) + 3
2
}].
1.6.5. Potencias de números
El signo de elevar a una potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado
arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada
base se toma como factor. As´ı, si n es un número entero mayor que cero tenemos que
xn
= x · x · . . . · x
n-veces
,
x−n
= x−1
· x−1
· . . . · x−1
n-veces
.
Si n = 0 tenemos que x0
= 1. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la
unidad. As´ı, x equivale a x1
, xyz equivale a x1
y1
z1
.
Calcula las potencias indicadas.
1. 22
= 2 · 2 = 4. Recuerda que el número que aparece en el exponente es el número de
veces que multiplicaras por si mismo el número que aparece en la base. No multiplicas
estos dos números, esto quedará más claro con los siguientes ejemplos.
2. (−3)3
= (−3)(−3)(−3) = 9(−3) = −27.
3. 1
4
2
= 1
4
1
4
= 1
16
.
4. 3
5
4
= 3
5
3
5
3
5
3
5
= 9
25
9
25
= 81
625
.
1.6.7. Ejercicios
Simplifica los siguientes números.
a) 4
4+4
4 − 4 · 4 b) 24
42 + 2−1
−12
c) 32
− 3−2
d) 42
− 52
e) 210
· 220
. f) (32
)3
− (3−2
)3
g) (42
)5
− (3−2
)4
h) (2−1
) 1
2
(22
)
i) (10 · 1015
)0
j) (33
) 2
32
3
4
)(92
.

1.7. Productos de potencias de un mismo número
Las leyes de los exponentes se enuncian a continuación.
Propiedades 1.7.1 Sean n, m números enteros, y sea x un número real, entonces
(a) xn
xm
= xn+m
.
(b) (xn
)m
= xnm
.
(c) (xy)n
= xn
yn
.
(d) 1
xn = x−n
, para x = 0 y n > 0.
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1. 2 · 23
= 2 · 23
= 21+3
= 24
= 16.
2. 6·64
= 61+4
= 65
= 7, 776. Cuando las potencias resultán números muy grandes como
en el caso anterior, la respuesta 65
es suficiente.
3. (3.143
)(3.145
) = (3.143+5
) = 3.148
.
4. (7−2
)(73
) = 7−2+3
= 71
= 7.
5. (0.716
)(0.71−3
) = 0.716+(−3)
= 0.716−3
= 0.713
.
6. 1
324 · 328
= 32−4
· 328
= 32−4+8
= 324
.
7. (69
)(63
) 1
613 (61
) = (69
)(63
)(6−13
)(61
) = 69+3+(−13)+1
= 69+3−13+1
= 60
= 1.
1.7.2. Ejercicios
Encuentra el valor de x en las siguientes igualdades.
a) (1100
)(10
) = x b) (65
)(6−3
)(34
) = x
c) 7x
= 2401 d) 34
+ 96
+ 813
= x
e) 1x
− 10x
= 0 f) (45
)(648
) = 1
4
+ x.

Cap´ıtulo 2
Operaciones con literales
2.1. Propiedades de los números reales con la suma y la
multiplicación
De la misma manera que para números enteros, existen ciertas propiedades que se cumplen
para la suma y multiplicación de números reales, las cuales enunciamos a continuación.
Propiedades 2.1.1 (a) Asociatividad. Para todos x, y, z números reales, tenemos que
x + (y + z) = (x + y) + z,
x(yz) = (xy)z.
(b) Conmutatividad. Para todos x, y números reales, tenemos que
x + y = y + x,
xy = yx.
(c) Existencia de elementos neutros. Existe un número y sólo un número, el 0 (cero), tal
que x + 0 = 0 + x = x, para cualquier número real x.
Existe un número y sólo un número, el 1 (uno), tal que x· 1 = 1 · x = x, para cualquier
número real x.
(d) Existencia de elementos inversos. Para todo x número real, existe el número real −x
tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.
Para todo x número real, x = 0 (x distinto de cero), existe el número real x−1
tal que
x · x−1
= x−1
· x = 1.
13

14 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
(e) Leyes distributivas. Para todos x, y, z números reales, tenemos que
x(y + z) = xy + xz,
(x + y)z = xz + yz.
2.2. Términos y notación algebraica
Expresión algebraica. Es la representación de un s´ımbolo algebraico o de una o más opera-
ciones algebraicas. Veamos los siguientes ejemplos:
a,
b
c
, x, −4y,
√
ax + z,
2x − 3y
x3
,
1
x
+
3
x2
.
Término. Es una expresión algebraica que consta de un sólo s´ımbolo o de varios s´ımbolos,
sin estar separados entre s´ı por por alguno de los signos + o −. Ejemplos de expresiones
algebraicas con un término:
y, xy, −5ab,
x
z2
.
Ejemplos de expresiones algebraicas con más de un término:
x + y, w − z, a + b + c,
x
y4
+
x2
y5
−
x3
y6
.
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal, y el grado.
El signo. Los términos positivos son aquellos que van precedidos del signo +, los términos
negativos son aquellos que van precedidos del signo −.
Ejemplos de términos positivos:
+x, +9a, +5yz, +
x
z
.
Ejemplos de términos negativos:
−x, −3b, −6ay, −
z
w4
.
Nota. Cuando un término no va precedido de ningún signo significa que es positivo. As´ı x es
lo mismo que +x.
El coeficiente. En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coefi-
ciente del otro factor. As´ı, en el producto 3x el factor 3 es coeficiente del factor x e indica
que el factor x se toma como sumando tres veces, es decir, 3x = x+x+x; en el producto 5y,
el factor 5 es el coeficiente de y e indica que 5y = y + y + y + y + y. Éstos son coeficientes
númericos.

2.3. Clasificación de las expresiones algebraicas 15
En el producto nx donde n es un entero mayor que cero, el factor n es coeficiente del factor
x, e indica que x se toma como sumando n veces, o sea
nx = x + x + · · · + x
n-veces
.
Si tenemos el producto −nx, el factor −n es el coeficiente de x, e indica la resta de n veces
el factor x, o sea
−nx = −x − x − · · · − x
n-veces
.
Si n = 0 tenemos que 0x = 0.
En el producto xy, el factor x es el coeficiente del factor y. Éste es un coeficiente literal. En
el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes.
As´ı en el producto wxyz, w es el coeficiente de xyz, wx es el coeficiente de yz, wxy es el
coeficiente de z.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. As´ı, x equi-
vale a 1x, xyz equivale a 1xyz.
La parte literal la constituyen las letras que haya en el término. As´ı, en 5xy la parte literal
es xy; en 3x3y4
2ab
la parte literal es x3y4
ab
.
El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.
El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. As´ı,
el término 4x es de primer grado por que el exponente del factor literal x es 1; el término
xy es de segundo grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 2; el
término x2
y es de tercer grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es
3; 5x4
y3
z2
es de noveno grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es
9.
El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. As´ı el término
bx3
es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x; 4x2
y4
es de segundo
grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y.
2.3. Clasificación de las expresiones algebraicas
Un monomio es una expresión algebraica que consta de un sólo término, dos ejemplos son
3x y −5yz2
.
Un polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término, por ejemplo
x3
+ 2x2
+ 5y + 1.
Un binomio es un polinomio que consta de dos términos, por ejemplo
x2
3
−
5mx4
6y2
.
Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos, por ejemplo 5w4
+ 10z3
+ 5w2
.

Para ordenar un polinomio se deben escribir sus términos de modo que los exponentes de una
letra escogida, llamada letra ordenatriz, queden en orden descendente o ascendente. As´ı,
ordenar el polinomio −5x3
+ x5
− 3x + x4
− x2
+ 6 en orden descendente con relación a x
será escribir x5
+ x4
− 5x3
− x2
− 3x + 6.
Ordenar el polinomio x4
y−7x2
y3
−5x5
+6xy4
+y5
−x3
y2
en orden ascendente con relación
a x será escribirlo en la forma y5
+ 6xy4
− 7x2
y3
− x3
y2
+ x4
y − 5x5
.
2.3.1. Suma de monomios y polinomios
La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones alge-
braicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). As´ı, la suma de a y b es a + b,
por que esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas a y b.
Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen letras iguales con exponentes iguales.
Por ejemplo, los términos 2x y x son semejantes por que tienen la misma parte literal; los
términos 4wz y −6w2
z no son semejantes, por que aunque tienen iguales letras, éstas no
tienen los mismos exponentes, ya que la w del primero término tiene de exponente 1 y la w
del segundo tiene de exponente 2.
La reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un
sólo término, dos o más términos semejantes. Para reducir dos o más términos semejantes se
suman los coeficientes y a continuación de la suma, se escribe la parte literal.
Veamos los siguientes ejemplos, donde se reducen términos semejantes.
Ejemplo 2.3.1 1. 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x.
2. −m − 3m − 6m − 5m = (−1 − 3 − 6 − 5)m = −15m. Notemos que −m = −1m.
3. 1
2
ab + 2
3
ab = (1
2
+ 2
3
)ab = 7
6
ab.
4. −1
3
x2
y − 2
3
x2
y = (−1
3
− 2
3
)x2
y = −3
3
x2
y = −x2
y.
5. 18x − 11x = (18 − 11)x = 7x.
6. −3
7
a2
b + a2
b = (−3
7
+ 1)a2
b = 4
7
a2
b.
2.3.2. Suma de monomios
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con
sus propios signos y se reducen los términos semejantes, si los hay. Como ejemplos tenemos
los siguientes.

2.3. Clasificación de las expresiones algebraicas 17
Ejemplo 2.3.2 1. Sumar 5a, 6b y 8c.
Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a,
6b = +6b y 8c = +8c, la suma será 5a + 6b + 8c.
El orden de los sumandos no altera la suma. As´ı, 5a + 6b + 8c es lo mismo que
5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la ley conmutativa de la suma.
2. Sumar 3a2
b, 4ab2
, a2
b, 7ab2
y 6b3
.
Se tiene que 3a2
b + 4ab2
+ a2
b + 7ab2
+ 6b3
. Reduciendo los términos semejantes,
obtenemos que 4a2
b + 11ab2
+ 6b3
.
3. Sumar 3a y −2b.
Cuando algún sumando es negativo suele incluirse dentro de un paréntesis para indi-
car la suma, as´ı 3a + (−2b) = 3a − 2b.
4. Sumar 7a, −8b, −15a, 9b, −4c y 8.
Se tiene que 7a + (−8b) + (−15a) + 9b + (−4ac) + 8 = 7a − 8b − 15a + 9b − 4c + 8.
Reduciendo términos semejantes, se llega a que −8a + b − 4c + 8.
2.3.3. Suma de polinomios
1. Sumar a − b, 2a + 3b − c y −4a + 5b.
La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de paréntesis, as´ı
(a − b) + (2a + 3b − c) + (−4a + 5b).
Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios, unos a continuación de otros,
con sus propios signos, y tendremos a − b + 2a + 3b − c + −4a + 5b = −a + 7b − c.
Nota. En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros, de modo
que los términos semejantes queden en una misma columna; se hace la reducción de
éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.
a −b
2a +3b −c
−4a +5b
−a +7b −c.
2. Sumar 3m − 2n + 4, 6n + 4p − 5, 8n − 6 y m − n − 4p.
Se tiene que

3m −2n +4
6n +4p −5
8n −6
m −n −4p
4m +11n −7.
1. Sumar 3a − 5b y −6a + 3a.
(3a − 5b) + (−6a + 3a) = (3a − 5b) + (−3a) = 3a − 5b − 3a = −5b.
2. Sumar 2ab − 6c + d, 5c − 3d y 2d − 4ab.
(2ab − 6c + d) + (5c − 3d) + (2d − 4ab)
= 2ab − 4ab − 6c + 5c + d − 3d + 2d = −2ab − c.
3. Restar 3a + 5b de 6a − 7b.
(6a − 7b) − (3a + 5b) = 6a − 7b − 3a − 5b = 6a − 3a − 7b − 5b = 3a − 12b.
4. Restar a de ab.
ab − (a) = ab − a.
5. Restar 2a + 5b − 6c de 7a + 3b − 6c.
(7a + 3b − 6c) − (2a + 5b − 6c) = 7a + 3b − 6c − 2a − 5b + 6c
= 7a − 2a + 3b − 5b − 6c + 6c
= 5a − 2b.
6. ¿Qu´e se debe sumar al primer polinomio para obtener el segundo?
a) x + 4y, 3x − 6y.
Nota que dicho polinomio se obtendr´a al restar el primero del segundo:
3x − 6y − (x + 4y) = 3x − 6y − x − 4y = 3x − x − 6y − 4y = 2x − 10y.
b) 6x + 7y − 10, −8x − 13y − 6.
(−8 − 3y − 6) − (6x + 7y − 10) = −8x − 13y − 6 − 6x − 7y + 10
= −8x − 6x − 13y − 7y − 6 + 10
= −14x − 20y + 4.

2.4. Producto y potencias de monomios 19
2.3.5. Ejercicios
Realiza las operaciones indicadas.
a) 2x2
y3
z + 3x2
y3
x.
b) 2a2
bc3
− 5a2
bc3
+ 3a2
bc3
.
c) 3x4
− 2x4
+ 7x4
.
d) 2a − (−4a + b) − {−[−4a + (b − a) − (−b + a)]}.
e) (5ab − 3bc + 4cd) + 2bc + 2cd − 3cd) + (4bc − 2ab + 3cd) + (−3bc − 6cd − ad).
f) x2
− 3xy + y2
+ −2y2
+ 3xy − x2
+ x2
+ 3xy − y2
.
g) 3x2
− 1
3
x + 2
3
+ 3(1
2
x2
+ 3
4
x + 1) + 3x2
− 5x − 3.
h) x2
+ 2
3
xy+ −1
6
xy + y2
+ −5
6
xy + 2
3
y2
.
i) 4x2
y2
− 8xy2
+ 5x2
y + 3x2
− 2y2
+ x2
y2
− 6x2
y + 5y2
− 5x2
y2
+ 4xy2
− x2
y − 4x2
−
2y2
+ 4xy2
+ 2x2
y + x2
.
j) 4x3
y − 19xy3
+ y4
− 6x2
y2
− (−x4
− 51xy3
+ 32x2
y2
− 25x3
y).
2.4. Producto y potencias de monomios
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas mul-
tiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. El multiplicando y
el multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en Aritmética,
se cumple tambien en Álgebra. As´ı el producto xy puede escribirse yx; el producto xyz puede
escribirse también yxz o zyx. Esta es la ley conmutativa de la multiplicación.
Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. As´ı, en el producto
abcd, tenemos
abcd = a × (bcd) = (ab) × (cd) = (abc) × d.
Esta es la ley asociativa de la multiplicación.
Ley de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los
coeficientes de los factores. As´ı, 3a × 4b = 12ab. En efecto, como el orden de los factores no
altera el producto, se tiene que
3a × 4b = 3 × 4 × a × b = 12ab.

2.4.1. Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes de éstos y a continuación de
este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, colocando a cada
letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del
producto estará dado por la ley de los signos.
Consideremos los siguientes ejemplos.
1. Multiplicar 2a2
por 3a3
.
Se tiene que 2a2
× 3a3
= 2 × 3 × a2+3
= 6a5
. El signo del producto es +, ya que +
por + da +.
2. Multiplicar −xy2
por −5mx4
y3
.
Se tiene que (−xy2
)(−5mx4
y3
) = 5mx1+4
y2+3
= 5mx5
y5
. El signo del producto es
+, porque − por − da +.
3. Multiplicar 3a2
b por −4b2
x.
Se tiene que (3a2
b)(−4b2
x) = 3×(−4)×a2
b1+2
x = −12a2
b3
x. El signo del producto
es −, porque + por − da −.
4. Multiplicar −ab2
por 4am
bn
c3
.
Se tiene que (−ab2
)(4am
bn
c3
) = (−1) × 4 × a1+m
b2+n
c3
= −4a1+m
b2+n
c3
. El signo
del producto es −, ya que − por + da −.
2.4.2. Potencias de monomios
Llamaremos potencia de un monomio al producto de tomarlo como factor tantas veces como
se quiera. Diremos que un monomio está elevado a la n-ésima potencia si éste se ha tomado
como factor n veces.
Por ejemplo la expresión (5wx3
)4
indica que el monomio 5wx3
se ha elevado a la cuarta
potencia. En este ejemplo la base es 5wx3
y el exponente es 4.
Para elevar a la n-ésima potencia un monomio primero se escribe el coeficiente de este eleva-
do a la n-ésima potencia y despues se escriben las letras multiplicando el exponente de cada
una de estas por n.
Veamos los siguientes ejemplos.
1. Elevar 2x2
a la tercera potencia.
(2x2
)3
= 23
x2×3
= 8x6
.

2.4. Producto y potencias de monomios 21
2. Elevar 5a10
b6
a la cuarta potencia.
(5a10
b6
)4
= 54
a10×4
b6×4
= 54
a40
b24
.
3. Hallar (32x25
y50
)2
.
(32x25
y50
)2
= 322
x25×2
y50×2
= (25
)2
x50
y100
= 210
x50
y100
.
Calcule los productos indicados.
1. (7b)(6a) = 42ab.
2. (3b)3
= 27b9
.
3. (a
6
)4
= a4
64 .
4. (3
z
)3
= 27
z3 .
5. (1
b
)(b2
) = b2
b
= b.
6. (4b
3
)(6a
2
) = 24ab
6
= 4ab.
7. (5a2
b)3
= 125a6
b3
.
2.4.4. Ejercicios
Calcule los productos indicados.
a) (2x3
)(5x3
) b) (a + b − c) (a − b + c)
c) (12x3)(4x) d) (4a−2
)(a− 1
2 )
e) (−2x3
)(−5x)(−3x2
) f) (18x3
y2
z5
)(6x3
yz2
)
g) (−3x2
)3
h) (2
3
x3
)2
i) (7
9
x5
y2
z)3
j) (5x7
y9
za
)3
.

