Metodo simplex

CONTENIDO: El Método Simplex Forma Estándar del Modelo PL Variantes del Método Simplex Método Simplex Primal OBJETIVO TERMINAL: Resolver, a través del Método Simplex, problemas de optimización restringida considerando la importancia de éste para la toma de decisiones y el manejo de recursos en el ámbito educativo.

MÉTODO SIMPLEX que permite ir mejorando la solución a cada paso del procedimiento comenzando con una solución básica (punto extremo) y modificando ésta a lo largo del proceso, a través de la inclusión y exclusión de una variable; siempre aumentando la utilidad (o reduciendo el costo) hasta encontrar una solución óptima. Definición Fue desarrollado por George Dantzing en 1947 Es un método algebraico iterativo

Características Es aplicable a problemas de PL multidimensionales. Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss – Jordan. Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes. CARACTERÍSTICAS MÉTODO SIMPLEX Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de paquetes de software que facilitan el proceso de cálculo.

Variantes MÉTODO SIMPLEX PRIMAL: VARIANTES: MÉTODO SIMPLEX Parte de una Solución Básica FACTIBLE (Punto extremo del polígono de soluciones) y se continúa iterando a través de soluciones básicas factibles sucesivas hasta alcanzar el óptimo valor. MÉTODO SIMPLEX DUAL: Trata con soluciones básicas INFACTIBLES hasta la última iteración, donde la solución básica asociada debe ser factible. Una solución es FACTIBLE si todos los valores de su solución son NO NEGATIVOS Cualquiera sea el Método Simplex utilizado, finalmente se obtendrán soluciones básicas factibles como lo estipula la condición de No Negatividad

Forma Estándar Todas las restricciones son ecuaciones (Con los segundos miembros o vector b i no negativos para el Método Primal). MÉTODO SIMPLEX FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO PL CARACTERÍSTICAS Todas las variables son positivas (X j ≥ 0) La función objetivo puede ser Minimizar o Maximizar . 0 ≥ X j b i = a ij X j + … + a i2 X 2 + a i1 X 1 + : : : : : = = + … + + … + + … + b 2 a 2j X j a 22 X 2 + a 21 X 1 + b 1 a 1j X j a 12 X 2 + a 11 X 1 + Sujeto a las sig. restricciones: Disponibilidad C j X j C 2 X 2 C 1 X 1 + Optimizar F.O X 0 =

Fases MÉTODO SIMPLEX FASES Para explicar el procedimiento del Método Simplex Primal se utilizará el siguiente ejemplo como referencia F.O Max X 0 = 3X 1 + 5X 2 + 4X 3 X 1 + + 10X 3 ≤ 4 3X 1 + 2X 2 + 4X 3 ≤ 18 (X 1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0 S. A:

Fases MÉTODO SIMPLEX FASES ESTANDARIZAR EL MODELO A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades: Esto se hace agregando al modelo Variables Ficticias, que representan la capacidad no utilizada de algún recurso. a ≤ b a ≥ b HOLGURA: a + H = b EXCESO: a - E = b Tipo de Restricción: Tipo de Variable agregada:

Fases MÉTODO SIMPLEX FASES (cont.) ESTANDARIZAR EL MODELO A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades: En el ejemplo dado el modelo quedaría así: F.O: Max X 0 = 3X 1 + 5X 2 + 4X 3 + 0 H 1 + 0 H 2 X 1 + 0X 2 + 10X 3 + H 1 + 0H 2 = 4 3X 1 + 2X 2 + 4X 3 + 0H 1 + H 2 = 18 (X 1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0 S. A: Observe que en la función objetivo los coeficientes de estas variables son iguales a cero, puesto que no generan aporte al modelo

Fases MÉTODO SIMPLEX IGUALAR LA FUNCIÓN OBJETIVO A CERO Al hacer esto se estarían “pasando” las variables al lado izquierdo de la igualdad, o sea: F.O: Max X 0 - 3X 1 - 5X 2 - 4X 3 + 0 H 1 + 0 H 2 = 0 FASES (cont.) Además de igualar la F.O X 0 = 0, es recomendable transformar dicha función en el modelo estandarizado, cuando es MIN. a MAX, o sea Z= MIN (X 0 ) Ξ MAX ( - X 0 ) F.O: Max X 0 = 3X 1 + 5X 2 + 4X 3 + 0 H 1 + 0 H 2

Fases MÉTODO SIMPLEX DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL Al agregar las variables ficticias se observa que el número de Variables ( m ) es mayor que el número de Restricciones ( n ). Y esto hace que el sistema de ecuaciones sea indefinido (no tiene solución única) por lo que se debe conocer: ¿Cuántas variables sobran en el modelo para hacerlas Cero? ¿Cuántas soluciones básicas se pueden obtener? FASES (cont.) m – n m! n! (m-n)!

