Karl Krieger, profile picture
Subido porKarl Krieger
985,822 vistas

Problemas resueltos-newton

El documento presenta tres bloques de diferentes masas unidos por cuerdas. Se calculan las tensiones de las cuerdas y la aceleración del sistema mediante la aplicación de las leyes de Newton. Se obtienen tres ecuaciones de equilibrio que relacionan las fuerzas actuantes sobre cada bloque y se resuelven para hallar la aceleración y las tensiones de las cuerdas.

Descargado 8953 veces
1 / 106
2 / 106
Lo más leído
3 / 106
4 / 106
5 / 106
6 / 106
7 / 106
8 / 106
9 / 106
10 / 106
11 / 106
12 / 106
13 / 106
14 / 106
15 / 106
16 / 106
17 / 106
18 / 106
19 / 106
20 / 106
21 / 106
22 / 106
23 / 106
24 / 106
25 / 106
26 / 106
27 / 106
28 / 106
29 / 106
30 / 106
31 / 106
32 / 106
33 / 106
34 / 106
35 / 106
36 / 106
37 / 106
38 / 106
39 / 106
40 / 106
41 / 106
42 / 106
43 / 106
44 / 106
45 / 106
46 / 106
47 / 106
48 / 106
49 / 106
50 / 106
51 / 106
52 / 106
53 / 106
54 / 106
55 / 106
56 / 106
57 / 106
58 / 106
59 / 106
60 / 106
61 / 106
62 / 106
63 / 106
64 / 106
65 / 106
66 / 106
67 / 106
68 / 106
69 / 106
70 / 106
71 / 106
72 / 106
73 / 106
74 / 106
75 / 106
76 / 106
77 / 106
78 / 106
79 / 106
80 / 106
81 / 106
82 / 106
83 / 106
84 / 106
85 / 106
86 / 106
87 / 106
88 / 106
89 / 106
Lo más leído
90 / 106
Lo más leído
91 / 106
92 / 106
93 / 106
94 / 106
95 / 106
96 / 106
97 / 106
98 / 106
99 / 106
100 / 106
101 / 106
102 / 106
103 / 106
104 / 106
105 / 106
106 / 106
PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON "No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido." SIR ISAAC NEWTON Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la dinámica y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba. Este solucionario sobre las leyes de Newton tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los cuerpos. Esta obra fue concebida buscando llenar en parte el vacío de conocimientos en el tema y da las bases y fundamentos de una manera sencilla y de fácil entendimiento. Son problemas de las físicas de Sears – Zemansky, Halliday – Resnick, Serway y otros grandes profesores en el tema. Ing. ERVING QUINTERO GIL Bucaramanga – Colombia 2006 1
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC y BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A C 0 0 30 53 TC TA B TC TA TAY T CY W = 40 N 300 530 TAY = TA . sen 30 T AX TCX TCY = TC. sen 53 TAX = TA . cos 30 TCX = TC . cos 53 Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 53 = TA . cos 30 TC . 0,601 = TA . 0,866 0,866 TC = * TA = 1,44 TA (ecuación 1) 0,601 Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (ecuación 2) TAY + TCY = W pero: W = 40 N TAY + TCY = 40 TA . sen 30 + TC. sen 53 = 40 0,5 TA + 0,798 TC = 40 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,5 TA + 0,798 TC = 40 0,5 TA + 0,798 * (1,44 TA ) = 40 0,5 TA + 1,149 TA = 40 1,649 TA = 40 40 TA = = 24,25 Newton 1,649 TA = 24,25 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 1,44 TA TC = 1,44 * (24,25) TC = 34,92 Newton. 2
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C 600 A 650 TAY TC 250 T CY TA TA TC 650 600 B TAX TCX W = 70 N W = 70 N TAY = TA . sen 65 TCY = TC. sen 60 TAX = TA . cos 65 TCX = TC . cos 60 Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 60 = TA . cos 65 TC . 0,5 = TA . 0,422 0,422 TC = * TA = 0,845 TA (ecuación 1) 0,5 Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (ecuación 2) TAY + TCY = W pero: W = 70 N TAY + TCY = 70 TA . sen 65 + TC. sen 60 = 70 0,906 TA + 0,866 TC = 70 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,906 TA + 0,866 TC = 70 0,906 TA + 0,866 * (0,845 TA ) = 70 0,906 TA + 0,731 TA = 70 1,638 TA = 70 70 TA = = 42,73 Newton 1,638 TA = 42,73 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 0,845 TA TC = 0,845 * (42,73) TC = 36,11 Newton. 3
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A C 600 300 TA TAY TC T CY 60 0 300 TA TC TAX TCX B W = 100 N W = 100 N TAY = TA . sen 60 TCY = TC. sen 30 TAX = TA . cos 60 TCX = TC . cos 30 Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 30 = TA . cos 60 TC . 0,866 = TA . 0,5 0,5 TC = * TA = 0,577 TA (Ecuación 1) 0,866 Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (Ecuación 2) TAY + TCY = W pero: W = 100 N TAY + TCY = 100 TA . sen 60 + TC. sen 30 = 100 0,866 TA + 0,5 TC = 100 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 TA + 0,5 TC = 100 0,866 TA + 0,5 *(0,577 TA) = 100 0,866 TA + 0,288 TA = 100 1,154 TA = 100 100 TA = = 86,6 Newton 1,154 TA = 86,6 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 0,577 TA TC = 0,577 * (86,6) TC = 50 Newton. 4
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A C θ0 θ0 TA TAY T CY TC θ0 θ0 TA TC TAX TCX B W W TAY = TA . sen θ TCY = TC. sen θ TAX = TA . cos θ TCX = TC . cos θ Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (Ecuación 1) TCX = TAX TC . cos θ = TA . cos θ cos θ TC = * TA = TA (Ecuación 1) cosθ TC = TA Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (Ecuación 2) TAY + TCY = W TA . sen θ + TC. sen θ = W (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TA . sen θ + TC. sen θ = W TA . sen θ + TA. sen θ = W 2 TA sen θ = W W TA = 2 sen θ Pero TC = TA W Tc = 2 sen θ 5
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C 600 300 C C CY A AY B 0 0 60 45 CX AX 0 45 W = 50 Kg-f W = 50 Kg-f A A CY = C. sen 60 AY = A. sen 45 CX = C. cos 60 AX = A. cos 45 Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 45 = C. cos 60 cos 60 A = * C = 0,707 C (Ecuación 1) cos 45 Σ FY = 0 CY + AY – W = 0 (Ecuación 2) CY + AY = W pero: W = 50 kg-f CY + AY = 50 C. sen 60 + A. sen 45= 50 0,866 C + 0,707 A = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 C + 0,707 A = 50 0,866 C + 0,707 (0,707 C) = 50 0,866 C+ 0,5 C = 50 1,366 C = 50 50 C = = 36,6 Kg - f C = 36,6 Kg-f. 1,366 Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 0,707 C A = 0,707 * (36,6) A = 25,87 Kg- f. 6
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C C 650 CY 650 25 0 AX CX 400 C 400 AY A A 0 B 50 60 Kg-f 60 Kg-f CY = C. sen 65 AY = A. sen 40 CX = C. cos 65 AX = A. cos 40 Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 40 = C. cos 65 cos 65 A = * C = 0,551 C (Ecuación 1) cos 40 Σ FY = 0 CY - AY – W = 0 (Ecuación 2) CY - AY = W pero: W = 60 kg-f CY - AY = 60 C. sen 65 - A. sen 40 = 60 0,906 C - 0,642 A = 60 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,906 C- 0,642 A = 60 0,906 C - 0,642 (0,551 C) = 60 0,906 C - 0,354 C = 60 0,551 C = 60 60 C = = 108,89 Kg - f 0,551 C = 108,89 Kg- f. Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 0,551 C A = 0,551 * (108,89) A = 60 Kg - f. 7
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C B A AY CX 450 320 AX W = 50 Kg-f CY C A C 320 450 W = 50 Kg-f A CY = C. sen 32 AY = A. sen 45 CX = C. cos 32 AX = A. cos 45 Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 45 = C. cos 32 cos 32 A = * C = 1,199 C (Ecuación 1) cos 45 Σ FY = 0 AY – CY - W = 0 (Ecuación 2) AY – CY = W pero: W = 50 kg-f AY – CY = 50 A. sen 45 - C. sen 32 = 50 0,707 A - 0,529 C = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,707 A - 0,529 C = 50 0,707 (1,199 C) - 0,529 C = 50 0,848 C - 0,354 C = 50 0,318 C = 50 50 C = = 157,23 Kg - f 0,318 C = 108,89 Kg- f. Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 1,199 C A= 1,199 * (157,23) A = 188,51 Kg - f. 8
Se muestran 3 bloques de masas m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. m3 = 8 kg. Si se supone nulo el roce, calcular la aceleración del sistema y las tensiones de las cuerdas. T1 T2 Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N3 T1 T2 m3 = 8 kg T2 T1 T2 m1 = 2 kg m2 =3 kg m1 = 2 kg m 2 = 2 kg W2 = m2 * g m3 = 8 kg W1 = m1 * g W3 = m3 * g Bloque m1 T1 – W1 = m1 * a T1 – m 1 g = m 1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 W2 – T2 = m2 * a m 2 g – T2 = m 2 * a (Ecuación 2) Bloque m3 N3 – W3 = 0 N3 = W3 = m3 * g T2 – T1 = m3 * a (Ecuación 3) T1 – m 1 g = m 1 * a m 2 g – T2 = m 2 * a T 2 – T1 = m 3 * a m 2 g - m1 g = m 1 * a + m 2 * a + m3 * a m2 g - m1 g = (m1 + m2 + m3) * a a = (m 2 - m1 ) g (3 - 2) 9,8 = (1)9,8 = = 0,75 m (m1 + m 2 + m 3 ) (2 + 3 + 8) 13 seg 2 a = 0,75 m seg 2 Para hallar la tensión T1 se reemplaza en la Ecuación 1. T1 – m1 g = m1 * a (Ecuación 1) T1 = m1 * a + m1 g = 2 * 0,75 + 2 * 9,8 = 1,5 + 19,6 = 21,1 Newton T1 = 21,1 Newton Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la Ecuación 3. T2 – T1 = m 3 * a T2 = m3 * a + T1 T2 = 8 * 0,75 + 21,1 T2 = 6 + 21,1 T2 = 27,1 Newton. 9
En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante, en el sentido indicado. a) No hay rozamiento b) Existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie (μ = 0,24) T1 T2 Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N2 T1 T2 m2 = 15 kg T2 T1 T2 2 g = 10 m/seg m1 = 20 kg m3 = ? m1 = 20 kg m 2 = 15 kg W2 = m2 * g m3 = ? W1 = m1 * g W3 = m3 * g No hay rozamiento, como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FY = 0 T1 – W1 = 0 T1 – m1 g = 0 (Ecuación 1) T1 = m1 g T1 = 20 * 10 = 200 Newton Bloque m2 Σ FX = 0 T 2 – T1 = 0 T2 = T1 (Ecuación 2) T2 = 200 Newton Bloque m3 Σ FY = 0 W3 – T2 = 0 (Ecuación 3) W 3 = T2 m3 g = T2 kg m T 200 Newton seg 2 m3 = 2 = = = = 20 Kg g 10 m m seg 2 seg 2 m3 = 20 Kg. W3 = m3 * g W3 = 20 * 10 = 200 Newton 10
Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N2 T2 T1 T2 FR m1 = 20 kg m 2 = 15 kg m3 = ? W1 = m1 * g W2 = m2 * g W3 = m3 * g HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Σ FY = 0 T1 – W1 = 0 T1 – m1 g = 0 (Ecuación 1) T1 = m1 g T1 = 20 * 10 = 200 Newton Bloque m2 Σ FX = 0 T 2 – T 1 - FR = 0 Σ FY = 0 N2 – W = 0 N2 – m2 g = 0 N2 = m2 g = 15 * 10 = 150 Newton N2 = 150 Newton FR = μ * N2 FR = 0,24 *(150) FR = 36 Newton T 2 – T 1 - FR = 0 T2 = T1 + FR pero: T1 = 200 Newton FR = 36 Newton T2 = 200 +36 T2 = 236 Newton Bloque m3 Σ FY = 0 m3 g - T2 = 0 m3 g = T2 W3 = m3 g = T2 W3 = 236 Newton 11
En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. Bloque m1 Bloque m2 N1 T1 T1 T1 m1 = 15 kg T1 P1X P1Y 400 m2 = ? P2 = m2 * g 400 m2 = ? m1 = 15 Kg. P2 = m2 * g P1 = m1 * g NO HAY ROZAMIENTO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FX = 0 T1 – P1X = 0 Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g T1 – P1 sen 40 = 0 (Ecuación 1) T1 – m1 g sen 40 = 0 T1 = m1 g sen 40 T1 = 15 * 10 * 0,642 = 96,418 Newton T1 = 96,418 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 2) P2 = T1 P2 = 96,418 Newton SI HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Bloque m2 N1 T1 T1 FR P1X 400 m2 = ? P2 = m2 * g Bloque m1 1 = 15 Kg. m Σ FX = 0 P1 = m1 * g T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g P1X = m1 g sen 40 12
P1X = 15 * 10 * 0,642 = 96,418 Newton P1X = 96,418 Newton Pero: P1Y = P1 cos 40 P1 = m1 g P1Y = m1 g cos 40 P1Y = 15 * 10 * 0,642 = 114,9 Newton P1Y = 114,9 Newton N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 114,9 Newton FR = μ * N1 (Ecuación 3) FR = 0,24 * 114,9 FR = 27,57 Newton T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) T1 = P1X + FR Pero: P1X = 96,418 Newton T1 = 96,418 + 27,57 T1 = 124 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 4) P2 = T1 P2 = 124 Newton ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. Bloque m1 Bloque m2 T N1 m1 = 60 kg T T P1X T N2 P1Y P2X P2Y 0 0 P2 300 30 53 530 m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g m2 = ? NO HAY ROZAMIENTO P2 = m2 * g Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1 = m1 g T – P1 sen 40 = 0 T – m1 g sen 40 = 0 T = m1 g sen 40 T = 60 * 10 * 0,642 = 300 Newton T = 300 Newton 13
Bloque m2 Σ FY = 0 P2x – T = 0 (Ecuación 2) P2x = T = 300 Newton P2x = P2 sen 53 P2X 300 P2 = = = 375,64 Newton sen 53 0,798 P2 = 375,64 Newton Bloque m1 Bloque m2 N1 T FR2 N2 P1X T FR1 P1Y P2X P2Y 300 530 m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g m2 = ? SI HAY ROZAMIENTO P2 = m2 * g Bloque m1 Σ FX = 0 T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1 = m1 g P1X = m1 g sen 30 P1X = 60 * 10 * 0,5 = 300 Newton P1X = 300 Newton Pero: P1Y = P1 cos 30 P1 = m1 g P1Y = m1 g cos 30 P1Y = 60 * 10 * 0,866 = 519,61 Newton P1Y = 519,61 Newton Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 519,61 Newton FR1 = μ * N1 (Ecuación 3) FR1 = 0,24 * 519,61 FR1 = 124,707 Newton T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) T = P1X + FR1 Pero: P1X = 300 Newton 14
T = 300 + 124,707 T = 424,707 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 N2 – P2Y = 0 (Ecuación 4) N2 = P2Y Pero: P2Y = P2 cos 53 P2 = m2 g N2 = P2Y = P2 cos 53 FR2 = μ * N2 (Ecuación 5) FR2 = 0,24 * P2 cos 53 FR2 = 0,144 P2 Σ FX = 0 P2X – T - FR2 = 0 (Ecuación 6) Pero: P2X = P2 sen 53 T = 424,707 Newton FR2 = 0,144 P2 P2 sen 53 - 424,707 - 0,144 P2 = 0 P2 0,798 - 0,144 P2 = 424,707 0,654 P2 = 424,707 424,707 P2 = = 650 Newton 0,654 Un cuerpo esta apoyado sobre un plano inclinado de coeficiente de rozamiento dinámico μK . Al dejarlo libre baja con velocidad constante. Cual es el coeficiente de rozamiento. N PX FR θ 0 P PY θ0 SI HAY ROZAMIENTO P Bloque m Σ FX = 0 PX – FR = 0 (Ecuación 1) FR = μK N (Ecuación 2) N – PY = 0 (Ecuación 3) N = PY Pero: PY = P cosθ N = PY = P cosθ Reemplazando en la ecuación 2 FR = μK N 15
FR = μK P cosθ Reemplazando en la ecuación 1 PX – FR = 0 Pero: PX = P senθ P senθ - μK P cosθ = 0 P senθ = μK P cosθ sen θ μK = = tgθ cos θ μK = tgθ Un cuerpo de peso W suspendido de un hilo forma un ángulo θ con la vertical. Cuando esta sometido a una fuerza horizontal F. Cual es el valor de F? Bloque m β 0 T T θ0 θ0 TY F TX F m= ? W = m* g W Σ FY = 0 TY – W = 0 TY = W Pero: TY = T cos θ T cos θ = W (Ecuación 1) Σ FX = 0 F – TX = 0 F = TX Pero: TX = T sen θ T sen θ = F (Ecuación 2) W T = cos θ Reemplazando en la ecuación 2 T sen θ = F ⎛ W ⎞ ⎜ ⎟ * sen θ = F ⎝ cos θ ⎠ F = W * tag θ _________________________________________________________ 16
CAPITULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES 1.2 SEARS – ZEMANSKY Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ángulo de 300 con la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical. F FX 300 300 FY FX = F cos 30 FX = 20 cos 30 F FX = 17,32 Kg. FY = F sen 30 FY = 20 * (0,5) FY = 10 Kg. CAPITULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES 1.3 SEARS – ZEMANSKY Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ángulo de 300 con el plano. a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdrá entonces la componente FY FX 0 300 30 200 FY FX = 8 Kg FX = F cos 30 FY = F sen 30 8 = F cos 30 FY = 9,23 * (0,5) 8 = F 0,866 FY = 4,61 Kg. F = 9,23 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.3 SEARS – ZEMANSKY Dos pesos de 10 kg están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo. a) Cual es la tensión de la cuerda? b) Cual es la tensión de la cadena? T3 T1 T2 10 Kg 10 Kg T3 = tensión de la cuerda T1 = 10 Kg. T2 = 10 kg. Σ FY = 0 17
T 1 + T2 - T3 = 0 T 1 + T 2 = T3 T3 = 10 kg. + 10 kg. T3 = 20 kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.4 SEARS – ZEMANSKY El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 Si θ2 = θ3 = 60 A C 60 0 60 0 T1 T1Y T 2Y T2 60 0 60 0 T1 T2 T1X T2X B W W = 50 kg T1Y = T1 . sen 60 T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60 T1X = T1 . cos 60 Σ FX = 0 T2X - T1X = 0 (Ecuación 1) T2X = T1X T2 . cos 60 = T1 . cos 60 T2 = T1 Σ FY = 0 T1Y + T2Y – W = 0 (Ecuación 2) T1Y + T2Y = W pero: W = 50 kg. T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 T1 . sen 60 + (T1). sen 60 = 50 2T1 . sen 60 = 50 50 50 T1 = = 2 sen 60 1,732 T1 = 28,86 Kg. T2 = T1 T2 = 28,86 Kg. 18
C) El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 θ2 = 60 0 T2 T 2Y T3 600 T2 θ3 = 00 T 2X T3 W = 50 kg W = 50 kg T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60 Σ FX = 0 T2X - T3 = 0 T2X = T3 T2 . cos 60 = T3 (Ecuación 1) Σ FY = 0 T2Y – W = 0 (Ecuación 2) T2Y = W pero: W = 50 kg. T2 . sen 60 = 50 (Ecuación 2) 50 T2 = = 57,73 kg. sen 60 T2 = 57,73 Kg. Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 T2 . cos 60 = T3 (57,73) . cos 60 = T3 T3 = (57,73) * 0,5 T3 = 28,86 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2-5 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura 2-14 si el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg. A C 300 450 TB TA Caso a TB TA TAY T BY 300 450 W = 200 kg TAX TBX W = 200 kg 19
Caso a) Llamando a las tensiones de las cuerdas A, B, C como Ta , Tb , Tc respectivamente tenemos Figura 2.14 ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TBX – TAX = 0 TAY + TBY – W = 0 Pero: TBX = TB cos45 Pero: TBY = TB sen 45 TAX = TA cos 30 TAX = TA sen 30 ∑ FX = - TA cos 30 + TB cos 45 = 0 ∑ FY = Ta sen 30 + Tb sen 45 – W = 0 - 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) 0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) - 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) 0,707 TB = 0,866 TA TB = 0,866 TA / 0,707 TB = 1,25 TA Reemplazando en la ecuac 2 0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) 0,5 TA + 0,707 (1,25 TA ) = 200 0,5 TA + 0,8837 TA = 200 1,366 TA = 200 TA = 200 / 1,366 TA = 146,41 Kg. TB = 1,25 TA TB = 1,25 * (146,41) TB = 183,01 Kg. 450 TB Caso b T BY TB TA 450 TA TC TBX TC W = 200 kg W = 200 kg 20
Caso b) ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TBX – TA = 0 TBY - W = 0 Pero: TBX = TB cos 45 Pero: TBY = TB sen 45 ∑ FX = TB cos 45 - TA = 0 ∑ FY = TB sen 45 – W = 0 0,707 TB = TA (Ecuac 1) 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) TB = 200 / 0,707 TB = 283 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 0,707 TB = TA Ecuac 1 0,707 * (283 Kg.) = TB 200 Kg. = TB Caso c) 450 Caso c TB TB 0 T BY 30 TA TAX 450 300 300 TBX TAY TA W = 200 kg W = 200 kg ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TBX – TA = 0 TAY + TBY – W = 0 Pero: TBX = TB cos 45 Pero: TBY = TB sen 45 TAX = TA cos 30 TAY = TA sen 30 ∑ FX = TB cos 45 - TA = 0 ∑ FY = TB sen 45 –TA sen 30 – W = 0 ∑ FX = TB cos 45 - TA cos 30 = 0 0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2) 0,707 TB = TA 0,866 (Ecuac 1) Nótese que tomamos 300 ya que este es el ángulo que TA forma con el eje de las x. 21
Reemplazando ecuac 1 en ecuac 2 0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2) (TA 0,866) - 0,5 TA = 200 0,366 TA = 200 TA = 200 / 0,366 TA = 546,45 Kg. Pero: 0,707 TB = TA 0,866 TB = TA 0,866 / 0,707 TB = (546,45 ) * 0,866 / 0,707 TB = 669,34 Kg. Caso d) 370 370 A TB TA 530 530 TC TC TAY TA TC TB TCY TCY 370 Caso d TC 530 53 0 C 530 53 0 TAX TCX TCX M TCY W TCX FIGURA 2.8 FIGURA 2.9 W Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier punto, en este caso el nudo o entre C y A tenemos: De la figura 2.8 ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TAX – TB – TCX = 0 TAY – TCY = 0 Pero: TAX = TA cos 37 Pero: TAY = TA sen 37 TCX = TA cos 53 TCY = Tc sen 53 ∑ FX = TAX cos 37 – TB – TCX cos 53 = 0 ∑ FY = TA sen 37 – TC sen 53 = 0 Ecuac 1 TA sen 37 = TC sen 53 (Ecuac 2) 22
De la figura 2.9 tenemos: ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TCY + TCY – W = 0 TCX - TCX = 0 Pero: TCY = TC sen 53 ∑ FX = Tc cos 53 – Tc cos 53 = 0 ∑ FY = TC sen 53 + TC sen 53 – W = 0 ∑ FY = 2 TC sen 53 – W = 0 (Ecuac 3) De la ecuac 3 tenemos: 2 TC sen 53 – W = 0 Ecuac 3 2 TC sen 53 = 200 2 TC (0,799) = 200 TC 1,598 = 200 TC = 200 / 1,598 TC = 125 Kg. Reemplazando en la ecuac 2 TA sen 37 – TC sen 53 = 0 Pero: TC = 125 Kg. TA sen 37 = TC sen 53 TA sen 37 = (125) * sen 53 TA sen 37 = (125) * 0,799 TA sen 37 = 99,875 TA = 99,875 / sen 37 TA = 99,875 / 0,602 TA = 165,88 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 TA cos 37 – TB – TC cos 53 = 0 TA cos 37– TC cos 53 = TB Pero: TC = 125 Kg. TA = 165,88 Kg. TB = 165,88 * cos 37 – 125 cos 53 TB = 165,88 * 0,8 – 125 * 0,602 TB = 57,29 Kg. 23
CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS - ZEMANSKY Problema 2.6 Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal ? T TCY T Caso a 30 0 C TCX C W W Caso a Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensión del cable y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exigen para cada punto. Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda. ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 pero: TCX = T cos 30 pero: TCY = T sen 30 ∑ FX = C - TCX = 0 ∑ FY = TCY – W = 0 ∑ FX = C - T cos 30 = 0 ∑ FY = T sen 30 – W = 0 C = T cos 30 (Ecuac 1) T sen 30 = W (Ecuac 2) T sen 30 = W Ecuac 2 T = 1000 / 0,5 T = 2000 KG. Reemplazando C = T cos 30 (Ecuac 1) C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0’866 C = 1,732 KG. T 300T C T CY 300 Caso b Cx C W 300 W 24
Caso b ) ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 pero: CX = C cos 30 pero: CY = C sen 30 ∑ FX = CX - T = 0 ∑ FY = CY – W = 0 ∑ FX = C cos 30 - T = 0 ∑ FY = C sen 30 – W = 0 T = C cos 30 (Ecuac 1) C sen 30 = W (Ecuac 2) C sen 30 = W (Ecuac 2) C = W / sen 30 = 1000 / 0,5 C = 2000 KG. Reemplazando T = C cos 30 T = 2000 * 0,866 T = 1732 kg. Caso C) ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 ∑ FX = C cos 30 - T cos 45 = 0 ∑ FY = C sen 30 + T sen 45 - W = 0 T cos 45 = C cos 30 Ecuac 1 C sen 30 + T sen 45 - W = 0 Ecuac 2 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2 T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T TY CY 450 0 C 0 45 300 30 T TX CX Caso C W C 300 W 25
Igualando las ecuaciones T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2 C 0,866 = W - C 0,5 C 0,866 = 1000 - C 0,5 C 0,866 + C 0,5 = 1000 1,366 C = 1000 C = 1000 / 1,366 C = 732,7 Kg Reemplazando T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = (732,7) * 0,866 Ecuac 1 T = (732,7) * 0,866 / 0,707 T = 896,7 Kg. Caso d) T C CY 0 45 W TX 300 CX C TY 300 450 T 30 0 W ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 Pero: CX = C cos 45 Pero: CY = C sen 45 TX = T cos 30 TY = T sen 30 ∑ FX = CX - TX = 0 ∑ FY = CY – TY - W = 0 ∑ FX = C cos 45 - T cos 30 = 0 ∑ FY = C sen 45 – T sen 30 - W = 0 T cos 30 = C cos 45 T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2) Igualando las ecuaciones T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2) 26
T 0,866 = W + T 0,5 T 0,866 - T 0,5 =W T 0,366 = 1000 T = 1000 / 0,366 T = 2720 kg. Reemplazando en la ecuac 1 C 0,707 = T 0,866 C 0,707 = 2720 * 0,866 C = 2720 * 0,866 / 0,707 C = 3340 KG CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.8 SEARS – ZEMANSKY Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus extremos. En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg. La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra. a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. ¿Cuál será la altura mínima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared. b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga). T TY h θ T = 1000 kg TX P = 500 kg X = 80 cm P = 500 kg Σ FY = 0 TY – W = 0 (Ecuación 1) TY = W pero: W = 500 kg. TY = 500 TY = T sen θ Pero T = 1000 Kg. Reemplazando en la ecuacion1 TY = T sen θ 500 = (1000) * sen θ 27
500 sen θ = = 0,5 1000 sen θ = 0,5 θ = arc sen 0,5 θ = 300 h h tg θ = = X 80 h tg 30 = 80 h = 80 * tg 30 h = 46,18 cm CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.9 SEARS – ZEMANSKY Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro extremo esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda, desplazándola lateralmente 60cm. Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil? D = 15 metros X = 7.5 metros T1X X = 7.5 metros θ T1Y T2Y θ T1 Y = 60 cm T2X Y 0,6 sen θ = = = 0,08 F = 50 Kg X 7,5 sen θ = 0,08 Σ FX = 0 T2X -T1X = 0 T2X = T1X Pero T1X = T1 cos θ T2X = T2 cos θ T1 cos θ = T2 cos θ (Ecuación 1) T 1 = T2 Σ FY = 0 T 2y + T1y - F = 0 (Ecuación 1) T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg. T 2Y + T1Y = 50 T 2Y = T2 sen θ 28
