![29 de enero de 2015 19
La suma de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos
maneras:
1º. Sumando los dos primeros números al tercero:
[10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3
2º. Sumando el primer número a los otros dos:
10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3
Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)]
Propiedad
asociativa
de la suma
Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = 12 + (–8) = 4
(–5) + [17 + (–8)] = –5 + 9 = 4
Propiedad asociativa de la suma](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-19-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 20
El producto de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos
formas distintas:
1º. (los dos primeros) · (el tercero):
[(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480
2º. (el primero) · (el producto de los otros dos):
(–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480
Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)]
Propiedad
asociativa
del producto
Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = –35 · (–3) = 105
(–5) · [7 · (–3)] = –5· (–21) = 105
Propiedad asociativa del producto](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-20-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 21
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma
de los productos del número entero por cada uno de los sumandos.
El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas:
Hacemos primero la suma y a
continuación la multiplicación.
Multiplicamos el factor por cada
sumando y después sumamos.
Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7
Una forma:
–5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20
Otra forma:
–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7
= +15 + (–35) = –20
El resultado es el mismo
Esta es la propiedad
distributiva de la multiplicación
respecto a la suma
Otro ejemplo:
15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285
15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285
15 · [–10 + 8 + (–17)]
Sumando antes:
Multiplicando por cada sumando:
Propiedad distributiva](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-21-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 22
En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos.
En ambos se repite el factor –3.
Decimos que –3 es factor común.
Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda.
Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)]
Hemos sacado
factor común.
Otros ejemplos:
(c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12
(a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135
(b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9)
–6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24
El factor común es –6.
Aparentemente no hay factor común. Pero
como 27 = –9 · (–3), se tiene:
–9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396
Factor común](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-22-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 24
Ejemplo:
–12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5]
Otros ejemplos:
1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105
La operación
Se hace así: –12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)]
= –63
2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva
1º Operar dentro de los paréntesis.
2º Hacer las multiplicaciones y divisiones.
3º Hacer las sumas y restas.
El orden a seguir es:
–12 + 1 + (–52)
–6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9)
= 24 + 72 – 36 + 45 = 105
3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5)
= –5 + 34 – 5 = 24
Operaciones combinadas. Con paréntesis](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-24-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 25
Resumimos con los siguientes casos:
–12 + (–3) · (+4) + (–9)
[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)
–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]
[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Observa que en todos los casos
hay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
= –12 + (–12) + (–9) = –33
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
= –15 · (–5) = 75
Operaciones combinadas. Resumen](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-25-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 33
EJERCICIO RESUELTO 1
a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves:
−{7[5−−7−2]}5−{−[9−14−53]−5}−8=
Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis
hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro,
si es positivo los dejo igual.
−{7[572]}5−{−[9−1453]−5}−8=
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis:
−{7572}5−{−914−5−3−5}−8=
Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis
−7−5−7−259−14535−8=
Sumo los positivos por un lado y
los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos
59535−7572148=27−43
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
27−43=−16](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-33-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 34
EJERCICIO RESUELTO 2
b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:
−{7[5−−7−2]}5−{−[9−14−53]−5}−8=
Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: −{7[5−−9]}5−{−[9−93]−5}−8=
Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo
saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro,
si es positivo los dejo igual. −{7[59]}5−{−[9−93]−5}−8=
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis −{714}5−{−3−5}−8=
Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis
Resuelvo lo que está dentro de las llaves
Resuelvo lo que está dentro de los corchetes −{7[14]}5−{−[3]−5}−8=
−{21}5−{−8}−8=
−2158−8=
Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro
anteponiendo el signo negativos a éstos últimos 58−218=13−29
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
13−29=−16](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-34-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 36
OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división,
debo primero separar en términos.
Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero
lo que está en cada término. Por ejemplo:
Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:
Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo:
{−4 −7−4
[4:−2−5
−6⋅2
term1
9: 3
term 2]}=
={−4−7−4 [4:−2−5−123]}=
={−4−7−4 [4:−2−5−9]}=
Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo:
{−4 −7−4
[4:−2
term1
−5−9
term 2 ]}=
={−4 −7−4[−245]}=
={−4 −7−4[43]}=
Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo {−4 −7
term1
−443
term 2 }=
={28−172}=
=28−172=−144](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-36-2048.jpg)
![29 de enero de 2015 41
EJERCICIO RESUELTO 3
Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz)
Separo en términos los que está dentro de los paréntesis:
Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis:
{4 −7
2
−9
[81:−32
−52
3
8⋅22
term1
32
: 9
term 2]}=
=
{4−72
−9
[81:−32
−52
2⋅4
term 1
27: 3
term 2 ]}=
Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis:
={4−7
2
−9[81: −32
−52
89]}=
Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: ={4−72
−9[81: −32
−52
17]}=
Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo
en el mismo orden que con los paréntesis:
={4−72
−9[9:9−25⋅17]}=
¿ {4−72
−9[1−425]}=
¿ {4−72
−9[−424]}=
Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo:
={2 49−3−424}=
={981272}=1370](https://image.slidesharecdn.com/presentacionnenteros-101124121141-phpapp02/75/Presentacion-n-enteros-Curso-1-ESO-41-2048.jpg)
Presentacion nº enteros. Curso 1º ESO
- 1. 29 de enerode 2015 1 NÚMEROS ENTEROS 1. De los números naturales a los enteros 2. Representación de los números enteros 3. Valor absoluto y ordenación de números enteros 4. Suma de números enteros 5. Opuesto de un número entero 6. Resta de números enteros 7. Operaciones con paréntesis 8. Multiplicación de números enteros 9. División exacta de números enteros 10. Propiedades de las operaciones de números enteros 11. Operaciones combinadas 12. Resolución de problemas AMPLIACIÓN Index
- 2. 29 de enerode 2015 2 NÚMEROS ENTEROS(Ampliación) SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON PARÉNTESIS RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES COMBINADAS (2)
- 3. 29 de enerode 2015 3 Buena temperatura: + 20 ºC +20 +5000 +7 – 7 – 5000 – 20 0 Mucho frío: – 20 ºC Soy rico: tengo +5000 euros Debo dinero: “tengo” -5000 euros Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–) De los números naturales a los enteros Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 776 – 250 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar
- 4. 29 de enerode 2015 4 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos. 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos. PositivosNegativos Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: +1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 Representación de los números enteros
- 5. 29 de enerode 2015 5 Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: ∣ 2∣=∣−2∣=2 ∣4∣=∣−4∣=4 Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: +1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 –2 +2 El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Otro ejemplo: Valor absoluto de un número entero
- 6. 29 de enerode 2015 6 Ordenación: Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha. ∣ 7∣=7, ∣− 7 ∣=7 0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1 Más grandesMás pequeños Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo. Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Luego 7<+13 , pues ∣7∣∣13∣ Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Así, −7−13, pues ∣−7∣∣−13∣ Valor absoluto y ordenación de los números enteros
- 7. 29 de enerode 2015 7 0 +1 +3+2 +4 +6+5–2 –1 (+2) + (+3) = +5 Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. (–2) + (–3) = –5 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. +2 +3 –4 –3 –1–2 0 +2+1–6 –5 –2–3 (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 Suma de enteros del mismo signo
- 8. 29 de enerode 2015 8 (+12) + (–9) = +3 Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. (+18) + (–19) = –1 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado 12 euros Y hemos gastado 9 eurosLes quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros Deben 1 euro ¿Les queda o deben dinero? (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Suma de números enteros de distinto signo
- 9. 29 de enerode 2015 9 Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos. (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = = (+150) + (–110) = +40 Veamos un ejemplo: (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = Suma de varios números enteros
- 10. 29 de enerode 2015 10 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número 8 6–2 –8 –6–6 –7 –12 7 12 +1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5–6 Se llaman opuestos. Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 op.(5) = –5 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 2 –5 5 12 a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b) Opuesto de un número entero
- 11. 29 de enerode 2015 11 Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. 1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5 (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 2º. Como indicador de número negativo: –3 (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4 (+9) – (–5) = 9 + 5 = 14 Algunos ejemplos: –7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 El signo – tiene dos significados: Resta de números enteros
- 12. 29 de enerode 2015 12 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 9 – (12 + 3)Vamos a calcular: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 12 – (10 – 6)Calculamos ahora: 1º. Operando antes el paréntesis: Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 2º. También se puede hacer así: Son iguales El uso del paréntesis