2.5. Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios, se multiplican todos los términos del multiplicando por cada
uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y al final se
reducen los terminos semejantes.
Ejemplo 2.5.1 Multiplicar 4x − 3y por −2y + 5x.
(−2y + 5x)(4x − 3y) = −2y(4x − 3y) + 5x(4x − 3y)
= −2y(4x) − 2y(−3y) + 5x(4x) + 5x(−3y)
= −8xy + 6y2
+ 20x2
− 15xy
= 20x2
− 23xy + 6y2
.
Tambień podemos escribir la multiplicación en forma vertical,
4x −3y
5x −2y
4x(5x) −3y(5x)
−4x(2y) +3y(2y).
Reducimos los términos semejantes, para obtener
4x −3y
5x −2y
20x2
−15xy
−8xy +6y2
20x2
−23xy +6y2
.
Realice las siguientes multiplicaciones.
1. x2
− x + 4 por −2x2
.
Solución.
(x2
− x + 4)(−2x2
) = −2x4
+ 2x3
− 8x2
.
2. Multiplicar 3x−2
4
− 2x−1
6
por 12.
Solución.
3x − 2
4
−
2x − 1
6
(12) = 12
3x − 2
4
− 12
2x − 1
6
=
36x − 24
4
−
24x − 12
6
= 9x − 6 − 4x + 2
= 9x − 4x − 6 + 2
= 5x − 4.

2.6. División de monomios 23
3. 3x(2x − 1) − x(x − 3).
Solución.
3x(2x − 1) − x(x − 3) = 6x2
− 3x − x2
+ 3x = 6x2
− x2
− 3x + 3x = 5x2
.
4. −2ab3
(5x − 6 − 3b2
).
Solución.
−2ab3
(5x − 6 − 3b2
) = −10ab3
x + 12ab3
+ 6ab5
.
2.5.2. Ejercicios
Calcula los siguientes productos de polinomios.
a) (4x3
− 5x2
+ 2x + 1)(3x − 6).
b) (a + b − c) (a − b + c).
c) (−3x2
y3
+ 4 − 7x2
y2
− 6x3
y3
)(5x4
y + 8x − 2x3
y − 10).
d) (1
2
a − 1
3
b) (1
3
a + 1
2
b).
e) (5a − 46a4
)(2a2
− 3a3
+ 4a).
f) (1
3
ax − 1
2
x2
+ 3
2
a2
)(3
2
x2
− ax + 2
3
a2
).
g) (3x5
− 4x4
+ 8x3
)(2x − 8).
h) (ax
− ax+1
+ ax+2
) (a + 1).
i) (m3
− m2
+ m − 2)(am + a).
j) (a− 2
3 b
1
2 + 2a− 4
3 b − a−2
b
3
2 )(3a
2
3 b− 1
2 + 1 + a− 2
3 b
1
2 ).
2.6. División de monomios
La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (divi-
dendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se
deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. As´ı, la operación
de dividir 6a2
entre 3a, que se indica por 6a2
÷ 3a o 6a2
3a
, consiste en hallar una cantidad que
multiplicada por 3a se obtenga 6a2
. Esa cantidad (cociente) es 2a.

2.6.1. Ley de los signos en la división
La ley de los signos en la división es la siguiente:
(+) ÷ (+) = +
(+) ÷ (−) = −
(−) ÷ (+) = −
(−) ÷ (−) = +.
Ejemplos. Calcula las divisiones indicadas.
1. (+ab) ÷ (+a) =
+ab
+a
= +b.
2. (−ab) ÷ (−a) =
−ab
−a
= +b.
3. (+ab) ÷ (−a) =
+ab
−a
= −b.
4. (−ab) ÷ (+a) =
−ab
+a
= −b.
5. a5
÷ a3
= a5
a3 = a5−3
= a2
.
6. b4
÷ b2
= b4
b2 = b4−2
= b2
.
2.6.2. División de monomios
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del
divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un
exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que
tiene el divisor. El signo lo da la ley de los signos.
Ejemplo 2.6.1 Dividir 4a3
b2
entre −2ab.
4a3
b2
÷ −2ab =
4a3
b2
−2ab
= −2a2
b,
ya que (−2ab)(−2a2
b) = 4a3
b2
.

2.6. Divisi´on de monomios 25
Simpliﬁca las siguientes expresiones
1.
a6
a2
.
a6
a2
= a6−2
= a4
.
2.
c3
c−3
.
c3
c−3
= c−3−(−3)
= c6
.
3.
(x + 2)4
(x + 2)6
.
(x + 2)4
(x + 2)6
= (x + 2)4−6
= (x + 2)−2
=
1
(x + 2)2
.
4.
−30a3
b2
12a2b4c
.
−30a3
b2
12a2b4c
=
−5a3−2
b2−4
2c
=
−5ab−2
2c
=
−5a
2b2c
.
5.
(−3x)4
x2
.
(−3x)4
x2
=
81x4
x2
= 81x4−2
= 81x2
.
2.6.4. Ejercicios
Dividir la expresiones indicadas.
a) 12x3
entre 4x b) x−4
y−5
entre x2
y−1
c) 36x3
y7
z4
entre 12x2
y2
d) 1
a3b
entre a− 1
4 b−3
e) 24x5
y4
+ 18x4
y5
− 48x1
0y3
entre 6x2
y3
f) 10x
2
7 entre 2x− 1
7
g) 6x3
yz entre 2x2
y h) 6x−3
y−2
entre 3x−4
y−3
i) 36ax+2
bx−1
entre 3ax
b j) x
4
5 y− 4
5 entre x− 2
5 y
4
5 .

2.7. Simplificación de expresiones fraccionarias
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´ı, a
b
es
una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre
la expresión b (divisor). El dividendo a se llama numerador de la fracción algebraica, y el
divisor b, denominador. El numerador y el denominador son los términos de la fracción.
Una expresión algebraica entera es la que no tiene denominador literal. As´ı x+y
1
es una ex-
presión algebraica entera. Una expresión entera puede considerarse como una fracción de
denominador 1.
Una expresión algebraica mixta es la que consta de parte entera y parte fraccionaria. As´ı,
a + b
c
y x − 3
x−a
son expresiones mixtas.
2.7.1. Principios fundamentales de las fracciones
Los siguientes principios demostrados en Aritmética se aplican igualmente a las fracciones
algebraicas.
Propiedades 2.7.1 (a) Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide
por una cantidad, la fracción queda multiplicada en el primer caso y dividida en el
segundo por dicha cantidad.
(b) Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad,
la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por dicha
cantidad.
(c) Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplican o dividen
por una misma cantidad, la fracción no se altera.
2.7.2. Simplificación de fracciones
Reducir una fracción algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.
Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos térmi-
nos sean primos entre s´ı.
Cuando los términos de una fracción son primos entre s´ı, la fracción es irreducible y entonces
la fracción está reducida a su más simple expresión o a su m´ınima expresión.
Para simplificar fracciones cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el
denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre s´ı.

2.7. Simplificación de expresiones fraccionarias 27
Ejemplo 2.7.2 Simplificar
4a2
b5
6a3b3m
.
4a2
b5
6a3b3m
=
2 × 2 × a2−3
b5−3
2 × 3 × m
=
2b2
3am
.
Para simplificar fracciones cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores
los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y el deno-
minador.
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas.
1.
275b3
a2
55b−4
=
55(5)b3−(−4)
a2
55
= 5b7
a2
.
2.
(x + 2)2
(x + 3)
(x + 3) − 1
=
(x + 2)2
(x + 3)
x + 3 − 1
=
(x + 2)2
(x + 3)
x + 2
= (x + 2)(x + 3).
3.
(2a − b) − (3a + 2b)
(a + 3b)c
=
2a − 3a − b − 2b
(a + 3b)c
=
−a − 3b
(a + 3b)c
=
−(a + 3b)
(a + 3b)c
=
−1
c
.
4.
(x2
− 2x − 3)y2
(x + 1)y
=
(x + 1)(x + 3)y2
(x + 1)y
= (x + 3)y.
2.7.4. Ejercicios
Simplifique las siguientes expresiones.
a)
a
b
−
b
a
÷
a + b
a
b)
81y2
7p3
÷ −
18y4
35p2
c)
x2
− 9
x − 3
d)
3m5
n
7
÷ 14m3
n2
e)
x2
− 6x + 9
5x − 15
f) 15a3
b4
÷
35a4
b2
2
g)
6x − 18
8x + 16
h) −
45m3
28n3
÷
27m4
49n5
i)
x3
+ 6x2
+ 12x + 8
x3 + 4x2 + 4x
j)
x − 2
3y2
÷
3x − 6
y3
.

2.8. Suma y resta de expresiones fraccionarias
Regla general para sumar o restar fracciones.
1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2. Se reducen las fracciones dadas al m´ınimo común denominado, si son de distinto de-
nominador.
3. Se efectúan las multiplicaciones indicadas.
4. Se suman o restan los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma
por el denominador común.
5. Se reducen términos semejantes en el numerador.
6. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
1.
x + 3
x + 2
+
2x + 3
x + 2
=
x + 3 + 2x + 3
x + 2
=
3x + 6
x + 2
=
3(x + 2)
x + 2
= 3.
2.
5x + 1
x + 1
−
2x − 4
x + 1
=
5x + 1 − 2x + 4
x + 1
=
3x + 5
x + 1
3.
x
x + 2
+
2
x − 3
=
x(x − 3) + 2(x + 2)
(x + 2)(x − 3)
=
x2
− 3x + 2x + 4
(x + 2)(x − 3)
=
x2
− x + 4
(x + 2)(x − 3)
.
4.
x
x2 − 4
+
3
x + 2
=
x + 3(x − 2)
x2 − 4
=
x + 3x − 6
x2 − 4
=
4x − 6
x2 − 4
.
5.
12x − 4
x2 − 4x + 4
−
2
x − 2
=
12x − 4
(x − 2)2
−
2
x − 2
=
12x − 4 − 2(x − 2)
(x − 2)2
=
12x − 4 − 2x + 4
(x − 2)2
=
10x
(x − 2)2
.

2.9. Potencias fraccionarias y simplificación de radicales 29
2.8.2. Ejercicios
Realiza las operaciones y simplifica.
a)
x + 3
x + 2
+
2x + 3
x + 2
b)
p
p − 2
−
5
2 − p
+
2p
p − 2
c)
x
x + 2
+
2
x − 3
d)
3c + 2
(c − 1)2
−
4c − 2
(1 − c)2
+
2c + 5
(1 − c)2
e)
12x − 4
x2 − 4x + 4
−
2
x − 2
f)
2x
(x − 1)3
+
1
(1 − x)3
−
x
(1 − x)
g)
x
x2 − 4
+
3
x + 2
h)
a + b
a2
+
a − b
ab
i)
x2
− x
x2 − 5x + 6
+
1
x2 − 5x + 6
−
x + 3
x2 − 5x + 6
j)
x − y
x2 + 2xy + y2
−
2x
x2 − y2
+
x + y
x2 − 2xy + y2
.
2.9. Potencias fraccionarias y simplificación de radicales
La ra´ız de una expresión algebraica elevada a una potencia reproduce la expresión dada. El
signo de la ra´ız es
√
, llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la
cual se extrae la ra´ız llamada por eso cantidad subradical.
El signo
√
lleva un ´ındice que indica la potencia a que hay que elevar la ra´ız para que
reprodusca la cantidad subradical. Por convención el ´ındice 2 se suprime y cuando el signo
√
no lleva ´ındice se entiende que el ´ındice es 2.
As´ı,
√
a4 significa que una cantidad elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical
a4
, esta raices son a2
y −a2
, ya que (a2
)2
= a4
y (−a2
)2
= a4
.
3
√
8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3
; esta
ra´ız es 2x por que (2x)3
= 8x3
.
5
√
−32a5 significa que elevada a la quinta potencia reproduce la cantidad subradical −32a5
;
esta ra´ız es −2a por que (−2a)5
= −32a5
.
Una expresión radical es toda ra´ız indicada de un número o de una expresión algebraica.
As´ı,
√
4,
3
√
9a3,
4
√
16a3 son expresiones radicales.
Si la ra´ız indicada es exacta, la expresión es racional; si no es exacta es irracional. Las
expresiones irracionales como
√
2,
3
√
3a2 son las que comúnmente se llaman radicales.

El grado de un radical lo indica su ´ındice. As´ı,
√
2a es un radical de segundo grado;
3
√
5a2 es
un radical de tercer grado; 4
√
3x es un radical de cuarto grado.
Se extiende la idea de exponente, a los números de la forma m
n
donde m y n son números
enteros.
Para extraer una ra´ız a una potencia se divide el exponente de la potencia por el ´ındice de la
ra´ız. Por lo que obtenemos las leyes de los radicales.
Propiedades 2.9.1 (a) n
√
am = a
m
n .
(b) n
√
ab = n
√
a n
√
b.
2.9.1. Ra´ız de un monomio
Para extraer una ra´ız de un monomio se procede como sigue.
1. Se extrae la ra´ız del coeficiente y se divide el exponente de cada letra por el ´ındice de
la ra´ız.
2. Si el ´ındice del radical es impar, la ra´ız tiene el mismo signo que la cantidad subradical,
y si el ´ındice es par y la cantidad subradical positiva, la ra´ız tiene el doble signo ±.
Ejemplo 2.9.2 1. Hallar la ra´ız cuadrada de 9a2
b4
.
√
9a2b4 = ±3ab2
.
2. Hallar la ra´ız cuadrada de −8a3
x6
y9
.
3
−8a3x6y9 = −2ax2
y3
.
1. Simplificar la siguiente expresión.
√
k
8
=
√
k1/2
8
=
√
k1/4
8
= (k1/8
)8
= k8/8
= k1
= k.
2. Multiplicar 3x2
y 2x1/2
y.
3x2
(2x1/2
y) = (3)(2)(x2
)(x1/2
) = 6x2+ 1
2 y = 6x
5
2 y.
3. Multiplicar 2x
1
3 y
1
2 y 3x
2
3 y
5
2 .
(2x
1
3 y
1
2 )(3x
2
3 y
5
2 ) = (2)(3)(x
1
3 x
2
3 )(y
1
2 y
5
2 ) = 6x
1
3
+ 2
3 y
1
2
+ 1
2
+ 5
2 = 6xy3
.
4. Simplificar (x4
y5
)
1
2 .
(x4
y5
)
1
2 = x4(1
2
)
y5(1
2
)
= x2
y
5
2 .

2.10. Racionalización 31
2.9.3. Ejercicios
Simplificar las expresiones dadas.
a)
12
√
x9 b) 9
√
64
c)
2
√
ab
3
√
ab
d)
3
√
a2b4 2
√
4ab
4
√
2ab
e)
4
√
a3b5c
2
√
ab3c3
f)
6
√
a3
3
√
a2
g)
3 −125x9
216m12
h)
9 a18
b9c27
i) 10 x20
1024y30
j) 7 128
x14
.
2.10. Racionalización
Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denomina-
dor sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional. Cuando se
racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del de-
nominador. Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma
n
√
ak, con k < n
y a > 0, entonces se multiplica numerador y denominador por
n
√
an−k para obtener en el
denominador
n
√
ak n
√
an−k =
n
√
ak+n−k = n
√
an = a.
Este proceso se llama racionalización del denominador.
Ejemplo 2.10.1 Racionalizar el denominador de 1√
5
.
Observe que
1
√
5
=
1
√
5
√
5
√
5
=
√
5
√
52
=
√
5
5
.
Expresiones conjugadas. Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como√
a +
√
b y
√
a −
√
b o a +
√
b y a −
√
b, que difieren solamente en el signo que une sus
términos, se dice que son conjugadas. As´ı, la conjugada de 3
√
2 −
√
5 es 3
√
2 +
√
5.
El producto de dos expresiones conjugadas es racional. As´ı,
(3
√
2 −
√
5)(3
√
2 +
√
5) = (3
√
2)2
− (
√
5)2
= 18 − 5 = 13.

Para racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que
contiene radicales de segundo grado, se multiplican ambos términos de la fracción por la
conjugada del denominador y se simplifica el resultado.
Ejemplo 2.10.2 Racionalizar el denominador de
4 −
√
2
2 + 5
√
2
.
4 −
√
2
2 + 5
√
2
=
(4 −
√
2)
(2 + 5
√
2)
(2 − 5
√
2)
(2 − 5
√
2)
=
8 − 22
√
2 + 10
22 − (5
√
2)2
=
18 − 22
√
2
−46
=
11
√
2 − 9
23
.
Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene tres radicales de segundo
grado hay que realizar dos pasos como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.10.3 Racionalizar el denominador de
√
2 −
√
5
√
2 +
√
5 −
√
6
.
Primero se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador,
considerado como un binomio (
√
2 +
√
5) −
√
6, es decir, (
√
2 +
√
5) +
√
6,
√
2 −
√
5
√
2 +
√
5 −
√
6
=
(
√
2 −
√
5)
(
√
2 +
√
5 −
√
6)
(
√
2 +
√
5 +
√
6)
(
√
2 +
√
5 +
√
6)
=
2
√
3 −
√
30 − 3
(
√
2 +
√
5)2 − (
√
6)2
=
2
√
3 −
√
30 − 3
1 + 2
√
10
.
Ahora, nuevamente se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del deno-
minador, es decir, 1 − 2
√
10. As´ı, se obtiene
2
√
3 −
√
30 − 3
1 + 2
√
10
=
(2
√
3 −
√
30 − 3)
(1 + 2
√
10)
1 − 2
√
10
1 − 2
√
10
=
22
√
3 − 5
√
30 − 3 + 6
√
10
1 − 40
=
3 − 6
√
10 + 5
√
30 − 22
√
3
39
.