T 1Y = T1 sen θ T 2Y + T1Y = 50 T2 sen θ + T1 sen θ = 50 (Reemplazando Ecuación 1) T1 = T2 T2 sen θ + (T2 ) sen θ = 50 2T2 sen θ = 50 50 50 50 T2 = = = = 312,5 Kg. 2 sen θ 2 * 0,08 0,16 T2 = 312,5 Kg T1 = T2 = 312,5 Kg CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.10 Calcular el máximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. T = 1000 kg 0 30 450 T = 1000 kg C TY CY 300 450 TX CX C W W CX = C . cos 45 CY = C . sen 45 TX = T . cos 30 TY = T . sen 30 Σ FX = 0 CX – TX = 0 (Ecuación 1) CX = TX C . cos 45 = T . cos 30 C. 0,707 = (1000) . 0,866 C. 0,707 = 866 29
866 C= = 1224,89 Kg. 0,707 Σ FY = 0 CY + TY – W = 0 (Ecuación 2) CY + TY = W C . sen 45 + T . sen 30 = W (1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W 865,99 + 500 = W W = 1365,99 Kg. CONCLUSION: Nótese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Pero al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.11 El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. WA W2 N T1 N T2 T2 T1 450 T1Y FR FR T2 450 T2 T1X WA W2 WA W2 BLOQUE WA = 100 Kg. Σ FX = 0 T2 – FR = 0 (Ecuación 1) T 2 = FR Σ FY = 0 N – WA = 0 (Ecuación 2) N = WA Pero: WA = 100 Kg. N = 100 Kg. Pero: μ = 0,3 FR = μ * N (Ecuación 3) FR = (0,3) * 100 FR = 30 Kg. Pero: T2 = FR 30
T2 = 30 Kg. BLOQUE W2 Σ FX = 0 T1X – T2 = 0 T1X = T2 (Ecuación 4) Pero: T2 = 30 Kg. T1X = 30 Kg. T1X = T1 cos 45 T1X 30 T1 = = = 42,426 Kg cos 45 0,707 T1 = 42,426 Kg. Σ FY = 0 T1Y – W2 = 0 T1Y = W2 (Ecuación 5) Pero T1Y = T1 sen 45 T1Y = W2 = T1 sen 45 W2 = T1 sen 45 W2 = (42,426) sen 45 W2 = 30 kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.12 Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que actúa formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5. Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. N F = 10 Kg N F F FY 30 0 300 FR FX W W BLOQUE W = 100 Kg. Σ FX = 0 FR - FX = 0 (Ecuación 1) F R = FX Pero: FX = F cos 30 FX = 10 . 0,866 FX = 8,66 kg. Pero FR = FX 8,66 Kg. FR = μ N (Ecuación 2) FR = 0,5 N = 8,66 Kg 31
F 8,66 N= R = = 17,32 Kg. 0,5 0,5 N = 17,32 KG. Σ FY = 0 N + FY – W = 0 (Ecuación 3) Pero: FY = F sen 30 FY = (10) 0,5 FY = 5 Kg. Reemplazando en la ecuación 3 N + FY – W = 0 Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG. W = N + FY W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg. W = 22,32 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. Bloque m1 Bloque m2 P1 = m1 * g T P1 = 14 kg N1 T T T FR FR P1X P1Y θ 0 P2 = m2 * g θ 0 P2 = 10 kg P2 = m2 * g P2 = 10 kg Bloque P1 = 14 Kg. Σ FX = 0 P1 = m1 * g T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) P1 = 14 kg Pero: P1X = P1 sen θ P1X = 14 sen θ Pero: P1Y = P1 cos θ P1Y = 14 cos θ Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 14 cos θ 32
FR = μ * N1 (Ecuación 3) FR = 1/7 * (14 cos θ) FR = 2 cos θ Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T = 0 (Ecuación 4) P2 = T Pero: P2 = 10 kg T = P2 = 10 kg Reemplazando en la ecuación 1 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 pero : sen2 θ + cos2 θ = 1 1/ 2 cosθ = 1 - sen 2θ = ⎛1 - sen 2 θ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Reemplazando 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 10 – 14 senθ - 2 (1-sen2 θ)1/2 = 0 5– 7 senθ - (1-sen2 θ)1/2 = 0 5– 7 senθ = (1-sen2 θ)1/2 Elevando al cuadrado en ambos lados 2 ⎡ 1/ 2 ⎤ [5 − 7 senθ ]2 = ⎢⎛1 - sen 2 θ ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎥ ⎦ 25 – 70 senθ + 49 sen2 θ = 1 – sen2 θ 49 sen2 θ + sen2 θ – 70 senθ + 25 – 1 = 0 50 sen2 θ – 70 sen θ + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. - (- 70) ± ( - 70) 2 - 4 (50) 24 70 ± 4900 - 4800 sen θ = = 2 (50) 100 70 ± 100 70 ± 10 sen θ = = 100 100 70 + 10 80 sen θ1 = = = 0,8 θ1 = arc sen 0,8 θ1 = 53,130 100 100 70 − 10 60 sen θ 2 = = = 0,6 θ2 = arc sen 0,6 θ2 = 36,860 100 100 θ1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. θ2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda. 33
CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.14 Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3. a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? Bloque P1 Bloque W P1 = 100 kg T N1 T T T FR FR P1Y P1X 0 30 0 W= ? W = m2 * g 30 W= ? P1 = m1 * g P1 = 100 kg Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P1 = 100 Kg. Σ FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 34
Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 25,98 T = 75,98 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante) T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg. Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. P1 = 100 kg Bloque P1 Bloque W T T FR N1 T FR T P1X P1Y W= ? 30 0 300 W = m2 * g W= ? Bloque P1 = 100 Kg. P1 = m1 * g Σ FX = 0 P1 = 100 kg T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. 35
T = P1X - FR = 0 T = 50 - 25,98 T = 24 Kg. BLOQUE W(por que se desplaza a velocidad constante) Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 24 Kg. W = 24 Kg. Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ARRIBA, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P1 = 100 Kg. Σ FX = 0 T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 34,64 T = 84,64 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) 36
Pero T = 84,64 Kg. W = 84,64 Kg. SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ABAJO, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha. Bloque P1 = 100 Kg. Σ FX = 0 T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0 T = 50 - 34,64 T = 15,36 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg. 37
Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky Problema 2 – 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C? Bloque B T2 T2 Bloque A T1 Bloque C FR2 T1 370 FR1 Bloque B Bloque C Bloque A FR2 T2 N2 T2 T1 N1 T 370 WBY T1 1 WBX F WC FR1R1 W WA A WB Bloque A ∑ FX = 0 Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero. T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1) T1 = FR1 ∑ FY = 0 WA – N1 = 0 WA = N1 WA = N1 = 20 Newton Pero: FR1 = μ N1 FR1 = μ 20 = 0,5 * 20 FR1 = 10 Newton T1 = FR1 T1 = 10 Newton 38
Bloque B Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FX = 0 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) Pero: WBX = WB sen 37 WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton WBX = 12,036 Newton T1 = 10 Newton ∑ FY = 0 WBY – N2 = 0 WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37 WBY = N2 = 15,972 Newton Pero: FR2 = μ N2 FR2 = μ 20 = 0,5 * 15,972 FR2 = 7,986 Newton Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) T2 = WBX + T1 + FR2 T2 = 12,036 + 10 + 7,986 T2 = 30 Newton Bloque C Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FY = 0 W C – T2 = 0 WC = T2 = 30 Newton WC = 30 Newton Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky Problema 2 – 18 una cadena flexible de peso W cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura, como indica la figura 2-22. En cada extremo la cadena forma un ángulo θ con la horizontal a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la izquierda? b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo? θ θ F F FY FY θ θ FX FX W W 39
∑ FX = 0 FX – FX = 0 ∑ FY = 0 W – FY – F Y = 0 W – 2FY = 0 W = 2FY Pero: FY = F sen θ W = 2FY = 2(F sen θ) W = 2 F sen θ W F = 2 sen θ F θ FY T θ T FX w/2 w/2 ∑ FX = 0 T - FX = 0 T = FX Pero: FX = F cos θ T = FX = F cos θ T = F cos θ Pero: W F = 2 sen θ Reemplazando T = F cos θ ⎛ W ⎞ T =⎜ ⎟ cos θ ⎝ 2 sen θ ⎠ ⎛ W ⎞ cos θ T=⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ sen θ ⎛W⎞ T = ⎜ ⎟ ctg θ ⎝2 ⎠ 40
Problema de Sears – Zemansky Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Calcular: a) La aceleración del sistema? b) La tensión de la cuerda c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta. T1 T T T T W1 = m1 g W2 = m2 g m1 m2 ∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) m 2 g - T = m2 a (Ecuación 2) m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a 16 * 9,8 – 8 * 9,8 = (8 + 16) a 156,8 – 78,4 = 24 a 78,4 = 24 a a = 3,266 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) T = m1 a + m1 g T = 8 * 3,266 + 8 * 9,8 T = 26,128 + 78,4 T = 104,528 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528 T1 = 209,056 Newton 41
Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 20 newton con un Angulo de inclinación con respecto a la horizontal de 300. Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo no se mueva? T = 20 N 300 FR TX FR 300 TY T ∑ FX = 0 Pero: TX = T cos 30 = (20) * 0,866 W TX = 17,32 Newton ∑ FX = TX - FR = 0 ∑ FX = 17,32 - FR = 0 17,32 = FR Si el bloque A de la figura se encuentra en equilibrio, entonces Cual es el valor de la fuerza de rozamiento? W2 = 16 Newton T Bloque W2 Bloque W1 FR N T T F R1 T W1 = 24 Newton W2 = 16 N W1 = 24 N ∑ FX = 0 ∑ F X = T - FR = 0 T = FR (Ecuación 1) ∑ FY = 0 ∑ F Y = W1 - T = 0 W1 = T (Ecuación 2) Pero: W1 = 24 Newton T = 24 Newton Reemplazando en la ecuacion1 T = FR (Ecuación 1) FR = 24 Newton 42
Cual es el valor en Newton de la fuerza normal ejercida por una superficie plana sobre un objeto de 500 gr de masa. m = 0,5 Kg. N ∑ FY = 0 W–N=0 W = m*g W=N W = 0,5 * 9,8 N = 4,9 Newton W = 4,9 Newton Un resorte se encuentra en equilibrio. Si al clocarle un peso de 2 Newton se estira 5 cm. Cual es su constante de elasticidad? Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f. Y = 5 cm W= 2 Newton F= K*Y Pero: F = W = 2 Newton Y = 5 cm = 0,05 metros F 2 Newton K = = = 40 Y 0,05 metro Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f. F= K*Y Un bloque cuyo peso es 400 Newton se encuentra en reposo sobre un plano inclinado. Encuentre el valor de la fuerza normal y el valor de la fuerza de rozamiento. Bloque W FR FR N P1Y P1X 600 600 Bloque W = 400 Newton. W 43
Σ FX = 0 P1X - FR = 0 (Ecuación 1) P1X = FR Pero: P1X = P1 sen 60 P1X = 400 * (0,866) P1X = 346,4 kg. Pero: P1Y = P1 cos 60 P1Y = 400 * (0,5) P1Y = 200 Kg. Σ FY = 0 N - P1Y = 0 (Ecuación 2) N = P1Y N = 200Kg. P1X = FR Pero: P1X = 346,4 kg. FR = 346,4 kg. Que fuerza se debe ejercer sobre un cuerpo de 15 kg. de masa para que acelere a 4 m/seg2 F = m * a = 15 * 4 = 60 Newton. F = 60 Newton. Sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 5 newton y 12 newton que forman entre si un ángulo de 900 . Calcular la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la aceleración que experimentan? F1 = 5 N 900 FR F1 = 5 N F2 = 12 N FR = Fuerza resultante F2 = 12 N FR = (F1 )2 + (F2 )2 FR = (5)2 + (12 )2 = 25 + 144 = 169 FR = 13 Newton FR = m * a FR 13 m a = = = 1,625 m 8 seg 2 44
Sobre un cuerpo de 4 kg inicialmente en reposo actúa una fuerza resultante de 32 newton. Que velocidad lleva el cuerpo cuando ha recorrido 100 metros. VO = 0 VF = ? F = 32 Newton X = 100 metros F=m*a F 32 m a = = = 8 m 4 seg 2 El cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero. Vo = 0 Vf 2 = Vo2 + 2 a x Vf 2 = 2 a x VF = 2*a *x = 2 * 8 *100 = 1600 = 40 2 VF = 40 m/seg Sobre los bloques de la figura, se aplica una fuerza horizontal F = 60 Newton . Considerando que no existe rozamiento, calcular: a) aceleración del conjunto b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A? m1 TA m2 TB m3 F = 60 Newton TA TB aceleración del conjunto m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. mt = m1 + m2 + m3 mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg. F = mt * a F 60 m a = = = 5 mt 12 seg 2 m1 m2 m3 TA TA TB TB F = 60 N tensión de la cuerda A? Bloque m1 45
Σ FX = 0 F = m1 * a TA = m1 * a TA = 2 * 5 = 10 Kg. TA = 10 Kg. tensión de la cuerda B? Bloque m2 Σ FX = 0 F=m*a TB - TA = m * a Pero: TA = 10 Kg. m2 = 4 Kg. TB - 10 = m2 * a TB - 10 = 4 * 5 TB = 20 + 10 TB = 30 Newton Si entre los bloques y la superficie del problema anterior existe un coeficiente de rozamiento de 0,25. Calcular: a) aceleración del sistema b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A? m1 TA m2 TB m3 F = 60 Newton TA TB m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 N1 N3 N2 FR1 TA F = 60 N FR2 TA TB TB FR3 W1 = m1 g W2 = m2 g W3 = m3 g Bloque m1 Σ FY = 0 N1 – W1 = 0 N1 = W1 = m1 * g N1 = m1 * g = 2 * 10 = 20 Newton N1 = 20 Newton. FR1 = μ * N1 FR1 = 0,25 * 20 FR1 = 5 Newton. Σ FX = m1 * a TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1) 46
Bloque m2 Σ FY = 0 N2 – W2 = 0 N2 = W2 = m2 * g N2 = m2 * g = 4 * 10 = 40 Newton N2 = 40 Newton. FR2 = μ * N2 FR2 = 0,25 * 40 FR2 = 10 Newton. Σ FX = m2 * a TB – FR2 - TA = m2 * a (Ecuación 2) Bloque m3 Σ FY = 0 N3 – W3 = 0 N3 = W3 = m3 * g N3 = m3 * g = 6 * 10 = 60 Newton N3 = 40 Newton. FR3 = μ * N2 FR3 = 0,25 * 60 FR3 = 15 Newton. a) aceleración del conjunto m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. FR1 = 5 Newton. FR2 = 10 Newton. FR3 = 15 Newton. mt = m1 + m2 + m3 mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg. FX = mt * a Σ FX = F - FR1 - FR2 - FR3 FX = 60 – 5 – 10 – 15 = 30 Newton. FX = 30 Newton. FX 30 m a = = = 2,5 mt 12 seg 2 Resolviendo la ecuación 1 y la ecuación 2 hallamos TB TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1) TB – FR2 - TA = m2 * a (Ecuación 2) TB – FR2 – FR1 = m1 * a + m2 * a TB – 10 - 5 = a ( 2 + 4 ) pero a = 2,5 m/seg2 TB – 15 = 2,5 *(6) TB = 15 + 15 TB = 30 Newton c) tensión de la cuerda A? Reemplazando en la ecuación 1 47
TA – FR1 = m1 * a TA – 5 = 2 * 2,5 TA – 5 = 5 TA = 5 + 5 = 10 Newton. Un cuerpo de masa m = 1 kg. se empuja mediante una fuerza horizontal F de modulo 15 Newton , desde el pie de un plano inclinado áspero que forma un ángulo de 370 con la horizontal y cuyo coeficiente de roce cinético es 0,2. Si La fuerza F solo actúa durante 3 segundos, determine: a) La distancia que alcanza a subir por el plano ? b) El tiempo que demora en volver al punto de partida? X1 N FX X θ F FY F = 15 N FR θ 0 θ = 37 WY WX Datos: m = 1 kg F = 15 Newton θ = 370 μ = 0,2 W=mg t = 3 seg. a) La distancia que alcanza a subir por el plano ? Σ FX = m * a Σ FX = FX – FR – WX = m * a Pero: FX = F cos θ WX = W sen θ W=mg Σ FX = F cos θ - FR - m g sen θ = m * a F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1) Σ FY = 0 Σ F Y = N – FY – W Y = 0 Pero: FY = F sen θ WY = W cos θ W=mg Σ FY = N - F sen θ - m g cos θ = 0 N = F sen θ + m g cos θ Pero: FR = μ * N FR = μ *( F sen θ + m g cos θ ) FR = 0,2 ( 15 sen 37 + 1 * 10 cos 37) FR = 0,2 ( 9.0272 + 7,9863) FR = 0,2 ( 17,0135) FR = 3,4 Newton. Despejando la ecuación 1, hallamos la aceleración. F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1) 48
15 cos 37 - 3,4 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a 11,9795 – 3,4 - 6,0181 = a a = 2,56 m/seg2 durante los 3 seg. que el bloque sube por el plano inclinado. El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 3 seg. 1 X = V0 t + a t2 2 Pero: V0 = 0 arranca del reposo. 1 1 1 X = a t2 = 2,56 * (3)2 = 2,56 * 9 = 11,52 metros 2 2 2 X = 11,52 metros VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t = (2,56 m/seg2 ) 3 seg = 7,68 m/seg VF = 7,68 m/seg Como la fuerza de 15 Newton desaparece a los 3 seg. el cuerpo empieza a perder velocidad hasta detenerse. Por lo tanto es necesario hallar la nueva aceleración después de los 3 seg. Σ FX = m * a1 Σ FX = – FR – WX = m * a1 N Pero: WX = W sen θ W=mg Σ FX = - FR - m g sen θ = m * a1 - FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3) FR θ Σ FY = 0 Σ F Y = N – WY = 0 WY Pero: WY = W cos θ W=mg WX Σ FY = N - m g cos θ = 0 N = m g cos θ W=mg N = 1 * 10 cos 37 N = 7,9863 Newton. Pero: FR = μ * N FR = 0,2 * 7,9863 FR = 1,5972 Newton Reemplazando en la ecuación 3, hallamos la aceleración retardatriz, hasta que el cuerpo se detiene. - FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3) - 1,5972 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a1 - 1,5972 – 6,0181 = a1 a1 = - 7,6153 m/seg2 Enseguida se halla el tiempo hasta que el cuerpo se detiene VF = V0 – a2 t2 pero VF = 0 V0 = 7,68 m/seg V0 = a2 t2 49
V0 7,68 t1 = = = 1,01 seg a2 7,6153 Hallamos la distancia que recorre hasta detenerse 1 X1 = V0 (t1 ) + a 1 (t1 ) 2 2 Pero: V0 = 7,68 m/seg 1 1 X1 = 7,68 * 1,01 - 7,6153 (1,01) 2 = 7,7568 - 7,6153 = 7,7568 - 3,8841 = 3,8727 metros 2 2 X1 = 3,87 metros La distancia total es = X + X1 = 11,52 + 3,87 = 15,39 metros XT = 15,39 metros Hallar el tiempo de bajada. TB ? Pero: XT = 15,39 metros a1 = - 7,6153 m/seg2 V0 = 0 (parte del reposo hacia abajo). 1 X T = V0 (TB ) + a 1 (TB ) 2 2 1 XT = a 1 (TB ) 2 = 15,39 2 (TB )2 = 15,39 * 2 = 30,78 a1 7,6153 30,78 TB = 4,041 = 2,01 Seg. 7,6153 TB = 2,01 Seg. (Tiempo de bajada) El tiempo de subida TS = t + t1 = 3 + 1,01 = 4,01 seg. El tiempo que demora en volver al punto de partida = Tiempo de subida + tiempo de bajada El tiempo que demora en volver al punto de partida = 4,01 + 2,01 = 6,02 seg. Dos personas halan un cuerpo de 20 kg. apoyado en una mesa con fuerzas de 100 Newton y 200 Newton. Calcular la aceleración y el espacio recorrido en 6 seg. a) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en el mismo sentido. Σ F X = F1 + F 2 = m * a 100 + 200 = 20 * a M = 20 Kg 300 = 20 * a F1 = 100 N 300 m a = = 15 20 seg 2 F2 = 200 N El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg. 1 X = V0 t + a t2 2 50
Pero: V0 = 0 (arranca del reposo). 1 1 1 X = a t 2 = 15 * (6 )2 = 15 * 36 = 270 metros 2 2 2 X = 270 metros b) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en sentido contrario. Σ F X = - F1 + F 2 = m * a M = 20 Kg F1 = 100 N - 100 + 200 = 20 * a 100 = 20 * a a = 100 = 5 m F2 = 200 N 20 seg 2 El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg. 1 X = V0 t + a t2 2 Pero: V0 = 0 (arranca del reposo). 1 1 1 X = a t2 = 5 * (6)2 = 5 * 36 = 90 metros 2 2 2 X = 90 metros Un carro de masa 2000 kg viaja sobre un camino horizontal con una velocidad de 72 km/hora. Que fuerza ejercen los frenos si se detiene en una distancia de 25 metros. km 1000 m 1 hora m v = 72 * * = 20 hora 1 km 3600 seg seg V 2 = V 2 - 2 a X Pero: VF = 0 F 0 V 2 = 2 a X 0 m2 400 V2 0 = (20 ) = seg 2 2 m a = 8 2*X 2 * 25 50 m seg 2 F=m *a F = 2000 * 8 F = 16000 Newton Dos bloques de 3 Kg. y 2 kg están en contacto entre si sobre una superficie horizontal (el mayor a la derecha del menor). Si se aplica una fuerza de 20 Newton horizontal sobre el menor y hacia la derecha. Encontrar: a) Aceleración del sistema Bloque m1 mT = m1 + m2 = 2 + 3 = 5 Kg. mT = 5 kg. Bloque m2 F = mT * a F = 20 N 51
m kg F 20 Newton seg 2 m a = = = 4 = 4 mT 5 kg kg seg 2 b) La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques? Bloque m1 Σ FX = F – FC = m1 a Bloque m2 Bloque m1 donde FC es la fuerza de contacto. F – FC = m1 a FC FC = 20 - 2 * 4 FC F = 20 N FC = 12 Newton. PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 9 Dos bloques están en contacto como se muestra en la figura 5-14 en una mesa sin fricción. Se aplica una fuerza horizontal a un bloque. Si m1 = 1 kg. m2 = 2 kg. y F = 3 Newton. Encuentre la fuerza de contacto entre los dos bloques?. mT = m1 + m2 = 1 + 2 = 3 kg. m2 = 2 kg mT = 3 kg. m1 = 1 kg F = mT * a m kg F 3 Newton seg 2 m F=3N a = = =1 =1 mT 3 kg kg seg 2 La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques? Bloque m1 Σ FX = F – FC = m1 a donde FC es la fuerza de contacto. F – FC = m1 a FC = 3 - 2 * 1 Bloque m1 Bloque m2 FC = 1 Newton. FC F=3N FC 52
PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 10 Tres bloques están conectados como muestran en la figura 5 – 15 en una mesa horizontal sin fricción y se jalan a la derecha con una fuerza T3 = 60 Newton. Si m1 = 10 kg. m2 = 20 kg. m3 = 30 kg. Encuentre las tensiones TA y TB. TA TA TB TB T3 = 60 N m1 = 10 kg m2 = 20 kg Bloque m2 Bloque m3 Bloque m1 TA TB 3 = 60 kg m TB T3 TA mT = m1 + m2 + m3 = 10 + 20 + 30 = 60 kg. mT = 60 kg. F = mT * a m kg F 60 Newton seg 2 m a = = =1 =1 mT 60 kg kg seg 2 Bloque m1 Σ FX = m1 * a TA = m1 * a (Ecuación 1) TA = 10 * 1 = 10 Newton Bloque m2 Σ FX = m2 * a TB - TA = m2 * a (Ecuación 2) Reemplazando el valor de TA = 10 N, se halla TB TB - T A = m 2 * a TB - 10 = 20 * 1 TB = 20 + 10 = 30 TB = 30 Newton. 53
PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 11 Una esfera cargada de masa 3 * 10-4 kg. esta colgada de un hilo. Una fuerza eléctrica actúa horizontalmente sobre la esfera, de tal manera que el hilo hace un ángulo de 370 con la vertical cuando queda en reposo. Encuentre: a) La magnitud de la fuerza eléctrica. b) La tensión del hilo? Esfera 370 T TY T Fuerza eléctrica 530 Fuerza eléctrica 530 TX P=m*g P=m*g FE = Fuerza eléctrica Σ FX = 0 Σ FX = FE – TX = 0 FE = TX Pero: TX = T * cos 53 Σ FY = 0 Σ FY = TY – m g = 0 TY = m g Pero: TY = T * sen 53 Remplazando se halla la tensión del hilo. T * sen 53 = m g ⎛ 3 *10 - 4 ⎞ * 9,8 ⎜ ⎟ m g ⎝ ⎠ 29,4 * 10 - 4 T= = = = 3,681 * 10 - 3 Newton sen 53 0,7986 0,7986 T = 3,681 * 10-3 Newton Remplazando se halla la magnitud de la fuerza eléctrica FE = TX = T * cos 53 FE = (3,681 * 10-3 Newton) * cos 53 FE = (3,681 * 10-3 Newton) * 0,6018 FE = 2,215 * 10-3 Newton 54
PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 12 Calcúlese la aceleración inicial ascendente de un cohete de masa 1,3 * 104 kg. Si el empuje inicial hacia arriba de su motor es 2,6 * 105 Newton. Puede ud. Omitir el peso del cohete ( la atracción hacia debajo de la tierra sobre el?) Σ FY = 0 Σ FY = F – m g = m * a F = 2,6 * 105 N 2,6 * 105 Newton. – (1,3 * 104 kg.) * 9,8 = (1,3 * 104 kg.) * a 2,6 * 105 – (12,74 * 104 kg.) = (1,3 * 104 kg.) * a 260000 – 127400 = 132600 = (1,3 * 104 kg.) * a 132600 m a = = 10,2 P=m*g 1,3 * 10 4 seg 2 a = 10,2 m/seg2 El peso del cohete no se puede omitir por que es una fuerza que se opone al despegue del cohete. PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 13 Un bloque de masa m1 = 43,8 kg. en un plano inclinado liso que tiene un ángulo de 300 esta unido mediante un hilo que pasa por una pequeña polea sin fricción a un segundo bloque de masa m2 = 29,2 kg que cuelga verticalmente (Figura 5 – 17). a) Cual es la aceleración sobre cada cuerpo? Bloque m2 b) Cual es la tensión en la cuerda? Bloque m1 T T T m1 = 43,8 kg T P1X P1Y m2 = 29,2 kg 300 300 P2 = m2 * g P1 = m1 * g Bloque m1 Σ FX = m1 * a T – P1X = m1 * a (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 Reemplazando en la ecuación 1 tenemos: T – m1 * g * sen 30 = m1 * a (Ecuación 2) Bloque m2 Σ FY = m2 * a P2 - T = m2 * a P2 = m2 * g 55
Reemplazando m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 3) Resolviendo la ecuación 2 y ecuación 3 , hallamos la aceleración del sistema. T – m1 * g * sen 30 = m1 * a (Ecuación 2) m2 * g -T = m2 * a (Ecuación 3) m2 * g – m1 * g * sen 30 = m1 * a + m2 * a m2 g – m1 g sen 30 = a (m1 + m2) m 2 g - m1 g sen 30 29,2 * 9,8 - 43,8 * 9,8 * 0,5 286,16 - 214,62 71,54 m a = = = = = 0,98 m1 + m 2 43,8 + 29,2 73 73 seg 2 a = 0,98 m/seg2 Cual es la tensión en la cuerda? Reemplazando m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 3) 29,2 * 9,8 – T = 29,2 * 0,98 T = 286.16 – 28,616 T = 257,54 Newton DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 20 Remítase a la figura 5 -5. Sea la masa del bloque 29,2 Kg. (2 slugs) y el ángulo θ = 300 . a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza normal que obra en el bloque. b) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción T N m = 29,2 kg T P1X P1Y 300 300 P1 = m1 * g Bloque m Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 Reemplazando en la ecuación 1 tenemos: T – m1 * g * sen 30 = 0 56
T = m1 g sen 30 T = 29,2 * 9,8 * 0,5 T = 143,08 Newton. Σ FY = 0 N – P1Y = 0 N = P1Y Pero: P1Y = P1 * cos 30 P1 = m1 * g P1Y = m1 * g * cos 30 N = P1Y = m1 g cos 30 N = 29,2 * 9,8 * 0,866 N = 247,82 Newton Al cortarse la cuerda, el bloque descenderá con una aceleración. Σ FX = m a P1X = m a Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 P1X = m a m1 * g * sen 30 = m a g * sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg2 DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 21 Remítase a la figura 5 – 7 a. Sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg. Encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción. T m1 T N1 T T m2 g m2 m1 g Bloque m1 Σ FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) 57
