Módulo 2: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS ASFÁLTICOS - FERNANDO SÁNCHEZ SABOGAL

ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES EN
PAVIMENTOS ASFÁLTICOS

CONTENIDO
Introducción
Sistemas de capas de comportamiento elástico
Modelos elásticos no lineales
Modelos viscoelásticos
Método de los elementos finitos
Método de los elementos discretos
Conceptos fundamentales de diseño

INTRODUCCIÓN
ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
EN PAVIMENTOS ASFÁLTICOS

INTRODUCCIÓN
 Desde los años 60, el método empírico – analítico ha ido
ganando popularidad entre los ingenieros de pavimentos
Este método emplea propiedades físicas fundamentales y un
modelo teórico para predecir las respuestas del pavimento
(esfuerzos, deformaciones y deflexiones) ante las cargas del
tránsito
Aunque las respuestas de los materiales difieran de las
asunciones de la teoría, el conocimiento de ésta es indispensable
para reconocer los factores fundamentales en los cuales se basan
los diseños de pavimentos
RESPUESTA DE UN PAVIMENTO ASFÁLTICO ANTE LAS
CARGAS DEL TRÁNSITO

RESPUESTA DE UN PAVIMENTO ASFÁLTICO ANTE LAS
CARGAS DEL TRÁNSITO
INTRODUCCIÓN

La manera más elemental de caracterizar el
comportamiento de un pavimento asfáltico bajo cargas, es
considerando un semi espacio homogéneo
Un semi espacio tiene un área infinitamente grande y una
profundidad infinita con una superficie plana sobre la cual
se aplican las cargas
La teoría elástica se puede usar para determinar esfuerzos,
deformaciones y deflexiones
INTRODUCCIÓN
CARACTERIZACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE UN
PAVIMENTO ASFÁLTICO

SISTEMAS DE CAPAS DE
COMPORTAMIENTO
ELÁSTICO

SISTEMA DE UNA CAPA
Placa circular flexible
Cuando una carga se aplica sobre un área circular, los
valores críticos de esfuerzo, deformación y deflexión
ocurren en el eje de simetría bajo el centro del área
circular
La carga aplicada a un pavimento por un neumático es
similar a un placa flexible con radio ―a‖ y presión de
contacto uniforme ―q‖.

SISTEMA DE UNA CAPA
ESFUERZOS BAJO EL CENTRO DE LA PLACA
es independiente de E y , y es independiente de E

SISTEMA DE UNA CAPA
DEFORMACIONES BAJO EL CENTRO DE LA PLACA

SISTEMA DE UNA CAPA
DEFLEXIONES BAJO EL CENTRO DE LA PLACA

SISTEMA DE UNA CAPA
Ejemplo
Determinar la deflexión en la superficie (z = 0) y el
esfuerzo vertical a 0.30 metros bajo el centro de una
carga circular, de acuerdo con la siguiente
información:
—Magnitud de la carga = 40,000 N
—Radio de la placa = 0.15 m
— m = 0.5
— E = 4*107 N/m2

SISTEMA DE UNA CAPA

CONCEPTO DE LOS SISTEMAS MULTICAPAS
SISTEMA ELÁSTICO MULTICAPA GENERALIZADO

 El material de cada capa es homogéneo, isotrópico y
linealmente elástico y está caracterizado por su módulo
elástico (E) y su relación de Poisson (μ)
El peso del material es despreciable
Con excepción de la inferior, todas las capas tienen espesor
finito
Las capas son infinitas lateralmente y no tienen juntas ni
grietas
Hay fricción completa en las interfaces
No existen fuerzas cortantes en la superficie
Se aplica una presión uniforme a través de un área circular
SUPOSICIONES BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN ANALÍTICA DE
LOS ESTADOS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

Los materiales de los pavimentos sólo responden
linealmente en los bajos rangos de esfuerzos
La respuesta de los materiales no es no – viscosa. Las
mezclas asfálticas son materiales visco-elásticos
No todas las deformaciones son recuperables. Los
materiales de los pavimentos requieren tiempo para
recuperar totalmente las deformaciones
Algunas deformaciones plásticas se van acumulando
tras la aplicación repetida de cargas
LIMITACIONES