2.10. Racionalización 33
1. Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones:
a)
5
√
2
; b)
3
√
2
√
3
; c)
7
√
5 −
√
3
; d)
2
3 +
√
7
; e)
x
√
x + 1 −
√
x − 1
.
Solución.
a)
5
√
2
=
5
√
2
√
2
√
2
=
5
√
2
√
22
=
5
√
2
2
.
b)
3
√
2
√
3
=
3
√
2
√
3
√
3
√
3
=
3
√
6
3
=
√
6.
c)
7
√
5 −
√
3
=
7(
√
5 +
√
3)
(
√
5 −
√
3)(
√
5 +
√
3)
=
7(
√
5 +
√
3)
(
√
5)2 − (
√
3)2
=
7(
√
5 +
√
3)
5 − 3
=
7(
√
5 +
√
3)
2
.
d)
2
3 +
√
7
=
2(3 +
√
7)
(3 −
√
7)(3 +
√
7)
=
2(3 +
√
7)
32 − (
√
7)2
=
2(3 +
√
7)
9 − 7
=
2(3 +
√
7)
2
= 3 +
√
7.
e)
x
√
x + 1 −
√
x − 1
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
(
√
x + 1 −
√
x − 1)(
√
x + 1 +
√
x − 1)
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
(
√
x + 1)2 − (
√
x − 1)2
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
x + 1 − (x − 1)
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
2
.
2.10.2. Ejercicios
Simplificar los siguientes radicales.
a)
1
√
3 − 2
b)
√
2 + 2
√
5
4
√
2 −
√
5
c)
−3 +
√
2
3 +
√
2
d)
4 +
√
3
5 − 4
√
3
e)
1
2
√
3 −
√
5
f)
3
√
a2b −
3
√
ab2
3
√
a −
3
√
b
g)
1
3
√
x − 3
√
y
h)
√
a + x +
√
a − x
√
a + x −
√
a − x
x =
2ab
1 + b2
i)
x4
− x − 1
x(x2 +
√
x + 1)
j)
4 +
√
3
5 − 4
√
3
.

Cap´ıtulo 3
Productos notables
3.1. Ejemplos importantes
Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Como motivación veamos los siguientes ejemplos. El área de un cuadrado es el cuadrado de
la longitud de su lado. Si sus lados miden a + b entonces el área es (a + b)2
, pero el área de
este cuadrado la podemos dividir en cuatro rectángulos como se muestra en la figura.
a b
ab
aba2
b2b
a
Luego, la suma de las áreas de los cuatro rectángulos será igual al área del cuadrado, es decir,
(a + b)2
= a2
+ ab + ab + b2
= a2
+ 2ab + b2
. (3.1)
Veamos ahora cómo obtener geométricamente el cuadrado de la diferencia a−b, donde b ≤ a.
El problema es ahora encontrar el área de un cuadrado de lado a − b.
35

36 Cap´ıtulo 3. Productos notables
a
b(a − b)b
(a−b)b
(a − b)2
b2
En la figura observamos que el área de un cuadrado de lado a es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados de lados (a − b) y b, más el área de dos rectángulos iguales de lados b y
(a − b). Esto es, a2
= (a − b)2
+ b2
+ (a − b)b + b(a − b), de donde
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
. (3.2)
Para encontrar el área de la parte sombreada de la siguiente figura,
a
b
a − b
a − b b
(a − b)b
(a−b)b
(a − b)2
b2
observamos que la suma de las áreas de los rectángulos que la forman es
a(a − b) + b(a − b) y si factorizamos esta suma tenemos que
a(a − b) + b(a − b) = (a + b)(a − b), (3.3)
pero es equivalente al área del cuadrado grande menos el área del cuadrado chico, es decir,
(a + b)(a − b) = a2
− b2
. (3.4)
Otro producto notable, pero ahora de tres variables, está dado por
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc. (3.5)
La representación geométrica de este producto está dada por la igualdad entre el área del
cuadrado con lados de longitud a + b + c y la suma de las áreas de los nueve rectángulos en
que se ha dividido el cuadrado, esto es,
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ ab + ac + ba + bc + ca + cb = a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc.

3.2. Productos notables 37
a b c
c
b
a
ac bc c2
ab b2 cb
a2 ba ca
3.2. Productos notables
Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir,
cuando es el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, 4a2
es cuadrado perfecto porque
es el cuadrado de 2a: (2a)2
= 2a × 2a = 4a2
. Además notemos que 2a es la ra´ız cuadrada de
4a2
.
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por s´ı mismo, es decir,
(a + b)2
= (a + b)(a + b)
= a2
+ ab + ba + b2
= a2
+ 2ab + b2
,
luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad
más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Elevar al cuadrado a−b equivale a multiplicar esta diferencia por s´ı misma como a continua-
ción
(a − b)2
= (a − b)(a − b)
= a2
− ab − ba + b2
= a2
− 2ab + b2
,
luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
Sean a y b dos cantidades, tenemos el siguiente producto
(a + b)(a − b) = a2
− ab + ba − b2
= a2
− b2
,

luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b).
Tenemos el siguiente producto
(x + a)(x + b) = x2
+ bx + ax + ab
= x2
+ (a + b)x + ab.
De lo anterior tenemos que el producto de dos binomios que tienen un término en común
cumplen las siguientes reglas.
1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.
2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos
términos de los binomios.
3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.
Cubo de un binomio.
Elevemos a + b al cubo,
(a + b)3
= (a + b)(a + b)(a + b)
= (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2
+ 2ab + b2
)
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
,
luego, el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el
triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado
de la segunda, más el cubo de la segunda.
Cubo de la diferencia de dos cantidades.
Elevemos a − b al cubo.
(a − b)3
= (a − b)(a − b)(a − b)
= (a − b)(a − b)2
= (a − b)(a2
− 2ab + b2
)
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
,
luego, el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad
menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el
cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

3.2. Productos notables 39
Desarrolla las siguientes expresiones.
1. (x + 5)2
.
Solución.
(x + 5)2
= x2
+ 2(x)(5) + 52
= x2
+ 10x + 25.
2. x2
− 1
2
x
2
.
Solución.
x2
−
1
2
x
2
= (x2
)2
− 2(x2
)
1
2
x +
1
2
x
2
= x4
− x3
+
1
4
x2
.
3. (2x − 3)3
.
Solución.
(2x − 3)3
= (2x)3
− 3(2x)2
(3) + 3(2x)(3)2
− 33
= 8x3
− 36x2
+ 54x − 27.
4. (2x + 5)3
.
Solución.
(2x + 5)3
= (2x)3
+ 3(2x)2
(5) + 3(2x)(5)2
+ 53
= 8x3
+ 60x2
+ 150x + 125.
3.2.2. Ejercicios
Desarrollar los siguientes productos.
a) (x + 4)2
b) (x10
+ 10y12
)2
c) (ab4
− c)(ab4
+ c) d) (xa+1
− 3xa−2
)2
e) (7a5n
+ b6x
9
)(7a5n
− b6x
9
) f) (xy2
− 9)(xy2
+ 12)
g) (2x − 3)3
h) (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3)
i) (2xn
− 1
3
)(2xn
+ 1
3
) j) (2a − b − c)(2a − b + c).

3.3. Cocientes notables
Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser
escritos por simple inspección.
3.3.1. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos números entre la
suma o resta de los números
En este primer caso de cocientes notables, se tiene que si se divide la diferencia de cuadrados
de dos cantidades entre la suma de las cantidades se obtiene la diferencia de la cantidades
a2
− b2
a + b
= a − b.
De la misma manera, la diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la dife-
rencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades
a2
− b2
a − b
= a + b.
Ejemplo 3.3.1 Dividir 9x2
− y2
entre 3x + y.
Es claro que
9x2
− y2
3x + y
= 3x − y.
Ejemplo 3.3.2 Dividir (a + b)2
− c2
entre (a + b) + c.
Se tiene que
(a + b)2
− c2
(a + b) + c
= a + b − c.
3.3.2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos números
entre la suma o resta de los números
Los dos casos considerados aqu´ı son los siguientes cocientes:
a3
+ b3
a + b
= a2
− ab + b2
,
a3
− b3
a − b
= a2
+ ab + b2
.

3.3. Cocientes notables 41
+ y3
entre 2x + y.
En este caso tenemos que
8x3
+ y3
2x + y
= (2x)2
− 2x(y) + y2
= 4x2
− 2xy + y2
.
+ 125y9
entre 3x2
+ 5y3
.
Al dividir obtenemos
27x6
+ 125y9
3x2 + 5y3
= (3x2
)2
− 3x2
(5y3
) + (5y3
)2
= 9x4
− 15x2
y3
+ 25y6
.
3.3.3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos núme-
ros entre la suma o resta de los números
Veamos varios ejemplos de este tipo de cocientes. En el cap´ıtulo 4 se enuncian las reglas de
este tipo de cocientes ya que son un caso especial de factorización.
Ejemplo 3.3.5 Dividir las expresiones indicadas.
1.
a4
− b4
a − b
.
a4
− b4
a − b
= a3
+ a2
b + ab2
+ b3
.
2.
a4
− b4
a + b
.
a4
− b4
a + b
= a3
− a2
b + ab2
− b3
.
3.
a5
+ b5
a + b
.
a5
+ b5
a + b
= a4
− a3
b + a2
b2
− ab3
+ b4
.
4.
x5
+ 32
x + 2
.
x5
+ 32
x + 2
=
x5
+ 25
x + 2
= x4
− 2x3
+ 22
x2
− 23
x + 24
= x4
− 2x3
+ 4x2
− 8x + 16.

Encuentra el cociente.
1.
9 − x4
3 − x2
= 3 + x2
.
2.
25 − 36x4
5 − 6x2
= 5 + 6x2
.
3.
(x + y)2
− z2
(x + y) − z
= x + y + z.
4.
8x12
− 729y6
2x4 − 9y2
=
(2x4
)3
− (9y2
)3
2x4 − 9y2
= 4x8
+ 18x2
y2
+ 81y4
.
5.
1 − 64a3
1 − 4a
= 1 + 4a + 16a2
.
3.4. Teorema del binomio
Binomio de Newton. Consideremos el binomio (a + b), multiplicando el binomio por el
mismo dos y tres veces, obtenemos
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
,
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
En estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes:
1. Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.
2. El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio,
y en cada término posterior al primero, disminuye 1.
3. El exponente b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a
éste, aumenta 1.
4. El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo
término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.
5. El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término
anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por
el exponente de b en ese mismo término aumentado en 1.
6. El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.

3.4. Teorema del binomio 43
Los resultados anteriores constituyen la ley del binomio, que se cumple para cualquier expo-
nente entero positivo. Esta ley se representa por la siguiente formula:
(a + b)n
= an
+ nan−1
b +
n(n − 1)
1 · 2
an−2
b2
+
n(n − 1)(n − 2)
1 · 2 · 3
an−3
b3
+ · · ·
+
n(n − 1)(n − 2)(n − (k − 1))
1 · 2 · 3 · · ·· · · · k
an−k
bk
+ · · · + nabn−1
+ bn
.
Esta fórmula descubierta por Newton nos permite elevar un binomio a una potencia cualquie-
ra, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores.
3.4.1. Triángulo de Pascal
Los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da
enseguida el siguiente triángulo, llamado triángulo de Pascal.
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
El modo de formar este triángulo es el siguiente:
En la primera fila horizontal se pone el 1. En la segunda fila se pone 1 y 1. Desde la tercera en
adelante se empieza por 1 y cada número posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior
el 1er número con el 2do, el 2do con el 3ero, el 3ero con el 4to, etc., y se termina por 1.
Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia n-ésima de un binomio son los números
que se hallan en la n-ésima fila horizontal del triángulo de Pascal.
As´ı los coeficientes del desarrollo de (x + y)4
son los números que están en la cuarta fila
horizontal, es decir, 1, 4, 6, 4, 1.
1. (a + b)3
.
Solución.
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
2. (a + b)5
.
Solución.
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
.

Nota que la suma de los exponentes siempre da como resultados 3, en el primer ejercicio y 5
en el segundo ejercicio.
3. Desarrollar por el teorema del binomio (a + 2b)4
.
Soluci´on.
(a + 2b)4
= 1(a4
) + 4(a3
)(2b) + 6(a2
)(4b2
) + 4(a)(8b3
) + 1(16b4
)
= a4
+ 8a3
b + 24a2
b2
+ 32ab3
+ 16b4
.
3.4.3. Ejercicios
a) (x + 1)2
b) (x + y + z)3
c) (z + y)4
d) (a + b + c)5
e) (s − t)7
f) (x2a
+ y3b
)6
g) (2xt
− 3)4
h) (3z − y + 2x)5
i) (x2
− x + 1)2
j) (a + b + c + d)2
.

Cap´ıtulo 4
Factorización
4.1. División de polinomios
Empezamos esta sección con las reglas que se siguen para dividir dos polinomios.
1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el
primer término del cociente.
3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo
de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el
dividendo se escriben en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del
dividendo y el divisor.
4. Se divide el primer térmnino del resto entre el primer término del divisor y tendremos
el segundo término del cociente.
5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, cambiando los signos.
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan
las operaciones anteriores; y as´ı sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
+ 2x − 8 entre x + 2.
+3x2
+2x −8 x +2
−3x2
−6x 3x −4
−4x −8
+4x +8.
45

46 Cap´ıtulo 4. Factorización
Explicación. El dividendo y el divisor están ordenados de manera descendente con relación
a x. Dividimos el primer término del dividendo 3x2
entre el primero del divisor x y tenemos
3x2
÷ x = 3x. Éste es el primer término cociente.
Multiplicamos 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos productos hay que
restarlos del dividendo, tendremos 3x × x = 3x2
, para restar −3x2
; 3x × 2 = 6x, para restar
−6x.
Estos productos con sus signos cambiados los escribimos debajo de los términos semejantes
con ellos del dividendo y hacemos la reducción; nos da −4x y bajamos el −8. Dividimos
−4x entre x: −4x ÷ x = −4 y éste es el segundo término del cociente. El −4 hay que
multiplicarlo por cada uno de los términos del divisor y restar los productos del dividendo y
tendremos (−4) × x = −4x, para restar +4x; (−4) × 2 = −8, para restar 8.
Escribimos estos términos debajo de sus semejantes y haciendo la reducción nos da cero de
residuo. Luego, tenemos que 3x2
+ 2x − 8 = (x + 2)(3x − 4).
1. Dividir
12x3
− 6x2
+ 18x
6x
y simplificar.
Solución.
12x3
− 6x2
+ 18x
6x
=
12x3
6x
+
−6x2
6x
+
18x
6x
= 2x2
− x + 3.
2. Dividir
(3x + a)2
− a(3x + a)
(3x + a)
y simplificar.
Solución.
(3x + a)2
− a(3x + a)
(3x + a)
=
(3x + a)2
3x + a
−
a(3x + a)
3x + a
= (3x + a) − a = 3x.
3. Realiza las operaciones y simplifica.
12a4
+ 4a3
− 32a2
4a2
− (3a − 8)(a + 1).
Solución.
12a4
+ 4a3
− 32a2
4a2
− (3a − 8)(a + 1) = (3a2
+ a − 8) − (3a2
+ 3a − 8a − 8)
= (3a2
+ a − 8) − (3a2
− 5a − 8)
= 3a2
+ a − 8 − 3a2
+ 5a + 8
= 6a.

4.2. Factorización de polinomios. 47
4.1.2. Ejercicios
Realiza las operaciones y simplifica.
a)
x3
− 12x2
− 42
x − 3
b)
y2
− 14y + 49
y − 7
c)
−x4
+ 1
−x + 1
d)
x4
+ x3
− 9x2
+ x + 5
x2 + 3x − 2
e)
am4
− am − 2a
am + a
f)
x4
+ x3
− 9x2
+ x + 5
x2 + 3x − 2
g) x6
+ 5x4
+ 3x2
− 2x entre x2
− x + 3 h)
1
6
a2
+
5
36
ab −
1
6b2
entre
1
3
a +
1
2
b
i)
x4
− 3x2
+ 2
x − 3
j)
1
3
x2
+
7
10
xy −
1
3
y2
entre x −
2
5
y.
4.2. Factorización de polinomios.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que
multiplicadas entre s´ı dan como producto la primera expresión. Por ejemplo, multiplicando a
por a + b tenemos que
a(a + b) = a2
+ ab,
es decir, a y a + b, que multiplicados entre s´ı dan como producto a2
+ ab, son factores o
divisores de a2
+ab. Del mismo modo, de la expresión (x+2)(x+3) = x2
+5x+6, tenemos
que x + 2 y x + 3 son factores de x2
+ 5x + 6.
Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto
indicado de sus factores.
Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. As´ı, los factores de 15ab
son 3, 5, a y b. Por lo tanto, se puede escribir 15ab = 3 × 5 × a × b.
Factorizar un polinomio. As´ı como en aritmética hay números primos que sólo son divisi-
bles entre ellos mismos y entre 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles entre
ellas mismas y entre 1 y por lo tanto no son el producto de otras expresiones algebraicas. Lo
mismo pasa con los polinomios, no cualquier polinomio se puede descomponer en dos o más
factores distintos de 1. Por ejemplo, a + b no puede descomponerse en dos factores distintos
de 1 porque sólo es divisible entre a + b y entre 1.