Bloque m2 Σ FY = m2 * a P2 - T = m2 * a P2 = m2 * g m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1) Sumando las ecuaciones, hallamos la aceleración. T = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1) m2 g = m1 a + m2 a m2 g = (m1 + m2 ) a m2 g 0,5 * 9,8 4,9 a= = = m1 + m 2 1 + 0,5 1,5 a = 3,26 m/seg2 DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 22 Remítase a la figura 5 -8 a. sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg Encuentre la aceleración de los dos bloques y la tensión de la cuerda T1 T T T W1 = m1 g W2 = m2 g T m2 m1 ∑ FY = m1 a m1 g - T = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a T - m2 g = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones m1 g - T = m1 a (Ecuación 1) T - m2 g = m2 a (Ecuación 2) m 1 g – m 2 g = m1 a + m2 a m1 g – m2 g = (m1 + m2 ) a 58
1 * 9,8 – 0,5 * 9,8 = (1 + 0,5) a 9,8 – 4,9 = 1.5 a 4,9 = 1,5 a a = 3,26 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) T - m2 g = m2 a T - 0,5 * 9,8 = 0,5 * 3,26 T – 4,9 = 1,63 T = 4,9 + 1,63 T = 6,53Newton Un objeto de masa 5 kg tiene una aceleración de 8 m/seg2 en la dirección X y una aceleración de 6 m/seg2 en la dirección Y. Cual es la fuerza total que actúa sobre el? m aR = (a X )2 (a Y )2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 10 seg 2 F = m * aR aY = 6 m/seg2 aR F = 5 * 10 = 50 Newton F = 50 Newton aX = 8 m/seg2 Una fuerza de 6 Newton empuja un cuerpo de 3 kg. Cual es la aceleración del cuerpo. Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo? F=m*a V0 = 0 m m1 = 3 kg kg F 6 Newton seg 2 m a = = = 2 = 2 m 3 kg kg seg 2 F=6N t = 10 seg Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo? 1 X = V0 + a (t )2 pero : V0 = 0 2 1 1 X = a (t )2 = * 2 * (10 )2 = 100 metros 2 2 X = 100 metros 59
Un bloque de masa 2 kg. Parte con velocidad de 10 m/seg sobre una superficie rugosa horizontal y cuando recorre 16 metros, su velocidad es 6 m/seg. Calcular la aceleración del bloque y el coeficiente de rozamiento? m = 2 kg V0 = 10 m/seg V0 = 10 m/seg VF = 6 m/seg X = 16 metros VF = 6 m/seg X = 16 m La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. (VF )2 = (V0 )2 - 2 a X Despejamos la aceleración 2aX = (V0 )2 - (VF )2 (V0 )2 - (VF )2 (10)2 - (6 )2 100 - 36 64 m a = = = = = 2 2 X 2 * 16 32 32 seg 2 a = μ * g a 2 μ = = = 0,2 g 10 μ = 0,2 Cual es la distancia que recorre un auto con velocidad de 72 Km/hora hasta detenerse. Si el coeficiente de rozamiento entre las llantas y la carretera es de 0,4. km 1 hora 1000 metros m V = 72 * * = 20 hora 3600 seg 1 km seg V0 = 20 m/seg. a = μ * g a = 0,4 * 10 = 4 m/seg2 a = 4 m/seg2 La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. Datos: V0 = 20 m/seg. a = 4 m/seg2 VF = 0 X = Distancia recorrida. (VF )2 = (V0 )2 - 2 a X 0 = 202 – 2 * 4 * X 0 = 400 – 8 X 8X = 400 X = 50 Metros. El sistema de la figura esta formado por los bloques A, B, C ligados por las cuerdas de masa despreciable e inextensibles. La cuerda que une los cuerpos A y B, pasa por una polea de masa 60
y roce despreciable. El coeficiente de roce cinético entre el bloque A y el plano es 0,5 y la masa de A y B es de 2 kg. c/u. y el ángulo del plano inclinado es de 300. Calcule a) El valor de la masa del bloque C para que el bloque A suba con aceleración de modulo 2 m/seg2. b) La tensión que actúa sobre el bloque C? c) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8. N T T mA = 2 kg WAX T T B FR TC A mB = 2 300 WAY TC WC = mC g 300 mc WB + WC WA Bloque A Σ FX = mA * a T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1) Pero: WAX = WA sen 30 WA = mA * g WAX = mA g sen 30 Σ FY = 0 N - WAY = 0 Pero: WAY = WA cos 30 WA = mA * g WAY = mA g cos 30 N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 FR = μ N FR = μ (mA g cos 30) Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg. FR = μ (mA g cos 30) FR = 0,5 (2 * 10 cos 30) FR = 8,66 Newton WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton BLOQUE B + BLOQUE C Σ FY = mB * a + mC * a (Por que existe una aceleración) WB + WC – T = mB * a + mC * a Pero: WB = mB * g WC = mC * g mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2) 61
Resolviendo la ecuación 1 con la ecuación 2, hallamos mC T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1) mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2) – FR – WAX + (mB g) + (mC g) = (mA * a) + (mB a) + (mC a) - 8,66 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = (2 * 2) + (2 * 2) + 2 mC - 18,66 + 20 + 10 mC = 8 + 2 mC 1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC 8 mC = 8 - 1,34 8 mC = 6.66 mC = 0,83 KG c) La tensión que actúa sobre el bloque C? BLOQUE C Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración) WC – TC = mC * a Pero: WC = mC * g mC g – TC = mC a (Ecuación 3) mC g - mC a = TC (0,83 * 10) – (0,83 * 2) = TC 8,3 – 1,66 = TC TC = 6,64 Newton d) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8. (El sistema esta en reposo, con tendencia a deslizar hacia la derecha, por lo tanto la fuerza de rozamiento esta hacia la izquierda y se opone al movimiento) Σ FX = 0 T - FR2 – WAX = 0 (Ecuación 4) Pero: WAX = WA sen 30 WA = mA * g WAX = mA g sen 30 WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton Σ FY = 0 N - WAY = 0 Pero: WAY = WA cos 30 WA = mA * g WAY = mA g cos 30 N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 62
FR2 = μE N μE = COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTATICO = 0,8 FR2 = μE (mA g cos 30) FR2 = 0,8 (2 *10 cos 30) FR2 = 13,85 Newton BLOQUE B + BLOQUE C Σ FY = 0 (Por que el sistema esta en equilibrio) W B + WC – T = 0 Pero: WB = mB * g WC = mC * g mB g + mC g – T = 0 (Ecuación 5) Resolviendo la ecuación 4 con la ecuación 5, hallamos mC T – FR2 – WAX = 0 (Ecuación 4) m B g + mC g – T = 0 (Ecuación 5) Bloque A Bloque B – FR2 – WAX + (mB g) + (mC g) = 0 N Bloque C - 13,85 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = 0 TB TB - 23,85 + 20 + 10 mC = 0 TC FR WAY - 3,85 + 10 mC = 0 300 TC 10 mC = 3,85 WC = mC g mC = 0,385 kg. WA WB = mB g Otra forma de resolver el problema Bloque A TB TB Σ FX = mA * a mA = 2 kg TB – FR – WAX = mA * a A B Pero: WAX = WA sen 30 WA = mA * g mB = 2 WAX = mA g sen 30 Σ FY = 0 TC N - WAY = 0 C 300 mc Pero: WAY = WA cos 30 WA = mA * g WAY = mA g cos 30 N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 FR = μ N FR = μ (mA g cos 30) 63
Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg. FR = μ (mA g cos 30) FR = 0,5 (2 * 10 cos 30) FR = 8,66 Newton WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton Reemplazando TB – FR – WAX = mA * a TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA * a (Ecuación 1) TC BLOQUE B Σ FY = mB * a (Por que existe una aceleración) WB + TC – TB = mB * a Pero: WB = mB * g m B g + TC – T B = m B a (Ecuación 2) BLOQUE C Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración) WC – TC = mC * a Pero: WC = mC * g mC g – TC = mC a (Ecuación 3) Sumando las 3 ecuaciones, se simplifican las tensiones y se halla mC TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA a (Ecuación 1) m B g + TC – T B = m B a (Ecuación 2) m C g – TC = m C a (Ecuación 3) – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 + mB g + mC g = mA a + mB a + mC a g (– μ mA cos 30 – mA sen 30 + mB + mC ) = a (mA + mB + mC) 10 (- 0,5 * 2 cos30 – 2 sen 30 + 2 + mC) = a (2 + 2 + mC) 10 (- 0,866 – 1 + 2 + mC ) = 2 (4 + mC) 1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC 10 mC - 2 mC = 8 + 1,34 8 mC = 6,66 6,66 mC = = 0,832 Kg 8 64
Un bloque de 10 kg parte del reposo, arriba de un plano inclinado de longitud 4 metros y de altura 0,8 metros. Que tiempo emplea el bloque para recorrer el plano. (No hay rozamiento). 0,8 sen θ = = 0,2 4 sen θ = 0,2 θ = arc sen 0,2 m = 10 kg V0 = 0 θ = 11,530 a = g * senθ a = 10 * sen 11,53 X = 4 metros 0,8 metros a = 2 m/seg2 Para hallar el tiempo, se despeja: θ 1 X = V0 + a (t )2 pero : V0 = 0 2 1 X = a (t )2 2 2 * X = a * t2 2X 2*4 t= = = 4 = 2 seg. a 2 t = 2 seg. 0 VF = V0 + a * t VF = a * t VF = 2 * 2 VF = 4 m/seg En la parte superior de una calle inclinada a 300 y de longitud de 90 metros. Se deja libre un carrito de masa de 8 kg. Calcular la aceleración del carrito al dejarlo libre y el tiempo empleado en recorrer el plano?. Datos: θ = 300 a = g * senθ V0 = 0 X = 90 metros a = 10 * sen 30 a = 5 m/seg2 Para hallar el tiempo, se despeja: 1 X = V0 + a (t )2 pero : V0 = 0 300 2 1 X = a (t )2 2 2 * X = a * t2 2X 2 * 90 t= = = 36 = 6 seg. a 5 65
t = 6 seg. Con que aceleración baja un cuerpo por un plano inclinado de 300. No hay rozamiento? Datos: θ = 300 PX = m g sen 30 Σ FX = m a m a = m g * senθ PX a = g sen 30 PY a = 10 * sen 30 30 0 a = 5 m/seg2 300 Un bloque se desliza por un plano inclinado liso con aceleración de 6,4 m/seg2. Que ángulo forma el plano con la horizontal? Datos: a = 6,4 m/seg2 Σ FX = m a m a = m g * senθ PX a = g * senθ PY a 6,4 sen θ = = = 0,64 g 10 sen θ = 0,64 θ0 θ = arc sen 0,64 θ = 39,790 Un cuerpo de masa m = 16 kg. se encuentra sobre una superficie horizontal áspera cuyos coeficientes de roce estático y cinético son respectivamente 0,3 y 0,25. Si sobre el cuerpo se aplica una fuerza horizontal F, durante 4 seg solamente. Determine: a) La fuerza neta sobre el cuerpo si F = 45 Newton. b) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento. c) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton Σ FY = 0 N–W=0 N=W=m*g N = 16 * 10 = 160 Newton N = 160 Newton Pero: FR EST = μEST * N N m1 = 16 kg V0 = 0 FR EST = 0,3 * 160 FR EST F = 45 N FR EST = 48 Newton F = 45 N Σ FX = m * a t = 4 seg Σ FX = F – FR W=m*g EST Como F = 45 Newton y la Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque es de 48 Newton, Se puede decir que la fuerza neta sobre el cuerpo es cero. Se necesita que F sea mayor que la fuerza de rozamiento para que exista desplazamiento del bloque y por lo tanto fuerza neta sobre el cuerpo. 66
c) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento. Si la F = 48 Newton, el bloque esta en equilibrio. Si F > FR EST se puede decir que el bloque se desplaza. d) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton N FR cin F = 50 N V0 = 0 VF = V01 = 2,5 m/seg2 m1 = 16 kg VF1 = 0 F = 50 N t = 4 seg W=m*g Σ FY = 0 X X1 N–W=0 N=W=m*g A partir de los 4 seg, se quita la F = 50 N. N = 16 * 10 = 160 Newton Es necesario encontrar la velocidad en esta N = 160 Newton posición y la distancia que recorre hasta FR cin = μ cin * N detenerse. FR cin = 0,25 * 160 FR cin = 40 Newton Σ FX = m * a Σ FX = F – FR cin = m * a 50 – 40 = 16 * a 10 = 16 a 10 m a = = 0,625 16 seg 2 a = 0,625 m/seg2 (Esta es la aceleración que tiene el bloque, mientras se ejerce la fuerza de 50 Newton.) Ahora se calcula la velocidad final que alcanza el bloque cuando se le retira F = 50 Newton, que es la misma velocidad inicial para el ultimo desplazamiento del bloque. 0 VF = V0 + a * t pero a = 0,625 m/seg2 t = 4seg. VF = a * t VF = 0,625 *4 VF = 2,5 m/seg La ecuación tiene signo (+) por que el cuerpo va ganando velocidad, con el tiempo. Datos: V0 = 0 m/seg. a = 0,625 m/seg2 VF = 2,5 m/seg. X = Distancia recorrida. 0 (VF )2 = (V0 )2 + 2 a X (2,5)2 = 2 * 0,625 * X 6,25 = 1,25 X X = 6,25/1,25 X = 5 Metros. 67
Cuando se le retira F = 50 newton, el bloque empieza a perder la velocidad hasta que la vF1 = 0, Es necesario encontrar la nueva aceleración para este movimiento. FROZAMIENTO CINETICO = m * a1 Pero: FROZAMIENTO CINETICO = μ cin * N = μ cin * mg = 0,25 * 160 FROZAMIENTO CINETICO = 40 Newton. FROZAMIENTO CINETICO = m * a1 40 = 16 * a1 40 m a1 = = 2,5 16 seg 2 a1 = 2,5 m/seg2 La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. Datos: VF1 = 0 m/seg. a = 2,5 m/seg2 V01 = 2,5 m/seg. X1 = Distancia recorrida. 0 (VF )2 = (V0 )2 - 2 a X 0 = (2,5)2 – 2 * 2,5 * X 0 = 6,25 - 5 X 5X = 6,25 X = 6,25/5 X = 1,25 Metros. La distancia total recorrida por el bloque = X +X1 = 1,25 + 5 = 6,25 Metros. Un cuerpo de 6 kg, se lanza hacia arriba en la parte inferior de un plano inclinado 300 y sube 30 metros hasta detenerse. Con que velocidad se lanzo y el tiempo empleado en alcanzar este punto. Σ FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen 30 W=mg WX = m g sen 30 WX WY m g sen 30 = m a g sen 30 = A 300 a = 10 sen 30 X = 30 metros a = 5 m/seg2 W 0 (VF) = (V0)2 – 2 * a * X 2 2 a x = (V0)2 300 m V0 = 2 a X = 2 * 5 * 30 = 300 = 17,32 seg 0 VF = V0 – a * t 68
V0 = a * t V 17,32 t= 0 = = 3,46 seg. a 5 PROBLEMA DE REPASO Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin fricción y el sistema esta en equilibrio, determine (en función de m, g y θ). a) La masa M b) Las tensiones T1 y T2. Bloque 2m Bloque m N1 N2 T2 T2 m W1X T1 T1 T1 W2X T2 T1 W1Y W2Y 2m θ θ M θ W1 = 2m*g W2 = m*g Bloque 2m ΣFx = 0 T1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen θ Reemplazando T1 – W1X = 0 T1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 1) Bloque m ΣFx = 0 T2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m*g W2X = (m*g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = 0 T2 - T1 – (m*g) sen θ =0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) T2 - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 2) 69
T2 – (2 m * g) sen θ – (m * g) sen θ =0 T2 – (3 m * g) sen θ = 0 T2 = (3 m*g) sen θ T1 – W1X = 0 T1 = W1X = (2 m * g) sen θ T1 = (2 m*g) sen θ Bloque M Bloque M T2 ΣFY = 0 T2 – W3 = 0 T 2 = W3 W3 = M * g W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3 m * g) sen θ T2 = M * g M * g = (3m*g) sen θ a) La masa M M = 3 m sen θ Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleración de cada bloque. d) Las tensiones T1 y T2. Bloque m Bloque 2m T2 N2 N1 T2 m T1 T1 T2 W1X T1 W2X 2m T1 W2Y W1Y θ M θ θ W2 = m*g La masa es M = 3 m sen θ W1 = 2m*g El problema dice que se duplique la masa M = 2 * (3 m sen θ) M = 6 m sen θ Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque 2m ΣFx = 2 m * a T1 – W1X = 2 m * a 70
Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2 m * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 – W1X = 0 T1 – (2 m * g) sen θ = 2 m * a (Ecuación 1) Bloque m ΣFx = m * a T2 - T1 – W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m*g W2X = (m * g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = m * a T2 - T1 – (m * g) sen θ = m * a (Ecuación 2) T2 Bloque M Bloque M ΣFY = 6 m sen θ * a W3 - T2 = 6 m sen θ * a W3 = 6 m sen θ * g W3 = 6 m sen θ * g 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2m * g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T2 - T1 – (m*g) sen θ = m * a (Ecuación 2) 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) – (2m*g) sen θ – (m *g) sen θ + 6 m sen θ * g = 2m * a + m * a + 6 m sen θ * a – (3m*g) sen θ + 6 m sen θ * g = 3m * a + 6 m sen θ * a 3 m g sen θ = 3 m * a + 6 m sen θ * a m g sen θ = m * a + 2 m sen θ * a a + 2 sen θ * a = g sen θ a(1 + 2 sen θ) = g sen θ g senθ a= 1 + 2 senθ Despejando la ecuación 3 para hallar T2 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) 6 m sen θ * g - 6 m sen θ * a = T2 6 m sen θ ( g - a ) = T2 71
g senθ Pero: a = 1 + 2 senθ ⎡ g senθ ⎤ 6 m sen θ ⎢g - = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥ ⎦ Factorizando g ⎡ senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢1 - = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥ ⎦ ⎡ 1 + 2senθ - senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢ ⎥ = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎦ ⎡ 1 + senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢ = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥⎦ ⎡ (6 m g sen θ ) * (1 + senθ ) ⎤ T2 = ⎢ ⎥ ⎣ 1 + 2 sen θ ⎦ Despejando la ecuación 1 para hallar T1 T1 – (2m*g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T1 = 2m * a + 2m*g sen θ g senθ Pero: a = 1 + 2 senθ ⎛ g sen θ ⎞ T1 = 2 m ⎜ ⎟ + 2 m g senθ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ ⎛ (2 m ) g sen θ ⎞ T1 = ⎜ ⎟ + 2 m g senθ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ ⎛ 2 m g sen θ + (2 m g sen θ )(1 + 2senθ ) ⎞ T1 = ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ ⎛ 2 m g sen θ + (2 m g sen θ ) + ⎛ 4 m g sen 2θ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ T1 = ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ 1 + 2 sen θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 m g sen θ + ⎛ 4 m g sen 2θ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ T1 = ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ 1 + 2 sen θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Factorizando ⎛ 4 m g sen θ ( 1 + sen θ ) ⎞ T1 = ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ 72
Si el coeficiente de fricción estática entre m y 2m y el plano inclinado es μS y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor mínimo de M. f) El valor máximo de M. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Para hallar el valor mínimo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque m Bloque 2m Bloque M FR2 T2 FR1 N2 T2 N1 T1 W1X W2X T1 W3 = M * g W2Y W1Y θ θ Bloque 2m ΣFx = 0 W2 = m*g T1 + FR1 – W= 2m*g W1 1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 + FR1 – W1X = 0 T1 + FR1 – (2m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2) Pero: FR1 = μS * N1 (Ecuación 3) FR1 = μS *2 m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos T1 + FR1 – (2m * g) sen θ = 0 T1 + μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) Bloque m ΣFx = 0 T2 + FR2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m * g) sen θ ΣFY = 0 73
N2 – W2Y = 0 W2Y = W2 cos θ Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 5) Pero: FR2 = μS * N2 (Ecuación 6) FR2 = μS * m g cos θ Reemplazando la ecuación 5 en la ecuación 4T2 + FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 + μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) Bloque M ΣFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 + μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 + μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ + μS * m g cos θ – (m*g) sen θ +M*g =0 μS *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ +M*g =0 M * g = 3 m g sen θ - 3 μS m g cos θ M = 3 m sen θ - 3 μS m cos θ M = 3 m (sen θ - μS cos θ ) El valor mínimo de M Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ - μS cos θ ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mínimo 74
f) El valor máximo de M. Para hallar el valor máximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque m Bloque 2m Bloque M N2 T2 N1 T2 T1 W1X W2X T1 W3 = M * g FR1 W2Y W1Y FR2 θ θ W2 = m*g W1 = 2m*g Bloque 2m ΣFx = 0 T1 - FR1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen θ Reemplazando T1 - FR1 – W1X = 0 T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 1) ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2) Pero: FR1 = μS * N1 (Ecuación 3) FR1 = μS *2 m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 T1 - μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) Bloque m ΣFx = 0 T2 - FR2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m*g) sen θ ΣFY = 0 75
N2 – W2Y = 0 W2Y = W2 cos θ Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 5) Pero: FR2 = μS * N2 (Ecuación 6) FR2 = μS * m g cos θ Reemplazando la ecuación 5 en la ecuación 4 T2 - FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 - μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) Bloque M ΣFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 - μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 - μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) - μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ - μS * m g cos θ – (m * g) sen θ +M*g =0 - μS *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ +M*g =0 M * g = 3 m g sen θ + 3 μS m g cos θ M = 3 m sen θ + 3 μS m cos θ M = 3 m (sen θ + μS cos θ ) El valor máximo de M Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ + μS cos θ ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mínimo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. 76
CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 1 Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/seg2 La misma fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/seg2 . a) Cual es el valor de la proporción m1 / m2 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. a) Por la acción de la segunda ley de newton, tenemos: a1 = 3 m/seg2 a2 =1 m/seg2 F = m1 * a1 (Ecuación 1) F = m2 * a2 (Ecuación 2) Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones. m1 * a1 = m2 * a2 m1 a 2 1 = = m2 a1 3 m1 1 = m2 3 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. MT = m1 + m2 F = (m1 + m2) * a F a = (Ecuación 3) m1 + m 2 Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3 F m1 = 3 F = m2 * a2 = m2 * 1 F m2 = = F 1 Reemplazando m1 y m2 en la ecuación 3, tenemos: F F F 3F 3 a = = = = = m1 + m 2 F 4F 4F 4 + F 3 3 a = ¾ m/seg2 a = 0,75 m/seg2 77
CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 2 Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i -3j )N, y F3 = (-45i) N actúan sobre un objeto para producir una aceleración de magnitud 3,75 m/seg2 a) Cual es la dirección de la aceleración? ΣF = m * a ΣF = F1 + F2 + F3 ΣF = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a Donde a representa la dirección de a ΣF = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a θ - 42 F = (- 42)2 + (- 1)2 = 1765 = 42 Newton -1 F = 42 Newton -1 tg θ = = 2,3809 * 10 - 2 - 42 θ = arc tg 2,3809 * 10-2 θ = 181,360 42 = = m * (3,75 ) a La aceleración forma un ángulo de 1810 con respecto al eje x. b) Cual es la masa del objeto? 42 = m * (3,75 ) 42 m= = 11,2 Kg 3,75 c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10 seg? VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a = 3,75 m/seg2 VF = a * t = 3,75 m/seg2 * 10 seg θ = 181 0 VX VF = 37,5 m/seg 1810 VY F V = 37,5 m/seg d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg. VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 4 Una partícula de 3 kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la acción de una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza? m = 3 Kg. 78
X = 4 metros T = 2 seg. 1 2 X = V0 t + a t pero; V0 = 0 2 1 2 X= at 2 2 X = a t2 2 X 2*4 8 m a= = = =2 t2 22 4 seg 2 F=m*a F = 3 * 2 = 6 Newton. CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 26 Encuentre la tensión en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa de las cuerdas. 400 500 T2 T1 T2Y T1Y 400 500 T1 T2 T1X T2X T3 m = 5 Kg W=m*g m = 5 Kg T3 Σ FX = 0 Σ FX = T2X – T1X = 0 T2X = T1X Pero: T2X = T2 cos 50 T1X = T1 cos 40 Reemplazando T2X = T1X T2 cos 50 = T1 cos 40 T2 0,6427 = T1 0,766 T 0,766 T2 = 1 = T1 1,1918 0,6427 T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1) 79
Σ FY = 0 Σ FX = T2Y + T1Y - W = 0 Pero: T2Y = T2 sen 50 T1y = T1 sen 40 W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton Reemplazando T2Y + T1Y - W = 0 T2 sen 50 + T1 sen 40 – 49 = 0 T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2. pero: T2 = 1,1918 T1 T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49 1,5556 T1 = 49 49 T1 = = 31,5 Newton 1,5556 Se reemplaza en la ecuación 1 T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1) T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton T2 = 37,54 Newton. 600 T1 T1 T1Y T2 600 T3 T1X T2 T3 m = 10 Kg T3 Σ FX = 0 Σ FX = T2 – T1X = 0 T2 = T1X Pero: T1X = T1 cos 60 80
Reemplazando T2 = T1X T2 = T1 cos 60 T2 = T1 0,5 T T1 = 2 (Ecuación 1) 0,5 Σ FY = 0 Σ FY = T1Y - W = 0 Pero: T1y = T1 sen 60 W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton Reemplazando T1Y - W = 0 T1 sen 60 – 98 = 0 T1 sen 60 = 98 (ecuación 2) 98 98 T1 = = = 113,16 Newton sen 60 0,866 Reemplazando en la ecuación 1 T 113,16 T1 = 2 = = 56,58 Newton 0,5 0,5 CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 29 La distancia entre dos postes de teléfono es 45 metros. Un pájaro de 1 kg se posa sobre cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,18 metros. Cual es la tensión en el cable (Ignore el peso del cable). 45 metros 22.5 metros 22.5 metros θ θ 0,18 m m = 1 Kg TX TX W=m*g TY TY 0,18 Tg θ = = 0,008 22,5 m = 1 Kg θ = arc tg 0,008 W=m*g 81
