Universidad Aut´onoma del Estado de Morelos
Facultad de Ciencias
Manual
Curso proped´eutico
2014
Curso Proped´eutico
Facultad de Ciencias, UAEM
Ana Baray Esparza
Juan Jos´e Catal´an Ram´ırez
Dan Sidney D´ıaz Guerrero
Rogelio Valdez Delgado
Beatriz Villa Bahena
Introducci´on
El curso proped´eutico de la Facultad de Ciencias de la UAEM, se imparte a los estudian-
tes candidatos a ingresar a la Facultad de Ciencias, a la carrera de Licenciatura en Ciencias,
en sus cuatro ´areas terminales como son Bioqu´ımica y biolog´ıa molecular, Ciencias compu-
tacionales, F´ısica y Matem´aticas. La duraci´on del curso proped´eutico es de alrededor de 4
semanas.
Los temas que se tratan en este curso son principalmente de matem´aticas de nivel bachillerato.
Este manual presentan los temas estudiados en el curso proped´eutico, en el orden en que se
ense˜nan a lo largo de las 4 semanas de duraci´on del curso.
El primer cap´ıtulo, cubre material b´asico de ´algebra, como son sistemas n´umericos, valor
absoluto, leyes de los signos, operaciones algebraicas elementales, entre otros. El cap´ıtulo
dos, estudia las operaciones b´asicas como suma, multiplicaci´on, divisi´on de expresiones con
literales, ya sea de monomios y polinomios. Tambi´en se estudian los radicales y el concepto
de racionalizaci´on.
El tercer cap´ıtulo, trata acerca de los productos notables b´asicos, y se presentan unos ejemplos
geom´etricos de algunos de estos productos. Tambi´en se da una introducci´on al teorema del
binomio de Newton. En el cap´ıtulo cuatro se presenta, lo que se podr´ıa llamar la operaci´on
inversa de tomar el producto de dos expresiones, es decir, el concepto de factorizaci´on de
expresiones algebraicas. Se pone especial enf´asis en los distintos m´etodos de factorizaci´on
que existen o en los m´as conocidos.
El quinto cap´ıtulo estudia las ecuaciones de primer grado, as´ı como el planteamiento de pro-
blemas que se resuelven usando este tipo de ecuaciones. De la misma manera, en el cap´ıtulo
seis se estudian las ecuaciones de segundo grado, la deducci´on de la f´ormula general por el
m´etodo de completar cuadrados y se hacen observaciones fundamentales acerca del discrimi-
nante de una ecuaci´on cuadr´atica. Al final, tambien se estudian problemas que se resuelven
por medio de ecuaciones de segundo grado.
El cap´ıtulo siete trata acerca de los diferentes m´etodos de resoluci´on de sistemas de ecua-
ciones, ya sea de sistemas de dos inc´ognitas o de tres inc´ognitas, incluyendo el m´etodo del
determinante. Se presentan aplicaciones para la resoluci´on de problemas. En el cap´ıtulo ocho
se da un estudio breve de las desigualdades, as´ı como de las inecuaciones y su relaci´on con
el valor absoluto.
II
El cap´ıtulo nueve trata acerca de funciones elementales b´asicas, como son la funci´on logarit-
mo, las funciones exponenciales y las funciones trigonom´etricas, con especial enf´asis en la
resoluci´on de ecuaciones con este tipo de funciones.
A lo largo del material de este manual, se presentan varios ejemplos resueltos de los temas
vistos en cada cap´ıtulo o secci´on, y al final de casi todas las secciones de estas notas, una lista
de ejercicios para el lector es presentada. Estos ejercicios pueden funcionar como parte de la
tarea del curso.
Gran parte del material usado para la elaboraci´on de este manual se recopilo de las clases
te´oricas presentadas por distintos profesores investigadores, que a lo largo de los ´ultimos
a˜nos han impartido el curso proped´eutico.
´Indice general
Introducci´on I
1. N´umeros 1
1.1. Los n´umeros enteros y fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Los n´umeros racionales e irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Los n´umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Sistema decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2. N´umeros con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3. Elecci´on del sentido positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4. El cero, los n´umeros positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Los s´ımbolos de relaci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) . . . . . . . 9
1.6.1. Los s´ımbolos de agrupamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2. Ley de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.5. Potencias de n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Productos de potencias de un mismo n´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Operaciones con literales 13
2.1. Propiedades de los n´umeros reales con la suma y la multiplicaci´on . . . . . . 13
2.2. T´erminos y notaci´on algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Clasificaci´on de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III
IV ´Indice general
2.3.1. Suma de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2. Suma de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3. Suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Producto y potencias de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1. Multiplicaci´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2. Potencias de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. Divisi´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1. Ley de los signos en la divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2. Divisi´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Simplificaci´on de expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.1. Principios fundamentales de las fracciones . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.2. Simplificaci´on de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8. Suma y resta de expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9. Potencias fraccionarias y simplificaci´on de radicales . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.1. Ra´ız de un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10. Racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Productos notables 35
3.1. Ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos n´umeros entre la suma
o resta de los n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´Indice general V
3.3.2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos n´umeros entre
la suma o resta de los n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos n´umeros
entre la suma o resta de los n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Tri´angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Factorizaci´on 45
4.1. Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Factorizaci´on de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Fracciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5. Ecuaciones de primer grado 63
5.1. Clases de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Concepto de solucion de una ecuaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6. Ecuaciones de segundo grado 69
6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.1. Ecuaciones incompletas de la forma ax2
+ c = 0 . . . . . . . . . . . 69
6.1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.4. Ecuaciones incompletas de la forma ax2
+ bx = 0 . . . . . . . . . . 71
6.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. Ecuaci´on general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.1. Deducci´on de la formula general de la soluci´on de una ecuaci´on de
segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
VI ´Indice general
6.2.4. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4. Soluci´on de ecuaciones de grado mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4.1. Procedimiento para resolver ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . 80
6.4.2. Soluci´on de ecuaciones por factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. Sistemas de ecuaciones lineales 83
7.1. Concepto de soluci´on de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.1. M´etodo de igualaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.2. M´etodo de sustituci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2.3. M´etodo de suma o resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.4. M´etodo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8. Desigualdades 95
8.1. Desigualdades de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9. Funciones elementales 101
9.1. Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2. Funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3. Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Cap´ıtulo 1
N´umeros
Consideramos que el lector est´a familiarizado con el conjunto de n´umeros que se utilizan
para contar. A este conjunto se le conoce como el conjunto de n´umeros naturales y se denota
por N, es decir,
N = {1, 2, 3, . . .}.
En este conjunto estamos acostumbrados a realizar dos operaciones, la suma y la multipli-
caci´on, entendiendo con esto que si sumamos o multiplicamos dos n´umeros del conjunto
obtenemos otro n´umero natural. A estas operaciones las conocemos como la suma (o adi-
ci´on) y la multiplicaci´on (o producto). En algunos libros el 0 se considera tambi´en como un
n´umero natural, sin embargo, en este libro no, pero convenimos que 0 es tal que n + 0 = n,
para todo n´umero natural n.
Ahora, supongamos que deseamos resolver la ecuaci´on x + a = 0, con a ∈ N, es decir,
encontrar una x para la cual la igualdad anterior se cumpla. Esta ecuaci´on no tiene soluci´on
en el conjunto de los n´umeros naturales N, por lo cual necesitamos definir un conjunto de
n´umeros que incluya al conjunto de n´umeros N y a sus negativos. Es decir, necesitamos
extender el conjunto de los n´umeros N para que este tipo de ecuaciones tengan soluci´on en
el nuevo conjunto. A este conjunto lo llamamos el conjunto de los n´umeros enteros y lo
denotamos por Z, es decir,
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
En este conjunto tambi´en hay dos operaciones, la suma y la multiplicaci´on, que satisfacen las
siguientes propiedades.
Propiedades 1.0.1 (a) La suma y la multiplicaci´on de n´umeros enteros son operaciones
conmutativas. Esto es, si a, b ∈ Z, entonces
a + b = b + a y ab = ba.
1
2 Cap´ıtulo 1. N´umeros
(b) La suma y el producto de n´umeros enteros son operaciones asociativas. Esto es, si
a, b y c ∈ Z, entonces
(a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc).
(c) Existe en Z un elemento neutro para la suma, el n´umero 0. Es decir, si a ∈ Z, entonces
a + 0 = 0 + a = a.
(d) Existe en Z un elemento neutro para la multiplicaci´on, el n´umero 1. Es decir, si a ∈ Z,
entonces
a1 = 1a = a.
(e) Para cada a ∈ Z existe su inverso aditivo que se denota por −a. Esto es,
a + (−a) = (−a) + a = 0.
(f) En Z, el producto se distribuye con respecto a la suma. Es decir, si a, b y c ∈ Z, entonces
a(b + c) = ab + ac.
Notemos que la existencia del inverso aditivo nos permite resolver cualquier ecuaci´on del
tipo mencionado, es decir, x + a = b, donde a y b son n´umeros enteros. Sin embargo, no
existe necesariamente un n´umero entero x que resuelva la ecuaci´on qx = p, con p y q n´ume-
ros enteros, por lo que nuevamente surge la necesidad de extender el conjunto de n´umeros.
Consideramos ahora el conjunto de los n´umeros racionales, que denotamos como Q, es decir,
Q =
p
q
| p ∈ Z y q ∈ Z{0} .
En general, para trabajar con los n´umeros racionales p
q
pedimos que p y q no tengan factores
primos comunes, es decir, que sean primos relativos, esto lo denotamos como (p, q) = 1. En
el conjunto de n´umeros racionales tambi´en existen las operaciones de suma y producto, las
cuales cumplen las mismas propiedades que los n´umeros enteros. Adem´as, en el producto
existe otra propiedad: la existencia del inverso multiplicativo.
Propiedad 1.0.2 Si p
q
∈ Q, con p = 0 y (p, q) = 1, entonces existe un ´unico n´umero, q
p
∈ Q,
llamado el inverso multiplicativo de p
q
tal que
p
q
·
q
p
= 1.
Con esta nueva propiedad tenemos garant´ıa de poder resolver cualquier ecuaci´on de la for-
ma qx = p. Sin embargo, existen n´umeros que no podemos escribir como cociente de dos
n´umeros enteros, por ejemplo, si queremos resolver la ecuaci´on x2
− 2 = 0, ´esta no tiene
soluci´on en el conjunto de los n´umeros Q. Las soluciones de la ecuaci´on son x = ±
√
2 y
ahora mostremos que
√
2 no est´a en Q.
1.1. Los n´umeros enteros y fraccionarios 3
Proposici´on 1.0.3 El n´umero
√
2 no es un n´umero racional.
Demostraci´on. Supongamos lo contrario, es decir, que
√
2 es un n´umero racional, entonces
lo podemos escribir como
√
2 = p
q
, donde p y q no tienen factores comunes. Elevando al
cuadrado de ambos lados tenemos que 2 = p2
q2 , es decir, 2q2
= p2
. Esto quiere decir, que p2
es un n´umero par, pero entonces el mismo p es par. Pero si p es par, digamos de la forma
p = 2m, entonces 2q2
= (2m)2
= 4m2
. Dividiendo entre 2 ambos lados de la ecuaci´on
tenemos que q2
= 2m2
, esto es, q2
es par y entonces q es tambi´en par. As´ı, p y q son pares,
contradiciendo el hecho de que p y q no tienen factores comunes. Por lo tanto,
√
2 no es un
n´umero racional.
1.1. Los n´umeros enteros y fraccionarios
Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematiza-
ci´on de los conocimientos matem´aticos, los babilonios y los egipcios conoc´ıan las fracciones.
La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc.,
llev´o al hombre a introducir n´umeros fraccionarios.
Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud con-
tinua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de dos cosas, que la unidad est´e contenida
en un n´umero entero de veces, o que no est´e contenida en un n´umero entero de veces. En el
primer caso representamos el resultado de la medici´on con un n´umero entero. En el segun-
do caso tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres, en cuatro, o en tantas
partes iguales como sea necesario; de este modo hallaremos una fracci´on de la unidad que
est´e contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta ´ultima medici´on
lo expresaremos con un par de n´umeros enteros, distintos de cero, llamados respectivamente
numerador y denominador. El denominador nos dar´a el n´umero de partes en que hemos di-
vidido la unidad, y el numerador el n´umero de subunidades contenidas en la magnitud que
acabamos de medir. Surgen de este modo los n´umeros fraccionarios. Algunos ejemplo de
n´umeros fraccionarios son
1
2
,
1
3
,
3
5
,
7
3
.
Podemos decir tambi´en que son n´umeros fraccionarios, los que nos permiten expresar el
cociente de una divisi´on inexacta, o lo que es lo mismo, una divisi´on en la cual el dividendo
no es m´ultiplo del divisor.
Un caso particular de n´umeros fraccionarios, son los n´umeros enteros, que podemos definir
como aquellos que expresan el cociente de una divisi´on exacta. Como ejemplo de n´umeros
enteros tenemos
1, 2, 3, 4, . . ..
El 0 es un n´umero entero. Los n´umeros −1, −2, −3, etc., tambi´en son n´umeros enteros, a
estos se les conoce como enteros negativos.
4 Cap´ıtulo 1. N´umeros
1.2. Los n´umeros racionales e irracionales
Los n´umeros racionales, como vimos anteriormente, son aquellos que se pueden representar
de la forma p
q
, donde p y q son n´umeros enteros y q es distinto de cero, es decir, los n´ume-
ros racionales son todos los n´umeros enteros y fraccionarios, tanto los positivos como los
negativos, por ejemplo, 1
2
, −5
3
, 3
1
.
Existen n´umeros que no se pueden representar de la forma p
q
, a estos se les llama n´umeros
irracionales, por ejemplo,
√
3,
√
5, π, e.
Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los n´umeros irracionales.
Los historiadores de la matem´atica, est´an de acuerdo en atribuir a Pit´agoras (550 A. C.) el
descubrimiento de estos n´umeros, al establecer la relaci´on entre el lado de un cuadrado y la
diagonal del mismo. M´as tarde, Teodoro de Cirene (400 A. C.), matem´atico de la escuela
pitag´orica, demostr´o geom´etricamente que
√
2,
√
3,
√
5,
√
7, etc., son irracionales. Euclides
(300 A. C.), estudi´o en el libro X de sus “Elementos”, ciertas magnitudes que al ser medidas
no se encuentra ning´un n´umero entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se
llaman inconmensurables, y los n´umeros que se originan al medir tales magnitudes se llaman
irracionales.
1.3. Los n´umeros reales
Se les llama n´umeros reales a los n´umeros descritos anteriormente (enteros, racionales e
irracionales). Se pueden representar en forma decimal (como veremos a continuaci´on), por
ejemplo el n´umero 1 lo podemos escribir como 1.000 . . ., el −3 como −3.000 . . . , la fracci´on
1
3
como 0.333 . . .,
√
2 como 1.4142 . . ., π = 3.1415 . . . .
1.3.1. Sistema decimal
El sistema decimal es un sistema posicional en el que cada d´ıgito toma un valor de acuerdo
a su posici´on con relaci´on al punto decimal. Esto es, el d´ıgito se multiplica por una potencia
de 10. Para el d´ıgito de las unidades, o sea, el d´ıgito que est´a inmediatamente a la izquierda
del punto decimal, lo tenemos que multiplicar por 10n
, con n = 0. El d´ıgito de las decenas lo
multiplicamos por 101
= 10. El exponente aumenta de uno en uno conforme nos movemos a
la izquierda y disminuye de uno en uno conforme nos movemos a la derecha. Por ejemplo,
87325.31 = 8 · 104
+ 7 · 103
+ 3 · 102
+ 2 · 101
+ 5 · 100
+ 3 · 10−1
+ 1 · 10−2
.
En general, todo n´umero real puede escribirse como una expansi´on decimal infinita de la
siguiente manera
bm . . . b1b0.a1a2a3 . . . ,
donde los bi y los ai est´an en {0, 1, . . . , 9}. Los puntos suspensivos de la derecha signifi-
can que despu´es del punto decimal podemos tener una infinidad de d´ıgitos, as´ı el n´umero
1.3. Los n´umeros reales 5
bm . . . b1b0.a1a2a3 . . . , representa al n´umero real
bm · 10m
+ · · · + b1 · 101
+ b0 · 100
+ a1 · 10−1
+ a2 · 10−2
+ · · · .
Por ejemplo,
1
3
= 0.3333 . . . , 3
7
= 0.428571428571 . . .,
1
2
= 0.50000 . . . ,
√
2 = 1.4142135 . . ..
Con esta notaci´on podemos tambi´en distinguir entre los n´umeros racionales y los irracionales.
Los n´umeros racionales son aquellos para los cuales la expansi´on decimal es finita o bien
infinita pero en alg´un momento se hace peri´odica, como por ejemplo en 34
275
= 0.123636 . . .,
que se hace peri´odica de periodo 2 a partir del tercer d´ıgito. En cambio, para los n´umeros
irracionales, la expansi´on decimal es infinita, pero no s´olo eso, sino que adem´as nunca se
hace peri´odica.
1.3.2. N´umeros con signo
En ´Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos,
es decir, que son de condici´on o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condici´on
o modo de ser de las cantidades por medio de los signos + y −, anteponiendo el signo + a
las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el
signo − a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).
As´ı, por ejemplo, el tener, se designa con el signo + y las deudas con el signo −. Para expresar
que una persona tiene 100, diremos que tiene +100, y para expresar que debe 100, diremos
que tiene −100.
Los grados sobre cero del term´ometro se designan con el signo + y los grados bajo cero con
el signo −. As´ı, para indicar que el term´ometro marca 10◦
sobre cero escribiremos +10◦
y
para indicar que marca 8◦
bajo cero escribiremos −8◦
.
El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto dado, se designa con el signo +
y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de ese mismo punto se representa con el
signo −. As´ı, si hemos recorrido 200 m, a la derecha de un punto dado, diremos que hemos
recorrido +200 m, y si recorremos 300 m a la izquierda del mismo punto, escribiremos −300
m.
El tiempo transcurrido despu´es de Cristo, se considera positivo y el tiempo transcurrido antes
de Cristo, negativo. As´ı, +150 a˜nos significa 150 a˜nos D.C. y −78 a˜nos significa 78 a˜nos
A.C.
En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porci´on que se halla del
suelo hacia arriba y con el signo − la porci´on que se halla del suelo hacia abajo. As´ı, para
expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m, escribiremos
+15 m, y si la porci´on introducida en el suelo es de 8 m, escribiremos −8 m.
6 Cap´ıtulo 1. N´umeros
La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo −; la longitud este
se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya
situaci´on geogr´afica sea +45◦
de longitud y −15◦
de latitud se hallar´a a 45◦
al este del primer
meridiano y a 15◦
bajo el Ecuador.
1.3.3. Elecci´on del sentido positivo
La elecci´on de fijar el sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos
opuestos, es arbitraria, depende de nuestra voluntad, es decir, podemos elegir uno de los
sentidos como sentido positivo, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a
´este ser´a el negativo. As´ı, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la derecha
de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto ser´a negativo, pero nada nos
impide tomar como positivo el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino
recorrido a la derecha del punto ser´ıa negativo.
1.3.4. El cero, los n´umeros positivos y negativos
El cero es la ausencia de cantidad. Los n´umeros positivos son todos los n´umeros reales ma-
yores que cero, en algunas ocasiones estos n´umeros est´an precedidos por el signo +. Los
n´umeros negativos son todos los n´umeros reales menores que cero, estos n´umeros se carac-
terizan por ser precedidos por el signo −.
Ejemplos de n´umeros positivos: 5, +0.25, 1
7
, π.
Ejemplos de n´umeros negativos: −2, −0.333 . . . , −1
5
, −π.
1.4. Los s´ımbolos de relaci´on de orden
En los n´umeros reales est´a definida una relaci´on de orden, como se enuncia a continuaci´on.
Propiedades 1.4.1 Si x, y son n´umeros reales, se cumple una y solamente una de las condi-
ciones siguientes:
(a) x = y,
(b) x < y,
(c) x > y.
El s´ımbolo = se lee igual a. As´ı, x = y se lee “x igual a y”. El s´ımbolo < se lee menor que.
As´ı, x < y se lee “x menor que y”. El s´ımbolo > se lee mayor que. Luego, x > y se lee “x
mayor que y”.
1.5. Valor absoluto 7
1.5. Valor absoluto
Definimos el valor absoluto de un n´umero real x como
|x| =
x, si x ≥ 0,
−x, si x < 0.
Para k un n´umero real no negativo, la identidad |x| = k s´olo la satisfacen los n´umeros x = k
y x = −k.
La desigualdad |x| ≤ k es equivalente a −k ≤ x ≤ k, lo cual podemos ver de la siguiente
manera. Si x ≥ 0, entonces 0 ≤ x = |x| ≤ k. Por otro lado, si x ≤ 0, entonces −x = |x| ≤ k,
de donde x ≥ −k. Como consecuencia de lo anterior observemos que x ≤ |x|. En la figura
siguiente se muestran los valores de x que satisfacen la desigualdad, ´estos son los que se
encuentran entre −k y k, incluy´endolos. Al conjunto [−k, k] = {x ∈ R | − k ≤ x ≤ k}
le llamamos un intervalo cerrado, ya que contiene a k y −k. A −k y k les llamamos los
puntos extremos del intervalo.
An´alogamente, la desigualdad |x| ≥ k es equivalente a x ≥ k o −x ≥ k. En la figura
siguiente los valores de x que satisfacen las desigualdades son los que se encuentran antes, o
son iguales, a −k o despu´es, o son iguales, a k. El conjunto (−k, k) = {x ∈ R | −k < x < k}
le llamamos un intervalo abierto, ya que no contiene a k y −k, es decir, un intervalo abierto
es aquel que no contiene sus puntos extremos. Con esta definici´on vemos que el conjunto de
las x que cumplen que |x| ≥ k, son los valores de x /∈ (−k, k).
Observaci´on 1.5.1 Si x es un n´umero real cualquiera, entonces la relaci´on entre la ra´ız
cuadrada y el valor absoluto est´a dada por
√
x2 = |x|, la identidad se sigue de que |x|2
= x2
y |x| ≥ 0.
Propiedades 1.5.2 Si x y y son n´umeros reales, se cumple lo siguiente:
(a) |xy| = |x||y|. De aqu´ı se sigue tambi´en que x
y
= |x|
|y|
, si y = 0.
(b) |x + y| ≤ |x| + |y|, donde la igualdad se da si y s´olo si xy ≥ 0.
1.5.1. Ejercicios resueltos
1. Hallar el valor absoluto de los siguientes n´umeros:
a) 4, b) −7, c) 0.47, d) −0.3, e) 1
2
, f) −5
8
.
Soluci´on. Es directo ver que |4| = 4, |7| = 7, |0.47| = 0.47, |−0.3| = 0.3, 1
2
= 1
2
, −5
8
= 5
8
.
2. Resuelva la ecuaci´on |2x − 4| = |x + 5|.
8 Cap´ıtulo 1. N´umeros
Soluci´on. Tenemos que
|2x − 4| =
2x − 4, si x ≥ 2,
−2x + 4, si x < 2.
Adem´as, tenemos que
|x + 5| =
x + 5, si x ≥ −5,
−x − 5, si x < −5.
Si x ≥ 2, entonces 2x−4 = x+5, es decir, x = 9. Si x < −5, entonces −2x+4 = −x−5, de
donde x = 9, lo cual es imposible ya que x < −5. El ´ultimo caso que nos falta considerar es
−5 ≤ x < 2, entonces la ecuaci´on que tenemos que resolver es −2x+4 = x+5, despejando
x, tenemos que x = −1
3
. Por lo tanto, los n´umeros que resuelven la ecuaci´on son x = 9 y
x = −1
3
.
1.5.2. Ejercicios
Hallar el valor absoluto de los siguientes n´umeros:
a) 3.1416 b) −27 + 14
c) −1.4142 d) 2 − π.
Resuelva las ecuaciones siguientes.
e) 2
3
x + 3 + 4 = 10 f) |5x + 3| = |3x + 25|.
En cada caso encuentra los n´umeros reales x que satisfacen la ecuaci´on.
g) |x − 1| − |x + 1| = 0.
h) |x − 1||x + 1| = 1.
i) |x − 1| + |x + 1| = 2.
Muestra lo siguiente.
j) Si a y b son n´umeros reales cualesquiera, demuestra que
||a| − |b|| ≤ |a − b|.
1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) 9
1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on y
divisi´on)
Los n´umeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. En ma-
tem´aticas, las letras se emplean usualmente para representar toda clase de cantidades, ya
sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas usualmente se expresan por las
primeras letras del alfabeto:
a, b, c, d, . . . .
Las cantidades desconocidas usualmente se representan por las ´ultimas letras del alfabeto:
w, x, y, z.
En ´Algebra se pueden aplicar a cantidades las mismas operaciones que se usan en aritm´etica
como son la suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on, que se indican con los signos siguientes:
El signo de la suma es +, que se lee m´as. As´ı x + y se lee “x m´as y”.
El signo de la resta es −, que se lee menos. As´ı x − y se lee “x menos y”.
El signo de la multiplicaci´on es ×, que se lee multiplicando por. As´ı, x × y se lee “x mul-
tiplicando por y ”. En lugar del signo ×, se puede usar un punto entre los factores y tambi´en
se indica la multiplicaci´on colocando los factores entre par´entesis. As´ı x·y = (x)(y) = x×y.
Entre factores literales o entre un factor num´erico y un literal, el signo de la multiplicaci´on
suele omitirse. Por ejemplo x × y × z = xyz, 5 × x × w = 5xw.
El signo de la divisi´on se denota por ÷, que se lee dividido entre. As´ı, x ÷ y se lee “x
dividido entre y ”. Tambi´en se indica la divisi´on separando el dividendo y el divisor por una
raya horizontal. De esta manera,
x
y
equivale a x ÷ y.
1.6.1. Los s´ımbolos de agrupamiento
Los s´ımbolos de agrupamiento son ( ), [ ], { }. Se utilizan para dar una jerarqu´ıa en el orden
de las operaciones. Sea x un n´umero real, convenimos que
x = (x) = [x] = {x}.
As´ı, (x + y)z indica que el resultado de la suma de x y y debe multiplicarse por z; [w − x]y
indica que la diferencia entre w y x debe multiplicarse por y; {w + x} ÷ {y − z} indica que
la suma de w y x debe dividirse entre la diferencia de y y z.
Por ejemplo, si tenemos 5 + {4 + [3 − (2 × 5)]} significa que primero debemos realizar la
operaci´on (2×5), as´ı obtenemos 5+{4+[3−10]}. Despu´es realizamos la operaci´on [3−10],
as´ı obtenemos 5 + {4 − 7}, y por ´ultimo realizamos la operaci´on {4 − 7}, por lo que
5 + {4 + [3 − (2 × 5)]} = 5 − 3 = 2.
10 Cap´ıtulo 1. N´umeros
1.6.2. Ley de los signos
La ley de los signos es la siguiente:
(+)(+) = +
(+)(−) = −
(−)(+) = −
(−)(−) = +.
Cuando realizamos operaciones con los n´umeros reales es posible que obtengamos expresio-
nes como 5 + (+9), −1 − (−3), 2 + (−5), 4 − (+6). En estos casos aplicamos la ley de los
signos de la siguiente manera
5 + (+9) = 5 + 9,
−1 − (−3) = −1 + 3,
2 + (−5) = 2 − 5,
4 − (+6) = 4 − 6.
1.6.3. Ejercicios resueltos
Calcule las operaciones indicadas.
1. −(2 + 5) + (−3) = −(7) − 3 = −7 − 3 = −10.
2. (−5)(15) + (2 − 7) = (−75) + (−5) = −75 − 5 = −80.
3.
(−2)
5
−7
8
=
(−2(8))
(5(−7))
= −16
−35
= 16
35
.
4.
(−6 + 2)(−5)
(1 − 3)(4)
=
(−4)(−5)
(−2)(4)
=
20
−8
=
−5
2
.
1.6.4. Ejercicios
Calcule las operaciones indicadas.
a) 1 − 1
2
+ 1
4
b) −2 − 7 + 8
c) 5 − 1
2
(2 − 3(1
2
)) d) 7 + 1
3
(4 − 6(3
2
− 1
3
))
e)
2
3
+
1
2
+(−2)+7(
1
4
) f) −3(1−2)+2{−4[−2−3(1+1)]}−{−[−(1+1)]}
1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) 11
g) 2(1
5
) + {−[5
7
+ (3
5
− 5
6
) + 2 − (−1
5
+ 1
7
− (5
6
+ 4)] − (−1
5
+ 1
7
)}
h) 5 + {−(2 + 7) − [−4 + 21 − (2 + 7) + (−2 − 7) + (−2 + 7) − 2}
i) −{5 + 1
3
− 2(5 − 1
3
) + 3{−[10 + 1
3
− 3(5 + 1
3
− 1)]} − 3[−5 + 2(−1 + 5)]}
j) 3
2
− 3(3
2
+ 2
5
) + [−{−(−3 + 2
5
− 2 − 3[3
2
− 2
5
+ 1]) + 3
2
}].
1.6.5. Potencias de n´umeros
El signo de elevar a una potencia es el exponente, que es un n´umero peque˜no colocado
arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada
base se toma como factor. As´ı, si n es un n´umero entero mayor que cero tenemos que
xn
= x · x · . . . · x
n-veces
,
x−n
= x−1
· x−1
· . . . · x−1
n-veces
.
Si n = 0 tenemos que x0
= 1. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la
unidad. As´ı, x equivale a x1
, xyz equivale a x1
y1
z1
.
1.6.6. Ejercicios resueltos
Calcula las potencias indicadas.
1. 22
= 2 · 2 = 4. Recuerda que el n´umero que aparece en el exponente es el n´umero de
veces que multiplicaras por si mismo el n´umero que aparece en la base. No multiplicas
estos dos n´umeros, esto quedar´a m´as claro con los siguientes ejemplos.
2. (−3)3
= (−3)(−3)(−3) = 9(−3) = −27.
3. 1
4
2
= 1
4
1
4
= 1
16
.
4. 3
5
4
= 3
5
3
5
3
5
3
5
= 9
25
9
25
= 81
625
.
1.6.7. Ejercicios
Simplifica los siguientes n´umeros.
a) 4
4+4
4 − 4 · 4 b) 24
42 + 2−1
−12
c) 32
− 3−2
d) 42
− 52
e) 210
· 220
. f) (32
)3
− (3−2
)3
g) (42
)5
− (3−2
)4
h) (2−1
) 1
2
(22
)
i) (10 · 1015
)0
j) (33
) 2
32
3
4
)(92
.
12 Cap´ıtulo 1. N´umeros
1.7. Productos de potencias de un mismo n´umero
Las leyes de los exponentes se enuncian a continuaci´on.
Propiedades 1.7.1 Sean n, m n´umeros enteros, y sea x un n´umero real, entonces
(a) xn
xm
= xn+m
.
(b) (xn
)m
= xnm
.
(c) (xy)n
= xn
yn
.
(d) 1
xn = x−n
, para x = 0 y n > 0.
1.7.1. Ejercicios resueltos
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1. 2 · 23
= 2 · 23
= 21+3
= 24
= 16.
2. 6·64
= 61+4
= 65
= 7, 776. Cuando las potencias result´an n´umeros muy grandes como
en el caso anterior, la respuesta 65
es suficiente.
3. (3.143
)(3.145
) = (3.143+5
) = 3.148
.
4. (7−2
)(73
) = 7−2+3
= 71
= 7.
5. (0.716
)(0.71−3
) = 0.716+(−3)
= 0.716−3
= 0.713
.
6. 1
324 · 328
= 32−4
· 328
= 32−4+8
= 324
.
7. (69
)(63
) 1
613 (61
) = (69
)(63
)(6−13
)(61
) = 69+3+(−13)+1
= 69+3−13+1
= 60
= 1.
1.7.2. Ejercicios
Encuentra el valor de x en las siguientes igualdades.
a) (1100
)(10
) = x b) (65
)(6−3
)(34
) = x
c) 7x
= 2401 d) 34
+ 96
+ 813
= x
e) 1x
− 10x
= 0 f) (45
)(648
) = 1
4
+ x.
Cap´ıtulo 2
Operaciones con literales
2.1. Propiedades de los n´umeros reales con la suma y la
multiplicaci´on
De la misma manera que para n´umeros enteros, existen ciertas propiedades que se cumplen
para la suma y multiplicaci´on de n´umeros reales, las cuales enunciamos a continuaci´on.
Propiedades 2.1.1 (a) Asociatividad. Para todos x, y, z n´umeros reales, tenemos que
x + (y + z) = (x + y) + z,
x(yz) = (xy)z.
(b) Conmutatividad. Para todos x, y n´umeros reales, tenemos que
x + y = y + x,
xy = yx.
(c) Existencia de elementos neutros. Existe un n´umero y s´olo un n´umero, el 0 (cero), tal
que x + 0 = 0 + x = x, para cualquier n´umero real x.
Existe un n´umero y s´olo un n´umero, el 1 (uno), tal que x· 1 = 1 · x = x, para cualquier
n´umero real x.
(d) Existencia de elementos inversos. Para todo x n´umero real, existe el n´umero real −x
tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.
Para todo x n´umero real, x = 0 (x distinto de cero), existe el n´umero real x−1
tal que
x · x−1
= x−1
· x = 1.
13
14 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
(e) Leyes distributivas. Para todos x, y, z n´umeros reales, tenemos que
x(y + z) = xy + xz,
(x + y)z = xz + yz.
2.2. T´erminos y notaci´on algebraica
Expresi´on algebraica. Es la representaci´on de un s´ımbolo algebraico o de una o m´as opera-
ciones algebraicas. Veamos los siguientes ejemplos:
a,
b
c
, x, −4y,
√
ax + z,
2x − 3y
x3
,
1
x
+
3
x2
.
T´ermino. Es una expresi´on algebraica que consta de un s´olo s´ımbolo o de varios s´ımbolos,
sin estar separados entre s´ı por por alguno de los signos + o −. Ejemplos de expresiones
algebraicas con un t´ermino:
y, xy, −5ab,
x
z2
.
Ejemplos de expresiones algebraicas con m´as de un t´ermino:
x + y, w − z, a + b + c,
x
y4
+
x2
y5
−
x3
y6
.
Los elementos de un t´ermino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal, y el grado.
El signo. Los t´erminos positivos son aquellos que van precedidos del signo +, los t´erminos
negativos son aquellos que van precedidos del signo −.
Ejemplos de t´erminos positivos:
+x, +9a, +5yz, +
x
z
.
Ejemplos de t´erminos negativos:
−x, −3b, −6ay, −
z
w4
.
Nota. Cuando un t´ermino no va precedido de ning´un signo significa que es positivo. As´ı x es
lo mismo que +x.
El coeficiente. En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coefi-
ciente del otro factor. As´ı, en el producto 3x el factor 3 es coeficiente del factor x e indica
que el factor x se toma como sumando tres veces, es decir, 3x = x+x+x; en el producto 5y,
el factor 5 es el coeficiente de y e indica que 5y = y + y + y + y + y. ´Estos son coeficientes
n´umericos.
2.3. Clasificaci´on de las expresiones algebraicas 15
En el producto nx donde n es un entero mayor que cero, el factor n es coeficiente del factor
x, e indica que x se toma como sumando n veces, o sea
nx = x + x + · · · + x
n-veces
.
Si tenemos el producto −nx, el factor −n es el coeficiente de x, e indica la resta de n veces
el factor x, o sea
−nx = −x − x − · · · − x
n-veces
.
Si n = 0 tenemos que 0x = 0.
En el producto xy, el factor x es el coeficiente del factor y. ´Este es un coeficiente literal. En
el producto de m´as de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes.
As´ı en el producto wxyz, w es el coeficiente de xyz, wx es el coeficiente de yz, wxy es el
coeficiente de z.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente num´erico, su coeficiente es la unidad. As´ı, x equi-
vale a 1x, xyz equivale a 1xyz.
La parte literal la constituyen las letras que haya en el t´ermino. As´ı, en 5xy la parte literal
es xy; en 3x3y4
2ab
la parte literal es x3y4
ab
.
El grado de un t´ermino puede ser de dos clases: absoluto y con relaci´on a una letra.
El grado absoluto de un t´ermino es la suma de los exponentes de sus factores literales. As´ı,
el t´ermino 4x es de primer grado por que el exponente del factor literal x es 1; el t´ermino
xy es de segundo grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 2; el
t´ermino x2
y es de tercer grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es
3; 5x4
y3
z2
es de noveno grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es
9.
El grado de un t´ermino con relaci´on a una letra es el exponente de dicha letra. As´ı el t´ermino
bx3
es de primer grado con relaci´on a b y de tercer grado con relaci´on a x; 4x2
y4
es de segundo
grado con relaci´on a x y de cuarto grado con relaci´on a y.
2.3. Clasificaci´on de las expresiones algebraicas
Un monomio es una expresi´on algebraica que consta de un s´olo t´ermino, dos ejemplos son
3x y −5yz2
.
Un polinomio es una expresi´on algebraica que consta de m´as de un t´ermino, por ejemplo
x3
+ 2x2
+ 5y + 1.
Un binomio es un polinomio que consta de dos t´erminos, por ejemplo
x2
3
−
5mx4
6y2
.
Un trinomio es un polinomio que consta de tres t´erminos, por ejemplo 5w4
+ 10z3
+ 5w2
.
16 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
Para ordenar un polinomio se deben escribir sus t´erminos de modo que los exponentes de una
letra escogida, llamada letra ordenatriz, queden en orden descendente o ascendente. As´ı,
ordenar el polinomio −5x3
+ x5
− 3x + x4
− x2
+ 6 en orden descendente con relaci´on a x
ser´a escribir x5
+ x4
− 5x3
− x2
− 3x + 6.
Ordenar el polinomio x4
y−7x2
y3
−5x5
+6xy4
+y5
−x3
y2
en orden ascendente con relaci´on
a x ser´a escribirlo en la forma y5
+ 6xy4
− 7x2
y3
− x3
y2
+ x4
y − 5x5
.
2.3.1. Suma de monomios y polinomios
La suma o adici´on es una operaci´on que tiene por objeto reunir dos o m´as expresiones alge-
braicas (sumandos) en una sola expresi´on algebraica (suma). As´ı, la suma de a y b es a + b,
por que esta ´ultima expresi´on es la reuni´on de las dos expresiones algebraicas dadas a y b.
T´erminos semejantes. Dos o m´as t´erminos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen letras iguales con exponentes iguales.
Por ejemplo, los t´erminos 2x y x son semejantes por que tienen la misma parte literal; los
t´erminos 4wz y −6w2
z no son semejantes, por que aunque tienen iguales letras, ´estas no
tienen los mismos exponentes, ya que la w del primero t´ermino tiene de exponente 1 y la w
del segundo tiene de exponente 2.
La reducci´on de t´erminos semejantes es una operaci´on que tiene por objeto convertir en un
s´olo t´ermino, dos o m´as t´erminos semejantes. Para reducir dos o m´as t´erminos semejantes se
suman los coeficientes y a continuaci´on de la suma, se escribe la parte literal.
Veamos los siguientes ejemplos, donde se reducen t´erminos semejantes.
Ejemplo 2.3.1 1. 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x.
2. −m − 3m − 6m − 5m = (−1 − 3 − 6 − 5)m = −15m. Notemos que −m = −1m.
3. 1
2
ab + 2
3
ab = (1
2
+ 2
3
)ab = 7
6
ab.
4. −1
3
x2
y − 2
3
x2
y = (−1
3
− 2
3
)x2
y = −3
3
x2
y = −x2
y.
5. 18x − 11x = (18 − 11)x = 7x.
6. −3
7
a2
b + a2
b = (−3
7
+ 1)a2
b = 4
7
a2
b.
2.3.2. Suma de monomios
Para sumar dos o m´as expresiones algebraicas se escriben unas a continuaci´on de las otras con
sus propios signos y se reducen los t´erminos semejantes, si los hay. Como ejemplos tenemos
los siguientes.
2.3. Clasificaci´on de las expresiones algebraicas 17
Ejemplo 2.3.2 1. Sumar 5a, 6b y 8c.
Los escribimos unos a continuaci´on de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a,
6b = +6b y 8c = +8c, la suma ser´a 5a + 6b + 8c.
El orden de los sumandos no altera la suma. As´ı, 5a + 6b + 8c es lo mismo que
5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la ley conmutativa de la suma.
2. Sumar 3a2
b, 4ab2
, a2
b, 7ab2
y 6b3
.
Se tiene que 3a2
b + 4ab2
+ a2
b + 7ab2
+ 6b3
. Reduciendo los t´erminos semejantes,
obtenemos que 4a2
b + 11ab2
+ 6b3
.
3. Sumar 3a y −2b.
Cuando alg´un sumando es negativo suele incluirse dentro de un par´entesis para indi-
car la suma, as´ı 3a + (−2b) = 3a − 2b.
4. Sumar 7a, −8b, −15a, 9b, −4c y 8.
Se tiene que 7a + (−8b) + (−15a) + 9b + (−4ac) + 8 = 7a − 8b − 15a + 9b − 4c + 8.
Reduciendo t´erminos semejantes, se llega a que −8a + b − 4c + 8.
2.3.3. Suma de polinomios
1. Sumar a − b, 2a + 3b − c y −4a + 5b.
La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de par´entesis, as´ı
(a − b) + (2a + 3b − c) + (−4a + 5b).
Ahora colocamos todos los t´erminos de estos polinomios, unos a continuaci´on de otros,
con sus propios signos, y tendremos a − b + 2a + 3b − c + −4a + 5b = −a + 7b − c.
Nota. En la pr´actica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros, de modo
que los t´erminos semejantes queden en una misma columna; se hace la reducci´on de
´estos, separ´andolos unos de otros con sus propios signos.
a −b
2a +3b −c
−4a +5b
−a +7b −c.
2. Sumar 3m − 2n + 4, 6n + 4p − 5, 8n − 6 y m − n − 4p.
Se tiene que
18 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
3m −2n +4
6n +4p −5
8n −6
m −n −4p
4m +11n −7.
2.3.4. Ejercicios resueltos
1. Sumar 3a − 5b y −6a + 3a.
(3a − 5b) + (−6a + 3a) = (3a − 5b) + (−3a) = 3a − 5b − 3a = −5b.
2. Sumar 2ab − 6c + d, 5c − 3d y 2d − 4ab.
(2ab − 6c + d) + (5c − 3d) + (2d − 4ab)
= 2ab − 4ab − 6c + 5c + d − 3d + 2d = −2ab − c.
3. Restar 3a + 5b de 6a − 7b.
(6a − 7b) − (3a + 5b) = 6a − 7b − 3a − 5b = 6a − 3a − 7b − 5b = 3a − 12b.
4. Restar a de ab.
ab − (a) = ab − a.
5. Restar 2a + 5b − 6c de 7a + 3b − 6c.
(7a + 3b − 6c) − (2a + 5b − 6c) = 7a + 3b − 6c − 2a − 5b + 6c
= 7a − 2a + 3b − 5b − 6c + 6c
= 5a − 2b.
6. ¿Qu´e se debe sumar al primer polinomio para obtener el segundo?
a) x + 4y, 3x − 6y.
Nota que dicho polinomio se obtendr´a al restar el primero del segundo:
3x − 6y − (x + 4y) = 3x − 6y − x − 4y = 3x − x − 6y − 4y = 2x − 10y.
b) 6x + 7y − 10, −8x − 13y − 6.
(−8 − 3y − 6) − (6x + 7y − 10) = −8x − 13y − 6 − 6x − 7y + 10
= −8x − 6x − 13y − 7y − 6 + 10
= −14x − 20y + 4.
2.4. Producto y potencias de monomios 19
2.3.5. Ejercicios
Realiza las operaciones indicadas.
a) 2x2
y3
z + 3x2
y3
x.
b) 2a2
bc3
− 5a2
bc3
+ 3a2
bc3
.
c) 3x4
− 2x4
+ 7x4
.
d) 2a − (−4a + b) − {−[−4a + (b − a) − (−b + a)]}.
e) (5ab − 3bc + 4cd) + 2bc + 2cd − 3cd) + (4bc − 2ab + 3cd) + (−3bc − 6cd − ad).
f) x2
− 3xy + y2
+ −2y2
+ 3xy − x2
+ x2
+ 3xy − y2
.
g) 3x2
− 1
3
x + 2
3
+ 3(1
2
x2
+ 3
4
x + 1) + 3x2
− 5x − 3.
h) x2
+ 2
3
xy+ −1
6
xy + y2
+ −5
6
xy + 2
3
y2
.
i) 4x2
y2
− 8xy2
+ 5x2
y + 3x2
− 2y2
+ x2
y2
− 6x2
y + 5y2
− 5x2
y2
+ 4xy2
− x2
y − 4x2
−
2y2
+ 4xy2
+ 2x2
y + x2
.
j) 4x3
y − 19xy3
+ y4
− 6x2
y2
− (−x4
− 51xy3
+ 32x2
y2
− 25x3
y).