4.3. Distintos tipos de factorización
En esta sección, vamos a estudiar la manera de descomponer o factorizar polinomios en dos
o más factores distintos de 1. En cualesquiera de los 10 casos diferentes de factorización que
estudiaremos, la prueba consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto
tiene que ser igual a la expresión que se factorizó.
Caso 1. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
a) Factor común monomio.
Veamos los siguientes ejemplos, cuando todos los términos del un polinomio tienen un factor
común, el cual es un monomio.
Ejemplo 4.3.1 1. Descomponer en factores a2
+ 2a.
Los términos a2
y 2a contienen en común a la variable a. Escribimos el factor común a
como coeficiente y dentro de un paréntesis escribimos los cocientes de dividir a2
/a = a
y 2a/a = 2, para obtener a2
+ 2a = a(a + 2).
2. Descomponer 10b − 30ab2
.
Primeros veamos los factores comunes de los números 10 y 30. Como 30 = 3·10 vemos
que 10 es el factor común de los dos números. De las letras, el único factor común es
b porque se encuentra en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su
menor exponente. De esta forma, el factor común es 10b, por lo que 10b − 30ab2
=
10b(1 − 3ab).
3. Descomponer 10a2
− 5a + 15a3
.
En este caso el factor común es 5a por lo que
10a2
− 5a + 15a3
= 5a(2a − 1 + 3a2
).
4. Factorizar 18mxy2
− 54m2
x2
y2
+ 36my2
.
El factor común es 18my2
, por lo que
18mxy2
− 54m2
x2
y2
+ 36my2
= 18my2
(x − 3mx2
+ 2).
5. Factorizar 6xy3
− 9nx2
y3
+ 12nx3
y3
− 3n2
x4
y3
.
El factor común es 3xy3
, luego
6xy3
− 9nx2
y3
+ 12nx3
y3
− 3n2
x4
y3
= 3xy3
(2 − 3nx + 4nx2
− n2
x3
).
b) Factor común polinomio.
Ahora, veamos algunos ejemplos cuando un polinomio es un factor común.

4.3. Distintos tipos de factorización 49
Ejemplo 4.3.2 1. Descomponer x(a + b) + m(a + b).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a + b). Escribi-
mos el factor común (a + b) como coeficiente y dentro de un paréntesis escribimos los
cocientes de dividir x(a + b)/(a + b) = x y m(a + b)/(a + b) = m, para obtener
x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m).
2. Factorizar 2x(z − 3) − y(z − 3).
El factor común es (z − 3). Entonces
2x(z − 3) − y(z − 3) = (z − 3)(2x − y).
3. Factorizar x(a − 1) + y(a − 1) − a + 1.
El factor común es (a − 1). Entonces
x(a − 1) + y(a − 1) − a + 1 = x(a − 1) + y(a − 1) − (a − 1)
= (x + y − 1)(a − 1).
Caso 2. Factor común por agrupación de términos.
Para ilustrar este caso de factorización veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.3.3 Factorizar ax + bx + ay + by.
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y.
Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis
precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo +, y obtendremos
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y).
Veamos otro ejemplo de este caso.
Ejemplo 4.3.4 Factorizar ax − ay + az + x − y + z.
Es claro que podemos factorizar la a para obtener
ax − ay + az + x − y + z = (ax − ay + az) + (x − y + z)
= a(x − y + z) + x − y + z
= (x − y + z)(a + 1).
Caso 3. Trinomio cuadrado perfecto.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio es cuadrado per-
fecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Por
ejemplo, a2
+ 2ab + b2
es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de a + b, es decir,
(a + b)2
= (a + b)(a + b) = a2
+ 2ab + b2
.

Del mismo modo, (2x + 3y)2
= 4x2
+ 12xy + 9y2
es un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado en relación con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y ter-
cer términos son cuadrados perfectos (o tienen ra´ız cuadrada exacta) y positivos, y el segundo
término es el doble producto de sus ra´ıces cuadradas.
Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 4.3.5 1. Factorizar 4x2
+ 25y2
− 20xy.
Observemos que la expresión dada es un trinomio cuadrado perfecto ya que 4x2
+
25y2
−20xy = 4x2
−20xy+25y2
. Luego se puede factorizar como 4x2
+25y2
−20xy =
(2x − 5y)2
.
2. Descomponer en factores la expresion 1 − 16ax2
+ 64a2
x4
.
Es fácil ver que 1 − 16ax2
+ 64a2
x4
= (1 − 8ax2
)2
.
3. Expresar como producto de dos factores, la expresión a2
+ 2a(a − b) + (a − b)2
.
Observemos que la expresion es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que a2
+2a(a−
b) + (a − b)2
= (a + (a − b))2
= (2a − b)2
.
Caso 4. Diferencia de cuadrados perfectos.
En los productos notables se vió que la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia
es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a + b)(a − b) =
a2
− b2
; luego, reciprocamente
a2
− b2
= (a + b)(a − b).
Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la ra´ız cuadrada al minuendo y al
sustraendo y se multiplica la suma de estas ra´ıces cuadradas por la diferencia entre la ra´ız del
minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 4.3.6 . Factorice las siguientes expresiones.
1. 1 − a2
.
Observe que 1 − a2
= (1 + a)(1 − a).
2. 16x2
− 25y4
.
Note que 16x2
− 25y4
= (4x + 5y2
)(4x − 5y2
).
3.
a2
4
−
b4
9
.
a2
4
−
b4
9
=
a
2
+
b2
3
a
2
−
b2
3
.
4. (a + b)2
− c2
.
(a + b)2
− c2
= ((a + b) + c)((a + b) − c) = (a + b + c)(a + b − c).

Casos especiales. Combinación de los casos 3 y 4.
Veamos ahora descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo
conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descom-
poniendo estos trinomios se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplo 4.3.7 .
1. Factorizar a2
+ 2ab + b2
− 1.
a2
+ 2ab + b2
− 1 = (a2
+ 2ab + b2
) − 1
= (a + b)2
− 1
= (a + b + 1)(a + b − 1).
2. Descomponer 9a2
− x2
+ 2x − 1.
9a2
− x2
+ 2x − 1 = 9a2
− (x2
− 2x + 1)
= 9a2
− (x − 1)2
= (3a + (x − 1))(3a − (x − 1))
= (3a + x − 1)(3a − x + 1).
Caso 5. Trinomio cuadrado perfecto por suma y resta.
Consideremos el trinomio x4
+ x2
y2
+ y4
y analicemos si es un trinomio cuadrado perfecto.
La ra´ız cuadrada de x4
es x2
; la ra´ız cuadrada de y4
es y2
y el doble producto de estas ra´ıces
es 2x2
y2
, luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto, y podamos factorizarlo, hay que lograr que el término x2
y2
se convierta en 2x2
y2
, lo cual se logra si sumamos x2
y2
, pero para que el trinomio no cambie
hay que restar la misma cantidad que se suma, es decir
x4
+ x2
y2
+ y4
= x4
+ x2
y2
+ y4
+ x2
y2
− x2
y2
= x4
+ 2x2
y2
+ y4
− x2
y2
= (x2
+ y2
)2
− x2
y2
= (x2
+ y2
+ xy)(x2
+ y2
− xy).
Ejemplo 4.3.8 .
1. Descomponer 4a4
+ 8a2
b2
+ 9b4
.
4a4
+ 8a2
b2
+ 9b4
= 4a4
+ 8a2
b2
+ 9b4
+ 4a2
b2
− 4a2
b2
= 4a4
+ 12a2
b2
+ 9b4
− 4a2
b2
= (2a2
+ 3b2
)2
− 4a2
b2
= (2a2
+ 3b2
+ 2ab)(2a2
+ 3b2
− 2ab).

2. Factorizar 49m4
− 151m2
n4
+ 81n8
.
49m4
− 151m2
n4
+ 81n8
= 49m4
− 126m2
n4
+ 81n8
− 25m2
n4
= (7m2
− 9n4
)2
− 25m2
n4
= (7m2
− 9n4
+ 5mn2
)(7m2
− 9n4
− 5mn2
).
Caso especial. Factorizar una suma de dos cuadrados.
En general una suma de cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir,
factores en que no haya ra´ız. Sin embargo, hay sumas de cuadrados que, al sumar y restar una
misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse.
Ejemplo 4.3.9 .
1. Descomponer a4
+ 4b4
.
a4
+ 4b4
= a4
+ 4b4
+ 4a2
b2
− 4a2
b2
= a4
+ 4a2
b2
+ 4b4
− 4a2
b2
= (a2
+ 2b2
)2
− 4a2
b2
= (a2
+ 2b2
+ 2ab)(a2
+ 2b2
− 2ab).
Caso 6. Trinomio de la forma x2
+ bx + c.
La regla práctica para factorizar un trinomio de la forma x2
+bx+c es la siguiente. El trinomio
se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, es decir, la ra´ız cuadrad
del primer término del trinomio.
En el primer factor, después de x, se escribe el signo del segundo termino del trinomio, y en
el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del
segundo y tercer términos del trinomio.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya
suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor del
tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos números
cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea
el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos
de los binomios.
Ejemplo 4.3.10 .
1. Factorizar x2
+ 5x + 6.
x2
+ 5x + 6 = (x )(x )
= (x + )(x + )
= (x + 3)(x + 2).

2. Factorizar x2
+ 2x − 15.
x2
+ 2x − 15 = (x )(x )
= (x + )(x − )
= (x + 5)(x − 3).
3. Factorizar n2
+ 28n − 29.
n2
+ 28n − 29 = (n )(n )
= (n + )(n − )
= (n + 29)(n − 1).
4. Factorizar x4
+ 5x2
− 50.
x4
+ 5x2
− 50 = (x2
)(x2
)
= (x2
+ )(x2
− )
= (x2
+ 10)(x2
− 5).
Caso 7. Trinomio de la forma ax2
+ bx + c.
Los trinomios de esta forma se diferencian de los trinomios del caso anterior en que el rimer
t´ermino tiene un coeﬁciente distinto de 1.
Ejemplo 4.3.11 .
1. Factorizar 6x2
− 7x − 3.
6x2
− 7x − 3 =
6(6x2
− 7x − 3)
6
=
1
6
(36x2
− 7(6x) − 18)
=
1
6
(6x )(6x ) =
1
6
(6x − )(6x + )
=
1
6
(6x − 9)(6x + 2) =
1
2 · 3
(6x − 9)(6x + 2)
=
6x − 9
3
·
6x + 2
2
= (2x − 3)(3x + 1).
2. Factorizar 20x2
+ 7x − 6.

20x2
+ 7x − 6 =
20(6x2
+ 7x − 6)
20
=
1
20
(202
x2
+ 7(20x) − 120)
=
1
20
(20x )(20x ) =
1
20
(20x + )(20x − )
=
1
20
(20x + 15)(20x − 8) =
1
5 · 4
(20x + 15)(20x − 8)
=
20x + 15
5
·
20x − 8
4
= (4x + 3)(5x − 2).
Caso 8. Cubo perfecto de binomios.
En el cap´ıtulo 3 de productos notables se estudiarón los productos
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
,
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
,
que son expresiones llamadas binomios al cubo o cubo perfecto de binomios. En general, una
expresión es el cubo de un binomio si tiene 4 términos, donde el primer término y el último
son cubos perfectos. Además, el segundo término es mas o menos el triple del cuadrado de la
ra´ız cúbica del primer término multiplicado por la ráiz cúbica del último término; y el tercer
trmino es el triple de la ra´ız cúbica del primer término por el cuadrado de la ra´ız cúbica del
último.
Ejemplo 4.3.12 .
1. Factorizar 1 + 12a + 48a2
+ 64a3
.
1 + 12a + 48a2
+ 64a3
= 13
+ 3(1)2
· 4a + 3(1)(4a)2
+ (4a)3
= (1 + 4a)3
.
2. Factorizar a9
− 18a6
b5
+ 108a3
b1
0 − 216b15
.
a9
− 18a6
b5
+ 108a3
b1
0 − 216b15
= (a3
)3
− 3(a3
)2
· 9b5
+ 3(a3
)(9b5
)2
− (9b5
)3
= (a3
− 9b5
)3
.
Caso 9. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Sabemos que
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
) (4.1)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
). (4.2)

La fórmula (4.1) nos dice que la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
la suma de sus ra´ıces cúbicas y el otro factor es el cuadrado de la primera ra´ız, menos el
producto de las dos ra´ıces, más el cuadrado de la segunda ra´ız.
La fórmula (4.2) nos dice que la diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores: la suma de sus ra´ıces cúbicas y el otro factor es el cuadrado de la primera ra´ız, más
el producto de las dos ra´ıces, más el cuadrado de la segunda ra´ız.
Ejemplo 4.3.13 .
1. Factorizar x3
+ 1.
x3
+ 1 = (x + 1)(x2
− x(1) + 12
) = (x + 1)(x2
− x + 1).
2. Factorizar a3
− 8.
a3
− 8 = (a − 2)(a2
+ 2(a) + 22
) = (a − 2)(a2
+ 2a + 4).
3. Factorizar 27a3
+ b6
.
27a3
+ b6
= (3a + b2
)((3a)2
− 3a(b2
) + (b2
)2
) = (3a + b2
)(9a2
− 3ab2
+ b4
).
4. Factorizar 8x3
− 125.
8x3
− 125 = (2x − 5)(4x2
+ 10x + 25).
Caso 10. Suma o diferencia de dos potencias iguales.
Por medio de la división de polinomios se puede mostrar lo siguiente.
Propiedades 4.3.14 (a) an
− bn
es divisible entre a − b cuando n es par o impar.
(b) an
+ bn
es divisible entre a + b si n es impar.
(c) an
− bn
es divisible entre a + b si n par.
(d) an
+ bn
nunca es divisible entre a + b ni entre a − b cuando n es un número par.
Ejemplo 4.3.15 .
1. Factorizar m5
+ n5
.
m5
+ n5
= (m + n)(m4
− m3
n + m2
n2
− mn3
+ n4
).

2. Factorizar x5
+ 32.
x5
+ 32 = x5
+ 25
= (x + 2)(x4
− x3
(2) + x2
(22
) − x(23
) + 24
)
= (x + 2)(x4
− 2x3
+ 4x2
− 8x + 16).
3. Factorizar x7
− 1.
x7
− 1 = (x − 1)(x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1).
1. Factorice el polinomio 2x3
y − 8x2
y2
− 6xy3
.
Solución.
2x3
y − 8x2
y2
− 6xy3
= (2xy)x2
− (2xy)4xy − (2xy)3y2
= 2xy(x2
− 4xy − 3y2
).
2. Factorice completamente el siguiente polinomio
4(2x + 7)(x − 3)2
+ 2(2x + 7)2
(x − 3).
Solución.
4(2x + 7)(x − 3)2
+ 2(2x + 7)2
(x − 3) = 2(2x + 7)(x − 3)[2(x − 3) + (2x + 7)]
= 2(2x + 7)(x − 3)(2x − 6 + 2x + 7)
= 2(2x + 7)(x − 3)(4x + 1).
3. Factorice completamente 3x2
− 6x + 4x − 8.
Solución.
3x2
− 6x + 4x − 8 = (3x2
− 6x) + (4x − 8)
= 3x(x − 2) + 4(x − 2)
= (3x + 4)(x − 2).
4. Factorice completamente 4(2x + 5)(3x + 1)2
+ 6(2x + 5)2
(3x + 1).
Solución.
4(2x + 5)(3x + 1)2
+ 6(2x + 5)2
(3x + 1) = 2(2x + 5)(3x + 1)[2(3x + 1) + 3(2x + 5)]
= 2(2x + 5)(3x + 1)(6x + 2 + 6x + 15)
= 2(2x + 5)(3x + 1)(12x + 17).

5. Factorizar 1
4
− b
3
+ b2
9
.
Solución. La expresión es un trinomio cuadrado perfecto, luego
1
4
−
b
3
+
b2
9
=
1
2
−
b
3
2
.
6. Factorizar (a + x)2
− (x + 2)2
.
Solución. La expresión es un diferencia de cuadrados, luego
(a + x)2
− (x + 2)2
= [(a + x) + (x + 2)][(a + x) − (x + 2)]
= (a + x + x + 2)(a + x − x − 2)
= (a + 2x + 2)(a − 2).
7. Factorizar a4
+ a2
+ 1.
Solución. Tenemos que convertir la expresión en un trinomio cuadrado perfecto, es decir,
a4
+ a2
+ 1 = a4
+ a2
+ 1 + a2
− a2
= (a4
+ 2a2
+ 1) − a2
= (a2
+ 1)2
− a2
= (a2
+ 1 + a)(a2
+ 1 − a).
8. Factorizar 30 + y2
− y4
.
Solución.
30 + y2
− y4
= −(y4
− y2
− 30)
= −(y2
)(y2
)
= −(y2
− )(y2
+ )
= −(y2
− 6)(y2
+ 5)
= (6 − y2
)(y2
+ 5).
9. Factorizar 8 − (x − y)3
.
Solución.
8 − (x − y)3
= (2 − (x − y))(22
+ 2(x − y) + (x − y)2
)
= (2 − x + y)((4 + 2x − 2y + x2
− 2xy + y2
).
10. Factorizar x3
− 4x − x2
+ 4.