θ = 0,45830 Σ FY = 0 Σ F Y = T Y + TY - W = 0 Pero: Ty = T sen 0,4583 W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8 9,8 9,8 T= = = 612,88 Newton. 2 sen 0,4583 1,6 *10 - 2 CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 36 La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en dirección al Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 Newton al este. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 270 kg. Cuales son la magnitud y dirección de su aceleración? FR 390 N θ 180 N FR = (390)2 + (180)2 390 Tg θ = = 2,1666 180 θ = arc tg 2,1666 θ = 65,220 FR = m * a Pero: m = 270 Kg. F 430 m a = R = = 1,59 m 270 seg 2 SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 37 Una fuerza horizontal FX actúa sobre una masa de 8 kg.. a) Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?. b) Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. 82
c) Grafique la aceleración de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 100N. y FX = 100N a m2 = 8 kg Bloque m1 Bloque m2 T FX T N T T FX m1 Bloque m1 Σ FY = m1 a P1 = m1 g P2 = m2 g Σ FY = T – P1 = m1 a T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = m2 a FX - T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T – m 1 g = m1 a (Ecuación 1) F X - T = m2 a (Ecuación 2) - m1 g + FX = m1 a + m2 a a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX 10 a + 19,6 = FX Si a = 0 FX = 19,6 Newton, es decir es la mínima fuerza necesaria para que el cuerpo se mantenga en equilibrio. Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la acción de la fuerza FX Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. Despejando la aceleración en la ecuación 1 T – m1 g = m1 a T – 2g = 2 a T - 2g a= 2 Despejando la aceleración en la ecuación 2 F X - T = m2 a FX - T = 8 a FX - T a = 8 Igualando las aceleraciones. 83
T - 2g FX - T = 2 8 8 * (T – 2g) = 2 * (FX – T) 8T – 16g = 2FX - 2T 8T + 2T = 2FX + 16g 10T = 2FX + 16g 2Fx + 16g 1 T = = (FX + 8g ) 10 5 F 8g T = X + 5 5 Si T = 0 FX 8g = - 5 5 FX = - 8 g SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 40 Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la aceleración del bloque? a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente? V0 = 0 N WX X = 2 metros WY 150 θ = 150 W=mg Σ FY = 0 WY – N = 0 WY = N Pero: WY = W cos θ W cos θ = N Σ FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen θ 84
W sen θ = m a Pero: W = m g m g sen θ = m a g sen θ = a a = 9,8 * sen 15 = 9,8 * 0,258 a = 2,536 m/seg2 0 2 2 (VF) = (V0) – 2 * a * X 2 a x = (VF)2 m VF = 2 a X = 2 * 2,536 * 2 = 3,18 seg SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 47 Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 – 47). Si el coeficiente de fricción durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensión en la cuerda? Bloque m1 Bloque m2 m1 = 6,2 Kg. N1 T T FR T m2 = 8,5 Kg. W1 = m1 g W2 = m2 g Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton N1 = 60,76 Newton FR = μ N1 = 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton. FR = 12,152 Newton. Σ FX = m1 * a T - FR = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = m 2 * a m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto: 85
T - FR = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) - F R + m 2 * g = m1 * a + m 2 * a a (m1 + m2) = - FR + m2 * g Pero: FR = 12,152 Newton. m1 = 6,2 Kg. m2 = 8,5 Kg. a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8) a (14,7) = -12,152 + 83,3 a (14,7) = 71,148 71,148 m m a = = 4,84 14,7 seg 2 seg 2 a = 4,84 m/seg2 Para hallar la tensión de la cuerda se reemplaza en la ecuación 2. m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) m2 * g - m2 * a = T T = 8,5 * 9,8 – 8,5 * 4,84 = 83,3 – 41,14 = T = 42,16 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 83 Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura 5 – 83 con el propósito de que los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro? Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin fricción (sugerencia: Observe que la fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1. Bloque m 2 Bloque m1 T N1 m1 T N2 T T N2 M m2 F W1 = m1 g W2 = m2 g a = aceleración Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto, es decir el bloque m1 tiene una aceleración igual a la del carro) Σ FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro impide que la masa m2 se desplace) 86
m2 * g – T = 0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto: T = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g – T = 0 (Ecuación 2) m2 * g = m1 * a m2 * g a = m1 Todos los bloques unidos MT = (M + m1 + m2) (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto) Σ FX = mT * a F = mT * a F = (M + m1 + m2) * a m2 * g Pero : a = m1 Reemplazando tenemos: m2 * g F = (M + m1 + m 2 ) * m1 SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 84 Inicialmente el sistema de masas mostrado en la fig 5- 83 se mantiene inmóvil. Todas las superficies, poleas y ruedas son sin fricción. Dejemos que la fuerza F sea cero y supongamos que m2 puede moverse solo verticalmente. En el instante ulterior en el que el sistema de masas se libere, encuentre: a) La tensión T en la cuerda? La aceleración de m2 ? b) La aceleración de M. c) La aceleración de m1. Bloque m1 T a-A a N1 m1 T T T A M m2 W1 = m1 g W2 = m2 g A = aceleración Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 (La aceleración resultante del sistema es la diferencia entre las aceleraciones, es decir el bloque m1 tiene una aceleración diferente a la del carro) Σ FX = m1 * (a – A) 87
Σ FX = m1 * a – m1 * A T = m1 * a – m1 * A (Ecuación 1) Para el carro M Σ FX = M * A T = M * A (Ecuación 2) Bloque m2 Σ FY = m2 * a (La masa m2 se desplaza hacia abajo con aceleración = a) m2 * g – T = m2 * a m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3) En la ecuación 1, despejamos la aceleración : T = m1 * a – m 1 * A T+ m1 * A = m1 * a T + m1 * A T a = = + A (Ecuación 1) m1 m1 En la ecuación 2, despejamos la aceleración : T=M* A T A= (Ecuación 2) M Reemplazamos (ecuación 1) y (ecuación 2) en la (ecuación 3) para hallar la tensión en función de la masa y gravedad. m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3) T + m1 * A T T pero: a = = + A (Ecuación 1) A= (Ecuación 2) m1 m1 M ⎡ T ⎤ m2 * g - m2 * ⎢ + A⎥ = T ⎣ m1 ⎦ ⎡ T T⎤ m2 g - m2 ⎢ + ⎥ = T ⎣ m1 M ⎦ ⎡ T T⎤ m2 g = m2 ⎢ + ⎥ + T ⎣ m1 M ⎦ ⎛ T ⎞ ⎡ T⎤ m2 g = m2 ⎜ ⎜ m ⎟ + m2 ⎢ M ⎥ + T ⎟ ⎝ 1⎠ ⎣ ⎦ ⎛ m T ⎞ ⎡ m T⎤ m2 g = ⎜ 2 ⎟ + ⎢ 2 ⎥ + T ⎜ m ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎣ M ⎦ 88
⎡ m M T + m 2 m1 T + m1 M T ⎤ m2 g = ⎢ 2 ⎥ ⎣ m1 M ⎦ ( m1 M)* m 2 g = [ m2 M + m 2 m1 + m1 M ] T (m1 M) * m2 g = T m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎡ m1 M ⎤ T = ⎢ ⎥ * m2 g ⎣ m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎦ SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5-85 Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: a) Las tensiones en la cuerda b) El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma μ para ambos bloques) m2 T1 T2 T2 m3 T1 FR2 FR3 250 m1 Datos: m1 = 10 kg. m2 = 5 kg. m3 = 3 kg a = 2,35 cm/seg2 g = 9,8 m/seg2 Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N2 N3 T2 T1 FR2 T2 P3X FR3 P3Y P1 = m1 g P2 = m2 g 250 Bloque m1 ∑ FY = m1 a P1 – T1 = m1 a (Ecuación 1) P3 = m3 g P1 = m1 g P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton 89
P1 = 98 Newton 98 - T1 = m1 a = 10 * 2,35 = 23,5 98 - T1 = 23,5 98 + 23,5 = T1 T1 = 74,5 Newton Bloque m2 ∑ FX = m2 a T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) ∑ FY = 0 P2 – N2 = 0 P2 = N2 m2 g = N2 P2 = m2 g P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton P2 = N2 = 49 Newton Pero: FR2 = μ N2 FR2 = μ 49 Reemplazando en la ecuación 2 T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) 74,5 - μ 49 – T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75 74,5 - μ 49 – T2 = 11,75 74,5 - 11,75 - μ 49 = T2 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) Bloque m3 ∑ FX = m3 a T2 – P3X – FR3 = m3 a Pero: P3X = P3 sen 25 P3X = 3 * 9,8 sen 25 P3X = 12,42 Newton ∑ FY = 0 P3Y – N3 = 0 P3Y = N3 P3Y = P3 cos 25 P3Y = 3 * 9,8 sen 25 P3Y = 26,64 Newton N3 = 26,64 Newton FR3 = μ N3 FR3 = μ 26,64 Reemplazando en: T2 – P3X – FR3 = m3 a T2 – 12,42 - μ 26,64 = 3 * 2,35 T2 = 12,42 + μ 26,64 + 7,05 90
T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) 62,75 - μ 49 = 19,47 + μ 26,64 62,75 – 19,47 = μ 26,64 + μ 49 43,28 = 75,64 μ 43,28 μ = = 0,572 75,64 Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la ecuación 4 T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64 T2 = 19,47 + 15,23 T2 = 34,7 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 - 86 El coeficiente de fricción cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg. es 0,3. La superficie horizontal y las poleas son sin fricción y las masas se liberan desde el reposo. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine la aceleración de cada bloque c) Encuentre la tensión en las cuerdas? m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 10 kg T1 m1 FR T1 T2 FR m2 T2 N1 N2 T2 T1 FR T1 T2 m3 g m3 FR m1 g m2 g Bloque m1 ∑ FX = m1 a T 1 - FR = m 1 a ∑ FY = 0 P1 – N1 = 0 P1 = N1 m1 g = N1 91
P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = N1 = 19,6 Newton Pero: FR = μ N1 FR = 0,3 * 19,6 FR = 5,88 Newton. Reemplazando T 1 - FR = m 1 a T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) Bloque m2 ∑ FX = m2 a T 2 - FR – T 1 = m 2 a Reemplazando T 2 - FR – T 1 = m 2 a T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FY = m 3 a m 3 g – T2 = m 3 a 10 * 9,8 – T2 = 10 a 98 – T2 = 10 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones, se halla la aceleración del sistema T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) 98 – T2 = 10 a (Ecuación 3) - 5,88 - 5,88 + 98 = 2 a +3 a + 10 a 86,24= 15 a 86,24 m a= = 5,749 15 seg 2 Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T1 T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) T1 - 5,88 = 2 * 5,749 T1 = 5,88 + 11,498 T1 = 17,378 Newton Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T2 T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) T2 – 5,88 – 17,378 = 3 * 5,749 92
T2 = 17,247 + 23,258 T2 = 40,5 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 87 Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (figura p 5 – 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre: a) La magnitud de la aceleración de cada bloque? b) La tensión en la cuerda? m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Bloque m1 Bloque m2 N1 N2 T T T T P1X P2X P1Y P2Y 350 350 350 350 NO HAY ROZAMIENTO P1 = m1 g P2 = m2 g Bloque m1 Σ FX = T – P1X = m1 * a Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 10 * sen 35 = 20 Newton T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = P2X – T = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 P2X = 8 * 10 * sen 35 = 45,88 Newton m2 g sen 35 – T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) m2 g sen 35 – T = m2 a (Ecuación 2) - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 a ( m1 + m2) = - 20 + 45,88 a ( 3,5 + 8) = 25,88 a ( 11,5 ) = 25,88 25,88 m a = 2,25 11,5 seg 2 b) La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 93
T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) T -20 = 3,5 * 2,25 T = 7,87 + 20 T = 27,87 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 88 El sistema mostrado en (figura p5 – 87). Tiene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg2 . Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre: a) El coeficiente de fricción cinético. b) La tensión en la cuerda? m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Bloque m1 Bloque m2 N1 FR2 N2 T T T T P1X P2X P1Y P2Y 0 0 350 35 35 FR1 350 P1 = m1 g P2 = m2 g HAY ROZAMIENTO FR1 , FR2 que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha. Bloque m1 Σ FX = T – P1X - FR1 = m1 * a Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 10 * sen 35 = 20 Newton P1X =20 Newton Σ FY = P1Y – N1 = 0 P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35 P1Y = 3,5 * 10 * cos 35 = 28,67 Newton P1Y = 28,67 Newton P1Y = N1 = 28,67 Newton Pero : FR1 = μcin N1 FR1 = μcin * (28,67) T - m1 g sen 35 – 28,67 μcin = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = P2X – T - FR2 = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 94
P2X = 8 * 10 * sen 35 = 45,88 Newton Σ FY = P2Y – N2 = 0 P2Y = N2 Pero: P2 = m2 g P2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35 P2Y = 8 * 10 * cos 35 = 65,53 Newton P2Y = 65,53 Newton P2Y = N2 = 65,53 Newton Pero : FR2 = μcin N2 FR2 = μcin * (65,53) m2 g sen 35 – T- FR2 = m2 a m2 g sen 35 – T- 65,53 μcin = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T - m1 g sen 35 – 28,67 μcin = m1 a (Ecuación 1) m2 g sen 35 – T- 65,53 μcin = m2 a (Ecuación 2) - m1 g sen 35 – 28,67 μcin + m2 g sen 35 - 65,53 μcin = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 – 28,67 μcin - 65,53 μcin a ( m1 + m2) = - 20 + 45,88 – 28,67 μcin - 65,53 μcin 1,5 ( 3,5 + 8) = 25,88 – 94,2 μcin 1,5 ( 11,5 ) = 25,88 – 94,2 μcin 17,25 = 25,88 – 94,2 μcin 94,2 μcin = 25,88 -17,25 94,2 μcin = 8,63 8,63 μ cin = = 9,161 * 10 - 2 94,2 La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 T - m1 g sen 35 – 28,67 μcin = m1 a (Ecuación 1) T -20 – 28,67 μcin = 3,5 * 1,5 T (– 28,67) * 9,161* 10-2 = 5,25 + 20 T – 2,6264 = 25,25 T = 25,25 + 2,6264 T = 27,876 Newton Un cuerpo de 16 kg. esta apoyado sobre una mesa horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2. Que fuerza horizontal debe aplicarse para que se mueva con aceleración constante de 3 m/seg2 95
Σ FY = N – m g = 0 N =mg N m = 16 kg. F N = 16 * 10 = 160 Newton. FR F FR = μ N FR = 0,2 * 160 = 32 Newton FR = 32 Newton mg Σ FX = F - FR = m * a F - 32 = 16 * 3 F - 32 = 48 F = 48 + 32 F = 80 Newton. Sobre una mesa horizontal se encuentran dos bloques de 2 kg. unidos por un hilo. Uno de ellos esta unido mediante otro hilo que pasa por una polea a un tercer bloque que pende. El coeficiente de rozamiento de los bloques con la mesa es 0,2. a) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento b) Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las tensiones de los hilos? m = 2 kg m = 2 kg m = 2 kg T1 T1 T2 N2 T2 FR2 T1 T2 FR1 FR2 T2 N1 W= mg W3 = m3 g T1 W3 = m3 g FR1 W= mg Bloque m ∑ FX = m a T1 – FR1 = m a ∑ FY = 0 W – N1 = 0 W = N1 W = m g = N1 FR1 = μ N1 96
FR1 = μ m g T1 – FR1 = m a T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) Bloque m ∑ FX = m a T2 - T1 – FR2 = m a ∑ FY = 0 W – N2 = 0 W = N2 W = m g = N2 FR2 = μ N2 FR2 = μ m g T2 - T1 – FR2 = m a T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FY = m3 a W 3 – T2 = m 3 a m3 g – T2 = m3 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T 2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) m3 g – T2 = m 3 a (Ecuación 3) – μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + m3 a – 2 μ m g + m3 g = 2 m a + m3 a – 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a (Ecuación 4) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento. En el momento en que el sistema se pone en movimiento a = 0 – 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a (Ecuación 4) – 2 μ m g + m3 g = 0 m3 g = 2 μ m g 2 μ m g m3 = = 2 μ m = 2 * 0,2 * 2 = 0,8 kg g m3 = 0,8 kg. 97
Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las tensiones de los hilos? m = 2 kg m3 = 0,8 kg. M3 = 0,8 kg. + 1 kg = 1,8 Kg. T2 m3 = 0,8 kg 1 kg Las ecuaciones siguen iguales, la única que cambia es la tercera ecuación Sumando las tres ecuaciones T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T 2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) m3 g – T2 = M3 a (Ecuación 3) – μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + M3 a – 2 μ m g + m3 g = 2 m a + M3 a – 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (Ecuación 4) Reemplazando los valores, se halla la aceleración – 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (– 2 * 0,2 * 2 * 9,8) + 1,8 * 9,8 = (2 * 2 + 1,8 ) a - 7,84 + 17,64 = 5,8 * a 9,8 = 5,8 a 9,8 m a = = 1,69 5,8 seg 2 a = 1,69 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T1 T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T1 = μ m g + m a T1 = (0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69 T1 = (3,92) + 3,38 = 7,3 Newton T1 = 7,3 Newton Se reemplaza en la ecuación 2 para hallar la tensión T2 T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) T2 = T1 + μ m g + m a T2 = 7,3 + ( 0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69 T2 = 7,3 + 3,92 + 3,38 T2 = 14,6 Newton 98
Que aceleración horizontal hay que proporcionar al sistema de la figura para que la masa no deslice?. Aplicarlo al caso en que el coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies sea de 0,15 y el ángulo de inclinación sobre la horizontal 300 N N FR NY FR 300 FRY NY 300 FRY 600 EJE X 300 600 FRX NX EJE X FRX 0 60 NX P 300 300 P Aceleración horizontal ∑ F X = m aX NX – FRX = m a Pero: NX = N cos 60 FR = μ N FRX = FR cos 30 FRX = μ N cos 30 NX – FRX = m a N cos 60 - μ N cos 30 = m aX (Ecuación 1) ∑ FY = m aY = 0 Si queremos que el cuerpo no deslice, aY = 0 P - NY - FRY = 0 Pero: NY = N sen 60 FR = μ N FRY = FR sen 30 FRY = μ N sen 30 P - NY - FRY = 0 m g - N sen 60 - μ N sen 30 = 0 N sen 60 + μ N sen 30 = m g (Ecuación 2) Dividiendo las ecuaciones N cos 60 - μ N cos 30 = m aX (Ecuación 1) N sen 60 + μ N sen 30 = m g (Ecuación 2) N cos 60 - μ N cos 30 m ax = N sen 60 + μ N sen 30 mg cos 60 - μ cos 30 a = x sen 60 + μ sen 30 g 99
g * (cos 60 - μ cos 30 ) 9,8 (0,5 - 0,15(0,866)) ax = = sen 60 + μ sen 30 0,866 + 0,15(0,5) 9,8 * (0,3701) 3,62698 m ax = = = 3,83 0,947 0,947 seg 2 Sobre un cuerpo de 5 kg, se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 70 Newton b) 35 Newton c) 50 Newton Calcular en cada caso la aceleración del cuerpo. Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 70 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton F = 70 N ∑ FY = m a a F–mg=ma 70 – 50 = 5 a 20 = 5 a W=mg a = 20/5 = 4 m/seg2 a = 4 m/seg2 Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 35 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton F = 35 N ∑ FY = m a a F–mg=ma 35 – 50 = 5 a - 15 = 5 a W=mg a = - 15/5 = - 3 m/seg2 a = - 3 m/seg2 Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 50 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton F = 50 N ∑ FY = m a F–mg=ma 50 – 50 = m a 0=ma W=mg No hay desplazamiento. Un cuerpo de masa M y peso W se encuentra dentro de un ascensor. Calcular la fuerza que ejerce el ascensor sobre el cuerpo. a) Si el ascensor sube con aceleración a F ∑ FY = m a a F–W=Ma W F=W+Ma 100
b) Si el ascensor baja con aceleración a ∑ FY = m a F+W=Ma F= Ma-W Ascensor a F W Si el ascensor sube o baja con velocidad constante. Cuando un cuerpo se mueve a velocidad constante, se dice que la aceleración es cero. En el caso que baja ∑ FY = m a = 0 Ascensor a F+W=0 F= -W F W De los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija, penden dos cuerpos de 60 kg y otro de 100 kg. respectivamente. Calcular: a) La aceleración de los cuerpos? b) La tensión de la cuerda T1 T T T T W1 = m1 g W2 = m2 g m1 m2 ∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) m 2 g - T = m2 a (Ecuación 2) m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a 100 * 10 – 60 * 10 = (60 + 100) a 1000 – 600 = 160 a 400 = 160 a a = 2,5 m/seg2 101
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) T = m1 a + m1 g T = 60 * 2,5 + 60 * 10 T = 150 + 600 T = 750 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528 T1 = 209,056 Newton Un cuerpo de 10 kg, cuelga de una bascula de resorte fijada al techo de un elevador. Cual es el peso que marca la bascula a) Si el elevador esta en reposo. b) Si el elevador sube a 3 m/seg2 c) Si el elevador baja a 2,5 m/seg. d) Si el elevador sube y baja con velocidad constante. Ascensor Si el elevador esta en reposo. ∑ FY = m a = 0 Bascula F–W=0 F=W Si el elevador sube a 3 m/seg2 F ∑ FY = m a F–W=ma m = 10 kg F=W+ma F = 10 * 10 + 10 * 3 W=m g F = 100 +30 F = 130 Newton Si el elevador baja a 2,5 m/seg. ∑ FY = m a -F–W=ma F=-W-ma F = - 10 * 10 - 10 * 2,5 F = - 100 - 25 F = - 75 Newton Si el elevador sube y baja con velocidad constante. Si el elevador sube ∑ FY = m a = 0 F–W=0 F=W F = - 10 * 10 F = 100 Newton Entre los bloques y la mesa de la figura no hay rozamiento., hallar? a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda A? c) Tensión de la cuerda B? d) Tensión de la cuerda C? e) Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg. 102
m4 m3 TA m2 TD TB TB TC TC TA TD m1 m5 N2 N3 N4 TA TA TB TB TC TD TB TC TC TD m1 g m2 g m3 g m4 g m5 g Bloque m1 ∑ FY = m1 a TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 ∑ FX = m2 a TB – TA = m2 a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FX = m3 a TC – TB = m3 a (Ecuación 3) Bloque m4 ∑ FX = m4 a TD – TC = m4 a (Ecuación 4) Bloque m5 ∑ FY = m5 a m5 g - TD = m5 a (Ecuación 5) Sumando las 5 ecuaciones, hallamos la aceleración del sistema. m1 = 4 kg m2 = 2 kg m3 = 3 kg m4 = 5 kg m5 = 16 kg TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) TB – T A = m 2 a (Ecuación 2) T C – TB = m 3 a (Ecuación 3) T D – TC = m 4 a (Ecuación 4) m 5 g - TD = m 5 a (Ecuación 5) 103
- m1 g + m5 g = (m1 + m2 + m3 + m4 + m5 ) a - 4 * 10 + 16 * 10 = (4 + 2+ 3 + 5+ 16 ) a - 40 + 160 = (30) a 120 = 30 a a = 120/30 a = 4 m/seg2 Tensión de la cuerda A? TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) TA = m1 a + m1 g TA = 4 * 4 + 4 * 10 TA = 16 +40 TA = 56 Newton Tensión de la cuerda B? TB – TA = m2 a (Ecuación 2) TB – 56 = 2 * 4 TB = 56 + 8 TB = 64 Newton Tensión de la cuerda C? TC – TB = m 3 a (Ecuación 3) TC = TB + m3 a TC = 64 + 3 * 4 TC = 64 + 12 TC = 76 Newton Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg. 1 X = V0 * t + a * t2 2 1 1 X = a * t 2 = * 4 (3)2 = 18 metros 2 2 X = 18 metros Entre el bloque y la mesa de la figura no hay rozamiento m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. Calcular: a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda c) Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo. T Bloque m1 Bloque m2 N T m1 = 2 kg T T m2 =3 kg m1 = 2 kg m 2 = 3 kg W1 = m1 * g W2 = m2 * g 104
Bloque m1 T = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) T = m1 * a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) m 2 g = m1 * a + m2 * a m2 g = (m1 + m2 ) * a (m 2 ) g (3 )10 = 30 a = = =6 m (m1 + m 2 ) (2 + 3) 5 seg 2 a =6 m seg 2 Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1. T = m1 * a (Ecuación 1) T = 2 * 6 = 12 Newton T = 12 Newton Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo. VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t = (6 m/seg2 ) 5 seg = 30 m/seg VF = 30 m/seg Si entre el bloque de 2 kg y la mesa de la figura anterior existe una fuerza de rozamiento de 6 Newton, Calcular: a) El valor del coeficiente de rozamiento b) Aceleración del sistema c) Tensión de la cuerda Debemos hacer un diagrama que nos represente las condiciones del problema T Bloque m1 Bloque m2 N T m1 = 2 kg T T FR m2 =3 kg m1 = 2 kg m 2 = 3 kg W1 = m1 * g W2 = m2 * g 105
Bloque m1 ∑ FX = m1 * a T - FR = m1 * a T - FR = m1 * a T – 6 = m1 * a (Ecuación 1) ∑ FY = 0 m1 * g – N = 0 m1 g = N N = 2 * 10 = 20 Newton Bloque m2 m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) T - 6 = m1 * a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) - 6 + m 2 g = m 1 * a + m2 * a - 6 + m2 g = (m1 + m2 ) * a − 6 + (m 2 ) g - 6 + 3 * 10 24 a = = = = 4,8 m (m1 + m 2 ) (2 + 3) 5 seg 2 a = 4,8 m seg 2 Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1. T – 6 = m1 * a (Ecuación 1) T – 6 = 2 * 4,8 T = 9,6 + 6 T = 15,6 Newton El valor del coeficiente de rozamiento FR = μ * N PERO: FR = 6 Newton N = 20 Newton 6 = μ * 20 6 μ = = 0,3 20 106