2.4. Producto y potencias de monomios
La multiplicaci´on es una operaci´on que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas mul-
tiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. El multiplicando y
el multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en Aritm´etica,
se cumple tambien en ´Algebra. As´ı el producto xy puede escribirse yx; el producto xyz puede
escribirse tambi´en yxz o zyx. Esta es la ley conmutativa de la multiplicaci´on.
Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. As´ı, en el producto
abcd, tenemos
abcd = a × (bcd) = (ab) × (cd) = (abc) × d.
Esta es la ley asociativa de la multiplicaci´on.
Ley de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los
coeficientes de los factores. As´ı, 3a × 4b = 12ab. En efecto, como el orden de los factores no
altera el producto, se tiene que
3a × 4b = 3 × 4 × a × b = 12ab.
20 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
2.4.1. Multiplicaci´on de monomios
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes de ´estos y a continuaci´on de
este producto se escriben las letras de los factores en orden alfab´etico, colocando a cada
letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del
producto estar´a dado por la ley de los signos.
Consideremos los siguientes ejemplos.
1. Multiplicar 2a2
por 3a3
.
Se tiene que 2a2
× 3a3
= 2 × 3 × a2+3
= 6a5
. El signo del producto es +, ya que +
por + da +.
2. Multiplicar −xy2
por −5mx4
y3
.
Se tiene que (−xy2
)(−5mx4
y3
) = 5mx1+4
y2+3
= 5mx5
y5
. El signo del producto es
+, porque − por − da +.
3. Multiplicar 3a2
b por −4b2
x.
Se tiene que (3a2
b)(−4b2
x) = 3×(−4)×a2
b1+2
x = −12a2
b3
x. El signo del producto
es −, porque + por − da −.
4. Multiplicar −ab2
por 4am
bn
c3
.
Se tiene que (−ab2
)(4am
bn
c3
) = (−1) × 4 × a1+m
b2+n
c3
= −4a1+m
b2+n
c3
. El signo
del producto es −, ya que − por + da −.
2.4.2. Potencias de monomios
Llamaremos potencia de un monomio al producto de tomarlo como factor tantas veces como
se quiera. Diremos que un monomio est´a elevado a la n-´esima potencia si ´este se ha tomado
como factor n veces.
Por ejemplo la expresi´on (5wx3
)4
indica que el monomio 5wx3
se ha elevado a la cuarta
potencia. En este ejemplo la base es 5wx3
y el exponente es 4.
Para elevar a la n-´esima potencia un monomio primero se escribe el coeficiente de este eleva-
do a la n-´esima potencia y despues se escriben las letras multiplicando el exponente de cada
una de estas por n.
Veamos los siguientes ejemplos.
1. Elevar 2x2
a la tercera potencia.
(2x2
)3
= 23
x2×3
= 8x6
.
2.4. Producto y potencias de monomios 21
2. Elevar 5a10
b6
a la cuarta potencia.
(5a10
b6
)4
= 54
a10×4
b6×4
= 54
a40
b24
.
3. Hallar (32x25
y50
)2
.
(32x25
y50
)2
= 322
x25×2
y50×2
= (25
)2
x50
y100
= 210
x50
y100
.
2.4.3. Ejercicios resueltos
Calcule los productos indicados.
1. (7b)(6a) = 42ab.
2. (3b)3
= 27b9
.
3. (a
6
)4
= a4
64 .
4. (3
z
)3
= 27
z3 .
5. (1
b
)(b2
) = b2
b
= b.
6. (4b
3
)(6a
2
) = 24ab
6
= 4ab.
7. (5a2
b)3
= 125a6
b3
.
2.4.4. Ejercicios
Calcule los productos indicados.
a) (2x3
)(5x3
) b) (a + b − c) (a − b + c)
c) (12x3)(4x) d) (4a−2
)(a− 1
2 )
e) (−2x3
)(−5x)(−3x2
) f) (18x3
y2
z5
)(6x3
yz2
)
g) (−3x2
)3
h) (2
3
x3
)2
i) (7
9
x5
y2
z)3
j) (5x7
y9
za
)3
.
22 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
2.5. Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios, se multiplican todos los t´erminos del multiplicando por cada
uno de los t´erminos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y al final se
reducen los terminos semejantes.
Ejemplo 2.5.1 Multiplicar 4x − 3y por −2y + 5x.
(−2y + 5x)(4x − 3y) = −2y(4x − 3y) + 5x(4x − 3y)
= −2y(4x) − 2y(−3y) + 5x(4x) + 5x(−3y)
= −8xy + 6y2
+ 20x2
− 15xy
= 20x2
− 23xy + 6y2
.
Tambie´n podemos escribir la multiplicaci´on en forma vertical,
4x −3y
5x −2y
4x(5x) −3y(5x)
−4x(2y) +3y(2y).
Reducimos los t´erminos semejantes, para obtener
4x −3y
5x −2y
20x2
−15xy
−8xy +6y2
20x2
−23xy +6y2
.
2.5.1. Ejercicios resueltos
Realice las siguientes multiplicaciones.
1. x2
− x + 4 por −2x2
.
Soluci´on.
(x2
− x + 4)(−2x2
) = −2x4
+ 2x3
− 8x2
.
2. Multiplicar 3x−2
4
− 2x−1
6
por 12.
Soluci´on.
3x − 2
4
−
2x − 1
6
(12) = 12
3x − 2
4
− 12
2x − 1
6
=
36x − 24
4
−
24x − 12
6
= 9x − 6 − 4x + 2
= 9x − 4x − 6 + 2
= 5x − 4.
2.6. Divisi´on de monomios 23
3. 3x(2x − 1) − x(x − 3).
Soluci´on.
3x(2x − 1) − x(x − 3) = 6x2
− 3x − x2
+ 3x = 6x2
− x2
− 3x + 3x = 5x2
.
4. −2ab3
(5x − 6 − 3b2
).
Soluci´on.
−2ab3
(5x − 6 − 3b2
) = −10ab3
x + 12ab3
+ 6ab5
.
2.5.2. Ejercicios
Calcula los siguientes productos de polinomios.
a) (4x3
− 5x2
+ 2x + 1)(3x − 6).
b) (a + b − c) (a − b + c).
c) (−3x2
y3
+ 4 − 7x2
y2
− 6x3
y3
)(5x4
y + 8x − 2x3
y − 10).
d) (1
2
a − 1
3
b) (1
3
a + 1
2
b).
e) (5a − 46a4
)(2a2
− 3a3
+ 4a).
f) (1
3
ax − 1
2
x2
+ 3
2
a2
)(3
2
x2
− ax + 2
3
a2
).
g) (3x5
− 4x4
+ 8x3
)(2x − 8).
h) (ax
− ax+1
+ ax+2
) (a + 1).
i) (m3
− m2
+ m − 2)(am + a).
j) (a− 2
3 b
1
2 + 2a− 4
3 b − a−2
b
3
2 )(3a
2
3 b− 1
2 + 1 + a− 2
3 b
1
2 ).
2.6. Divisi´on de monomios
La divisi´on es una operaci´on que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (divi-
dendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definici´on se
deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. As´ı, la operaci´on
de dividir 6a2
entre 3a, que se indica por 6a2
÷ 3a o 6a2
3a
, consiste en hallar una cantidad que
multiplicada por 3a se obtenga 6a2
. Esa cantidad (cociente) es 2a.
24 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
2.6.1. Ley de los signos en la divisi´on
La ley de los signos en la divisi´on es la siguiente:
(+) ÷ (+) = +
(+) ÷ (−) = −
(−) ÷ (+) = −
(−) ÷ (−) = +.
Ejemplos. Calcula las divisiones indicadas.
1. (+ab) ÷ (+a) =
+ab
+a
= +b.
2. (−ab) ÷ (−a) =
−ab
−a
= +b.
3. (+ab) ÷ (−a) =
+ab
−a
= −b.
4. (−ab) ÷ (+a) =
−ab
+a
= −b.
5. a5
÷ a3
= a5
a3 = a5−3
= a2
.
6. b4
÷ b2
= b4
b2 = b4−2
= b2
.
2.6.2. Divisi´on de monomios
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del
divisor y a continuaci´on se escriben en orden alfab´etico las letras, poni´endole a cada letra un
exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que
tiene el divisor. El signo lo da la ley de los signos.
Ejemplo 2.6.1 Dividir 4a3
b2
entre −2ab.
4a3
b2
÷ −2ab =
4a3
b2
−2ab
= −2a2
b,
ya que (−2ab)(−2a2
b) = 4a3
b2
.
2.6. Divisi´on de monomios 25
2.6.3. Ejercicios resueltos
Simplifica las siguientes expresiones
1.
a6
a2
.
a6
a2
= a6−2
= a4
.
2.
c3
c−3
.
c3
c−3
= c−3−(−3)
= c6
.
3.
(x + 2)4
(x + 2)6
.
(x + 2)4
(x + 2)6
= (x + 2)4−6
= (x + 2)−2
=
1
(x + 2)2
.
4.
−30a3
b2
12a2b4c
.
−30a3
b2
12a2b4c
=
−5a3−2
b2−4
2c
=
−5ab−2
2c
=
−5a
2b2c
.
5.
(−3x)4
x2
.
(−3x)4
x2
=
81x4
x2
= 81x4−2
= 81x2
.
2.6.4. Ejercicios
Dividir la expresiones indicadas.
a) 12x3
entre 4x b) x−4
y−5
entre x2
y−1
c) 36x3
y7
z4
entre 12x2
y2
d) 1
a3b
entre a− 1
4 b−3
e) 24x5
y4
+ 18x4
y5
− 48x1
0y3
entre 6x2
y3
f) 10x
2
7 entre 2x− 1
7
g) 6x3
yz entre 2x2
y h) 6x−3
y−2
entre 3x−4
y−3
i) 36ax+2
bx−1
entre 3ax
b j) x
4
5 y− 4
5 entre x− 2
5 y
4
5 .
26 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
2.7. Simplificaci´on de expresiones fraccionarias
Una fracci´on algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´ı, a
b
es
una fracci´on algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´on a (dividendo) entre
la expresi´on b (divisor). El dividendo a se llama numerador de la fracci´on algebraica, y el
divisor b, denominador. El numerador y el denominador son los t´erminos de la fracci´on.
Una expresi´on algebraica entera es la que no tiene denominador literal. As´ı x+y
1
es una ex-
presi´on algebraica entera. Una expresi´on entera puede considerarse como una fracci´on de
denominador 1.
Una expresi´on algebraica mixta es la que consta de parte entera y parte fraccionaria. As´ı,
a + b
c
y x − 3
x−a
son expresiones mixtas.
2.7.1. Principios fundamentales de las fracciones
Los siguientes principios demostrados en Aritm´etica se aplican igualmente a las fracciones
algebraicas.
Propiedades 2.7.1 (a) Si el numerador de una fracci´on algebraica se multiplica o divide
por una cantidad, la fracci´on queda multiplicada en el primer caso y dividida en el
segundo por dicha cantidad.
(b) Si el denominador de una fracci´on algebraica se multiplica o divide por una cantidad,
la fracci´on queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por dicha
cantidad.
(c) Si el numerador y el denominador de una fracci´on algebraica se multiplican o dividen
por una misma cantidad, la fracci´on no se altera.
2.7.2. Simplificaci´on de fracciones
Reducir una fracci´on algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.
Simplificar una fracci´on algebraica es convertirla en una fracci´on equivalente cuyos t´ermi-
nos sean primos entre s´ı.
Cuando los t´erminos de una fracci´on son primos entre s´ı, la fracci´on es irreducible y entonces
la fracci´on est´a reducida a su m´as simple expresi´on o a su m´ınima expresi´on.
Para simplificar fracciones cuyos t´erminos sean monomios se dividen el numerador y el
denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre s´ı.
2.7. Simplificaci´on de expresiones fraccionarias 27
Ejemplo 2.7.2 Simplificar
4a2
b5
6a3b3m
.
4a2
b5
6a3b3m
=
2 × 2 × a2−3
b5−3
2 × 3 × m
=
2b2
3am
.
Para simplificar fracciones cuyos t´erminos sean polinomios se descomponen en factores
los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y el deno-
minador.
2.7.3. Ejercicios resueltos
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas.
1.
275b3
a2
55b−4
=
55(5)b3−(−4)
a2
55
= 5b7
a2
.
2.
(x + 2)2
(x + 3)
(x + 3) − 1
=
(x + 2)2
(x + 3)
x + 3 − 1
=
(x + 2)2
(x + 3)
x + 2
= (x + 2)(x + 3).
3.
(2a − b) − (3a + 2b)
(a + 3b)c
=
2a − 3a − b − 2b
(a + 3b)c
=
−a − 3b
(a + 3b)c
=
−(a + 3b)
(a + 3b)c
=
−1
c
.
4.
(x2
− 2x − 3)y2
(x + 1)y
=
(x + 1)(x + 3)y2
(x + 1)y
= (x + 3)y.
2.7.4. Ejercicios
Simplifique las siguientes expresiones.
a)
a
b
−
b
a
÷
a + b
a
b)
81y2
7p3
÷ −
18y4
35p2
c)
x2
− 9
x − 3
d)
3m5
n
7
÷ 14m3
n2
e)
x2
− 6x + 9
5x − 15
f) 15a3
b4
÷
35a4
b2
2
g)
6x − 18
8x + 16
h) −
45m3
28n3
÷
27m4
49n5
i)
x3
+ 6x2
+ 12x + 8
x3 + 4x2 + 4x
j)
x − 2
3y2
÷
3x − 6
y3
.
28 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
2.8. Suma y resta de expresiones fraccionarias
Regla general para sumar o restar fracciones.
1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2. Se reducen las fracciones dadas al m´ınimo com´un denominado, si son de distinto de-
nominador.
3. Se efect´uan las multiplicaciones indicadas.
4. Se suman o restan los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma
por el denominador com´un.
5. Se reducen t´erminos semejantes en el numerador.
6. Se simplifica la fracci´on que resulte, si es posible.
2.8.1. Ejercicios resueltos
Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
1.
x + 3
x + 2
+
2x + 3
x + 2
=
x + 3 + 2x + 3
x + 2
=
3x + 6
x + 2
=
3(x + 2)
x + 2
= 3.
2.
5x + 1
x + 1
−
2x − 4
x + 1
=
5x + 1 − 2x + 4
x + 1
=
3x + 5
x + 1
3.
x
x + 2
+
2
x − 3
=
x(x − 3) + 2(x + 2)
(x + 2)(x − 3)
=
x2
− 3x + 2x + 4
(x + 2)(x − 3)
=
x2
− x + 4
(x + 2)(x − 3)
.
4.
x
x2 − 4
+
3
x + 2
=
x + 3(x − 2)
x2 − 4
=
x + 3x − 6
x2 − 4
=
4x − 6
x2 − 4
.
5.
12x − 4
x2 − 4x + 4
−
2
x − 2
=
12x − 4
(x − 2)2
−
2
x − 2
=
12x − 4 − 2(x − 2)
(x − 2)2
=
12x − 4 − 2x + 4
(x − 2)2
=
10x
(x − 2)2
.
2.9. Potencias fraccionarias y simplificaci´on de radicales 29
2.8.2. Ejercicios
Realiza las operaciones y simplifica.
a)
x + 3
x + 2
+
2x + 3
x + 2
b)
p
p − 2
−
5
2 − p
+
2p
p − 2
c)
x
x + 2
+
2
x − 3
d)
3c + 2
(c − 1)2
−
4c − 2
(1 − c)2
+
2c + 5
(1 − c)2
e)
12x − 4
x2 − 4x + 4
−
2
x − 2
f)
2x
(x − 1)3
+
1
(1 − x)3
−
x
(1 − x)
g)
x
x2 − 4
+
3
x + 2
h)
a + b
a2
+
a − b
ab
i)
x2
− x
x2 − 5x + 6
+
1
x2 − 5x + 6
−
x + 3
x2 − 5x + 6
j)
x − y
x2 + 2xy + y2
−
2x
x2 − y2
+
x + y
x2 − 2xy + y2
.
2.9. Potencias fraccionarias y simplificaci´on de radicales
La ra´ız de una expresi´on algebraica elevada a una potencia reproduce la expresi´on dada. El
signo de la ra´ız es
√
, llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la
cual se extrae la ra´ız llamada por eso cantidad subradical.
El signo
√
lleva un ´ındice que indica la potencia a que hay que elevar la ra´ız para que
reprodusca la cantidad subradical. Por convenci´on el ´ındice 2 se suprime y cuando el signo
√
no lleva ´ındice se entiende que el ´ındice es 2.
As´ı,
√
a4 significa que una cantidad elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical
a4
, esta raices son a2
y −a2
, ya que (a2
)2
= a4
y (−a2
)2
= a4
.
3
√
8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3
; esta
ra´ız es 2x por que (2x)3
= 8x3
.
5
√
−32a5 significa que elevada a la quinta potencia reproduce la cantidad subradical −32a5
;
esta ra´ız es −2a por que (−2a)5
= −32a5
.
Una expresi´on radical es toda ra´ız indicada de un n´umero o de una expresi´on algebraica.
As´ı,
√
4,
3
√
9a3,
4
√
16a3 son expresiones radicales.
Si la ra´ız indicada es exacta, la expresi´on es racional; si no es exacta es irracional. Las
expresiones irracionales como
√
2,
3
√
3a2 son las que com´unmente se llaman radicales.
30 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
El grado de un radical lo indica su ´ındice. As´ı,
√
2a es un radical de segundo grado;
3
√
5a2 es
un radical de tercer grado; 4
√
3x es un radical de cuarto grado.
Se extiende la idea de exponente, a los n´umeros de la forma m
n
donde m y n son n´umeros
enteros.
Para extraer una ra´ız a una potencia se divide el exponente de la potencia por el ´ındice de la
ra´ız. Por lo que obtenemos las leyes de los radicales.
Propiedades 2.9.1 (a) n
√
am = a
m
n .
(b) n
√
ab = n
√
a n
√
b.
2.9.1. Ra´ız de un monomio
Para extraer una ra´ız de un monomio se procede como sigue.
1. Se extrae la ra´ız del coeficiente y se divide el exponente de cada letra por el ´ındice de
la ra´ız.
2. Si el ´ındice del radical es impar, la ra´ız tiene el mismo signo que la cantidad subradical,
y si el ´ındice es par y la cantidad subradical positiva, la ra´ız tiene el doble signo ±.
Ejemplo 2.9.2 1. Hallar la ra´ız cuadrada de 9a2
b4
.
√
9a2b4 = ±3ab2
.
2. Hallar la ra´ız cuadrada de −8a3
x6
y9
.
3
−8a3x6y9 = −2ax2
y3
.
2.9.2. Ejercicios resueltos
1. Simplificar la siguiente expresi´on.
√
k
8
=
√
k1/2
8
=
√
k1/4
8
= (k1/8
)8
= k8/8
= k1
= k.
2. Multiplicar 3x2
y 2x1/2
y.
3x2
(2x1/2
y) = (3)(2)(x2
)(x1/2
) = 6x2+ 1
2 y = 6x
5
2 y.
3. Multiplicar 2x
1
3 y
1
2 y 3x
2
3 y
5
2 .
(2x
1
3 y
1
2 )(3x
2
3 y
5
2 ) = (2)(3)(x
1
3 x
2
3 )(y
1
2 y
5
2 ) = 6x
1
3
+ 2
3 y
1
2
+ 1
2
+ 5
2 = 6xy3
.
4. Simplificar (x4
y5
)
1
2 .
(x4
y5
)
1
2 = x4(1
2
)
y5(1
2
)
= x2
y
5
2 .
2.10. Racionalizaci´on 31
2.9.3. Ejercicios
Simplificar las expresiones dadas.
a)
12
√
x9 b) 9
√
64
c)
2
√
ab
3
√
ab
d)
3
√
a2b4 2
√
4ab
4
√
2ab
e)
4
√
a3b5c
2
√
ab3c3
f)
6
√
a3
3
√
a2
g)
3 −125x9
216m12
h)
9 a18
b9c27
i) 10 x20
1024y30
j) 7 128
x14
.
2.10. Racionalizaci´on
Racionalizar el denominador de una fracci´on es convertir una fracci´on cuyo denomina-
dor sea irracional en una fracci´on equivalente cuyo denominador sea racional. Cuando se
racionaliza el denominador irracional de una fracci´on, desaparece todo signo radical del de-
nominador. Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma
n
√
ak, con k < n
y a > 0, entonces se multiplica numerador y denominador por
n
√
an−k para obtener en el
denominador
n
√
ak n
√
an−k =
n
√
ak+n−k = n
√
an = a.
Este proceso se llama racionalizaci´on del denominador.
Ejemplo 2.10.1 Racionalizar el denominador de 1√
5
.
Observe que
1
√
5
=
1
√
5
√
5
√
5
=
√
5
√
52
=
√
5
5
.
Expresiones conjugadas. Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como√
a +
√
b y
√
a −
√
b o a +
√
b y a −
√
b, que difieren solamente en el signo que une sus
t´erminos, se dice que son conjugadas. As´ı, la conjugada de 3
√
2 −
√
5 es 3
√
2 +
√
5.
El producto de dos expresiones conjugadas es racional. As´ı,
(3
√
2 −
√
5)(3
√
2 +
√
5) = (3
√
2)2
− (
√
5)2
= 18 − 5 = 13.
32 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
Para racionalizar el denominador de una fracci´on cuando el denominador es un binomio que
contiene radicales de segundo grado, se multiplican ambos t´erminos de la fracci´on por la
conjugada del denominador y se simplifica el resultado.
Ejemplo 2.10.2 Racionalizar el denominador de
4 −
√
2
2 + 5
√
2
.
4 −
√
2
2 + 5
√
2
=
(4 −
√
2)
(2 + 5
√
2)
(2 − 5
√
2)
(2 − 5
√
2)
=
8 − 22
√
2 + 10
22 − (5
√
2)2
=
18 − 22
√
2
−46
=
11
√
2 − 9
23
.
Para racionalizar el denominador de una expresi´on que contiene tres radicales de segundo
grado hay que realizar dos pasos como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.10.3 Racionalizar el denominador de
√
2 −
√
5
√
2 +
√
5 −
√
6
.
Primero se multiplican ambos t´erminos de la fracci´on por la conjugada del denominador,
considerado como un binomio (
√
2 +
√
5) −
√
6, es decir, (
√
2 +
√
5) +
√
6,
√
2 −
√
5
√
2 +
√
5 −
√
6
=
(
√
2 −
√
5)
(
√
2 +
√
5 −
√
6)
(
√
2 +
√
5 +
√
6)
(
√
2 +
√
5 +
√
6)
=
2
√
3 −
√
30 − 3
(
√
2 +
√
5)2 − (
√
6)2
=
2
√
3 −
√
30 − 3
1 + 2
√
10
.
Ahora, nuevamente se multiplican ambos t´erminos de la fracci´on por la conjugada del deno-
minador, es decir, 1 − 2
√
10. As´ı, se obtiene
2
√
3 −
√
30 − 3
1 + 2
√
10
=
(2
√
3 −
√
30 − 3)
(1 + 2
√
10)
1 − 2
√
10
1 − 2
√
10
=
22
√
3 − 5
√
30 − 3 + 6
√
10
1 − 40
=
3 − 6
√
10 + 5
√
30 − 22
√
3
39
.
2.10. Racionalizaci´on 33
2.10.1. Ejercicios resueltos
1. Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones:
a)
5
√
2
; b)
3
√
2
√
3
; c)
7
√
5 −
√
3
; d)
2
3 +
√
7
; e)
x
√
x + 1 −
√
x − 1
.
Soluci´on.
a)
5
√
2
=
5
√
2
√
2
√
2
=
5
√
2
√
22
=
5
√
2
2
.
b)
3
√
2
√
3
=
3
√
2
√
3
√
3
√
3
=
3
√
6
3
=
√
6.
c)
7
√
5 −
√
3
=
7(
√
5 +
√
3)
(
√
5 −
√
3)(
√
5 +
√
3)
=
7(
√
5 +
√
3)
(
√
5)2 − (
√
3)2
=
7(
√
5 +
√
3)
5 − 3
=
7(
√
5 +
√
3)
2
.
d)
2
3 +
√
7
=
2(3 +
√
7)
(3 −
√
7)(3 +
√
7)
=
2(3 +
√
7)
32 − (
√
7)2
=
2(3 +
√
7)
9 − 7
=
2(3 +
√
7)
2
= 3 +
√
7.
e)
x
√
x + 1 −
√
x − 1
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
(
√
x + 1 −
√
x − 1)(
√
x + 1 +
√
x − 1)
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
(
√
x + 1)2 − (
√
x − 1)2
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
x + 1 − (x − 1)
=
x(
√
x + 1 +
√
x − 1)
2
.
2.10.2. Ejercicios
Simplificar los siguientes radicales.
a)
1
√
3 − 2
b)
√
2 + 2
√
5
4
√
2 −
√
5
c)
−3 +
√
2
3 +
√
2
d)
4 +
√
3
5 − 4
√
3
e)
1
2
√
3 −
√
5
f)
3
√
a2b −
3
√
ab2
3
√
a −
3
√
b
g)
1
3
√
x − 3
√
y
h)
√
a + x +
√
a − x
√
a + x −
√
a − x
x =
2ab
1 + b2
i)
x4
− x − 1
x(x2 +
√
x + 1)
j)
4 +
√
3
5 − 4
√
3
.
34 Cap´ıtulo 2. Operaciones con literales
Cap´ıtulo 3
Productos notables
3.1. Ejemplos importantes
Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspecci´on, es decir, sin verificar la multiplicaci´on.
Como motivaci´on veamos los siguientes ejemplos. El ´area de un cuadrado es el cuadrado de
la longitud de su lado. Si sus lados miden a + b entonces el ´area es (a + b)2
, pero el ´area de
este cuadrado la podemos dividir en cuatro rect´angulos como se muestra en la figura.
a b
ab
aba2
b2b
a
Luego, la suma de las ´areas de los cuatro rect´angulos ser´a igual al ´area del cuadrado, es decir,
(a + b)2
= a2
+ ab + ab + b2
= a2
+ 2ab + b2
. (3.1)
Veamos ahora c´omo obtener geom´etricamente el cuadrado de la diferencia a−b, donde b ≤ a.
El problema es ahora encontrar el ´area de un cuadrado de lado a − b.
35
36 Cap´ıtulo 3. Productos notables
a
b(a − b)b
(a−b)b
(a − b)2
b2
En la figura observamos que el ´area de un cuadrado de lado a es igual a la suma de las ´areas
de los cuadrados de lados (a − b) y b, m´as el ´area de dos rect´angulos iguales de lados b y
(a − b). Esto es, a2
= (a − b)2
+ b2
+ (a − b)b + b(a − b), de donde
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
. (3.2)
Para encontrar el ´area de la parte sombreada de la siguiente figura,
a
b
a − b
a − b b
(a − b)b
(a−b)b
(a − b)2
b2
observamos que la suma de las ´areas de los rect´angulos que la forman es
a(a − b) + b(a − b) y si factorizamos esta suma tenemos que
a(a − b) + b(a − b) = (a + b)(a − b), (3.3)
pero es equivalente al ´area del cuadrado grande menos el ´area del cuadrado chico, es decir,
(a + b)(a − b) = a2
− b2
. (3.4)
Otro producto notable, pero ahora de tres variables, est´a dado por
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc. (3.5)
La representaci´on geom´etrica de este producto est´a dada por la igualdad entre el ´area del
cuadrado con lados de longitud a + b + c y la suma de las ´areas de los nueve rect´angulos en
que se ha dividido el cuadrado, esto es,
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ ab + ac + ba + bc + ca + cb = a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc.
3.2. Productos notables 37
a b c
c
b
a
ac bc c2
ab b2 cb
a2 ba ca
3.2. Productos notables
Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir,
cuando es el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, 4a2
es cuadrado perfecto porque
es el cuadrado de 2a: (2a)2
= 2a × 2a = 4a2
. Adem´as notemos que 2a es la ra´ız cuadrada de
4a2
.
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por s´ı mismo, es decir,
(a + b)2
= (a + b)(a + b)
= a2
+ ab + ba + b2
= a2
+ 2ab + b2
,
luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad
m´as el doble de la primera cantidad por la segunda m´as el cuadrado de la segunda.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Elevar al cuadrado a−b equivale a multiplicar esta diferencia por s´ı misma como a continua-
ci´on
(a − b)2
= (a − b)(a − b)
= a2
− ab − ba + b2
= a2
− 2ab + b2
,
luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda m´as el cuadrado de la segunda
cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
Sean a y b dos cantidades, tenemos el siguiente producto
(a + b)(a − b) = a2
− ab + ba − b2
= a2
− b2
,
38 Cap´ıtulo 3. Productos notables
luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b).
Tenemos el siguiente producto
(x + a)(x + b) = x2
+ bx + ax + ab
= x2
+ (a + b)x + ab.
De lo anterior tenemos que el producto de dos binomios que tienen un t´ermino en com´un
cumplen las siguientes reglas.
1. El primer t´ermino del producto es el producto de los primeros t´erminos de los binomios.
2. El coeficiente del segundo t´ermino del producto es la suma algebraica de los segundos
t´erminos de los binomios.
3. El tercer t´ermino del producto es el producto de los segundos t´erminos de los binomios.
Cubo de un binomio.
Elevemos a + b al cubo,
(a + b)3
= (a + b)(a + b)(a + b)
= (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2
+ 2ab + b2
)
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
,
luego, el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad m´as el
triple del cuadrado de la primera por la segunda, m´as el triple de la primera por el cuadrado
de la segunda, m´as el cubo de la segunda.
Cubo de la diferencia de dos cantidades.
Elevemos a − b al cubo.
(a − b)3
= (a − b)(a − b)(a − b)
= (a − b)(a − b)2
= (a − b)(a2
− 2ab + b2
)
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
,
luego, el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad
menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, m´as el triple de la primera por el
cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.
3.2. Productos notables 39
3.2.1. Ejercicios resueltos
Desarrolla las siguientes expresiones.
1. (x + 5)2
.
Soluci´on.
(x + 5)2
= x2
+ 2(x)(5) + 52
= x2
+ 10x + 25.
2. x2
− 1
2
x
2
.
Soluci´on.
x2
−
1
2
x
2
= (x2
)2
− 2(x2
)
1
2
x +
1
2
x
2
= x4
− x3
+
1
4
x2
.
3. (2x − 3)3
.
Soluci´on.
(2x − 3)3
= (2x)3
− 3(2x)2
(3) + 3(2x)(3)2
− 33
= 8x3
− 36x2
+ 54x − 27.
4. (2x + 5)3
.
Soluci´on.
(2x + 5)3
= (2x)3
+ 3(2x)2
(5) + 3(2x)(5)2
+ 53
= 8x3
+ 60x2
+ 150x + 125.
3.2.2. Ejercicios
Desarrollar los siguientes productos.
a) (x + 4)2
b) (x10
+ 10y12
)2
c) (ab4
− c)(ab4
+ c) d) (xa+1
− 3xa−2
)2
e) (7a5n
+ b6x
9
)(7a5n
− b6x
9
) f) (xy2
− 9)(xy2
+ 12)
g) (2x − 3)3
h) (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3)
i) (2xn
− 1
3
)(2xn
+ 1
3
) j) (2a − b − c)(2a − b + c).
40 Cap´ıtulo 3. Productos notables
3.3. Cocientes notables
Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser
escritos por simple inspecci´on.
3.3.1. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos n´umeros entre la
suma o resta de los n´umeros
En este primer caso de cocientes notables, se tiene que si se divide la diferencia de cuadrados
de dos cantidades entre la suma de las cantidades se obtiene la diferencia de la cantidades
a2
− b2
a + b
= a − b.
De la misma manera, la diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la dife-
rencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades
a2
− b2
a − b
= a + b.
Ejemplo 3.3.1 Dividir 9x2
− y2
entre 3x + y.
Es claro que
9x2
− y2
3x + y
= 3x − y.
Ejemplo 3.3.2 Dividir (a + b)2
− c2
entre (a + b) + c.
Se tiene que
(a + b)2
− c2
(a + b) + c
= a + b − c.
3.3.2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos n´umeros
entre la suma o resta de los n´umeros
Los dos casos considerados aqu´ı son los siguientes cocientes:
a3
+ b3
a + b
= a2
− ab + b2
,
a3
− b3
a − b
= a2
+ ab + b2
.
3.3. Cocientes notables 41
Ejemplo 3.3.3 Dividir 8x3
+ y3
entre 2x + y.
En este caso tenemos que
8x3
+ y3
2x + y
= (2x)2
− 2x(y) + y2
= 4x2
− 2xy + y2
.
Ejemplo 3.3.4 Dividir 27x6
+ 125y9
entre 3x2
+ 5y3
.
Al dividir obtenemos
27x6
+ 125y9
3x2 + 5y3
= (3x2
)2
− 3x2
(5y3
) + (5y3
)2
= 9x4
− 15x2
y3
+ 25y6
.
3.3.3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos n´ume-
ros entre la suma o resta de los n´umeros
Veamos varios ejemplos de este tipo de cocientes. En el cap´ıtulo 4 se enuncian las reglas de
este tipo de cocientes ya que son un caso especial de factorizaci´on.
Ejemplo 3.3.5 Dividir las expresiones indicadas.
1.
a4
− b4
a − b
.
a4
− b4
a − b
= a3
+ a2
b + ab2
+ b3
.
2.
a4
− b4
a + b
.
a4
− b4
a + b
= a3
− a2
b + ab2
− b3
.
3.
a5
+ b5
a + b
.
a5
+ b5
a + b
= a4
− a3
b + a2
b2
− ab3
+ b4
.
4.
x5
+ 32
x + 2
.
x5
+ 32
x + 2
=
x5
+ 25
x + 2
= x4
− 2x3
+ 22
x2
− 23
x + 24
= x4
− 2x3
+ 4x2
− 8x + 16.
42 Cap´ıtulo 3. Productos notables
3.3.4. Ejercicios resueltos
Encuentra el cociente.
1.
9 − x4
3 − x2
= 3 + x2
.
2.
25 − 36x4
5 − 6x2
= 5 + 6x2
.
3.
(x + y)2
− z2
(x + y) − z
= x + y + z.
4.
8x12
− 729y6
2x4 − 9y2
=
(2x4
)3
− (9y2
)3
2x4 − 9y2
= 4x8
+ 18x2
y2
+ 81y4
.
5.
1 − 64a3
1 − 4a
= 1 + 4a + 16a2
.
3.4. Teorema del binomio
Binomio de Newton. Consideremos el binomio (a + b), multiplicando el binomio por el
mismo dos y tres veces, obtenemos
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
,
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
En estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes:
1. Cada desarrollo tiene un t´ermino m´as que el exponente del binomio.
2. El exponente de a en el primer t´ermino del desarrollo es igual al exponente del binomio,
y en cada t´ermino posterior al primero, disminuye 1.
3. El exponente b en el segundo t´ermino del desarrollo es 1, y en cada t´ermino posterior a
´este, aumenta 1.
4. El coeficiente del primer t´ermino del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo
t´ermino es igual al exponente de a en el primer t´ermino del desarrollo.
5. El coeficiente de cualquier t´ermino se obtiene multiplicando el coeficiente del t´ermino
anterior por el exponente de a en dicho t´ermino anterior y dividiendo este producto por
el exponente de b en ese mismo t´ermino aumentado en 1.
6. El ´ultimo t´ermino del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.
3.4. Teorema del binomio 43
Los resultados anteriores constituyen la ley del binomio, que se cumple para cualquier expo-
nente entero positivo. Esta ley se representa por la siguiente formula:
(a + b)n
= an
+ nan−1
b +
n(n − 1)
1 · 2
an−2
b2
+
n(n − 1)(n − 2)
1 · 2 · 3
an−3
b3
+ · · ·
+
n(n − 1)(n − 2)(n − (k − 1))
1 · 2 · 3 · · ·· · · · k
an−k
bk
+ · · · + nabn−1
+ bn
.
Esta f´ormula descubierta por Newton nos permite elevar un binomio a una potencia cualquie-
ra, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores.
3.4.1. Tri´angulo de Pascal
Los coeficientes de los t´erminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da
enseguida el siguiente tri´angulo, llamado tri´angulo de Pascal.
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
El modo de formar este tri´angulo es el siguiente:
En la primera fila horizontal se pone el 1. En la segunda fila se pone 1 y 1. Desde la tercera en
adelante se empieza por 1 y cada n´umero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior
el 1er n´umero con el 2do, el 2do con el 3ero, el 3ero con el 4to, etc., y se termina por 1.
Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia n-´esima de un binomio son los n´umeros
que se hallan en la n-´esima fila horizontal del tri´angulo de Pascal.
As´ı los coeficientes del desarrollo de (x + y)4
son los n´umeros que est´an en la cuarta fila
horizontal, es decir, 1, 4, 6, 4, 1.
3.4.2. Ejercicios resueltos
Desarrolla las siguientes expresiones.
1. (a + b)3
.
Soluci´on.
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
2. (a + b)5
.
Soluci´on.
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
.
44 Cap´ıtulo 3. Productos notables
Nota que la suma de los exponentes siempre da como resultados 3, en el primer ejercicio y 5
en el segundo ejercicio.
3. Desarrollar por el teorema del binomio (a + 2b)4
.
Soluci´on.
(a + 2b)4
= 1(a4
) + 4(a3
)(2b) + 6(a2
)(4b2
) + 4(a)(8b3
) + 1(16b4
)
= a4
+ 8a3
b + 24a2
b2
+ 32ab3
+ 16b4
.
3.4.3. Ejercicios
Desarrolla las siguientes expresiones.
a) (x + 1)2
b) (x + y + z)3
c) (z + y)4
d) (a + b + c)5
e) (s − t)7
f) (x2a
+ y3b
)6
g) (2xt
− 3)4
h) (3z − y + 2x)5
i) (x2
− x + 1)2
j) (a + b + c + d)2
.
Cap´ıtulo 4
Factorizaci´on
4.1. Divisi´on de polinomios
Empezamos esta secci´on con las reglas que se siguen para dividir dos polinomios.
1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relaci´on a una misma letra.
2. Se divide el primer t´ermino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el
primer t´ermino del cociente.
3. Este primer t´ermino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada t´ermino debajo
de su semejante. Si alg´un t´ermino de este producto no tiene t´ermino semejante en el
dividendo se escriben en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenaci´on del
dividendo y el divisor.
4. Se divide el primer t´ermnino del resto entre el primer t´ermino del divisor y tendremos
el segundo t´ermino del cociente.
5. Este segundo t´ermino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, cambiando los signos.
6. Se divide el primer t´ermino del segundo resto entre el primero del divisor y se efect´uan
las operaciones anteriores; y as´ı sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Ejemplo 4.1.1 Dividir 3x2
+ 2x − 8 entre x + 2.
+3x2
+2x −8 x +2
−3x2
−6x 3x −4
−4x −8
+4x +8.
45
46 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
Explicaci´on. El dividendo y el divisor est´an ordenados de manera descendente con relaci´on
a x. Dividimos el primer t´ermino del dividendo 3x2
entre el primero del divisor x y tenemos
3x2
÷ x = 3x. ´Este es el primer t´ermino cociente.
Multiplicamos 3x por cada uno de los t´erminos del divisor y como estos productos hay que
restarlos del dividendo, tendremos 3x × x = 3x2
, para restar −3x2
; 3x × 2 = 6x, para restar
−6x.
Estos productos con sus signos cambiados los escribimos debajo de los t´erminos semejantes
con ellos del dividendo y hacemos la reducci´on; nos da −4x y bajamos el −8. Dividimos
−4x entre x: −4x ÷ x = −4 y ´este es el segundo t´ermino del cociente. El −4 hay que
multiplicarlo por cada uno de los t´erminos del divisor y restar los productos del dividendo y
tendremos (−4) × x = −4x, para restar +4x; (−4) × 2 = −8, para restar 8.
Escribimos estos t´erminos debajo de sus semejantes y haciendo la reducci´on nos da cero de
residuo. Luego, tenemos que 3x2
+ 2x − 8 = (x + 2)(3x − 4).
4.1.1. Ejercicios resueltos
1. Dividir
12x3
− 6x2
+ 18x
6x
y simplificar.
Soluci´on.
12x3
− 6x2
+ 18x
6x
=
12x3
6x
+
−6x2
6x
+
18x
6x
= 2x2
− x + 3.
2. Dividir
(3x + a)2
− a(3x + a)
(3x + a)
y simplificar.
Soluci´on.
(3x + a)2
− a(3x + a)
(3x + a)
=
(3x + a)2
3x + a
−
a(3x + a)
3x + a
= (3x + a) − a = 3x.
3. Realiza las operaciones y simplifica.
12a4
+ 4a3
− 32a2
4a2
− (3a − 8)(a + 1).
Soluci´on.
12a4
+ 4a3
− 32a2
4a2
− (3a − 8)(a + 1) = (3a2
+ a − 8) − (3a2
+ 3a − 8a − 8)
= (3a2
+ a − 8) − (3a2
− 5a − 8)
= 3a2
+ a − 8 − 3a2
+ 5a + 8
= 6a.
4.2. Factorizaci´on de polinomios. 47
4.1.2. Ejercicios
Realiza las operaciones y simplifica.
a)
x3
− 12x2
− 42
x − 3
b)
y2
− 14y + 49
y − 7
c)
−x4
+ 1
−x + 1
d)
x4
+ x3
− 9x2
+ x + 5
x2 + 3x − 2
e)
am4
− am − 2a
am + a
f)
x4
+ x3
− 9x2
+ x + 5
x2 + 3x − 2
g) x6
+ 5x4
+ 3x2
− 2x entre x2
− x + 3 h)
1
6
a2
+
5
36
ab −
1
6b2
entre
1
3
a +
1
2
b
i)
x4
− 3x2
+ 2
x − 3
j)
1
3
x2
+
7
10
xy −
1
3
y2
entre x −
2
5
y.
4.2. Factorizaci´on de polinomios.
Se llaman factores o divisores de una expresi´on algebraica a las expresiones algebraicas que
multiplicadas entre s´ı dan como producto la primera expresi´on. Por ejemplo, multiplicando a
por a + b tenemos que
a(a + b) = a2
+ ab,
es decir, a y a + b, que multiplicados entre s´ı dan como producto a2
+ ab, son factores o
divisores de a2
+ab. Del mismo modo, de la expresi´on (x+2)(x+3) = x2
+5x+6, tenemos
que x + 2 y x + 3 son factores de x2
+ 5x + 6.
Descomponer en factores o factorizar una expresi´on algebraica es convertirla en el producto
indicado de sus factores.
Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspecci´on. As´ı, los factores de 15ab
son 3, 5, a y b. Por lo tanto, se puede escribir 15ab = 3 × 5 × a × b.
Factorizar un polinomio. As´ı como en aritm´etica hay n´umeros primos que s´olo son divisi-
bles entre ellos mismos y entre 1, hay expresiones algebraicas que s´olo son divisibles entre
ellas mismas y entre 1 y por lo tanto no son el producto de otras expresiones algebraicas. Lo
mismo pasa con los polinomios, no cualquier polinomio se puede descomponer en dos o m´as
factores distintos de 1. Por ejemplo, a + b no puede descomponerse en dos factores distintos
de 1 porque s´olo es divisible entre a + b y entre 1.
48 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on
En esta secci´on, vamos a estudiar la manera de descomponer o factorizar polinomios en dos
o m´as factores distintos de 1. En cualesquiera de los 10 casos diferentes de factorizaci´on que
estudiaremos, la prueba consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto
tiene que ser igual a la expresi´on que se factoriz´o.
Caso 1. Cuando todos los t´erminos de un polinomio tienen un factor com´un.
a) Factor com´un monomio.
Veamos los siguientes ejemplos, cuando todos los t´erminos del un polinomio tienen un factor
com´un, el cual es un monomio.
Ejemplo 4.3.1 1. Descomponer en factores a2
+ 2a.
Los t´erminos a2
y 2a contienen en com´un a la variable a. Escribimos el factor com´un a
como coeficiente y dentro de un par´entesis escribimos los cocientes de dividir a2
/a = a
y 2a/a = 2, para obtener a2
+ 2a = a(a + 2).
2. Descomponer 10b − 30ab2
.
Primeros veamos los factores comunes de los n´umeros 10 y 30. Como 30 = 3·10 vemos
que 10 es el factor com´un de los dos n´umeros. De las letras, el ´unico factor com´un es
b porque se encuentra en los dos t´erminos de la expresi´on dada y la tomamos con su
menor exponente. De esta forma, el factor com´un es 10b, por lo que 10b − 30ab2
=
10b(1 − 3ab).
3. Descomponer 10a2
− 5a + 15a3
.
En este caso el factor com´un es 5a por lo que
10a2
− 5a + 15a3
= 5a(2a − 1 + 3a2
).
4. Factorizar 18mxy2
− 54m2
x2
y2
+ 36my2
.
El factor com´un es 18my2
, por lo que
18mxy2
− 54m2
x2
y2
+ 36my2
= 18my2
(x − 3mx2
+ 2).
5. Factorizar 6xy3
− 9nx2
y3
+ 12nx3
y3
− 3n2
x4
y3
.
El factor com´un es 3xy3
, luego
6xy3
− 9nx2
y3
+ 12nx3
y3
− 3n2
x4
y3
= 3xy3
(2 − 3nx + 4nx2
− n2
x3
).
b) Factor com´un polinomio.