Fases MÉTODO SIMPLEX DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL Posteriormente se identifican aquellas variables con coeficiente unitario que aparecen una y solo una vez ( Variables Básicas VB ) en el conjunto de restricciones; éstas formarán parte de la Solución Básica Inicial ( S.B.I ); el resto de las variables son las que le sobran al modelo y que deben hacerse Cero para sustituirlas en el sistema de ecuaciones (restricciones) y encontrar así los valores de VB 1 , VB 2 , …,VB j . En el ejemplo se tiene que: S.B.I: X 0 = H 1 = H 2 = X 1 = X 2 = X 3 0 FASES (cont.) Variables que sobran Variables Básicas 0 4 18 Estos valores se agregarán en la tabla para iniciar el Método Simplex.

Fases MÉTODO SIMPLEX CONSTRUIR LA TABLA INICIAL SIMPLEX FASES (cont.) 0 1 X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 Solución L.D X 0 BASE 4 18 H 1 H 2 Variables Básicas Coeficientes de la F.O. Coeficientes en cada una de las restricciones Valores de la Solución Básica -3 -5 -4 0 0 1 0 10 1 0 0 0 3 2 4 0 1

Fases MÉTODO SIMPLEX ENCONTRAR LA VARIABLE QUE ENTRA EN LA BASE FASES (cont.) 0 1 Para escoger la variable que entra ( Columna Pivote ) se selecciona aquella que tenga el coeficiente negativo mayor (con el valor absoluto) en la FO. La Variable que entra es: X 2 X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 Solución L.D X 0 BASE 4 18 H 1 H 2 -3 -5 -4 0 0 1 0 10 1 0 0 0 3 2 4 0 1 Columna Pivote

Fases MÉTODO SIMPLEX ENCONTRAR LA VARIABLE QUE SALE DE LA BASE FASES (cont.) 0 1 Para escoger la variable que sale ( Fila Pivote ) se divide cada término de la columna de la tabla ( L.D ) entre cada término positivo correspondiente de la Columna Pivote. El menor cociente indicará la fila donde se encuentra la variable que sale. La Variable que Sale es: H 2 X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 Solución L.D X 0 BASE 4 18 H 1 H 2 -3 -5 -4 0 0 1 0 10 1 0 0 0 3 2 4 0 1 Fila Pivote 18 . 2 = 9 No No

Fases MÉTODO SIMPLEX ENCONTRAR EL ELEMENTO PIVOTE FASES (cont.) 0 1 El pivote es aquel elemento de la tabla que se encuentra en la intersección de la Columna Pivote y Fila Pivote. X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 Solución L.D X 0 BASE 4 18 H 1 H 2 -3 -5 -4 0 0 1 0 10 1 0 0 0 3 2 4 0 1 Elemento Pivote

Fases MÉTODO SIMPLEX ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA ECUACIÓN PIVOTE FASES (cont.) La ECUACIÓN PIVOTE está formada por todos los coeficientes de la fila pivote. Al encontrar una nueva ecuación pivote realmente lo que se busca es convertir al elemento pivote en un valor unitario. Para esto es necesario aplicar la siguiente fórmula: Cada Elemento de Fila Pivote Actual Elemento Pivote Nueva Ecuación Pivote = Ec. Pivote Actual : 2 3 2 4 0 1 18 2 2 2 2 2 2 3/2 1 2 0 1/2 Nueva Ec. Pivote 9

Fases MÉTODO SIMPLEX ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LAS DEMÁS ECUACIONES FASES (cont.) Para obtener los coeficientes las nuevas ecuaciones se debe utilizar, para cada una la siguiente fórmula: + Cada Elemento de Fila Actual Cada coeficiente de la Nva. Ec. Pivote Nueva Ecuación = coeficiente de la columna pivote - * + 5 * Nva. Ec. Pivote 15/2 5 10 0 5/2 45 Fila Actual (X 0 ) -3 -5 -4 0 0 0 Nueva Fila (X 0 ) 9/2 0 6 0 5/2 45

Fases MÉTODO SIMPLEX CONSTRUIR LA NUEVA TABLA FASES (cont.) 45 1 Determine el resto de las ecuaciones y luego complete una nueva tabla. Verifique posteriormente si los resultados son los siguientes: X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 Solución L.D X 0 BASE 4 9 H 1 X 2 9/2 0 6 0 5/2 1 0 10 1 0 0 0 3/2 1 2 0 1/2 Nueva Variable en la Base S.B: X 0 = H 1 = X 2 = X 1 = H 2 = X 3 0 45 4 9

Fases MÉTODO SIMPLEX EJERCICIO PROPUESTO F.O Max X 0 = 2X 1 - 5X 2 + X 3 3X 1 + X 2 + X 3 ≤ 6 X 1 -2X 2 + 2X 3 ≤ 1 X 1 +2X 2 - X 3 ≤ 2 (X 1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0 S. A: Notas Importantes aquí

Fases MÉTODO SIMPLEX VERIFICAR SI LA TABLA OBTENIDA ES LA TABLA FINAL (ÓPTIMA) FASES (cont.) Cuando los coeficientes de la F.O en la tabla nueva son todos positivos entonces, el Método Simple concluye, y los valores solución obtenidos son los que corresponden a la Solución Óptima Sol. Óptima: X 0 = H 1 = X 2 = X 1 = H 2 = X 3 0 45 4 9 * * * * * * Notas importantes aquí

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