EVOLUCIÓN DE LAS SOLUCIONES MULTICAPA
DOS CAPAS (Carga circular)
Cálculo de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos en función
de z/a y r/a (Burmister, 1943)
TRES CAPAS (Carga circular)
Expresiones analíticas para cálculo de esfuerzos y desplazamientos
(Burmister, 1945)
Tablas para determinar esfuerzos normales y radiales en la
intersección del eje de carga con las interfaces (Acum y Fox, 1951)
Soluciones gráficas para el cálculo de los esfuerzos verticales
(Peattie, 1962)
n CAPAS (Carga circular)
Huang, 1967

SISTEMA DE DOS CAPAS
Pavimento de espesor pleno de concreto asfáltico
 Los esfuerzos y deflexiones dependen de la relación
modular de las capas (E1/E2) y de la relación de espesor
(h1/a)
 El esfuerzo vertical decrece con el incremento de la
relación modular
 Para un determinada presión de contacto, el esfuerzo
vertical aumenta con el radio de contacto y con la
disminución del espesor de la capa superior

CURVAS DE INFLUENCIA DE ESFUERZOS EN SISTEMAS DE DOS CAPAS
(D. M. BURMISTER)

FACTORES DE DEFLEXIÓN SUPERFICIAL PARA SISTEMAS DE DOSCAPAS
(BURMISTER)

FACTOR DE DEFLEXIÓN (F) DE LA INTERFAZ PARA SISTEMAS DE DOS CAPAS
(HUANG)

Ejemplo
Calcular la deflexión superficial y en la interfaz de
las dos capas, bajo el centro de una llanta de impronta
circular, de acuerdo con los siguientes datos:
— Radio huella = 0.15 metros
— Presión de contacto = 5.6*105 N/m2
— Espesor capa superior (h1) = 0.30 metros
— Módulo capa superior (E1 ) = 3*108 N/m2
—Módulo capa inferior( E2 ) = 6*107 N/m2

Solución

SISTEMA DE TRES CAPAS
Existen soluciones tabulares para el cálculo de esfuerzos
horizontales (Jones, 1962)
Existen soluciones gráficas para el cálculo de los
esfuerzos verticales, elaboradas a partir de las tablas de
Jones (Peattie, 1962)
Las tablas y figuras se desarrollaron para un valor μ =
0.5 en todas las capas

TABLAS DE JONES
 Las tablas de Jones suministran valores de factores de
esfuerzos como diferencia de esfuerzos (ZZ1 – RR1) (ZZ2 –
RR2) (ZZ2 – RR3), con los cuales se pueden calcular los
esfuerzos horizontales:
sz1- sR1 = q*(ZZ1-RR1)
Conociendo y se puede determinar la deformación
horizontal en el fondo de la capa 1
ε = ( - )/2E1
para μ = 0.5

EJEMPLO DE TABLA DE JONES PARA CÁLCULO DE ESFUERZOS HORIZONTALES

GRAFICAS DE PEATTIE
Las gráficas de Peattie suministran valores de factores
de esfuerzos (ZZ1 y ZZ2), con los cuales se calculan los
esfuerzos verticales:
sz1 = q*(ZZ1)
sz2 = q*(ZZ2)

GRAFICAS DE PEATTIE

Ejemplo:
Calcular los esfuerzos verticales (sz1, sz2 ) para una
estructura de tres capas, de las siguientes
características:
—h1 = 0.075 m
—h2 = 0.30 m
—E1 = 4*109 N/m2
—E2 =2 *108 N/m2
—E3 = 1*108 N/m2
—Presión de contacto =540 kPa
—Radio área cargada = 0.15 metros

Solución:
 Cálculo de parámetros de entrada:
— K1 = E1 / E2 = 4*109 / 2*108 =20
— K2 = E2 / E3 = 2*108 / 1*108 = 2
— A1 = a / h2 = 0.15 / 0.30 =0.5
— H = h1 / h2 = 0.075 / 0.30 = 0.25
 Determinación de parámetros ZZ1 y ZZ2 (GRÁFICA)
ZZ1 = 0.47 ZZ2 = 0.10
 Cálculo de esfuerzos verticales
= 0.47*540 = 253.8 kPa
= 0.10 *540 = 54.0 kPa