Ahora, veamos algunos ejemplos cuando un polinomio es un factor com´un.
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on 49
Ejemplo 4.3.2 1. Descomponer x(a + b) + m(a + b).
Los dos t´erminos de esta expresi´on tienen de factor com´un el binomio (a + b). Escribi-
mos el factor com´un (a + b) como coeficiente y dentro de un par´entesis escribimos los
cocientes de dividir x(a + b)/(a + b) = x y m(a + b)/(a + b) = m, para obtener
x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m).
2. Factorizar 2x(z − 3) − y(z − 3).
El factor com´un es (z − 3). Entonces
2x(z − 3) − y(z − 3) = (z − 3)(2x − y).
3. Factorizar x(a − 1) + y(a − 1) − a + 1.
El factor com´un es (a − 1). Entonces
x(a − 1) + y(a − 1) − a + 1 = x(a − 1) + y(a − 1) − (a − 1)
= (x + y − 1)(a − 1).
Caso 2. Factor com´un por agrupaci´on de t´erminos.
Para ilustrar este caso de factorizaci´on veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.3.3 Factorizar ax + bx + ay + by.
Los dos primeros t´erminos tienen el factor com´un x y los dos ´ultimos el factor com´un y.
Agrupamos los dos primeros t´erminos en un par´entesis y los dos ´ultimos en otro par´entesis
precedido del signo + porque el tercer t´ermino tiene el signo +, y obtendremos
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y).
Veamos otro ejemplo de este caso.
Ejemplo 4.3.4 Factorizar ax − ay + az + x − y + z.
Es claro que podemos factorizar la a para obtener
ax − ay + az + x − y + z = (ax − ay + az) + (x − y + z)
= a(x − y + z) + x − y + z
= (x − y + z)(a + 1).
Caso 3. Trinomio cuadrado perfecto.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio es cuadrado per-
fecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Por
ejemplo, a2
+ 2ab + b2
es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de a + b, es decir,
(a + b)2
= (a + b)(a + b) = a2
+ 2ab + b2
.
50 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
Del mismo modo, (2x + 3y)2
= 4x2
+ 12xy + 9y2
es un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado en relaci´on con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y ter-
cer t´erminos son cuadrados perfectos (o tienen ra´ız cuadrada exacta) y positivos, y el segundo
t´ermino es el doble producto de sus ra´ıces cuadradas.
Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 4.3.5 1. Factorizar 4x2
+ 25y2
− 20xy.
Observemos que la expresi´on dada es un trinomio cuadrado perfecto ya que 4x2
+
25y2
−20xy = 4x2
−20xy+25y2
. Luego se puede factorizar como 4x2
+25y2
−20xy =
(2x − 5y)2
.
2. Descomponer en factores la expresion 1 − 16ax2
+ 64a2
x4
.
Es f´acil ver que 1 − 16ax2
+ 64a2
x4
= (1 − 8ax2
)2
.
3. Expresar como producto de dos factores, la expresi´on a2
+ 2a(a − b) + (a − b)2
.
Observemos que la expresion es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que a2
+2a(a−
b) + (a − b)2
= (a + (a − b))2
= (2a − b)2
.
Caso 4. Diferencia de cuadrados perfectos.
En los productos notables se vi´o que la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia
es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a + b)(a − b) =
a2
− b2
; luego, reciprocamente
a2
− b2
= (a + b)(a − b).
Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la ra´ız cuadrada al minuendo y al
sustraendo y se multiplica la suma de estas ra´ıces cuadradas por la diferencia entre la ra´ız del
minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 4.3.6 . Factorice las siguientes expresiones.
1. 1 − a2
.
Observe que 1 − a2
= (1 + a)(1 − a).
2. 16x2
− 25y4
.
Note que 16x2
− 25y4
= (4x + 5y2
)(4x − 5y2
).
3.
a2
4
−
b4
9
.
a2
4
−
b4
9
=
a
2
+
b2
3
a
2
−
b2
3
.
4. (a + b)2
− c2
.
(a + b)2
− c2
= ((a + b) + c)((a + b) − c) = (a + b + c)(a + b − c).
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on 51
Casos especiales. Combinaci´on de los casos 3 y 4.
Veamos ahora descomposici´on de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo
conveniente de sus t´erminos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descom-
poniendo estos trinomios se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplo 4.3.7 .
1. Factorizar a2
+ 2ab + b2
− 1.
a2
+ 2ab + b2
− 1 = (a2
+ 2ab + b2
) − 1
= (a + b)2
− 1
= (a + b + 1)(a + b − 1).
2. Descomponer 9a2
− x2
+ 2x − 1.
9a2
− x2
+ 2x − 1 = 9a2
− (x2
− 2x + 1)
= 9a2
− (x − 1)2
= (3a + (x − 1))(3a − (x − 1))
= (3a + x − 1)(3a − x + 1).
Caso 5. Trinomio cuadrado perfecto por suma y resta.
Consideremos el trinomio x4
+ x2
y2
+ y4
y analicemos si es un trinomio cuadrado perfecto.
La ra´ız cuadrada de x4
es x2
; la ra´ız cuadrada de y4
es y2
y el doble producto de estas ra´ıces
es 2x2
y2
, luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto, y podamos factorizarlo, hay que lograr que el t´ermino x2
y2
se convierta en 2x2
y2
, lo cual se logra si sumamos x2
y2
, pero para que el trinomio no cambie
hay que restar la misma cantidad que se suma, es decir
x4
+ x2
y2
+ y4
= x4
+ x2
y2
+ y4
+ x2
y2
− x2
y2
= x4
+ 2x2
y2
+ y4
− x2
y2
= (x2
+ y2
)2
− x2
y2
= (x2
+ y2
+ xy)(x2
+ y2
− xy).
Ejemplo 4.3.8 .
1. Descomponer 4a4
+ 8a2
b2
+ 9b4
.
4a4
+ 8a2
b2
+ 9b4
= 4a4
+ 8a2
b2
+ 9b4
+ 4a2
b2
− 4a2
b2
= 4a4
+ 12a2
b2
+ 9b4
− 4a2
b2
= (2a2
+ 3b2
)2
− 4a2
b2
= (2a2
+ 3b2
+ 2ab)(2a2
+ 3b2
− 2ab).
52 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
2. Factorizar 49m4
− 151m2
n4
+ 81n8
.
49m4
− 151m2
n4
+ 81n8
= 49m4
− 126m2
n4
+ 81n8
− 25m2
n4
= (7m2
− 9n4
)2
− 25m2
n4
= (7m2
− 9n4
+ 5mn2
)(7m2
− 9n4
− 5mn2
).
Caso especial. Factorizar una suma de dos cuadrados.
En general una suma de cuadrados no tiene descomposici´on en factores racionales, es decir,
factores en que no haya ra´ız. Sin embargo, hay sumas de cuadrados que, al sumar y restar una
misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse.
Ejemplo 4.3.9 .
1. Descomponer a4
+ 4b4
.
a4
+ 4b4
= a4
+ 4b4
+ 4a2
b2
− 4a2
b2
= a4
+ 4a2
b2
+ 4b4
− 4a2
b2
= (a2
+ 2b2
)2
− 4a2
b2
= (a2
+ 2b2
+ 2ab)(a2
+ 2b2
− 2ab).
Caso 6. Trinomio de la forma x2
+ bx + c.
La regla pr´actica para factorizar un trinomio de la forma x2
+bx+c es la siguiente. El trinomio
se descompone en dos factores binomios cuyo primer t´ermino es x, es decir, la ra´ız cuadrad
del primer t´ermino del trinomio.
En el primer factor, despu´es de x, se escribe el signo del segundo termino del trinomio, y en
el segundo factor, despu´es de x se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del
segundo y tercer t´erminos del trinomio.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos n´umeros cuya
suma sea el valor absoluto del segundo t´ermino del trinomio y cuyo producto sea el valor del
tercer t´ermino del trinomio. Estos n´umeros son los segundos t´erminos de los binomios.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos n´umeros
cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo t´ermino del trinomio y cuyo producto sea
el valor absoluto del tercer t´ermino del trinomio. Estos n´umeros son los segundos t´erminos
de los binomios.
Ejemplo 4.3.10 .
1. Factorizar x2
+ 5x + 6.
x2
+ 5x + 6 = (x )(x )
= (x + )(x + )
= (x + 3)(x + 2).
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on 53
2. Factorizar x2
+ 2x − 15.
x2
+ 2x − 15 = (x )(x )
= (x + )(x − )
= (x + 5)(x − 3).
3. Factorizar n2
+ 28n − 29.
n2
+ 28n − 29 = (n )(n )
= (n + )(n − )
= (n + 29)(n − 1).
4. Factorizar x4
+ 5x2
− 50.
x4
+ 5x2
− 50 = (x2
)(x2
)
= (x2
+ )(x2
− )
= (x2
+ 10)(x2
− 5).
Caso 7. Trinomio de la forma ax2
+ bx + c.
Los trinomios de esta forma se diferencian de los trinomios del caso anterior en que el rimer
t´ermino tiene un coeficiente distinto de 1.
Ejemplo 4.3.11 .
1. Factorizar 6x2
− 7x − 3.
6x2
− 7x − 3 =
6(6x2
− 7x − 3)
6
=
1
6
(36x2
− 7(6x) − 18)
=
1
6
(6x )(6x ) =
1
6
(6x − )(6x + )
=
1
6
(6x − 9)(6x + 2) =
1
2 · 3
(6x − 9)(6x + 2)
=
6x − 9
3
·
6x + 2
2
= (2x − 3)(3x + 1).
2. Factorizar 20x2
+ 7x − 6.
54 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
20x2
+ 7x − 6 =
20(6x2
+ 7x − 6)
20
=
1
20
(202
x2
+ 7(20x) − 120)
=
1
20
(20x )(20x ) =
1
20
(20x + )(20x − )
=
1
20
(20x + 15)(20x − 8) =
1
5 · 4
(20x + 15)(20x − 8)
=
20x + 15
5
·
20x − 8
4
= (4x + 3)(5x − 2).
Caso 8. Cubo perfecto de binomios.
En el cap´ıtulo 3 de productos notables se estudiar´on los productos
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
,
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
,
que son expresiones llamadas binomios al cubo o cubo perfecto de binomios. En general, una
expresi´on es el cubo de un binomio si tiene 4 t´erminos, donde el primer t´ermino y el ´ultimo
son cubos perfectos. Adem´as, el segundo t´ermino es mas o menos el triple del cuadrado de la
ra´ız c´ubica del primer t´ermino multiplicado por la r´aiz c´ubica del ´ultimo t´ermino; y el tercer
trmino es el triple de la ra´ız c´ubica del primer t´ermino por el cuadrado de la ra´ız c´ubica del
´ultimo.
Ejemplo 4.3.12 .
1. Factorizar 1 + 12a + 48a2
+ 64a3
.
1 + 12a + 48a2
+ 64a3
= 13
+ 3(1)2
· 4a + 3(1)(4a)2
+ (4a)3
= (1 + 4a)3
.
2. Factorizar a9
− 18a6
b5
+ 108a3
b1
0 − 216b15
.
a9
− 18a6
b5
+ 108a3
b1
0 − 216b15
= (a3
)3
− 3(a3
)2
· 9b5
+ 3(a3
)(9b5
)2
− (9b5
)3
= (a3
− 9b5
)3
.
Caso 9. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Sabemos que
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
) (4.1)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
). (4.2)
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on 55
La f´ormula (4.1) nos dice que la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
la suma de sus ra´ıces c´ubicas y el otro factor es el cuadrado de la primera ra´ız, menos el
producto de las dos ra´ıces, m´as el cuadrado de la segunda ra´ız.
La f´ormula (4.2) nos dice que la diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores: la suma de sus ra´ıces c´ubicas y el otro factor es el cuadrado de la primera ra´ız, m´as
el producto de las dos ra´ıces, m´as el cuadrado de la segunda ra´ız.
Ejemplo 4.3.13 .
1. Factorizar x3
+ 1.
x3
+ 1 = (x + 1)(x2
− x(1) + 12
) = (x + 1)(x2
− x + 1).
2. Factorizar a3
− 8.
a3
− 8 = (a − 2)(a2
+ 2(a) + 22
) = (a − 2)(a2
+ 2a + 4).
3. Factorizar 27a3
+ b6
.
27a3
+ b6
= (3a + b2
)((3a)2
− 3a(b2
) + (b2
)2
) = (3a + b2
)(9a2
− 3ab2
+ b4
).
4. Factorizar 8x3
− 125.
8x3
− 125 = (2x − 5)(4x2
+ 10x + 25).
Caso 10. Suma o diferencia de dos potencias iguales.
Por medio de la divisi´on de polinomios se puede mostrar lo siguiente.
Propiedades 4.3.14 (a) an
− bn
es divisible entre a − b cuando n es par o impar.
(b) an
+ bn
es divisible entre a + b si n es impar.
(c) an
− bn
es divisible entre a + b si n par.
(d) an
+ bn
nunca es divisible entre a + b ni entre a − b cuando n es un n´umero par.
Ejemplo 4.3.15 .
1. Factorizar m5
+ n5
.
m5
+ n5
= (m + n)(m4
− m3
n + m2
n2
− mn3
+ n4
).
56 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
2. Factorizar x5
+ 32.
x5
+ 32 = x5
+ 25
= (x + 2)(x4
− x3
(2) + x2
(22
) − x(23
) + 24
)
= (x + 2)(x4
− 2x3
+ 4x2
− 8x + 16).
3. Factorizar x7
− 1.
x7
− 1 = (x − 1)(x6
+ x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1).
4.3.1. Ejercicios resueltos
1. Factorice el polinomio 2x3
y − 8x2
y2
− 6xy3
.
Soluci´on.
2x3
y − 8x2
y2
− 6xy3
= (2xy)x2
− (2xy)4xy − (2xy)3y2
= 2xy(x2
− 4xy − 3y2
).
2. Factorice completamente el siguiente polinomio
4(2x + 7)(x − 3)2
+ 2(2x + 7)2
(x − 3).
Soluci´on.
4(2x + 7)(x − 3)2
+ 2(2x + 7)2
(x − 3) = 2(2x + 7)(x − 3)[2(x − 3) + (2x + 7)]
= 2(2x + 7)(x − 3)(2x − 6 + 2x + 7)
= 2(2x + 7)(x − 3)(4x + 1).
3. Factorice completamente 3x2
− 6x + 4x − 8.
Soluci´on.
3x2
− 6x + 4x − 8 = (3x2
− 6x) + (4x − 8)
= 3x(x − 2) + 4(x − 2)
= (3x + 4)(x − 2).
4. Factorice completamente 4(2x + 5)(3x + 1)2
+ 6(2x + 5)2
(3x + 1).
Soluci´on.
4(2x + 5)(3x + 1)2
+ 6(2x + 5)2
(3x + 1) = 2(2x + 5)(3x + 1)[2(3x + 1) + 3(2x + 5)]
= 2(2x + 5)(3x + 1)(6x + 2 + 6x + 15)
= 2(2x + 5)(3x + 1)(12x + 17).
4.3. Distintos tipos de factorizaci´on 57
5. Factorizar 1
4
− b
3
+ b2
9
.
Soluci´on. La expresi´on es un trinomio cuadrado perfecto, luego
1
4
−
b
3
+
b2
9
=
1
2
−
b
3
2
.
6. Factorizar (a + x)2
− (x + 2)2
.
Soluci´on. La expresi´on es un diferencia de cuadrados, luego
(a + x)2
− (x + 2)2
= [(a + x) + (x + 2)][(a + x) − (x + 2)]
= (a + x + x + 2)(a + x − x − 2)
= (a + 2x + 2)(a − 2).
7. Factorizar a4
+ a2
+ 1.
Soluci´on. Tenemos que convertir la expresi´on en un trinomio cuadrado perfecto, es decir,
a4
+ a2
+ 1 = a4
+ a2
+ 1 + a2
− a2
= (a4
+ 2a2
+ 1) − a2
= (a2
+ 1)2
− a2
= (a2
+ 1 + a)(a2
+ 1 − a).
8. Factorizar 30 + y2
− y4
.
Soluci´on.
30 + y2
− y4
= −(y4
− y2
− 30)
= −(y2
)(y2
)
= −(y2
− )(y2
+ )
= −(y2
− 6)(y2
+ 5)
= (6 − y2
)(y2
+ 5).
9. Factorizar 8 − (x − y)3
.
Soluci´on.
8 − (x − y)3
= (2 − (x − y))(22
+ 2(x − y) + (x − y)2
)
= (2 − x + y)((4 + 2x − 2y + x2
− 2xy + y2
).
10. Factorizar x3
− 4x − x2
+ 4.
58 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
Soluci´on.
x3
− 4x − x2
+ 4 = (x3
− 4x) − (x2
− 4)
= x(x2
− 4) − (x2
− 4)
= (x − 1)(x2
− 4)
= (x − 1)(x − 2)(x + 2).
4.3.2. Ejercicios
Factoriza las siguientes expresiones.
a) 10b + 30ab b) 24a2
xy2
− 36x2
y4
c) 12a2
b3
− 30a3
b2
+ 18ab4
− 42a4
b d) x(2a + b + c) − 2a − b − c
e) 3x2
− 6x − 4y − 2xy f) a(x − 1) − (a + 2)(x − 1)
g) 2av2
+ 3u3
+ 2auv − 3av2
− 2au2
− 3vu2
h) 2x2
y + 2xz2
+ y2
z2
+ xy3
i) 5x3
− 5x2y + 3x2
− 3xy + 7x − 7y
j) a2
b3
− n4
+ a2
b3
x2
− n4
x2
− 3a2
b3
x + 3n4
x
k) x2
− 4 l) x3
− y3
m) z4
− y4
n) a5
+ c5
o) s3
+ t3
p) 729x6
− 64b6
q) 16x4
− 34
r) 55
+ 243
32
x5
s) x2
+ y2
t) a10
− b10
.
4.4. Fracciones complejas
Una fracci´on compleja es una fracci´on en la cual el numerador o el denominador, o ambos,
son fracciones algebraicas o expresiones mixtas, como
a
x
−
x
a
1 +
a
x
.
4.4. Fracciones complejas 59
Una fracci´on compleja no es m´as que una divisi´on indicada; la raya de la fracci´on equivale
al signo de dividir y ella indica que hay que dividir lo que est´a encima de la raya por lo que
est´a debajo de ella.
As´ı, la fracci´on
a
x
−
x
a
1 +
a
x
equivale a
a
x
−
x
a
÷ 1 +
a
x
.
Simplificaci´on de fracciones complejas
1. Se efect´uan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracci´on
compleja.
2. Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga
en el denominador.
4.4.1. Ejercicios resueltos
1. Simplificar
4
9
− 3
8
7
12
− 11
18
.
Soluci´on.
4
9
− 3
8
7
12
− 11
18
=
18(4
9
− 3
8
)
18( 7
12
− 11
18
)
=
8 − 27
4
21
2
− 11
=
4(8 − 27
4
)
4(21
2
− 11)
=
32 − 27
42 − 44
=
5
−2
= −
5
2
.
Nota que en esta manera de simplificar solo elegimos el denominador m´as grande para mul-
tiplicar y dividir, lo cual no garantiza que desaparezcan todos los denominadores, y as´ı el
proceso de debe repetir. Solucionaremos el problema de una manera alternativa donde no
sera necesario multiplicar m´as de una vez.
Segunda soluci´on. El m´ınimo com´un m´ultiplo de los denominadores es 72
4
9
− 3
8
7
12
− 11
18
=
72(4
9
− 3
8
)
72( 7
12
− 11
18
)
=
32 − 27
42 − 44
=
5
−2
= −
5
2
.
Los siguientes ejercicios los resolveremos de esta forma, utilizando el m´ınimo com´un m´ulti-
plo (m.c.m.).
2. Simplificar
x − 2
x + 2 − 4
x−1
.
60 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
Soluci´on. El m.c.m. de los denominadores es (x − 1), luego
x − 2
x + 2 − 4
x−1
=
(x − 1)(x − 2)
x−1
1
(x+2
1
− 4
x−1
)
=
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x + 2) − 4
=
(x − 1)(x − 2)
x2 + x − 2 − 4
=
(x − 1)(x − 2)
x2 + x − 6
=
(x − 1)(x − 2)
(x + 3)(x − 2)
=
x − 1
x + 3
.
3. Simplificar
x + 3 + 6
x−4
x + 5 + 18
x−4
.
Soluci´on. El m.c.m. de los denominadores es x − 4, luego
x + 3 +
6
x − 4
x + 5 +
18
x − 4
=
(x − 4) x + 3 +
6
x − 4
(x − 4) x + 5 +
18
x − 4
=
(x − 4)(x + 3) + 6
(x − 4)(x + 5) + 18
=
x2
− x − 12 + 6
x2 + x − 20 + 18
=
x2
− x − 6
x2 + x − 2
=
(x − 3)(x + 2)
(x + 2)(x − 1)
=
x − 3
x − 1
.
4.4.2. Ejercicios
Simplifica las expresiones siguientes.
a)
1 +
x + 1
x − 1
1
x − 1
−
1
x + 1
b)
b2
c
−
b2
− c2
b + c
b − c
c
+
c
b
c)
1 −
7
a
+
12
a2
a −
16
a
d)
x2
y
−
y2
x
1
x
+
1
y
+
y
x2
e)
1
a + b + c
−
1
a − b + c
1
a − b + c
−
1
a + b + c
f)
x + 2
x2 − 5x + 6
x2
+ 4x + 4
x2 − 4
4.4. Fracciones complejas 61
g)
x3
+ 3x2
− 4x − 12
x2 + 2x − 3
4x − 2x2
x3 − 2x2 + x
h)
1
a + 2 −
a + 1
a −
1
a
i)
1
a −
a
a −
a2
a + 1
j)
x − 1
x + 2 −
x2
+ 2
x −
x − 2
x + 1
.
62 Cap´ıtulo 4. Factorizaci´on
Cap´ıtulo 5
Ecuaciones de primer grado
Una ecuaci´on es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas
inc´ognitas y que s´olo se verifica o es verdadera para determinados valores de las inc´ognitas.
Las inc´ognitas se representan por las ´ultimas letras del alfabeto u, v, w, x, y, z. As´ı, 5x+2 =
17 es una ecuaci´on, por que es una igualdad en la que hay una inc´ognita, la x, y esta igualdad
s´olo se verifica, es decir, s´olo es verdadera para el valor x = 3. En efecto, si sustituimos la x
por 3, tenemos que 5(3) + 2 = 17, es decir, 17 = 17. Si damos a x un valor distinto de 3 la
igualdad no se verifica o no es verdadera.
Se llama primer miembro de una ecuaci´on a la expresi´on que est´a a la izquierda del signo
de igualdad, y segundo miembro, a la expresi´on que est´a a la derecha.
5.1. Clases de ecuaciones
Una ecuaci´on num´erica es una ecuaci´on que no tiene m´as letras que las inc´ognitas, como
4x − 5 = x + 4,
donde la unica letra es la inc´ognita x.
Una ecuaci´on literal es una ecuaci´on que adem´as de las inc´ognitas tiene otras letras, que
representan cantidades conocidas, como
3x + 2a = 5b − 5bx.
Una ecuaci´on es entera cuando ninguno de sus t´erminos tiene denominador como en los
ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus t´erminos tienen denomi-
nador, como
3x
2
+
6x
5
= 5 +
x
5
.
63
64 Cap´ıtulo 5. Ecuaciones de primer grado
El grado de una ecuaci´on con una sola inc´ognita es el mayor exponente que tiene la inc´ognita
en la ecuaci´on. As´ı, 4x − 6 = 3x − 1 es una ecuaci´on de primer grado porque el mayor
exponente de x es 1.
5.2. Concepto de solucion de una ecuaci´on
Las ra´ıces o soluciones de una ecuaci´on son los valores de las inc´ognitas que verifican o sa-
tisfacen la ecuaci´on, es decir que sustituidos en lugar de las inc´ognitas, convierten la ecuaci´on
en identidad. As´ı, en la ecuaci´on
5x − 6 = 3x + 8,
la ra´ız es 7 porque haciendo x = 7 se tiene 5(7) − 6 = 3(7) + 8, es decir, 29 = 29, donde
vemos que 7 satisface la ecuaci´on.
Las ecuaciones de primer grado con una inc´ognita tienen una sola ra´ız. Resolver una
ecuaci´on es hallar sus ra´ıces, o sea el valor o los valores de las inc´ognitas que satisfacen la
ecuaci´on.
Axioma fundamental de las ecuaciones
Si a cantidades iguales se aplican operaciones iguales, los resultados ser´an iguales.
Reglas que se derivan de este axioma.
1. Si a los dos miembros de una ecuaci´on se suma una misma cantidad, positiva o negativa,
la igualdad subsiste.
2. Si a los dos miembros de una ecuaci´on se resta una misma cantidad, positiva o negativa,
la igualdad subsiste.
3. Si los dos miembros de una ecuaci´on se multiplican por una misma cantidad, positiva
o negativa, la igualdad subsiste.
4. Si los dos miembros de una ecuaci´on se dividen por una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
5. Si los dos miembros de una ecuaci´on se elevan a una misma potencia o si a los dos
miembros se extrae una misma ra´ız, la igualdad subsiste.
La trasposici´on de t´erminos consiste en cambiar los t´erminos de una ecuaci´on de un miem-
bro al otro. Cualquier miembro de una ecuaci´on se puede pasar de un miembro a otro cam-
bi´andole el signo.
Por ejemplo, consideremos la ecuaci´on 3x + b = 2a. Restando b a los dos miembros de esta
ecuaci´on, la igualdad subsiste, y se tiene que 3x + b − b = 2a − b, y como b − b = 0, queda
3x = 2a − b.
5.2. Concepto de solucion de una ecuaci´on 65
Resoluci´on de ecuaciones enteras de primer grado con una incognita.
Se tiene la siguiente regla general.
1. Se efect´uan las operaciones indicadas, si las hay.
2. Se hace la trasposici´on de t´erminos, reuniendo en un miembro todos los t´erminos que
contengan la inc´ognita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3. Se reducen t´erminos semajantes en cada miembro.
4. Se despeja la inc´ognita dividiendo ambos miembros de la ecuaci´on por el coeficiente
de la inc´ognita.
Por ejemplo, resolvamos la ecuaci´on 3x − 5 = x + 3. Pasando x al primer miembro y −5
al segundo, cambiandoles los signos, tenemos 3x − x = 3 + 5. Reduciendo los t´erminos
semejantes, tenemos 2x = 8. Dividiendo los dos miembros de la ecuaci´on entre 2, tenemos
2x
2
=
8
2
.
Por ´ultimo simplificamos y obtenemos x = 4.
5.2.1. Ejercicios
Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones.
a) 11x + 5x − 1 = 65x − 36.
b) 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172.
c) (5 − 3x) − (−4x + 6) = (8x + 11) − (3x − 6).
d) 15x + (−6x + 5) − 2 − (−x + 3) = −(7x + 23) − x + (3 − 2x).
e) 14x − (3x − 2) − [5x + 2 − (x − 1)] = 0.
f) 3x
4
− 1
5
+ 2x = 5
4
− 3x
20
.
g) 14 − 12x + 39x − 18 = 256 − 60x − 657x.
h) 10x − 8x−3
4
= 2(x − 3).
i) 71 + [−5x + (−2x + 3)] = 25 − [−(3x + 4) − (4x + 3)].
j) 3x−1
2
− 5x+4
3
− x+2
8
= 2x−3
5
− 1
10
.
66 Cap´ıtulo 5. Ecuaciones de primer grado
5.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas
5.3.1. Ejercicios resueltos
1. El triple de un n´umero excede en 48 al tercio del mismo n´umero. Hallar tal n´umero.
Soluci´on. Sea x el n´umero buscado, entonces el enunciado nos dice que
3x =
x
3
+ 48
Tenemos entonces que 9x = x+144, de donde 8x = 9x−x = 144. Por lo tanto x = 144
8
= 18.
2. Hallar dos n´umeros consecutivos tales que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los
3
4
del menor y los 2
5
del mayor.
Soluci´on. Sea x el n´umero menor y sea x + 1 el n´umero mayor, entonces el enunciado dice
que
x =
3x
4
−
2(x + 1)
5
+ 81.
Resolviendo
20x = 15x − 8(x + 1) + 1620
= 15x − 8x − 8 + 1620
= 7x + 1612,
de donde 13x = 20x − 7x = 1612, es decir, x = 1612
13
= 124.
3. Hallar tres n´umeros consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre
27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9.
Soluci´on. Como son tres n´umeros consecutivos, si x es el menor de los n´umeros, los otros
ser´an x + 1 y x + 2. Entonces se tiene que
x
20
+
x + 1
27
+
x + 2
41
= 9.
El m.c.m. de 20, 27 y 41 es (5)(2)2
(3)3
(41) = 22140, por lo que
1107x+820(x+1)+540(x+2) = 199260, 1107x+820x+820+540x+1080 = 199260
2467x + 1900 = 199260, 2467x = 199260 − 1900 = 197360,
de donde x = 80.
4. Un hombre viaj´o 9362 km por barco, tren y avi´on. Por tren recorri´o 4
9
de lo que recorri´o en
barco, y en avi´on 5
8
de lo que recorri´o en tren. ¿Cu´antos km recorri´o de cada como?
5.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas 67
Soluci´on. Sea x los km que recorri´o por barco. Entonces recorri´o 4x
9
por tren, y recorri´o 5
8
(4x
9
)
por avi´on. Entonces
x +
4x
9
+
20x
72
= 9362, 72x + 32x + 20x = 674064,
de donde 124x = 674064 o x = 5436.
Entonces recorri´o 5436 km por barco, 2416 km por tren y 1510 por avi´on.
5.3.2. Ejercicios
Resuelve los siguientes problemas.
a) Un padre tiene 35 a˜nos y su hijo 5, ¿Al cabo de cu´antos a˜nos ser´a la edad del padre 3
veces mayor que la edad del hijo?
b) Un enjambre de abejas sali´o a libar miel; la mitad de ellas se qued´o en la primera flor que
encontr´o, la tercera parte en la segunda flor y cinco siguieron volando. ¿Cuantas abejas
conformaban el enjambre?
c) Si al doble de un n´umero se le resta su mitad resulta 54. ¿Cu´al es el n´umero?
d) La base de un rectangulo es el doble que su altura. ¿Cu´ales son sus dimensiones si el
per´ımetro mide 30cm?
e) En una reuni´on hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de nios que de hombres
y mujeres juntos. ¿Cu´antos hombres, mujeres y nios hay, si la reuni´on la componen 96
personas?
f) Se han consumido 7
8
de un bid´on de aceite. Reponemos 38ltrs. y el bid´on ha quedado lleno
hasta sus 3
5
partes. Calcula la capacidad del bid´on.
g) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cu´antos cerdos y
pavos hay?
h) En una libreria, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero, y un comic con las
dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la libreria tenia 12 pesos. ¿Cu´anto
dinero ten´ıa Ana?
i) Las 3 cuartas partes de la edad del padre de Juan excede 15 a˜nos a la edad de este. Hace 4
an˜os la edad del padre era el doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
j) Trabajando juntos, 2 obreros tardan en hacer un trabajo 14hrs. ¿Cu´anto tiempo tardar´an en
hacerlo por separado, si uno es el doble de rapido que el otro?
68 Cap´ıtulo 5. Ecuaciones de primer grado
Cap´ıtulo 6
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuaci´on de segundo grado es toda ecuaci´on en la cual, una vez simplificada, el mayor
exponente de la inc´ognita es 2. As´ı,
4x2
+ 7x + 6 = 0
es una ecuaci´on de segundo grado.
Las ra´ıces de una ecuaci´on de segundo grado son los valores de la inc´ognita que satisfacen
la ecuaci´on. As´ı, las ra´ıces de la ecuaci´on x2
− 2x − 3 = 0 son x1 = 3 y x2 = −1; ambos
valores satisfacen esta ecuaci´on.
Las ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma
ax2
+ bx + c = 0,
las cuales tienen un t´ermino en x2
, un t´ermino en x y un t´ermino independiente de x. As´ı,
2x2
+ 7x − 15 = 0 y x2
− 8x + 15 = 0 son ecuaciones completas de segundo grado.
6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Las ecuaciones incompletas de segundo grado son de la forma ax2
+ c = 0, que no tienen
t´ermino lineal, es decir, no tienen t´ermino en x, o de la forma ax2
+ bx = 0, que no tienen
t´ermino independiente. As´ı x2
− 16 = 0 y 3x2
+ 5x = 0 son ecuaciones incompletas de
segundo grado.
6.1.1. Ecuaciones incompletas de la forma ax2
+ c = 0
Para encontrar las ra´ıces de ecuaciones de la forma ax2
+c = 0, primero pasamos c al segundo
miembro, as´ı
ax2
= −c,
69
70 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
despues dividimos ambos miembros de la ecuaci´on entre a, as´ı
x2
= −
c
a
,
por ´ultimo en ambos miembros de la ecuaci´on extraemos la rai´z cuadrada, de donde
x = ± −
c
a
.
Si a y c tienen el mismo signo, las ra´ıces son imaginarias por ser la ra´ız cuadrada de una
cantidad negativa; si tienen signo distinto, las ra´ıces son reales.
Ejemplo 6.1.1 Resuelva la ecuaci´on
x2
+ 1 =
7x2
9
+ 3.
Quitando denominadores obtenemos la ecuaci´on 9x2
+ 9 = 7x2
+ 27, la cual podemos
simplificar como 2x2
− 18 = 0, la cual es una ecuaci´on de segundo grado incompleta sin
t´ermino en x. Luego, las soluciones son x = ±
√
9 = ±3.
6.1.2. Ejercicios resueltos
1. Resolver la ecuaci´on 3 −
3
4x2 − 1
= 2.
Soluci´on. Simplificando la ecuaci´on dada obtenemos que
1 = 3 − 2 =
3
4x2 − 1
, de donde 4x2
− 1 = 3.
Esta es la ecuaci´on incompleta 4x2
− 4 = 0, la cual se resuelve por x = ±1.
2. Resolver la ecuaci´on 5x2
+ 12 = 3x2
− 20.
Soluci´on. Agrupando t´ermino similares, obtenemos que 5x2
− 3x2
= −20 − 12, es decir,
2x2
= −32. De esta manera, tenemos que resolver la ecuaci´on incompleta x2
= −16, la cual
tiene dos ra´ıces imaginarias x = ±
√
−16.
6.1.3. Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x2
− 25 = 0 b) 2x2
− 6 = 0
c) 5x2
− 11 = 0 d) (2x − 3)(2x + 3) = 0
e) 3x2
− 24 = 0 f) 3x2
= 48
g) (5x − 4)(5x + 4) − 25 = 0 h) 2x − 3 − x2+1
x−2
= −7
i) 3 − 3
4x2−1
= 2 j) x2−5
3
+ 4x2−1
5
− 14x2−1
15
= 0.
6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas 71
6.1.4. Ecuaciones incompletas de la forma ax2
+ bx = 0
Encontremos las soluciones de la ecuaci´on ax2
+ bx = 0 por factorizaci´on. Descomponiendo
en factores obtenemos que ax2
+ bx = x(ax + b) = 0, de donde x = 0 o ax + b = 0. Por lo
tanto, las soluciones son x = 0 y x = −b
a
.
En este tipo de ecuaciones incompletas de segundo grado siempre una ra´ız es cero y la otra es
el coeficiente del t´ermino en x, con signo contrario, dividido entre el coeficiente del t´ermino
en x2
.
Ejemplo 6.1.2 Resuelva la ecuaci´on
3x − 1 =
5x + 2
x − 2
.
Quitando denominadores obtenemos la expresi´on (3x−1)(x−2) = 5x+2, la cual podemos
simplificar como 3x2
− 12x = 0, la cual es una ecuaci´on de segundo grado incompleta sin
t´ermino constante. Esta expresi´on se puede factorizar como 3x2
− 12x = 3x(x − 4) = 0
Luego, las soluciones son x = 0 y x = 4.
6.1.5. Ejercicios resueltos
1. Resolver la ecuaci´on 5x2
= −3x.
Soluci´on. Trasponiendo los t´erminos, obtenemos que
5x2
+ 3x = x(5x + 3) = 0, de donde x = 0 y x = −
3
5
.
2. Resolver la ecuaci´on
x + 1
x − 1
−
x + 4
x − 2
= 1.
Soluci´on. Multiplicando la ecuaci´on por el m´ınimo com´un m´ultiplo (x−1)(x−2), obtenemos
que (x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2), la cual se simplifica como x2
− x −
2 − (x2
+ 3x − 4) = x2
− 3x + 2. Agrupando t´erminos semejantes, obtenemos la ecuaci´on
x2
+ x = 0, la cual tiene soluciones x = 0 y x = −1.
6.1.6. Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x2
= 5x b) 4x2
= −32x
c) x2
− 3x = 3x2
− 4x d) 5x2
+ 4 = 2(x + 2)
e) (x − 3)2
− (2x + 5)2
= −16 f)
x2
3
−
x − 9
6
=
3
2
.
72 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
6.2. Ecuaci´on general de segundo grado
Si tenemos una ecuaci´on de la forma
x2
+ 2mx + m2
= d, (6.1)
donde el primer miembro de la igualdad es un trinomio cuadrado perfecto, podemos encontrar
las ra´ıces de la ecuaci´on factorizando el primer miembro, as´ı
(x + m)2
= d,
luego extraemos la rai´z cuadrada en ambos miembros de la ecuaci´on, as´ı
x + m = ±
√
d,
despues trasponemos m, para obtener x = −m ±
√
d.
6.2.1. Deducci´on de la formula general de la soluci´on de una ecuaci´on
de segundo grado
El procedimiento para completar cuadrados en una ecuaci´on de segundo grado de la forma
ax2
+ bx + c = 0,
consiste transformar esta ecuacion en una ecuaci´on equivalente, donde el primer miembro es
un trinomio cuadrado perfecto y el segundo miembro es un t´ermino independiente, es decir,
como en la ecuaci´on (6.1).
Procedimiento:
1. Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´on por 4a, tenemos
4a2
x2
+ 4abx + 4ac = 0.
2. Se suma b2
en ambos miembros
4a2
x2
+ 4abx + 4ac + b2
= b2
.
3. Trasponemos 4ac al segundo miembro
4a2
x2
+ 4abx + b2
= b2
− 4ac.
4. De este modo el primer miembro de la ecuaci´on es un trinomio cuadrado perfecto, por
lo que obtenemos la ecuaci´on
(2ax + b)2
= b2
− 4ac.
6.2. Ecuaci´on general de segundo grado 73
5. Extraemos la ra´ız cuadrada de ambos miembros de la ecuaci´on, as´ı
2ax + b = ±
√
b2 − 4ac.
6. Trasponemos b,
2ax = −b ±
√
b2 − 4ac.
7. Dividimos ambos miembros entre 2a, para obtener
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
. (6.2)
A la f´ormula (6.2) se le conoce como formula general. De hecho, hemos mostrado el si-
guiente resultado.
Proposici´on 6.2.1 Si P(x) = ax2
+ bx + c es un polinomio cuadr´atico, entonces las solu-
ciones o ra´ıces de la ecuaci´on cuadr´atica P(x) = ax2
+ bx + c = 0 son
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
−b −
√
b2 − 4ac
2a
. (6.3)
Otra manera un tanto distinta de encontrar las ra´ıces de una ecuaci´on cuadr´atica es la siguien-
te. Como a = 0, podemos reescribir el polinomio P(x) como
P(x) = ax2
+ bx + c = a x2
+
b
a
x +
c
a
= a x2
+
2bx
2a
+
b2
4a2
−
b2
4a2
+
4c
4a
= a x +
b
2a
2
−
1
4a2
b2
− 4ac
= a x +
b
2a
2
−
√
b2 − 4ac
2a
2
= a x +
b
2a
−
√
b2 − 4ac
2a
x +
b
2a
+
√
b2 − 4ac
2a
= a x −
−b +
√
b2 − 4ac
2a
x −
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Luego,
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
−b −
√
b2 − 4ac
2a
son sus ra´ıces.
Al n´umero ∆ = b2
− 4ac le llamamos el discriminante del polinomio cuadr´atico P(x) =
ax2
+ bx + c.
74 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
Observaci´on 6.2.2 Si el discriminante, b2
− 4ac, del polinomio cuadr´atico P(x) = ax2
+
bx + c se anula, el polinomio P(x) puede ser escrito como una constante multiplicada por
el cuadrado de un polinomio lineal. En este caso, el polinomio P(x) s´olo tiene una ra´ız real,
que es igual a − b
2a
.
En el caso en que el discriminante es mayor a cero, es decir, b2
− 4ac > 0 vemos que el
polinomio P(x) tiene dos ra´ıces reales distintas.
Finalmente, cuando el discriminante sea negativo, se obtienen dos ra´ıces complejas distintas.
En conclusi´on, si r y s son las dos ra´ıces del polinomio P(x), entonces el discriminante se
anula si y s´olo si r = s. En el caso que el discriminante sea diferente de cero, r = s, y
P(x) = a(x − r)(x − s).
Ahora veamos el significado geom´etrico del discriminante de un polinomio
cuadr´atico. Recordemos que P(x) = ax2
+ bx + c puede escribirse como
P(x) = a x +
b
2a
2
−
1
4a2
b2
− 4ac = a x +
b
2a
2
−
∆
4a
.
Para graficar la ecuaci´on anterior, es decir, dibujar las parejas de puntos (x, y) = (x, P(x))
en el plano cartesiano, hacemos y = P(x), de donde obtenemos la ecuaci´on
y +
∆
4a
= a x +
b
2a
2
, (6.4)
la cual representa la ecuaci´on de una par´abola con v´ertice en el punto − b
2a
, − ∆
4a
, donde
el signo del coeficiente a determina si la par´abola abre hacia arriba (a > 0), o hacia abajo
(a < 0).
De hecho, la ecuaci´on (6.4) nos dice mucho m´as acerca del polinomio cuadr´atico P(x). Su-
pongamos que a > 0, es decir, la par´abola abre hacia arriba. La segunda coordenada del
v´ertice, − ∆
4a
es positiva si y s´olo si −∆ > 0, es decir, el discriminante de P(x) es negativo,
lo cual significa que la gr´afica de la par´abola no intersecta al eje X. Luego, P(x) no tiene
ra´ıces reales.
Si − ∆
4a
es negativo, la gr´afica de la par´abola intersecta al eje X en dos puntos x1 y x2, que son
las ra´ıces de P(x). Observemos que en este caso se tiene que ∆ es positivo, lo cual coincide
con el hecho de que P(x) tenga dos ra´ıces reales. Adem´as, el polinomio P(x) alcanza su
valor m´ınimo en el punto x = − b
2a
, y dicho valor m´ınimo es − ∆
4a
.
Haciendo un an´alisis similar si a < 0, podemos concluir que cuando la par´abola abre hacia
abajo, intersectar´a al eje X si y s´olo si ∆ ≥ 0. Aqu´ı, el polinomio P(x) alcanza su m´aximo
valor en el punto x = − b
2a
y el valor m´aximo es − ∆
4a
.
6.2. Ecuaci´on general de segundo grado 75
x1
a > 0
∆ > 0
x1
−b
2a
, − ∆
4a
x2
a < 0
∆ < 0
−b
2a
, − ∆
4a
Cuando la gr´afica de la par´abola es tangente al eje X, corresponde al caso cuando el discri-
minante es cero, es decir, las dos ra´ıces son iguales.
Ejemplo 6.2.3 Resuelva la ecuaci´on 4x2
+ 3x − 22 = 0.
Usamos la f´ormula (6.2) para encontrar las soluciones de la ecuaci´on. En este caso a = 4,
b = 3 y c = −22. Usando la f´ormula mencionada, obtenemos que
x =
−3 ± 32 − 4(4)(−22)
2(4)
=
−3 ±
√
9 + 352
8
=
−3 ±
√
361
8
=
−3 ± 19
8
,
de donde las soluciones son x = 2 y x = −
11
4
.
6.2.2. Ejercicios resueltos
1. Resolver la ecuaci´on 3x2
− 7x + 2 = 0.
Soluci´on. Usando la f´ormula (6.2) con a = 3, b = −7 y c = 2, obtenemos que
x =
7 ± (−7)2 − 4(3)(2)
2(3)
=
7 ±
√
49 − 24
6
=
7 ±
√
25
6
=
7 ± 5
6
,
de donde las soluciones son x = 2 y x =
1
3
.
2. Resolver la ecuaci´on 6x − x2
− 9 = 0.
76 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
Soluci´on. La ecuaci´on es equivalente a la ecuaci´on x2
− 6x + 9 = 0. Usando la f´ormula (6.2)
con a = 1, b = −6 y c = 9, obtenemos que
x =
6 ± (−6)2 − 4(1)(9)
2(1)
=
6 ±
√
36 − 36
2
=
6 ±
√
0
2
=
6
2
= 3,
de donde s´olo hay una soluci´on x = 3.
6.2.3. Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 32x2
+ 18x − 17 = 0 b) −64x2
+ 176x = 121
c) 8x + 5 = 36x2
d) 27x2
+ 12x − 7 = 0
e) 15x = 25x2
+ 2 f) x2
− 3x + 2 = 0
g) 9x2
+ 18x + 17 = 0 h) 4x2
= 8x + 5
i) 9x2
+ 12x + 4 = 0 j) 2x2
− 3x + 5 = 0.