Solución.
x3
− 4x − x2
+ 4 = (x3
− 4x) − (x2
− 4)
= x(x2
− 4) − (x2
− 4)
= (x − 1)(x2
− 4)
= (x − 1)(x − 2)(x + 2).
4.3.2. Ejercicios
Factoriza las siguientes expresiones.
a) 10b + 30ab b) 24a2
xy2
− 36x2
y4
c) 12a2
b3
− 30a3
b2
+ 18ab4
− 42a4
b d) x(2a + b + c) − 2a − b − c
e) 3x2
− 6x − 4y − 2xy f) a(x − 1) − (a + 2)(x − 1)
g) 2av2
+ 3u3
+ 2auv − 3av2
− 2au2
− 3vu2
h) 2x2
y + 2xz2
+ y2
z2
+ xy3
i) 5x3
− 5x2y + 3x2
− 3xy + 7x − 7y
j) a2
b3
− n4
+ a2
b3
x2
− n4
x2
− 3a2
b3
x + 3n4
x
k) x2
− 4 l) x3
− y3
m) z4
− y4
n) a5
+ c5
o) s3
+ t3
p) 729x6
− 64b6
q) 16x4
− 34
r) 55
+ 243
32
x5
s) x2
+ y2
t) a10
− b10
.
4.4. Fracciones complejas
Una fracción compleja es una fracción en la cual el numerador o el denominador, o ambos,
son fracciones algebraicas o expresiones mixtas, como
a
x
−
x
a
1 +
a
x
.

4.4. Fracciones complejas 59
Una fracción compleja no es más que una división indicada; la raya de la fracción equivale
al signo de dividir y ella indica que hay que dividir lo que está encima de la raya por lo que
está debajo de ella.
As´ı, la fracción
a
x
−
x
a
1 +
a
x
equivale a
a
x
−
x
a
÷ 1 +
a
x
.
Simplificación de fracciones complejas
1. Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracción
compleja.
2. Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga
en el denominador.
1. Simplificar
4
9
− 3
8
7
12
− 11
18
.
Solución.
4
9
− 3
8
7
12
− 11
18
=
18(4
9
− 3
8
)
18( 7
12
− 11
18
)
=
8 − 27
4
21
2
− 11
=
4(8 − 27
4
)
4(21
2
− 11)
=
32 − 27
42 − 44
=
5
−2
= −
5
2
.
Nota que en esta manera de simplificar solo elegimos el denominador más grande para mul-
tiplicar y dividir, lo cual no garantiza que desaparezcan todos los denominadores, y as´ı el
proceso de debe repetir. Solucionaremos el problema de una manera alternativa donde no
sera necesario multiplicar más de una vez.
Segunda solución. El m´ınimo común múltiplo de los denominadores es 72
4
9
− 3
8
7
12
− 11
18
=
72(4
9
− 3
8
)
72( 7
12
− 11
18
)
=
32 − 27
42 − 44
=
5
−2
= −
5
2
.
Los siguientes ejercicios los resolveremos de esta forma, utilizando el m´ınimo común múlti-
plo (m.c.m.).
2. Simplificar
x − 2
x + 2 − 4
x−1
.

Solución. El m.c.m. de los denominadores es (x − 1), luego
x − 2
x + 2 − 4
x−1
=
(x − 1)(x − 2)
x−1
1
(x+2
1
− 4
x−1
)
=
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x + 2) − 4
=
(x − 1)(x − 2)
x2 + x − 2 − 4
=
(x − 1)(x − 2)
x2 + x − 6
=
(x − 1)(x − 2)
(x + 3)(x − 2)
=
x − 1
x + 3
.
3. Simplificar
x + 3 + 6
x−4
x + 5 + 18
x−4
.
Solución. El m.c.m. de los denominadores es x − 4, luego
x + 3 +
6
x − 4
x + 5 +
18
x − 4
=
(x − 4) x + 3 +
6
x − 4
(x − 4) x + 5 +
18
x − 4
=
(x − 4)(x + 3) + 6
(x − 4)(x + 5) + 18
=
x2
− x − 12 + 6
x2 + x − 20 + 18
=
x2
− x − 6
x2 + x − 2
=
(x − 3)(x + 2)
(x + 2)(x − 1)
=
x − 3
x − 1
.
4.4.2. Ejercicios
Simplifica las expresiones siguientes.
a)
1 +
x + 1
x − 1
1
x − 1
−
1
x + 1
b)
b2
c
−
b2
− c2
b + c
b − c
c
+
c
b
c)
1 −
7
a
+
12
a2
a −
16
a
d)
x2
y
−
y2
x
1
x
+
1
y
+
y
x2
e)
1
a + b + c
−
1
a − b + c
1
a − b + c
−
1
a + b + c
f)
x + 2
x2 − 5x + 6
x2
+ 4x + 4
x2 − 4

4.4. Fracciones complejas 61
g)
x3
+ 3x2
− 4x − 12
x2 + 2x − 3
4x − 2x2
x3 − 2x2 + x
h)
1
a + 2 −
a + 1
a −
1
a
i)
1
a −
a
a −
a2
a + 1
j)
x − 1
x + 2 −
x2
+ 2
x −
x − 2
x + 1
.

Cap´ıtulo 5
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas
incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto u, v, w, x, y, z. As´ı, 5x+2 =
17 es una ecuación, por que es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad
sólo se verifica, es decir, sólo es verdadera para el valor x = 3. En efecto, si sustituimos la x
por 3, tenemos que 5(3) + 2 = 17, es decir, 17 = 17. Si damos a x un valor distinto de 3 la
igualdad no se verifica o no es verdadera.
Se llama primer miembro de una ecuación a la expresión que está a la izquierda del signo
de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.
5.1. Clases de ecuaciones
Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como
4x − 5 = x + 4,
donde la unica letra es la incógnita x.
Una ecuación literal es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, que
representan cantidades conocidas, como
3x + 2a = 5b − 5bx.
Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador como en los
ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus términos tienen denomi-
nador, como
3x
2
+
6x
5
= 5 +
x
5
.
63

64 Cap´ıtulo 5. Ecuaciones de primer grado
El grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita
en la ecuación. As´ı, 4x − 6 = 3x − 1 es una ecuación de primer grado porque el mayor
exponente de x es 1.
5.2. Concepto de solucion de una ecuación
Las ra´ıces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o sa-
tisfacen la ecuación, es decir que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación
en identidad. As´ı, en la ecuación
5x − 6 = 3x + 8,
la ra´ız es 7 porque haciendo x = 7 se tiene 5(7) − 6 = 3(7) + 8, es decir, 29 = 29, donde
vemos que 7 satisface la ecuación.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola ra´ız. Resolver una
ecuación es hallar sus ra´ıces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la
ecuación.
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si a cantidades iguales se aplican operaciones iguales, los resultados serán iguales.
Reglas que se derivan de este axioma.
1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa,
la igualdad subsiste.
2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa,
la igualdad subsiste.
3. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva
o negativa, la igualdad subsiste.
4. Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
5. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos
miembros se extrae una misma ra´ız, la igualdad subsiste.
La trasposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miem-
bro al otro. Cualquier miembro de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cam-
biándole el signo.
Por ejemplo, consideremos la ecuación 3x + b = 2a. Restando b a los dos miembros de esta
ecuación, la igualdad subsiste, y se tiene que 3x + b − b = 2a − b, y como b − b = 0, queda
3x = 2a − b.

5.2. Concepto de solucion de una ecuación 65
Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incognita.
Se tiene la siguiente regla general.
1. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
2. Se hace la trasposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que
contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3. Se reducen términos semajantes en cada miembro.
4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente
de la incógnita.
Por ejemplo, resolvamos la ecuación 3x − 5 = x + 3. Pasando x al primer miembro y −5
al segundo, cambiandoles los signos, tenemos 3x − x = 3 + 5. Reduciendo los términos
semejantes, tenemos 2x = 8. Dividiendo los dos miembros de la ecuación entre 2, tenemos
2x
2
=
8
2
.
Por último simplificamos y obtenemos x = 4.
5.2.1. Ejercicios
Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones.
a) 11x + 5x − 1 = 65x − 36.
b) 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172.
c) (5 − 3x) − (−4x + 6) = (8x + 11) − (3x − 6).
d) 15x + (−6x + 5) − 2 − (−x + 3) = −(7x + 23) − x + (3 − 2x).
e) 14x − (3x − 2) − [5x + 2 − (x − 1)] = 0.
f) 3x
4
− 1
5
+ 2x = 5
4
− 3x
20
.
g) 14 − 12x + 39x − 18 = 256 − 60x − 657x.
h) 10x − 8x−3
4
= 2(x − 3).
i) 71 + [−5x + (−2x + 3)] = 25 − [−(3x + 4) − (4x + 3)].
j) 3x−1
2
− 5x+4
3
− x+2
8
= 2x−3
5
− 1
10
.

5.3. Planteamiento y resolución de problemas
1. El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo número. Hallar tal número.
Solución. Sea x el número buscado, entonces el enunciado nos dice que
3x =
x
3
+ 48
Tenemos entonces que 9x = x+144, de donde 8x = 9x−x = 144. Por lo tanto x = 144
8
= 18.
2. Hallar dos números consecutivos tales que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los
3
4
del menor y los 2
5
del mayor.
Solución. Sea x el número menor y sea x + 1 el número mayor, entonces el enunciado dice
que
x =
3x
4
−
2(x + 1)
5
+ 81.
Resolviendo
20x = 15x − 8(x + 1) + 1620
= 15x − 8x − 8 + 1620
= 7x + 1612,
de donde 13x = 20x − 7x = 1612, es decir, x = 1612
13
= 124.
3. Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre
27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9.
Solución. Como son tres números consecutivos, si x es el menor de los números, los otros
serán x + 1 y x + 2. Entonces se tiene que
x
20
+
x + 1
27
+
x + 2
41
= 9.
El m.c.m. de 20, 27 y 41 es (5)(2)2
(3)3
(41) = 22140, por lo que
1107x+820(x+1)+540(x+2) = 199260, 1107x+820x+820+540x+1080 = 199260
2467x + 1900 = 199260, 2467x = 199260 − 1900 = 197360,
de donde x = 80.
4. Un hombre viajó 9362 km por barco, tren y avión. Por tren recorrió 4
9
de lo que recorrió en
barco, y en avión 5
8
de lo que recorrió en tren. ¿Cuántos km recorrió de cada como?

5.3. Planteamiento y resolución de problemas 67
Solución. Sea x los km que recorrió por barco. Entonces recorrió 4x
9
por tren, y recorrió 5
8
(4x
9
)
por avión. Entonces
x +
4x
9
+
20x
72
= 9362, 72x + 32x + 20x = 674064,
de donde 124x = 674064 o x = 5436.
Entonces recorrió 5436 km por barco, 2416 km por tren y 1510 por avión.
5.3.2. Ejercicios
Resuelve los siguientes problemas.
a) Un padre tiene 35 años y su hijo 5, ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre 3
veces mayor que la edad del hijo?
b) Un enjambre de abejas salió a libar miel; la mitad de ellas se quedó en la primera flor que
encontró, la tercera parte en la segunda flor y cinco siguieron volando. ¿Cuantas abejas
conformaban el enjambre?
c) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
d) La base de un rectangulo es el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el
per´ımetro mide 30cm?
e) En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de nios que de hombres
y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y nios hay, si la reunión la componen 96
personas?
f) Se han consumido 7
8
de un bidón de aceite. Reponemos 38ltrs. y el bidón ha quedado lleno
hasta sus 3
5
partes. Calcula la capacidad del bidón.
g) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y
pavos hay?
h) En una libreria, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero, y un comic con las
dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la libreria tenia 12 pesos. ¿Cuánto
dinero ten´ıa Ana?
i) Las 3 cuartas partes de la edad del padre de Juan excede 15 años a la edad de este. Hace 4
anõs la edad del padre era el doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
j) Trabajando juntos, 2 obreros tardan en hacer un trabajo 14hrs. ¿Cuánto tiempo tardarán en
hacerlo por separado, si uno es el doble de rapido que el otro?

Cap´ıtulo 6
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor
exponente de la incógnita es 2. As´ı,
4x2
+ 7x + 6 = 0
es una ecuación de segundo grado.
Las ra´ıces de una ecuación de segundo grado son los valores de la incógnita que satisfacen
la ecuación. As´ı, las ra´ıces de la ecuación x2
− 2x − 3 = 0 son x1 = 3 y x2 = −1; ambos
valores satisfacen esta ecuación.
Las ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma
ax2
+ bx + c = 0,
las cuales tienen un término en x2
, un término en x y un término independiente de x. As´ı,
2x2
+ 7x − 15 = 0 y x2
− 8x + 15 = 0 son ecuaciones completas de segundo grado.
6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Las ecuaciones incompletas de segundo grado son de la forma ax2
+ c = 0, que no tienen
término lineal, es decir, no tienen término en x, o de la forma ax2
+ bx = 0, que no tienen
término independiente. As´ı x2
− 16 = 0 y 3x2
+ 5x = 0 son ecuaciones incompletas de
segundo grado.
+ c = 0
Para encontrar las ra´ıces de ecuaciones de la forma ax2
+c = 0, primero pasamos c al segundo
miembro, as´ı
ax2
= −c,
69

70 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
despues dividimos ambos miembros de la ecuación entre a, as´ı
x2
= −
c
a
,
por último en ambos miembros de la ecuación extraemos la rai´z cuadrada, de donde
x = ± −
c
a
.
Si a y c tienen el mismo signo, las ra´ıces son imaginarias por ser la ra´ız cuadrada de una
cantidad negativa; si tienen signo distinto, las ra´ıces son reales.
Ejemplo 6.1.1 Resuelva la ecuación
x2
+ 1 =
7x2
9
+ 3.
Quitando denominadores obtenemos la ecuación 9x2
+ 9 = 7x2
+ 27, la cual podemos
simplificar como 2x2
− 18 = 0, la cual es una ecuación de segundo grado incompleta sin
término en x. Luego, las soluciones son x = ±
√
9 = ±3.
1. Resolver la ecuación 3 −
3
4x2 − 1
= 2.
Solución. Simplificando la ecuación dada obtenemos que
1 = 3 − 2 =
3
4x2 − 1
, de donde 4x2
− 1 = 3.
Esta es la ecuación incompleta 4x2
− 4 = 0, la cual se resuelve por x = ±1.
2. Resolver la ecuación 5x2
+ 12 = 3x2
− 20.
Solución. Agrupando término similares, obtenemos que 5x2
− 3x2
= −20 − 12, es decir,
2x2
= −32. De esta manera, tenemos que resolver la ecuación incompleta x2
= −16, la cual
tiene dos ra´ıces imaginarias x = ±
√
−16.
6.1.3. Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x2
− 25 = 0 b) 2x2
− 6 = 0
c) 5x2
− 11 = 0 d) (2x − 3)(2x + 3) = 0
e) 3x2
− 24 = 0 f) 3x2
= 48
g) (5x − 4)(5x + 4) − 25 = 0 h) 2x − 3 − x2+1
x−2
= −7
i) 3 − 3
4x2−1
= 2 j) x2−5
3
+ 4x2−1
5
− 14x2−1
15
= 0.

6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas 71
+ bx = 0
Encontremos las soluciones de la ecuación ax2
+ bx = 0 por factorización. Descomponiendo
en factores obtenemos que ax2
+ bx = x(ax + b) = 0, de donde x = 0 o ax + b = 0. Por lo
tanto, las soluciones son x = 0 y x = −b
a
.
En este tipo de ecuaciones incompletas de segundo grado siempre una ra´ız es cero y la otra es
el coeficiente del término en x, con signo contrario, dividido entre el coeficiente del término
en x2
.
Ejemplo 6.1.2 Resuelva la ecuación
3x − 1 =
5x + 2
x − 2
.
Quitando denominadores obtenemos la expresión (3x−1)(x−2) = 5x+2, la cual podemos
simplificar como 3x2
− 12x = 0, la cual es una ecuación de segundo grado incompleta sin
término constante. Esta expresión se puede factorizar como 3x2
− 12x = 3x(x − 4) = 0
Luego, las soluciones son x = 0 y x = 4.
= −3x.
Solución. Trasponiendo los términos, obtenemos que
5x2
+ 3x = x(5x + 3) = 0, de donde x = 0 y x = −
3
5
.
2. Resolver la ecuación
x + 1
x − 1
−
x + 4
x − 2
= 1.
Solución. Multiplicando la ecuación por el m´ınimo común múltiplo (x−1)(x−2), obtenemos
que (x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2), la cual se simplifica como x2
− x −
2 − (x2
+ 3x − 4) = x2
− 3x + 2. Agrupando términos semejantes, obtenemos la ecuación
x2
+ x = 0, la cual tiene soluciones x = 0 y x = −1.
6.1.6. Ejercicios
a) x2
= 5x b) 4x2
= −32x
c) x2
− 3x = 3x2
− 4x d) 5x2
+ 4 = 2(x + 2)
e) (x − 3)2
− (2x + 5)2
= −16 f)
x2
3
−
x − 9
6
=
3
2
.