- 13. 29 de enerode 2015 13 (a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis). Otros ejemplos: Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro. 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2 (c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis). 8 + (4 – 14)La expresión: se puede calcular de dos maneras: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 22º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5 15 – (12 – 2)Análogamente: se puede calcular de dos maneras: 1º. Operando antes el paréntesis: 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5 Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él. Operar con paréntesis
- 14. 29 de enerode 2015 14 Cada vez que va al cine gasta 6 euros (a) (–7) ·(+ 9) = – 63 El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Ejemplo: (– 6) · (+ 3) = – 18 Otros ejemplos: – 6 (c) (– 13) · (+4)= –52(b) (+12) · (–12) = –144 Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces? Va tres veces + 3 Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18 Gráficamente: 0 +6 +12–24 –18 –12 –6 –6–6 –6 Multiplicación de enteros de distinto signo
- 15. 29 de enerode 2015 15 (a) (+5) · (– 1) = –55 (+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63 Otros ejemplos: Hay cuatro posibilidades: Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. (+7) · (– 9) = –(7·9) = –63 (–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63 (–7) · (– 9) = +(7·9) = +63 Regla de los signos: + · + = + + · – = – – · + = – – · – = + (b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa: 2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. Multiplicación de números enteros
- 16. 29 de enerode 2015 16 Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas. Calculamos – 4 · 8 · (–3) Observa: –4 · 8 · (–3) = –32 · (–3) = 96 –4 · 8 · (–3) = –4 · (–24) = 96 Luego: Otros ejemplos: –5 · 7 · (–3) = –35 · (–3) = 105 –5 · 7 · (–3) = –5 · (–21) = 105 Se obtiene el mismo resultado 1º. El producto –5 · 7 · (–3) puede hacerse: 2º. 5 · 8 · (–4) · 3 5 · 8 · (–4) · 3 = 40 · (–12) = –440 Producto de varios enteros
- 17. 29 de enerode 2015 17 (a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9 (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3 Otros ejemplos: Pueden darse cuatro casos: Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. (+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8 (–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7 (–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6 Regla de los signos: + : + = + + : – = – – : + = – – : – = + (c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8 Es la misma que para la multiplicación Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo. División exacta de números enteros
- 18. 29 de enerode 2015 18 7 +(– 12) = – 5 Otros ejemplos: De la suma La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos. Observa: (– 12) + 7 = – 5 7 +(– 12) = (–12) + 7 Del producto 4 · (– 5) = – 20Observa: (– 5) · 4 = – 20 4 · (– 5) = (– 5) · 4 El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores. Suma (–5) + 7 = 7 +(–5) = 2 2 + (–13) = (–13) + 2 = –11 Producto (– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27 (+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48 Propiedad conmutativa
- 19. 29 de enerode 2015 19 La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras: 1º. Sumando los dos primeros números al tercero: [10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3 2º. Sumando el primer número a los otros dos: 10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3 Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)] Propiedad asociativa de la suma Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = 12 + (–8) = 4 (–5) + [17 + (–8)] = –5 + 9 = 4 Propiedad asociativa de la suma
- 20. 29 de enerode 2015 20 El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas: 1º. (los dos primeros) · (el tercero): [(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480 2º. (el primero) · (el producto de los otros dos): (–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480 Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)] Propiedad asociativa del producto Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = –35 · (–3) = 105 (–5) · [7 · (–3)] = –5· (–21) = 105 Propiedad asociativa del producto
- 21. 29 de enerode 2015 21 El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas: Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación. Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos. Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7 Una forma: –5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20 Otra forma: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7 = +15 + (–35) = –20 El resultado es el mismo Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma Otro ejemplo: 15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285 15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285 15 · [–10 + 8 + (–17)] Sumando antes: Multiplicando por cada sumando: Propiedad distributiva
- 22. 29 de enerode 2015 22 En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3. Decimos que –3 es factor común. Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda. Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)] Hemos sacado factor común. Otros ejemplos: (c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12 (a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135 (b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9) –6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24 El factor común es –6. Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene: –9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396 Factor común