SISTEMAS MULTICAPAS
La extensión lógica de las soluciones para
los sistemas de capas fue el desarrollo de
programas de cómputo para facilitar los
cálculos y brindar mayores posibilidades en
relación con las características de los
materiales y la configuración de las cargas

SISTEMAS MULTICAPAS
Ejemplos de programas de cómputo:
BISAR (permite especificar parámetros de
fricción y cargas horizontales)
ELSYM 5 (permite modelar ruedas múltiples y
puede analizar hasta 5 capas)
KENLAYER (permite modelar capas elásticas
lineales, elásticas no lineales y viscosas. Acepta ruedas
múltiples y la fricción entre capas puede ser modelada.
Permite estructuras hasta de 19 capas)

SISTEMAS MULTICAPAS
DATOS DE ENTRADA USUALMENTE REQUERIDOS POR LOS
PROGRAMAS DE CÓMPUTO
Propiedades de los materiales de cada capa:
· Módulo de elasticidad
· Relación de Poisson
Espesores de las diferentes capas
Condiciones de las cargas (2 de las 3 citadas):
· Magnitud de la carga por neumático
· Radio de la impronta
· Presión de contacto
Número de cargas
Localización de las cargas sobre la superficie (coordenadas x, y)
Localización de los puntos de análisis de esfuerzos y deformaciones
(coordenadas x, y, z)

TEORÍA ELÁSTICA vs REALIDAD
Las suposiciones en las cuales se basa la teoría elástica no se
cumplen a cabalidad en los materiales y en las estructuras de los
pavimentos
TEORÍA ELÁSTICA REALIDAD
•Carga estática
•Continuidad en los materiales
•Homogeneidad
•Isotropía
•Relación lineal esfuerzo-
deformación
•Deformaciones elásticas
•Carga dinámica
•Discontinuidad en los materiales
•No homogeneidad
•Anisotropía
•Relación compleja esfuerzo-
deformación
•Deformaciones elásticas, plásticas,
viscosas y visco elásticas.

OTROS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
MODELOS ELÁSTICOS NO LINEALES
MODELOS VISCOELÁSTICOS
ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS DISCRETOS

MODELOS
ELÁSTICOS NO
LINEALES

MODELOS ELÁSTICOS NO LINEALES
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO NO LINEAL
La descarga sigue la
misma trayectoria que la
carga, pero la relación entre
el esfuerzo vertical y la
deformación vertical no es
constante, sino que depende
de la magnitud del esfuerzo
aplicado.

Los módulos elásticos de los materiales de los
pavimentos son función del estado de esfuerzos al cual se
encuentran sometidos

Las deformaciones y
deflexiones en un semi
espacio de comportamiento
elástico no lineal se pueden
calcular con la fórmula de
Boussinesq, sustituyendo el
módulo con una función no
lineal del esfuerzo principal
mayor (s1)

MODELOS
VISCOELÁSTICOS

MODELOS VISCOELÁSTICOS
Las deformaciones de pavimentos bajo carga raras
veces son totalmente elásticas.
A menudo contienen componentes viscosa,
viscoelástica o plástica en adición a la elástica.

ESFUERZO CÍCLICO Y CURVAS DE DEFORMACIÓN VS
TIEMPO PARA VARIOS MATERIALES
Para los materiales elásticos no hay retraso entre la
tensión de corte aplicada y la respuesta de la
deformación de corte (δ =0)

Para los materiales totalmente viscosos la respuesta
de la deformación está totalmente desfasada de la
tensión aplicada (δ =90º)

Los materiales visco-elásticos tienen δ entre 0 y 90
dependiendo de la temperatura de ensayo (a mayor
temperatura, mayor δ)

Un material elástico se caracteriza con un resorte
que obedece la ley de Hooke, la cual afirma que el
esfuerzo es proporcional a la deformación, siendo la
constante de proporcionalidad el módulo elástico
MODELOS BÁSICOS
s E