6.2. Ecuación general de segundo grado
Si tenemos una ecuación de la forma
x2
+ 2mx + m2
= d, (6.1)
donde el primer miembro de la igualdad es un trinomio cuadrado perfecto, podemos encontrar
las ra´ıces de la ecuación factorizando el primer miembro, as´ı
(x + m)2
= d,
luego extraemos la rai´z cuadrada en ambos miembros de la ecuación, as´ı
x + m = ±
√
d,
despues trasponemos m, para obtener x = −m ±
√
d.
6.2.1. Deducción de la formula general de la solución de una ecuación
de segundo grado
El procedimiento para completar cuadrados en una ecuación de segundo grado de la forma
ax2
+ bx + c = 0,
consiste transformar esta ecuacion en una ecuación equivalente, donde el primer miembro es
un trinomio cuadrado perfecto y el segundo miembro es un término independiente, es decir,
como en la ecuación (6.1).
Procedimiento:
1. Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 4a, tenemos
4a2
x2
+ 4abx + 4ac = 0.
2. Se suma b2
en ambos miembros
4a2
x2
+ 4abx + 4ac + b2
= b2
.
3. Trasponemos 4ac al segundo miembro
4a2
x2
+ 4abx + b2
= b2
− 4ac.
4. De este modo el primer miembro de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, por
lo que obtenemos la ecuación
(2ax + b)2
= b2
− 4ac.

6.2. Ecuación general de segundo grado 73
5. Extraemos la ra´ız cuadrada de ambos miembros de la ecuación, as´ı
2ax + b = ±
√
b2 − 4ac.
6. Trasponemos b,
2ax = −b ±
√
b2 − 4ac.
7. Dividimos ambos miembros entre 2a, para obtener
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
. (6.2)
A la fórmula (6.2) se le conoce como formula general. De hecho, hemos mostrado el si-
guiente resultado.
Proposición 6.2.1 Si P(x) = ax2
+ bx + c es un polinomio cuadrático, entonces las solu-
ciones o ra´ıces de la ecuación cuadrática P(x) = ax2
+ bx + c = 0 son
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
−b −
√
b2 − 4ac
2a
. (6.3)
Otra manera un tanto distinta de encontrar las ra´ıces de una ecuación cuadrática es la siguien-
te. Como a = 0, podemos reescribir el polinomio P(x) como
P(x) = ax2
+ bx + c = a x2
+
b
a
x +
c
a
= a x2
+
2bx
2a
+
b2
4a2
−
b2
4a2
+
4c
4a
= a x +
b
2a
2
−
1
4a2
b2
− 4ac
= a x +
b
2a
2
−
√
b2 − 4ac
2a
2
= a x +
b
2a
−
√
b2 − 4ac
2a
x +
b
2a
+
√
b2 − 4ac
2a
= a x −
−b +
√
b2 − 4ac
2a
x −
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Luego,
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
−b −
√
b2 − 4ac
2a
son sus ra´ıces.
Al número ∆ = b2
− 4ac le llamamos el discriminante del polinomio cuadrático P(x) =
ax2
+ bx + c.

Observación 6.2.2 Si el discriminante, b2
− 4ac, del polinomio cuadrático P(x) = ax2
+
bx + c se anula, el polinomio P(x) puede ser escrito como una constante multiplicada por
el cuadrado de un polinomio lineal. En este caso, el polinomio P(x) sólo tiene una ra´ız real,
que es igual a − b
2a
.
En el caso en que el discriminante es mayor a cero, es decir, b2
− 4ac > 0 vemos que el
polinomio P(x) tiene dos ra´ıces reales distintas.
Finalmente, cuando el discriminante sea negativo, se obtienen dos ra´ıces complejas distintas.
En conclusión, si r y s son las dos ra´ıces del polinomio P(x), entonces el discriminante se
anula si y sólo si r = s. En el caso que el discriminante sea diferente de cero, r = s, y
P(x) = a(x − r)(x − s).
Ahora veamos el significado geométrico del discriminante de un polinomio
cuadrático. Recordemos que P(x) = ax2
+ bx + c puede escribirse como
P(x) = a x +
b
2a
2
−
1
4a2
b2
− 4ac = a x +
b
2a
2
−
∆
4a
.
Para graficar la ecuación anterior, es decir, dibujar las parejas de puntos (x, y) = (x, P(x))
en el plano cartesiano, hacemos y = P(x), de donde obtenemos la ecuación
y +
∆
4a
= a x +
b
2a
2
, (6.4)
la cual representa la ecuación de una parábola con vértice en el punto − b
2a
, − ∆
4a
, donde
el signo del coeficiente a determina si la parábola abre hacia arriba (a > 0), o hacia abajo
(a < 0).
De hecho, la ecuación (6.4) nos dice mucho más acerca del polinomio cuadrático P(x). Su-
pongamos que a > 0, es decir, la parábola abre hacia arriba. La segunda coordenada del
vértice, − ∆
4a
es positiva si y sólo si −∆ > 0, es decir, el discriminante de P(x) es negativo,
lo cual significa que la gráfica de la parábola no intersecta al eje X. Luego, P(x) no tiene
ra´ıces reales.
Si − ∆
4a
es negativo, la gráfica de la parábola intersecta al eje X en dos puntos x1 y x2, que son
las ra´ıces de P(x). Observemos que en este caso se tiene que ∆ es positivo, lo cual coincide
con el hecho de que P(x) tenga dos ra´ıces reales. Además, el polinomio P(x) alcanza su
valor m´ınimo en el punto x = − b
2a
, y dicho valor m´ınimo es − ∆
4a
.
Haciendo un análisis similar si a < 0, podemos concluir que cuando la parábola abre hacia
abajo, intersectará al eje X si y sólo si ∆ ≥ 0. Aqu´ı, el polinomio P(x) alcanza su máximo
valor en el punto x = − b
2a
y el valor máximo es − ∆
4a
.

6.2. Ecuación general de segundo grado 75
x1
a > 0
∆ > 0
x1
−b
2a
, − ∆
4a
x2
a < 0
∆ < 0
−b
2a
, − ∆
4a
Cuando la gráfica de la parábola es tangente al eje X, corresponde al caso cuando el discri-
minante es cero, es decir, las dos ra´ıces son iguales.
Ejemplo 6.2.3 Resuelva la ecuación 4x2
+ 3x − 22 = 0.
Usamos la fórmula (6.2) para encontrar las soluciones de la ecuación. En este caso a = 4,
b = 3 y c = −22. Usando la fórmula mencionada, obtenemos que
x =
−3 ± 32 − 4(4)(−22)
2(4)
=
−3 ±
√
9 + 352
8
=
−3 ±
√
361
8
=
−3 ± 19
8
,
de donde las soluciones son x = 2 y x = −
11
4
.
− 7x + 2 = 0.
Solución. Usando la fórmula (6.2) con a = 3, b = −7 y c = 2, obtenemos que
x =
7 ± (−7)2 − 4(3)(2)
2(3)
=
7 ±
√
49 − 24
6
=
7 ±
√
25
6
=
7 ± 5
6
,
de donde las soluciones son x = 2 y x =
1
3
.
2. Resolver la ecuación 6x − x2
− 9 = 0.

Solución. La ecuación es equivalente a la ecuación x2
− 6x + 9 = 0. Usando la fórmula (6.2)
con a = 1, b = −6 y c = 9, obtenemos que
x =
6 ± (−6)2 − 4(1)(9)
2(1)
=
6 ±
√
36 − 36
2
=
6 ±
√
0
2
=
6
2
= 3,
de donde sólo hay una solución x = 3.
6.2.3. Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 32x2
+ 18x − 17 = 0 b) −64x2
+ 176x = 121
c) 8x + 5 = 36x2
d) 27x2
+ 12x − 7 = 0
e) 15x = 25x2
+ 2 f) x2
− 3x + 2 = 0
g) 9x2
+ 18x + 17 = 0 h) 4x2
= 8x + 5
i) 9x2
+ 12x + 4 = 0 j) 2x2
− 3x + 5 = 0.
6.2.4. Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales se resuelven haciendo desaparecer el radical mediante la eleva-
ción a la potencia, que indique el ´ındice del radical, de los dos miembros de la ecuación.
Cuando la ecuación que resulta es de segundo grado, al resolverla obtenemos las dos ra´ıces de
la ecuación, pero es necesario hacer la verificación con ambas ra´ıces en la ecuación original,
porque cuando los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, general-
mente se introducen nuevas soluciones extrañas o inadmisibles. Al hacer la verificación se
tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical.
Ejemplo 6.2.4 Resolver la ecuación
√
4x − 3 −
√
x − 2 =
√
3x − 5.
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene que
(4x − 3) − 2
√
4x − 3
√
x − 2 + (x − 2) = (3x − 5).
Desarrollando ambos lados de la ecuación, se tiene que
−2
√
4x − 3
√
x − 2 + 5x − 5 = 3x − 5,

6.3. Planteamiento y resolución de problemas 77
ecuación que es equivalente a tener
−2
√
4x − 3
√
x − 2 = −2x.
Cancelando el 2 y elevando nuevamente al cuadrado, se llega a que
(4x − 3)(x − 2) = 4x2
− 11x + 6 = x2
,
es decir, tenemos la ecuación cuadrática 3x2
− 11x + 6 = 0. Usando la fórmula (6.2),
obtenemos que x = 3 o x = 2
3
. Haciendo la verificación se ve que el valor x = 3 satisface la
ecuación dada, pero el valor x = 2
3
es una solución extraña, que no se toma en cuenta.
La solución correcta de la ecuación es x = 3.
6.3. Planteamiento y resolución de problemas
1. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 pesos. Si hubiera
comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habr´ıa costado 5 pesos menos.
¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?
Solución. Sea x el número de sacos que compró. Entonces cada saco le costó 1000
x
pesos. Si
hubiera comprado 10 sacos más le hubiera costado 1000
x+10
, y según el enunciado
1000
x + 10
=
1000
x
− 5
1000x − 1000(x + 10) + 5(x + 10)(x) = 0.
Tenemos entonces
5x2
+ 50x − 10000 = 0
x2
+ 10x − 2000 = 0
x =
−10 ± 102 − 4(1)(−2000)
2(1)
=
−10 ±
√
100 + 8000
2
=
−10 ±
√
8100
2
=
−10 ± 90
2
,
de donde x = 40 o x = −50. Como el número de sacos no puede ser un número negativo, la
respuesta es que compró x = 40 sacos a 25 pesos cada uno.
2. La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensión se aumenta 4m el área
será el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

Solución. Sea x el ancho de la sala de modo que la longitud es x+4 y el área ser´ıa x(x+4) =
x2
+ 4x.
Al aumentar en 4 las dimensiones, según el enunciado tenemos
(x + 4)(x + 8) = 2(x2
+ 4x)
x2
+ 12x + 32 = 2x2
+ 8x
x2
− 4x − 32 = 0
x =
−(−4) ± (−4)2 − 4(1)(−32)
2(1)
=
4 ±
√
16 + 128
2
=
4 ±
√
144
2
=
4 ± 12
2
,
de donde x = 8 o x = −4. Como x es el ancho de la sala, x no puede ser un valor negativo,
por lo que el ancho de la sala es 8 y la longitud es 12.
6.3.2. Ejercicios
a) La suma de dos números naturales es 14. La diferencia de sus cuadrados supera en 11 al
producto de los números. ¿Cuáles son los números?
b) El número de diagonales de un pol´ıgono de n lados está dado por D = n(n−3)
2
. ¿Cuántos
lados tiene un poligono regular que posee 54 diagonales?
c) Determinar la longitud x del lado de un triángulo isósceles rectángulo que tiene una hipo-
tenusa de 7.5 unidades
d) En la casa de Mario hay un jard´ın rectagular que tiene 96m2
de área. Alrededor del jad´ın
se hace una cerca de 3m de ancho, en este caso el área total es 252m2
. Encuentra las
dimensiónes del jard´ın.
e) El producto de dos números es 180 y su cociente 5
4
. Hallar los números.
f) La edad de A hace 6 años era la ra´ız cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años.
Hallar la edad actual.
g) Compré cierto número de libros por 40 pesos y cierto número de plumas por 40 pesos. Ca-
da pluma me costo un peso más que cada libro. ¿Cuántos libros compre y a qué precio
si el número de libros excede al de plumas en 2?

6.4. Solución de ecuaciones de grado mayor 79
h) Se vende un reloj en 75 pesos ganando un porcentaje sobre el costo igual al del número
de pesos que me costo el reloj. Hallar el costo del reloj.
i) Para vallar una finca rectangular de 750m2
se han utilizado 110m de cerca. Calcula las
dimensiones de la finca.
j) Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 26
5
.
6.4. Solución de ecuaciones de grado mayor
Una ecuación binomia es de la forma
xn
± A = 0.
Vamos a considerar algunas ecuaciones binomias que se resuelven fácilmente por descompo-
sición de factores.
Ejemplo 6.4.1 1. Resolver la ecuación x4
− 16 = 0.
Descomponiendo x4
− 16 se tiene
(x2
+ 4)(x2
− 4) = (x − 2i)(x + 2i)(x − 2)(x + 2) = 0,
por lo que la ecuación tiene cuatro ra´ıces x1 = −2, x2 = 2, x3 = −2i, x4 = 2i.
2. Resolver la ecuación x3
− 27 = 0.
Descomponiendo x3
− 27 se tiene
(x − 3)(x2
+ 3x + 9) = 0,
igualando a cero cada uno de los factores se tiene
x − 3 = 0, (6.1)
x2
+ 3x + 9 = 0. (6.2)
Resolviendo la ecuación (6.1) tenemos que x = 3; la ecuación (6.2) se resuelve por
fórmula general. As´ı
x =
−3 ± 3
√
−3
2
.
La ecuación x3
− 27 tiene tres ra´ıces x1 = 3, x2 = −3+3
√
3i
2
, x3 = −3−3
√
3i
2
.
Las ecuaciones trinomias son aquellas que constan de tres términos de la forma
ax2n
+ bxn
+ c = 0,

donde se ve que, después de ordenada la ecuación en orden descendente con relación a x,
en el primer término la x tiene un exponente doble que en el segundo término, y el tercer
término es independiente de x. Ejemplos de ecuaciones trinomias son
x4
+ 9x2
+ 20 = 0,
x6
+ 6x3
− 7 = 0.
Las ecuaciones trinomias en que el primer término tiene x4
y el segundo x2
se llaman ecua-
ciones bicuadradas.
6.4.1. Procedimiento para resolver ecuaciones trinomias
1. Escribimos la ecuación trinomia como
a(xn
)2
+ bxn
+ c = 0.
2. Aplicamos la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. As´ı
xn
=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
3. Extraemos la ra´ız enésima
x =
n −b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
Este tipo de ecuaciones tienen 2n ra´ıces.
Ejemplo 6.4.2 1. Resolver la ecuación 4x4
− 37x2
+ 9 = 0.
Esta es una ecuación bicuadrada, la cual puede escribirse como 4(x2
)2
−37x2
+9 = 0.
Aplicando la fórmula (6.2) obtenemos el valor de x2
,
x2
=
37 ± 372 − 4(4)(9)
8
=
37 ±
√
1369 − 144
8
=
37 ±
√
1225
8
=
37 ± 35
8
.
Luego, x2
= 9 o x2
= 1
4
. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación bicuadrada son
x = ±3 y x = ±1
2
.
2. Resolver la ecuación x6
− 19x3
− 216 = 0.
Usando la fórmula (6.2), obtenemos el valor de x3
,
x3
=
19 ± 372 − 4(−216)
2
=
19 ±
√
1225
2
=
19 ± 35
5
.

6.4. Solución de ecuaciones de grado mayor 81
Entonces, x3
= 27 o x3
= −8.
Ahora tenemos que resolver las dos ecuaciones x3
− 27 = 0 y x3
+ 8 = 0. Ambas
ecuaciones se pueden factorizar como x3
− 27 = (x − 3)(x2
+ 3x + 9) = 0 y x3
+ 8 =
(x + 2)(x2
− 2x + 4) = 0. Luego, resolviendo estas ecuaciones, encontramos las
soluciones x = 3, x = −2,
−3 ±
√
−27
2
,
2 ±
√
−12
2
.
6.4.2. Solución de ecuaciones por factorización
Algunas ecuaciones se pueden resolver factorizando el primer miembro de la ecuación de
modo que cada uno de los factores sea lineal, es decir, que los factores sean de la forma
(x − a).
Ejemplo 6.4.3 Resolver la ecuación x3
+ x2
− 16x − 16 = 0.
Factorizando el miembro derecho de la ecuación, se obtiene que
x3
+ x2
− 16x − 16 = x2
(x + 1) − 16(x + 1)
= (x2
− 16)(x + 1)
= (x + 4)(x − 4)(x + 1).
Luego, la ecuación tiene tres ra´ıces x1 = −4, x2 = 4, x3 = −1.
1. Resolver x6
+ 30x3
+ 81 = 0.
Solución. Factorizando obtenemos
(x3
+ 27)(x3
+ 3) = 0, luego x3
+ 27 = 0 o x3
+ 3 = 0.
Ahora para resolver la ecuación binomia x3
+ 27 = 0 factorizamos
(x + 3)(x2
− 3x + 9) = 0.
Usamos ahora la fórmula cuadrática para el segundo factor
x =
3 ±
√
9 − 36
2
=
3 ± 5i
2
.
Para resolver la ecuación binomial x3
+ 3 = 0 factorizamos
x3
+ 3 = (x +
3
√
3)(x2
−
3
√
3x + (
3
√
3)2
) = 0.
Usamos la fórmula cuadrática para el segundo factor
x =
3
√
3 ± ( 3
√
3)2 − 4( 3
√
3)2
2
=
3
√
3 ± 3
√
3
√
−3
2
=
3
√
3
2
±
3
√
3
√
3
2
i.