Más contenido relacionado

PDF
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas (1)
porbeto montero
 
PDF
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas
porbeto montero
 
PDF
Problemas resueltos cap 4 fisica alonso & finn
porJUAN MANCO
 
PDF
Problemas Leyes de Newton Nivel 0B
porESPOL
 
PDF
236984390 problemas-resueltos-estatica-equilibrio (1)
porFranklin1504
 
PDF
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
porzion warek human
 
PDF
Problemas resueltos-cap-5-fisica-serway2
porLuis Ajanel
 
DOC
GUIA EJERCICIOS RESUELTOS FISICA 113 ENERGIA UTEM
porEduardo Mera
 
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas (1)
porbeto montero
 
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas
porbeto montero
 
Problemas resueltos cap 4 fisica alonso & finn
porJUAN MANCO
 
Problemas Leyes de Newton Nivel 0B
porESPOL
 
236984390 problemas-resueltos-estatica-equilibrio (1)
porFranklin1504
 
libro de prob. fisica PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA I
porzion warek human
 
Problemas resueltos-cap-5-fisica-serway2
porLuis Ajanel
 
GUIA EJERCICIOS RESUELTOS FISICA 113 ENERGIA UTEM
porEduardo Mera
 

La actualidad más candente

PPT
Ondas mecanicas2
porDane Cachi Eugenio
 
PPTX
Circuitos de corriente directa. ing. carlos moreno (ESPOL)
porFrancisco Rivas
 
PPT
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
porFrancisco Rivas
 
PDF
Sistema de unidades y análisis dimensional
porAlejandro Requena
 
PDF
Problemas resueltos de equilibrio térmico
porDaniel Morales
 
PDF
Actividad 1 diagrama de cuerpo libre y calculo
porEl profe Noé
 
PPT
Ejercicio 2.4
porMiguel Pla
 
PDF
Ejercicios resueltos: ENERGÍA
porDamián Gómez Sarmiento
 
PDF
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serway
porJamil Agualongo
 
PDF
electricidad y magnetismo ejercicios resueltos Capitulo 5
porJ Alexander A Cabrera
 
DOCX
Formulario de derivadas
porAndres Mendoza
 
PDF
Problemas resueltos mecanica_de_fluidos
porChristian Arias Vega
 
PDF
Cinematica Nivel Cero Problemas Resueltos Y Propuestos
porguest229a344
 
DOC
GUIA EJERCICIOS RESUELTOS FISICA 113 DINAMICA UTEM
porEduardo Mera
 
PDF
Problemas resueltos-equilibrio-termico
porvictor ore
 
PDF
Problemas resueltosestatica
porDemian Venegas
 
PDF
Desarrollo de practico n1
porJuan Sepúlveda
 
DOCX
Problema de Movimiento Parabólico (Física Mecánica)
porMiguel Antonio Bula Picon
 
DOC
Ejercicios solucionados de oscilaciones y ondas unidad ondas electromagnetica...
porLizeth Maritza Pena Pena
 
DOCX
Informe nº2 movimiento parabólico
porlady mirella flores pacho
 
Ondas mecanicas2
porDane Cachi Eugenio
 
Circuitos de corriente directa. ing. carlos moreno (ESPOL)
porFrancisco Rivas
 
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
porFrancisco Rivas
 
Sistema de unidades y análisis dimensional
porAlejandro Requena
 
Problemas resueltos de equilibrio térmico
porDaniel Morales
 
Actividad 1 diagrama de cuerpo libre y calculo
porEl profe Noé
 
Ejercicio 2.4
porMiguel Pla
 
Ejercicios resueltos: ENERGÍA
porDamián Gómez Sarmiento
 
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serway
porJamil Agualongo
 
electricidad y magnetismo ejercicios resueltos Capitulo 5
porJ Alexander A Cabrera
 
Formulario de derivadas
porAndres Mendoza
 
Problemas resueltos mecanica_de_fluidos
porChristian Arias Vega
 
Cinematica Nivel Cero Problemas Resueltos Y Propuestos
porguest229a344
 
GUIA EJERCICIOS RESUELTOS FISICA 113 DINAMICA UTEM
porEduardo Mera
 
Problemas resueltos-equilibrio-termico
porvictor ore
 
Problemas resueltosestatica
porDemian Venegas
 
Desarrollo de practico n1
porJuan Sepúlveda
 
Problema de Movimiento Parabólico (Física Mecánica)
porMiguel Antonio Bula Picon
 
Ejercicios solucionados de oscilaciones y ondas unidad ondas electromagnetica...
porLizeth Maritza Pena Pena
 
Informe nº2 movimiento parabólico
porlady mirella flores pacho
 

Destacado

PDF
(Solucionario)fisica vectorial 1 vallejo zambrano 2011
porDiego Tapia
 
PPTX
Ejercicios de leyes de newton
porCésar Andrés Mora Suárez
 
PPTX
Problemas resueltos de la primera ley de newton
porJulio Zamora
 
PDF
Problemas Resueltos-plano-inclinado
porCarlitos Andrés
 
PDF
Problemas Segunda Ley de Newton
porAlberto Carranza Garcia
 
PDF
LEYES DE NEWTON:Física Conceptual-ESPOL
porESPOL
 
PDF
Torque y equilibrio de cuerpo rígido.
poraaprfull1992
 
PDF
Capitulo8.1 problemas%20sobretrabajoyenerg%c3%a da
poraazuaga6
 
PDF
Estatica ejercicios resueltos 2
porWilson Castilla
 
PDF
Ejercicios resueltos de la segunda ley de newton
porMariano Rgv
 
PDF
(Semana 09 dinámica fisica i unac 2009 b)
porWalter Perez Terrel
 
DOC
Tiro horizontal y parabolico apuntes abril 2015
porFERNANDO TOVAR OLIVARES
 
PDF
ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico
porYohiner Zapata
 
DOC
Apuntes de fisica 1
porFisica2_2012
 
PDF
Problemas dinamica 4 eso
porfisicayquimica-com-es
 
PDF
Estatica I y II
porjeffersson2031
 
PDF
Resueltos energia
porbepebu
 
DOCX
Ejercicios de dinamica
porDaniel Marin Osorio
 
PPT
GRAVEDAD
porSamira Mejia
 
PPTX
Ecuaciones de las conicas
pormariy-oy-ar
 
(Solucionario)fisica vectorial 1 vallejo zambrano 2011
porDiego Tapia
 
Ejercicios de leyes de newton
porCésar Andrés Mora Suárez
 
Problemas resueltos de la primera ley de newton
porJulio Zamora
 
Problemas Resueltos-plano-inclinado
porCarlitos Andrés
 
Problemas Segunda Ley de Newton
porAlberto Carranza Garcia
 
LEYES DE NEWTON:Física Conceptual-ESPOL
porESPOL
 
Torque y equilibrio de cuerpo rígido.
poraaprfull1992
 
Capitulo8.1 problemas%20sobretrabajoyenerg%c3%a da
poraazuaga6
 
Estatica ejercicios resueltos 2
porWilson Castilla
 
Ejercicios resueltos de la segunda ley de newton
porMariano Rgv
 
(Semana 09 dinámica fisica i unac 2009 b)
porWalter Perez Terrel
 
Tiro horizontal y parabolico apuntes abril 2015
porFERNANDO TOVAR OLIVARES
 
ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico
porYohiner Zapata
 
Apuntes de fisica 1
porFisica2_2012
 
Problemas dinamica 4 eso
porfisicayquimica-com-es
 
Estatica I y II
porjeffersson2031
 
Resueltos energia
porbepebu
 
Ejercicios de dinamica
porDaniel Marin Osorio
 
GRAVEDAD
porSamira Mejia
 
Ecuaciones de las conicas
pormariy-oy-ar
 

Similar a Problemas resueltos-newton

PDF
Problemas resueltos-newton
porColegio de la sagrada familia
 
PDF
Equilibrio 2 D
porSergio Navarro Hudiel
 
PDF
Fisica 1 Problemas resueltos, libro de alonso y finn
porLuis Krlos Hdz
 
PPT
Equilibrio rotacional
porMoisés Galarza Espinoza
 
PDF
Problemas resueltos de física Alonso Finn volumen i
porEduardo Bas
 
PDF
Problemas Resueltos (Leyes de Nwton) - Serway
porPROD LARD
 
PDF
Fisica sears-zemansky
portoni1980
 
PPTX
Estatica ejercicios cuerpos rigidos
porJerson Ch
 
PPT
condiciones de equilibrio primera ley de newton
porCarlos Saldaña
 
PPTX
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
PPTX
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
PDF
Fisicavol1 alonsofinn-problemasresueltoscap4-140812191853-phpapp01
pormiluska1234
 
PDF
Recta tangente normal y binormal
pormoisesdhp
 
PDF
Compensadores adelanto retraso
porphoenix5559
 
PPTX
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
PPTX
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
PPTX
Cuerpos suspendidos1
porDiana Rueda
 
PDF
Control de trayectoria de manipulador robótico de
porJuan Camarena
 
PDF
TE2-TE-2012-2S
porCorporación Eléctrica del Ecuador, CELEC EP
 
PPTX
leyes del movimiento.pptx
porAlvaroErveyPulidoApo1
 
Problemas resueltos-newton
porColegio de la sagrada familia
 
Equilibrio 2 D
porSergio Navarro Hudiel
 
Fisica 1 Problemas resueltos, libro de alonso y finn
porLuis Krlos Hdz
 
Equilibrio rotacional
porMoisés Galarza Espinoza
 
Problemas resueltos de física Alonso Finn volumen i
porEduardo Bas
 
Problemas Resueltos (Leyes de Nwton) - Serway
porPROD LARD
 
Fisica sears-zemansky
portoni1980
 
Estatica ejercicios cuerpos rigidos
porJerson Ch
 
condiciones de equilibrio primera ley de newton
porCarlos Saldaña
 
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
Fisicavol1 alonsofinn-problemasresueltoscap4-140812191853-phpapp01
pormiluska1234
 
Recta tangente normal y binormal
pormoisesdhp
 
Compensadores adelanto retraso
porphoenix5559
 
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
Diapositivas fisica
porlaura961002
 
Cuerpos suspendidos1
porDiana Rueda
 
Control de trayectoria de manipulador robótico de
porJuan Camarena
 
TE2-TE-2012-2S
porCorporación Eléctrica del Ecuador, CELEC EP
 
leyes del movimiento.pptx
porAlvaroErveyPulidoApo1
 

Último

DOCX
Copia de Copia de Copia de Tecnologia electricidad.docx
porLuArtist
 
DOCX
La Electricidad y la Corriente Eléctrica.docx
poredepzoehenao
 
PDF
Trabajo individual.pdf .
porailinmosquera111
 
PDF
Quatum Security: Tecnología Cuántica & Ciberseguridad Criptográfica Cuántica ...
porChema Alonso
 
PDF
EXCEL AVANZADO.ñññlkjjhhhhhhhhhhhhbhhjhhhh
porantoniadiazbernal110
 
DOCX
Trabajo Excel Avanzado Laura pazos .docx
poremanuelminotta106
 
PDF
CINE-FO-GC-001 REV 0 Lista Maestra de Control de informacion documentada.pdf
porxqdos
 
PDF
Tecnología de las Primeras Civilizaciones
porEduardoCarrero5
 
PPTX
“Tecnología de Las Primeras Civilizaciones”. Mesopotamia, Egipto, Grecia y Roma
pormariantota413
 
PDF
Fotografía.linea tiempo psicologia forense.pdf
porIngridEOlayo
 
PDF
Análisis y comparación de las páginas web hoteleras .pdf.pdf
porJesusValdiviezo3
 
PDF
trabajo final(1) individual de tegnologia.pdf
poranavallejo2323
 
PPTX
Presentación Proyecto Creativo Moderno.pptx.
porobten22
 
PPTX
PROYECTO INTEGRADOR. USO DE LAS TIC.pptx
por251797232
 
PDF
FICHA 2 DE DREFUERZO ESCOLAR COMUNICACION
pormiritacuchi
 
DOCX
Implementación y Beneficios de la Norma Internacional ISO 27001 para la Segur...
porINSTITUTO DE EDUCACION SUERIOR TECNOLOGICO PUBLICO "SAN MARCOS"
 
PDF
Ensayo 20% Freddy Aleman 30226194 AUDIT EVAL.pdf
porFreddyAleman5
 
PPSX
Presentación informatica Ferran Luque 2A
porferranluque3
 
PDF
UN MUNDO EN TU BOLSILLO• Nicolas Rivera 1002
porNicolas Rivera
 
PDF
Go Drive CMS, usa Google Drive como gestor de contenidos
porHomodigital
 
Copia de Copia de Copia de Tecnologia electricidad.docx
porLuArtist
 
La Electricidad y la Corriente Eléctrica.docx
poredepzoehenao
 
Trabajo individual.pdf .
porailinmosquera111
 
Quatum Security: Tecnología Cuántica & Ciberseguridad Criptográfica Cuántica ...
porChema Alonso
 
EXCEL AVANZADO.ñññlkjjhhhhhhhhhhhhbhhjhhhh
porantoniadiazbernal110
 
Trabajo Excel Avanzado Laura pazos .docx
poremanuelminotta106
 
CINE-FO-GC-001 REV 0 Lista Maestra de Control de informacion documentada.pdf
porxqdos
 
Tecnología de las Primeras Civilizaciones
porEduardoCarrero5
 
“Tecnología de Las Primeras Civilizaciones”. Mesopotamia, Egipto, Grecia y Roma
pormariantota413
 
Fotografía.linea tiempo psicologia forense.pdf
porIngridEOlayo
 
Análisis y comparación de las páginas web hoteleras .pdf.pdf
porJesusValdiviezo3
 
trabajo final(1) individual de tegnologia.pdf
poranavallejo2323
 
Presentación Proyecto Creativo Moderno.pptx.
porobten22
 
PROYECTO INTEGRADOR. USO DE LAS TIC.pptx
por251797232
 
FICHA 2 DE DREFUERZO ESCOLAR COMUNICACION
pormiritacuchi
 
Implementación y Beneficios de la Norma Internacional ISO 27001 para la Segur...
porINSTITUTO DE EDUCACION SUERIOR TECNOLOGICO PUBLICO "SAN MARCOS"
 
Ensayo 20% Freddy Aleman 30226194 AUDIT EVAL.pdf
porFreddyAleman5
 
Presentación informatica Ferran Luque 2A
porferranluque3
 
UN MUNDO EN TU BOLSILLO• Nicolas Rivera 1002
porNicolas Rivera
 
Go Drive CMS, usa Google Drive como gestor de contenidos
porHomodigital
 
En este documento
Desarrollado con IA

Discusión sobre las leyes de Newton, resolución de problemas relacionados con dinámicas de cuerpos en equilibrio y movimiento. Se enfatiza en las tensiones en cuerdas, fuerzas y ángulos, con ecuaciones fundamentadas en las leyes físicas.