MODELOS BÁSICOS
Un material viscoso se caracteriza por medio de un
amortiguador que obedece la ley de Newton, de
acuerdo con la cual el esfuerzo es proporcional a la
velocidad de fluir, siendo la constante de
proporcionalidad la viscosidad
dt
d
s 

MODELO DE MAXWELL
Si un elemento presentara sólo elasticidad instantánea y
fluencia viscosa simple, su comportamiento bajo tensión
constante se podría representar por:

MODELO DE MAXWELL
El esfuerzo es el mismo en los dos elementos, y la
deformación, que se incrementa linealmente con el
tiempo de carga, es la suma de las deformaciones en los
elementos elástico y viscoso
Al liberar la carga se recupera inmediatamente la parte
elástica de la deformación, pero se conserva la
deformación dependiente del tiempo, la cual es
irrecuperable

MODELO DE MAXWELL

MODELO DE KELVIN
Los materiales pueden presentar efectos elásticos
dependientes del tiempo
En el modelo de Kelvin la deformación de los elementos es
la misma, pero el esfuerzo total es la suma de los esfuerzos en
el elemento elástico y en el elemento viscoso
dt
d
E

s 
Si se aplica un esfuerzo constante:
 

t dt
E
d
00 s


MODELO DE KELVIN
En tal caso, el comportamiento del material bajo
tensión constante se podría representar por:

MODELO DE KELVIN
La deformación de los elementos es la misma,
aproximándose asintóticamente con el tiempo al valor
ζ/E, y la fuerza externa es la suma de las fuerzas en los
elementos
Cuando la carga se libera, el modelo vuelve a su
posición original (luego de mucho tiempo); por ello se
llama de “elasticidad retardada”

MODELO DE KELVIN

MODELO DE BURGERS
Muchos materiales de pavimentos, como las mezclas
asfálticas a elevadas temperaturas y los suelos muy
cohesivos, no siguen los casos ideales y se han
desarrollado combinaciones de ellos para simular su
respuesta
En el modelo de Burgers, la deformación bajo tensión
constante es la suma de las deformaciones de la parte
Maxwell y la parte Kelvin

MODELO DE BURGERS

MODELO SHRP
(Strategic Highway Research Program)
Las propiedades visco-elásticas del asfalto se
caracterizan mediante el reómetro de corte dinámico
Se mide el módulo complejo en corte (G*) y el ángulo
de fase (δ) sometiendo una muestra de ligante a
tensiones de corte oscilante
La respuesta de la deformación específica de corte de
la muestra está desfasada un cierto intervalo de tiempo
(Δt) en relación con la tensión aplicada

MODELO SHRP
(Strategic Highway Research Program)
El retraso de la fase (ángulo de fase) se obtiene
multiplicando el retraso en tiempo por la frecuencia
angular [δ =w(Δt)]
El módulo complejo se establece mediante la relación
entre la tensión de corte máxima y la máxima
deformación de corte resultante (G*= ηMáx/ γMáx)

MODELO SHRP
Para los materiales elásticos no hay retraso entre la
tensión de corte aplicada y la respuesta de la
deformación de corte (δ =0)
Para los materiales totalmente viscosos la respuesta
de la deformación está totalmente desfasada de la
tensión aplicada (δ =90º)
Los materiales visco-elásticos tienen δ entre 0 y 90
dependiendo de la temperatura de ensayo (a mayor
temperatura, mayor δ)

MODELO SHRP
La especificación SHRP de ligantes controla el
stiffness del asfalto mediante las relaciones G*/sen δ
(altas temperaturas de servicio) y G*sen δ (temperaturas
medias)
Controlando el stiffness a altas temperatura de
servicio se busca que el ligante provea su mayor aporte
a la resistencia global al corte de la mezcla en términos
de elasticidad
Controlándolo a temperaturas medias de servicio se
busca que el ligante no contribuya a la fisuración por
fatiga

MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS
FINITOS

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Método de análisis numérico que permite obtener
soluciones aproximadas en una amplia variedad de
problemas de ingeniería
El método se usa para dividir un medio continuo
(por ejemplo el volumen de un pavimento) en un gran
número de pequeños volúmenes discretos con el fin
de obtener una solución numérica aproximada para
cada volumen, en lugar de una solución exacta para
todo el volumen