N´otese que en total hay 6 soluciones:
x1 = −3, x2,3 =
3 ± 5i
2
, x4 = −
3
√
3, x5,6 =
3
√
3
2
±
3
√
3
√
3
2
i.
6.4.4. Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) x4
− 16 = 0 b) x6
− 729 = 0
c) x3
+ x2
− x − 1 = 0 d) x3
− 4x2
+ x + 6 = 0
e) n4
− 27n2
− 14n + 120 = 0 f) a4
− 15a2
− 10a + 24 = 0
g) 4x5
+ 3x4
− 108x3
− 25x2
+ 522x + 360 = 0
h) x5
+ 2x4
− 15x3
− 3x2
− 6x + 45 = 0
i) x7
− 20x5
− 2x4
+ 64x3
+ 40x2
− 128 = 0
j) a6
− 8a5
+ 6a4
+ 103a3
− 344a2
+ 396a − 144 = 0.

Cap´ıtulo 7
Sistemas de ecuaciones lineales
Dos o más ecuaciones, con dos o más incognitas, son simultáneas cuando se satisfacen para
iguales valores de las incógnitas. As´ı, las ecuaciones
x + y = 5
x − y = 1
son simultáneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones.
Ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra. As´ı,
x + y = 4 (7.1)
2x + 2y = 8 (7.2)
son equivalentes porque multiplicando la ecuación (7.1) por 2 se obtiene la ecuación (7.2).
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.
Las ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecua-
ciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas.
Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independiantes que no tienen solución común.
Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incognitas.
As´ı,
2x + 3y = 13
4x − y = 5
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
83

84 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
7.1. Concepto de solución de un sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones de 2 × 2 tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, es decir, es de la
forma
ax + by = c
dx + ey = f,
donde las incógnitas son x, y.
Resolver un sistema de ecuaciones de 2 × 2 es encontrar los valores x y y que satisfacen
ambas ecuaciones, si es que existen.
Un sistema de ecuaciones de 3 × 3 tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, es decir, es de la
forma
a1,1x + a1,2y + a1,3z = b1
a2,1x + a2,2y + a2,3z = b2
a3,1x + a3,2y + a3,3z = b3,
donde las incógnitas son x, y y z.
Resolver un sistema de ecuaciones de 3 × 3 es encontrar los valores x, y y z que satisfacen
las tres ecuaciones, si es que existen.
Un sistema de ecuaciones de 2 × 2 o de 3 × 3 puede tener una solución, una infinidad de
soluciones o ninguna.
7.2. Resolución de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3
Primero vamos a estudiar los diferentes métodos para resolver ecuaciones de 2 × 2.
7.2.1. Método de igualación
Resolver el sistema
7x + 4y = 13 (7.3)
5x − 2y = 19. (7.4)
Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones para obtener
x =
13 − 4y
7
, x =
19 + 2y
5
.
Ahora se igualan las últimas dos ecuaciones, para tener que
13 − 4y
7
=
19 + 2y
5
,

7.2. Resolución de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 85
y ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. Resolviendo esta ecuación se obtiene que
y = −2. Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (7.3) o (7.4) se llega a
que
x =
13 − 4(−2)
7
= 3.
Por lo que x = 3, y = −2 es la solución del sistema.
Ejemplo 7.2.1 Resolver el sistema
3x + 5y = 7
2x − y = −4.
Despejamos a y de la primera y segunda ecuación
y =
7 − 3x
5
, y = 2x − 4.
Ahora igualamos ambas expresiones para y, para despejar x
7 − 3x
5
= 2x + 4, 7 − 3x = 10x + 20
13x = −13, x = −1.
Sustituimos ahora el valor x = −1 en cualquiera de las expresiones para y, para obtener
y = 2(−1) + 4 = −2 + 4 = 2.
Las soluciones son x = −1, y = 2.
Obsérvese que no importa cuál de las incógnitas se despeja en ambas ecuaciones el resultado
será el mismo.
7.2.2. Método de sustitución
Resolver el sistema
2x + 5y = −24 (7.5)
8x − 3y = 19. (7.6)
Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a despejar
x en la ecuación (7.5). Luego
x =
−24 − 5y
2
.

Este valor de x se sustituye en la ecuación (7.6),
8
−24 − 5y
2
− 3y = 19,
y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita. Resolviendo esta ecuación se obtiene que
y = −5. Sustituyendo el valor de y en la ecuación donde se despejo x, tenemos que
x =
−24 − 5(−5)
2
=
1
2
.
Por lo que x = 1
2
, y = −5 es la solución del sistema.
x + 6y = 27
7x − 3y = 9.
Iniciamos despejando a x en la primera ecuación, x = 27 −6y. Se sustituye ahora este valor
de x en la segunda eucación y se despeja y
7(27 − 6y) − 3y = 9, 189 − 42y − 3y = 9, 45y = 180 o y = 4.
Se sutituye y = 4 en la primera ecuación para obtener
x + (6)(4) = 27
x = 27 − 24 = 3.
As´ı x = 3, y = 4 es la solución.
7.2.3. Método de suma o resta
Resolver el sistema
5x + 6y = 20 (7.7)
4x − 3y = −23. (7.8)
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Vamos a igualar
los coeficientes de y en ambas ecuaciones por que es lo más sencillo.
Multiplicamos ambos miembros de la ecuación (7.8) por el coeficiente de y en la ecuación
(7.7) dividido entre el coeficiente de y de la ecuación (7.8), es decir, multiplicamos por 6
−3
=
−2.

Obtenemos el sistema de ecuaciónes
5x + 6y = 20
−8x + 6y = 46. (7.9)
Este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema original, lo que significa que tienen la
misma solución. Luego restamos la ecuación (7.9) de la ecuación (7.7),
5x 6y = 20
8x −6y = 20
13x = −26.
Despejamos x, en la ecuación 13x = −26, se obtiene que
x =
−23
13
= −2.
Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la ecuación (7.7),
se tiene 5(−2) + 6y = 20. Despejando, tenemos que y = 5. Por lo que x = −2, y = 5 es la
solución del sistema.
10x + 18y = −11
16x − 9y = −5.
Multiplicando todos los términos de la segunda ecuación por 2 obtendremos el nuevo sistema
10x + 18y = −11
32x − 18y = −10.
Ahora sumamos ambas ecuaciones, combinando términos semejantes para obtener:
42x = −21, x = −
1
2
.
Sustituimos x = −1
2
en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener
10 −
1
2
+ 18y = −11, 18y = −6, y = −
1
3
.
Las soluciones son entonces x = −1
2
, y = −1
3
. Una vez más observamos que no importa cuál
de las incógnitas se elije para ser eliminada, el resultado será el mismo.

Ejemplo 7.2.4 Resolver el sistema:
3x − (9x + y) = 5y − (2x + 9y)
4x − (3x + 7) = 5y − 47.
En ocasiones se debe desarrollar la expresión antes de aplicar los métodos explicados ante-
riormente, as´ı el sistema anterior se convierte
−6x − y = −2x − 4y
4x − 3y − 7 = 5y − 47,
que finalmente se puede expresar como
−4x + 3y = 0
4x − 8y = −40.
Aplicamos ahora el método de suma y resta, de donde −5y = −40, y = 8. Sustituyendo en
la otra ecuación se obtiene que −4x + 3(8) = 0 o x = 6.
Ejemplo 7.2.5 Ahora vamos a resolver un sistema de 3 × 3.
x + y + z = 12
2x − y + z = 7
x + 2y − z = 6.
Para eliminar la incógnita z restamos la segunda ecuación a la primera ecuación, para
obtener −x+2y = 5. Luego sumamos la segunda y la tercera ecuación para obtener 3x+y =
13.
Luego, tenemos un nuevo sistema de ecuaciones
−x + 2y = 5
3x + y = 13.
Este sistema se puede resolver con cualquiera de los métodos anteriores, despejando x de la
primer ecuación obtenemos x = 2y − 5. La cual sustituimos en la segunda ecuación
3(2y − 5) + y = 13,
6y − 15 + y = 13,
7y = 28, y = 4.
Regresando a la primera ecuación tenemos x = 2(4) − 5 = 3. Estos valores se sustituyen en
cualquiera de las ecuaciones originales para obtener z
(3) + (4) + z = 12, z = 5.
Las soluciones son entonces x = 3, y = 4, z = 5.

7.2.4. Método del determinante
Una matriz de 2 × 2 es un arreglo
a11 a12
a21 a22
donde a11, a12, a21 y a22 son números reales. El determinante de la matriz anterior, que
denotamos por
a11 a12
a21 a22
es el número real definido por a11a22 − a12a21.
Una matriz de 3 × 3 es un arreglo



a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33



donde, nuevamente, cada aij es un número. Los sub´ındices nos indican la posición del número
en el arreglo. As´ı, aij se encuentra en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. Definimos el
determinante de una matriz de 3 × 3 por la regla
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
.
Es decir, nos movemos a lo largo del primer renglón, multiplicando a1j por el determinante
de la matriz de 2 × 2 obtenida al eliminar el primer renglón y la j-ésima columna, y después
sumando todo esto, pero recordando poner un signo negativo antes de a12. Cabe aclarar que
el resultado del determinante no se altera si en lugar de escoger el primer renglón como
primer paso escogemos el segundo o el tercero. En caso de que escojamos el segundo renglón
iniciamos con un signo negativo y si escogemos el tercer renglón el primer signo es positivo,
es decir,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= −a21
a12 a13
a32 a33
+ a22
a11 a13
a31 a33
− a23
a11 a12
a31 a32
.
Los signos se van alternando, siguiendo el siguiente diagrama
+ − +
− + −
+ − +
.
Los determinantes cumplen varias propiedades, que son inmediatas de las definiciones, las
más útiles son las siguientes.

Propiedades 7.2.6 (a) Al intercambiar dos renglones consecutivos o dos columnas conse-
cutivas, el signo del determinante cambia, por ejemplo,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= −
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
.
(b) Se puede sacar un factor común a cualquier renglón o columna de una matriz y los
determinantes se relacionan de la siguiente manera, por ejemplo,
αa11 αa12 αa13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= α
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
(c) Si a un renglón (o columna) le sumamos otro renglón (o columna), el valor del determi-
nante no cambia, por ejemplo,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=


o
a11 + a12 a12 a13
a21 + a22 a22 a23
a31 + a32 a32 a33
,


 .
(d) Si una matriz tiene dos renglones (o dos columnas) iguales el determinante es cero.
Ejemplos. Calculemos los determinantes de las matrices dadas.
1.
3 2
5 4
= 3 × 4 − 2 × 5 = 2.
2.
3 −5
1 −2
= 3(−2) − (−5)(1) = −1.
3.
−2 −5
−3 −9
= (−2)(−9) − (−3)(−5) = 3.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
ax + by = r
cx + dy = s,

el cual tiene solución, usando alguno de los métodos anteriores,
x =
rd − bs
ad − bc
y y =
as − cr
ad − bc
.
Entonces, note que la solución puede ser escrita en términos de discriminantes de matrices de
la siguiente manera
x =
r b
s d
a b
c d
=
rd − bs
ad − bc
y =
a r
c s
a b
c d
=
ac − cr
ad − bc
.
Si el determinante
a b
c d
= 0, significa que el sistema tiene infinidad de soluciones o que
no tiene solución.
Si el determinante
a b
c d
= 0, significa que el sistema tiene una única solución.
Ejemplo 7.2.7 Resolver el sistema de ecuaciones
5x + 3y = 5
4x + 7y = 27.
Calculamos x y y usando determinantes
x =
5 3
27 7
5 3
4 7
=
35 − 81
35 − 12
=
−46
23
= −2.
y =
5 5
4 27
5 3
4 7
==
135 − 20
23
=
115
23
= 5.

7.2.5. Ejercicios
Resolver los sistemas de ecuaciones dados.
a) Resolver por suma y resta: 9x + 16y = 7; 4y − 3x = 0.
b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación: 10x − 3y = 36;
2x − 5y = −4.
c) Resolver por sustitución 15x − 11y = −87; −12x − 5y = −27.
d) Resolver por determinantes: 8x + 9y = 0; 2x + 5y + 3y = 7
2
.
e) 6x + 3y + 2z = 12; 9x − y + 4z = 37; 10x + 5y + 3z = 21.
f) 3x − 4y − 2(2x − 7) = 0; 5(x − 1) − (2y − 1) = 0.
g) 2x + 4y + 3z = 3; 10x − 8y − 9z = 0; 4x + 4y − 3z = 2.
h)
x + 1
10
=
y − 4
5
;
x − 4
5
=
y − 2
10
.
i) 5x − 3z = 2; 2z − y = −5; x + 2y − 4z = 8.
j) 2x + 3y + z = 1; 6x − 2y − z = −14; 3x + y − z = 1.
7.3. Planteamiento de problemas
1. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 13, y si al
número se le resta 45 las cifras se invierten. Hallar el número.
Solución. Sean x la cifra de las decenas y y la cifra de las unidades, de modo que el número
es 10x + y. Según el enunciado del problema x + y = 13 y además 10x + y − 45 = 10y + x.
Entonces tenemos que resolver el sistema
x + y = 13
9x − 9y = 45,
que se puede simplificar como
x + y = 13
x − y = 5.

7.3. Planteamiento de problemas 93
Despejando x de la primer ecuación, tenemos x = 13 − y lo cual sustituimos en la segunda
ecuación, para obtener
13 − y − y = 5, 2y = 8, y = 4.
Regresando a la primera ecuación obtenemos x = 13 − 4 = 9. El número que buscamos es
entonces 94.
2. Se tiene que 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan 118; 4 de azúcar, 5 de café y
3 de frijoles cuestan 145; 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijoles cuestan 46. Hallar el precio del
kilo de cada mercanc´ıa.
Solución. Sean x los kilos de azúcar, y los kilos de café y z los kilos de frijoles. Según el
enunciado tenemos el sistema
5x + 3y + 4z = 118
4x + 5y + 3z = 145
2x + y + 2z = 46.
De la ultima ecuación despejamos y,
y = 46 − 2x − 2z
y la sustituimos en las dos otras ecuaciones
5x + 3(46 − 2x − 2z) + 4z = 118
4x + 5(46 − 2x − 2z) + 3z = 145.
Para obtener el nuevo sistema de ecuaciones
x + 2z = 20
6x + 7z = 85.
Despejando x de ambas ecuaciones obtenemos
x = 20 − 2z, x =
85 − 7z
6
.
Igualamos y resolvemos para z
20 − 2z =
85 − 7z
6
, 120 − 12z = 85 − 7z,
5z = 35, z = 7.
Ahora sustituimos para encontrar el valor de x
x = 20 − 2(7) = 20 − 14 = 6.
Por último sustituimos estos dos valores en cualquiera de las ecuaciones originales para ob-
tener el valor de y
y = 46 − 2x − 2x = 46 − 2(6) − 2(7) = 46 − 12 − 14 = 20.
De esta manera tenemos que el azúcar cuesta 6 el kilo, el café cuesta 20 el kilo y el frijoles
cuesta 7 el kilo.

7.3.2. Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios.
a) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto
y cada error resta 2 puntos, ¿Cuántas preguntas ha acertado y cuántas preguntas ha
fallado Juan?
b) Si se le suman 3 al numerador de una fracción y se le restan 2 al denominador, la fracción
se convierte en 6
7
, pero si se resta 5 al numerador y se suma 2 al denominador, la
fracción es igual a 2
5
. Hallar la fracción.
c) Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que si invertimos el
orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el original.
d) Seis veces el ancho de una sale excede en 4 m a la longitud de la sala, y si la longitud
aumentada en 3 mse divide entre el ancho, el cociente es 5 y el residuo es 3. Hallar las
dimensiones de la sala.
e) 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4180 pesos, y 8 trajes y 9 sombreros 6940. Hallar el precio
de un traje y un sombrero.
f) Si un número de dos cifras se disminuye en 17 y esta diferencia se divide entre la suma de
sus cifras, el cociente es 5, y si el número disminuido en 2 se divide entre la cifra de las
unidades disminuida en 2 el cociente es 19. Hallar el número.
g) En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 40 pesos y cada niño
15 pesos por su entrada. La recaudación es de 18000. ¿Cuántos adultos y cuántos niños
hay en el cine?
h) Sig al doble de la edad de A se suma la edad B, se obtiene la edad de C aumentada en
32 años. Si al tercio de la edad de B se le suma el doble de la de C, se obtiene la de A
aumentada en 9 años. Finalmente, el tercio de la suma de las edades de A y B es 1 año
menos que la edad de C. Hallar las edades respectivas.
i) 5 kilos de azúcar, 3 de café, y 4 de frijoles, cuestan 1.18 pesos; 4 de azúcar, 5 de café, y 3
de frijoles cuestan 1.45 pesos; 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijoles cuestan 46 centavos.
Hallar el precio de un kilo de cada mercanc´ıa.
j) Ayer gané 10 más que hoy. Si lo que gané hoy es los 5
6
de lo que gané ayer. ¿Cuánto
gané cada d´ıa?