6.2.4. Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales se resuelven haciendo desaparecer el radical mediante la eleva-
ci´on a la potencia, que indique el ´ındice del radical, de los dos miembros de la ecuaci´on.
Cuando la ecuaci´on que resulta es de segundo grado, al resolverla obtenemos las dos ra´ıces de
la ecuaci´on, pero es necesario hacer la verificaci´on con ambas ra´ıces en la ecuaci´on original,
porque cuando los dos miembros de una ecuaci´on se elevan a una misma potencia, general-
mente se introducen nuevas soluciones extra˜nas o inadmisibles. Al hacer la verificaci´on se
tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical.
Ejemplo 6.2.4 Resolver la ecuaci´on
√
4x − 3 −
√
x − 2 =
√
3x − 5.
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuaci´on se obtiene que
(4x − 3) − 2
√
4x − 3
√
x − 2 + (x − 2) = (3x − 5).
Desarrollando ambos lados de la ecuaci´on, se tiene que
−2
√
4x − 3
√
x − 2 + 5x − 5 = 3x − 5,
6.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas 77
ecuaci´on que es equivalente a tener
−2
√
4x − 3
√
x − 2 = −2x.
Cancelando el 2 y elevando nuevamente al cuadrado, se llega a que
(4x − 3)(x − 2) = 4x2
− 11x + 6 = x2
,
es decir, tenemos la ecuaci´on cuadr´atica 3x2
− 11x + 6 = 0. Usando la f´ormula (6.2),
obtenemos que x = 3 o x = 2
3
. Haciendo la verificaci´on se ve que el valor x = 3 satisface la
ecuaci´on dada, pero el valor x = 2
3
es una soluci´on extra˜na, que no se toma en cuenta.
La soluci´on correcta de la ecuaci´on es x = 3.
6.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas
6.3.1. Ejercicios resueltos
1. Un comerciante compr´o cierto n´umero de sacos de az´ucar por 1000 pesos. Si hubiera
comprado 10 sacos m´as por el mismo dinero, cada saco le habr´ıa costado 5 pesos menos.
¿Cu´antos sacos compr´o y cu´anto le cost´o cada uno?
Soluci´on. Sea x el n´umero de sacos que compr´o. Entonces cada saco le cost´o 1000
x
pesos. Si
hubiera comprado 10 sacos m´as le hubiera costado 1000
x+10
, y seg´un el enunciado
1000
x + 10
=
1000
x
− 5
1000x − 1000(x + 10) + 5(x + 10)(x) = 0.
Tenemos entonces
5x2
+ 50x − 10000 = 0
x2
+ 10x − 2000 = 0
x =
−10 ± 102 − 4(1)(−2000)
2(1)
=
−10 ±
√
100 + 8000
2
=
−10 ±
√
8100
2
=
−10 ± 90
2
,
de donde x = 40 o x = −50. Como el n´umero de sacos no puede ser un n´umero negativo, la
respuesta es que compr´o x = 40 sacos a 25 pesos cada uno.
2. La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensi´on se aumenta 4m el ´area
ser´a el doble. Hallar las dimensiones de la sala.
78 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
Soluci´on. Sea x el ancho de la sala de modo que la longitud es x+4 y el ´area ser´ıa x(x+4) =
x2
+ 4x.
Al aumentar en 4 las dimensiones, seg´un el enunciado tenemos
(x + 4)(x + 8) = 2(x2
+ 4x)
x2
+ 12x + 32 = 2x2
+ 8x
x2
− 4x − 32 = 0
x =
−(−4) ± (−4)2 − 4(1)(−32)
2(1)
=
4 ±
√
16 + 128
2
=
4 ±
√
144
2
=
4 ± 12
2
,
de donde x = 8 o x = −4. Como x es el ancho de la sala, x no puede ser un valor negativo,
por lo que el ancho de la sala es 8 y la longitud es 12.
6.3.2. Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) La suma de dos n´umeros naturales es 14. La diferencia de sus cuadrados supera en 11 al
producto de los n´umeros. ¿Cu´ales son los n´umeros?
b) El n´umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados est´a dado por D = n(n−3)
2
. ¿Cu´antos
lados tiene un poligono regular que posee 54 diagonales?
c) Determinar la longitud x del lado de un tri´angulo is´osceles rect´angulo que tiene una hipo-
tenusa de 7.5 unidades
d) En la casa de Mario hay un jard´ın rectagular que tiene 96m2
de ´area. Alrededor del jad´ın
se hace una cerca de 3m de ancho, en este caso el ´area total es 252m2
. Encuentra las
dimensi´ones del jard´ın.
e) El producto de dos n´umeros es 180 y su cociente 5
4
. Hallar los n´umeros.
f) La edad de A hace 6 a˜nos era la ra´ız cuadrada de la edad que tendr´a dentro de 6 a˜nos.
Hallar la edad actual.
g) Compr´e cierto n´umero de libros por 40 pesos y cierto n´umero de plumas por 40 pesos. Ca-
da pluma me costo un peso m´as que cada libro. ¿Cu´antos libros compre y a qu´e precio
si el n´umero de libros excede al de plumas en 2?
6.4. Soluci´on de ecuaciones de grado mayor 79
h) Se vende un reloj en 75 pesos ganando un porcentaje sobre el costo igual al del n´umero
de pesos que me costo el reloj. Hallar el costo del reloj.
i) Para vallar una finca rectangular de 750m2
se han utilizado 110m de cerca. Calcula las
dimensiones de la finca.
j) Halla un n´umero entero sabiendo que la suma con su inverso es 26
5
.
6.4. Soluci´on de ecuaciones de grado mayor
Una ecuaci´on binomia es de la forma
xn
± A = 0.
Vamos a considerar algunas ecuaciones binomias que se resuelven f´acilmente por descompo-
sici´on de factores.
Ejemplo 6.4.1 1. Resolver la ecuaci´on x4
− 16 = 0.
Descomponiendo x4
− 16 se tiene
(x2
+ 4)(x2
− 4) = (x − 2i)(x + 2i)(x − 2)(x + 2) = 0,
por lo que la ecuaci´on tiene cuatro ra´ıces x1 = −2, x2 = 2, x3 = −2i, x4 = 2i.
2. Resolver la ecuaci´on x3
− 27 = 0.
Descomponiendo x3
− 27 se tiene
(x − 3)(x2
+ 3x + 9) = 0,
igualando a cero cada uno de los factores se tiene
x − 3 = 0, (6.1)
x2
+ 3x + 9 = 0. (6.2)
Resolviendo la ecuaci´on (6.1) tenemos que x = 3; la ecuaci´on (6.2) se resuelve por
f´ormula general. As´ı
x =
−3 ± 3
√
−3
2
.
La ecuaci´on x3
− 27 tiene tres ra´ıces x1 = 3, x2 = −3+3
√
3i
2
, x3 = −3−3
√
3i
2
.
Las ecuaciones trinomias son aquellas que constan de tres t´erminos de la forma
ax2n
+ bxn
+ c = 0,
80 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
donde se ve que, despu´es de ordenada la ecuaci´on en orden descendente con relaci´on a x,
en el primer t´ermino la x tiene un exponente doble que en el segundo t´ermino, y el tercer
t´ermino es independiente de x. Ejemplos de ecuaciones trinomias son
x4
+ 9x2
+ 20 = 0,
x6
+ 6x3
− 7 = 0.
Las ecuaciones trinomias en que el primer t´ermino tiene x4
y el segundo x2
se llaman ecua-
ciones bicuadradas.
6.4.1. Procedimiento para resolver ecuaciones trinomias
1. Escribimos la ecuaci´on trinomia como
a(xn
)2
+ bxn
+ c = 0.
2. Aplicamos la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. As´ı
xn
=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
3. Extraemos la ra´ız en´esima
x =
n −b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
Este tipo de ecuaciones tienen 2n ra´ıces.
Ejemplo 6.4.2 1. Resolver la ecuaci´on 4x4
− 37x2
+ 9 = 0.
Esta es una ecuaci´on bicuadrada, la cual puede escribirse como 4(x2
)2
−37x2
+9 = 0.
Aplicando la f´ormula (6.2) obtenemos el valor de x2
,
x2
=
37 ± 372 − 4(4)(9)
8
=
37 ±
√
1369 − 144
8
=
37 ±
√
1225
8
=
37 ± 35
8
.
Luego, x2
= 9 o x2
= 1
4
. Por lo tanto, las soluciones de la ecuaci´on bicuadrada son
x = ±3 y x = ±1
2
.
2. Resolver la ecuaci´on x6
− 19x3
− 216 = 0.
Usando la f´ormula (6.2), obtenemos el valor de x3
,
x3
=
19 ± 372 − 4(−216)
2
=
19 ±
√
1225
2
=
19 ± 35
5
.
6.4. Soluci´on de ecuaciones de grado mayor 81
Entonces, x3
= 27 o x3
= −8.
Ahora tenemos que resolver las dos ecuaciones x3
− 27 = 0 y x3
+ 8 = 0. Ambas
ecuaciones se pueden factorizar como x3
− 27 = (x − 3)(x2
+ 3x + 9) = 0 y x3
+ 8 =
(x + 2)(x2
− 2x + 4) = 0. Luego, resolviendo estas ecuaciones, encontramos las
soluciones x = 3, x = −2,
−3 ±
√
−27
2
,
2 ±
√
−12
2
.
6.4.2. Soluci´on de ecuaciones por factorizaci´on
Algunas ecuaciones se pueden resolver factorizando el primer miembro de la ecuaci´on de
modo que cada uno de los factores sea lineal, es decir, que los factores sean de la forma
(x − a).
Ejemplo 6.4.3 Resolver la ecuaci´on x3
+ x2
− 16x − 16 = 0.
Factorizando el miembro derecho de la ecuaci´on, se obtiene que
x3
+ x2
− 16x − 16 = x2
(x + 1) − 16(x + 1)
= (x2
− 16)(x + 1)
= (x + 4)(x − 4)(x + 1).
Luego, la ecuaci´on tiene tres ra´ıces x1 = −4, x2 = 4, x3 = −1.
6.4.3. Ejercicios resueltos
1. Resolver x6
+ 30x3
+ 81 = 0.
Soluci´on. Factorizando obtenemos
(x3
+ 27)(x3
+ 3) = 0, luego x3
+ 27 = 0 o x3
+ 3 = 0.
Ahora para resolver la ecuaci´on binomia x3
+ 27 = 0 factorizamos
(x + 3)(x2
− 3x + 9) = 0.
Usamos ahora la f´ormula cuadr´atica para el segundo factor
x =
3 ±
√
9 − 36
2
=
3 ± 5i
2
.
Para resolver la ecuaci´on binomial x3
+ 3 = 0 factorizamos
x3
+ 3 = (x +
3
√
3)(x2
−
3
√
3x + (
3
√
3)2
) = 0.
Usamos la f´ormula cuadr´atica para el segundo factor
x =
3
√
3 ± ( 3
√
3)2 − 4( 3
√
3)2
2
=
3
√
3 ± 3
√
3
√
−3
2
=
3
√
3
2
±
3
√
3
√
3
2
i.
82 Cap´ıtulo 6. Ecuaciones de segundo grado
N´otese que en total hay 6 soluciones:
x1 = −3, x2,3 =
3 ± 5i
2
, x4 = −
3
√
3, x5,6 =
3
√
3
2
±
3
√
3
√
3
2
i.
6.4.4. Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) x4
− 16 = 0 b) x6
− 729 = 0
c) x3
+ x2
− x − 1 = 0 d) x3
− 4x2
+ x + 6 = 0
e) n4
− 27n2
− 14n + 120 = 0 f) a4
− 15a2
− 10a + 24 = 0
g) 4x5
+ 3x4
− 108x3
− 25x2
+ 522x + 360 = 0
h) x5
+ 2x4
− 15x3
− 3x2
− 6x + 45 = 0
i) x7
− 20x5
− 2x4
+ 64x3
+ 40x2
− 128 = 0
j) a6
− 8a5
+ 6a4
+ 103a3
− 344a2
+ 396a − 144 = 0.
Cap´ıtulo 7
Sistemas de ecuaciones lineales
Dos o m´as ecuaciones, con dos o m´as incognitas, son simult´aneas cuando se satisfacen para
iguales valores de las inc´ognitas. As´ı, las ecuaciones
x + y = 5
x − y = 1
son simult´aneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones.
Ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra. As´ı,
x + y = 4 (7.1)
2x + 2y = 8 (7.2)
son equivalentes porque multiplicando la ecuaci´on (7.1) por 2 se obtiene la ecuaci´on (7.2).
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.
Las ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecua-
ciones independientes tienen una sola soluci´on com´un son simult´aneas.
Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independiantes que no tienen soluci´on com´un.
Un sistema de ecuaciones es la reuni´on de dos o m´as ecuaciones con dos o m´as incognitas.
As´ı,
2x + 3y = 13
4x − y = 5
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos inc´ognitas.
83
84 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
7.1. Concepto de soluci´on de un sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones de 2 × 2 tiene dos ecuaciones con dos inc´ognitas, es decir, es de la
forma
ax + by = c
dx + ey = f,
donde las inc´ognitas son x, y.
Resolver un sistema de ecuaciones de 2 × 2 es encontrar los valores x y y que satisfacen
ambas ecuaciones, si es que existen.
Un sistema de ecuaciones de 3 × 3 tiene tres ecuaciones y tres inc´ognitas, es decir, es de la
forma
a1,1x + a1,2y + a1,3z = b1
a2,1x + a2,2y + a2,3z = b2
a3,1x + a3,2y + a3,3z = b3,
donde las inc´ognitas son x, y y z.
Resolver un sistema de ecuaciones de 3 × 3 es encontrar los valores x, y y z que satisfacen
las tres ecuaciones, si es que existen.
Un sistema de ecuaciones de 2 × 2 o de 3 × 3 puede tener una soluci´on, una infinidad de
soluciones o ninguna.
7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3
Primero vamos a estudiar los diferentes m´etodos para resolver ecuaciones de 2 × 2.
7.2.1. M´etodo de igualaci´on
Resolver el sistema
7x + 4y = 13 (7.3)
5x − 2y = 19. (7.4)
Despejamos cualquiera de las inc´ognitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones para obtener
x =
13 − 4y
7
, x =
19 + 2y
5
.
Ahora se igualan las ´ultimas dos ecuaciones, para tener que
13 − 4y
7
=
19 + 2y
5
,
7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 85
y ya tenemos una ecuaci´on con una sola inc´ognita. Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene que
y = −2. Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (7.3) o (7.4) se llega a
que
x =
13 − 4(−2)
7
= 3.
Por lo que x = 3, y = −2 es la soluci´on del sistema.
Ejemplo 7.2.1 Resolver el sistema
3x + 5y = 7
2x − y = −4.
Despejamos a y de la primera y segunda ecuaci´on
y =
7 − 3x
5
, y = 2x − 4.
Ahora igualamos ambas expresiones para y, para despejar x
7 − 3x
5
= 2x + 4, 7 − 3x = 10x + 20
13x = −13, x = −1.
Sustituimos ahora el valor x = −1 en cualquiera de las expresiones para y, para obtener
y = 2(−1) + 4 = −2 + 4 = 2.
Las soluciones son x = −1, y = 2.
Obs´ervese que no importa cu´al de las inc´ognitas se despeja en ambas ecuaciones el resultado
ser´a el mismo.
7.2.2. M´etodo de sustituci´on
Resolver el sistema
2x + 5y = −24 (7.5)
8x − 3y = 19. (7.6)
Despejamos una de las inc´ognitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a despejar
x en la ecuaci´on (7.5). Luego
x =
−24 − 5y
2
.
86 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
Este valor de x se sustituye en la ecuaci´on (7.6),
8
−24 − 5y
2
− 3y = 19,
y ya tenemos una sola ecuaci´on con una inc´ognita. Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene que
y = −5. Sustituyendo el valor de y en la ecuaci´on donde se despejo x, tenemos que
x =
−24 − 5(−5)
2
=
1
2
.
Por lo que x = 1
2
, y = −5 es la soluci´on del sistema.
Ejemplo 7.2.2 Resolver el sistema
x + 6y = 27
7x − 3y = 9.
Iniciamos despejando a x en la primera ecuaci´on, x = 27 −6y. Se sustituye ahora este valor
de x en la segunda eucaci´on y se despeja y
7(27 − 6y) − 3y = 9, 189 − 42y − 3y = 9, 45y = 180 o y = 4.
Se sutituye y = 4 en la primera ecuaci´on para obtener
x + (6)(4) = 27
x = 27 − 24 = 3.
As´ı x = 3, y = 4 es la soluci´on.
7.2.3. M´etodo de suma o resta
Resolver el sistema
5x + 6y = 20 (7.7)
4x − 3y = −23. (7.8)
En este m´etodo se hacen iguales los coeficientes de una de las inc´ognitas. Vamos a igualar
los coeficientes de y en ambas ecuaciones por que es lo m´as sencillo.
Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´on (7.8) por el coeficiente de y en la ecuaci´on
(7.7) dividido entre el coeficiente de y de la ecuaci´on (7.8), es decir, multiplicamos por 6
−3
=
−2.
7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 87
Obtenemos el sistema de ecuaci´ones
5x + 6y = 20
−8x + 6y = 46. (7.9)
Este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema original, lo que significa que tienen la
misma soluci´on. Luego restamos la ecuaci´on (7.9) de la ecuaci´on (7.7),
5x 6y = 20
8x −6y = 20
13x = −26.
Despejamos x, en la ecuaci´on 13x = −26, se obtiene que
x =
−23
13
= −2.
Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la ecuaci´on (7.7),
se tiene 5(−2) + 6y = 20. Despejando, tenemos que y = 5. Por lo que x = −2, y = 5 es la
soluci´on del sistema.
Ejemplo 7.2.3 Resolver el sistema
10x + 18y = −11
16x − 9y = −5.
Multiplicando todos los t´erminos de la segunda ecuaci´on por 2 obtendremos el nuevo sistema
10x + 18y = −11
32x − 18y = −10.
Ahora sumamos ambas ecuaciones, combinando t´erminos semejantes para obtener:
42x = −21, x = −
1
2
.
Sustituimos x = −1
2
en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener
10 −
1
2
+ 18y = −11, 18y = −6, y = −
1
3
.
Las soluciones son entonces x = −1
2
, y = −1
3
. Una vez m´as observamos que no importa cu´al
de las inc´ognitas se elije para ser eliminada, el resultado ser´a el mismo.
88 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 7.2.4 Resolver el sistema:
3x − (9x + y) = 5y − (2x + 9y)
4x − (3x + 7) = 5y − 47.
En ocasiones se debe desarrollar la expresi´on antes de aplicar los m´etodos explicados ante-
riormente, as´ı el sistema anterior se convierte
−6x − y = −2x − 4y
4x − 3y − 7 = 5y − 47,
que finalmente se puede expresar como
−4x + 3y = 0
4x − 8y = −40.
Aplicamos ahora el m´etodo de suma y resta, de donde −5y = −40, y = 8. Sustituyendo en
la otra ecuaci´on se obtiene que −4x + 3(8) = 0 o x = 6.
Ejemplo 7.2.5 Ahora vamos a resolver un sistema de 3 × 3.
x + y + z = 12
2x − y + z = 7
x + 2y − z = 6.
Para eliminar la inc´ognita z restamos la segunda ecuaci´on a la primera ecuaci´on, para
obtener −x+2y = 5. Luego sumamos la segunda y la tercera ecuaci´on para obtener 3x+y =
13.
Luego, tenemos un nuevo sistema de ecuaciones
−x + 2y = 5
3x + y = 13.
Este sistema se puede resolver con cualquiera de los m´etodos anteriores, despejando x de la
primer ecuaci´on obtenemos x = 2y − 5. La cual sustituimos en la segunda ecuaci´on
3(2y − 5) + y = 13,
6y − 15 + y = 13,
7y = 28, y = 4.
Regresando a la primera ecuaci´on tenemos x = 2(4) − 5 = 3. Estos valores se sustituyen en
cualquiera de las ecuaciones originales para obtener z
(3) + (4) + z = 12, z = 5.
Las soluciones son entonces x = 3, y = 4, z = 5.
7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 89
7.2.4. M´etodo del determinante
Una matriz de 2 × 2 es un arreglo
a11 a12
a21 a22
donde a11, a12, a21 y a22 son n´umeros reales. El determinante de la matriz anterior, que
denotamos por
a11 a12
a21 a22
es el n´umero real definido por a11a22 − a12a21.
Una matriz de 3 × 3 es un arreglo



a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33



donde, nuevamente, cada aij es un n´umero. Los sub´ındices nos indican la posici´on del n´umero
en el arreglo. As´ı, aij se encuentra en el i-´esimo rengl´on y la j-´esima columna. Definimos el
determinante de una matriz de 3 × 3 por la regla
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
.
Es decir, nos movemos a lo largo del primer rengl´on, multiplicando a1j por el determinante
de la matriz de 2 × 2 obtenida al eliminar el primer rengl´on y la j-´esima columna, y despu´es
sumando todo esto, pero recordando poner un signo negativo antes de a12. Cabe aclarar que
el resultado del determinante no se altera si en lugar de escoger el primer rengl´on como
primer paso escogemos el segundo o el tercero. En caso de que escojamos el segundo rengl´on
iniciamos con un signo negativo y si escogemos el tercer rengl´on el primer signo es positivo,
es decir,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= −a21
a12 a13
a32 a33
+ a22
a11 a13
a31 a33
− a23
a11 a12
a31 a32
.
Los signos se van alternando, siguiendo el siguiente diagrama
+ − +
− + −
+ − +
.
Los determinantes cumplen varias propiedades, que son inmediatas de las definiciones, las
m´as ´utiles son las siguientes.
90 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
Propiedades 7.2.6 (a) Al intercambiar dos renglones consecutivos o dos columnas conse-
cutivas, el signo del determinante cambia, por ejemplo,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= −
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
.
(b) Se puede sacar un factor com´un a cualquier rengl´on o columna de una matriz y los
determinantes se relacionan de la siguiente manera, por ejemplo,
αa11 αa12 αa13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= α
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
(c) Si a un rengl´on (o columna) le sumamos otro rengl´on (o columna), el valor del determi-
nante no cambia, por ejemplo,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=


o
a11 + a12 a12 a13
a21 + a22 a22 a23
a31 + a32 a32 a33
,


 .
(d) Si una matriz tiene dos renglones (o dos columnas) iguales el determinante es cero.
Ejemplos. Calculemos los determinantes de las matrices dadas.
1.
3 2
5 4
= 3 × 4 − 2 × 5 = 2.
2.
3 −5
1 −2
= 3(−2) − (−5)(1) = −1.
3.
−2 −5
−3 −9
= (−2)(−9) − (−3)(−5) = 3.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
ax + by = r
cx + dy = s,
7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 91
el cual tiene soluci´on, usando alguno de los m´etodos anteriores,
x =
rd − bs
ad − bc
y y =
as − cr
ad − bc
.
Entonces, note que la soluci´on puede ser escrita en t´erminos de discriminantes de matrices de
la siguiente manera
x =
r b
s d
a b
c d
=
rd − bs
ad − bc
y =
a r
c s
a b
c d
=
ac − cr
ad − bc
.
Si el determinante
a b
c d
= 0, significa que el sistema tiene infinidad de soluciones o que
no tiene soluci´on.
Si el determinante
a b
c d
= 0, significa que el sistema tiene una ´unica soluci´on.
Ejemplo 7.2.7 Resolver el sistema de ecuaciones
5x + 3y = 5
4x + 7y = 27.
Calculamos x y y usando determinantes
x =
5 3
27 7
5 3
4 7
=
35 − 81
35 − 12
=
−46
23
= −2.
y =
5 5
4 27
5 3
4 7
==
135 − 20
23
=
115
23
= 5.
92 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
7.2.5. Ejercicios
Resolver los sistemas de ecuaciones dados.
a) Resolver por suma y resta: 9x + 16y = 7; 4y − 3x = 0.
b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el m´etodo de igualaci´on: 10x − 3y = 36;
2x − 5y = −4.
c) Resolver por sustituci´on 15x − 11y = −87; −12x − 5y = −27.
d) Resolver por determinantes: 8x + 9y = 0; 2x + 5y + 3y = 7
2
.
e) 6x + 3y + 2z = 12; 9x − y + 4z = 37; 10x + 5y + 3z = 21.
f) 3x − 4y − 2(2x − 7) = 0; 5(x − 1) − (2y − 1) = 0.
g) 2x + 4y + 3z = 3; 10x − 8y − 9z = 0; 4x + 4y − 3z = 2.
h)
x + 1
10
=
y − 4
5
;
x − 4
5
=
y − 2
10
.
i) 5x − 3z = 2; 2z − y = −5; x + 2y − 4z = 8.
j) 2x + 3y + z = 1; 6x − 2y − z = −14; 3x + y − z = 1.
7.3. Planteamiento de problemas
7.3.1. Ejercicios resueltos
1. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un n´umero es 13, y si al
n´umero se le resta 45 las cifras se invierten. Hallar el n´umero.
Soluci´on. Sean x la cifra de las decenas y y la cifra de las unidades, de modo que el n´umero
es 10x + y. Seg´un el enunciado del problema x + y = 13 y adem´as 10x + y − 45 = 10y + x.
Entonces tenemos que resolver el sistema
x + y = 13
9x − 9y = 45,
que se puede simplificar como
x + y = 13
x − y = 5.
7.3. Planteamiento de problemas 93
Despejando x de la primer ecuaci´on, tenemos x = 13 − y lo cual sustituimos en la segunda
ecuaci´on, para obtener
13 − y − y = 5, 2y = 8, y = 4.
Regresando a la primera ecuaci´on obtenemos x = 13 − 4 = 9. El n´umero que buscamos es
entonces 94.
2. Se tiene que 5 kilos de az´ucar, 3 de caf´e y 4 de frijoles cuestan 118; 4 de az´ucar, 5 de caf´e y
3 de frijoles cuestan 145; 2 de az´ucar, 1 de caf´e y 2 de frijoles cuestan 46. Hallar el precio del
kilo de cada mercanc´ıa.
Soluci´on. Sean x los kilos de az´ucar, y los kilos de caf´e y z los kilos de frijoles. Seg´un el
enunciado tenemos el sistema
5x + 3y + 4z = 118
4x + 5y + 3z = 145
2x + y + 2z = 46.
De la ultima ecuaci´on despejamos y,
y = 46 − 2x − 2z
y la sustituimos en las dos otras ecuaciones
5x + 3(46 − 2x − 2z) + 4z = 118
4x + 5(46 − 2x − 2z) + 3z = 145.
Para obtener el nuevo sistema de ecuaciones
x + 2z = 20
6x + 7z = 85.
Despejando x de ambas ecuaciones obtenemos
x = 20 − 2z, x =
85 − 7z
6
.
Igualamos y resolvemos para z
20 − 2z =
85 − 7z
6
, 120 − 12z = 85 − 7z,
5z = 35, z = 7.
Ahora sustituimos para encontrar el valor de x
x = 20 − 2(7) = 20 − 14 = 6.
Por ´ultimo sustituimos estos dos valores en cualquiera de las ecuaciones originales para ob-
tener el valor de y
y = 46 − 2x − 2x = 46 − 2(6) − 2(7) = 46 − 12 − 14 = 20.
De esta manera tenemos que el az´ucar cuesta 6 el kilo, el caf´e cuesta 20 el kilo y el frijoles
cuesta 7 el kilo.
94 Cap´ıtulo 7. Sistemas de ecuaciones lineales
7.3.2. Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios.
a) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto
y cada error resta 2 puntos, ¿Cu´antas preguntas ha acertado y cu´antas preguntas ha
fallado Juan?
b) Si se le suman 3 al numerador de una fracci´on y se le restan 2 al denominador, la fracci´on
se convierte en 6
7
, pero si se resta 5 al numerador y se suma 2 al denominador, la
fracci´on es igual a 2
5
. Hallar la fracci´on.
c) Calcula un n´umero sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que si invertimos el
orden de dichas cifras, el n´umero obtenido es 36 unidades mayor que el original.
d) Seis veces el ancho de una sale excede en 4 m a la longitud de la sala, y si la longitud
aumentada en 3 mse divide entre el ancho, el cociente es 5 y el residuo es 3. Hallar las
dimensiones de la sala.
e) 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4180 pesos, y 8 trajes y 9 sombreros 6940. Hallar el precio
de un traje y un sombrero.
f) Si un n´umero de dos cifras se disminuye en 17 y esta diferencia se divide entre la suma de
sus cifras, el cociente es 5, y si el n´umero disminuido en 2 se divide entre la cifra de las
unidades disminuida en 2 el cociente es 19. Hallar el n´umero.
g) En un cine hay 700 personas entre adultos y ni˜nos. Cada adulto pag´o 40 pesos y cada ni˜no
15 pesos por su entrada. La recaudaci´on es de 18000. ¿Cu´antos adultos y cu´antos ni˜nos
hay en el cine?
h) Sig al doble de la edad de A se suma la edad B, se obtiene la edad de C aumentada en
32 a˜nos. Si al tercio de la edad de B se le suma el doble de la de C, se obtiene la de A
aumentada en 9 a˜nos. Finalmente, el tercio de la suma de las edades de A y B es 1 a˜no
menos que la edad de C. Hallar las edades respectivas.
i) 5 kilos de az´ucar, 3 de caf´e, y 4 de frijoles, cuestan 1.18 pesos; 4 de az´ucar, 5 de caf´e, y 3
de frijoles cuestan 1.45 pesos; 2 de az´ucar, 1 de caf´e y 2 de frijoles cuestan 46 centavos.
Hallar el precio de un kilo de cada mercanc´ıa.
j) Ayer gan´e 10 m´as que hoy. Si lo que gan´e hoy es los 5
6
de lo que gan´e ayer. ¿Cu´anto
gan´e cada d´ıa?
Cap´ıtulo 8
Desigualdades
Una desigualdad es una expresi´on que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.
Por ejemplo, 5 < 15, a + b > c, −5 < −1.
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresi´on que est´a a la izquierda y se-
gundo miembro a la que est´a a la derecha del signo de la desigualdad.
Propiedades de las desigualdades.
Propiedades 8.0.1 (a) Si a dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma
cantidad, el signo de la desigualdad no var´ıa. As´ı, dada la desigualdad a < b, podemos
escribir
a + c < b + c,
a − c < b − c.
Consecuencia. Un t´ermino cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miem-
bro a otro cambi´andole el signo.
(b) Si dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
positiva, el signo de la desigualdad no varia. As´ı, dada la desigualdad a < b y siendo
c una cantidad positiva, podemos escribir
ac < bc,
a
c
<
b
c
.
(c) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
negativa, el signo de la desigualdad var´ıa. As´ı, si en la desigualdad a < b multiplica-
mos ambos miembros por −c, tendremos
−ac > −bc,
95
96 Cap´ıtulo 8. Desigualdades
−
a
c
> −
b
c
.
(d) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. As´ı, si a > b es
evidente que b < a.
(e) Al tomar los rec´ıprocos de los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. As´ı, siendo
a < b se tiene que
1
a
>
1
b
.
(f) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, 3 < 5, elevando al cuadrado
32
< 52
, es decir, 9 < 25.
(g) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar, el signo
de la desigualdad no cambia. As´ı, −5 < −3, elevando al cubo, (−5)3
< (−3)3
, es
decir, −125 < −27.
(h) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el
signo de la desigualdad cambia. As´ı, −5 < −3, elevando al cuadrado, (−3)2
= 9 y
(−5)2
= 25, (−5)2
> (−3)2
.
(i) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma ra´ız
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, si a < b, 0 < a y n es positivo, se
tiene que
n
√
a <
n
√
b.
(j) Si dos o m´as desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro,
resulta una desigualdad del mismo signo. As´ı, si a < b y c < d, se tiene que
a + c < b + d,
ac < bd.
Una inecuaci´on es una desigualdad en la que hay una o m´as cantidades desconocidas (inc´ogni-
tas) y que s´olo se verifican para determinados valores de las inc´ognitas.
As´ı, la desigualdad 2x − 3 > x + 5 es una inecuaci´on por que tiene la inc´ognita x y s´olo
se verfica para cualquier valor de x mayor que 8. En efecto, para x = 8 se convertir´ıa en
igualdad y para x < 8 se convertir´ıa en una desigualdad de signo contrario.
Resolver una inecuaci´on es hallar los valores de las inc´ognitas que satisfacen la inecuaci´on.
8.1. Desigualdades de primer grado 97
8.1. Desigualdades de primer grado
8.1.1. Ejercicios resueltos
1. Encuentra el conjunto soluci´on de la desigualdad x + 5 > 2.
Soluci´on. Sumando −5 a ambos lados de la desigualdad, obtenemos
x + 5 − 5 > 2 − 5
x > −3.
Por lo tanto el conjunto soluci´on es
{x ∈ R | x > −3}.
2. Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad x + 2(4x − 5) > 5(2x − 3).
Soluci´on.
x + 2(4x − 5) > 5(2x − 3)
x + 8x − 10 > 10 < −15
9x − 10 > 10x − 15
9x + 5 > 10x
5 > x.
Por lo que el conjunto soluci´on es {x ∈ R | x < 5}.
3. Determinar el conjunto soluci´on de la desigualdad
3(2x − 5) − 7(1 − x) ≥ −4(4 − 3x).
Soluci´on. Aplicando la ley distributiva para eliminar los par´entesis, tenemos
6x − 15 − 7 + 7x ≥ −16 + 12x.
Al reducir t´erminos semejantes, se obtiene
13x − 22 ≥ −16 + 12x.
Sumando (22 − 12x) a ambos lados de la desigualdad, se obtiene
13x − 22 + 22 − 12x ≥ −16 + 12x + 22 − 12x
x ≥ 6.
Por lo tanto el conjunto soluci´on es {x ∈ R | x ≥ 6}.
98 Cap´ıtulo 8. Desigualdades
8.1.2. Ejercicios
Resolver las siguientes desigualdades.
a) 3(x − 5) − 4(4 − 3x) ≥ 2(7 − x) − 3(x − 5).
b) 3x − 14 < 7x − 2.
c) 3x+1
7
− 2−4x
3
≥ −5x−4
14
+ 7x
6
.
d) −6 < −2
5
(1 − x) ≤ 4.
e) 2
3
[x − (1 − x−2
3
)] + 1 ≤ x.
f) 3x+1
2
≥ x − 5x−9
6
.
g) 2x − 5
3
> x
3
+ 10.
h) 3x − 4 + x
4
< 5x
2
+ 2.
i) 2x+2
5
< 3x−6
10
.
j) x+3
4
− x+2
3
< 2.
8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
8.2.1. Ejercicios resueltos
1. Hallar el conjunto soluci´on de |2x + 3| = 9.
Soluci´on. Primer caso, cuando 2x + 3 ≥ 0, esto es, x ≥ −
3
2
,
|2x + 3| = 2x + 3.
La ecuaci´on se convierte entonces en
|2x + 3| = 2x + 3 = 9
2x = 9 − 3
x = 3.
El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x ≥ −3
2
y x = 3. El
conjunto soluci´on es entonces {3}.
Segundo caso, cuando 2x + 3 < 0, es decir, x < −3
2
|2x + 3| = −(2x + 3) = −2x − 3.
8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto 99
La ecuaci´on se convierte en
|2x + 3| = −2x − 3 = 9
−2x = 9 + 3
x = −6.
El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x < −3
2
y x = −6. El
conjunto soluci´on es entonces {−6}.
El conjunto soluci´on es la uni´on de los conjuntos soluci´on de los dos casos. Por lo tanto, el
conjunto soluci´on es {−6, 3}.
2. Determinar el conjunto soluci´on de |2x − 5| = x + 3.
Soluci´on. El primer caso es cuando 2x − 5 ≥ 0, esto es, x ≥ 5
2
. Se tiene as´ı que |2x − 5| =
2x − 5. Luego
2x − 5 = x + 3
2x − x = 3 + 5
x = 8.
El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x ≥ 5
2
y x = 8, por lo
que el conjunto soluci´on es {8}.
Segundo caso, es decir, x < 5
2
si 2x − 5 < 0. Resulta que |2x − 5| = −(2x − 5) = −2x + 5.
De esta manera, |2x − 5| = x + 3 se convierte en
−2x + 5 = x + 3
−2x − x = 3 − 5
x =
2
3
.
El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x < 5
2
y x = 2
3
. El
conjunto soluci´on es {2
3
}.
Luego, el conjunto soluci´on de |2x − 5| = x + 3 es la uni´on de los conjuntos soluci´on de los
dos casos. Por lo tanto, el conjunto soluci´on es {2
3
, 8}.
3. Determinar el conjunto soluci´on de |2x − 3| ≥ 1.
Soluci´on. |2x − 3| ≥ 1 es equivalente a
2x − 3 ≥ 1 cuando 2x − 3 ≥ 0, o bien
−(2x − 3) ≥ 1 cuando 2x − 3 ≤ 0.
Ahora, resolvemos cada desigualdad y consideramos la uni´on entre ambas soluciones, x ≥ 2
cuando 2x − 3 ≥ 0 uni´on −2x + 3 ≥ 1 cuando 2x − 3 ≤ 0. Es decir, se tiene que la soluci´on
100 Cap´ıtulo 8. Desigualdades
es
x ≥ 2 y x ≥
3
2
uni´on 1 ≥ x y x ≤
3
2
.
Resolviendo cada lado de la uni´on, se obtiene que x ≥ 2 uni´on x ≤ 1. Por lo tanto, el
conjunto soluci´on es {x ∈ R | x ≥ 2 o x ≤ 1}.
8.2.2. Ejercicios
Resolver las siguientes desigualdades.
a) |3x + 1| ≥ 2|x − 6| b) |x + 2| > 3
c) | − 4x + 8| ≤ 5 d) |2x − 5| < 4
e) |3x + 8| ≥ 2 f) |x
7
− 1
6
| < 1
3
g) |3x − 7| ≤ 2 h) |3x − 2| < 4
i) |4x + 2| ≥ 6 j) |2x − 1| ≥ 3.
Cap´ıtulo 9
Funciones elementales
9.1. Logaritmo
El logaritmo de un n´umero dado es el exponente al que tenemos que elevar otro n´umero
llamado base para obtener el n´umero dado. Como
50
= 1, 51
= 5, 52
= 25, 53
= 125,
luego, siendo la base 5 el logaritmo de 1 (se escribe log5(1)) es 0, por que 0 es el exponente
al que tenemos que elevar la base 5 para obtener 1. Luego,
log5(1) = 0, log5(5) = 1, log5(25) = 2, log5(125) = 3.
Cualquier n´umero positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Los sis-
temas de logaritmos usados generalmente son dos, el sistema de logaritmos vulgares o de
Briggs, cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o Neperianos, cuya base es el
n´umero
e = 2.71828182845 . . ..
Propiedades de los logaritmos. Sea b la base del logaritmo, la ecuaci´on by
= A, ser´a equi-
valente a escribir
logb(A) = y.
Propiedades 9.1.1 (a) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
(b) Los n´umeros negativos no tienen logaritmo.
(c) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, es decir,
logb(b) = 1.
101
102 Cap´ıtulo 9. Funciones elementales
(d) El logaritmo de 1 es 0, es decir,
logb(1) = 0.
(e) Los n´umeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo, es decir, si A > 1 se tiene que
logb(A) > 0.
(f) Los n´umeros menores que 1 tienen logaritmo negativo, es decir, si 0 < A < 1 se tiene
que
logb(A) < 0.
(g) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. As´ı,
logb(AB) = logb(A) + logb(B).
(h) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del
divisor. As´ı,
logb
A
B
= logb(A) − logb(B).
(i) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la
base. As´ı,
logb(An
) = n logb(A).
(j) El logaritmo de una ra´ız es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre
el ´ındice de la ra´ız. As´ı,
logb(
n
√
A) =
logb(A)
n
.
9.1.1. Ejercicios resueltos
1. Encuentre y si y = log4 8.
Soluci´on. Escriba y = log4 8 en una forma exponencial equivalente, es decir
8 = 4y
, 23
= 22y
,
2y = 3, y =
3
2
.
2. Encuentre x si log3 x = −2.
Soluci´on. Escriba log3 x = −2 en forma exponencial equivalente
x = 3−2
,
x =
1
32
=
1
9
.
9.1. Logaritmo 103
3. Encuentre b si logb 1000 = 3.
Soluci´on. Escriba logb 1000 = 3 en forma exponencial equivalente
1000 = b3
, luego 103
= b3
, de donde b = 10.
4. Si loge 3 = 1.1 y loge 7 = 1.95, encuentre loge(7
3
) y loge
3
√
21.
Soluci´on.
loge
7
3
= loge 7 − loge 3 = 1.95 − 1.1 = 0.85
loge
3
√
21 = loge(21)
1
3 =
1
3
loge(3)(7) =
1
3
(loge 3 + loge 7)
=
1
3
(1.1 + 1.95) = 1.01.
5. Encuentre x tal que logb x = 2
3
logb 27 + 2 logb 2 − logb 3.
Soluci´on.
logb x =
2
3
logb 27 + 2 logb 2 − logb 3 = logb 27
2
3 + logb 22
− logb 3
= logb 9 + logb 4 − logb 3 = logb
(9)(4)
3
= logb 12.
As´ı, logb x = logb12, por lo tanto x = 12.
9.1.2. Ejercicios
Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas.
a) log (x + 3) + log x = 1.
b) log (3x + 2) = 2 log 2 + log (2x − 1).
c) log 5 + log x = 2.
d) log (6x + 3) − log 3 = log (5x − 3) + log 4.
e) log x + log (x − 3) = 1.
f) log2 8 = x.
g) log x − log 5 = log 2 − log (x − 39).
h) log x − log 8 = 1.
i) log (log x) = 1.
j) log (6x + 3) − log 3 = log 2 − log x.
104 Cap´ıtulo 9. Funciones elementales
9.2. Funci´on exponencial
Se dice que P es una funci´on exponencial de x (la variable es x) con base a si
P = P0ax
,
siendo P0 la cantidad inicial (cuando x = 0 tenemos P = P0) y a es un factor de cambio de
P, cuando x aumenta en 1. Si a > 1 se trata de un crecimiento exponencial; si a < 1 se trata
de una disminuci´on exponencial.
Ejemplo 9.2.1 Si a = 2 y P0 = 3, hacemos variar x para tener la ecuaci´on P = 3(2)x
,
entonces por ejemplo se tiene que
3(2)0
= 3, 3(2)1
= 6, 3(2)2
= 12, 3(2)3
= 24, 3(2)5
= 96.
Propiedades de los exponentes.
A continuaci´on se presentan la lista de las definiciones y propiedades necesarias para mani-
pular los exponentes, algunas de las cuales ya hemos revisado en estas notas.
(a) a0
= 1, (b) a1
= a,
(c) a−1
= 1
a
, (d) a−x
= 1
ax ,
(e) a
1
2 =
√
a, (f) a
1
n = n
√
a,
(g) a
m
n = n
√
am, (h) ax
at
= ax+t
,
(i) ax
at = ax−t
, (j) (ax
)t
= axt
.
(k) Si x < 0 tenemos que 0 < ax
< 1.
(l) Si x > 0 tenemos que ax
> 1.
9.2.1. Ejercicios resueltos
1. Despeje x de 4x−3
= 8.
Soluci´on. Exprese ambos lados en t´erminos de la misma base,
4x−3
= 8, (22
)x−3
= 23
22x−6
= 23
, 2x − 6 = 3
2x = 9, x =
9
2
.
2. Despeje x de 27x+1
= 9.
9.2. Funci´on exponencial 105
Soluci´on. Exprese ambos lados en t´erminos de la misma base,
27x+1
= 9, (33
)x+1
= 32
,
33x+3
= 32
, 3x + 3 = 2,
3x = −1, x = −
1
3
.
3. Tiempo de duplicaci´on. Para cierta bacteria se halla que su tiempo de dupicaci´on es de 25
minutos. Sup´ongase que no hay ning´un cambio en el tiempo de duplicaci´on y que se inicia
con un cultivo de 1000 bacterias. ¿Cu´antas bacterias estar´an presentes en 10 minutos?, ¿y en
5 horas?
Soluci´on. La f´ormula que usaremos es
P(t) = (1000)2
t
25 ,
donde el tiempo t se mide en minutos. Para t = 0 se tiene que
P(10) = (1000)2
10
25 = (1000)2
2
5 = 1000
5
√
4 ≈ 1320.
Para t = 300 obtenemos P(300) = (1000)2
300
25 = (1000)21
2 = 4, 096, 000.
4. Decaimiento radiactivo. El is´otopo del galio 67 usado en el diagn´ostico de tumores ma-
lignos, tiene una vida media de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos del is´otopo,
¿cu´antos miligramos quedar´an despu´es de 24 horas?, ¿despu´es de una semana?
Soluci´on. Se usa el modelo de decaimiento de vida media
A = A0
1
2
t
h
= A02− t
h .
Tomando A0 = 100 y h = 46.5, se obtiene
A = 100(2− t
46.5 ).