- 23. 29 de enerode 2015 23 Ejemplos: –5 · 6 + (–4) · 8 +30 Otros ejemplos: 2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 · (–5) = –48 + 15 = –33 1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21 (a) La operación debe realizarse en el siguiente orden: –30 + (–32) + 30 = –32 Primero hemos hecho los productos y después las sumas –30 : 6 + (–3) · 4 + 14(b) Para hallar hay que seguir el siguiente orden: –5 + (–12) + 14= –3 Primero divisiones y productos, después las sumas Operando en el paréntesis Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33 1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y restas. El orden de las operaciones es: Operaciones combinadas. Sin paréntesis
- 24. 29 de enerode 2015 24 Ejemplo: –12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5] Otros ejemplos: 1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105 La operación Se hace así: –12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)] = –63 2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva 1º Operar dentro de los paréntesis. 2º Hacer las multiplicaciones y divisiones. 3º Hacer las sumas y restas. El orden a seguir es: –12 + 1 + (–52) –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9) = 24 + 72 – 36 + 45 = 105 3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5) = –5 + 34 – 5 = 24 Operaciones combinadas. Con paréntesis
- 25. 29 de enerode 2015 25 Resumimos con los siguientes casos: –12 + (–3) · (+4) + (–9) [–12 + (–3)] · (+4) + (–9) –12 + (–3) · [(+4) + (–9)] [–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)] Caso 1: Caso 2: Caso 3: Caso 4: Observa que en todos los casos hay los mismos números y operaciones. Cambia la situación de los paréntesis = –12 + (–12) + (–9) = –33 = (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69 = –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3 = –15 · (–5) = 75 Operaciones combinadas. Resumen
- 26. 29 de enerode 2015 26 Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros. ¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno? Observando los datos vemos que Laura, Pedro y María, aparecen dos veces cada uno. Pensar un problema más fácilPrimero: Comprobación.Segundo: Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26). Laura y Pedro: + 37 Pedro y María: + 58 Laura y María: – 69 Luego el doble de lo que tienen es la suma total: 37 + 58 – 69 = 26 Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45 Laura y Pedro: –45 + 82 = 37. Pedro y María: 82 – 24 = 58. Laura y María: –45 + (–24) = – 69 Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –(–45) = –24 Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – (–24) = 82 Y entre los tres: 37 + 58 + (–24) = 13. Organizados los datos y hechos los tanteos: Resolución de problemas (I)
- 27. 29 de enerode 2015 27 Tantear para comprender mejorPrimero: Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números? Hacer una tablaSegundo: Comprobación.Tercero: La suma es: –4 + (–15) = –19. Que son las condiciones requeridas. No puede ser, pues su producto debe ser 60. ¿Por qué no valdrían dos números positivos? Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290. Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10. ¿Has advertido que para que el producto sea 60, los dos números deben ser negativos? Negativos que sumen −19 −1, −18 −2, −17 −3, −16 −4, −15 −5, −14 −6, −13 Negativos de producto 60 −1, −60 −2, −30 −3, −20 −4, −15 −5, −12 Luego, los números buscados son –4 y –15. Su producto vale: (–4) · (–15) = 60 Resolución de problemas (II)
- 28. 29 de enerode 2015 28 800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725 Leer el enunciado y resumirlo.Primero: Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.? Hacer un dibujo explicativo.Segundo: +25 durante 15 min. -30 Hacer los cálculos.Tercero: Comprobación.Cuarto: Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5) En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75. Quedan entonces: 800 – 75 = 725. Hay 800 l Resolución de problemas (III)
- 29. 29 de enerode 2015 29 PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números? TANTEA No puede ser, los resultados no coinciden.Suma de los números: 4 + (–7) = –3. Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que: Suma de valores absolutos: ∣4∣∣−7∣=47=11 ELIGE UNA ESTRATEGIA Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo Representamos la situación sobre la recta numérica: 0 – + Un número negativo Sumando positivo Suma de valores absolutos: 84 36 Suman 36 36 Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo. RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24. 24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, 24 + 36 = 60 COMPRUEBA – 24 + 60 = 36 ∣−24∣∣60∣=2460=84 Correcto. Técnicas y estrategias
- 30. 29 de enerode 2015 30 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS: 1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO que tienen los números que sumé. EJEMPLO: 1 + 3 + 5 + 8 = 17 POSITIVOS POSITIVO -1 - 3 - 5 - 8 = - 17 NEGATIVOS NEGATIVO 2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto). EJEMPLO: 5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO 5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
- 31. 29 de enerode 2015 31 OPERACIONES CON PARÉNTESIS 3) Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA entonces hay un signo positivo que no se escribe. EJEMPLO: HAY UN SIGNO POSITIVO 4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay : a) un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro. EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS b) un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro. EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS
- 32. 29 de enerode 2015 32 RESUMIENDO: 1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos: -7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1 1er PASO: Sumo los positivos ( 4 + 8 + 1 ) = 13 2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17 3er PASO: Me queda ( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) 13 - 17 Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor 13 - 17 = - 4 La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.
