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Subido porFernando Felix Solis Cortes
Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente
Este documento presenta información general sobre el concepto de derivada de una función. Explica que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, y cómo este concepto surgió históricamente para resolver problemas de optimización. También muestra gráficamente cómo la derivada se define como el límite de la pendiente de secantes que se aproximan a la tangente, llevando a la famosa fórmula de derivación.
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- 2. Introducción a laDerivada Antes de iniciar, es importante reflexionar… Dónde estoy, y a dónde voy? Fuerzas externas que atacan Posición actual Dónde estoy? Ej. Apatía, irresponsabilidad distracciones, etc.
- 3. Introducción a laDerivada Recordemos el camino trazado… Unidad 1. Funciones de una variable Unidad 2. Limites y continuidad Unidad 3. La derivada Y el tema También que Ya analizamos Unidad 4. Aplicaciones de la derivada funciones… iniciamos limites de hoy es…. funciones… Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…
- 4. Introducción a laDerivada “La pregunta del millón…” ( un minuto de silencio…)
- 5. Introducción a laDerivada “La pregunta del millón…” 2 Si tenemos una función definida por y x La mayoría contestaría: “su derivada es: y 2x ” MUY BIEN!! ….. Pero…….. “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
- 6. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente Recta secante “es una recta que “es una recta que intersecta un círculo tiene un punto en en dos puntos” común con un circulo”
- 7. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original
- 8. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante
- 9. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente
- 10. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta ( x2 , y2 ) y2 y1 m y2 y1 x2 x1 ( x1 , y1 ) Muy sencillo de obtener si x2 x1 tienes dos puntos sobre una recta!
- 11. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original ( x2 , y2 ) Recta secante ( x1 , y1 ) y2 y1 m x2 x1
- 12. Introducción a laDerivada Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto? Recta tangente y2 y1 m ? ( x1 , y1 ) x2 x1
- 13. Introducción a laDerivada Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos.
- 14. Introducción a laDerivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Observe que si hacemos mtan Supongamos que deseamos diversas aproximaciones de rectas conocer la pendiente de la secantes, podemos hacer una muy buena estimación X=1 recta tangente en de la Pendiente de la recta tangente
- 15. Introducción a laDerivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
- 16. Introducción a laDerivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
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- 25. Introducción a laDerivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan Observa que el punto ( x2 , y2 ) Cada vez se acerca más al punto ( x1 , y1 ) Continuar ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) Volver a mostrar Atajo
- 26. Introducción a laDerivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?
- 27. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) y2 y1 y2 y1 mtan Aprox. msec Procedemos msec x2 x1 a sustituir: x2 x1
- 28. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) f ( x2 ) ( x1 , y1 ) f ( x1 ) fy(2x2 ) y1 f ( x1 ) y2 y1 mtan x2 x2 x1 x1 Considerando: Procedemos y mfsecx) ( a sustituir: x2 x1
- 29. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 f ((x22 ) f ( x( ) 1 ) f x) f 1x mtan x2 x1x Ahora Consideremos: x x2 x1
- 30. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 Ahora recordemos el comportamiento f ( x2 ) f ( x1 ) mtan x de las rectas secantes y podemos ver que x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
- 31. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 Ahora recordemos el comportamiento f ( x2 ) f ( x1 ) mtan x de las rectas secantes y podemos ver que x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
- 32. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) Se puede observar que el punto ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) cada vez se aproxima más al punto ( x1 , y1 ) pero no llegará a tocarlo x x2 x1 f ( xf2 ) x2 )f ( xf ) x1 ) ( 1( Podemos expresar lo anterior así: mtan lim x x x 0 Analizando dicho comportamiento, x 0 procedemos a aplicar un límite así:
- 33. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 f ((x1 2 ) x)f ( x1()x1 ) f x f Finalmente considerando lo siguiente: mtan lim xx x2 x1 x x 0 La expresión nos queda así:
- 34. Introducción a laDerivada La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 f ( x1 x) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente: mtan lim x x2 x1 x x 0 La expresión nos queda así:
- 35. Introducción a laDerivada La derivada. Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de = las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: dy x) f ( x1 Por(su ) f x1 origen basado en mtan lim dx x incrementos x 0
- 36. Introducción a laDerivada La derivada. dy f ( x1 x) f ( x1 ) Y precisamente por esta = lim fórmula es que lo siguiente, dx x x 0 ahora si, tiene sentido: Si tenemos una función definida por y x2 dy Entonces su derivada es: 2x dx Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
- 37. Introducción a laDerivada Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para y f ( x) x2 obtener la derivada de la función: Recordemos que la dy f (x x) f ( x) derivada esta definida lim por el límite: dx x 0 x Al evaluar el término f (x x) y f (x x) (x x) 2 se puede observar que: Al sustituirlo obtenemos:
- 38. Introducción a laDerivada Aplicación del límite obtenido…. f (x x) f (x) 2 2 dy (x x) x Al desarrollar el binomio lim al cuadrado obtenemos: dx x 0 x 2 2 2 dy (x 2 x( x) ( x) ) x Reduciendo lim términos: dx x 0 x 2 dy 2 x( x) ( x) Aplicando los teoremas lim sobre límites tenemos lo dx x 0 x siguiente:
- 39. Introducción a laDerivada Aplicación del límite obtenido…. 2 dy 2 x( x) ( x) lim lim 2 x lim x dx x 0 x x 0 x 0 Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que: 2 Si tenemos una función definida por y x dy Entonces su derivada es: 2x dx
- 40. Tomada de “ElCálculo” por Louis Leithold
- 41. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: dy 2x dx
- 42. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: mtan mtan ? 2 dy 2x dx Observe que: Al sustituir dy en la derivada mtan 2( 1) 2 x 1 el valor de X: dx
- 43. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: mtan 2 dy 2x dx
- 44. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: dy 2x dx
- 45. INFORMACION GENERAL DEOBJETO DE APRENDIZAJE 3.1 Concepto de derivada de una función Tema “La recta tangente y su relación con la derivada de una función” Comprender la derivada de una función mediante su interpretación Competencia geométrica para resolver mediante derivación problemas de optimización relacionados al área de Ingeniería Autor Ing. Fernando Félix Solís Cortés Bibliografía El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009 Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007