Cálculos del sistema de bloques, tensiones en cuerdas y fuerzas de fricción. Se aplican fórmulas para encontrar aceleraciones y fuerzas de fricción en diferentes situaciones, incluyendo cuerpos en movimiento.

Análisis del movimiento en planos inclinados sin y con fricción. Cálculo de aceleraciones, velocidades y tensiones en bloques conectados mediante cuerdas en diversos escenarios.

Problemas complejos que incluyen motores en ascensores, fricción estática y cinética, además de sistemas de masa. Enfoque en el análisis de tensiones y fuerzas necesarias para el equilibrio.

Estudio de fuerzas en cuerpos en equilibrio, donde se aplica la segunda ley de Newton. Incluye cálculo de fuerzas de tension y situaciones en las que los cuerpos están en movimiento o en reposo.

Problemas que involucran bloques conectados, tallas de aceleración y tensiones en cuerdas. Resuelve situaciones de equilibrio dinámico y estacionario, aplicando las leyes de Newton.

Problemas resueltos-newton

  • 1.
    PROBLEMAS RESUELTOS LEYESDE NEWTON "No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido." SIR ISAAC NEWTON Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la dinámica y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba. Este solucionario sobre las leyes de Newton tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los cuerpos. Esta obra fue concebida buscando llenar en parte el vacío de conocimientos en el tema y da las bases y fundamentos de una manera sencilla y de fácil entendimiento. Son problemas de las físicas de Sears – Zemansky, Halliday – Resnick, Serway y otros grandes profesores en el tema. Ing. ERVING QUINTERO GIL Bucaramanga – Colombia 2006 1
  • 2.
    En cada unode los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC y BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A C 0 0 30 53 TC TA B TC TA TAY T CY W = 40 N 300 530 TAY = TA . sen 30 T AX TCX TCY = TC. sen 53 TAX = TA . cos 30 TCX = TC . cos 53 Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 53 = TA . cos 30 TC . 0,601 = TA . 0,866 0,866 TC = * TA = 1,44 TA (ecuación 1) 0,601 Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (ecuación 2) TAY + TCY = W pero: W = 40 N TAY + TCY = 40 TA . sen 30 + TC. sen 53 = 40 0,5 TA + 0,798 TC = 40 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,5 TA + 0,798 TC = 40 0,5 TA + 0,798 * (1,44 TA ) = 40 0,5 TA + 1,149 TA = 40 1,649 TA = 40 40 TA = = 24,25 Newton 1,649 TA = 24,25 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 1,44 TA TC = 1,44 * (24,25) TC = 34,92 Newton. 2
  • 3.
    En cada unode los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C 600 A 650 TAY TC 250 T CY TA TA TC 650 600 B TAX TCX W = 70 N W = 70 N TAY = TA . sen 65 TCY = TC. sen 60 TAX = TA . cos 65 TCX = TC . cos 60 Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 60 = TA . cos 65 TC . 0,5 = TA . 0,422 0,422 TC = * TA = 0,845 TA (ecuación 1) 0,5 Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (ecuación 2) TAY + TCY = W pero: W = 70 N TAY + TCY = 70 TA . sen 65 + TC. sen 60 = 70 0,906 TA + 0,866 TC = 70 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,906 TA + 0,866 TC = 70 0,906 TA + 0,866 * (0,845 TA ) = 70 0,906 TA + 0,731 TA = 70 1,638 TA = 70 70 TA = = 42,73 Newton 1,638 TA = 42,73 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 0,845 TA TC = 0,845 * (42,73) TC = 36,11 Newton. 3
  • 4.
    En cada unode los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A C 600 300 TA TAY TC T CY 60 0 300 TA TC TAX TCX B W = 100 N W = 100 N TAY = TA . sen 60 TCY = TC. sen 30 TAX = TA . cos 60 TCX = TC . cos 30 Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (ecuación 1) TCX = TAX TC . cos 30 = TA . cos 60 TC . 0,866 = TA . 0,5 0,5 TC = * TA = 0,577 TA (Ecuación 1) 0,866 Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (Ecuación 2) TAY + TCY = W pero: W = 100 N TAY + TCY = 100 TA . sen 60 + TC. sen 30 = 100 0,866 TA + 0,5 TC = 100 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 TA + 0,5 TC = 100 0,866 TA + 0,5 *(0,577 TA) = 100 0,866 TA + 0,288 TA = 100 1,154 TA = 100 100 TA = = 86,6 Newton 1,154 TA = 86,6 N. Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1. TC = 0,577 TA TC = 0,577 * (86,6) TC = 50 Newton. 4
  • 5.
    En cada unode los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. A C θ0 θ0 TA TAY T CY TC θ0 θ0 TA TC TAX TCX B W W TAY = TA . sen θ TCY = TC. sen θ TAX = TA . cos θ TCX = TC . cos θ Σ FX = 0 TCX - TAX = 0 (Ecuación 1) TCX = TAX TC . cos θ = TA . cos θ cos θ TC = * TA = TA (Ecuación 1) cosθ TC = TA Σ FY = 0 TAY + TCY – W = 0 (Ecuación 2) TAY + TCY = W TA . sen θ + TC. sen θ = W (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 TA . sen θ + TC. sen θ = W TA . sen θ + TA. sen θ = W 2 TA sen θ = W W TA = 2 sen θ Pero TC = TA W Tc = 2 sen θ 5
  • 6.
    En cada unode los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C 600 300 C C CY A AY B 0 0 60 45 CX AX 0 45 W = 50 Kg-f W = 50 Kg-f A A CY = C. sen 60 AY = A. sen 45 CX = C. cos 60 AX = A. cos 45 Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 45 = C. cos 60 cos 60 A = * C = 0,707 C (Ecuación 1) cos 45 Σ FY = 0 CY + AY – W = 0 (Ecuación 2) CY + AY = W pero: W = 50 kg-f CY + AY = 50 C. sen 60 + A. sen 45= 50 0,866 C + 0,707 A = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,866 C + 0,707 A = 50 0,866 C + 0,707 (0,707 C) = 50 0,866 C+ 0,5 C = 50 1,366 C = 50 50 C = = 36,6 Kg - f C = 36,6 Kg-f. 1,366 Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 0,707 C A = 0,707 * (36,6) A = 25,87 Kg- f. 6
  • 7.
    En cada unode los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C C 650 CY 650 25 0 AX CX 400 C 400 AY A A 0 B 50 60 Kg-f 60 Kg-f CY = C. sen 65 AY = A. sen 40 CX = C. cos 65 AX = A. cos 40 Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 40 = C. cos 65 cos 65 A = * C = 0,551 C (Ecuación 1) cos 40 Σ FY = 0 CY - AY – W = 0 (Ecuación 2) CY - AY = W pero: W = 60 kg-f CY - AY = 60 C. sen 65 - A. sen 40 = 60 0,906 C - 0,642 A = 60 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,906 C- 0,642 A = 60 0,906 C - 0,642 (0,551 C) = 60 0,906 C - 0,354 C = 60 0,551 C = 60 60 C = = 108,89 Kg - f 0,551 C = 108,89 Kg- f. Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 0,551 C A = 0,551 * (108,89) A = 60 Kg - f. 7
  • 8.
    En cada unode los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. C B A AY CX 450 320 AX W = 50 Kg-f CY C A C 320 450 W = 50 Kg-f A CY = C. sen 32 AY = A. sen 45 CX = C. cos 32 AX = A. cos 45 Σ FX = 0 AX - CX = 0 (Ecuación 1) AX = CX A. cos 45 = C. cos 32 cos 32 A = * C = 1,199 C (Ecuación 1) cos 45 Σ FY = 0 AY – CY - W = 0 (Ecuación 2) AY – CY = W pero: W = 50 kg-f AY – CY = 50 A. sen 45 - C. sen 32 = 50 0,707 A - 0,529 C = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 0,707 A - 0,529 C = 50 0,707 (1,199 C) - 0,529 C = 50 0,848 C - 0,354 C = 50 0,318 C = 50 50 C = = 157,23 Kg - f 0,318 C = 108,89 Kg- f. Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1. A = 1,199 C A= 1,199 * (157,23) A = 188,51 Kg - f. 8
  • 9.
    Se muestran 3bloques de masas m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. m3 = 8 kg. Si se supone nulo el roce, calcular la aceleración del sistema y las tensiones de las cuerdas. T1 T2 Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N3 T1 T2 m3 = 8 kg T2 T1 T2 m1 = 2 kg m2 =3 kg m1 = 2 kg m 2 = 2 kg W2 = m2 * g m3 = 8 kg W1 = m1 * g W3 = m3 * g Bloque m1 T1 – W1 = m1 * a T1 – m 1 g = m 1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 W2 – T2 = m2 * a m 2 g – T2 = m 2 * a (Ecuación 2) Bloque m3 N3 – W3 = 0 N3 = W3 = m3 * g T2 – T1 = m3 * a (Ecuación 3) T1 – m 1 g = m 1 * a m 2 g – T2 = m 2 * a T 2 – T1 = m 3 * a m 2 g - m1 g = m 1 * a + m 2 * a + m3 * a m2 g - m1 g = (m1 + m2 + m3) * a a = (m 2 - m1 ) g (3 - 2) 9,8 = (1)9,8 = = 0,75 m (m1 + m 2 + m 3 ) (2 + 3 + 8) 13 seg 2 a = 0,75 m seg 2 Para hallar la tensión T1 se reemplaza en la Ecuación 1. T1 – m1 g = m1 * a (Ecuación 1) T1 = m1 * a + m1 g = 2 * 0,75 + 2 * 9,8 = 1,5 + 19,6 = 21,1 Newton T1 = 21,1 Newton Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la Ecuación 3. T2 – T1 = m 3 * a T2 = m3 * a + T1 T2 = 8 * 0,75 + 21,1 T2 = 6 + 21,1 T2 = 27,1 Newton. 9
  • 10.
    En cada unode los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante, en el sentido indicado. a) No hay rozamiento b) Existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie (μ = 0,24) T1 T2 Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N2 T1 T2 m2 = 15 kg T2 T1 T2 2 g = 10 m/seg m1 = 20 kg m3 = ? m1 = 20 kg m 2 = 15 kg W2 = m2 * g m3 = ? W1 = m1 * g W3 = m3 * g No hay rozamiento, como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FY = 0 T1 – W1 = 0 T1 – m1 g = 0 (Ecuación 1) T1 = m1 g T1 = 20 * 10 = 200 Newton Bloque m2 Σ FX = 0 T 2 – T1 = 0 T2 = T1 (Ecuación 2) T2 = 200 Newton Bloque m3 Σ FY = 0 W3 – T2 = 0 (Ecuación 3) W 3 = T2 m3 g = T2 kg m T 200 Newton seg 2 m3 = 2 = = = = 20 Kg g 10 m m seg 2 seg 2 m3 = 20 Kg. W3 = m3 * g W3 = 20 * 10 = 200 Newton 10
  • 11.
    Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N2 T2 T1 T2 FR m1 = 20 kg m 2 = 15 kg m3 = ? W1 = m1 * g W2 = m2 * g W3 = m3 * g HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Σ FY = 0 T1 – W1 = 0 T1 – m1 g = 0 (Ecuación 1) T1 = m1 g T1 = 20 * 10 = 200 Newton Bloque m2 Σ FX = 0 T 2 – T 1 - FR = 0 Σ FY = 0 N2 – W = 0 N2 – m2 g = 0 N2 = m2 g = 15 * 10 = 150 Newton N2 = 150 Newton FR = μ * N2 FR = 0,24 *(150) FR = 36 Newton T 2 – T 1 - FR = 0 T2 = T1 + FR pero: T1 = 200 Newton FR = 36 Newton T2 = 200 +36 T2 = 236 Newton Bloque m3 Σ FY = 0 m3 g - T2 = 0 m3 g = T2 W3 = m3 g = T2 W3 = 236 Newton 11
  • 12.
    En cada unode los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. Bloque m1 Bloque m2 N1 T1 T1 T1 m1 = 15 kg T1 P1X P1Y 400 m2 = ? P2 = m2 * g 400 m2 = ? m1 = 15 Kg. P2 = m2 * g P1 = m1 * g NO HAY ROZAMIENTO Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FX = 0 T1 – P1X = 0 Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g T1 – P1 sen 40 = 0 (Ecuación 1) T1 – m1 g sen 40 = 0 T1 = m1 g sen 40 T1 = 15 * 10 * 0,642 = 96,418 Newton T1 = 96,418 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 2) P2 = T1 P2 = 96,418 Newton SI HAY ROZAMIENTO Bloque m1 Bloque m2 N1 T1 T1 FR P1X 400 m2 = ? P2 = m2 * g Bloque m1 1 = 15 Kg. m Σ FX = 0 P1 = m1 * g T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g P1X = m1 g sen 40 12
  • 13.
    P1X = 15* 10 * 0,642 = 96,418 Newton P1X = 96,418 Newton Pero: P1Y = P1 cos 40 P1 = m1 g P1Y = m1 g cos 40 P1Y = 15 * 10 * 0,642 = 114,9 Newton P1Y = 114,9 Newton N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 114,9 Newton FR = μ * N1 (Ecuación 3) FR = 0,24 * 114,9 FR = 27,57 Newton T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) T1 = P1X + FR Pero: P1X = 96,418 Newton T1 = 96,418 + 27,57 T1 = 124 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T1 = 0 (Ecuación 4) P2 = T1 P2 = 124 Newton ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a velocidad constante en el sentido indicado. Bloque m1 Bloque m2 T N1 m1 = 60 kg T T P1X T N2 P1Y P2X P2Y 0 0 P2 300 30 53 530 m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g m2 = ? NO HAY ROZAMIENTO P2 = m2 * g Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración. Bloque m1 Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1 = m1 g T – P1 sen 40 = 0 T – m1 g sen 40 = 0 T = m1 g sen 40 T = 60 * 10 * 0,642 = 300 Newton T = 300 Newton 13
  • 14.
    Bloque m2 Σ FY= 0 P2x – T = 0 (Ecuación 2) P2x = T = 300 Newton P2x = P2 sen 53 P2X 300 P2 = = = 375,64 Newton sen 53 0,798 P2 = 375,64 Newton Bloque m1 Bloque m2 N1 T FR2 N2 P1X T FR1 P1Y P2X P2Y 300 530 m1 = 15 Kg. P1 = m1 * g m2 = ? SI HAY ROZAMIENTO P2 = m2 * g Bloque m1 Σ FX = 0 T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1 = m1 g P1X = m1 g sen 30 P1X = 60 * 10 * 0,5 = 300 Newton P1X = 300 Newton Pero: P1Y = P1 cos 30 P1 = m1 g P1Y = m1 g cos 30 P1Y = 60 * 10 * 0,866 = 519,61 Newton P1Y = 519,61 Newton Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 519,61 Newton FR1 = μ * N1 (Ecuación 3) FR1 = 0,24 * 519,61 FR1 = 124,707 Newton T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1) T = P1X + FR1 Pero: P1X = 300 Newton 14
  • 15.
    T = 300+ 124,707 T = 424,707 Newton Bloque m2 Σ FY = 0 N2 – P2Y = 0 (Ecuación 4) N2 = P2Y Pero: P2Y = P2 cos 53 P2 = m2 g N2 = P2Y = P2 cos 53 FR2 = μ * N2 (Ecuación 5) FR2 = 0,24 * P2 cos 53 FR2 = 0,144 P2 Σ FX = 0 P2X – T - FR2 = 0 (Ecuación 6) Pero: P2X = P2 sen 53 T = 424,707 Newton FR2 = 0,144 P2 P2 sen 53 - 424,707 - 0,144 P2 = 0 P2 0,798 - 0,144 P2 = 424,707 0,654 P2 = 424,707 424,707 P2 = = 650 Newton 0,654 Un cuerpo esta apoyado sobre un plano inclinado de coeficiente de rozamiento dinámico μK . Al dejarlo libre baja con velocidad constante. Cual es el coeficiente de rozamiento. N PX FR θ 0 P PY θ0 SI HAY ROZAMIENTO P Bloque m Σ FX = 0 PX – FR = 0 (Ecuación 1) FR = μK N (Ecuación 2) N – PY = 0 (Ecuación 3) N = PY Pero: PY = P cosθ N = PY = P cosθ Reemplazando en la ecuación 2 FR = μK N 15
  • 16.
    FR = μKP cosθ Reemplazando en la ecuación 1 PX – FR = 0 Pero: PX = P senθ P senθ - μK P cosθ = 0 P senθ = μK P cosθ sen θ μK = = tgθ cos θ μK = tgθ Un cuerpo de peso W suspendido de un hilo forma un ángulo θ con la vertical. Cuando esta sometido a una fuerza horizontal F. Cual es el valor de F? Bloque m β 0 T T θ0 θ0 TY F TX F m= ? W = m* g W Σ FY = 0 TY – W = 0 TY = W Pero: TY = T cos θ T cos θ = W (Ecuación 1) Σ FX = 0 F – TX = 0 F = TX Pero: TX = T sen θ T sen θ = F (Ecuación 2) W T = cos θ Reemplazando en la ecuación 2 T sen θ = F ⎛ W ⎞ ⎜ ⎟ * sen θ = F ⎝ cos θ ⎠ F = W * tag θ _________________________________________________________ 16
  • 17.
    CAPITULO 1 COMPOSICIONY DESCOMPOSICION DE VECTORES 1.2 SEARS – ZEMANSKY Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ángulo de 300 con la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical. F FX 300 300 FY FX = F cos 30 FX = 20 cos 30 F FX = 17,32 Kg. FY = F sen 30 FY = 20 * (0,5) FY = 10 Kg. CAPITULO 1 COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES 1.3 SEARS – ZEMANSKY Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ángulo de 300 con el plano. a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdrá entonces la componente FY FX 0 300 30 200 FY FX = 8 Kg FX = F cos 30 FY = F sen 30 8 = F cos 30 FY = 9,23 * (0,5) 8 = F 0,866 FY = 4,61 Kg. F = 9,23 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.3 SEARS – ZEMANSKY Dos pesos de 10 kg están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo. a) Cual es la tensión de la cuerda? b) Cual es la tensión de la cadena? T3 T1 T2 10 Kg 10 Kg T3 = tensión de la cuerda T1 = 10 Kg. T2 = 10 kg. Σ FY = 0 17
  • 18.
    T 1 +T2 - T3 = 0 T 1 + T 2 = T3 T3 = 10 kg. + 10 kg. T3 = 20 kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.4 SEARS – ZEMANSKY El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 Si θ2 = θ3 = 60 A C 60 0 60 0 T1 T1Y T 2Y T2 60 0 60 0 T1 T2 T1X T2X B W W = 50 kg T1Y = T1 . sen 60 T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60 T1X = T1 . cos 60 Σ FX = 0 T2X - T1X = 0 (Ecuación 1) T2X = T1X T2 . cos 60 = T1 . cos 60 T2 = T1 Σ FY = 0 T1Y + T2Y – W = 0 (Ecuación 2) T1Y + T2Y = W pero: W = 50 kg. T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 T1 . sen 60 + (T1). sen 60 = 50 2T1 . sen 60 = 50 50 50 T1 = = 2 sen 60 1,732 T1 = 28,86 Kg. T2 = T1 T2 = 28,86 Kg. 18
  • 19.
    C) El pesodel bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 θ2 = 60 0 T2 T 2Y T3 600 T2 θ3 = 00 T 2X T3 W = 50 kg W = 50 kg T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60 Σ FX = 0 T2X - T3 = 0 T2X = T3 T2 . cos 60 = T3 (Ecuación 1) Σ FY = 0 T2Y – W = 0 (Ecuación 2) T2Y = W pero: W = 50 kg. T2 . sen 60 = 50 (Ecuación 2) 50 T2 = = 57,73 kg. sen 60 T2 = 57,73 Kg. Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 T2 . cos 60 = T3 (57,73) . cos 60 = T3 T3 = (57,73) * 0,5 T3 = 28,86 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2-5 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura 2-14 si el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg. A C 300 450 TB TA Caso a TB TA TAY T BY 300 450 W = 200 kg TAX TBX W = 200 kg 19
  • 20.
    Caso a) Llamandoa las tensiones de las cuerdas A, B, C como Ta , Tb , Tc respectivamente tenemos Figura 2.14 ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TBX – TAX = 0 TAY + TBY – W = 0 Pero: TBX = TB cos45 Pero: TBY = TB sen 45 TAX = TA cos 30 TAX = TA sen 30 ∑ FX = - TA cos 30 + TB cos 45 = 0 ∑ FY = Ta sen 30 + Tb sen 45 – W = 0 - 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) 0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) - 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) 0,707 TB = 0,866 TA TB = 0,866 TA / 0,707 TB = 1,25 TA Reemplazando en la ecuac 2 0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) 0,5 TA + 0,707 (1,25 TA ) = 200 0,5 TA + 0,8837 TA = 200 1,366 TA = 200 TA = 200 / 1,366 TA = 146,41 Kg. TB = 1,25 TA TB = 1,25 * (146,41) TB = 183,01 Kg. 450 TB Caso b T BY TB TA 450 TA TC TBX TC W = 200 kg W = 200 kg 20
  • 21.
    Caso b) ∑ FX= 0 ∑ FY = 0 TBX – TA = 0 TBY - W = 0 Pero: TBX = TB cos 45 Pero: TBY = TB sen 45 ∑ FX = TB cos 45 - TA = 0 ∑ FY = TB sen 45 – W = 0 0,707 TB = TA (Ecuac 1) 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) TB = 200 / 0,707 TB = 283 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 0,707 TB = TA Ecuac 1 0,707 * (283 Kg.) = TB 200 Kg. = TB Caso c) 450 Caso c TB TB 0 T BY 30 TA TAX 450 300 300 TBX TAY TA W = 200 kg W = 200 kg ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TBX – TA = 0 TAY + TBY – W = 0 Pero: TBX = TB cos 45 Pero: TBY = TB sen 45 TAX = TA cos 30 TAY = TA sen 30 ∑ FX = TB cos 45 - TA = 0 ∑ FY = TB sen 45 –TA sen 30 – W = 0 ∑ FX = TB cos 45 - TA cos 30 = 0 0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2) 0,707 TB = TA 0,866 (Ecuac 1) Nótese que tomamos 300 ya que este es el ángulo que TA forma con el eje de las x. 21
  • 22.
    Reemplazando ecuac 1en ecuac 2 0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2) (TA 0,866) - 0,5 TA = 200 0,366 TA = 200 TA = 200 / 0,366 TA = 546,45 Kg. Pero: 0,707 TB = TA 0,866 TB = TA 0,866 / 0,707 TB = (546,45 ) * 0,866 / 0,707 TB = 669,34 Kg. Caso d) 370 370 A TB TA 530 530 TC TC TAY TA TC TB TCY TCY 370 Caso d TC 530 53 0 C 530 53 0 TAX TCX TCX M TCY W TCX FIGURA 2.8 FIGURA 2.9 W Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier punto, en este caso el nudo o entre C y A tenemos: De la figura 2.8 ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TAX – TB – TCX = 0 TAY – TCY = 0 Pero: TAX = TA cos 37 Pero: TAY = TA sen 37 TCX = TA cos 53 TCY = Tc sen 53 ∑ FX = TAX cos 37 – TB – TCX cos 53 = 0 ∑ FY = TA sen 37 – TC sen 53 = 0 Ecuac 1 TA sen 37 = TC sen 53 (Ecuac 2) 22