PASO 1 – DISCRETIZAR EL MEDIO DE INTERÉS
El medio pavimento-subrasante se divide en un número de
elementos de formas geométricas simples, denominados
elementos finitos, con las cargas de las ruedas en la parte
superior
ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS
PARA UN PROBLEMA DE PAVIMENTOS

PASO 2 – DETERMINAR LAS
CARACTERÍSTICAS DE CADA ELEMENTO
Se asignan ―nodos‖ a cada elemento y se escoge una
función para interpolar la variación de la variable sobre
el elemento discreto
A partir de los elementos y de sus funciones de
interpolación, se desarrolla una expresión matricial
(matriz elemental) para relacionar las fuerzas con los
desplazamientos en las esquinas de cada elemento

PASO 2 – DETERMINAR LAS CARACTERÍSTICAS
DE CADA ELEMENTO (cont.)
k11 es la fuerza horizontal en el nodo ―i‖ causada por un
desplazamiento (virtual) de 1 en el nodo ―i‖, k12 es la
fuerza horizontal causada por un desplazamiento
horizontal de 1 en el nodo ―j‖, etc
    i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
vkfo
v
v
v
u
u
u
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
V
V
V
H
H
H






























































*
666564632616
565554532515
464544432414
363534332313
262524232212
161514131211

PASO 3 – ENSAMBLAR LAS ECUACIONES
ELEMENTALES
Las matrices elementales se ensamblan para formar un
conjunto de ecuaciones algebraicas que describen el
problema global (matriz global)
PASO 4 – INCORPORAR CONDICIONES DE
BORDE
Se incorporan condiciones de borde dentro de la matriz
global (fondo y lados de la región de análisis escogida)
    VKF 

PASO 5 – RESOLVER SISTEMA DE
ECUACIONES ALGEBRAICAS
El conjunto de ecuaciones algebraicas es resuelto
mediante un método matricial adecuado a través de un
programa de cómputo que provee los desplazamientos en
todos los nodos y determinando, a partir de ellos, los
esfuerzos y deformaciones en los elementos, así como
sus direcciones

SALIDAS DE UN ANÁLISIS POR EL MÉTODO DE
ELEMENTOS FINITOS
Las salidas son las mismas que las del análisis
mediante un modelo elástico multicapa:
Esfuerzo – la intensidad de las fuerzas
internamente distribuidas en diferentes puntos de la
estructura del pavimento
Deformación – el desplazamiento unitario a causa
del esfuerzo
Deflexión – Cambio lineal en una dimensión

El programa brinda representaciones visuales de los
diferentes valores de salida
DIAGRAMA TRIDIMENSIONAL DE DEFORMACIONES CORTE DIAGRAMA DE DEFORMACIONES

MÉTODO DE LOS
ELEMENTOS
DISCRETOS

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS DISCRETOS
El método de los elementos finitos no es muy
satisfactorio en la simulación de los procesos en los
cuales aparece fractura o fragmentación
Los materiales granulares no constituyen un campo
continuo, pues están conformados por un conjunto de
múltiples partículas de tamaño variado
El comportamiento del material granular es complejo.
A veces se comporta como sólido (se deforma ante
cargas), a veces como líquido (se derrama y puede fluir)
y a veces como gas (se puede comprimir hasta cierto
límite y está formado por partículas sin enlace)

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS DISCRETOS
Hay desplazamientos de traslación y rotación de los
granos ante los esfuerzos
 La deformación de los materiales granulares es
dominada por el desplazamiento de las partículas y por
deslizamiento sobre las demás
Para tratar con la mecánica de los materiales
conformados por partículas independientes, se han
desarrollado programas de cómputo de elementos
discretos (Ejemplo: BALL, TRUBAL)

REGLA GENERAL
Si un modelo simple permite predecir la respuesta de
un pavimento razonablemente bien, es preferible a un
modelo complejo
El modelo complejo sólo es recomendable si
produce un mejoramiento sustancial en las
predicciones de respuesta
COROLARIO