El valor de A cuando t = 24 horas es
A = 100(2− 24
46.5 ) = 69.9 miligramos.
El valor de A cuando t = 168 horas (una semana=168 horas) es
A = 100(2− 168
46.5 ) = 8.17 miligramos.
5. Medicina - Crecimiento bacteriano. El c´olera es una enfermedad intestinal causada por la
bacteria del c´olera que se miltiplica exponencialmente por la divisi´on de c´elulas modelada
por
N = N0e1.38t
,
106 Cap´ıtulo 9. Funciones elementales
donde N es el n´umero de bacterias presentes despues de t horas y N0 es el n´umero de bacterias
presentes cuanto t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cu´antas bacterias habr´a en 5 horas?
Soluci´on. Utilice N0 = 1 y t = 5 para obtener que
N = N0e1.386t
= e1.386(5)
= 1020.
9.2.2. Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) e2x−1
= ex
b) ex
e−3
= e5x
e−2
e−x
c) eeex
= ee
d) 4x+1
− 2x
= 0
e) 23x−5
= 5 f) 2x2−7
= 1
8
g) 105x−2
= 100 h) 5
2
= ex+e−x
2
i) ex−1
· ex+1
= e4x−4
j) 106x−1
· 103x+1
= 102x2
.
9.3. Funciones trigonom´etricas
Sea ABC un tri´angulo rect´angulo con ´angulo recto en C. Si denotamos por AB = c, BC = a
y CA = b, tenemos que c2
= a2
+ b2
, y si hacemos α = ∠BAC y β = ∠ABC, podemos
definir las funciones trigonom´etricas seno y coseno de la siguiente manera
sen α =
a
c
,
cos α =
b
c
.
Estas funciones se pueden extender para que esten definidas para cualquier ´angulo entre 0
y 2π, y de hecho para cualquier n´umero real. Las otras 4 funciones trigonom´etricas son las
siguientes.
1. tan(x) =
sen (x)
cos(x)
,
2. cot(x) =
1
tan(x)
,
3. sec(x) =
1
cos(x)
,
9.3. Funciones trigonom´etricas 107
4. csc(x) =
1
sen (x)
.
Algunas identidades de las funciones trigonom´etricas son las siguientes.
1. sen 2
(x) + cos2
(x) = 1,
2. sec2
(x) − tan2
(x) = 1,
3. csc2
(x) − cot2
(x) = 1,
4. sen (x + y) = sen (x) cos(y) + sen (y) cos(x),
5. sen (x − y) = sen (x) cos(y) − sen (y) cos(x),
6. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen (x)sen (y),
7. cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen (x)sen (y),
8. tan(x + y) =
tan(x) + tan(y)
1 − tan(x) tan(y)
,
9. tan(x − y) =
tan(x) − tan(y)
1 + tan(x) tan(y)
,
10. sen (2x) = 2sen (x) cos(x),
11. cos(2x) = cos2
(x) − sen 2
(y),
12. tan(2x) =
2 tan(x)
1 − tan2
(x)
,
13. sen2
(x) =
1 − cos(2x)
2
,
14. cos2
(x) =
1 + cos(2x)
2
,
15. tan2
(x) =
1 − cos(2x)
1 + cos(2x)
.
108 Cap´ıtulo 9. Funciones elementales
9.3.1. Ejercicios
Calcular el valor exacto sin usar tablas o calculadora de las siguientes expresiones.
a) cos 0 b) sen π
2
c) cos −π
6
d) cot 3π
2
e) csc 5π
6
f) sec 11π
6
g) tan −4π
3
h) sec −π
6
i) sen −π
4
j) csc −π.
Bibliograf´ıa
[1] A. Baldor. ´Algebra. Grupo editorial Patria, 2012.
[2] R. Barnett, M. R. Ziegler, K. E. Byleen. Prec´alculo. Funciones y gr´aficas. McGraw Hill,
2000.
[3] R. Bulajich, J. A. G´omez, R. Valdez . Algebra. Cuadernos de Olimpiadas de Matem´ati-
cas, Instituto de Matem´aticas, UNAM - Olimpiada Mexicana de Matem´aticas, UNAM,
2014.
[4] R. David Gustafson, P. Frisk. Beginning and Intermediate Algebra. Brooks/Cole-
Thomson Learning, 2005.
109

Manual propedeutico-final-2014

  • 1.
    Universidad Aut´onoma delEstado de Morelos Facultad de Ciencias Manual Curso proped´eutico 2014
  • 2.
    Curso Proped´eutico Facultad deCiencias, UAEM Ana Baray Esparza Juan Jos´e Catal´an Ram´ırez Dan Sidney D´ıaz Guerrero Rogelio Valdez Delgado Beatriz Villa Bahena
  • 3.
    Introducci´on El curso proped´euticode la Facultad de Ciencias de la UAEM, se imparte a los estudian- tes candidatos a ingresar a la Facultad de Ciencias, a la carrera de Licenciatura en Ciencias, en sus cuatro ´areas terminales como son Bioqu´ımica y biolog´ıa molecular, Ciencias compu- tacionales, F´ısica y Matem´aticas. La duraci´on del curso proped´eutico es de alrededor de 4 semanas. Los temas que se tratan en este curso son principalmente de matem´aticas de nivel bachillerato. Este manual presentan los temas estudiados en el curso proped´eutico, en el orden en que se ense˜nan a lo largo de las 4 semanas de duraci´on del curso. El primer cap´ıtulo, cubre material b´asico de ´algebra, como son sistemas n´umericos, valor absoluto, leyes de los signos, operaciones algebraicas elementales, entre otros. El cap´ıtulo dos, estudia las operaciones b´asicas como suma, multiplicaci´on, divisi´on de expresiones con literales, ya sea de monomios y polinomios. Tambi´en se estudian los radicales y el concepto de racionalizaci´on. El tercer cap´ıtulo, trata acerca de los productos notables b´asicos, y se presentan unos ejemplos geom´etricos de algunos de estos productos. Tambi´en se da una introducci´on al teorema del binomio de Newton. En el cap´ıtulo cuatro se presenta, lo que se podr´ıa llamar la operaci´on inversa de tomar el producto de dos expresiones, es decir, el concepto de factorizaci´on de expresiones algebraicas. Se pone especial enf´asis en los distintos m´etodos de factorizaci´on que existen o en los m´as conocidos. El quinto cap´ıtulo estudia las ecuaciones de primer grado, as´ı como el planteamiento de pro- blemas que se resuelven usando este tipo de ecuaciones. De la misma manera, en el cap´ıtulo seis se estudian las ecuaciones de segundo grado, la deducci´on de la f´ormula general por el m´etodo de completar cuadrados y se hacen observaciones fundamentales acerca del discrimi- nante de una ecuaci´on cuadr´atica. Al final, tambien se estudian problemas que se resuelven por medio de ecuaciones de segundo grado. El cap´ıtulo siete trata acerca de los diferentes m´etodos de resoluci´on de sistemas de ecua- ciones, ya sea de sistemas de dos inc´ognitas o de tres inc´ognitas, incluyendo el m´etodo del determinante. Se presentan aplicaciones para la resoluci´on de problemas. En el cap´ıtulo ocho se da un estudio breve de las desigualdades, as´ı como de las inecuaciones y su relaci´on con el valor absoluto.
  • 4.
    II El cap´ıtulo nuevetrata acerca de funciones elementales b´asicas, como son la funci´on logarit- mo, las funciones exponenciales y las funciones trigonom´etricas, con especial enf´asis en la resoluci´on de ecuaciones con este tipo de funciones. A lo largo del material de este manual, se presentan varios ejemplos resueltos de los temas vistos en cada cap´ıtulo o secci´on, y al final de casi todas las secciones de estas notas, una lista de ejercicios para el lector es presentada. Estos ejercicios pueden funcionar como parte de la tarea del curso. Gran parte del material usado para la elaboraci´on de este manual se recopilo de las clases te´oricas presentadas por distintos profesores investigadores, que a lo largo de los ´ultimos a˜nos han impartido el curso proped´eutico.
  • 5.
    ´Indice general Introducci´on I 1.N´umeros 1 1.1. Los n´umeros enteros y fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Los n´umeros racionales e irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Los n´umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1. Sistema decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2. N´umeros con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3. Elecci´on del sentido positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.4. El cero, los n´umeros positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Los s´ımbolos de relaci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) . . . . . . . 9 1.6.1. Los s´ımbolos de agrupamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2. Ley de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.5. Potencias de n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. Productos de potencias de un mismo n´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Operaciones con literales 13 2.1. Propiedades de los n´umeros reales con la suma y la multiplicaci´on . . . . . . 13 2.2. T´erminos y notaci´on algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Clasificaci´on de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III
  • 6.
    IV ´Indice general 2.3.1.Suma de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2. Suma de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.3. Suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Producto y potencias de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1. Multiplicaci´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2. Potencias de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6. Divisi´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6.1. Ley de los signos en la divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.2. Divisi´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7. Simplificaci´on de expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7.1. Principios fundamentales de las fracciones . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7.2. Simplificaci´on de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8. Suma y resta de expresiones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9. Potencias fraccionarias y simplificaci´on de radicales . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9.1. Ra´ız de un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.9.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.10. Racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.10.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Productos notables 35 3.1. Ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.1. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos n´umeros entre la suma o resta de los n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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    ´Indice general V 3.3.2.Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos n´umeros entre la suma o resta de los n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos n´umeros entre la suma o resta de los n´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4. Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.1. Tri´angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4. Factorizaci´on 45 4.1. Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Factorizaci´on de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3. Distintos tipos de factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Fracciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5. Ecuaciones de primer grado 63 5.1. Clases de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2. Concepto de solucion de una ecuaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6. Ecuaciones de segundo grado 69 6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.1.1. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + c = 0 . . . . . . . . . . . 69 6.1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.1.4. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + bx = 0 . . . . . . . . . . 71 6.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2. Ecuaci´on general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2.1. Deducci´on de la formula general de la soluci´on de una ecuaci´on de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
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    VI ´Indice general 6.2.4.Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.4. Soluci´on de ecuaciones de grado mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.4.1. Procedimiento para resolver ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . 80 6.4.2. Soluci´on de ecuaciones por factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7. Sistemas de ecuaciones lineales 83 7.1. Concepto de soluci´on de un sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.2.1. M´etodo de igualaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.2.2. M´etodo de sustituci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.2.3. M´etodo de suma o resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2.4. M´etodo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3. Planteamiento de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8. Desigualdades 95 8.1. Desigualdades de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9. Funciones elementales 101 9.1. Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.1.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.2. Funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.2.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3. Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
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    Cap´ıtulo 1 N´umeros Consideramos queel lector est´a familiarizado con el conjunto de n´umeros que se utilizan para contar. A este conjunto se le conoce como el conjunto de n´umeros naturales y se denota por N, es decir, N = {1, 2, 3, . . .}. En este conjunto estamos acostumbrados a realizar dos operaciones, la suma y la multipli- caci´on, entendiendo con esto que si sumamos o multiplicamos dos n´umeros del conjunto obtenemos otro n´umero natural. A estas operaciones las conocemos como la suma (o adi- ci´on) y la multiplicaci´on (o producto). En algunos libros el 0 se considera tambi´en como un n´umero natural, sin embargo, en este libro no, pero convenimos que 0 es tal que n + 0 = n, para todo n´umero natural n. Ahora, supongamos que deseamos resolver la ecuaci´on x + a = 0, con a ∈ N, es decir, encontrar una x para la cual la igualdad anterior se cumpla. Esta ecuaci´on no tiene soluci´on en el conjunto de los n´umeros naturales N, por lo cual necesitamos definir un conjunto de n´umeros que incluya al conjunto de n´umeros N y a sus negativos. Es decir, necesitamos extender el conjunto de los n´umeros N para que este tipo de ecuaciones tengan soluci´on en el nuevo conjunto. A este conjunto lo llamamos el conjunto de los n´umeros enteros y lo denotamos por Z, es decir, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. En este conjunto tambi´en hay dos operaciones, la suma y la multiplicaci´on, que satisfacen las siguientes propiedades. Propiedades 1.0.1 (a) La suma y la multiplicaci´on de n´umeros enteros son operaciones conmutativas. Esto es, si a, b ∈ Z, entonces a + b = b + a y ab = ba. 1
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    2 Cap´ıtulo 1.N´umeros (b) La suma y el producto de n´umeros enteros son operaciones asociativas. Esto es, si a, b y c ∈ Z, entonces (a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc). (c) Existe en Z un elemento neutro para la suma, el n´umero 0. Es decir, si a ∈ Z, entonces a + 0 = 0 + a = a. (d) Existe en Z un elemento neutro para la multiplicaci´on, el n´umero 1. Es decir, si a ∈ Z, entonces a1 = 1a = a. (e) Para cada a ∈ Z existe su inverso aditivo que se denota por −a. Esto es, a + (−a) = (−a) + a = 0. (f) En Z, el producto se distribuye con respecto a la suma. Es decir, si a, b y c ∈ Z, entonces a(b + c) = ab + ac. Notemos que la existencia del inverso aditivo nos permite resolver cualquier ecuaci´on del tipo mencionado, es decir, x + a = b, donde a y b son n´umeros enteros. Sin embargo, no existe necesariamente un n´umero entero x que resuelva la ecuaci´on qx = p, con p y q n´ume- ros enteros, por lo que nuevamente surge la necesidad de extender el conjunto de n´umeros. Consideramos ahora el conjunto de los n´umeros racionales, que denotamos como Q, es decir, Q = p q | p ∈ Z y q ∈ Z{0} . En general, para trabajar con los n´umeros racionales p q pedimos que p y q no tengan factores primos comunes, es decir, que sean primos relativos, esto lo denotamos como (p, q) = 1. En el conjunto de n´umeros racionales tambi´en existen las operaciones de suma y producto, las cuales cumplen las mismas propiedades que los n´umeros enteros. Adem´as, en el producto existe otra propiedad: la existencia del inverso multiplicativo. Propiedad 1.0.2 Si p q ∈ Q, con p = 0 y (p, q) = 1, entonces existe un ´unico n´umero, q p ∈ Q, llamado el inverso multiplicativo de p q tal que p q · q p = 1. Con esta nueva propiedad tenemos garant´ıa de poder resolver cualquier ecuaci´on de la for- ma qx = p. Sin embargo, existen n´umeros que no podemos escribir como cociente de dos n´umeros enteros, por ejemplo, si queremos resolver la ecuaci´on x2 − 2 = 0, ´esta no tiene soluci´on en el conjunto de los n´umeros Q. Las soluciones de la ecuaci´on son x = ± √ 2 y ahora mostremos que √ 2 no est´a en Q.
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    1.1. Los n´umerosenteros y fraccionarios 3 Proposici´on 1.0.3 El n´umero √ 2 no es un n´umero racional. Demostraci´on. Supongamos lo contrario, es decir, que √ 2 es un n´umero racional, entonces lo podemos escribir como √ 2 = p q , donde p y q no tienen factores comunes. Elevando al cuadrado de ambos lados tenemos que 2 = p2 q2 , es decir, 2q2 = p2 . Esto quiere decir, que p2 es un n´umero par, pero entonces el mismo p es par. Pero si p es par, digamos de la forma p = 2m, entonces 2q2 = (2m)2 = 4m2 . Dividiendo entre 2 ambos lados de la ecuaci´on tenemos que q2 = 2m2 , esto es, q2 es par y entonces q es tambi´en par. As´ı, p y q son pares, contradiciendo el hecho de que p y q no tienen factores comunes. Por lo tanto, √ 2 no es un n´umero racional. 1.1. Los n´umeros enteros y fraccionarios Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) realizaran la sistematiza- ci´on de los conocimientos matem´aticos, los babilonios y los egipcios conoc´ıan las fracciones. La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc., llev´o al hombre a introducir n´umeros fraccionarios. Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud con- tinua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de dos cosas, que la unidad est´e contenida en un n´umero entero de veces, o que no est´e contenida en un n´umero entero de veces. En el primer caso representamos el resultado de la medici´on con un n´umero entero. En el segun- do caso tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres, en cuatro, o en tantas partes iguales como sea necesario; de este modo hallaremos una fracci´on de la unidad que est´e contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta ´ultima medici´on lo expresaremos con un par de n´umeros enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dar´a el n´umero de partes en que hemos di- vidido la unidad, y el numerador el n´umero de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen de este modo los n´umeros fraccionarios. Algunos ejemplo de n´umeros fraccionarios son 1 2 , 1 3 , 3 5 , 7 3 . Podemos decir tambi´en que son n´umeros fraccionarios, los que nos permiten expresar el cociente de una divisi´on inexacta, o lo que es lo mismo, una divisi´on en la cual el dividendo no es m´ultiplo del divisor. Un caso particular de n´umeros fraccionarios, son los n´umeros enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una divisi´on exacta. Como ejemplo de n´umeros enteros tenemos 1, 2, 3, 4, . . .. El 0 es un n´umero entero. Los n´umeros −1, −2, −3, etc., tambi´en son n´umeros enteros, a estos se les conoce como enteros negativos.
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    4 Cap´ıtulo 1.N´umeros 1.2. Los n´umeros racionales e irracionales Los n´umeros racionales, como vimos anteriormente, son aquellos que se pueden representar de la forma p q , donde p y q son n´umeros enteros y q es distinto de cero, es decir, los n´ume- ros racionales son todos los n´umeros enteros y fraccionarios, tanto los positivos como los negativos, por ejemplo, 1 2 , −5 3 , 3 1 . Existen n´umeros que no se pueden representar de la forma p q , a estos se les llama n´umeros irracionales, por ejemplo, √ 3, √ 5, π, e. Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los n´umeros irracionales. Los historiadores de la matem´atica, est´an de acuerdo en atribuir a Pit´agoras (550 A. C.) el descubrimiento de estos n´umeros, al establecer la relaci´on entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. M´as tarde, Teodoro de Cirene (400 A. C.), matem´atico de la escuela pitag´orica, demostr´o geom´etricamente que √ 2, √ 3, √ 5, √ 7, etc., son irracionales. Euclides (300 A. C.), estudi´o en el libro X de sus “Elementos”, ciertas magnitudes que al ser medidas no se encuentra ning´un n´umero entero ni fraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman inconmensurables, y los n´umeros que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales. 1.3. Los n´umeros reales Se les llama n´umeros reales a los n´umeros descritos anteriormente (enteros, racionales e irracionales). Se pueden representar en forma decimal (como veremos a continuaci´on), por ejemplo el n´umero 1 lo podemos escribir como 1.000 . . ., el −3 como −3.000 . . . , la fracci´on 1 3 como 0.333 . . ., √ 2 como 1.4142 . . ., π = 3.1415 . . . . 1.3.1. Sistema decimal El sistema decimal es un sistema posicional en el que cada d´ıgito toma un valor de acuerdo a su posici´on con relaci´on al punto decimal. Esto es, el d´ıgito se multiplica por una potencia de 10. Para el d´ıgito de las unidades, o sea, el d´ıgito que est´a inmediatamente a la izquierda del punto decimal, lo tenemos que multiplicar por 10n , con n = 0. El d´ıgito de las decenas lo multiplicamos por 101 = 10. El exponente aumenta de uno en uno conforme nos movemos a la izquierda y disminuye de uno en uno conforme nos movemos a la derecha. Por ejemplo, 87325.31 = 8 · 104 + 7 · 103 + 3 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100 + 3 · 10−1 + 1 · 10−2 . En general, todo n´umero real puede escribirse como una expansi´on decimal infinita de la siguiente manera bm . . . b1b0.a1a2a3 . . . , donde los bi y los ai est´an en {0, 1, . . . , 9}. Los puntos suspensivos de la derecha signifi- can que despu´es del punto decimal podemos tener una infinidad de d´ıgitos, as´ı el n´umero
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    1.3. Los n´umerosreales 5 bm . . . b1b0.a1a2a3 . . . , representa al n´umero real bm · 10m + · · · + b1 · 101 + b0 · 100 + a1 · 10−1 + a2 · 10−2 + · · · . Por ejemplo, 1 3 = 0.3333 . . . , 3 7 = 0.428571428571 . . ., 1 2 = 0.50000 . . . , √ 2 = 1.4142135 . . .. Con esta notaci´on podemos tambi´en distinguir entre los n´umeros racionales y los irracionales. Los n´umeros racionales son aquellos para los cuales la expansi´on decimal es finita o bien infinita pero en alg´un momento se hace peri´odica, como por ejemplo en 34 275 = 0.123636 . . ., que se hace peri´odica de periodo 2 a partir del tercer d´ıgito. En cambio, para los n´umeros irracionales, la expansi´on decimal es infinita, pero no s´olo eso, sino que adem´as nunca se hace peri´odica. 1.3.2. N´umeros con signo En ´Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos, es decir, que son de condici´on o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condici´on o modo de ser de las cantidades por medio de los signos + y −, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo − a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas). As´ı, por ejemplo, el tener, se designa con el signo + y las deudas con el signo −. Para expresar que una persona tiene 100, diremos que tiene +100, y para expresar que debe 100, diremos que tiene −100. Los grados sobre cero del term´ometro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo −. As´ı, para indicar que el term´ometro marca 10◦ sobre cero escribiremos +10◦ y para indicar que marca 8◦ bajo cero escribiremos −8◦ . El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto dado, se designa con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de ese mismo punto se representa con el signo −. As´ı, si hemos recorrido 200 m, a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido +200 m, y si recorremos 300 m a la izquierda del mismo punto, escribiremos −300 m. El tiempo transcurrido despu´es de Cristo, se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo, negativo. As´ı, +150 a˜nos significa 150 a˜nos D.C. y −78 a˜nos significa 78 a˜nos A.C. En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porci´on que se halla del suelo hacia arriba y con el signo − la porci´on que se halla del suelo hacia abajo. As´ı, para expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m, escribiremos +15 m, y si la porci´on introducida en el suelo es de 8 m, escribiremos −8 m.
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    6 Cap´ıtulo 1.N´umeros La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo −; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya situaci´on geogr´afica sea +45◦ de longitud y −15◦ de latitud se hallar´a a 45◦ al este del primer meridiano y a 15◦ bajo el Ecuador. 1.3.3. Elecci´on del sentido positivo La elecci´on de fijar el sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos, es arbitraria, depende de nuestra voluntad, es decir, podemos elegir uno de los sentidos como sentido positivo, pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a ´este ser´a el negativo. As´ı, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la derecha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto ser´a negativo, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del punto ser´ıa negativo. 1.3.4. El cero, los n´umeros positivos y negativos El cero es la ausencia de cantidad. Los n´umeros positivos son todos los n´umeros reales ma- yores que cero, en algunas ocasiones estos n´umeros est´an precedidos por el signo +. Los n´umeros negativos son todos los n´umeros reales menores que cero, estos n´umeros se carac- terizan por ser precedidos por el signo −. Ejemplos de n´umeros positivos: 5, +0.25, 1 7 , π. Ejemplos de n´umeros negativos: −2, −0.333 . . . , −1 5 , −π. 1.4. Los s´ımbolos de relaci´on de orden En los n´umeros reales est´a definida una relaci´on de orden, como se enuncia a continuaci´on. Propiedades 1.4.1 Si x, y son n´umeros reales, se cumple una y solamente una de las condi- ciones siguientes: (a) x = y, (b) x < y, (c) x > y. El s´ımbolo = se lee igual a. As´ı, x = y se lee “x igual a y”. El s´ımbolo < se lee menor que. As´ı, x < y se lee “x menor que y”. El s´ımbolo > se lee mayor que. Luego, x > y se lee “x mayor que y”.
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    1.5. Valor absoluto7 1.5. Valor absoluto Definimos el valor absoluto de un n´umero real x como |x| = x, si x ≥ 0, −x, si x < 0. Para k un n´umero real no negativo, la identidad |x| = k s´olo la satisfacen los n´umeros x = k y x = −k. La desigualdad |x| ≤ k es equivalente a −k ≤ x ≤ k, lo cual podemos ver de la siguiente manera. Si x ≥ 0, entonces 0 ≤ x = |x| ≤ k. Por otro lado, si x ≤ 0, entonces −x = |x| ≤ k, de donde x ≥ −k. Como consecuencia de lo anterior observemos que x ≤ |x|. En la figura siguiente se muestran los valores de x que satisfacen la desigualdad, ´estos son los que se encuentran entre −k y k, incluy´endolos. Al conjunto [−k, k] = {x ∈ R | − k ≤ x ≤ k} le llamamos un intervalo cerrado, ya que contiene a k y −k. A −k y k les llamamos los puntos extremos del intervalo. An´alogamente, la desigualdad |x| ≥ k es equivalente a x ≥ k o −x ≥ k. En la figura siguiente los valores de x que satisfacen las desigualdades son los que se encuentran antes, o son iguales, a −k o despu´es, o son iguales, a k. El conjunto (−k, k) = {x ∈ R | −k < x < k} le llamamos un intervalo abierto, ya que no contiene a k y −k, es decir, un intervalo abierto es aquel que no contiene sus puntos extremos. Con esta definici´on vemos que el conjunto de las x que cumplen que |x| ≥ k, son los valores de x /∈ (−k, k). Observaci´on 1.5.1 Si x es un n´umero real cualquiera, entonces la relaci´on entre la ra´ız cuadrada y el valor absoluto est´a dada por √ x2 = |x|, la identidad se sigue de que |x|2 = x2 y |x| ≥ 0. Propiedades 1.5.2 Si x y y son n´umeros reales, se cumple lo siguiente: (a) |xy| = |x||y|. De aqu´ı se sigue tambi´en que x y = |x| |y| , si y = 0. (b) |x + y| ≤ |x| + |y|, donde la igualdad se da si y s´olo si xy ≥ 0. 1.5.1. Ejercicios resueltos 1. Hallar el valor absoluto de los siguientes n´umeros: a) 4, b) −7, c) 0.47, d) −0.3, e) 1 2 , f) −5 8 . Soluci´on. Es directo ver que |4| = 4, |7| = 7, |0.47| = 0.47, |−0.3| = 0.3, 1 2 = 1 2 , −5 8 = 5 8 . 2. Resuelva la ecuaci´on |2x − 4| = |x + 5|.
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    8 Cap´ıtulo 1.N´umeros Soluci´on. Tenemos que |2x − 4| = 2x − 4, si x ≥ 2, −2x + 4, si x < 2. Adem´as, tenemos que |x + 5| = x + 5, si x ≥ −5, −x − 5, si x < −5. Si x ≥ 2, entonces 2x−4 = x+5, es decir, x = 9. Si x < −5, entonces −2x+4 = −x−5, de donde x = 9, lo cual es imposible ya que x < −5. El ´ultimo caso que nos falta considerar es −5 ≤ x < 2, entonces la ecuaci´on que tenemos que resolver es −2x+4 = x+5, despejando x, tenemos que x = −1 3 . Por lo tanto, los n´umeros que resuelven la ecuaci´on son x = 9 y x = −1 3 . 1.5.2. Ejercicios Hallar el valor absoluto de los siguientes n´umeros: a) 3.1416 b) −27 + 14 c) −1.4142 d) 2 − π. Resuelva las ecuaciones siguientes. e) 2 3 x + 3 + 4 = 10 f) |5x + 3| = |3x + 25|. En cada caso encuentra los n´umeros reales x que satisfacen la ecuaci´on. g) |x − 1| − |x + 1| = 0. h) |x − 1||x + 1| = 1. i) |x − 1| + |x + 1| = 2. Muestra lo siguiente. j) Si a y b son n´umeros reales cualesquiera, demuestra que ||a| − |b|| ≤ |a − b|.
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    1.6. Operaciones algebraicas(suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) 9 1.6. Operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) Los n´umeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. En ma- tem´aticas, las letras se emplean usualmente para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas usualmente se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, . . . . Las cantidades desconocidas usualmente se representan por las ´ultimas letras del alfabeto: w, x, y, z. En ´Algebra se pueden aplicar a cantidades las mismas operaciones que se usan en aritm´etica como son la suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on, que se indican con los signos siguientes: El signo de la suma es +, que se lee m´as. As´ı x + y se lee “x m´as y”. El signo de la resta es −, que se lee menos. As´ı x − y se lee “x menos y”. El signo de la multiplicaci´on es ×, que se lee multiplicando por. As´ı, x × y se lee “x mul- tiplicando por y ”. En lugar del signo ×, se puede usar un punto entre los factores y tambi´en se indica la multiplicaci´on colocando los factores entre par´entesis. As´ı x·y = (x)(y) = x×y. Entre factores literales o entre un factor num´erico y un literal, el signo de la multiplicaci´on suele omitirse. Por ejemplo x × y × z = xyz, 5 × x × w = 5xw. El signo de la divisi´on se denota por ÷, que se lee dividido entre. As´ı, x ÷ y se lee “x dividido entre y ”. Tambi´en se indica la divisi´on separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. De esta manera, x y equivale a x ÷ y. 1.6.1. Los s´ımbolos de agrupamiento Los s´ımbolos de agrupamiento son ( ), [ ], { }. Se utilizan para dar una jerarqu´ıa en el orden de las operaciones. Sea x un n´umero real, convenimos que x = (x) = [x] = {x}. As´ı, (x + y)z indica que el resultado de la suma de x y y debe multiplicarse por z; [w − x]y indica que la diferencia entre w y x debe multiplicarse por y; {w + x} ÷ {y − z} indica que la suma de w y x debe dividirse entre la diferencia de y y z. Por ejemplo, si tenemos 5 + {4 + [3 − (2 × 5)]} significa que primero debemos realizar la operaci´on (2×5), as´ı obtenemos 5+{4+[3−10]}. Despu´es realizamos la operaci´on [3−10], as´ı obtenemos 5 + {4 − 7}, y por ´ultimo realizamos la operaci´on {4 − 7}, por lo que 5 + {4 + [3 − (2 × 5)]} = 5 − 3 = 2.
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    10 Cap´ıtulo 1.N´umeros 1.6.2. Ley de los signos La ley de los signos es la siguiente: (+)(+) = + (+)(−) = − (−)(+) = − (−)(−) = +. Cuando realizamos operaciones con los n´umeros reales es posible que obtengamos expresio- nes como 5 + (+9), −1 − (−3), 2 + (−5), 4 − (+6). En estos casos aplicamos la ley de los signos de la siguiente manera 5 + (+9) = 5 + 9, −1 − (−3) = −1 + 3, 2 + (−5) = 2 − 5, 4 − (+6) = 4 − 6. 1.6.3. Ejercicios resueltos Calcule las operaciones indicadas. 1. −(2 + 5) + (−3) = −(7) − 3 = −7 − 3 = −10. 2. (−5)(15) + (2 − 7) = (−75) + (−5) = −75 − 5 = −80. 3. (−2) 5 −7 8 = (−2(8)) (5(−7)) = −16 −35 = 16 35 . 4. (−6 + 2)(−5) (1 − 3)(4) = (−4)(−5) (−2)(4) = 20 −8 = −5 2 . 1.6.4. Ejercicios Calcule las operaciones indicadas. a) 1 − 1 2 + 1 4 b) −2 − 7 + 8 c) 5 − 1 2 (2 − 3(1 2 )) d) 7 + 1 3 (4 − 6(3 2 − 1 3 )) e) 2 3 + 1 2 +(−2)+7( 1 4 ) f) −3(1−2)+2{−4[−2−3(1+1)]}−{−[−(1+1)]}
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    1.6. Operaciones algebraicas(suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on) 11 g) 2(1 5 ) + {−[5 7 + (3 5 − 5 6 ) + 2 − (−1 5 + 1 7 − (5 6 + 4)] − (−1 5 + 1 7 )} h) 5 + {−(2 + 7) − [−4 + 21 − (2 + 7) + (−2 − 7) + (−2 + 7) − 2} i) −{5 + 1 3 − 2(5 − 1 3 ) + 3{−[10 + 1 3 − 3(5 + 1 3 − 1)]} − 3[−5 + 2(−1 + 5)]} j) 3 2 − 3(3 2 + 2 5 ) + [−{−(−3 + 2 5 − 2 − 3[3 2 − 2 5 + 1]) + 3 2 }]. 1.6.5. Potencias de n´umeros El signo de elevar a una potencia es el exponente, que es un n´umero peque˜no colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base se toma como factor. As´ı, si n es un n´umero entero mayor que cero tenemos que xn = x · x · . . . · x n-veces , x−n = x−1 · x−1 · . . . · x−1 n-veces . Si n = 0 tenemos que x0 = 1. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. As´ı, x equivale a x1 , xyz equivale a x1 y1 z1 . 1.6.6. Ejercicios resueltos Calcula las potencias indicadas. 1. 22 = 2 · 2 = 4. Recuerda que el n´umero que aparece en el exponente es el n´umero de veces que multiplicaras por si mismo el n´umero que aparece en la base. No multiplicas estos dos n´umeros, esto quedar´a m´as claro con los siguientes ejemplos. 2. (−3)3 = (−3)(−3)(−3) = 9(−3) = −27. 3. 1 4 2 = 1 4 1 4 = 1 16 . 4. 3 5 4 = 3 5 3 5 3 5 3 5 = 9 25 9 25 = 81 625 . 1.6.7. Ejercicios Simplifica los siguientes n´umeros. a) 4 4+4 4 − 4 · 4 b) 24 42 + 2−1 −12 c) 32 − 3−2 d) 42 − 52 e) 210 · 220 . f) (32 )3 − (3−2 )3 g) (42 )5 − (3−2 )4 h) (2−1 ) 1 2 (22 ) i) (10 · 1015 )0 j) (33 ) 2 32 3 4 )(92 .
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    12 Cap´ıtulo 1.N´umeros 1.7. Productos de potencias de un mismo n´umero Las leyes de los exponentes se enuncian a continuaci´on. Propiedades 1.7.1 Sean n, m n´umeros enteros, y sea x un n´umero real, entonces (a) xn xm = xn+m . (b) (xn )m = xnm . (c) (xy)n = xn yn . (d) 1 xn = x−n , para x = 0 y n > 0. 1.7.1. Ejercicios resueltos Resuelve las siguientes multiplicaciones. 1. 2 · 23 = 2 · 23 = 21+3 = 24 = 16. 2. 6·64 = 61+4 = 65 = 7, 776. Cuando las potencias result´an n´umeros muy grandes como en el caso anterior, la respuesta 65 es suficiente. 3. (3.143 )(3.145 ) = (3.143+5 ) = 3.148 . 4. (7−2 )(73 ) = 7−2+3 = 71 = 7. 5. (0.716 )(0.71−3 ) = 0.716+(−3) = 0.716−3 = 0.713 . 6. 1 324 · 328 = 32−4 · 328 = 32−4+8 = 324 . 7. (69 )(63 ) 1 613 (61 ) = (69 )(63 )(6−13 )(61 ) = 69+3+(−13)+1 = 69+3−13+1 = 60 = 1. 1.7.2. Ejercicios Encuentra el valor de x en las siguientes igualdades. a) (1100 )(10 ) = x b) (65 )(6−3 )(34 ) = x c) 7x = 2401 d) 34 + 96 + 813 = x e) 1x − 10x = 0 f) (45 )(648 ) = 1 4 + x.
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    Cap´ıtulo 2 Operaciones conliterales 2.1. Propiedades de los n´umeros reales con la suma y la multiplicaci´on De la misma manera que para n´umeros enteros, existen ciertas propiedades que se cumplen para la suma y multiplicaci´on de n´umeros reales, las cuales enunciamos a continuaci´on. Propiedades 2.1.1 (a) Asociatividad. Para todos x, y, z n´umeros reales, tenemos que x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z. (b) Conmutatividad. Para todos x, y n´umeros reales, tenemos que x + y = y + x, xy = yx. (c) Existencia de elementos neutros. Existe un n´umero y s´olo un n´umero, el 0 (cero), tal que x + 0 = 0 + x = x, para cualquier n´umero real x. Existe un n´umero y s´olo un n´umero, el 1 (uno), tal que x· 1 = 1 · x = x, para cualquier n´umero real x. (d) Existencia de elementos inversos. Para todo x n´umero real, existe el n´umero real −x tal que x + (−x) = (−x) + x = 0. Para todo x n´umero real, x = 0 (x distinto de cero), existe el n´umero real x−1 tal que x · x−1 = x−1 · x = 1. 13
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    14 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales (e) Leyes distributivas. Para todos x, y, z n´umeros reales, tenemos que x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz. 2.2. T´erminos y notaci´on algebraica Expresi´on algebraica. Es la representaci´on de un s´ımbolo algebraico o de una o m´as opera- ciones algebraicas. Veamos los siguientes ejemplos: a, b c , x, −4y, √ ax + z, 2x − 3y x3 , 1 x + 3 x2 . T´ermino. Es una expresi´on algebraica que consta de un s´olo s´ımbolo o de varios s´ımbolos, sin estar separados entre s´ı por por alguno de los signos + o −. Ejemplos de expresiones algebraicas con un t´ermino: y, xy, −5ab, x z2 . Ejemplos de expresiones algebraicas con m´as de un t´ermino: x + y, w − z, a + b + c, x y4 + x2 y5 − x3 y6 . Los elementos de un t´ermino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal, y el grado. El signo. Los t´erminos positivos son aquellos que van precedidos del signo +, los t´erminos negativos son aquellos que van precedidos del signo −. Ejemplos de t´erminos positivos: +x, +9a, +5yz, + x z . Ejemplos de t´erminos negativos: −x, −3b, −6ay, − z w4 . Nota. Cuando un t´ermino no va precedido de ning´un signo significa que es positivo. As´ı x es lo mismo que +x. El coeficiente. En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coefi- ciente del otro factor. As´ı, en el producto 3x el factor 3 es coeficiente del factor x e indica que el factor x se toma como sumando tres veces, es decir, 3x = x+x+x; en el producto 5y, el factor 5 es el coeficiente de y e indica que 5y = y + y + y + y + y. ´Estos son coeficientes n´umericos.
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    2.3. Clasificaci´on delas expresiones algebraicas 15 En el producto nx donde n es un entero mayor que cero, el factor n es coeficiente del factor x, e indica que x se toma como sumando n veces, o sea nx = x + x + · · · + x n-veces . Si tenemos el producto −nx, el factor −n es el coeficiente de x, e indica la resta de n veces el factor x, o sea −nx = −x − x − · · · − x n-veces . Si n = 0 tenemos que 0x = 0. En el producto xy, el factor x es el coeficiente del factor y. ´Este es un coeficiente literal. En el producto de m´as de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. As´ı en el producto wxyz, w es el coeficiente de xyz, wx es el coeficiente de yz, wxy es el coeficiente de z. Cuando una cantidad no tiene coeficiente num´erico, su coeficiente es la unidad. As´ı, x equi- vale a 1x, xyz equivale a 1xyz. La parte literal la constituyen las letras que haya en el t´ermino. As´ı, en 5xy la parte literal es xy; en 3x3y4 2ab la parte literal es x3y4 ab . El grado de un t´ermino puede ser de dos clases: absoluto y con relaci´on a una letra. El grado absoluto de un t´ermino es la suma de los exponentes de sus factores literales. As´ı, el t´ermino 4x es de primer grado por que el exponente del factor literal x es 1; el t´ermino xy es de segundo grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 2; el t´ermino x2 y es de tercer grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 3; 5x4 y3 z2 es de noveno grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 9. El grado de un t´ermino con relaci´on a una letra es el exponente de dicha letra. As´ı el t´ermino bx3 es de primer grado con relaci´on a b y de tercer grado con relaci´on a x; 4x2 y4 es de segundo grado con relaci´on a x y de cuarto grado con relaci´on a y. 2.3. Clasificaci´on de las expresiones algebraicas Un monomio es una expresi´on algebraica que consta de un s´olo t´ermino, dos ejemplos son 3x y −5yz2 . Un polinomio es una expresi´on algebraica que consta de m´as de un t´ermino, por ejemplo x3 + 2x2 + 5y + 1. Un binomio es un polinomio que consta de dos t´erminos, por ejemplo x2 3 − 5mx4 6y2 . Un trinomio es un polinomio que consta de tres t´erminos, por ejemplo 5w4 + 10z3 + 5w2 .
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    16 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales Para ordenar un polinomio se deben escribir sus t´erminos de modo que los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, queden en orden descendente o ascendente. As´ı, ordenar el polinomio −5x3 + x5 − 3x + x4 − x2 + 6 en orden descendente con relaci´on a x ser´a escribir x5 + x4 − 5x3 − x2 − 3x + 6. Ordenar el polinomio x4 y−7x2 y3 −5x5 +6xy4 +y5 −x3 y2 en orden ascendente con relaci´on a x ser´a escribirlo en la forma y5 + 6xy4 − 7x2 y3 − x3 y2 + x4 y − 5x5 . 2.3.1. Suma de monomios y polinomios La suma o adici´on es una operaci´on que tiene por objeto reunir dos o m´as expresiones alge- braicas (sumandos) en una sola expresi´on algebraica (suma). As´ı, la suma de a y b es a + b, por que esta ´ultima expresi´on es la reuni´on de las dos expresiones algebraicas dadas a y b. T´erminos semejantes. Dos o m´as t´erminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen letras iguales con exponentes iguales. Por ejemplo, los t´erminos 2x y x son semejantes por que tienen la misma parte literal; los t´erminos 4wz y −6w2 z no son semejantes, por que aunque tienen iguales letras, ´estas no tienen los mismos exponentes, ya que la w del primero t´ermino tiene de exponente 1 y la w del segundo tiene de exponente 2. La reducci´on de t´erminos semejantes es una operaci´on que tiene por objeto convertir en un s´olo t´ermino, dos o m´as t´erminos semejantes. Para reducir dos o m´as t´erminos semejantes se suman los coeficientes y a continuaci´on de la suma, se escribe la parte literal. Veamos los siguientes ejemplos, donde se reducen t´erminos semejantes. Ejemplo 2.3.1 1. 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x. 2. −m − 3m − 6m − 5m = (−1 − 3 − 6 − 5)m = −15m. Notemos que −m = −1m. 3. 1 2 ab + 2 3 ab = (1 2 + 2 3 )ab = 7 6 ab. 4. −1 3 x2 y − 2 3 x2 y = (−1 3 − 2 3 )x2 y = −3 3 x2 y = −x2 y. 5. 18x − 11x = (18 − 11)x = 7x. 6. −3 7 a2 b + a2 b = (−3 7 + 1)a2 b = 4 7 a2 b. 2.3.2. Suma de monomios Para sumar dos o m´as expresiones algebraicas se escriben unas a continuaci´on de las otras con sus propios signos y se reducen los t´erminos semejantes, si los hay. Como ejemplos tenemos los siguientes.
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    2.3. Clasificaci´on delas expresiones algebraicas 17 Ejemplo 2.3.2 1. Sumar 5a, 6b y 8c. Los escribimos unos a continuaci´on de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a, 6b = +6b y 8c = +8c, la suma ser´a 5a + 6b + 8c. El orden de los sumandos no altera la suma. As´ı, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la ley conmutativa de la suma. 2. Sumar 3a2 b, 4ab2 , a2 b, 7ab2 y 6b3 . Se tiene que 3a2 b + 4ab2 + a2 b + 7ab2 + 6b3 . Reduciendo los t´erminos semejantes, obtenemos que 4a2 b + 11ab2 + 6b3 . 3. Sumar 3a y −2b. Cuando alg´un sumando es negativo suele incluirse dentro de un par´entesis para indi- car la suma, as´ı 3a + (−2b) = 3a − 2b. 4. Sumar 7a, −8b, −15a, 9b, −4c y 8. Se tiene que 7a + (−8b) + (−15a) + 9b + (−4ac) + 8 = 7a − 8b − 15a + 9b − 4c + 8. Reduciendo t´erminos semejantes, se llega a que −8a + b − 4c + 8. 2.3.3. Suma de polinomios 1. Sumar a − b, 2a + 3b − c y −4a + 5b. La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de par´entesis, as´ı (a − b) + (2a + 3b − c) + (−4a + 5b). Ahora colocamos todos los t´erminos de estos polinomios, unos a continuaci´on de otros, con sus propios signos, y tendremos a − b + 2a + 3b − c + −4a + 5b = −a + 7b − c. Nota. En la pr´actica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros, de modo que los t´erminos semejantes queden en una misma columna; se hace la reducci´on de ´estos, separ´andolos unos de otros con sus propios signos. a −b 2a +3b −c −4a +5b −a +7b −c. 2. Sumar 3m − 2n + 4, 6n + 4p − 5, 8n − 6 y m − n − 4p. Se tiene que
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    18 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales 3m −2n +4 6n +4p −5 8n −6 m −n −4p 4m +11n −7. 2.3.4. Ejercicios resueltos 1. Sumar 3a − 5b y −6a + 3a. (3a − 5b) + (−6a + 3a) = (3a − 5b) + (−3a) = 3a − 5b − 3a = −5b. 2. Sumar 2ab − 6c + d, 5c − 3d y 2d − 4ab. (2ab − 6c + d) + (5c − 3d) + (2d − 4ab) = 2ab − 4ab − 6c + 5c + d − 3d + 2d = −2ab − c. 3. Restar 3a + 5b de 6a − 7b. (6a − 7b) − (3a + 5b) = 6a − 7b − 3a − 5b = 6a − 3a − 7b − 5b = 3a − 12b. 4. Restar a de ab. ab − (a) = ab − a. 5. Restar 2a + 5b − 6c de 7a + 3b − 6c. (7a + 3b − 6c) − (2a + 5b − 6c) = 7a + 3b − 6c − 2a − 5b + 6c = 7a − 2a + 3b − 5b − 6c + 6c = 5a − 2b. 6. ¿Qu´e se debe sumar al primer polinomio para obtener el segundo? a) x + 4y, 3x − 6y. Nota que dicho polinomio se obtendr´a al restar el primero del segundo: 3x − 6y − (x + 4y) = 3x − 6y − x − 4y = 3x − x − 6y − 4y = 2x − 10y. b) 6x + 7y − 10, −8x − 13y − 6. (−8 − 3y − 6) − (6x + 7y − 10) = −8x − 13y − 6 − 6x − 7y + 10 = −8x − 6x − 13y − 7y − 6 + 10 = −14x − 20y + 4.