Cap´ıtulo 8
Desigualdades
Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.
Por ejemplo, 5 < 15, a + b > c, −5 < −1.
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y se-
gundo miembro a la que está a la derecha del signo de la desigualdad.
Propiedades de las desigualdades.
Propiedades 8.0.1 (a) Si a dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma
cantidad, el signo de la desigualdad no var´ıa. As´ı, dada la desigualdad a < b, podemos
escribir
a + c < b + c,
a − c < b − c.
Consecuencia. Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miem-
bro a otro cambiándole el signo.
(b) Si dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
positiva, el signo de la desigualdad no varia. As´ı, dada la desigualdad a < b y siendo
c una cantidad positiva, podemos escribir
ac < bc,
a
c
<
b
c
.
(c) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
negativa, el signo de la desigualdad var´ıa. As´ı, si en la desigualdad a < b multiplica-
mos ambos miembros por −c, tendremos
−ac > −bc,
95

96 Cap´ıtulo 8. Desigualdades
−
a
c
> −
b
c
.
(d) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. As´ı, si a > b es
evidente que b < a.
(e) Al tomar los rec´ıprocos de los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. As´ı, siendo
a < b se tiene que
1
a
>
1
b
.
(f) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, 3 < 5, elevando al cuadrado
32
< 52
, es decir, 9 < 25.
(g) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar, el signo
de la desigualdad no cambia. As´ı, −5 < −3, elevando al cubo, (−5)3
< (−3)3
, es
decir, −125 < −27.
(h) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el
signo de la desigualdad cambia. As´ı, −5 < −3, elevando al cuadrado, (−3)2
= 9 y
(−5)2
= 25, (−5)2
> (−3)2
.
(i) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma ra´ız
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, si a < b, 0 < a y n es positivo, se
tiene que
n
√
a <
n
√
b.
(j) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro,
resulta una desigualdad del mismo signo. As´ı, si a < b y c < d, se tiene que
a + c < b + d,
ac < bd.
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógni-
tas) y que sólo se verifican para determinados valores de las incógnitas.
As´ı, la desigualdad 2x − 3 > x + 5 es una inecuación por que tiene la incógnita x y sólo
se verfica para cualquier valor de x mayor que 8. En efecto, para x = 8 se convertir´ıa en
igualdad y para x < 8 se convertir´ıa en una desigualdad de signo contrario.
Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación.

8.1. Desigualdades de primer grado 97
8.1. Desigualdades de primer grado
1. Encuentra el conjunto solución de la desigualdad x + 5 > 2.
Solución. Sumando −5 a ambos lados de la desigualdad, obtenemos
x + 5 − 5 > 2 − 5
x > −3.
Por lo tanto el conjunto solución es
{x ∈ R | x > −3}.
2. Hallar el conjunto solución de la desigualdad x + 2(4x − 5) > 5(2x − 3).
Solución.
x + 2(4x − 5) > 5(2x − 3)
x + 8x − 10 > 10 < −15
9x − 10 > 10x − 15
9x + 5 > 10x
5 > x.
Por lo que el conjunto solución es {x ∈ R | x < 5}.
3. Determinar el conjunto solución de la desigualdad
3(2x − 5) − 7(1 − x) ≥ −4(4 − 3x).
Solución. Aplicando la ley distributiva para eliminar los paréntesis, tenemos
6x − 15 − 7 + 7x ≥ −16 + 12x.
Al reducir términos semejantes, se obtiene
13x − 22 ≥ −16 + 12x.
Sumando (22 − 12x) a ambos lados de la desigualdad, se obtiene
13x − 22 + 22 − 12x ≥ −16 + 12x + 22 − 12x
x ≥ 6.
Por lo tanto el conjunto solución es {x ∈ R | x ≥ 6}.

8.1.2. Ejercicios
Resolver las siguientes desigualdades.
a) 3(x − 5) − 4(4 − 3x) ≥ 2(7 − x) − 3(x − 5).
b) 3x − 14 < 7x − 2.
c) 3x+1
7
− 2−4x
3
≥ −5x−4
14
+ 7x
6
.
d) −6 < −2
5
(1 − x) ≤ 4.
e) 2
3
[x − (1 − x−2
3
)] + 1 ≤ x.
f) 3x+1
2
≥ x − 5x−9
6
.
g) 2x − 5
3
> x
3
+ 10.
h) 3x − 4 + x
4
< 5x
2
+ 2.
i) 2x+2
5
< 3x−6
10
.
j) x+3
4
− x+2
3
< 2.
8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
1. Hallar el conjunto solución de |2x + 3| = 9.
Solución. Primer caso, cuando 2x + 3 ≥ 0, esto es, x ≥ −
3
2
,
|2x + 3| = 2x + 3.
La ecuación se convierte entonces en
|2x + 3| = 2x + 3 = 9
2x = 9 − 3
x = 3.
El conjunto solución es la intersección de los conjuntos solución de x ≥ −3
2
y x = 3. El
conjunto solución es entonces {3}.
Segundo caso, cuando 2x + 3 < 0, es decir, x < −3
2
|2x + 3| = −(2x + 3) = −2x − 3.

8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto 99
La ecuación se convierte en
|2x + 3| = −2x − 3 = 9
−2x = 9 + 3
x = −6.
El conjunto solución es la intersección de los conjuntos solución de x < −3
2
y x = −6. El
conjunto solución es entonces {−6}.
El conjunto solución es la unión de los conjuntos solución de los dos casos. Por lo tanto, el
conjunto solución es {−6, 3}.
2. Determinar el conjunto solución de |2x − 5| = x + 3.
Solución. El primer caso es cuando 2x − 5 ≥ 0, esto es, x ≥ 5
2
. Se tiene as´ı que |2x − 5| =
2x − 5. Luego
2x − 5 = x + 3
2x − x = 3 + 5
x = 8.
El conjunto solución es la intersección de los conjuntos solución de x ≥ 5
2
y x = 8, por lo
que el conjunto solución es {8}.
Segundo caso, es decir, x < 5
2
si 2x − 5 < 0. Resulta que |2x − 5| = −(2x − 5) = −2x + 5.
De esta manera, |2x − 5| = x + 3 se convierte en
−2x + 5 = x + 3
−2x − x = 3 − 5
x =
2
3
.
El conjunto solución es la intersección de los conjuntos solución de x < 5
2
y x = 2
3
. El
conjunto solución es {2
3
}.
Luego, el conjunto solución de |2x − 5| = x + 3 es la unión de los conjuntos solución de los
dos casos. Por lo tanto, el conjunto solución es {2
3
, 8}.
3. Determinar el conjunto solución de |2x − 3| ≥ 1.
Solución. |2x − 3| ≥ 1 es equivalente a
2x − 3 ≥ 1 cuando 2x − 3 ≥ 0, o bien
−(2x − 3) ≥ 1 cuando 2x − 3 ≤ 0.
Ahora, resolvemos cada desigualdad y consideramos la unión entre ambas soluciones, x ≥ 2
cuando 2x − 3 ≥ 0 unión −2x + 3 ≥ 1 cuando 2x − 3 ≤ 0. Es decir, se tiene que la solución

es
x ≥ 2 y x ≥
3
2
unión 1 ≥ x y x ≤
3
2
.
Resolviendo cada lado de la unión, se obtiene que x ≥ 2 unión x ≤ 1. Por lo tanto, el
conjunto solución es {x ∈ R | x ≥ 2 o x ≤ 1}.
8.2.2. Ejercicios
Resolver las siguientes desigualdades.
a) |3x + 1| ≥ 2|x − 6| b) |x + 2| > 3
c) | − 4x + 8| ≤ 5 d) |2x − 5| < 4
e) |3x + 8| ≥ 2 f) |x
7
− 1
6
| < 1
3
g) |3x − 7| ≤ 2 h) |3x − 2| < 4
i) |4x + 2| ≥ 6 j) |2x − 1| ≥ 3.

Cap´ıtulo 9
Funciones elementales
9.1. Logaritmo
El logaritmo de un número dado es el exponente al que tenemos que elevar otro número
llamado base para obtener el número dado. Como
50
= 1, 51
= 5, 52
= 25, 53
= 125,
luego, siendo la base 5 el logaritmo de 1 (se escribe log5(1)) es 0, por que 0 es el exponente
al que tenemos que elevar la base 5 para obtener 1. Luego,
log5(1) = 0, log5(5) = 1, log5(25) = 2, log5(125) = 3.
Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Los sis-
temas de logaritmos usados generalmente son dos, el sistema de logaritmos vulgares o de
Briggs, cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o Neperianos, cuya base es el
número
e = 2.71828182845 . . ..
Propiedades de los logaritmos. Sea b la base del logaritmo, la ecuación by
= A, será equi-
valente a escribir
logb(A) = y.
Propiedades 9.1.1 (a) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
(b) Los números negativos no tienen logaritmo.
(c) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, es decir,
logb(b) = 1.
101

102 Cap´ıtulo 9. Funciones elementales
(d) El logaritmo de 1 es 0, es decir,
logb(1) = 0.
(e) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, es decir, si A > 1 se tiene que
logb(A) > 0.
(f) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo, es decir, si 0 < A < 1 se tiene
que
logb(A) < 0.
(g) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. As´ı,
logb(AB) = logb(A) + logb(B).
(h) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del
divisor. As´ı,
logb
A
B
= logb(A) − logb(B).
(i) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la
base. As´ı,
logb(An
) = n logb(A).
(j) El logaritmo de una ra´ız es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre
el ´ındice de la ra´ız. As´ı,
logb(
n
√
A) =
logb(A)
n
.
1. Encuentre y si y = log4 8.
Solución. Escriba y = log4 8 en una forma exponencial equivalente, es decir
8 = 4y
, 23
= 22y
,
2y = 3, y =
3
2
.
2. Encuentre x si log3 x = −2.
Solución. Escriba log3 x = −2 en forma exponencial equivalente
x = 3−2
,
x =
1
32
=
1
9
.

9.1. Logaritmo 103
3. Encuentre b si logb 1000 = 3.
Solución. Escriba logb 1000 = 3 en forma exponencial equivalente
1000 = b3
, luego 103
= b3
, de donde b = 10.
4. Si loge 3 = 1.1 y loge 7 = 1.95, encuentre loge(7
3
) y loge
3
√
21.
Solución.
loge
7
3
= loge 7 − loge 3 = 1.95 − 1.1 = 0.85
loge
3
√
21 = loge(21)
1
3 =
1
3
loge(3)(7) =
1
3
(loge 3 + loge 7)
=
1
3
(1.1 + 1.95) = 1.01.
5. Encuentre x tal que logb x = 2
3
logb 27 + 2 logb 2 − logb 3.
Solución.
logb x =
2
3
logb 27 + 2 logb 2 − logb 3 = logb 27
2
3 + logb 22
− logb 3
= logb 9 + logb 4 − logb 3 = logb
(9)(4)
3
= logb 12.
As´ı, logb x = logb12, por lo tanto x = 12.
9.1.2. Ejercicios
Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas.
a) log (x + 3) + log x = 1.
b) log (3x + 2) = 2 log 2 + log (2x − 1).
c) log 5 + log x = 2.
d) log (6x + 3) − log 3 = log (5x − 3) + log 4.
e) log x + log (x − 3) = 1.
f) log2 8 = x.
g) log x − log 5 = log 2 − log (x − 39).
h) log x − log 8 = 1.
i) log (log x) = 1.
j) log (6x + 3) − log 3 = log 2 − log x.

9.2. Función exponencial
Se dice que P es una función exponencial de x (la variable es x) con base a si
P = P0ax
,
siendo P0 la cantidad inicial (cuando x = 0 tenemos P = P0) y a es un factor de cambio de
P, cuando x aumenta en 1. Si a > 1 se trata de un crecimiento exponencial; si a < 1 se trata
de una disminución exponencial.
Ejemplo 9.2.1 Si a = 2 y P0 = 3, hacemos variar x para tener la ecuación P = 3(2)x
,
entonces por ejemplo se tiene que
3(2)0
= 3, 3(2)1
= 6, 3(2)2
= 12, 3(2)3
= 24, 3(2)5
= 96.
Propiedades de los exponentes.
A continuación se presentan la lista de las definiciones y propiedades necesarias para mani-
pular los exponentes, algunas de las cuales ya hemos revisado en estas notas.
(a) a0
= 1, (b) a1
= a,
(c) a−1
= 1
a
, (d) a−x
= 1
ax ,
(e) a
1
2 =
√
a, (f) a
1
n = n
√
a,
(g) a
m
n = n
√
am, (h) ax
at
= ax+t
,
(i) ax
at = ax−t
, (j) (ax
)t
= axt
.
(k) Si x < 0 tenemos que 0 < ax
< 1.
(l) Si x > 0 tenemos que ax
> 1.
1. Despeje x de 4x−3
= 8.
Solución. Exprese ambos lados en términos de la misma base,
4x−3
= 8, (22
)x−3
= 23
22x−6
= 23
, 2x − 6 = 3
2x = 9, x =
9
2
.
2. Despeje x de 27x+1
= 9.

9.2. Función exponencial 105
Solución. Exprese ambos lados en términos de la misma base,
27x+1
= 9, (33
)x+1
= 32
,
33x+3
= 32
, 3x + 3 = 2,
3x = −1, x = −
1
3
.
3. Tiempo de duplicación. Para cierta bacteria se halla que su tiempo de dupicación es de 25
minutos. Supóngase que no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación y que se inicia
con un cultivo de 1000 bacterias. ¿Cuántas bacterias estarán presentes en 10 minutos?, ¿y en
5 horas?
Solución. La fórmula que usaremos es
P(t) = (1000)2
t
25 ,
donde el tiempo t se mide en minutos. Para t = 0 se tiene que
P(10) = (1000)2
10
25 = (1000)2
2
5 = 1000
5
√
4 ≈ 1320.
Para t = 300 obtenemos P(300) = (1000)2
300
25 = (1000)21
2 = 4, 096, 000.
4. Decaimiento radiactivo. El isótopo del galio 67 usado en el diagnóstico de tumores ma-
lignos, tiene una vida media de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos del isótopo,
¿cuántos miligramos quedarán después de 24 horas?, ¿después de una semana?
Solución. Se usa el modelo de decaimiento de vida media
A = A0
1
2
t
h
= A02− t
h .
Tomando A0 = 100 y h = 46.5, se obtiene
A = 100(2− t
46.5 ).
El valor de A cuando t = 24 horas es
A = 100(2− 24
46.5 ) = 69.9 miligramos.
El valor de A cuando t = 168 horas (una semana=168 horas) es
A = 100(2− 168
46.5 ) = 8.17 miligramos.
5. Medicina - Crecimiento bacteriano. El cólera es una enfermedad intestinal causada por la
bacteria del cólera que se miltiplica exponencialmente por la división de células modelada
por
N = N0e1.38t
,

donde N es el número de bacterias presentes despues de t horas y N0 es el número de bacterias
presentes cuanto t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas?
Solución. Utilice N0 = 1 y t = 5 para obtener que
N = N0e1.386t
= e1.386(5)
= 1020.
9.2.2. Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) e2x−1
= ex
b) ex
e−3
= e5x
e−2
e−x
c) eeex
= ee
d) 4x+1
− 2x
= 0
e) 23x−5
= 5 f) 2x2−7
= 1
8
g) 105x−2
= 100 h) 5
2
= ex+e−x
2
i) ex−1
· ex+1
= e4x−4
j) 106x−1
· 103x+1
= 102x2
.
9.3. Funciones trigonométricas
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C. Si denotamos por AB = c, BC = a
y CA = b, tenemos que c2
= a2
+ b2
, y si hacemos α = ∠BAC y β = ∠ABC, podemos
definir las funciones trigonométricas seno y coseno de la siguiente manera
sen α =
a
c
,
cos α =
b
c
.
Estas funciones se pueden extender para que esten definidas para cualquier ángulo entre 0
y 2π, y de hecho para cualquier número real. Las otras 4 funciones trigonométricas son las
siguientes.
1. tan(x) =
sen (x)
cos(x)
,
2. cot(x) =
1
tan(x)
,
3. sec(x) =
1
cos(x)
,

9.3. Funciones trigonom´etricas 107
4. csc(x) =
1
sen (x)
.
Algunas identidades de las funciones trigonom´etricas son las siguientes.
1. sen 2
(x) + cos2
(x) = 1,
2. sec2
(x) − tan2
(x) = 1,
3. csc2
(x) − cot2
(x) = 1,
4. sen (x + y) = sen (x) cos(y) + sen (y) cos(x),
5. sen (x − y) = sen (x) cos(y) − sen (y) cos(x),
6. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen (x)sen (y),
7. cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen (x)sen (y),
8. tan(x + y) =
tan(x) + tan(y)
1 − tan(x) tan(y)
,
9. tan(x − y) =
tan(x) − tan(y)
1 + tan(x) tan(y)
,
10. sen (2x) = 2sen (x) cos(x),
11. cos(2x) = cos2
(x) − sen 2
(y),
12. tan(2x) =
2 tan(x)
1 − tan2
(x)
,
13. sen2
(x) =
1 − cos(2x)
2
,
14. cos2
(x) =
1 + cos(2x)
2
,
15. tan2
(x) =
1 − cos(2x)
1 + cos(2x)
.

9.3.1. Ejercicios
Calcular el valor exacto sin usar tablas o calculadora de las siguientes expresiones.
a) cos 0 b) sen π
2
c) cos −π
6
d) cot 3π
2
e) csc 5π
6
f) sec 11π
6
g) tan −4π
3
h) sec −π
6
i) sen −π
4
j) csc −π.

Bibliograf´ıa
[1] A. Baldor. Álgebra. Grupo editorial Patria, 2012.
[2] R. Barnett, M. R. Ziegler, K. E. Byleen. Precálculo. Funciones y gráficas. McGraw Hill,
2000.
[3] R. Bulajich, J. A. Gómez, R. Valdez . Algebra. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáti-
cas, Instituto de Matemáticas, UNAM - Olimpiada Mexicana de Matemáticas, UNAM,
2014.
[4] R. David Gustafson, P. Frisk. Beginning and Intermediate Algebra. Brooks/Cole-
Thomson Learning, 2005.
109

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