CONCEPTOS
FUNDAMENTALES
DE DISEÑO

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE DISEÑO
ESFUERZO VERTICAL DE COMPRESIÓN
SOBRE LA SUBRASANTE
 El valor del esfuerzo vertical sobre el suelo decrece
con el incremento de:
— El espesor de las capas asfálticas
— El módulo elástico de las capas asfálticas
— El espesor de las capas granulares
— El módulo elástico de las capas granulares. Su
incidencia es mayor que la del módulo de las
capas asfálticas

ESFUERZO HORIZONTAL EN EL FONDO DE LA
CAPA DE BASE (SISTEMA TRICAPA)
El esfuerzo de tensión aumenta:
—Al aumentar el módulo de la base
—Al reducir el espesor de las capas asfálticas
Nota
De todas maneras, en una capa de base ligada
hidráulicamente, si su módulo elástico es muy bajo, el
esfuerzo de tensión puede superar la resistencia a la
flexión del material, produciendo el agrietamiento de la
capa

ESFUERZO VERTICAL DE COMPRESIÓN
SOBRE LA CAPA DE BASE
El valor del esfuerzo se incrementa:
—Al aumentar el espesor de la base, manteniendo
constante el espesor de las capas asfálticas
—Al aumentar el módulo de la capa de base
—Al disminuir el módulo elástico de la subrasante

ESFUERZO HORIZONTAL EN LA PARTE
SUPERIOR DE LA CAPA DE BASE
El esfuerzo horizontal es compresivo cuando el espesor
de las capas asfálticas es delgado
El esfuerzo horizontal de compresión se incrementa al
aumentar el módulo de la base
El esfuerzo horizontal de compresión aumenta si el
espesor o el módulo de las capas asfálticas disminuye
La combinación de esfuerzos de compresión
horizontales y verticales no conduce a la falla de la base,
a no ser que la capa sea inusualmente débil

ESFUERZO HORIZONTAL EN LA FIBRA
INFERIOR DE LAS CAPAS ASFÁLTICAS
Cuando el módulo elástico de la base es mayor que el de
las capas asfálticas, el esfuerzo horizontal en el fondo de
éstas es de compresión
Cuando el módulo de la base es menor, el esfuerzo es de
tensión y crece a medida que el módulo de la base es más
bajo
El esfuerzo de tensión se incrementa al disminuir el
espesor de las capas asfálticas

ESFUERZO HORIZONTAL EN LA FIBRA
INFERIOR DE LAS CAPAS ASFÁLTICAS
(CONTINUACIÓN)
El esfuerzo horizontal se incrementa al aumentar el
módulo de las capas asfálticas
El esfuerzo es particularmente alto si se combinan una
baja relación de espesores de las capas superiores (h1/h2 <
2) y una alta relación modular entre ellas (E1/E2)

EFECTO DE FACTORES EXTERNOS
Para una carga total fija, un aumento en la presión de
contacto genera mayores esfuerzos verticales en las
capas superiores, pero el efecto es despreciable a
mayores profundidades
Si la presión de contacto es constante, un aumento en
la carga total genera mayores esfuerzos verticales a
cualquier profundidad

EFECTO DE FACTORES EXTERNOS
(CONTINUACIÓN)
Los esfuerzos verticales a cualquier profundidad se
reducen al aumentar la velocidad de aplicación de la
carga
El esfuerzo vertical sobre la subrasante se incrementa
al aumentar la temperatura, debido a que disminuye el
módulo de las capas asfálticas

DEFLEXIÓN
La mayor parte de la deflexión es causada por la
compresión elástica de la subrasante (70% - 90%)
El aumento en el espesor o en el módulo de las capas
superiores reduce la deflexión total
La reducción es más importante con el aumento del
módulo que con el aumento en el espesor
La estabilización de la subrasante reduce las
deflexiones, debido al incremento modular
En general, los mismos factores que hacen decrecer
los esfuerzos verticales de compresión sobre la
subrasante, hacen disminuir la deflexión

Módulo 2: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS ASFÁLTICOS - FERNANDO SÁNCHEZ SABOGAL

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