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    2.4. Producto ypotencias de monomios 19 2.3.5. Ejercicios Realiza las operaciones indicadas. a) 2x2 y3 z + 3x2 y3 x. b) 2a2 bc3 − 5a2 bc3 + 3a2 bc3 . c) 3x4 − 2x4 + 7x4 . d) 2a − (−4a + b) − {−[−4a + (b − a) − (−b + a)]}. e) (5ab − 3bc + 4cd) + 2bc + 2cd − 3cd) + (4bc − 2ab + 3cd) + (−3bc − 6cd − ad). f) x2 − 3xy + y2 + −2y2 + 3xy − x2 + x2 + 3xy − y2 . g) 3x2 − 1 3 x + 2 3 + 3(1 2 x2 + 3 4 x + 1) + 3x2 − 5x − 3. h) x2 + 2 3 xy+ −1 6 xy + y2 + −5 6 xy + 2 3 y2 . i) 4x2 y2 − 8xy2 + 5x2 y + 3x2 − 2y2 + x2 y2 − 6x2 y + 5y2 − 5x2 y2 + 4xy2 − x2 y − 4x2 − 2y2 + 4xy2 + 2x2 y + x2 . j) 4x3 y − 19xy3 + y4 − 6x2 y2 − (−x4 − 51xy3 + 32x2 y2 − 25x3 y). 2.4. Producto y potencias de monomios La multiplicaci´on es una operaci´on que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas mul- tiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en Aritm´etica, se cumple tambien en ´Algebra. As´ı el producto xy puede escribirse yx; el producto xyz puede escribirse tambi´en yxz o zyx. Esta es la ley conmutativa de la multiplicaci´on. Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. As´ı, en el producto abcd, tenemos abcd = a × (bcd) = (ab) × (cd) = (abc) × d. Esta es la ley asociativa de la multiplicaci´on. Ley de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. As´ı, 3a × 4b = 12ab. En efecto, como el orden de los factores no altera el producto, se tiene que 3a × 4b = 3 × 4 × a × b = 12ab.
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    20 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales 2.4.1. Multiplicaci´on de monomios Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes de ´estos y a continuaci´on de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfab´etico, colocando a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto estar´a dado por la ley de los signos. Consideremos los siguientes ejemplos. 1. Multiplicar 2a2 por 3a3 . Se tiene que 2a2 × 3a3 = 2 × 3 × a2+3 = 6a5 . El signo del producto es +, ya que + por + da +. 2. Multiplicar −xy2 por −5mx4 y3 . Se tiene que (−xy2 )(−5mx4 y3 ) = 5mx1+4 y2+3 = 5mx5 y5 . El signo del producto es +, porque − por − da +. 3. Multiplicar 3a2 b por −4b2 x. Se tiene que (3a2 b)(−4b2 x) = 3×(−4)×a2 b1+2 x = −12a2 b3 x. El signo del producto es −, porque + por − da −. 4. Multiplicar −ab2 por 4am bn c3 . Se tiene que (−ab2 )(4am bn c3 ) = (−1) × 4 × a1+m b2+n c3 = −4a1+m b2+n c3 . El signo del producto es −, ya que − por + da −. 2.4.2. Potencias de monomios Llamaremos potencia de un monomio al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Diremos que un monomio est´a elevado a la n-´esima potencia si ´este se ha tomado como factor n veces. Por ejemplo la expresi´on (5wx3 )4 indica que el monomio 5wx3 se ha elevado a la cuarta potencia. En este ejemplo la base es 5wx3 y el exponente es 4. Para elevar a la n-´esima potencia un monomio primero se escribe el coeficiente de este eleva- do a la n-´esima potencia y despues se escriben las letras multiplicando el exponente de cada una de estas por n. Veamos los siguientes ejemplos. 1. Elevar 2x2 a la tercera potencia. (2x2 )3 = 23 x2×3 = 8x6 .
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    2.4. Producto ypotencias de monomios 21 2. Elevar 5a10 b6 a la cuarta potencia. (5a10 b6 )4 = 54 a10×4 b6×4 = 54 a40 b24 . 3. Hallar (32x25 y50 )2 . (32x25 y50 )2 = 322 x25×2 y50×2 = (25 )2 x50 y100 = 210 x50 y100 . 2.4.3. Ejercicios resueltos Calcule los productos indicados. 1. (7b)(6a) = 42ab. 2. (3b)3 = 27b9 . 3. (a 6 )4 = a4 64 . 4. (3 z )3 = 27 z3 . 5. (1 b )(b2 ) = b2 b = b. 6. (4b 3 )(6a 2 ) = 24ab 6 = 4ab. 7. (5a2 b)3 = 125a6 b3 . 2.4.4. Ejercicios Calcule los productos indicados. a) (2x3 )(5x3 ) b) (a + b − c) (a − b + c) c) (12x3)(4x) d) (4a−2 )(a− 1 2 ) e) (−2x3 )(−5x)(−3x2 ) f) (18x3 y2 z5 )(6x3 yz2 ) g) (−3x2 )3 h) (2 3 x3 )2 i) (7 9 x5 y2 z)3 j) (5x7 y9 za )3 .
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    22 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales 2.5. Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplican todos los t´erminos del multiplicando por cada uno de los t´erminos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y al final se reducen los terminos semejantes. Ejemplo 2.5.1 Multiplicar 4x − 3y por −2y + 5x. (−2y + 5x)(4x − 3y) = −2y(4x − 3y) + 5x(4x − 3y) = −2y(4x) − 2y(−3y) + 5x(4x) + 5x(−3y) = −8xy + 6y2 + 20x2 − 15xy = 20x2 − 23xy + 6y2 . Tambie´n podemos escribir la multiplicaci´on en forma vertical, 4x −3y 5x −2y 4x(5x) −3y(5x) −4x(2y) +3y(2y). Reducimos los t´erminos semejantes, para obtener 4x −3y 5x −2y 20x2 −15xy −8xy +6y2 20x2 −23xy +6y2 . 2.5.1. Ejercicios resueltos Realice las siguientes multiplicaciones. 1. x2 − x + 4 por −2x2 . Soluci´on. (x2 − x + 4)(−2x2 ) = −2x4 + 2x3 − 8x2 . 2. Multiplicar 3x−2 4 − 2x−1 6 por 12. Soluci´on. 3x − 2 4 − 2x − 1 6 (12) = 12 3x − 2 4 − 12 2x − 1 6 = 36x − 24 4 − 24x − 12 6 = 9x − 6 − 4x + 2 = 9x − 4x − 6 + 2 = 5x − 4.
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    2.6. Divisi´on demonomios 23 3. 3x(2x − 1) − x(x − 3). Soluci´on. 3x(2x − 1) − x(x − 3) = 6x2 − 3x − x2 + 3x = 6x2 − x2 − 3x + 3x = 5x2 . 4. −2ab3 (5x − 6 − 3b2 ). Soluci´on. −2ab3 (5x − 6 − 3b2 ) = −10ab3 x + 12ab3 + 6ab5 . 2.5.2. Ejercicios Calcula los siguientes productos de polinomios. a) (4x3 − 5x2 + 2x + 1)(3x − 6). b) (a + b − c) (a − b + c). c) (−3x2 y3 + 4 − 7x2 y2 − 6x3 y3 )(5x4 y + 8x − 2x3 y − 10). d) (1 2 a − 1 3 b) (1 3 a + 1 2 b). e) (5a − 46a4 )(2a2 − 3a3 + 4a). f) (1 3 ax − 1 2 x2 + 3 2 a2 )(3 2 x2 − ax + 2 3 a2 ). g) (3x5 − 4x4 + 8x3 )(2x − 8). h) (ax − ax+1 + ax+2 ) (a + 1). i) (m3 − m2 + m − 2)(am + a). j) (a− 2 3 b 1 2 + 2a− 4 3 b − a−2 b 3 2 )(3a 2 3 b− 1 2 + 1 + a− 2 3 b 1 2 ). 2.6. Divisi´on de monomios La divisi´on es una operaci´on que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (divi- dendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definici´on se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. As´ı, la operaci´on de dividir 6a2 entre 3a, que se indica por 6a2 ÷ 3a o 6a2 3a , consiste en hallar una cantidad que multiplicada por 3a se obtenga 6a2 . Esa cantidad (cociente) es 2a.
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    24 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales 2.6.1. Ley de los signos en la divisi´on La ley de los signos en la divisi´on es la siguiente: (+) ÷ (+) = + (+) ÷ (−) = − (−) ÷ (+) = − (−) ÷ (−) = +. Ejemplos. Calcula las divisiones indicadas. 1. (+ab) ÷ (+a) = +ab +a = +b. 2. (−ab) ÷ (−a) = −ab −a = +b. 3. (+ab) ÷ (−a) = +ab −a = −b. 4. (−ab) ÷ (+a) = −ab +a = −b. 5. a5 ÷ a3 = a5 a3 = a5−3 = a2 . 6. b4 ÷ b2 = b4 b2 = b4−2 = b2 . 2.6.2. Divisi´on de monomios Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuaci´on se escriben en orden alfab´etico las letras, poni´endole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo lo da la ley de los signos. Ejemplo 2.6.1 Dividir 4a3 b2 entre −2ab. 4a3 b2 ÷ −2ab = 4a3 b2 −2ab = −2a2 b, ya que (−2ab)(−2a2 b) = 4a3 b2 .
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    2.6. Divisi´on demonomios 25 2.6.3. Ejercicios resueltos Simplifica las siguientes expresiones 1. a6 a2 . a6 a2 = a6−2 = a4 . 2. c3 c−3 . c3 c−3 = c−3−(−3) = c6 . 3. (x + 2)4 (x + 2)6 . (x + 2)4 (x + 2)6 = (x + 2)4−6 = (x + 2)−2 = 1 (x + 2)2 . 4. −30a3 b2 12a2b4c . −30a3 b2 12a2b4c = −5a3−2 b2−4 2c = −5ab−2 2c = −5a 2b2c . 5. (−3x)4 x2 . (−3x)4 x2 = 81x4 x2 = 81x4−2 = 81x2 . 2.6.4. Ejercicios Dividir la expresiones indicadas. a) 12x3 entre 4x b) x−4 y−5 entre x2 y−1 c) 36x3 y7 z4 entre 12x2 y2 d) 1 a3b entre a− 1 4 b−3 e) 24x5 y4 + 18x4 y5 − 48x1 0y3 entre 6x2 y3 f) 10x 2 7 entre 2x− 1 7 g) 6x3 yz entre 2x2 y h) 6x−3 y−2 entre 3x−4 y−3 i) 36ax+2 bx−1 entre 3ax b j) x 4 5 y− 4 5 entre x− 2 5 y 4 5 .
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    26 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales 2.7. Simplificaci´on de expresiones fraccionarias Una fracci´on algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´ı, a b es una fracci´on algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´on a (dividendo) entre la expresi´on b (divisor). El dividendo a se llama numerador de la fracci´on algebraica, y el divisor b, denominador. El numerador y el denominador son los t´erminos de la fracci´on. Una expresi´on algebraica entera es la que no tiene denominador literal. As´ı x+y 1 es una ex- presi´on algebraica entera. Una expresi´on entera puede considerarse como una fracci´on de denominador 1. Una expresi´on algebraica mixta es la que consta de parte entera y parte fraccionaria. As´ı, a + b c y x − 3 x−a son expresiones mixtas. 2.7.1. Principios fundamentales de las fracciones Los siguientes principios demostrados en Aritm´etica se aplican igualmente a las fracciones algebraicas. Propiedades 2.7.1 (a) Si el numerador de una fracci´on algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la fracci´on queda multiplicada en el primer caso y dividida en el segundo por dicha cantidad. (b) Si el denominador de una fracci´on algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la fracci´on queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por dicha cantidad. (c) Si el numerador y el denominador de una fracci´on algebraica se multiplican o dividen por una misma cantidad, la fracci´on no se altera. 2.7.2. Simplificaci´on de fracciones Reducir una fracci´on algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor. Simplificar una fracci´on algebraica es convertirla en una fracci´on equivalente cuyos t´ermi- nos sean primos entre s´ı. Cuando los t´erminos de una fracci´on son primos entre s´ı, la fracci´on es irreducible y entonces la fracci´on est´a reducida a su m´as simple expresi´on o a su m´ınima expresi´on. Para simplificar fracciones cuyos t´erminos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre s´ı.
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    2.7. Simplificaci´on deexpresiones fraccionarias 27 Ejemplo 2.7.2 Simplificar 4a2 b5 6a3b3m . 4a2 b5 6a3b3m = 2 × 2 × a2−3 b5−3 2 × 3 × m = 2b2 3am . Para simplificar fracciones cuyos t´erminos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y el deno- minador. 2.7.3. Ejercicios resueltos Simplifique las siguientes fracciones algebraicas. 1. 275b3 a2 55b−4 = 55(5)b3−(−4) a2 55 = 5b7 a2 . 2. (x + 2)2 (x + 3) (x + 3) − 1 = (x + 2)2 (x + 3) x + 3 − 1 = (x + 2)2 (x + 3) x + 2 = (x + 2)(x + 3). 3. (2a − b) − (3a + 2b) (a + 3b)c = 2a − 3a − b − 2b (a + 3b)c = −a − 3b (a + 3b)c = −(a + 3b) (a + 3b)c = −1 c . 4. (x2 − 2x − 3)y2 (x + 1)y = (x + 1)(x + 3)y2 (x + 1)y = (x + 3)y. 2.7.4. Ejercicios Simplifique las siguientes expresiones. a) a b − b a ÷ a + b a b) 81y2 7p3 ÷ − 18y4 35p2 c) x2 − 9 x − 3 d) 3m5 n 7 ÷ 14m3 n2 e) x2 − 6x + 9 5x − 15 f) 15a3 b4 ÷ 35a4 b2 2 g) 6x − 18 8x + 16 h) − 45m3 28n3 ÷ 27m4 49n5 i) x3 + 6x2 + 12x + 8 x3 + 4x2 + 4x j) x − 2 3y2 ÷ 3x − 6 y3 .
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    28 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales 2.8. Suma y resta de expresiones fraccionarias Regla general para sumar o restar fracciones. 1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible. 2. Se reducen las fracciones dadas al m´ınimo com´un denominado, si son de distinto de- nominador. 3. Se efect´uan las multiplicaciones indicadas. 4. Se suman o restan los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador com´un. 5. Se reducen t´erminos semejantes en el numerador. 6. Se simplifica la fracci´on que resulte, si es posible. 2.8.1. Ejercicios resueltos Realiza las siguientes operaciones y simplifica. 1. x + 3 x + 2 + 2x + 3 x + 2 = x + 3 + 2x + 3 x + 2 = 3x + 6 x + 2 = 3(x + 2) x + 2 = 3. 2. 5x + 1 x + 1 − 2x − 4 x + 1 = 5x + 1 − 2x + 4 x + 1 = 3x + 5 x + 1 3. x x + 2 + 2 x − 3 = x(x − 3) + 2(x + 2) (x + 2)(x − 3) = x2 − 3x + 2x + 4 (x + 2)(x − 3) = x2 − x + 4 (x + 2)(x − 3) . 4. x x2 − 4 + 3 x + 2 = x + 3(x − 2) x2 − 4 = x + 3x − 6 x2 − 4 = 4x − 6 x2 − 4 . 5. 12x − 4 x2 − 4x + 4 − 2 x − 2 = 12x − 4 (x − 2)2 − 2 x − 2 = 12x − 4 − 2(x − 2) (x − 2)2 = 12x − 4 − 2x + 4 (x − 2)2 = 10x (x − 2)2 .
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    2.9. Potencias fraccionariasy simplificaci´on de radicales 29 2.8.2. Ejercicios Realiza las operaciones y simplifica. a) x + 3 x + 2 + 2x + 3 x + 2 b) p p − 2 − 5 2 − p + 2p p − 2 c) x x + 2 + 2 x − 3 d) 3c + 2 (c − 1)2 − 4c − 2 (1 − c)2 + 2c + 5 (1 − c)2 e) 12x − 4 x2 − 4x + 4 − 2 x − 2 f) 2x (x − 1)3 + 1 (1 − x)3 − x (1 − x) g) x x2 − 4 + 3 x + 2 h) a + b a2 + a − b ab i) x2 − x x2 − 5x + 6 + 1 x2 − 5x + 6 − x + 3 x2 − 5x + 6 j) x − y x2 + 2xy + y2 − 2x x2 − y2 + x + y x2 − 2xy + y2 . 2.9. Potencias fraccionarias y simplificaci´on de radicales La ra´ız de una expresi´on algebraica elevada a una potencia reproduce la expresi´on dada. El signo de la ra´ız es √ , llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la ra´ız llamada por eso cantidad subradical. El signo √ lleva un ´ındice que indica la potencia a que hay que elevar la ra´ız para que reprodusca la cantidad subradical. Por convenci´on el ´ındice 2 se suprime y cuando el signo √ no lleva ´ındice se entiende que el ´ındice es 2. As´ı, √ a4 significa que una cantidad elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical a4 , esta raices son a2 y −a2 , ya que (a2 )2 = a4 y (−a2 )2 = a4 . 3 √ 8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3 ; esta ra´ız es 2x por que (2x)3 = 8x3 . 5 √ −32a5 significa que elevada a la quinta potencia reproduce la cantidad subradical −32a5 ; esta ra´ız es −2a por que (−2a)5 = −32a5 . Una expresi´on radical es toda ra´ız indicada de un n´umero o de una expresi´on algebraica. As´ı, √ 4, 3 √ 9a3, 4 √ 16a3 son expresiones radicales. Si la ra´ız indicada es exacta, la expresi´on es racional; si no es exacta es irracional. Las expresiones irracionales como √ 2, 3 √ 3a2 son las que com´unmente se llaman radicales.
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    30 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales El grado de un radical lo indica su ´ındice. As´ı, √ 2a es un radical de segundo grado; 3 √ 5a2 es un radical de tercer grado; 4 √ 3x es un radical de cuarto grado. Se extiende la idea de exponente, a los n´umeros de la forma m n donde m y n son n´umeros enteros. Para extraer una ra´ız a una potencia se divide el exponente de la potencia por el ´ındice de la ra´ız. Por lo que obtenemos las leyes de los radicales. Propiedades 2.9.1 (a) n √ am = a m n . (b) n √ ab = n √ a n √ b. 2.9.1. Ra´ız de un monomio Para extraer una ra´ız de un monomio se procede como sigue. 1. Se extrae la ra´ız del coeficiente y se divide el exponente de cada letra por el ´ındice de la ra´ız. 2. Si el ´ındice del radical es impar, la ra´ız tiene el mismo signo que la cantidad subradical, y si el ´ındice es par y la cantidad subradical positiva, la ra´ız tiene el doble signo ±. Ejemplo 2.9.2 1. Hallar la ra´ız cuadrada de 9a2 b4 . √ 9a2b4 = ±3ab2 . 2. Hallar la ra´ız cuadrada de −8a3 x6 y9 . 3 −8a3x6y9 = −2ax2 y3 . 2.9.2. Ejercicios resueltos 1. Simplificar la siguiente expresi´on. √ k 8 = √ k1/2 8 = √ k1/4 8 = (k1/8 )8 = k8/8 = k1 = k. 2. Multiplicar 3x2 y 2x1/2 y. 3x2 (2x1/2 y) = (3)(2)(x2 )(x1/2 ) = 6x2+ 1 2 y = 6x 5 2 y. 3. Multiplicar 2x 1 3 y 1 2 y 3x 2 3 y 5 2 . (2x 1 3 y 1 2 )(3x 2 3 y 5 2 ) = (2)(3)(x 1 3 x 2 3 )(y 1 2 y 5 2 ) = 6x 1 3 + 2 3 y 1 2 + 1 2 + 5 2 = 6xy3 . 4. Simplificar (x4 y5 ) 1 2 . (x4 y5 ) 1 2 = x4(1 2 ) y5(1 2 ) = x2 y 5 2 .
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    2.10. Racionalizaci´on 31 2.9.3.Ejercicios Simplificar las expresiones dadas. a) 12 √ x9 b) 9 √ 64 c) 2 √ ab 3 √ ab d) 3 √ a2b4 2 √ 4ab 4 √ 2ab e) 4 √ a3b5c 2 √ ab3c3 f) 6 √ a3 3 √ a2 g) 3 −125x9 216m12 h) 9 a18 b9c27 i) 10 x20 1024y30 j) 7 128 x14 . 2.10. Racionalizaci´on Racionalizar el denominador de una fracci´on es convertir una fracci´on cuyo denomina- dor sea irracional en una fracci´on equivalente cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracci´on, desaparece todo signo radical del de- nominador. Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma n √ ak, con k < n y a > 0, entonces se multiplica numerador y denominador por n √ an−k para obtener en el denominador n √ ak n √ an−k = n √ ak+n−k = n √ an = a. Este proceso se llama racionalizaci´on del denominador. Ejemplo 2.10.1 Racionalizar el denominador de 1√ 5 . Observe que 1 √ 5 = 1 √ 5 √ 5 √ 5 = √ 5 √ 52 = √ 5 5 . Expresiones conjugadas. Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como√ a + √ b y √ a − √ b o a + √ b y a − √ b, que difieren solamente en el signo que une sus t´erminos, se dice que son conjugadas. As´ı, la conjugada de 3 √ 2 − √ 5 es 3 √ 2 + √ 5. El producto de dos expresiones conjugadas es racional. As´ı, (3 √ 2 − √ 5)(3 √ 2 + √ 5) = (3 √ 2)2 − ( √ 5)2 = 18 − 5 = 13.
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    32 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales Para racionalizar el denominador de una fracci´on cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo grado, se multiplican ambos t´erminos de la fracci´on por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. Ejemplo 2.10.2 Racionalizar el denominador de 4 − √ 2 2 + 5 √ 2 . 4 − √ 2 2 + 5 √ 2 = (4 − √ 2) (2 + 5 √ 2) (2 − 5 √ 2) (2 − 5 √ 2) = 8 − 22 √ 2 + 10 22 − (5 √ 2)2 = 18 − 22 √ 2 −46 = 11 √ 2 − 9 23 . Para racionalizar el denominador de una expresi´on que contiene tres radicales de segundo grado hay que realizar dos pasos como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.10.3 Racionalizar el denominador de √ 2 − √ 5 √ 2 + √ 5 − √ 6 . Primero se multiplican ambos t´erminos de la fracci´on por la conjugada del denominador, considerado como un binomio ( √ 2 + √ 5) − √ 6, es decir, ( √ 2 + √ 5) + √ 6, √ 2 − √ 5 √ 2 + √ 5 − √ 6 = ( √ 2 − √ 5) ( √ 2 + √ 5 − √ 6) ( √ 2 + √ 5 + √ 6) ( √ 2 + √ 5 + √ 6) = 2 √ 3 − √ 30 − 3 ( √ 2 + √ 5)2 − ( √ 6)2 = 2 √ 3 − √ 30 − 3 1 + 2 √ 10 . Ahora, nuevamente se multiplican ambos t´erminos de la fracci´on por la conjugada del deno- minador, es decir, 1 − 2 √ 10. As´ı, se obtiene 2 √ 3 − √ 30 − 3 1 + 2 √ 10 = (2 √ 3 − √ 30 − 3) (1 + 2 √ 10) 1 − 2 √ 10 1 − 2 √ 10 = 22 √ 3 − 5 √ 30 − 3 + 6 √ 10 1 − 40 = 3 − 6 √ 10 + 5 √ 30 − 22 √ 3 39 .
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    2.10. Racionalizaci´on 33 2.10.1.Ejercicios resueltos 1. Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones: a) 5 √ 2 ; b) 3 √ 2 √ 3 ; c) 7 √ 5 − √ 3 ; d) 2 3 + √ 7 ; e) x √ x + 1 − √ x − 1 . Soluci´on. a) 5 √ 2 = 5 √ 2 √ 2 √ 2 = 5 √ 2 √ 22 = 5 √ 2 2 . b) 3 √ 2 √ 3 = 3 √ 2 √ 3 √ 3 √ 3 = 3 √ 6 3 = √ 6. c) 7 √ 5 − √ 3 = 7( √ 5 + √ 3) ( √ 5 − √ 3)( √ 5 + √ 3) = 7( √ 5 + √ 3) ( √ 5)2 − ( √ 3)2 = 7( √ 5 + √ 3) 5 − 3 = 7( √ 5 + √ 3) 2 . d) 2 3 + √ 7 = 2(3 + √ 7) (3 − √ 7)(3 + √ 7) = 2(3 + √ 7) 32 − ( √ 7)2 = 2(3 + √ 7) 9 − 7 = 2(3 + √ 7) 2 = 3 + √ 7. e) x √ x + 1 − √ x − 1 = x( √ x + 1 + √ x − 1) ( √ x + 1 − √ x − 1)( √ x + 1 + √ x − 1) = x( √ x + 1 + √ x − 1) ( √ x + 1)2 − ( √ x − 1)2 = x( √ x + 1 + √ x − 1) x + 1 − (x − 1) = x( √ x + 1 + √ x − 1) 2 . 2.10.2. Ejercicios Simplificar los siguientes radicales. a) 1 √ 3 − 2 b) √ 2 + 2 √ 5 4 √ 2 − √ 5 c) −3 + √ 2 3 + √ 2 d) 4 + √ 3 5 − 4 √ 3 e) 1 2 √ 3 − √ 5 f) 3 √ a2b − 3 √ ab2 3 √ a − 3 √ b g) 1 3 √ x − 3 √ y h) √ a + x + √ a − x √ a + x − √ a − x x = 2ab 1 + b2 i) x4 − x − 1 x(x2 + √ x + 1) j) 4 + √ 3 5 − 4 √ 3 .
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    34 Cap´ıtulo 2.Operaciones con literales
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    Cap´ıtulo 3 Productos notables 3.1.Ejemplos importantes Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspecci´on, es decir, sin verificar la multiplicaci´on. Como motivaci´on veamos los siguientes ejemplos. El ´area de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su lado. Si sus lados miden a + b entonces el ´area es (a + b)2 , pero el ´area de este cuadrado la podemos dividir en cuatro rect´angulos como se muestra en la figura. a b ab aba2 b2b a Luego, la suma de las ´areas de los cuatro rect´angulos ser´a igual al ´area del cuadrado, es decir, (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 . (3.1) Veamos ahora c´omo obtener geom´etricamente el cuadrado de la diferencia a−b, donde b ≤ a. El problema es ahora encontrar el ´area de un cuadrado de lado a − b. 35
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    36 Cap´ıtulo 3.Productos notables a b(a − b)b (a−b)b (a − b)2 b2 En la figura observamos que el ´area de un cuadrado de lado a es igual a la suma de las ´areas de los cuadrados de lados (a − b) y b, m´as el ´area de dos rect´angulos iguales de lados b y (a − b). Esto es, a2 = (a − b)2 + b2 + (a − b)b + b(a − b), de donde (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 . (3.2) Para encontrar el ´area de la parte sombreada de la siguiente figura, a b a − b a − b b (a − b)b (a−b)b (a − b)2 b2 observamos que la suma de las ´areas de los rect´angulos que la forman es a(a − b) + b(a − b) y si factorizamos esta suma tenemos que a(a − b) + b(a − b) = (a + b)(a − b), (3.3) pero es equivalente al ´area del cuadrado grande menos el ´area del cuadrado chico, es decir, (a + b)(a − b) = a2 − b2 . (3.4) Otro producto notable, pero ahora de tres variables, est´a dado por (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. (3.5) La representaci´on geom´etrica de este producto est´a dada por la igualdad entre el ´area del cuadrado con lados de longitud a + b + c y la suma de las ´areas de los nueve rect´angulos en que se ha dividido el cuadrado, esto es, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + ab + ac + ba + bc + ca + cb = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
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    3.2. Productos notables37 a b c c b a ac bc c2 ab b2 cb a2 ba ca 3.2. Productos notables Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir, cuando es el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, 4a2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a: (2a)2 = 2a × 2a = 4a2 . Adem´as notemos que 2a es la ra´ız cuadrada de 4a2 . Cuadrado de la suma de dos cantidades. Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por s´ı mismo, es decir, (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 , luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad m´as el doble de la primera cantidad por la segunda m´as el cuadrado de la segunda. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar al cuadrado a−b equivale a multiplicar esta diferencia por s´ı misma como a continua- ci´on (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2 , luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda m´as el cuadrado de la segunda cantidad. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. Sean a y b dos cantidades, tenemos el siguiente producto (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2 ,
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    38 Cap´ıtulo 3.Productos notables luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b). Tenemos el siguiente producto (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab. De lo anterior tenemos que el producto de dos binomios que tienen un t´ermino en com´un cumplen las siguientes reglas. 1. El primer t´ermino del producto es el producto de los primeros t´erminos de los binomios. 2. El coeficiente del segundo t´ermino del producto es la suma algebraica de los segundos t´erminos de los binomios. 3. El tercer t´ermino del producto es el producto de los segundos t´erminos de los binomios. Cubo de un binomio. Elevemos a + b al cubo, (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , luego, el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad m´as el triple del cuadrado de la primera por la segunda, m´as el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, m´as el cubo de la segunda. Cubo de la diferencia de dos cantidades. Elevemos a − b al cubo. (a − b)3 = (a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)(a − b)2 = (a − b)(a2 − 2ab + b2 ) = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 , luego, el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, m´as el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.
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    3.2. Productos notables39 3.2.1. Ejercicios resueltos Desarrolla las siguientes expresiones. 1. (x + 5)2 . Soluci´on. (x + 5)2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25. 2. x2 − 1 2 x 2 . Soluci´on. x2 − 1 2 x 2 = (x2 )2 − 2(x2 ) 1 2 x + 1 2 x 2 = x4 − x3 + 1 4 x2 . 3. (2x − 3)3 . Soluci´on. (2x − 3)3 = (2x)3 − 3(2x)2 (3) + 3(2x)(3)2 − 33 = 8x3 − 36x2 + 54x − 27. 4. (2x + 5)3 . Soluci´on. (2x + 5)3 = (2x)3 + 3(2x)2 (5) + 3(2x)(5)2 + 53 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125. 3.2.2. Ejercicios Desarrollar los siguientes productos. a) (x + 4)2 b) (x10 + 10y12 )2 c) (ab4 − c)(ab4 + c) d) (xa+1 − 3xa−2 )2 e) (7a5n + b6x 9 )(7a5n − b6x 9 ) f) (xy2 − 9)(xy2 + 12) g) (2x − 3)3 h) (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) i) (2xn − 1 3 )(2xn + 1 3 ) j) (2a − b − c)(2a − b + c).
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    40 Cap´ıtulo 3.Productos notables 3.3. Cocientes notables Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspecci´on. 3.3.1. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos n´umeros entre la suma o resta de los n´umeros En este primer caso de cocientes notables, se tiene que si se divide la diferencia de cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades se obtiene la diferencia de la cantidades a2 − b2 a + b = a − b. De la misma manera, la diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la dife- rencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades a2 − b2 a − b = a + b. Ejemplo 3.3.1 Dividir 9x2 − y2 entre 3x + y. Es claro que 9x2 − y2 3x + y = 3x − y. Ejemplo 3.3.2 Dividir (a + b)2 − c2 entre (a + b) + c. Se tiene que (a + b)2 − c2 (a + b) + c = a + b − c. 3.3.2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos n´umeros entre la suma o resta de los n´umeros Los dos casos considerados aqu´ı son los siguientes cocientes: a3 + b3 a + b = a2 − ab + b2 , a3 − b3 a − b = a2 + ab + b2 .
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    3.3. Cocientes notables41 Ejemplo 3.3.3 Dividir 8x3 + y3 entre 2x + y. En este caso tenemos que 8x3 + y3 2x + y = (2x)2 − 2x(y) + y2 = 4x2 − 2xy + y2 . Ejemplo 3.3.4 Dividir 27x6 + 125y9 entre 3x2 + 5y3 . Al dividir obtenemos 27x6 + 125y9 3x2 + 5y3 = (3x2 )2 − 3x2 (5y3 ) + (5y3 )2 = 9x4 − 15x2 y3 + 25y6 . 3.3.3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos n´ume- ros entre la suma o resta de los n´umeros Veamos varios ejemplos de este tipo de cocientes. En el cap´ıtulo 4 se enuncian las reglas de este tipo de cocientes ya que son un caso especial de factorizaci´on. Ejemplo 3.3.5 Dividir las expresiones indicadas. 1. a4 − b4 a − b . a4 − b4 a − b = a3 + a2 b + ab2 + b3 . 2. a4 − b4 a + b . a4 − b4 a + b = a3 − a2 b + ab2 − b3 . 3. a5 + b5 a + b . a5 + b5 a + b = a4 − a3 b + a2 b2 − ab3 + b4 . 4. x5 + 32 x + 2 . x5 + 32 x + 2 = x5 + 25 x + 2 = x4 − 2x3 + 22 x2 − 23 x + 24 = x4 − 2x3 + 4x2 − 8x + 16.
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    42 Cap´ıtulo 3.Productos notables 3.3.4. Ejercicios resueltos Encuentra el cociente. 1. 9 − x4 3 − x2 = 3 + x2 . 2. 25 − 36x4 5 − 6x2 = 5 + 6x2 . 3. (x + y)2 − z2 (x + y) − z = x + y + z. 4. 8x12 − 729y6 2x4 − 9y2 = (2x4 )3 − (9y2 )3 2x4 − 9y2 = 4x8 + 18x2 y2 + 81y4 . 5. 1 − 64a3 1 − 4a = 1 + 4a + 16a2 . 3.4. Teorema del binomio Binomio de Newton. Consideremos el binomio (a + b), multiplicando el binomio por el mismo dos y tres veces, obtenemos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . En estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes: 1. Cada desarrollo tiene un t´ermino m´as que el exponente del binomio. 2. El exponente de a en el primer t´ermino del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada t´ermino posterior al primero, disminuye 1. 3. El exponente b en el segundo t´ermino del desarrollo es 1, y en cada t´ermino posterior a ´este, aumenta 1. 4. El coeficiente del primer t´ermino del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo t´ermino es igual al exponente de a en el primer t´ermino del desarrollo. 5. El coeficiente de cualquier t´ermino se obtiene multiplicando el coeficiente del t´ermino anterior por el exponente de a en dicho t´ermino anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo t´ermino aumentado en 1. 6. El ´ultimo t´ermino del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.
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    3.4. Teorema delbinomio 43 Los resultados anteriores constituyen la ley del binomio, que se cumple para cualquier expo- nente entero positivo. Esta ley se representa por la siguiente formula: (a + b)n = an + nan−1 b + n(n − 1) 1 · 2 an−2 b2 + n(n − 1)(n − 2) 1 · 2 · 3 an−3 b3 + · · · + n(n − 1)(n − 2)(n − (k − 1)) 1 · 2 · 3 · · ·· · · · k an−k bk + · · · + nabn−1 + bn . Esta f´ormula descubierta por Newton nos permite elevar un binomio a una potencia cualquie- ra, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores. 3.4.1. Tri´angulo de Pascal Los coeficientes de los t´erminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da enseguida el siguiente tri´angulo, llamado tri´angulo de Pascal. 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 El modo de formar este tri´angulo es el siguiente: En la primera fila horizontal se pone el 1. En la segunda fila se pone 1 y 1. Desde la tercera en adelante se empieza por 1 y cada n´umero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el 1er n´umero con el 2do, el 2do con el 3ero, el 3ero con el 4to, etc., y se termina por 1. Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia n-´esima de un binomio son los n´umeros que se hallan en la n-´esima fila horizontal del tri´angulo de Pascal. As´ı los coeficientes del desarrollo de (x + y)4 son los n´umeros que est´an en la cuarta fila horizontal, es decir, 1, 4, 6, 4, 1. 3.4.2. Ejercicios resueltos Desarrolla las siguientes expresiones. 1. (a + b)3 . Soluci´on. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . 2. (a + b)5 . Soluci´on. (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 .
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    44 Cap´ıtulo 3.Productos notables Nota que la suma de los exponentes siempre da como resultados 3, en el primer ejercicio y 5 en el segundo ejercicio. 3. Desarrollar por el teorema del binomio (a + 2b)4 . Soluci´on. (a + 2b)4 = 1(a4 ) + 4(a3 )(2b) + 6(a2 )(4b2 ) + 4(a)(8b3 ) + 1(16b4 ) = a4 + 8a3 b + 24a2 b2 + 32ab3 + 16b4 . 3.4.3. Ejercicios Desarrolla las siguientes expresiones. a) (x + 1)2 b) (x + y + z)3 c) (z + y)4 d) (a + b + c)5 e) (s − t)7 f) (x2a + y3b )6 g) (2xt − 3)4 h) (3z − y + 2x)5 i) (x2 − x + 1)2 j) (a + b + c + d)2 .
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    Cap´ıtulo 4 Factorizaci´on 4.1. Divisi´onde polinomios Empezamos esta secci´on con las reglas que se siguen para dividir dos polinomios. 1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relaci´on a una misma letra. 2. Se divide el primer t´ermino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer t´ermino del cociente. 3. Este primer t´ermino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada t´ermino debajo de su semejante. Si alg´un t´ermino de este producto no tiene t´ermino semejante en el dividendo se escriben en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenaci´on del dividendo y el divisor. 4. Se divide el primer t´ermnino del resto entre el primer t´ermino del divisor y tendremos el segundo t´ermino del cociente. 5. Este segundo t´ermino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. 6. Se divide el primer t´ermino del segundo resto entre el primero del divisor y se efect´uan las operaciones anteriores; y as´ı sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Ejemplo 4.1.1 Dividir 3x2 + 2x − 8 entre x + 2. +3x2 +2x −8 x +2 −3x2 −6x 3x −4 −4x −8 +4x +8. 45
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    46 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on Explicaci´on. El dividendo y el divisor est´an ordenados de manera descendente con relaci´on a x. Dividimos el primer t´ermino del dividendo 3x2 entre el primero del divisor x y tenemos 3x2 ÷ x = 3x. ´Este es el primer t´ermino cociente. Multiplicamos 3x por cada uno de los t´erminos del divisor y como estos productos hay que restarlos del dividendo, tendremos 3x × x = 3x2 , para restar −3x2 ; 3x × 2 = 6x, para restar −6x. Estos productos con sus signos cambiados los escribimos debajo de los t´erminos semejantes con ellos del dividendo y hacemos la reducci´on; nos da −4x y bajamos el −8. Dividimos −4x entre x: −4x ÷ x = −4 y ´este es el segundo t´ermino del cociente. El −4 hay que multiplicarlo por cada uno de los t´erminos del divisor y restar los productos del dividendo y tendremos (−4) × x = −4x, para restar +4x; (−4) × 2 = −8, para restar 8. Escribimos estos t´erminos debajo de sus semejantes y haciendo la reducci´on nos da cero de residuo. Luego, tenemos que 3x2 + 2x − 8 = (x + 2)(3x − 4). 4.1.1. Ejercicios resueltos 1. Dividir 12x3 − 6x2 + 18x 6x y simplificar. Soluci´on. 12x3 − 6x2 + 18x 6x = 12x3 6x + −6x2 6x + 18x 6x = 2x2 − x + 3. 2. Dividir (3x + a)2 − a(3x + a) (3x + a) y simplificar. Soluci´on. (3x + a)2 − a(3x + a) (3x + a) = (3x + a)2 3x + a − a(3x + a) 3x + a = (3x + a) − a = 3x. 3. Realiza las operaciones y simplifica. 12a4 + 4a3 − 32a2 4a2 − (3a − 8)(a + 1). Soluci´on. 12a4 + 4a3 − 32a2 4a2 − (3a − 8)(a + 1) = (3a2 + a − 8) − (3a2 + 3a − 8a − 8) = (3a2 + a − 8) − (3a2 − 5a − 8) = 3a2 + a − 8 − 3a2 + 5a + 8 = 6a.
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    4.2. Factorizaci´on depolinomios. 47 4.1.2. Ejercicios Realiza las operaciones y simplifica. a) x3 − 12x2 − 42 x − 3 b) y2 − 14y + 49 y − 7 c) −x4 + 1 −x + 1 d) x4 + x3 − 9x2 + x + 5 x2 + 3x − 2 e) am4 − am − 2a am + a f) x4 + x3 − 9x2 + x + 5 x2 + 3x − 2 g) x6 + 5x4 + 3x2 − 2x entre x2 − x + 3 h) 1 6 a2 + 5 36 ab − 1 6b2 entre 1 3 a + 1 2 b i) x4 − 3x2 + 2 x − 3 j) 1 3 x2 + 7 10 xy − 1 3 y2 entre x − 2 5 y. 4.2. Factorizaci´on de polinomios. Se llaman factores o divisores de una expresi´on algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre s´ı dan como producto la primera expresi´on. Por ejemplo, multiplicando a por a + b tenemos que a(a + b) = a2 + ab, es decir, a y a + b, que multiplicados entre s´ı dan como producto a2 + ab, son factores o divisores de a2 +ab. Del mismo modo, de la expresi´on (x+2)(x+3) = x2 +5x+6, tenemos que x + 2 y x + 3 son factores de x2 + 5x + 6. Descomponer en factores o factorizar una expresi´on algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspecci´on. As´ı, los factores de 15ab son 3, 5, a y b. Por lo tanto, se puede escribir 15ab = 3 × 5 × a × b. Factorizar un polinomio. As´ı como en aritm´etica hay n´umeros primos que s´olo son divisi- bles entre ellos mismos y entre 1, hay expresiones algebraicas que s´olo son divisibles entre ellas mismas y entre 1 y por lo tanto no son el producto de otras expresiones algebraicas. Lo mismo pasa con los polinomios, no cualquier polinomio se puede descomponer en dos o m´as factores distintos de 1. Por ejemplo, a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque s´olo es divisible entre a + b y entre 1.
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    48 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on 4.3. Distintos tipos de factorizaci´on En esta secci´on, vamos a estudiar la manera de descomponer o factorizar polinomios en dos o m´as factores distintos de 1. En cualesquiera de los 10 casos diferentes de factorizaci´on que estudiaremos, la prueba consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la expresi´on que se factoriz´o. Caso 1. Cuando todos los t´erminos de un polinomio tienen un factor com´un. a) Factor com´un monomio. Veamos los siguientes ejemplos, cuando todos los t´erminos del un polinomio tienen un factor com´un, el cual es un monomio. Ejemplo 4.3.1 1. Descomponer en factores a2 + 2a. Los t´erminos a2 y 2a contienen en com´un a la variable a. Escribimos el factor com´un a como coeficiente y dentro de un par´entesis escribimos los cocientes de dividir a2 /a = a y 2a/a = 2, para obtener a2 + 2a = a(a + 2). 2. Descomponer 10b − 30ab2 . Primeros veamos los factores comunes de los n´umeros 10 y 30. Como 30 = 3·10 vemos que 10 es el factor com´un de los dos n´umeros. De las letras, el ´unico factor com´un es b porque se encuentra en los dos t´erminos de la expresi´on dada y la tomamos con su menor exponente. De esta forma, el factor com´un es 10b, por lo que 10b − 30ab2 = 10b(1 − 3ab). 3. Descomponer 10a2 − 5a + 15a3 . En este caso el factor com´un es 5a por lo que 10a2 − 5a + 15a3 = 5a(2a − 1 + 3a2 ). 4. Factorizar 18mxy2 − 54m2 x2 y2 + 36my2 . El factor com´un es 18my2 , por lo que 18mxy2 − 54m2 x2 y2 + 36my2 = 18my2 (x − 3mx2 + 2). 5. Factorizar 6xy3 − 9nx2 y3 + 12nx3 y3 − 3n2 x4 y3 . El factor com´un es 3xy3 , luego 6xy3 − 9nx2 y3 + 12nx3 y3 − 3n2 x4 y3 = 3xy3 (2 − 3nx + 4nx2 − n2 x3 ). b) Factor com´un polinomio. Ahora, veamos algunos ejemplos cuando un polinomio es un factor com´un.