  • 23.
    De la figura2.9 tenemos: ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 TCY + TCY – W = 0 TCX - TCX = 0 Pero: TCY = TC sen 53 ∑ FX = Tc cos 53 – Tc cos 53 = 0 ∑ FY = TC sen 53 + TC sen 53 – W = 0 ∑ FY = 2 TC sen 53 – W = 0 (Ecuac 3) De la ecuac 3 tenemos: 2 TC sen 53 – W = 0 Ecuac 3 2 TC sen 53 = 200 2 TC (0,799) = 200 TC 1,598 = 200 TC = 200 / 1,598 TC = 125 Kg. Reemplazando en la ecuac 2 TA sen 37 – TC sen 53 = 0 Pero: TC = 125 Kg. TA sen 37 = TC sen 53 TA sen 37 = (125) * sen 53 TA sen 37 = (125) * 0,799 TA sen 37 = 99,875 TA = 99,875 / sen 37 TA = 99,875 / 0,602 TA = 165,88 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 TA cos 37 – TB – TC cos 53 = 0 TA cos 37– TC cos 53 = TB Pero: TC = 125 Kg. TA = 165,88 Kg. TB = 165,88 * cos 37 – 125 cos 53 TB = 165,88 * 0,8 – 125 * 0,602 TB = 57,29 Kg. 23
  • 24.
    CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS - ZEMANSKY Problema 2.6 Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal ? T TCY T Caso a 30 0 C TCX C W W Caso a Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensión del cable y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exigen para cada punto. Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda. ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 pero: TCX = T cos 30 pero: TCY = T sen 30 ∑ FX = C - TCX = 0 ∑ FY = TCY – W = 0 ∑ FX = C - T cos 30 = 0 ∑ FY = T sen 30 – W = 0 C = T cos 30 (Ecuac 1) T sen 30 = W (Ecuac 2) T sen 30 = W Ecuac 2 T = 1000 / 0,5 T = 2000 KG. Reemplazando C = T cos 30 (Ecuac 1) C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0’866 C = 1,732 KG. T 300T C T CY 300 Caso b Cx C W 300 W 24
  • 25.
    Caso b ) ∑FX = 0 ∑ FY = 0 pero: CX = C cos 30 pero: CY = C sen 30 ∑ FX = CX - T = 0 ∑ FY = CY – W = 0 ∑ FX = C cos 30 - T = 0 ∑ FY = C sen 30 – W = 0 T = C cos 30 (Ecuac 1) C sen 30 = W (Ecuac 2) C sen 30 = W (Ecuac 2) C = W / sen 30 = 1000 / 0,5 C = 2000 KG. Reemplazando T = C cos 30 T = 2000 * 0,866 T = 1732 kg. Caso C) ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 ∑ FX = C cos 30 - T cos 45 = 0 ∑ FY = C sen 30 + T sen 45 - W = 0 T cos 45 = C cos 30 Ecuac 1 C sen 30 + T sen 45 - W = 0 Ecuac 2 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2 T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T TY CY 450 0 C 0 45 300 30 T TX CX Caso C W C 300 W 25
  • 26.
    Igualando las ecuaciones T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2 C 0,866 = W - C 0,5 C 0,866 = 1000 - C 0,5 C 0,866 + C 0,5 = 1000 1,366 C = 1000 C = 1000 / 1,366 C = 732,7 Kg Reemplazando T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = (732,7) * 0,866 Ecuac 1 T = (732,7) * 0,866 / 0,707 T = 896,7 Kg. Caso d) T C CY 0 45 W TX 300 CX C TY 300 450 T 30 0 W ∑ FX = 0 ∑ FY = 0 Pero: CX = C cos 45 Pero: CY = C sen 45 TX = T cos 30 TY = T sen 30 ∑ FX = CX - TX = 0 ∑ FY = CY – TY - W = 0 ∑ FX = C cos 45 - T cos 30 = 0 ∑ FY = C sen 45 – T sen 30 - W = 0 T cos 30 = C cos 45 T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2) Igualando las ecuaciones T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2) 26
  • 27.
    T 0,866 =W + T 0,5 T 0,866 - T 0,5 =W T 0,366 = 1000 T = 1000 / 0,366 T = 2720 kg. Reemplazando en la ecuac 1 C 0,707 = T 0,866 C 0,707 = 2720 * 0,866 C = 2720 * 0,866 / 0,707 C = 3340 KG CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.8 SEARS – ZEMANSKY Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus extremos. En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg. La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra. a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. ¿Cuál será la altura mínima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared. b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga). T TY h θ T = 1000 kg TX P = 500 kg X = 80 cm P = 500 kg Σ FY = 0 TY – W = 0 (Ecuación 1) TY = W pero: W = 500 kg. TY = 500 TY = T sen θ Pero T = 1000 Kg. Reemplazando en la ecuacion1 TY = T sen θ 500 = (1000) * sen θ 27
  • 28.
    500 sen θ = = 0,5 1000 sen θ = 0,5 θ = arc sen 0,5 θ = 300 h h tg θ = = X 80 h tg 30 = 80 h = 80 * tg 30 h = 46,18 cm CAPITULO 2 EQUILIBRIO 2.9 SEARS – ZEMANSKY Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro extremo esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda, desplazándola lateralmente 60cm. Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil? D = 15 metros X = 7.5 metros T1X X = 7.5 metros θ T1Y T2Y θ T1 Y = 60 cm T2X Y 0,6 sen θ = = = 0,08 F = 50 Kg X 7,5 sen θ = 0,08 Σ FX = 0 T2X -T1X = 0 T2X = T1X Pero T1X = T1 cos θ T2X = T2 cos θ T1 cos θ = T2 cos θ (Ecuación 1) T 1 = T2 Σ FY = 0 T 2y + T1y - F = 0 (Ecuación 1) T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg. T 2Y + T1Y = 50 T 2Y = T2 sen θ 28
  • 29.
    T 1Y =T1 sen θ T 2Y + T1Y = 50 T2 sen θ + T1 sen θ = 50 (Reemplazando Ecuación 1) T1 = T2 T2 sen θ + (T2 ) sen θ = 50 2T2 sen θ = 50 50 50 50 T2 = = = = 312,5 Kg. 2 sen θ 2 * 0,08 0,16 T2 = 312,5 Kg T1 = T2 = 312,5 Kg CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.10 Calcular el máximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. T = 1000 kg 0 30 450 T = 1000 kg C TY CY 300 450 TX CX C W W CX = C . cos 45 CY = C . sen 45 TX = T . cos 30 TY = T . sen 30 Σ FX = 0 CX – TX = 0 (Ecuación 1) CX = TX C . cos 45 = T . cos 30 C. 0,707 = (1000) . 0,866 C. 0,707 = 866 29
  • 30.
    866 C= = 1224,89 Kg. 0,707 Σ FY = 0 CY + TY – W = 0 (Ecuación 2) CY + TY = W C . sen 45 + T . sen 30 = W (1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W 865,99 + 500 = W W = 1365,99 Kg. CONCLUSION: Nótese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Pero al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.11 El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. WA W2 N T1 N T2 T2 T1 450 T1Y FR FR T2 450 T2 T1X WA W2 WA W2 BLOQUE WA = 100 Kg. Σ FX = 0 T2 – FR = 0 (Ecuación 1) T 2 = FR Σ FY = 0 N – WA = 0 (Ecuación 2) N = WA Pero: WA = 100 Kg. N = 100 Kg. Pero: μ = 0,3 FR = μ * N (Ecuación 3) FR = (0,3) * 100 FR = 30 Kg. Pero: T2 = FR 30
  • 31.
    T2 = 30Kg. BLOQUE W2 Σ FX = 0 T1X – T2 = 0 T1X = T2 (Ecuación 4) Pero: T2 = 30 Kg. T1X = 30 Kg. T1X = T1 cos 45 T1X 30 T1 = = = 42,426 Kg cos 45 0,707 T1 = 42,426 Kg. Σ FY = 0 T1Y – W2 = 0 T1Y = W2 (Ecuación 5) Pero T1Y = T1 sen 45 T1Y = W2 = T1 sen 45 W2 = T1 sen 45 W2 = (42,426) sen 45 W2 = 30 kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.12 Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que actúa formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5. Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. N F = 10 Kg N F F FY 30 0 300 FR FX W W BLOQUE W = 100 Kg. Σ FX = 0 FR - FX = 0 (Ecuación 1) F R = FX Pero: FX = F cos 30 FX = 10 . 0,866 FX = 8,66 kg. Pero FR = FX 8,66 Kg. FR = μ N (Ecuación 2) FR = 0,5 N = 8,66 Kg 31
  • 32.
    F 8,66 N= R = = 17,32 Kg. 0,5 0,5 N = 17,32 KG. Σ FY = 0 N + FY – W = 0 (Ecuación 3) Pero: FY = F sen 30 FY = (10) 0,5 FY = 5 Kg. Reemplazando en la ecuación 3 N + FY – W = 0 Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG. W = N + FY W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg. W = 22,32 Kg. CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. Bloque m1 Bloque m2 P1 = m1 * g T P1 = 14 kg N1 T T T FR FR P1X P1Y θ 0 P2 = m2 * g θ 0 P2 = 10 kg P2 = m2 * g P2 = 10 kg Bloque P1 = 14 Kg. Σ FX = 0 P1 = m1 * g T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) P1 = 14 kg Pero: P1X = P1 sen θ P1X = 14 sen θ Pero: P1Y = P1 cos θ P1Y = 14 cos θ Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 14 cos θ 32
  • 33.
    FR = μ* N1 (Ecuación 3) FR = 1/7 * (14 cos θ) FR = 2 cos θ Bloque m2 Σ FY = 0 P2 – T = 0 (Ecuación 4) P2 = T Pero: P2 = 10 kg T = P2 = 10 kg Reemplazando en la ecuación 1 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 pero : sen2 θ + cos2 θ = 1 1/ 2 cosθ = 1 - sen 2θ = ⎛1 - sen 2 θ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Reemplazando 10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0 10 – 14 senθ - 2 (1-sen2 θ)1/2 = 0 5– 7 senθ - (1-sen2 θ)1/2 = 0 5– 7 senθ = (1-sen2 θ)1/2 Elevando al cuadrado en ambos lados 2 ⎡ 1/ 2 ⎤ [5 − 7 senθ ]2 = ⎢⎛1 - sen 2 θ ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎥ ⎦ 25 – 70 senθ + 49 sen2 θ = 1 – sen2 θ 49 sen2 θ + sen2 θ – 70 senθ + 25 – 1 = 0 50 sen2 θ – 70 sen θ + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. - (- 70) ± ( - 70) 2 - 4 (50) 24 70 ± 4900 - 4800 sen θ = = 2 (50) 100 70 ± 100 70 ± 10 sen θ = = 100 100 70 + 10 80 sen θ1 = = = 0,8 θ1 = arc sen 0,8 θ1 = 53,130 100 100 70 − 10 60 sen θ 2 = = = 0,6 θ2 = arc sen 0,6 θ2 = 36,860 100 100 θ1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. θ2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda. 33
  • 34.
    CAPITULO 2 EQUILIBRIO SEARS – ZEMANSKY Problema 2.14 Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3. a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? Bloque P1 Bloque W P1 = 100 kg T N1 T T T FR FR P1Y P1X 0 30 0 W= ? W = m2 * g 30 W= ? P1 = m1 * g P1 = 100 kg Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P1 = 100 Kg. Σ FX = 0 T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1) 34
  • 35.
    Pero: P1X =50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 25,98 T = 75,98 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante) T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg. Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. P1 = 100 kg Bloque P1 Bloque W T T FR N1 T FR T P1X P1Y W= ? 30 0 300 W = m2 * g W= ? Bloque P1 = 100 Kg. P1 = m1 * g Σ FX = 0 P1 = 100 kg T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. 35
  • 36.
    T = P1X- FR = 0 T = 50 - 25,98 T = 24 Kg. BLOQUE W(por que se desplaza a velocidad constante) Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 24 Kg. W = 24 Kg. Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo? SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ARRIBA, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P1 = 100 Kg. Σ FX = 0 T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 34,64 T = 84,64 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) 36
  • 37.
    Pero T =84,64 Kg. W = 84,64 Kg. SI NO SE MUEVE EL CUERPO HACIA ABAJO, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha. Bloque P1 = 100 Kg. Σ FX = 0 T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg. Σ FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = μC * N1 (Ecuación 3) μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0 T = 50 - 34,64 T = 15,36 Kg. BLOQUE W Σ FY = 0 T–W=0 T = W (Ecuación 4) Pero T = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg. 37
  • 38.
    Capitulo 2 EquilibrioSears - Zemansky Problema 2 – 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C? Bloque B T2 T2 Bloque A T1 Bloque C FR2 T1 370 FR1 Bloque B Bloque C Bloque A FR2 T2 N2 T2 T1 N1 T 370 WBY T1 1 WBX F WC FR1R1 W WA A WB Bloque A ∑ FX = 0 Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero. T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1) T1 = FR1 ∑ FY = 0 WA – N1 = 0 WA = N1 WA = N1 = 20 Newton Pero: FR1 = μ N1 FR1 = μ 20 = 0,5 * 20 FR1 = 10 Newton T1 = FR1 T1 = 10 Newton 38
  • 39.
    Bloque B Por quese desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FX = 0 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) Pero: WBX = WB sen 37 WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton WBX = 12,036 Newton T1 = 10 Newton ∑ FY = 0 WBY – N2 = 0 WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37 WBY = N2 = 15,972 Newton Pero: FR2 = μ N2 FR2 = μ 20 = 0,5 * 15,972 FR2 = 7,986 Newton Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2 T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2) T2 = WBX + T1 + FR2 T2 = 12,036 + 10 + 7,986 T2 = 30 Newton Bloque C Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. ∑ FY = 0 W C – T2 = 0 WC = T2 = 30 Newton WC = 30 Newton Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky Problema 2 – 18 una cadena flexible de peso W cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura, como indica la figura 2-22. En cada extremo la cadena forma un ángulo θ con la horizontal a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la izquierda? b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo? θ θ F F FY FY θ θ FX FX W W 39
  • 40.
    ∑ FX =0 FX – FX = 0 ∑ FY = 0 W – FY – F Y = 0 W – 2FY = 0 W = 2FY Pero: FY = F sen θ W = 2FY = 2(F sen θ) W = 2 F sen θ W F = 2 sen θ F θ FY T θ T FX w/2 w/2 ∑ FX = 0 T - FX = 0 T = FX Pero: FX = F cos θ T = FX = F cos θ T = F cos θ Pero: W F = 2 sen θ Reemplazando T = F cos θ ⎛ W ⎞ T =⎜ ⎟ cos θ ⎝ 2 sen θ ⎠ ⎛ W ⎞ cos θ T=⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ sen θ ⎛W⎞ T = ⎜ ⎟ ctg θ ⎝2 ⎠ 40
  • 41.
    Problema de Sears– Zemansky Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Calcular: a) La aceleración del sistema? b) La tensión de la cuerda c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta. T1 T T T T W1 = m1 g W2 = m2 g m1 m2 ∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) m 2 g - T = m2 a (Ecuación 2) m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a 16 * 9,8 – 8 * 9,8 = (8 + 16) a 156,8 – 78,4 = 24 a 78,4 = 24 a a = 3,266 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) T = m1 a + m1 g T = 8 * 3,266 + 8 * 9,8 T = 26,128 + 78,4 T = 104,528 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528 T1 = 209,056 Newton 41
  • 42.
    Sobre un cuerpose aplica una fuerza de 20 newton con un Angulo de inclinación con respecto a la horizontal de 300. Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo no se mueva? T = 20 N 300 FR TX FR 300 TY T ∑ FX = 0 Pero: TX = T cos 30 = (20) * 0,866 W TX = 17,32 Newton ∑ FX = TX - FR = 0 ∑ FX = 17,32 - FR = 0 17,32 = FR Si el bloque A de la figura se encuentra en equilibrio, entonces Cual es el valor de la fuerza de rozamiento? W2 = 16 Newton T Bloque W2 Bloque W1 FR N T T F R1 T W1 = 24 Newton W2 = 16 N W1 = 24 N ∑ FX = 0 ∑ F X = T - FR = 0 T = FR (Ecuación 1) ∑ FY = 0 ∑ F Y = W1 - T = 0 W1 = T (Ecuación 2) Pero: W1 = 24 Newton T = 24 Newton Reemplazando en la ecuacion1 T = FR (Ecuación 1) FR = 24 Newton 42
  • 43.
    Cual es elvalor en Newton de la fuerza normal ejercida por una superficie plana sobre un objeto de 500 gr de masa. m = 0,5 Kg. N ∑ FY = 0 W–N=0 W = m*g W=N W = 0,5 * 9,8 N = 4,9 Newton W = 4,9 Newton Un resorte se encuentra en equilibrio. Si al clocarle un peso de 2 Newton se estira 5 cm. Cual es su constante de elasticidad? Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f. Y = 5 cm W= 2 Newton F= K*Y Pero: F = W = 2 Newton Y = 5 cm = 0,05 metros F 2 Newton K = = = 40 Y 0,05 metro Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f. F= K*Y Un bloque cuyo peso es 400 Newton se encuentra en reposo sobre un plano inclinado. Encuentre el valor de la fuerza normal y el valor de la fuerza de rozamiento. Bloque W FR FR N P1Y P1X 600 600 Bloque W = 400 Newton. W 43
  • 44.
    Σ FX =0 P1X - FR = 0 (Ecuación 1) P1X = FR Pero: P1X = P1 sen 60 P1X = 400 * (0,866) P1X = 346,4 kg. Pero: P1Y = P1 cos 60 P1Y = 400 * (0,5) P1Y = 200 Kg. Σ FY = 0 N - P1Y = 0 (Ecuación 2) N = P1Y N = 200Kg. P1X = FR Pero: P1X = 346,4 kg. FR = 346,4 kg. Que fuerza se debe ejercer sobre un cuerpo de 15 kg. de masa para que acelere a 4 m/seg2 F = m * a = 15 * 4 = 60 Newton. F = 60 Newton. Sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 5 newton y 12 newton que forman entre si un ángulo de 900 . Calcular la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la aceleración que experimentan? F1 = 5 N 900 FR F1 = 5 N F2 = 12 N FR = Fuerza resultante F2 = 12 N FR = (F1 )2 + (F2 )2 FR = (5)2 + (12 )2 = 25 + 144 = 169 FR = 13 Newton FR = m * a FR 13 m a = = = 1,625 m 8 seg 2 44
  • 45.
    Sobre un cuerpode 4 kg inicialmente en reposo actúa una fuerza resultante de 32 newton. Que velocidad lleva el cuerpo cuando ha recorrido 100 metros. VO = 0 VF = ? F = 32 Newton X = 100 metros F=m*a F 32 m a = = = 8 m 4 seg 2 El cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero. Vo = 0 Vf 2 = Vo2 + 2 a x Vf 2 = 2 a x VF = 2*a *x = 2 * 8 *100 = 1600 = 40 2 VF = 40 m/seg Sobre los bloques de la figura, se aplica una fuerza horizontal F = 60 Newton . Considerando que no existe rozamiento, calcular: a) aceleración del conjunto b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A? m1 TA m2 TB m3 F = 60 Newton TA TB aceleración del conjunto m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. mt = m1 + m2 + m3 mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg. F = mt * a F 60 m a = = = 5 mt 12 seg 2 m1 m2 m3 TA TA TB TB F = 60 N tensión de la cuerda A? Bloque m1 45
  • 46.
    Σ FX =0 F = m1 * a TA = m1 * a TA = 2 * 5 = 10 Kg. TA = 10 Kg. tensión de la cuerda B? Bloque m2 Σ FX = 0 F=m*a TB - TA = m * a Pero: TA = 10 Kg. m2 = 4 Kg. TB - 10 = m2 * a TB - 10 = 4 * 5 TB = 20 + 10 TB = 30 Newton Si entre los bloques y la superficie del problema anterior existe un coeficiente de rozamiento de 0,25. Calcular: a) aceleración del sistema b) tensión de la cuerda B? c) tensión de la cuerda A? m1 TA m2 TB m3 F = 60 Newton TA TB m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 N1 N3 N2 FR1 TA F = 60 N FR2 TA TB TB FR3 W1 = m1 g W2 = m2 g W3 = m3 g Bloque m1 Σ FY = 0 N1 – W1 = 0 N1 = W1 = m1 * g N1 = m1 * g = 2 * 10 = 20 Newton N1 = 20 Newton. FR1 = μ * N1 FR1 = 0,25 * 20 FR1 = 5 Newton. Σ FX = m1 * a TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1) 46
  • 47.
    Bloque m2 Σ FY= 0 N2 – W2 = 0 N2 = W2 = m2 * g N2 = m2 * g = 4 * 10 = 40 Newton N2 = 40 Newton. FR2 = μ * N2 FR2 = 0,25 * 40 FR2 = 10 Newton. Σ FX = m2 * a TB – FR2 - TA = m2 * a (Ecuación 2) Bloque m3 Σ FY = 0 N3 – W3 = 0 N3 = W3 = m3 * g N3 = m3 * g = 6 * 10 = 60 Newton N3 = 40 Newton. FR3 = μ * N2 FR3 = 0,25 * 60 FR3 = 15 Newton. a) aceleración del conjunto m1 = 2 kg. m2 = 4 kg. m3 = 6 kg. FR1 = 5 Newton. FR2 = 10 Newton. FR3 = 15 Newton. mt = m1 + m2 + m3 mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg. FX = mt * a Σ FX = F - FR1 - FR2 - FR3 FX = 60 – 5 – 10 – 15 = 30 Newton. FX = 30 Newton. FX 30 m a = = = 2,5 mt 12 seg 2 Resolviendo la ecuación 1 y la ecuación 2 hallamos TB TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1) TB – FR2 - TA = m2 * a (Ecuación 2) TB – FR2 – FR1 = m1 * a + m2 * a TB – 10 - 5 = a ( 2 + 4 ) pero a = 2,5 m/seg2 TB – 15 = 2,5 *(6) TB = 15 + 15 TB = 30 Newton c) tensión de la cuerda A? Reemplazando en la ecuación 1 47
  • 48.
