Metodo algebraico. MTI. Ana Díaz

PROGRAMACIÓN LINEALMÉTODO ALGEBRAICO

Método algebraicoPermite la solución de un problema de programación lineal cuando es necesario resolver casos de “n” variables y se trabaja con espacios n-dimensionales. Los espacios vectoriales no tienen limite en cuanto al número de variables.Para efectos de representación del problema, se parte de los siguientes supuestos: El número de incógnitas es n El número de restricciones es m

Método algebraicoPor lo anterior, la función objetivo se representa de la siguiente forma:Z=C1X1+C2X2+…+CnXnDonde: C1, C2…, Cn son los coeficientes de las incógnitas y por lo tanto datos conocidos. Como se tienen m desigualdades es necesario agregar (m) variables de holgura, las cuales deben agregarse a la función objetivo.

Método algebraico: Grupo IPlanteamiento del problema1) Max U= 120 x1 + 100 x2 x1; producir M1 x2; producir M22) T; 2x1 + 1x2 ≤903) R; 1x1 + 2x2 ≤ 804) C; 1x1 + 1x2 ≤ 50Restricciones de no negatividadx1≥0 x2 ≥0

Método algebraico: Grupo IIEs necesario transformar las inecuaciones en igualdades. Tomando la inecuación del primer componente se le añade una variable de holgura cuyo valor se desconoce. Las variables de holgura pueden interpretarse como el saldo de inventario del componente, su coeficiente de transformación es 1 y cero en la función objetivo.Este paso debe hacerse en todas las inecuaciones.

Método algebraico: Grupo IIAñadir variables de holgura:12) T; 2x1 + 1x2 + x3 =9013) R; 1x1 + 2x2 + x4 = 8014) C; 1x1 + 1x2 + x5 = 5011) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

Método algebraico: Grupo IIISe debe despejar de cada una de las ecuaciones las variables de holgura y el sistema adquiere la siguiente forma:22) x3 =90 - 2x1 - 1x223) x4 = 80 - 1x1 - 2x224) x5 = 50 - 1x1 - 1x221) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5En donde: X1=0 x3=90X2=0 x4=80x5=50

Método algebraico: Grupo IIIObservando la función objetivo se verifica cual es el producto que nos da el mayor beneficio y se hará la evaluación del mismo.Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5El valor que se escogerá es el menor, en virtud de que se trabaja con recursos escas0s dentro de la empresa.

Método algebraico: Grupo IVEvaluar a x1 de 22) para obtener la función de producción de M1 y debe dar la producción 32)22) x3 =90 - 2x1 - 1x2 2x1 =90 - 1x2 - x3 x1 = 90/2 - 1/2 x2 – 1/2x332) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3

Método algebraico: Grupo IVSustituir la función de producción 32) en 23) para obtener 33)23) x4 = 80 - 1x1 - 2x2 x4 = 80 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 2x2 x4 = 80 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 2x233) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3

Método algebraico: Grupo IVSustituir 32) en 24) para obtener 34)24) x5 = 50 - 1x1 - 1x2 x5 = 50 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 1x2 x5 = 50 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 1x234) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3

Método algebraico: Grupo IVSustituir 32) en 21) para obtener 31)21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 U= 120 (45 - 1/2 x2 – 1/2x3) + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 U= 5400 - 60 x2 – 60x3+ 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x531) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5Interpretación numéricaMax U= 5400 por la producción de x1x1 = 45x2= 0x3= 0x4= 35x5= 5

Método algebraico: Grupo IVEvaluar a x2 de:32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3 1/2 x2 =45 x2 =45(2)/1 x2 =90/1 =9033) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3 3/2 x2 = 35 x2 = 35 (2)/3 x2 = 70/3 = 23.3334) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 1/2 x2 = 5 x2 = 5 (2)/1 x2 = 10/1 = 10

Método algebraico: Grupo VDespejar a x2 de 34) para obtener 44)34) x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 1/2 x2 = 5 +1/2x3 - x5 x2 = (5 +1/2x3 - x5 ) 1/2 44) x2 = 10 +x3 - 2x5

Método algebraico: Grupo VSustituir x2=44) en 32) para obtener 42)32) x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3 x1 = 45 - 1/2 (10 +x3 - 2x5 )– 1/2x3 x1 = 45 - 5 -1/2x3 +1x5 – 1/2x342) x1 = 40 -x3 +1x5

Método algebraico: Grupo VSustituir x2=44) en 33 para obtener 43)33) x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3x4 = 35 - 3/2 (10 +x3 - 2x5 )+ 1/2x3x4 = 35 - 15 -3/2x3 + 3x5 + 1/2x343) x4 = 20 -1x3 + 3x5

Método algebraico: Grupo VSustituir x2=44 en 31) para obtener 41)31) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5U= 5400 + 40 (10 +x3 - 2x5 )– 60x3+ 0 x4 + 0 x5U= 5400 + 400 + 40x3 - 80x5 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5U= 5800 – 20x3+ 0 x4 + 0 x5Interpretación numéricaMax U= 5800 por la producción de x1x1 = 40x2= 10x3= 0x4= 20x5= 0Solución óptima

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