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    4.3. Distintos tiposde factorizaci´on 49 Ejemplo 4.3.2 1. Descomponer x(a + b) + m(a + b). Los dos t´erminos de esta expresi´on tienen de factor com´un el binomio (a + b). Escribi- mos el factor com´un (a + b) como coeficiente y dentro de un par´entesis escribimos los cocientes de dividir x(a + b)/(a + b) = x y m(a + b)/(a + b) = m, para obtener x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m). 2. Factorizar 2x(z − 3) − y(z − 3). El factor com´un es (z − 3). Entonces 2x(z − 3) − y(z − 3) = (z − 3)(2x − y). 3. Factorizar x(a − 1) + y(a − 1) − a + 1. El factor com´un es (a − 1). Entonces x(a − 1) + y(a − 1) − a + 1 = x(a − 1) + y(a − 1) − (a − 1) = (x + y − 1)(a − 1). Caso 2. Factor com´un por agrupaci´on de t´erminos. Para ilustrar este caso de factorizaci´on veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.3.3 Factorizar ax + bx + ay + by. Los dos primeros t´erminos tienen el factor com´un x y los dos ´ultimos el factor com´un y. Agrupamos los dos primeros t´erminos en un par´entesis y los dos ´ultimos en otro par´entesis precedido del signo + porque el tercer t´ermino tiene el signo +, y obtendremos ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y). Veamos otro ejemplo de este caso. Ejemplo 4.3.4 Factorizar ax − ay + az + x − y + z. Es claro que podemos factorizar la a para obtener ax − ay + az + x − y + z = (ax − ay + az) + (x − y + z) = a(x − y + z) + x − y + z = (x − y + z)(a + 1). Caso 3. Trinomio cuadrado perfecto. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio es cuadrado per- fecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Por ejemplo, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto, ya que es el cuadrado de a + b, es decir, (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 .
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    50 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on Del mismo modo, (2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 es un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado en relaci´on con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y ter- cer t´erminos son cuadrados perfectos (o tienen ra´ız cuadrada exacta) y positivos, y el segundo t´ermino es el doble producto de sus ra´ıces cuadradas. Veamos los siguientes ejemplos. Ejemplo 4.3.5 1. Factorizar 4x2 + 25y2 − 20xy. Observemos que la expresi´on dada es un trinomio cuadrado perfecto ya que 4x2 + 25y2 −20xy = 4x2 −20xy+25y2 . Luego se puede factorizar como 4x2 +25y2 −20xy = (2x − 5y)2 . 2. Descomponer en factores la expresion 1 − 16ax2 + 64a2 x4 . Es f´acil ver que 1 − 16ax2 + 64a2 x4 = (1 − 8ax2 )2 . 3. Expresar como producto de dos factores, la expresi´on a2 + 2a(a − b) + (a − b)2 . Observemos que la expresion es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que a2 +2a(a− b) + (a − b)2 = (a + (a − b))2 = (2a − b)2 . Caso 4. Diferencia de cuadrados perfectos. En los productos notables se vi´o que la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a + b)(a − b) = a2 − b2 ; luego, reciprocamente a2 − b2 = (a + b)(a − b). Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la ra´ız cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas ra´ıces cuadradas por la diferencia entre la ra´ız del minuendo y la del sustraendo. Ejemplo 4.3.6 . Factorice las siguientes expresiones. 1. 1 − a2 . Observe que 1 − a2 = (1 + a)(1 − a). 2. 16x2 − 25y4 . Note que 16x2 − 25y4 = (4x + 5y2 )(4x − 5y2 ). 3. a2 4 − b4 9 . a2 4 − b4 9 = a 2 + b2 3 a 2 − b2 3 . 4. (a + b)2 − c2 . (a + b)2 − c2 = ((a + b) + c)((a + b) − c) = (a + b + c)(a + b − c).
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    4.3. Distintos tiposde factorizaci´on 51 Casos especiales. Combinaci´on de los casos 3 y 4. Veamos ahora descomposici´on de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus t´erminos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descom- poniendo estos trinomios se obtiene una diferencia de cuadrados. Ejemplo 4.3.7 . 1. Factorizar a2 + 2ab + b2 − 1. a2 + 2ab + b2 − 1 = (a2 + 2ab + b2 ) − 1 = (a + b)2 − 1 = (a + b + 1)(a + b − 1). 2. Descomponer 9a2 − x2 + 2x − 1. 9a2 − x2 + 2x − 1 = 9a2 − (x2 − 2x + 1) = 9a2 − (x − 1)2 = (3a + (x − 1))(3a − (x − 1)) = (3a + x − 1)(3a − x + 1). Caso 5. Trinomio cuadrado perfecto por suma y resta. Consideremos el trinomio x4 + x2 y2 + y4 y analicemos si es un trinomio cuadrado perfecto. La ra´ız cuadrada de x4 es x2 ; la ra´ız cuadrada de y4 es y2 y el doble producto de estas ra´ıces es 2x2 y2 , luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto, y podamos factorizarlo, hay que lograr que el t´ermino x2 y2 se convierta en 2x2 y2 , lo cual se logra si sumamos x2 y2 , pero para que el trinomio no cambie hay que restar la misma cantidad que se suma, es decir x4 + x2 y2 + y4 = x4 + x2 y2 + y4 + x2 y2 − x2 y2 = x4 + 2x2 y2 + y4 − x2 y2 = (x2 + y2 )2 − x2 y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 − xy). Ejemplo 4.3.8 . 1. Descomponer 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 . 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 = 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 + 4a2 b2 − 4a2 b2 = 4a4 + 12a2 b2 + 9b4 − 4a2 b2 = (2a2 + 3b2 )2 − 4a2 b2 = (2a2 + 3b2 + 2ab)(2a2 + 3b2 − 2ab).
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    52 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on 2. Factorizar 49m4 − 151m2 n4 + 81n8 . 49m4 − 151m2 n4 + 81n8 = 49m4 − 126m2 n4 + 81n8 − 25m2 n4 = (7m2 − 9n4 )2 − 25m2 n4 = (7m2 − 9n4 + 5mn2 )(7m2 − 9n4 − 5mn2 ). Caso especial. Factorizar una suma de dos cuadrados. En general una suma de cuadrados no tiene descomposici´on en factores racionales, es decir, factores en que no haya ra´ız. Sin embargo, hay sumas de cuadrados que, al sumar y restar una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse. Ejemplo 4.3.9 . 1. Descomponer a4 + 4b4 . a4 + 4b4 = a4 + 4b4 + 4a2 b2 − 4a2 b2 = a4 + 4a2 b2 + 4b4 − 4a2 b2 = (a2 + 2b2 )2 − 4a2 b2 = (a2 + 2b2 + 2ab)(a2 + 2b2 − 2ab). Caso 6. Trinomio de la forma x2 + bx + c. La regla pr´actica para factorizar un trinomio de la forma x2 +bx+c es la siguiente. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer t´ermino es x, es decir, la ra´ız cuadrad del primer t´ermino del trinomio. En el primer factor, despu´es de x, se escribe el signo del segundo termino del trinomio, y en el segundo factor, despu´es de x se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer t´erminos del trinomio. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos n´umeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo t´ermino del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer t´ermino del trinomio. Estos n´umeros son los segundos t´erminos de los binomios. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos n´umeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo t´ermino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer t´ermino del trinomio. Estos n´umeros son los segundos t´erminos de los binomios. Ejemplo 4.3.10 . 1. Factorizar x2 + 5x + 6. x2 + 5x + 6 = (x )(x ) = (x + )(x + ) = (x + 3)(x + 2).
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    4.3. Distintos tiposde factorizaci´on 53 2. Factorizar x2 + 2x − 15. x2 + 2x − 15 = (x )(x ) = (x + )(x − ) = (x + 5)(x − 3). 3. Factorizar n2 + 28n − 29. n2 + 28n − 29 = (n )(n ) = (n + )(n − ) = (n + 29)(n − 1). 4. Factorizar x4 + 5x2 − 50. x4 + 5x2 − 50 = (x2 )(x2 ) = (x2 + )(x2 − ) = (x2 + 10)(x2 − 5). Caso 7. Trinomio de la forma ax2 + bx + c. Los trinomios de esta forma se diferencian de los trinomios del caso anterior en que el rimer t´ermino tiene un coeficiente distinto de 1. Ejemplo 4.3.11 . 1. Factorizar 6x2 − 7x − 3. 6x2 − 7x − 3 = 6(6x2 − 7x − 3) 6 = 1 6 (36x2 − 7(6x) − 18) = 1 6 (6x )(6x ) = 1 6 (6x − )(6x + ) = 1 6 (6x − 9)(6x + 2) = 1 2 · 3 (6x − 9)(6x + 2) = 6x − 9 3 · 6x + 2 2 = (2x − 3)(3x + 1). 2. Factorizar 20x2 + 7x − 6.
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    54 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on 20x2 + 7x − 6 = 20(6x2 + 7x − 6) 20 = 1 20 (202 x2 + 7(20x) − 120) = 1 20 (20x )(20x ) = 1 20 (20x + )(20x − ) = 1 20 (20x + 15)(20x − 8) = 1 5 · 4 (20x + 15)(20x − 8) = 20x + 15 5 · 20x − 8 4 = (4x + 3)(5x − 2). Caso 8. Cubo perfecto de binomios. En el cap´ıtulo 3 de productos notables se estudiar´on los productos (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 , que son expresiones llamadas binomios al cubo o cubo perfecto de binomios. En general, una expresi´on es el cubo de un binomio si tiene 4 t´erminos, donde el primer t´ermino y el ´ultimo son cubos perfectos. Adem´as, el segundo t´ermino es mas o menos el triple del cuadrado de la ra´ız c´ubica del primer t´ermino multiplicado por la r´aiz c´ubica del ´ultimo t´ermino; y el tercer trmino es el triple de la ra´ız c´ubica del primer t´ermino por el cuadrado de la ra´ız c´ubica del ´ultimo. Ejemplo 4.3.12 . 1. Factorizar 1 + 12a + 48a2 + 64a3 . 1 + 12a + 48a2 + 64a3 = 13 + 3(1)2 · 4a + 3(1)(4a)2 + (4a)3 = (1 + 4a)3 . 2. Factorizar a9 − 18a6 b5 + 108a3 b1 0 − 216b15 . a9 − 18a6 b5 + 108a3 b1 0 − 216b15 = (a3 )3 − 3(a3 )2 · 9b5 + 3(a3 )(9b5 )2 − (9b5 )3 = (a3 − 9b5 )3 . Caso 9. Suma o diferencia de cubos perfectos. Sabemos que a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) (4.1) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ). (4.2)
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    4.3. Distintos tiposde factorizaci´on 55 La f´ormula (4.1) nos dice que la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: la suma de sus ra´ıces c´ubicas y el otro factor es el cuadrado de la primera ra´ız, menos el producto de las dos ra´ıces, m´as el cuadrado de la segunda ra´ız. La f´ormula (4.2) nos dice que la diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: la suma de sus ra´ıces c´ubicas y el otro factor es el cuadrado de la primera ra´ız, m´as el producto de las dos ra´ıces, m´as el cuadrado de la segunda ra´ız. Ejemplo 4.3.13 . 1. Factorizar x3 + 1. x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x(1) + 12 ) = (x + 1)(x2 − x + 1). 2. Factorizar a3 − 8. a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2(a) + 22 ) = (a − 2)(a2 + 2a + 4). 3. Factorizar 27a3 + b6 . 27a3 + b6 = (3a + b2 )((3a)2 − 3a(b2 ) + (b2 )2 ) = (3a + b2 )(9a2 − 3ab2 + b4 ). 4. Factorizar 8x3 − 125. 8x3 − 125 = (2x − 5)(4x2 + 10x + 25). Caso 10. Suma o diferencia de dos potencias iguales. Por medio de la divisi´on de polinomios se puede mostrar lo siguiente. Propiedades 4.3.14 (a) an − bn es divisible entre a − b cuando n es par o impar. (b) an + bn es divisible entre a + b si n es impar. (c) an − bn es divisible entre a + b si n par. (d) an + bn nunca es divisible entre a + b ni entre a − b cuando n es un n´umero par. Ejemplo 4.3.15 . 1. Factorizar m5 + n5 . m5 + n5 = (m + n)(m4 − m3 n + m2 n2 − mn3 + n4 ).
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    56 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on 2. Factorizar x5 + 32. x5 + 32 = x5 + 25 = (x + 2)(x4 − x3 (2) + x2 (22 ) − x(23 ) + 24 ) = (x + 2)(x4 − 2x3 + 4x2 − 8x + 16). 3. Factorizar x7 − 1. x7 − 1 = (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1). 4.3.1. Ejercicios resueltos 1. Factorice el polinomio 2x3 y − 8x2 y2 − 6xy3 . Soluci´on. 2x3 y − 8x2 y2 − 6xy3 = (2xy)x2 − (2xy)4xy − (2xy)3y2 = 2xy(x2 − 4xy − 3y2 ). 2. Factorice completamente el siguiente polinomio 4(2x + 7)(x − 3)2 + 2(2x + 7)2 (x − 3). Soluci´on. 4(2x + 7)(x − 3)2 + 2(2x + 7)2 (x − 3) = 2(2x + 7)(x − 3)[2(x − 3) + (2x + 7)] = 2(2x + 7)(x − 3)(2x − 6 + 2x + 7) = 2(2x + 7)(x − 3)(4x + 1). 3. Factorice completamente 3x2 − 6x + 4x − 8. Soluci´on. 3x2 − 6x + 4x − 8 = (3x2 − 6x) + (4x − 8) = 3x(x − 2) + 4(x − 2) = (3x + 4)(x − 2). 4. Factorice completamente 4(2x + 5)(3x + 1)2 + 6(2x + 5)2 (3x + 1). Soluci´on. 4(2x + 5)(3x + 1)2 + 6(2x + 5)2 (3x + 1) = 2(2x + 5)(3x + 1)[2(3x + 1) + 3(2x + 5)] = 2(2x + 5)(3x + 1)(6x + 2 + 6x + 15) = 2(2x + 5)(3x + 1)(12x + 17).
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    4.3. Distintos tiposde factorizaci´on 57 5. Factorizar 1 4 − b 3 + b2 9 . Soluci´on. La expresi´on es un trinomio cuadrado perfecto, luego 1 4 − b 3 + b2 9 = 1 2 − b 3 2 . 6. Factorizar (a + x)2 − (x + 2)2 . Soluci´on. La expresi´on es un diferencia de cuadrados, luego (a + x)2 − (x + 2)2 = [(a + x) + (x + 2)][(a + x) − (x + 2)] = (a + x + x + 2)(a + x − x − 2) = (a + 2x + 2)(a − 2). 7. Factorizar a4 + a2 + 1. Soluci´on. Tenemos que convertir la expresi´on en un trinomio cuadrado perfecto, es decir, a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + 1 + a2 − a2 = (a4 + 2a2 + 1) − a2 = (a2 + 1)2 − a2 = (a2 + 1 + a)(a2 + 1 − a). 8. Factorizar 30 + y2 − y4 . Soluci´on. 30 + y2 − y4 = −(y4 − y2 − 30) = −(y2 )(y2 ) = −(y2 − )(y2 + ) = −(y2 − 6)(y2 + 5) = (6 − y2 )(y2 + 5). 9. Factorizar 8 − (x − y)3 . Soluci´on. 8 − (x − y)3 = (2 − (x − y))(22 + 2(x − y) + (x − y)2 ) = (2 − x + y)((4 + 2x − 2y + x2 − 2xy + y2 ). 10. Factorizar x3 − 4x − x2 + 4.
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    58 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on Soluci´on. x3 − 4x − x2 + 4 = (x3 − 4x) − (x2 − 4) = x(x2 − 4) − (x2 − 4) = (x − 1)(x2 − 4) = (x − 1)(x − 2)(x + 2). 4.3.2. Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones. a) 10b + 30ab b) 24a2 xy2 − 36x2 y4 c) 12a2 b3 − 30a3 b2 + 18ab4 − 42a4 b d) x(2a + b + c) − 2a − b − c e) 3x2 − 6x − 4y − 2xy f) a(x − 1) − (a + 2)(x − 1) g) 2av2 + 3u3 + 2auv − 3av2 − 2au2 − 3vu2 h) 2x2 y + 2xz2 + y2 z2 + xy3 i) 5x3 − 5x2y + 3x2 − 3xy + 7x − 7y j) a2 b3 − n4 + a2 b3 x2 − n4 x2 − 3a2 b3 x + 3n4 x k) x2 − 4 l) x3 − y3 m) z4 − y4 n) a5 + c5 o) s3 + t3 p) 729x6 − 64b6 q) 16x4 − 34 r) 55 + 243 32 x5 s) x2 + y2 t) a10 − b10 . 4.4. Fracciones complejas Una fracci´on compleja es una fracci´on en la cual el numerador o el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas, como a x − x a 1 + a x .
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    4.4. Fracciones complejas59 Una fracci´on compleja no es m´as que una divisi´on indicada; la raya de la fracci´on equivale al signo de dividir y ella indica que hay que dividir lo que est´a encima de la raya por lo que est´a debajo de ella. As´ı, la fracci´on a x − x a 1 + a x equivale a a x − x a ÷ 1 + a x . Simplificaci´on de fracciones complejas 1. Se efect´uan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracci´on compleja. 2. Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador. 4.4.1. Ejercicios resueltos 1. Simplificar 4 9 − 3 8 7 12 − 11 18 . Soluci´on. 4 9 − 3 8 7 12 − 11 18 = 18(4 9 − 3 8 ) 18( 7 12 − 11 18 ) = 8 − 27 4 21 2 − 11 = 4(8 − 27 4 ) 4(21 2 − 11) = 32 − 27 42 − 44 = 5 −2 = − 5 2 . Nota que en esta manera de simplificar solo elegimos el denominador m´as grande para mul- tiplicar y dividir, lo cual no garantiza que desaparezcan todos los denominadores, y as´ı el proceso de debe repetir. Solucionaremos el problema de una manera alternativa donde no sera necesario multiplicar m´as de una vez. Segunda soluci´on. El m´ınimo com´un m´ultiplo de los denominadores es 72 4 9 − 3 8 7 12 − 11 18 = 72(4 9 − 3 8 ) 72( 7 12 − 11 18 ) = 32 − 27 42 − 44 = 5 −2 = − 5 2 . Los siguientes ejercicios los resolveremos de esta forma, utilizando el m´ınimo com´un m´ulti- plo (m.c.m.). 2. Simplificar x − 2 x + 2 − 4 x−1 .
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    60 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on Soluci´on. El m.c.m. de los denominadores es (x − 1), luego x − 2 x + 2 − 4 x−1 = (x − 1)(x − 2) x−1 1 (x+2 1 − 4 x−1 ) = (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x + 2) − 4 = (x − 1)(x − 2) x2 + x − 2 − 4 = (x − 1)(x − 2) x2 + x − 6 = (x − 1)(x − 2) (x + 3)(x − 2) = x − 1 x + 3 . 3. Simplificar x + 3 + 6 x−4 x + 5 + 18 x−4 . Soluci´on. El m.c.m. de los denominadores es x − 4, luego x + 3 + 6 x − 4 x + 5 + 18 x − 4 = (x − 4) x + 3 + 6 x − 4 (x − 4) x + 5 + 18 x − 4 = (x − 4)(x + 3) + 6 (x − 4)(x + 5) + 18 = x2 − x − 12 + 6 x2 + x − 20 + 18 = x2 − x − 6 x2 + x − 2 = (x − 3)(x + 2) (x + 2)(x − 1) = x − 3 x − 1 . 4.4.2. Ejercicios Simplifica las expresiones siguientes. a) 1 + x + 1 x − 1 1 x − 1 − 1 x + 1 b) b2 c − b2 − c2 b + c b − c c + c b c) 1 − 7 a + 12 a2 a − 16 a d) x2 y − y2 x 1 x + 1 y + y x2 e) 1 a + b + c − 1 a − b + c 1 a − b + c − 1 a + b + c f) x + 2 x2 − 5x + 6 x2 + 4x + 4 x2 − 4
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    4.4. Fracciones complejas61 g) x3 + 3x2 − 4x − 12 x2 + 2x − 3 4x − 2x2 x3 − 2x2 + x h) 1 a + 2 − a + 1 a − 1 a i) 1 a − a a − a2 a + 1 j) x − 1 x + 2 − x2 + 2 x − x − 2 x + 1 .
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    62 Cap´ıtulo 4.Factorizaci´on
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    Cap´ıtulo 5 Ecuaciones deprimer grado Una ecuaci´on es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas inc´ognitas y que s´olo se verifica o es verdadera para determinados valores de las inc´ognitas. Las inc´ognitas se representan por las ´ultimas letras del alfabeto u, v, w, x, y, z. As´ı, 5x+2 = 17 es una ecuaci´on, por que es una igualdad en la que hay una inc´ognita, la x, y esta igualdad s´olo se verifica, es decir, s´olo es verdadera para el valor x = 3. En efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos que 5(3) + 2 = 17, es decir, 17 = 17. Si damos a x un valor distinto de 3 la igualdad no se verifica o no es verdadera. Se llama primer miembro de una ecuaci´on a la expresi´on que est´a a la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresi´on que est´a a la derecha. 5.1. Clases de ecuaciones Una ecuaci´on num´erica es una ecuaci´on que no tiene m´as letras que las inc´ognitas, como 4x − 5 = x + 4, donde la unica letra es la inc´ognita x. Una ecuaci´on literal es una ecuaci´on que adem´as de las inc´ognitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas, como 3x + 2a = 5b − 5bx. Una ecuaci´on es entera cuando ninguno de sus t´erminos tiene denominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus t´erminos tienen denomi- nador, como 3x 2 + 6x 5 = 5 + x 5 . 63
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    64 Cap´ıtulo 5.Ecuaciones de primer grado El grado de una ecuaci´on con una sola inc´ognita es el mayor exponente que tiene la inc´ognita en la ecuaci´on. As´ı, 4x − 6 = 3x − 1 es una ecuaci´on de primer grado porque el mayor exponente de x es 1. 5.2. Concepto de solucion de una ecuaci´on Las ra´ıces o soluciones de una ecuaci´on son los valores de las inc´ognitas que verifican o sa- tisfacen la ecuaci´on, es decir que sustituidos en lugar de las inc´ognitas, convierten la ecuaci´on en identidad. As´ı, en la ecuaci´on 5x − 6 = 3x + 8, la ra´ız es 7 porque haciendo x = 7 se tiene 5(7) − 6 = 3(7) + 8, es decir, 29 = 29, donde vemos que 7 satisface la ecuaci´on. Las ecuaciones de primer grado con una inc´ognita tienen una sola ra´ız. Resolver una ecuaci´on es hallar sus ra´ıces, o sea el valor o los valores de las inc´ognitas que satisfacen la ecuaci´on. Axioma fundamental de las ecuaciones Si a cantidades iguales se aplican operaciones iguales, los resultados ser´an iguales. Reglas que se derivan de este axioma. 1. Si a los dos miembros de una ecuaci´on se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 2. Si a los dos miembros de una ecuaci´on se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 3. Si los dos miembros de una ecuaci´on se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 4. Si los dos miembros de una ecuaci´on se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. 5. Si los dos miembros de una ecuaci´on se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma ra´ız, la igualdad subsiste. La trasposici´on de t´erminos consiste en cambiar los t´erminos de una ecuaci´on de un miem- bro al otro. Cualquier miembro de una ecuaci´on se puede pasar de un miembro a otro cam- bi´andole el signo. Por ejemplo, consideremos la ecuaci´on 3x + b = 2a. Restando b a los dos miembros de esta ecuaci´on, la igualdad subsiste, y se tiene que 3x + b − b = 2a − b, y como b − b = 0, queda 3x = 2a − b.
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    5.2. Concepto desolucion de una ecuaci´on 65 Resoluci´on de ecuaciones enteras de primer grado con una incognita. Se tiene la siguiente regla general. 1. Se efect´uan las operaciones indicadas, si las hay. 2. Se hace la trasposici´on de t´erminos, reuniendo en un miembro todos los t´erminos que contengan la inc´ognita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 3. Se reducen t´erminos semajantes en cada miembro. 4. Se despeja la inc´ognita dividiendo ambos miembros de la ecuaci´on por el coeficiente de la inc´ognita. Por ejemplo, resolvamos la ecuaci´on 3x − 5 = x + 3. Pasando x al primer miembro y −5 al segundo, cambiandoles los signos, tenemos 3x − x = 3 + 5. Reduciendo los t´erminos semejantes, tenemos 2x = 8. Dividiendo los dos miembros de la ecuaci´on entre 2, tenemos 2x 2 = 8 2 . Por ´ultimo simplificamos y obtenemos x = 4. 5.2.1. Ejercicios Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. a) 11x + 5x − 1 = 65x − 36. b) 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172. c) (5 − 3x) − (−4x + 6) = (8x + 11) − (3x − 6). d) 15x + (−6x + 5) − 2 − (−x + 3) = −(7x + 23) − x + (3 − 2x). e) 14x − (3x − 2) − [5x + 2 − (x − 1)] = 0. f) 3x 4 − 1 5 + 2x = 5 4 − 3x 20 . g) 14 − 12x + 39x − 18 = 256 − 60x − 657x. h) 10x − 8x−3 4 = 2(x − 3). i) 71 + [−5x + (−2x + 3)] = 25 − [−(3x + 4) − (4x + 3)]. j) 3x−1 2 − 5x+4 3 − x+2 8 = 2x−3 5 − 1 10 .
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    66 Cap´ıtulo 5.Ecuaciones de primer grado 5.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas 5.3.1. Ejercicios resueltos 1. El triple de un n´umero excede en 48 al tercio del mismo n´umero. Hallar tal n´umero. Soluci´on. Sea x el n´umero buscado, entonces el enunciado nos dice que 3x = x 3 + 48 Tenemos entonces que 9x = x+144, de donde 8x = 9x−x = 144. Por lo tanto x = 144 8 = 18. 2. Hallar dos n´umeros consecutivos tales que el menor exceda en 81 a la diferencia entre los 3 4 del menor y los 2 5 del mayor. Soluci´on. Sea x el n´umero menor y sea x + 1 el n´umero mayor, entonces el enunciado dice que x = 3x 4 − 2(x + 1) 5 + 81. Resolviendo 20x = 15x − 8(x + 1) + 1620 = 15x − 8x − 8 + 1620 = 7x + 1612, de donde 13x = 20x − 7x = 1612, es decir, x = 1612 13 = 124. 3. Hallar tres n´umeros consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9. Soluci´on. Como son tres n´umeros consecutivos, si x es el menor de los n´umeros, los otros ser´an x + 1 y x + 2. Entonces se tiene que x 20 + x + 1 27 + x + 2 41 = 9. El m.c.m. de 20, 27 y 41 es (5)(2)2 (3)3 (41) = 22140, por lo que 1107x+820(x+1)+540(x+2) = 199260, 1107x+820x+820+540x+1080 = 199260 2467x + 1900 = 199260, 2467x = 199260 − 1900 = 197360, de donde x = 80. 4. Un hombre viaj´o 9362 km por barco, tren y avi´on. Por tren recorri´o 4 9 de lo que recorri´o en barco, y en avi´on 5 8 de lo que recorri´o en tren. ¿Cu´antos km recorri´o de cada como?
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    5.3. Planteamiento yresoluci´on de problemas 67 Soluci´on. Sea x los km que recorri´o por barco. Entonces recorri´o 4x 9 por tren, y recorri´o 5 8 (4x 9 ) por avi´on. Entonces x + 4x 9 + 20x 72 = 9362, 72x + 32x + 20x = 674064, de donde 124x = 674064 o x = 5436. Entonces recorri´o 5436 km por barco, 2416 km por tren y 1510 por avi´on. 5.3.2. Ejercicios Resuelve los siguientes problemas. a) Un padre tiene 35 a˜nos y su hijo 5, ¿Al cabo de cu´antos a˜nos ser´a la edad del padre 3 veces mayor que la edad del hijo? b) Un enjambre de abejas sali´o a libar miel; la mitad de ellas se qued´o en la primera flor que encontr´o, la tercera parte en la segunda flor y cinco siguieron volando. ¿Cuantas abejas conformaban el enjambre? c) Si al doble de un n´umero se le resta su mitad resulta 54. ¿Cu´al es el n´umero? d) La base de un rectangulo es el doble que su altura. ¿Cu´ales son sus dimensiones si el per´ımetro mide 30cm? e) En una reuni´on hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de nios que de hombres y mujeres juntos. ¿Cu´antos hombres, mujeres y nios hay, si la reuni´on la componen 96 personas? f) Se han consumido 7 8 de un bid´on de aceite. Reponemos 38ltrs. y el bid´on ha quedado lleno hasta sus 3 5 partes. Calcula la capacidad del bid´on. g) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cu´antos cerdos y pavos hay? h) En una libreria, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero, y un comic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la libreria tenia 12 pesos. ¿Cu´anto dinero ten´ıa Ana? i) Las 3 cuartas partes de la edad del padre de Juan excede 15 a˜nos a la edad de este. Hace 4 an˜os la edad del padre era el doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. j) Trabajando juntos, 2 obreros tardan en hacer un trabajo 14hrs. ¿Cu´anto tiempo tardar´an en hacerlo por separado, si uno es el doble de rapido que el otro?
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    68 Cap´ıtulo 5.Ecuaciones de primer grado
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    Cap´ıtulo 6 Ecuaciones desegundo grado Una ecuaci´on de segundo grado es toda ecuaci´on en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la inc´ognita es 2. As´ı, 4x2 + 7x + 6 = 0 es una ecuaci´on de segundo grado. Las ra´ıces de una ecuaci´on de segundo grado son los valores de la inc´ognita que satisfacen la ecuaci´on. As´ı, las ra´ıces de la ecuaci´on x2 − 2x − 3 = 0 son x1 = 3 y x2 = −1; ambos valores satisfacen esta ecuaci´on. Las ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, las cuales tienen un t´ermino en x2 , un t´ermino en x y un t´ermino independiente de x. As´ı, 2x2 + 7x − 15 = 0 y x2 − 8x + 15 = 0 son ecuaciones completas de segundo grado. 6.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas Las ecuaciones incompletas de segundo grado son de la forma ax2 + c = 0, que no tienen t´ermino lineal, es decir, no tienen t´ermino en x, o de la forma ax2 + bx = 0, que no tienen t´ermino independiente. As´ı x2 − 16 = 0 y 3x2 + 5x = 0 son ecuaciones incompletas de segundo grado. 6.1.1. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + c = 0 Para encontrar las ra´ıces de ecuaciones de la forma ax2 +c = 0, primero pasamos c al segundo miembro, as´ı ax2 = −c, 69
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    70 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado despues dividimos ambos miembros de la ecuaci´on entre a, as´ı x2 = − c a , por ´ultimo en ambos miembros de la ecuaci´on extraemos la rai´z cuadrada, de donde x = ± − c a . Si a y c tienen el mismo signo, las ra´ıces son imaginarias por ser la ra´ız cuadrada de una cantidad negativa; si tienen signo distinto, las ra´ıces son reales. Ejemplo 6.1.1 Resuelva la ecuaci´on x2 + 1 = 7x2 9 + 3. Quitando denominadores obtenemos la ecuaci´on 9x2 + 9 = 7x2 + 27, la cual podemos simplificar como 2x2 − 18 = 0, la cual es una ecuaci´on de segundo grado incompleta sin t´ermino en x. Luego, las soluciones son x = ± √ 9 = ±3. 6.1.2. Ejercicios resueltos 1. Resolver la ecuaci´on 3 − 3 4x2 − 1 = 2. Soluci´on. Simplificando la ecuaci´on dada obtenemos que 1 = 3 − 2 = 3 4x2 − 1 , de donde 4x2 − 1 = 3. Esta es la ecuaci´on incompleta 4x2 − 4 = 0, la cual se resuelve por x = ±1. 2. Resolver la ecuaci´on 5x2 + 12 = 3x2 − 20. Soluci´on. Agrupando t´ermino similares, obtenemos que 5x2 − 3x2 = −20 − 12, es decir, 2x2 = −32. De esta manera, tenemos que resolver la ecuaci´on incompleta x2 = −16, la cual tiene dos ra´ıces imaginarias x = ± √ −16. 6.1.3. Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x2 − 25 = 0 b) 2x2 − 6 = 0 c) 5x2 − 11 = 0 d) (2x − 3)(2x + 3) = 0 e) 3x2 − 24 = 0 f) 3x2 = 48 g) (5x − 4)(5x + 4) − 25 = 0 h) 2x − 3 − x2+1 x−2 = −7 i) 3 − 3 4x2−1 = 2 j) x2−5 3 + 4x2−1 5 − 14x2−1 15 = 0.
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    6.1. Ecuaciones desegundo grado incompletas 71 6.1.4. Ecuaciones incompletas de la forma ax2 + bx = 0 Encontremos las soluciones de la ecuaci´on ax2 + bx = 0 por factorizaci´on. Descomponiendo en factores obtenemos que ax2 + bx = x(ax + b) = 0, de donde x = 0 o ax + b = 0. Por lo tanto, las soluciones son x = 0 y x = −b a . En este tipo de ecuaciones incompletas de segundo grado siempre una ra´ız es cero y la otra es el coeficiente del t´ermino en x, con signo contrario, dividido entre el coeficiente del t´ermino en x2 . Ejemplo 6.1.2 Resuelva la ecuaci´on 3x − 1 = 5x + 2 x − 2 . Quitando denominadores obtenemos la expresi´on (3x−1)(x−2) = 5x+2, la cual podemos simplificar como 3x2 − 12x = 0, la cual es una ecuaci´on de segundo grado incompleta sin t´ermino constante. Esta expresi´on se puede factorizar como 3x2 − 12x = 3x(x − 4) = 0 Luego, las soluciones son x = 0 y x = 4. 6.1.5. Ejercicios resueltos 1. Resolver la ecuaci´on 5x2 = −3x. Soluci´on. Trasponiendo los t´erminos, obtenemos que 5x2 + 3x = x(5x + 3) = 0, de donde x = 0 y x = − 3 5 . 2. Resolver la ecuaci´on x + 1 x − 1 − x + 4 x − 2 = 1. Soluci´on. Multiplicando la ecuaci´on por el m´ınimo com´un m´ultiplo (x−1)(x−2), obtenemos que (x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2), la cual se simplifica como x2 − x − 2 − (x2 + 3x − 4) = x2 − 3x + 2. Agrupando t´erminos semejantes, obtenemos la ecuaci´on x2 + x = 0, la cual tiene soluciones x = 0 y x = −1. 6.1.6. Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x2 = 5x b) 4x2 = −32x c) x2 − 3x = 3x2 − 4x d) 5x2 + 4 = 2(x + 2) e) (x − 3)2 − (2x + 5)2 = −16 f) x2 3 − x − 9 6 = 3 2 .
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    72 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado 6.2. Ecuaci´on general de segundo grado Si tenemos una ecuaci´on de la forma x2 + 2mx + m2 = d, (6.1) donde el primer miembro de la igualdad es un trinomio cuadrado perfecto, podemos encontrar las ra´ıces de la ecuaci´on factorizando el primer miembro, as´ı (x + m)2 = d, luego extraemos la rai´z cuadrada en ambos miembros de la ecuaci´on, as´ı x + m = ± √ d, despues trasponemos m, para obtener x = −m ± √ d. 6.2.1. Deducci´on de la formula general de la soluci´on de una ecuaci´on de segundo grado El procedimiento para completar cuadrados en una ecuaci´on de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, consiste transformar esta ecuacion en una ecuaci´on equivalente, donde el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto y el segundo miembro es un t´ermino independiente, es decir, como en la ecuaci´on (6.1). Procedimiento: 1. Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´on por 4a, tenemos 4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0. 2. Se suma b2 en ambos miembros 4a2 x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 . 3. Trasponemos 4ac al segundo miembro 4a2 x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac. 4. De este modo el primer miembro de la ecuaci´on es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que obtenemos la ecuaci´on (2ax + b)2 = b2 − 4ac.
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    6.2. Ecuaci´on generalde segundo grado 73 5. Extraemos la ra´ız cuadrada de ambos miembros de la ecuaci´on, as´ı 2ax + b = ± √ b2 − 4ac. 6. Trasponemos b, 2ax = −b ± √ b2 − 4ac. 7. Dividimos ambos miembros entre 2a, para obtener x = −b ± √ b2 − 4ac 2a . (6.2) A la f´ormula (6.2) se le conoce como formula general. De hecho, hemos mostrado el si- guiente resultado. Proposici´on 6.2.1 Si P(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadr´atico, entonces las solu- ciones o ra´ıces de la ecuaci´on cuadr´atica P(x) = ax2 + bx + c = 0 son −b + √ b2 − 4ac 2a y −b − √ b2 − 4ac 2a . (6.3) Otra manera un tanto distinta de encontrar las ra´ıces de una ecuaci´on cuadr´atica es la siguien- te. Como a = 0, podemos reescribir el polinomio P(x) como P(x) = ax2 + bx + c = a x2 + b a x + c a = a x2 + 2bx 2a + b2 4a2 − b2 4a2 + 4c 4a = a x + b 2a 2 − 1 4a2 b2 − 4ac = a x + b 2a 2 − √ b2 − 4ac 2a 2 = a x + b 2a − √ b2 − 4ac 2a x + b 2a + √ b2 − 4ac 2a = a x − −b + √ b2 − 4ac 2a x − −b − √ b2 − 4ac 2a . Luego, −b + √ b2 − 4ac 2a y −b − √ b2 − 4ac 2a son sus ra´ıces. Al n´umero ∆ = b2 − 4ac le llamamos el discriminante del polinomio cuadr´atico P(x) = ax2 + bx + c.
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    74 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado Observaci´on 6.2.2 Si el discriminante, b2 − 4ac, del polinomio cuadr´atico P(x) = ax2 + bx + c se anula, el polinomio P(x) puede ser escrito como una constante multiplicada por el cuadrado de un polinomio lineal. En este caso, el polinomio P(x) s´olo tiene una ra´ız real, que es igual a − b 2a . En el caso en que el discriminante es mayor a cero, es decir, b2 − 4ac > 0 vemos que el polinomio P(x) tiene dos ra´ıces reales distintas. Finalmente, cuando el discriminante sea negativo, se obtienen dos ra´ıces complejas distintas. En conclusi´on, si r y s son las dos ra´ıces del polinomio P(x), entonces el discriminante se anula si y s´olo si r = s. En el caso que el discriminante sea diferente de cero, r = s, y P(x) = a(x − r)(x − s). Ahora veamos el significado geom´etrico del discriminante de un polinomio cuadr´atico. Recordemos que P(x) = ax2 + bx + c puede escribirse como P(x) = a x + b 2a 2 − 1 4a2 b2 − 4ac = a x + b 2a 2 − ∆ 4a . Para graficar la ecuaci´on anterior, es decir, dibujar las parejas de puntos (x, y) = (x, P(x)) en el plano cartesiano, hacemos y = P(x), de donde obtenemos la ecuaci´on y + ∆ 4a = a x + b 2a 2 , (6.4) la cual representa la ecuaci´on de una par´abola con v´ertice en el punto − b 2a , − ∆ 4a , donde el signo del coeficiente a determina si la par´abola abre hacia arriba (a > 0), o hacia abajo (a < 0). De hecho, la ecuaci´on (6.4) nos dice mucho m´as acerca del polinomio cuadr´atico P(x). Su- pongamos que a > 0, es decir, la par´abola abre hacia arriba. La segunda coordenada del v´ertice, − ∆ 4a es positiva si y s´olo si −∆ > 0, es decir, el discriminante de P(x) es negativo, lo cual significa que la gr´afica de la par´abola no intersecta al eje X. Luego, P(x) no tiene ra´ıces reales. Si − ∆ 4a es negativo, la gr´afica de la par´abola intersecta al eje X en dos puntos x1 y x2, que son las ra´ıces de P(x). Observemos que en este caso se tiene que ∆ es positivo, lo cual coincide con el hecho de que P(x) tenga dos ra´ıces reales. Adem´as, el polinomio P(x) alcanza su valor m´ınimo en el punto x = − b 2a , y dicho valor m´ınimo es − ∆ 4a . Haciendo un an´alisis similar si a < 0, podemos concluir que cuando la par´abola abre hacia abajo, intersectar´a al eje X si y s´olo si ∆ ≥ 0. Aqu´ı, el polinomio P(x) alcanza su m´aximo valor en el punto x = − b 2a y el valor m´aximo es − ∆ 4a .
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    6.2. Ecuaci´on generalde segundo grado 75 x1 a > 0 ∆ > 0 x1 −b 2a , − ∆ 4a x2 a < 0 ∆ < 0 −b 2a , − ∆ 4a Cuando la gr´afica de la par´abola es tangente al eje X, corresponde al caso cuando el discri- minante es cero, es decir, las dos ra´ıces son iguales. Ejemplo 6.2.3 Resuelva la ecuaci´on 4x2 + 3x − 22 = 0. Usamos la f´ormula (6.2) para encontrar las soluciones de la ecuaci´on. En este caso a = 4, b = 3 y c = −22. Usando la f´ormula mencionada, obtenemos que x = −3 ± 32 − 4(4)(−22) 2(4) = −3 ± √ 9 + 352 8 = −3 ± √ 361 8 = −3 ± 19 8 , de donde las soluciones son x = 2 y x = − 11 4 . 6.2.2. Ejercicios resueltos 1. Resolver la ecuaci´on 3x2 − 7x + 2 = 0. Soluci´on. Usando la f´ormula (6.2) con a = 3, b = −7 y c = 2, obtenemos que x = 7 ± (−7)2 − 4(3)(2) 2(3) = 7 ± √ 49 − 24 6 = 7 ± √ 25 6 = 7 ± 5 6 , de donde las soluciones son x = 2 y x = 1 3 . 2. Resolver la ecuaci´on 6x − x2 − 9 = 0.
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    76 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado Soluci´on. La ecuaci´on es equivalente a la ecuaci´on x2 − 6x + 9 = 0. Usando la f´ormula (6.2) con a = 1, b = −6 y c = 9, obtenemos que x = 6 ± (−6)2 − 4(1)(9) 2(1) = 6 ± √ 36 − 36 2 = 6 ± √ 0 2 = 6 2 = 3, de donde s´olo hay una soluci´on x = 3. 6.2.3. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones. a) 32x2 + 18x − 17 = 0 b) −64x2 + 176x = 121 c) 8x + 5 = 36x2 d) 27x2 + 12x − 7 = 0 e) 15x = 25x2 + 2 f) x2 − 3x + 2 = 0 g) 9x2 + 18x + 17 = 0 h) 4x2 = 8x + 5 i) 9x2 + 12x + 4 = 0 j) 2x2 − 3x + 5 = 0. 6.2.4. Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales se resuelven haciendo desaparecer el radical mediante la eleva- ci´on a la potencia, que indique el ´ındice del radical, de los dos miembros de la ecuaci´on. Cuando la ecuaci´on que resulta es de segundo grado, al resolverla obtenemos las dos ra´ıces de la ecuaci´on, pero es necesario hacer la verificaci´on con ambas ra´ıces en la ecuaci´on original, porque cuando los dos miembros de una ecuaci´on se elevan a una misma potencia, general- mente se introducen nuevas soluciones extra˜nas o inadmisibles. Al hacer la verificaci´on se tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical. Ejemplo 6.2.4 Resolver la ecuaci´on √ 4x − 3 − √ x − 2 = √ 3x − 5. Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuaci´on se obtiene que (4x − 3) − 2 √ 4x − 3 √ x − 2 + (x − 2) = (3x − 5). Desarrollando ambos lados de la ecuaci´on, se tiene que −2 √ 4x − 3 √ x − 2 + 5x − 5 = 3x − 5,
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    6.3. Planteamiento yresoluci´on de problemas 77 ecuaci´on que es equivalente a tener −2 √ 4x − 3 √ x − 2 = −2x. Cancelando el 2 y elevando nuevamente al cuadrado, se llega a que (4x − 3)(x − 2) = 4x2 − 11x + 6 = x2 , es decir, tenemos la ecuaci´on cuadr´atica 3x2 − 11x + 6 = 0. Usando la f´ormula (6.2), obtenemos que x = 3 o x = 2 3 . Haciendo la verificaci´on se ve que el valor x = 3 satisface la ecuaci´on dada, pero el valor x = 2 3 es una soluci´on extra˜na, que no se toma en cuenta. La soluci´on correcta de la ecuaci´on es x = 3. 6.3. Planteamiento y resoluci´on de problemas 6.3.1. Ejercicios resueltos 1. Un comerciante compr´o cierto n´umero de sacos de az´ucar por 1000 pesos. Si hubiera comprado 10 sacos m´as por el mismo dinero, cada saco le habr´ıa costado 5 pesos menos. ¿Cu´antos sacos compr´o y cu´anto le cost´o cada uno? Soluci´on. Sea x el n´umero de sacos que compr´o. Entonces cada saco le cost´o 1000 x pesos. Si hubiera comprado 10 sacos m´as le hubiera costado 1000 x+10 , y seg´un el enunciado 1000 x + 10 = 1000 x − 5 1000x − 1000(x + 10) + 5(x + 10)(x) = 0. Tenemos entonces 5x2 + 50x − 10000 = 0 x2 + 10x − 2000 = 0 x = −10 ± 102 − 4(1)(−2000) 2(1) = −10 ± √ 100 + 8000 2 = −10 ± √ 8100 2 = −10 ± 90 2 , de donde x = 40 o x = −50. Como el n´umero de sacos no puede ser un n´umero negativo, la respuesta es que compr´o x = 40 sacos a 25 pesos cada uno. 2. La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensi´on se aumenta 4m el ´area ser´a el doble. Hallar las dimensiones de la sala.