- 33. 29 de enerode 2015 33 EJERCICIO RESUELTO 1 a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves: −{7[5−−7−2]}5−{−[9−14−53]−5}−8= Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. −{7[572]}5−{−[9−1453]−5}−8= Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis: −{7572}5−{−914−5−3−5}−8= Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis −7−5−7−259−14535−8= Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos 59535−7572148=27−43 Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor 27−43=−16
- 34. 29 de enerode 2015 34 EJERCICIO RESUELTO 2 b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves: −{7[5−−7−2]}5−{−[9−14−53]−5}−8= Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: −{7[5−−9]}5−{−[9−93]−5}−8= Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. −{7[59]}5−{−[9−93]−5}−8= Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis −{714}5−{−3−5}−8= Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis Resuelvo lo que está dentro de las llaves Resuelvo lo que está dentro de los corchetes −{7[14]}5−{−[3]−5}−8= −{21}5−{−8}−8= −2158−8= Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativos a éstos últimos 58−218=13−29 Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor 13−29=−16
- 35. 29 de enerode 2015 35 MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS 1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos: a) + . + = + EJEMPLO: 8 . 2 = 16 + : + = + 8 : 2 = 4 b) - . - = + EJEMPLO: - 8 . (- 2) = 16 - : - = + - 8 : (- 2) = 4 c) + . - = - EJEMPLO: 8 . (- 2) = - 16 + : - = - 8 : (- 2) = - 4 d) - . + = - EJEMPLO: - 8 . 2 = - 16 - : + = - - 8 : 2 = - 4 2) Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo de multiplicación que puede no escribirse. EJEMPLO: HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION 3) Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre ellos , hay un signo de multiplicación que puede no escribirse. EJEMPLO: HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
- 36. 29 de enerode 2015 36 OPERACIONES COMBINADAS Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos. Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo: Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así: Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo: {−4 −7−4 [4:−2−5 −6⋅2 term1 9: 3 term 2]}= ={−4−7−4 [4:−2−5−123]}= ={−4−7−4 [4:−2−5−9]}= Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo: {−4 −7−4 [4:−2 term1 −5−9 term 2 ]}= ={−4 −7−4[−245]}= ={−4 −7−4[43]}= Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo {−4 −7 term1 −443 term 2 }= ={28−172}= =28−172=−144
- 37. 29 de enerode 2015 37 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I) Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente. 1) Propiedad de potencias de igual base: a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual baseMULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes. b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual baseDIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes. EJEMPLOS: 2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes. EJEMPLO:
- 38. 29 de enerode 2015 38 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II) 4) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base. EJEMPLO: 5) Propiedades: a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN EJEMPLO: 2⋅3 2 =22 ⋅32 62 =4⋅9 36=36 b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLO:
- 39. 29 de enerode 2015 39 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I) Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando. PROPIEDADES DE LA RADICACION: 1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN. EJEMPLOS: En la multiplicación En la división 2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLOS: En la suma En la resta
- 40. 29 de enerode 2015 40 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II) 3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. EJEMPLO: 4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO: 5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO:
- 41. 29 de enerode 2015 41 EJERCICIO RESUELTO 3 Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz) Separo en términos los que está dentro de los paréntesis: Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis: {4 −7 2 −9 [81:−32 −52 3 8⋅22 term1 32 : 9 term 2]}= = {4−72 −9 [81:−32 −52 2⋅4 term 1 27: 3 term 2 ]}= Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis: ={4−7 2 −9[81: −32 −52 89]}= Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: ={4−72 −9[81: −32 −52 17]}= Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo en el mismo orden que con los paréntesis: ={4−72 −9[9:9−25⋅17]}= ¿ {4−72 −9[1−425]}= ¿ {4−72 −9[−424]}= Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo: ={2 49−3−424}= ={981272}=1370