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    78 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado Soluci´on. Sea x el ancho de la sala de modo que la longitud es x+4 y el ´area ser´ıa x(x+4) = x2 + 4x. Al aumentar en 4 las dimensiones, seg´un el enunciado tenemos (x + 4)(x + 8) = 2(x2 + 4x) x2 + 12x + 32 = 2x2 + 8x x2 − 4x − 32 = 0 x = −(−4) ± (−4)2 − 4(1)(−32) 2(1) = 4 ± √ 16 + 128 2 = 4 ± √ 144 2 = 4 ± 12 2 , de donde x = 8 o x = −4. Como x es el ancho de la sala, x no puede ser un valor negativo, por lo que el ancho de la sala es 8 y la longitud es 12. 6.3.2. Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones. a) La suma de dos n´umeros naturales es 14. La diferencia de sus cuadrados supera en 11 al producto de los n´umeros. ¿Cu´ales son los n´umeros? b) El n´umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados est´a dado por D = n(n−3) 2 . ¿Cu´antos lados tiene un poligono regular que posee 54 diagonales? c) Determinar la longitud x del lado de un tri´angulo is´osceles rect´angulo que tiene una hipo- tenusa de 7.5 unidades d) En la casa de Mario hay un jard´ın rectagular que tiene 96m2 de ´area. Alrededor del jad´ın se hace una cerca de 3m de ancho, en este caso el ´area total es 252m2 . Encuentra las dimensi´ones del jard´ın. e) El producto de dos n´umeros es 180 y su cociente 5 4 . Hallar los n´umeros. f) La edad de A hace 6 a˜nos era la ra´ız cuadrada de la edad que tendr´a dentro de 6 a˜nos. Hallar la edad actual. g) Compr´e cierto n´umero de libros por 40 pesos y cierto n´umero de plumas por 40 pesos. Ca- da pluma me costo un peso m´as que cada libro. ¿Cu´antos libros compre y a qu´e precio si el n´umero de libros excede al de plumas en 2?
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    6.4. Soluci´on deecuaciones de grado mayor 79 h) Se vende un reloj en 75 pesos ganando un porcentaje sobre el costo igual al del n´umero de pesos que me costo el reloj. Hallar el costo del reloj. i) Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. j) Halla un n´umero entero sabiendo que la suma con su inverso es 26 5 . 6.4. Soluci´on de ecuaciones de grado mayor Una ecuaci´on binomia es de la forma xn ± A = 0. Vamos a considerar algunas ecuaciones binomias que se resuelven f´acilmente por descompo- sici´on de factores. Ejemplo 6.4.1 1. Resolver la ecuaci´on x4 − 16 = 0. Descomponiendo x4 − 16 se tiene (x2 + 4)(x2 − 4) = (x − 2i)(x + 2i)(x − 2)(x + 2) = 0, por lo que la ecuaci´on tiene cuatro ra´ıces x1 = −2, x2 = 2, x3 = −2i, x4 = 2i. 2. Resolver la ecuaci´on x3 − 27 = 0. Descomponiendo x3 − 27 se tiene (x − 3)(x2 + 3x + 9) = 0, igualando a cero cada uno de los factores se tiene x − 3 = 0, (6.1) x2 + 3x + 9 = 0. (6.2) Resolviendo la ecuaci´on (6.1) tenemos que x = 3; la ecuaci´on (6.2) se resuelve por f´ormula general. As´ı x = −3 ± 3 √ −3 2 . La ecuaci´on x3 − 27 tiene tres ra´ıces x1 = 3, x2 = −3+3 √ 3i 2 , x3 = −3−3 √ 3i 2 . Las ecuaciones trinomias son aquellas que constan de tres t´erminos de la forma ax2n + bxn + c = 0,
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    80 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado donde se ve que, despu´es de ordenada la ecuaci´on en orden descendente con relaci´on a x, en el primer t´ermino la x tiene un exponente doble que en el segundo t´ermino, y el tercer t´ermino es independiente de x. Ejemplos de ecuaciones trinomias son x4 + 9x2 + 20 = 0, x6 + 6x3 − 7 = 0. Las ecuaciones trinomias en que el primer t´ermino tiene x4 y el segundo x2 se llaman ecua- ciones bicuadradas. 6.4.1. Procedimiento para resolver ecuaciones trinomias 1. Escribimos la ecuaci´on trinomia como a(xn )2 + bxn + c = 0. 2. Aplicamos la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. As´ı xn = −b ± √ b2 − 4ac 2a . 3. Extraemos la ra´ız en´esima x = n −b ± √ b2 − 4ac 2a . Este tipo de ecuaciones tienen 2n ra´ıces. Ejemplo 6.4.2 1. Resolver la ecuaci´on 4x4 − 37x2 + 9 = 0. Esta es una ecuaci´on bicuadrada, la cual puede escribirse como 4(x2 )2 −37x2 +9 = 0. Aplicando la f´ormula (6.2) obtenemos el valor de x2 , x2 = 37 ± 372 − 4(4)(9) 8 = 37 ± √ 1369 − 144 8 = 37 ± √ 1225 8 = 37 ± 35 8 . Luego, x2 = 9 o x2 = 1 4 . Por lo tanto, las soluciones de la ecuaci´on bicuadrada son x = ±3 y x = ±1 2 . 2. Resolver la ecuaci´on x6 − 19x3 − 216 = 0. Usando la f´ormula (6.2), obtenemos el valor de x3 , x3 = 19 ± 372 − 4(−216) 2 = 19 ± √ 1225 2 = 19 ± 35 5 .
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    6.4. Soluci´on deecuaciones de grado mayor 81 Entonces, x3 = 27 o x3 = −8. Ahora tenemos que resolver las dos ecuaciones x3 − 27 = 0 y x3 + 8 = 0. Ambas ecuaciones se pueden factorizar como x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9) = 0 y x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4) = 0. Luego, resolviendo estas ecuaciones, encontramos las soluciones x = 3, x = −2, −3 ± √ −27 2 , 2 ± √ −12 2 . 6.4.2. Soluci´on de ecuaciones por factorizaci´on Algunas ecuaciones se pueden resolver factorizando el primer miembro de la ecuaci´on de modo que cada uno de los factores sea lineal, es decir, que los factores sean de la forma (x − a). Ejemplo 6.4.3 Resolver la ecuaci´on x3 + x2 − 16x − 16 = 0. Factorizando el miembro derecho de la ecuaci´on, se obtiene que x3 + x2 − 16x − 16 = x2 (x + 1) − 16(x + 1) = (x2 − 16)(x + 1) = (x + 4)(x − 4)(x + 1). Luego, la ecuaci´on tiene tres ra´ıces x1 = −4, x2 = 4, x3 = −1. 6.4.3. Ejercicios resueltos 1. Resolver x6 + 30x3 + 81 = 0. Soluci´on. Factorizando obtenemos (x3 + 27)(x3 + 3) = 0, luego x3 + 27 = 0 o x3 + 3 = 0. Ahora para resolver la ecuaci´on binomia x3 + 27 = 0 factorizamos (x + 3)(x2 − 3x + 9) = 0. Usamos ahora la f´ormula cuadr´atica para el segundo factor x = 3 ± √ 9 − 36 2 = 3 ± 5i 2 . Para resolver la ecuaci´on binomial x3 + 3 = 0 factorizamos x3 + 3 = (x + 3 √ 3)(x2 − 3 √ 3x + ( 3 √ 3)2 ) = 0. Usamos la f´ormula cuadr´atica para el segundo factor x = 3 √ 3 ± ( 3 √ 3)2 − 4( 3 √ 3)2 2 = 3 √ 3 ± 3 √ 3 √ −3 2 = 3 √ 3 2 ± 3 √ 3 √ 3 2 i.
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    82 Cap´ıtulo 6.Ecuaciones de segundo grado N´otese que en total hay 6 soluciones: x1 = −3, x2,3 = 3 ± 5i 2 , x4 = − 3 √ 3, x5,6 = 3 √ 3 2 ± 3 √ 3 √ 3 2 i. 6.4.4. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones. a) x4 − 16 = 0 b) x6 − 729 = 0 c) x3 + x2 − x − 1 = 0 d) x3 − 4x2 + x + 6 = 0 e) n4 − 27n2 − 14n + 120 = 0 f) a4 − 15a2 − 10a + 24 = 0 g) 4x5 + 3x4 − 108x3 − 25x2 + 522x + 360 = 0 h) x5 + 2x4 − 15x3 − 3x2 − 6x + 45 = 0 i) x7 − 20x5 − 2x4 + 64x3 + 40x2 − 128 = 0 j) a6 − 8a5 + 6a4 + 103a3 − 344a2 + 396a − 144 = 0.
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    Cap´ıtulo 7 Sistemas deecuaciones lineales Dos o m´as ecuaciones, con dos o m´as incognitas, son simult´aneas cuando se satisfacen para iguales valores de las inc´ognitas. As´ı, las ecuaciones x + y = 5 x − y = 1 son simult´aneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones. Ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra. As´ı, x + y = 4 (7.1) 2x + 2y = 8 (7.2) son equivalentes porque multiplicando la ecuaci´on (7.1) por 2 se obtiene la ecuaci´on (7.2). Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Las ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecua- ciones independientes tienen una sola soluci´on com´un son simult´aneas. Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independiantes que no tienen soluci´on com´un. Un sistema de ecuaciones es la reuni´on de dos o m´as ecuaciones con dos o m´as incognitas. As´ı, 2x + 3y = 13 4x − y = 5 es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos inc´ognitas. 83
  • 92.
    84 Cap´ıtulo 7.Sistemas de ecuaciones lineales 7.1. Concepto de soluci´on de un sistema de ecuaciones Un sistema de ecuaciones de 2 × 2 tiene dos ecuaciones con dos inc´ognitas, es decir, es de la forma ax + by = c dx + ey = f, donde las inc´ognitas son x, y. Resolver un sistema de ecuaciones de 2 × 2 es encontrar los valores x y y que satisfacen ambas ecuaciones, si es que existen. Un sistema de ecuaciones de 3 × 3 tiene tres ecuaciones y tres inc´ognitas, es decir, es de la forma a1,1x + a1,2y + a1,3z = b1 a2,1x + a2,2y + a2,3z = b2 a3,1x + a3,2y + a3,3z = b3, donde las inc´ognitas son x, y y z. Resolver un sistema de ecuaciones de 3 × 3 es encontrar los valores x, y y z que satisfacen las tres ecuaciones, si es que existen. Un sistema de ecuaciones de 2 × 2 o de 3 × 3 puede tener una soluci´on, una infinidad de soluciones o ninguna. 7.2. Resoluci´on de sistemas de 2 × 2 y 3 × 3 Primero vamos a estudiar los diferentes m´etodos para resolver ecuaciones de 2 × 2. 7.2.1. M´etodo de igualaci´on Resolver el sistema 7x + 4y = 13 (7.3) 5x − 2y = 19. (7.4) Despejamos cualquiera de las inc´ognitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones para obtener x = 13 − 4y 7 , x = 19 + 2y 5 . Ahora se igualan las ´ultimas dos ecuaciones, para tener que 13 − 4y 7 = 19 + 2y 5 ,
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    7.2. Resoluci´on desistemas de 2 × 2 y 3 × 3 85 y ya tenemos una ecuaci´on con una sola inc´ognita. Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene que y = −2. Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (7.3) o (7.4) se llega a que x = 13 − 4(−2) 7 = 3. Por lo que x = 3, y = −2 es la soluci´on del sistema. Ejemplo 7.2.1 Resolver el sistema 3x + 5y = 7 2x − y = −4. Despejamos a y de la primera y segunda ecuaci´on y = 7 − 3x 5 , y = 2x − 4. Ahora igualamos ambas expresiones para y, para despejar x 7 − 3x 5 = 2x + 4, 7 − 3x = 10x + 20 13x = −13, x = −1. Sustituimos ahora el valor x = −1 en cualquiera de las expresiones para y, para obtener y = 2(−1) + 4 = −2 + 4 = 2. Las soluciones son x = −1, y = 2. Obs´ervese que no importa cu´al de las inc´ognitas se despeja en ambas ecuaciones el resultado ser´a el mismo. 7.2.2. M´etodo de sustituci´on Resolver el sistema 2x + 5y = −24 (7.5) 8x − 3y = 19. (7.6) Despejamos una de las inc´ognitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a despejar x en la ecuaci´on (7.5). Luego x = −24 − 5y 2 .
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    86 Cap´ıtulo 7.Sistemas de ecuaciones lineales Este valor de x se sustituye en la ecuaci´on (7.6), 8 −24 − 5y 2 − 3y = 19, y ya tenemos una sola ecuaci´on con una inc´ognita. Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene que y = −5. Sustituyendo el valor de y en la ecuaci´on donde se despejo x, tenemos que x = −24 − 5(−5) 2 = 1 2 . Por lo que x = 1 2 , y = −5 es la soluci´on del sistema. Ejemplo 7.2.2 Resolver el sistema x + 6y = 27 7x − 3y = 9. Iniciamos despejando a x en la primera ecuaci´on, x = 27 −6y. Se sustituye ahora este valor de x en la segunda eucaci´on y se despeja y 7(27 − 6y) − 3y = 9, 189 − 42y − 3y = 9, 45y = 180 o y = 4. Se sutituye y = 4 en la primera ecuaci´on para obtener x + (6)(4) = 27 x = 27 − 24 = 3. As´ı x = 3, y = 4 es la soluci´on. 7.2.3. M´etodo de suma o resta Resolver el sistema 5x + 6y = 20 (7.7) 4x − 3y = −23. (7.8) En este m´etodo se hacen iguales los coeficientes de una de las inc´ognitas. Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones por que es lo m´as sencillo. Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´on (7.8) por el coeficiente de y en la ecuaci´on (7.7) dividido entre el coeficiente de y de la ecuaci´on (7.8), es decir, multiplicamos por 6 −3 = −2.
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    7.2. Resoluci´on desistemas de 2 × 2 y 3 × 3 87 Obtenemos el sistema de ecuaci´ones 5x + 6y = 20 −8x + 6y = 46. (7.9) Este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema original, lo que significa que tienen la misma soluci´on. Luego restamos la ecuaci´on (7.9) de la ecuaci´on (7.7), 5x 6y = 20 8x −6y = 20 13x = −26. Despejamos x, en la ecuaci´on 13x = −26, se obtiene que x = −23 13 = −2. Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo en la ecuaci´on (7.7), se tiene 5(−2) + 6y = 20. Despejando, tenemos que y = 5. Por lo que x = −2, y = 5 es la soluci´on del sistema. Ejemplo 7.2.3 Resolver el sistema 10x + 18y = −11 16x − 9y = −5. Multiplicando todos los t´erminos de la segunda ecuaci´on por 2 obtendremos el nuevo sistema 10x + 18y = −11 32x − 18y = −10. Ahora sumamos ambas ecuaciones, combinando t´erminos semejantes para obtener: 42x = −21, x = − 1 2 . Sustituimos x = −1 2 en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener 10 − 1 2 + 18y = −11, 18y = −6, y = − 1 3 . Las soluciones son entonces x = −1 2 , y = −1 3 . Una vez m´as observamos que no importa cu´al de las inc´ognitas se elije para ser eliminada, el resultado ser´a el mismo.
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    88 Cap´ıtulo 7.Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 7.2.4 Resolver el sistema: 3x − (9x + y) = 5y − (2x + 9y) 4x − (3x + 7) = 5y − 47. En ocasiones se debe desarrollar la expresi´on antes de aplicar los m´etodos explicados ante- riormente, as´ı el sistema anterior se convierte −6x − y = −2x − 4y 4x − 3y − 7 = 5y − 47, que finalmente se puede expresar como −4x + 3y = 0 4x − 8y = −40. Aplicamos ahora el m´etodo de suma y resta, de donde −5y = −40, y = 8. Sustituyendo en la otra ecuaci´on se obtiene que −4x + 3(8) = 0 o x = 6. Ejemplo 7.2.5 Ahora vamos a resolver un sistema de 3 × 3. x + y + z = 12 2x − y + z = 7 x + 2y − z = 6. Para eliminar la inc´ognita z restamos la segunda ecuaci´on a la primera ecuaci´on, para obtener −x+2y = 5. Luego sumamos la segunda y la tercera ecuaci´on para obtener 3x+y = 13. Luego, tenemos un nuevo sistema de ecuaciones −x + 2y = 5 3x + y = 13. Este sistema se puede resolver con cualquiera de los m´etodos anteriores, despejando x de la primer ecuaci´on obtenemos x = 2y − 5. La cual sustituimos en la segunda ecuaci´on 3(2y − 5) + y = 13, 6y − 15 + y = 13, 7y = 28, y = 4. Regresando a la primera ecuaci´on tenemos x = 2(4) − 5 = 3. Estos valores se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener z (3) + (4) + z = 12, z = 5. Las soluciones son entonces x = 3, y = 4, z = 5.
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    7.2. Resoluci´on desistemas de 2 × 2 y 3 × 3 89 7.2.4. M´etodo del determinante Una matriz de 2 × 2 es un arreglo a11 a12 a21 a22 donde a11, a12, a21 y a22 son n´umeros reales. El determinante de la matriz anterior, que denotamos por a11 a12 a21 a22 es el n´umero real definido por a11a22 − a12a21. Una matriz de 3 × 3 es un arreglo    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33    donde, nuevamente, cada aij es un n´umero. Los sub´ındices nos indican la posici´on del n´umero en el arreglo. As´ı, aij se encuentra en el i-´esimo rengl´on y la j-´esima columna. Definimos el determinante de una matriz de 3 × 3 por la regla a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 . Es decir, nos movemos a lo largo del primer rengl´on, multiplicando a1j por el determinante de la matriz de 2 × 2 obtenida al eliminar el primer rengl´on y la j-´esima columna, y despu´es sumando todo esto, pero recordando poner un signo negativo antes de a12. Cabe aclarar que el resultado del determinante no se altera si en lugar de escoger el primer rengl´on como primer paso escogemos el segundo o el tercero. En caso de que escojamos el segundo rengl´on iniciamos con un signo negativo y si escogemos el tercer rengl´on el primer signo es positivo, es decir, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = −a21 a12 a13 a32 a33 + a22 a11 a13 a31 a33 − a23 a11 a12 a31 a32 . Los signos se van alternando, siguiendo el siguiente diagrama + − + − + − + − + . Los determinantes cumplen varias propiedades, que son inmediatas de las definiciones, las m´as ´utiles son las siguientes.
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    90 Cap´ıtulo 7.Sistemas de ecuaciones lineales Propiedades 7.2.6 (a) Al intercambiar dos renglones consecutivos o dos columnas conse- cutivas, el signo del determinante cambia, por ejemplo, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = − a21 a22 a23 a11 a12 a13 a31 a32 a33 . (b) Se puede sacar un factor com´un a cualquier rengl´on o columna de una matriz y los determinantes se relacionan de la siguiente manera, por ejemplo, αa11 αa12 αa13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = α a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 . (c) Si a un rengl´on (o columna) le sumamos otro rengl´on (o columna), el valor del determi- nante no cambia, por ejemplo, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =   o a11 + a12 a12 a13 a21 + a22 a22 a23 a31 + a32 a32 a33 ,    . (d) Si una matriz tiene dos renglones (o dos columnas) iguales el determinante es cero. Ejemplos. Calculemos los determinantes de las matrices dadas. 1. 3 2 5 4 = 3 × 4 − 2 × 5 = 2. 2. 3 −5 1 −2 = 3(−2) − (−5)(1) = −1. 3. −2 −5 −3 −9 = (−2)(−9) − (−3)(−5) = 3. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones ax + by = r cx + dy = s,
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    7.2. Resoluci´on desistemas de 2 × 2 y 3 × 3 91 el cual tiene soluci´on, usando alguno de los m´etodos anteriores, x = rd − bs ad − bc y y = as − cr ad − bc . Entonces, note que la soluci´on puede ser escrita en t´erminos de discriminantes de matrices de la siguiente manera x = r b s d a b c d = rd − bs ad − bc y = a r c s a b c d = ac − cr ad − bc . Si el determinante a b c d = 0, significa que el sistema tiene infinidad de soluciones o que no tiene soluci´on. Si el determinante a b c d = 0, significa que el sistema tiene una ´unica soluci´on. Ejemplo 7.2.7 Resolver el sistema de ecuaciones 5x + 3y = 5 4x + 7y = 27. Calculamos x y y usando determinantes x = 5 3 27 7 5 3 4 7 = 35 − 81 35 − 12 = −46 23 = −2. y = 5 5 4 27 5 3 4 7 == 135 − 20 23 = 115 23 = 5.
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    92 Cap´ıtulo 7.Sistemas de ecuaciones lineales 7.2.5. Ejercicios Resolver los sistemas de ecuaciones dados. a) Resolver por suma y resta: 9x + 16y = 7; 4y − 3x = 0. b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el m´etodo de igualaci´on: 10x − 3y = 36; 2x − 5y = −4. c) Resolver por sustituci´on 15x − 11y = −87; −12x − 5y = −27. d) Resolver por determinantes: 8x + 9y = 0; 2x + 5y + 3y = 7 2 . e) 6x + 3y + 2z = 12; 9x − y + 4z = 37; 10x + 5y + 3z = 21. f) 3x − 4y − 2(2x − 7) = 0; 5(x − 1) − (2y − 1) = 0. g) 2x + 4y + 3z = 3; 10x − 8y − 9z = 0; 4x + 4y − 3z = 2. h) x + 1 10 = y − 4 5 ; x − 4 5 = y − 2 10 . i) 5x − 3z = 2; 2z − y = −5; x + 2y − 4z = 8. j) 2x + 3y + z = 1; 6x − 2y − z = −14; 3x + y − z = 1. 7.3. Planteamiento de problemas 7.3.1. Ejercicios resueltos 1. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un n´umero es 13, y si al n´umero se le resta 45 las cifras se invierten. Hallar el n´umero. Soluci´on. Sean x la cifra de las decenas y y la cifra de las unidades, de modo que el n´umero es 10x + y. Seg´un el enunciado del problema x + y = 13 y adem´as 10x + y − 45 = 10y + x. Entonces tenemos que resolver el sistema x + y = 13 9x − 9y = 45, que se puede simplificar como x + y = 13 x − y = 5.
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    7.3. Planteamiento deproblemas 93 Despejando x de la primer ecuaci´on, tenemos x = 13 − y lo cual sustituimos en la segunda ecuaci´on, para obtener 13 − y − y = 5, 2y = 8, y = 4. Regresando a la primera ecuaci´on obtenemos x = 13 − 4 = 9. El n´umero que buscamos es entonces 94. 2. Se tiene que 5 kilos de az´ucar, 3 de caf´e y 4 de frijoles cuestan 118; 4 de az´ucar, 5 de caf´e y 3 de frijoles cuestan 145; 2 de az´ucar, 1 de caf´e y 2 de frijoles cuestan 46. Hallar el precio del kilo de cada mercanc´ıa. Soluci´on. Sean x los kilos de az´ucar, y los kilos de caf´e y z los kilos de frijoles. Seg´un el enunciado tenemos el sistema 5x + 3y + 4z = 118 4x + 5y + 3z = 145 2x + y + 2z = 46. De la ultima ecuaci´on despejamos y, y = 46 − 2x − 2z y la sustituimos en las dos otras ecuaciones 5x + 3(46 − 2x − 2z) + 4z = 118 4x + 5(46 − 2x − 2z) + 3z = 145. Para obtener el nuevo sistema de ecuaciones x + 2z = 20 6x + 7z = 85. Despejando x de ambas ecuaciones obtenemos x = 20 − 2z, x = 85 − 7z 6 . Igualamos y resolvemos para z 20 − 2z = 85 − 7z 6 , 120 − 12z = 85 − 7z, 5z = 35, z = 7. Ahora sustituimos para encontrar el valor de x x = 20 − 2(7) = 20 − 14 = 6. Por ´ultimo sustituimos estos dos valores en cualquiera de las ecuaciones originales para ob- tener el valor de y y = 46 − 2x − 2x = 46 − 2(6) − 2(7) = 46 − 12 − 14 = 20. De esta manera tenemos que el az´ucar cuesta 6 el kilo, el caf´e cuesta 20 el kilo y el frijoles cuesta 7 el kilo.
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    94 Cap´ıtulo 7.Sistemas de ecuaciones lineales 7.3.2. Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios. a) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta 2 puntos, ¿Cu´antas preguntas ha acertado y cu´antas preguntas ha fallado Juan? b) Si se le suman 3 al numerador de una fracci´on y se le restan 2 al denominador, la fracci´on se convierte en 6 7 , pero si se resta 5 al numerador y se suma 2 al denominador, la fracci´on es igual a 2 5 . Hallar la fracci´on. c) Calcula un n´umero sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que si invertimos el orden de dichas cifras, el n´umero obtenido es 36 unidades mayor que el original. d) Seis veces el ancho de una sale excede en 4 m a la longitud de la sala, y si la longitud aumentada en 3 mse divide entre el ancho, el cociente es 5 y el residuo es 3. Hallar las dimensiones de la sala. e) 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4180 pesos, y 8 trajes y 9 sombreros 6940. Hallar el precio de un traje y un sombrero. f) Si un n´umero de dos cifras se disminuye en 17 y esta diferencia se divide entre la suma de sus cifras, el cociente es 5, y si el n´umero disminuido en 2 se divide entre la cifra de las unidades disminuida en 2 el cociente es 19. Hallar el n´umero. g) En un cine hay 700 personas entre adultos y ni˜nos. Cada adulto pag´o 40 pesos y cada ni˜no 15 pesos por su entrada. La recaudaci´on es de 18000. ¿Cu´antos adultos y cu´antos ni˜nos hay en el cine? h) Sig al doble de la edad de A se suma la edad B, se obtiene la edad de C aumentada en 32 a˜nos. Si al tercio de la edad de B se le suma el doble de la de C, se obtiene la de A aumentada en 9 a˜nos. Finalmente, el tercio de la suma de las edades de A y B es 1 a˜no menos que la edad de C. Hallar las edades respectivas. i) 5 kilos de az´ucar, 3 de caf´e, y 4 de frijoles, cuestan 1.18 pesos; 4 de az´ucar, 5 de caf´e, y 3 de frijoles cuestan 1.45 pesos; 2 de az´ucar, 1 de caf´e y 2 de frijoles cuestan 46 centavos. Hallar el precio de un kilo de cada mercanc´ıa. j) Ayer gan´e 10 m´as que hoy. Si lo que gan´e hoy es los 5 6 de lo que gan´e ayer. ¿Cu´anto gan´e cada d´ıa?
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    Cap´ıtulo 8 Desigualdades Una desigualdades una expresi´on que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Por ejemplo, 5 < 15, a + b > c, −5 < −1. Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresi´on que est´a a la izquierda y se- gundo miembro a la que est´a a la derecha del signo de la desigualdad. Propiedades de las desigualdades. Propiedades 8.0.1 (a) Si a dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no var´ıa. As´ı, dada la desigualdad a < b, podemos escribir a + c < b + c, a − c < b − c. Consecuencia. Un t´ermino cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miem- bro a otro cambi´andole el signo. (b) Si dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varia. As´ı, dada la desigualdad a < b y siendo c una cantidad positiva, podemos escribir ac < bc, a c < b c . (c) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad var´ıa. As´ı, si en la desigualdad a < b multiplica- mos ambos miembros por −c, tendremos −ac > −bc, 95
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    96 Cap´ıtulo 8.Desigualdades − a c > − b c . (d) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. As´ı, si a > b es evidente que b < a. (e) Al tomar los rec´ıprocos de los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. As´ı, siendo a < b se tiene que 1 a > 1 b . (f) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, 3 < 5, elevando al cuadrado 32 < 52 , es decir, 9 < 25. (g) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, −5 < −3, elevando al cubo, (−5)3 < (−3)3 , es decir, −125 < −27. (h) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia. As´ı, −5 < −3, elevando al cuadrado, (−3)2 = 9 y (−5)2 = 25, (−5)2 > (−3)2 . (i) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma ra´ız positiva, el signo de la desigualdad no cambia. As´ı, si a < b, 0 < a y n es positivo, se tiene que n √ a < n √ b. (j) Si dos o m´as desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. As´ı, si a < b y c < d, se tiene que a + c < b + d, ac < bd. Una inecuaci´on es una desigualdad en la que hay una o m´as cantidades desconocidas (inc´ogni- tas) y que s´olo se verifican para determinados valores de las inc´ognitas. As´ı, la desigualdad 2x − 3 > x + 5 es una inecuaci´on por que tiene la inc´ognita x y s´olo se verfica para cualquier valor de x mayor que 8. En efecto, para x = 8 se convertir´ıa en igualdad y para x < 8 se convertir´ıa en una desigualdad de signo contrario. Resolver una inecuaci´on es hallar los valores de las inc´ognitas que satisfacen la inecuaci´on.
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    8.1. Desigualdades deprimer grado 97 8.1. Desigualdades de primer grado 8.1.1. Ejercicios resueltos 1. Encuentra el conjunto soluci´on de la desigualdad x + 5 > 2. Soluci´on. Sumando −5 a ambos lados de la desigualdad, obtenemos x + 5 − 5 > 2 − 5 x > −3. Por lo tanto el conjunto soluci´on es {x ∈ R | x > −3}. 2. Hallar el conjunto soluci´on de la desigualdad x + 2(4x − 5) > 5(2x − 3). Soluci´on. x + 2(4x − 5) > 5(2x − 3) x + 8x − 10 > 10 < −15 9x − 10 > 10x − 15 9x + 5 > 10x 5 > x. Por lo que el conjunto soluci´on es {x ∈ R | x < 5}. 3. Determinar el conjunto soluci´on de la desigualdad 3(2x − 5) − 7(1 − x) ≥ −4(4 − 3x). Soluci´on. Aplicando la ley distributiva para eliminar los par´entesis, tenemos 6x − 15 − 7 + 7x ≥ −16 + 12x. Al reducir t´erminos semejantes, se obtiene 13x − 22 ≥ −16 + 12x. Sumando (22 − 12x) a ambos lados de la desigualdad, se obtiene 13x − 22 + 22 − 12x ≥ −16 + 12x + 22 − 12x x ≥ 6. Por lo tanto el conjunto soluci´on es {x ∈ R | x ≥ 6}.
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    98 Cap´ıtulo 8.Desigualdades 8.1.2. Ejercicios Resolver las siguientes desigualdades. a) 3(x − 5) − 4(4 − 3x) ≥ 2(7 − x) − 3(x − 5). b) 3x − 14 < 7x − 2. c) 3x+1 7 − 2−4x 3 ≥ −5x−4 14 + 7x 6 . d) −6 < −2 5 (1 − x) ≤ 4. e) 2 3 [x − (1 − x−2 3 )] + 1 ≤ x. f) 3x+1 2 ≥ x − 5x−9 6 . g) 2x − 5 3 > x 3 + 10. h) 3x − 4 + x 4 < 5x 2 + 2. i) 2x+2 5 < 3x−6 10 . j) x+3 4 − x+2 3 < 2. 8.2. Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto 8.2.1. Ejercicios resueltos 1. Hallar el conjunto soluci´on de |2x + 3| = 9. Soluci´on. Primer caso, cuando 2x + 3 ≥ 0, esto es, x ≥ − 3 2 , |2x + 3| = 2x + 3. La ecuaci´on se convierte entonces en |2x + 3| = 2x + 3 = 9 2x = 9 − 3 x = 3. El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x ≥ −3 2 y x = 3. El conjunto soluci´on es entonces {3}. Segundo caso, cuando 2x + 3 < 0, es decir, x < −3 2 |2x + 3| = −(2x + 3) = −2x − 3.
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    8.2. Ecuaciones ydesigualdades con valor absoluto 99 La ecuaci´on se convierte en |2x + 3| = −2x − 3 = 9 −2x = 9 + 3 x = −6. El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x < −3 2 y x = −6. El conjunto soluci´on es entonces {−6}. El conjunto soluci´on es la uni´on de los conjuntos soluci´on de los dos casos. Por lo tanto, el conjunto soluci´on es {−6, 3}. 2. Determinar el conjunto soluci´on de |2x − 5| = x + 3. Soluci´on. El primer caso es cuando 2x − 5 ≥ 0, esto es, x ≥ 5 2 . Se tiene as´ı que |2x − 5| = 2x − 5. Luego 2x − 5 = x + 3 2x − x = 3 + 5 x = 8. El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x ≥ 5 2 y x = 8, por lo que el conjunto soluci´on es {8}. Segundo caso, es decir, x < 5 2 si 2x − 5 < 0. Resulta que |2x − 5| = −(2x − 5) = −2x + 5. De esta manera, |2x − 5| = x + 3 se convierte en −2x + 5 = x + 3 −2x − x = 3 − 5 x = 2 3 . El conjunto soluci´on es la intersecci´on de los conjuntos soluci´on de x < 5 2 y x = 2 3 . El conjunto soluci´on es {2 3 }. Luego, el conjunto soluci´on de |2x − 5| = x + 3 es la uni´on de los conjuntos soluci´on de los dos casos. Por lo tanto, el conjunto soluci´on es {2 3 , 8}. 3. Determinar el conjunto soluci´on de |2x − 3| ≥ 1. Soluci´on. |2x − 3| ≥ 1 es equivalente a 2x − 3 ≥ 1 cuando 2x − 3 ≥ 0, o bien −(2x − 3) ≥ 1 cuando 2x − 3 ≤ 0. Ahora, resolvemos cada desigualdad y consideramos la uni´on entre ambas soluciones, x ≥ 2 cuando 2x − 3 ≥ 0 uni´on −2x + 3 ≥ 1 cuando 2x − 3 ≤ 0. Es decir, se tiene que la soluci´on
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    100 Cap´ıtulo 8.Desigualdades es x ≥ 2 y x ≥ 3 2 uni´on 1 ≥ x y x ≤ 3 2 . Resolviendo cada lado de la uni´on, se obtiene que x ≥ 2 uni´on x ≤ 1. Por lo tanto, el conjunto soluci´on es {x ∈ R | x ≥ 2 o x ≤ 1}. 8.2.2. Ejercicios Resolver las siguientes desigualdades. a) |3x + 1| ≥ 2|x − 6| b) |x + 2| > 3 c) | − 4x + 8| ≤ 5 d) |2x − 5| < 4 e) |3x + 8| ≥ 2 f) |x 7 − 1 6 | < 1 3 g) |3x − 7| ≤ 2 h) |3x − 2| < 4 i) |4x + 2| ≥ 6 j) |2x − 1| ≥ 3.
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    Cap´ıtulo 9 Funciones elementales 9.1.Logaritmo El logaritmo de un n´umero dado es el exponente al que tenemos que elevar otro n´umero llamado base para obtener el n´umero dado. Como 50 = 1, 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125, luego, siendo la base 5 el logaritmo de 1 (se escribe log5(1)) es 0, por que 0 es el exponente al que tenemos que elevar la base 5 para obtener 1. Luego, log5(1) = 0, log5(5) = 1, log5(25) = 2, log5(125) = 3. Cualquier n´umero positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Los sis- temas de logaritmos usados generalmente son dos, el sistema de logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o Neperianos, cuya base es el n´umero e = 2.71828182845 . . .. Propiedades de los logaritmos. Sea b la base del logaritmo, la ecuaci´on by = A, ser´a equi- valente a escribir logb(A) = y. Propiedades 9.1.1 (a) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. (b) Los n´umeros negativos no tienen logaritmo. (c) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, es decir, logb(b) = 1. 101
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    102 Cap´ıtulo 9.Funciones elementales (d) El logaritmo de 1 es 0, es decir, logb(1) = 0. (e) Los n´umeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo, es decir, si A > 1 se tiene que logb(A) > 0. (f) Los n´umeros menores que 1 tienen logaritmo negativo, es decir, si 0 < A < 1 se tiene que logb(A) < 0. (g) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. As´ı, logb(AB) = logb(A) + logb(B). (h) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. As´ı, logb A B = logb(A) − logb(B). (i) El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. As´ı, logb(An ) = n logb(A). (j) El logaritmo de una ra´ız es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el ´ındice de la ra´ız. As´ı, logb( n √ A) = logb(A) n . 9.1.1. Ejercicios resueltos 1. Encuentre y si y = log4 8. Soluci´on. Escriba y = log4 8 en una forma exponencial equivalente, es decir 8 = 4y , 23 = 22y , 2y = 3, y = 3 2 . 2. Encuentre x si log3 x = −2. Soluci´on. Escriba log3 x = −2 en forma exponencial equivalente x = 3−2 , x = 1 32 = 1 9 .
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    9.1. Logaritmo 103 3.Encuentre b si logb 1000 = 3. Soluci´on. Escriba logb 1000 = 3 en forma exponencial equivalente 1000 = b3 , luego 103 = b3 , de donde b = 10. 4. Si loge 3 = 1.1 y loge 7 = 1.95, encuentre loge(7 3 ) y loge 3 √ 21. Soluci´on. loge 7 3 = loge 7 − loge 3 = 1.95 − 1.1 = 0.85 loge 3 √ 21 = loge(21) 1 3 = 1 3 loge(3)(7) = 1 3 (loge 3 + loge 7) = 1 3 (1.1 + 1.95) = 1.01. 5. Encuentre x tal que logb x = 2 3 logb 27 + 2 logb 2 − logb 3. Soluci´on. logb x = 2 3 logb 27 + 2 logb 2 − logb 3 = logb 27 2 3 + logb 22 − logb 3 = logb 9 + logb 4 − logb 3 = logb (9)(4) 3 = logb 12. As´ı, logb x = logb12, por lo tanto x = 12. 9.1.2. Ejercicios Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas. a) log (x + 3) + log x = 1. b) log (3x + 2) = 2 log 2 + log (2x − 1). c) log 5 + log x = 2. d) log (6x + 3) − log 3 = log (5x − 3) + log 4. e) log x + log (x − 3) = 1. f) log2 8 = x. g) log x − log 5 = log 2 − log (x − 39). h) log x − log 8 = 1. i) log (log x) = 1. j) log (6x + 3) − log 3 = log 2 − log x.
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    104 Cap´ıtulo 9.Funciones elementales 9.2. Funci´on exponencial Se dice que P es una funci´on exponencial de x (la variable es x) con base a si P = P0ax , siendo P0 la cantidad inicial (cuando x = 0 tenemos P = P0) y a es un factor de cambio de P, cuando x aumenta en 1. Si a > 1 se trata de un crecimiento exponencial; si a < 1 se trata de una disminuci´on exponencial. Ejemplo 9.2.1 Si a = 2 y P0 = 3, hacemos variar x para tener la ecuaci´on P = 3(2)x , entonces por ejemplo se tiene que 3(2)0 = 3, 3(2)1 = 6, 3(2)2 = 12, 3(2)3 = 24, 3(2)5 = 96. Propiedades de los exponentes. A continuaci´on se presentan la lista de las definiciones y propiedades necesarias para mani- pular los exponentes, algunas de las cuales ya hemos revisado en estas notas. (a) a0 = 1, (b) a1 = a, (c) a−1 = 1 a , (d) a−x = 1 ax , (e) a 1 2 = √ a, (f) a 1 n = n √ a, (g) a m n = n √ am, (h) ax at = ax+t , (i) ax at = ax−t , (j) (ax )t = axt . (k) Si x < 0 tenemos que 0 < ax < 1. (l) Si x > 0 tenemos que ax > 1. 9.2.1. Ejercicios resueltos 1. Despeje x de 4x−3 = 8. Soluci´on. Exprese ambos lados en t´erminos de la misma base, 4x−3 = 8, (22 )x−3 = 23 22x−6 = 23 , 2x − 6 = 3 2x = 9, x = 9 2 . 2. Despeje x de 27x+1 = 9.
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    9.2. Funci´on exponencial105 Soluci´on. Exprese ambos lados en t´erminos de la misma base, 27x+1 = 9, (33 )x+1 = 32 , 33x+3 = 32 , 3x + 3 = 2, 3x = −1, x = − 1 3 . 3. Tiempo de duplicaci´on. Para cierta bacteria se halla que su tiempo de dupicaci´on es de 25 minutos. Sup´ongase que no hay ning´un cambio en el tiempo de duplicaci´on y que se inicia con un cultivo de 1000 bacterias. ¿Cu´antas bacterias estar´an presentes en 10 minutos?, ¿y en 5 horas? Soluci´on. La f´ormula que usaremos es P(t) = (1000)2 t 25 , donde el tiempo t se mide en minutos. Para t = 0 se tiene que P(10) = (1000)2 10 25 = (1000)2 2 5 = 1000 5 √ 4 ≈ 1320. Para t = 300 obtenemos P(300) = (1000)2 300 25 = (1000)21 2 = 4, 096, 000. 4. Decaimiento radiactivo. El is´otopo del galio 67 usado en el diagn´ostico de tumores ma- lignos, tiene una vida media de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos del is´otopo, ¿cu´antos miligramos quedar´an despu´es de 24 horas?, ¿despu´es de una semana? Soluci´on. Se usa el modelo de decaimiento de vida media A = A0 1 2 t h = A02− t h . Tomando A0 = 100 y h = 46.5, se obtiene A = 100(2− t 46.5 ). El valor de A cuando t = 24 horas es A = 100(2− 24 46.5 ) = 69.9 miligramos. El valor de A cuando t = 168 horas (una semana=168 horas) es A = 100(2− 168 46.5 ) = 8.17 miligramos. 5. Medicina - Crecimiento bacteriano. El c´olera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del c´olera que se miltiplica exponencialmente por la divisi´on de c´elulas modelada por N = N0e1.38t ,
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    106 Cap´ıtulo 9.Funciones elementales donde N es el n´umero de bacterias presentes despues de t horas y N0 es el n´umero de bacterias presentes cuanto t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cu´antas bacterias habr´a en 5 horas? Soluci´on. Utilice N0 = 1 y t = 5 para obtener que N = N0e1.386t = e1.386(5) = 1020. 9.2.2. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales. a) e2x−1 = ex b) ex e−3 = e5x e−2 e−x c) eeex = ee d) 4x+1 − 2x = 0 e) 23x−5 = 5 f) 2x2−7 = 1 8 g) 105x−2 = 100 h) 5 2 = ex+e−x 2 i) ex−1 · ex+1 = e4x−4 j) 106x−1 · 103x+1 = 102x2 . 9.3. Funciones trigonom´etricas Sea ABC un tri´angulo rect´angulo con ´angulo recto en C. Si denotamos por AB = c, BC = a y CA = b, tenemos que c2 = a2 + b2 , y si hacemos α = ∠BAC y β = ∠ABC, podemos definir las funciones trigonom´etricas seno y coseno de la siguiente manera sen α = a c , cos α = b c . Estas funciones se pueden extender para que esten definidas para cualquier ´angulo entre 0 y 2π, y de hecho para cualquier n´umero real. Las otras 4 funciones trigonom´etricas son las siguientes. 1. tan(x) = sen (x) cos(x) , 2. cot(x) = 1 tan(x) , 3. sec(x) = 1 cos(x) ,
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    9.3. Funciones trigonom´etricas107 4. csc(x) = 1 sen (x) . Algunas identidades de las funciones trigonom´etricas son las siguientes. 1. sen 2 (x) + cos2 (x) = 1, 2. sec2 (x) − tan2 (x) = 1, 3. csc2 (x) − cot2 (x) = 1, 4. sen (x + y) = sen (x) cos(y) + sen (y) cos(x), 5. sen (x − y) = sen (x) cos(y) − sen (y) cos(x), 6. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen (x)sen (y), 7. cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sen (x)sen (y), 8. tan(x + y) = tan(x) + tan(y) 1 − tan(x) tan(y) , 9. tan(x − y) = tan(x) − tan(y) 1 + tan(x) tan(y) , 10. sen (2x) = 2sen (x) cos(x), 11. cos(2x) = cos2 (x) − sen 2 (y), 12. tan(2x) = 2 tan(x) 1 − tan2 (x) , 13. sen2 (x) = 1 − cos(2x) 2 , 14. cos2 (x) = 1 + cos(2x) 2 , 15. tan2 (x) = 1 − cos(2x) 1 + cos(2x) .
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    108 Cap´ıtulo 9.Funciones elementales 9.3.1. Ejercicios Calcular el valor exacto sin usar tablas o calculadora de las siguientes expresiones. a) cos 0 b) sen π 2 c) cos −π 6 d) cot 3π 2 e) csc 5π 6 f) sec 11π 6 g) tan −4π 3 h) sec −π 6 i) sen −π 4 j) csc −π.
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    Bibliograf´ıa [1] A. Baldor.´Algebra. Grupo editorial Patria, 2012. [2] R. Barnett, M. R. Ziegler, K. E. Byleen. Prec´alculo. Funciones y gr´aficas. McGraw Hill, 2000. [3] R. Bulajich, J. A. G´omez, R. Valdez . Algebra. Cuadernos de Olimpiadas de Matem´ati- cas, Instituto de Matem´aticas, UNAM - Olimpiada Mexicana de Matem´aticas, UNAM, 2014. [4] R. David Gustafson, P. Frisk. Beginning and Intermediate Algebra. Brooks/Cole- Thomson Learning, 2005. 109