    TA – FR1= m1 * a TA – 5 = 2 * 2,5 TA – 5 = 5 TA = 5 + 5 = 10 Newton. Un cuerpo de masa m = 1 kg. se empuja mediante una fuerza horizontal F de modulo 15 Newton , desde el pie de un plano inclinado áspero que forma un ángulo de 370 con la horizontal y cuyo coeficiente de roce cinético es 0,2. Si La fuerza F solo actúa durante 3 segundos, determine: a) La distancia que alcanza a subir por el plano ? b) El tiempo que demora en volver al punto de partida? X1 N FX X θ F FY F = 15 N FR θ 0 θ = 37 WY WX Datos: m = 1 kg F = 15 Newton θ = 370 μ = 0,2 W=mg t = 3 seg. a) La distancia que alcanza a subir por el plano ? Σ FX = m * a Σ FX = FX – FR – WX = m * a Pero: FX = F cos θ WX = W sen θ W=mg Σ FX = F cos θ - FR - m g sen θ = m * a F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1) Σ FY = 0 Σ F Y = N – FY – W Y = 0 Pero: FY = F sen θ WY = W cos θ W=mg Σ FY = N - F sen θ - m g cos θ = 0 N = F sen θ + m g cos θ Pero: FR = μ * N FR = μ *( F sen θ + m g cos θ ) FR = 0,2 ( 15 sen 37 + 1 * 10 cos 37) FR = 0,2 ( 9.0272 + 7,9863) FR = 0,2 ( 17,0135) FR = 3,4 Newton. Despejando la ecuación 1, hallamos la aceleración. F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1) 48
  • 49.
    15 cos 37- 3,4 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a 11,9795 – 3,4 - 6,0181 = a a = 2,56 m/seg2 durante los 3 seg. que el bloque sube por el plano inclinado. El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 3 seg. 1 X = V0 t + a t2 2 Pero: V0 = 0 arranca del reposo. 1 1 1 X = a t2 = 2,56 * (3)2 = 2,56 * 9 = 11,52 metros 2 2 2 X = 11,52 metros VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t = (2,56 m/seg2 ) 3 seg = 7,68 m/seg VF = 7,68 m/seg Como la fuerza de 15 Newton desaparece a los 3 seg. el cuerpo empieza a perder velocidad hasta detenerse. Por lo tanto es necesario hallar la nueva aceleración después de los 3 seg. Σ FX = m * a1 Σ FX = – FR – WX = m * a1 N Pero: WX = W sen θ W=mg Σ FX = - FR - m g sen θ = m * a1 - FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3) FR θ Σ FY = 0 Σ F Y = N – WY = 0 WY Pero: WY = W cos θ W=mg WX Σ FY = N - m g cos θ = 0 N = m g cos θ W=mg N = 1 * 10 cos 37 N = 7,9863 Newton. Pero: FR = μ * N FR = 0,2 * 7,9863 FR = 1,5972 Newton Reemplazando en la ecuación 3, hallamos la aceleración retardatriz, hasta que el cuerpo se detiene. - FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3) - 1,5972 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a1 - 1,5972 – 6,0181 = a1 a1 = - 7,6153 m/seg2 Enseguida se halla el tiempo hasta que el cuerpo se detiene VF = V0 – a2 t2 pero VF = 0 V0 = 7,68 m/seg V0 = a2 t2 49
  • 50.
    V0 7,68 t1 = = = 1,01 seg a2 7,6153 Hallamos la distancia que recorre hasta detenerse 1 X1 = V0 (t1 ) + a 1 (t1 ) 2 2 Pero: V0 = 7,68 m/seg 1 1 X1 = 7,68 * 1,01 - 7,6153 (1,01) 2 = 7,7568 - 7,6153 = 7,7568 - 3,8841 = 3,8727 metros 2 2 X1 = 3,87 metros La distancia total es = X + X1 = 11,52 + 3,87 = 15,39 metros XT = 15,39 metros Hallar el tiempo de bajada. TB ? Pero: XT = 15,39 metros a1 = - 7,6153 m/seg2 V0 = 0 (parte del reposo hacia abajo). 1 X T = V0 (TB ) + a 1 (TB ) 2 2 1 XT = a 1 (TB ) 2 = 15,39 2 (TB )2 = 15,39 * 2 = 30,78 a1 7,6153 30,78 TB = 4,041 = 2,01 Seg. 7,6153 TB = 2,01 Seg. (Tiempo de bajada) El tiempo de subida TS = t + t1 = 3 + 1,01 = 4,01 seg. El tiempo que demora en volver al punto de partida = Tiempo de subida + tiempo de bajada El tiempo que demora en volver al punto de partida = 4,01 + 2,01 = 6,02 seg. Dos personas halan un cuerpo de 20 kg. apoyado en una mesa con fuerzas de 100 Newton y 200 Newton. Calcular la aceleración y el espacio recorrido en 6 seg. a) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en el mismo sentido. Σ F X = F1 + F 2 = m * a 100 + 200 = 20 * a M = 20 Kg 300 = 20 * a F1 = 100 N 300 m a = = 15 20 seg 2 F2 = 200 N El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg. 1 X = V0 t + a t2 2 50
  • 51.
    Pero: V0 =0 (arranca del reposo). 1 1 1 X = a t 2 = 15 * (6 )2 = 15 * 36 = 270 metros 2 2 2 X = 270 metros b) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en sentido contrario. Σ F X = - F1 + F 2 = m * a M = 20 Kg F1 = 100 N - 100 + 200 = 20 * a 100 = 20 * a a = 100 = 5 m F2 = 200 N 20 seg 2 El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg. 1 X = V0 t + a t2 2 Pero: V0 = 0 (arranca del reposo). 1 1 1 X = a t2 = 5 * (6)2 = 5 * 36 = 90 metros 2 2 2 X = 90 metros Un carro de masa 2000 kg viaja sobre un camino horizontal con una velocidad de 72 km/hora. Que fuerza ejercen los frenos si se detiene en una distancia de 25 metros. km 1000 m 1 hora m v = 72 * * = 20 hora 1 km 3600 seg seg V 2 = V 2 - 2 a X Pero: VF = 0 F 0 V 2 = 2 a X 0 m2 400 V2 0 = (20 ) = seg 2 2 m a = 8 2*X 2 * 25 50 m seg 2 F=m *a F = 2000 * 8 F = 16000 Newton Dos bloques de 3 Kg. y 2 kg están en contacto entre si sobre una superficie horizontal (el mayor a la derecha del menor). Si se aplica una fuerza de 20 Newton horizontal sobre el menor y hacia la derecha. Encontrar: a) Aceleración del sistema Bloque m1 mT = m1 + m2 = 2 + 3 = 5 Kg. mT = 5 kg. Bloque m2 F = mT * a F = 20 N 51
  • 52.
    m kg F 20 Newton seg 2 m a = = = 4 = 4 mT 5 kg kg seg 2 b) La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques? Bloque m1 Σ FX = F – FC = m1 a Bloque m2 Bloque m1 donde FC es la fuerza de contacto. F – FC = m1 a FC FC = 20 - 2 * 4 FC F = 20 N FC = 12 Newton. PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 9 Dos bloques están en contacto como se muestra en la figura 5-14 en una mesa sin fricción. Se aplica una fuerza horizontal a un bloque. Si m1 = 1 kg. m2 = 2 kg. y F = 3 Newton. Encuentre la fuerza de contacto entre los dos bloques?. mT = m1 + m2 = 1 + 2 = 3 kg. m2 = 2 kg mT = 3 kg. m1 = 1 kg F = mT * a m kg F 3 Newton seg 2 m F=3N a = = =1 =1 mT 3 kg kg seg 2 La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques? Bloque m1 Σ FX = F – FC = m1 a donde FC es la fuerza de contacto. F – FC = m1 a FC = 3 - 2 * 1 Bloque m1 Bloque m2 FC = 1 Newton. FC F=3N FC 52
  • 53.
    PARTE 1 RESNICK– HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 10 Tres bloques están conectados como muestran en la figura 5 – 15 en una mesa horizontal sin fricción y se jalan a la derecha con una fuerza T3 = 60 Newton. Si m1 = 10 kg. m2 = 20 kg. m3 = 30 kg. Encuentre las tensiones TA y TB. TA TA TB TB T3 = 60 N m1 = 10 kg m2 = 20 kg Bloque m2 Bloque m3 Bloque m1 TA TB 3 = 60 kg m TB T3 TA mT = m1 + m2 + m3 = 10 + 20 + 30 = 60 kg. mT = 60 kg. F = mT * a m kg F 60 Newton seg 2 m a = = =1 =1 mT 60 kg kg seg 2 Bloque m1 Σ FX = m1 * a TA = m1 * a (Ecuación 1) TA = 10 * 1 = 10 Newton Bloque m2 Σ FX = m2 * a TB - TA = m2 * a (Ecuación 2) Reemplazando el valor de TA = 10 N, se halla TB TB - T A = m 2 * a TB - 10 = 20 * 1 TB = 20 + 10 = 30 TB = 30 Newton. 53
  • 54.
    PARTE 1 RESNICK– HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 11 Una esfera cargada de masa 3 * 10-4 kg. esta colgada de un hilo. Una fuerza eléctrica actúa horizontalmente sobre la esfera, de tal manera que el hilo hace un ángulo de 370 con la vertical cuando queda en reposo. Encuentre: a) La magnitud de la fuerza eléctrica. b) La tensión del hilo? Esfera 370 T TY T Fuerza eléctrica 530 Fuerza eléctrica 530 TX P=m*g P=m*g FE = Fuerza eléctrica Σ FX = 0 Σ FX = FE – TX = 0 FE = TX Pero: TX = T * cos 53 Σ FY = 0 Σ FY = TY – m g = 0 TY = m g Pero: TY = T * sen 53 Remplazando se halla la tensión del hilo. T * sen 53 = m g ⎛ 3 *10 - 4 ⎞ * 9,8 ⎜ ⎟ m g ⎝ ⎠ 29,4 * 10 - 4 T= = = = 3,681 * 10 - 3 Newton sen 53 0,7986 0,7986 T = 3,681 * 10-3 Newton Remplazando se halla la magnitud de la fuerza eléctrica FE = TX = T * cos 53 FE = (3,681 * 10-3 Newton) * cos 53 FE = (3,681 * 10-3 Newton) * 0,6018 FE = 2,215 * 10-3 Newton 54
  • 55.
    PARTE 1 RESNICK– HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 12 Calcúlese la aceleración inicial ascendente de un cohete de masa 1,3 * 104 kg. Si el empuje inicial hacia arriba de su motor es 2,6 * 105 Newton. Puede ud. Omitir el peso del cohete ( la atracción hacia debajo de la tierra sobre el?) Σ FY = 0 Σ FY = F – m g = m * a F = 2,6 * 105 N 2,6 * 105 Newton. – (1,3 * 104 kg.) * 9,8 = (1,3 * 104 kg.) * a 2,6 * 105 – (12,74 * 104 kg.) = (1,3 * 104 kg.) * a 260000 – 127400 = 132600 = (1,3 * 104 kg.) * a 132600 m a = = 10,2 P=m*g 1,3 * 10 4 seg 2 a = 10,2 m/seg2 El peso del cohete no se puede omitir por que es una fuerza que se opone al despegue del cohete. PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139 Problema 5 – 13 Un bloque de masa m1 = 43,8 kg. en un plano inclinado liso que tiene un ángulo de 300 esta unido mediante un hilo que pasa por una pequeña polea sin fricción a un segundo bloque de masa m2 = 29,2 kg que cuelga verticalmente (Figura 5 – 17). a) Cual es la aceleración sobre cada cuerpo? Bloque m2 b) Cual es la tensión en la cuerda? Bloque m1 T T T m1 = 43,8 kg T P1X P1Y m2 = 29,2 kg 300 300 P2 = m2 * g P1 = m1 * g Bloque m1 Σ FX = m1 * a T – P1X = m1 * a (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 Reemplazando en la ecuación 1 tenemos: T – m1 * g * sen 30 = m1 * a (Ecuación 2) Bloque m2 Σ FY = m2 * a P2 - T = m2 * a P2 = m2 * g 55
  • 56.
    Reemplazando m2 * g- T = m2 * a (Ecuación 3) Resolviendo la ecuación 2 y ecuación 3 , hallamos la aceleración del sistema. T – m1 * g * sen 30 = m1 * a (Ecuación 2) m2 * g -T = m2 * a (Ecuación 3) m2 * g – m1 * g * sen 30 = m1 * a + m2 * a m2 g – m1 g sen 30 = a (m1 + m2) m 2 g - m1 g sen 30 29,2 * 9,8 - 43,8 * 9,8 * 0,5 286,16 - 214,62 71,54 m a = = = = = 0,98 m1 + m 2 43,8 + 29,2 73 73 seg 2 a = 0,98 m/seg2 Cual es la tensión en la cuerda? Reemplazando m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 3) 29,2 * 9,8 – T = 29,2 * 0,98 T = 286.16 – 28,616 T = 257,54 Newton DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 20 Remítase a la figura 5 -5. Sea la masa del bloque 29,2 Kg. (2 slugs) y el ángulo θ = 300 . a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza normal que obra en el bloque. b) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción T N m = 29,2 kg T P1X P1Y 300 300 P1 = m1 * g Bloque m Σ FX = 0 T – P1X = 0 (Ecuación 1) Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 Reemplazando en la ecuación 1 tenemos: T – m1 * g * sen 30 = 0 56
  • 57.
    T = m1g sen 30 T = 29,2 * 9,8 * 0,5 T = 143,08 Newton. Σ FY = 0 N – P1Y = 0 N = P1Y Pero: P1Y = P1 * cos 30 P1 = m1 * g P1Y = m1 * g * cos 30 N = P1Y = m1 g cos 30 N = 29,2 * 9,8 * 0,866 N = 247,82 Newton Al cortarse la cuerda, el bloque descenderá con una aceleración. Σ FX = m a P1X = m a Pero: P1X = P1 * sen 30 P1 = m1 * g P1X = m1 * g * sen 30 P1X = m a m1 * g * sen 30 = m a g * sen 30 = a a = 9,8 * 0,5 a = 4,9 m/seg2 DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 21 Remítase a la figura 5 – 7 a. Sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg. Encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción. T m1 T N1 T T m2 g m2 m1 g Bloque m1 Σ FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) 57
  • 58.
    Bloque m2 Σ FY= m2 * a P2 - T = m2 * a P2 = m2 * g m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1) Sumando las ecuaciones, hallamos la aceleración. T = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1) m2 g = m1 a + m2 a m2 g = (m1 + m2 ) a m2 g 0,5 * 9,8 4,9 a= = = m1 + m 2 1 + 0,5 1,5 a = 3,26 m/seg2 DINAMICA DE LAS PARTICULAS RESNICK – HALLIDAY Pág. 141 Capitulo 5 Problema 22 Remítase a la figura 5 -8 a. sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg Encuentre la aceleración de los dos bloques y la tensión de la cuerda T1 T T T W1 = m1 g W2 = m2 g T m2 m1 ∑ FY = m1 a m1 g - T = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a T - m2 g = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones m1 g - T = m1 a (Ecuación 1) T - m2 g = m2 a (Ecuación 2) m 1 g – m 2 g = m1 a + m2 a m1 g – m2 g = (m1 + m2 ) a 58
  • 59.
    1 * 9,8– 0,5 * 9,8 = (1 + 0,5) a 9,8 – 4,9 = 1.5 a 4,9 = 1,5 a a = 3,26 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) T - m2 g = m2 a T - 0,5 * 9,8 = 0,5 * 3,26 T – 4,9 = 1,63 T = 4,9 + 1,63 T = 6,53Newton Un objeto de masa 5 kg tiene una aceleración de 8 m/seg2 en la dirección X y una aceleración de 6 m/seg2 en la dirección Y. Cual es la fuerza total que actúa sobre el? m aR = (a X )2 (a Y )2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 10 seg 2 F = m * aR aY = 6 m/seg2 aR F = 5 * 10 = 50 Newton F = 50 Newton aX = 8 m/seg2 Una fuerza de 6 Newton empuja un cuerpo de 3 kg. Cual es la aceleración del cuerpo. Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo? F=m*a V0 = 0 m m1 = 3 kg kg F 6 Newton seg 2 m a = = = 2 = 2 m 3 kg kg seg 2 F=6N t = 10 seg Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo? 1 X = V0 + a (t )2 pero : V0 = 0 2 1 1 X = a (t )2 = * 2 * (10 )2 = 100 metros 2 2 X = 100 metros 59
  • 60.
    Un bloque demasa 2 kg. Parte con velocidad de 10 m/seg sobre una superficie rugosa horizontal y cuando recorre 16 metros, su velocidad es 6 m/seg. Calcular la aceleración del bloque y el coeficiente de rozamiento? m = 2 kg V0 = 10 m/seg V0 = 10 m/seg VF = 6 m/seg X = 16 metros VF = 6 m/seg X = 16 m La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. (VF )2 = (V0 )2 - 2 a X Despejamos la aceleración 2aX = (V0 )2 - (VF )2 (V0 )2 - (VF )2 (10)2 - (6 )2 100 - 36 64 m a = = = = = 2 2 X 2 * 16 32 32 seg 2 a = μ * g a 2 μ = = = 0,2 g 10 μ = 0,2 Cual es la distancia que recorre un auto con velocidad de 72 Km/hora hasta detenerse. Si el coeficiente de rozamiento entre las llantas y la carretera es de 0,4. km 1 hora 1000 metros m V = 72 * * = 20 hora 3600 seg 1 km seg V0 = 20 m/seg. a = μ * g a = 0,4 * 10 = 4 m/seg2 a = 4 m/seg2 La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. Datos: V0 = 20 m/seg. a = 4 m/seg2 VF = 0 X = Distancia recorrida. (VF )2 = (V0 )2 - 2 a X 0 = 202 – 2 * 4 * X 0 = 400 – 8 X 8X = 400 X = 50 Metros. El sistema de la figura esta formado por los bloques A, B, C ligados por las cuerdas de masa despreciable e inextensibles. La cuerda que une los cuerpos A y B, pasa por una polea de masa 60
  • 61.
    y roce despreciable.El coeficiente de roce cinético entre el bloque A y el plano es 0,5 y la masa de A y B es de 2 kg. c/u. y el ángulo del plano inclinado es de 300. Calcule a) El valor de la masa del bloque C para que el bloque A suba con aceleración de modulo 2 m/seg2. b) La tensión que actúa sobre el bloque C? c) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8. N T T mA = 2 kg WAX T T B FR TC A mB = 2 300 WAY TC WC = mC g 300 mc WB + WC WA Bloque A Σ FX = mA * a T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1) Pero: WAX = WA sen 30 WA = mA * g WAX = mA g sen 30 Σ FY = 0 N - WAY = 0 Pero: WAY = WA cos 30 WA = mA * g WAY = mA g cos 30 N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 FR = μ N FR = μ (mA g cos 30) Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg. FR = μ (mA g cos 30) FR = 0,5 (2 * 10 cos 30) FR = 8,66 Newton WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton BLOQUE B + BLOQUE C Σ FY = mB * a + mC * a (Por que existe una aceleración) WB + WC – T = mB * a + mC * a Pero: WB = mB * g WC = mC * g mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2) 61
  • 62.
    Resolviendo la ecuación1 con la ecuación 2, hallamos mC T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1) mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2) – FR – WAX + (mB g) + (mC g) = (mA * a) + (mB a) + (mC a) - 8,66 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = (2 * 2) + (2 * 2) + 2 mC - 18,66 + 20 + 10 mC = 8 + 2 mC 1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC 8 mC = 8 - 1,34 8 mC = 6.66 mC = 0,83 KG c) La tensión que actúa sobre el bloque C? BLOQUE C Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración) WC – TC = mC * a Pero: WC = mC * g mC g – TC = mC a (Ecuación 3) mC g - mC a = TC (0,83 * 10) – (0,83 * 2) = TC 8,3 – 1,66 = TC TC = 6,64 Newton d) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8. (El sistema esta en reposo, con tendencia a deslizar hacia la derecha, por lo tanto la fuerza de rozamiento esta hacia la izquierda y se opone al movimiento) Σ FX = 0 T - FR2 – WAX = 0 (Ecuación 4) Pero: WAX = WA sen 30 WA = mA * g WAX = mA g sen 30 WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton Σ FY = 0 N - WAY = 0 Pero: WAY = WA cos 30 WA = mA * g WAY = mA g cos 30 N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 62
  • 63.
    FR2 = μEN μE = COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTATICO = 0,8 FR2 = μE (mA g cos 30) FR2 = 0,8 (2 *10 cos 30) FR2 = 13,85 Newton BLOQUE B + BLOQUE C Σ FY = 0 (Por que el sistema esta en equilibrio) W B + WC – T = 0 Pero: WB = mB * g WC = mC * g mB g + mC g – T = 0 (Ecuación 5) Resolviendo la ecuación 4 con la ecuación 5, hallamos mC T – FR2 – WAX = 0 (Ecuación 4) m B g + mC g – T = 0 (Ecuación 5) Bloque A Bloque B – FR2 – WAX + (mB g) + (mC g) = 0 N Bloque C - 13,85 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = 0 TB TB - 23,85 + 20 + 10 mC = 0 TC FR WAY - 3,85 + 10 mC = 0 300 TC 10 mC = 3,85 WC = mC g mC = 0,385 kg. WA WB = mB g Otra forma de resolver el problema Bloque A TB TB Σ FX = mA * a mA = 2 kg TB – FR – WAX = mA * a A B Pero: WAX = WA sen 30 WA = mA * g mB = 2 WAX = mA g sen 30 Σ FY = 0 TC N - WAY = 0 C 300 mc Pero: WAY = WA cos 30 WA = mA * g WAY = mA g cos 30 N - mA g cos 30 = 0 N = mA g cos 30 FR = μ N FR = μ (mA g cos 30) 63
  • 64.
    Datos: a =2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg. FR = μ (mA g cos 30) FR = 0,5 (2 * 10 cos 30) FR = 8,66 Newton WAX = mA g sen 30 WAX = 2 * 10 sen 30 WAX = 10 Newton Reemplazando TB – FR – WAX = mA * a TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA * a (Ecuación 1) TC BLOQUE B Σ FY = mB * a (Por que existe una aceleración) WB + TC – TB = mB * a Pero: WB = mB * g m B g + TC – T B = m B a (Ecuación 2) BLOQUE C Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración) WC – TC = mC * a Pero: WC = mC * g mC g – TC = mC a (Ecuación 3) Sumando las 3 ecuaciones, se simplifican las tensiones y se halla mC TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA a (Ecuación 1) m B g + TC – T B = m B a (Ecuación 2) m C g – TC = m C a (Ecuación 3) – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 + mB g + mC g = mA a + mB a + mC a g (– μ mA cos 30 – mA sen 30 + mB + mC ) = a (mA + mB + mC) 10 (- 0,5 * 2 cos30 – 2 sen 30 + 2 + mC) = a (2 + 2 + mC) 10 (- 0,866 – 1 + 2 + mC ) = 2 (4 + mC) 1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC 10 mC - 2 mC = 8 + 1,34 8 mC = 6,66 6,66 mC = = 0,832 Kg 8 64
  • 65.
    Un bloque de10 kg parte del reposo, arriba de un plano inclinado de longitud 4 metros y de altura 0,8 metros. Que tiempo emplea el bloque para recorrer el plano. (No hay rozamiento). 0,8 sen θ = = 0,2 4 sen θ = 0,2 θ = arc sen 0,2 m = 10 kg V0 = 0 θ = 11,530 a = g * senθ a = 10 * sen 11,53 X = 4 metros 0,8 metros a = 2 m/seg2 Para hallar el tiempo, se despeja: θ 1 X = V0 + a (t )2 pero : V0 = 0 2 1 X = a (t )2 2 2 * X = a * t2 2X 2*4 t= = = 4 = 2 seg. a 2 t = 2 seg. 0 VF = V0 + a * t VF = a * t VF = 2 * 2 VF = 4 m/seg En la parte superior de una calle inclinada a 300 y de longitud de 90 metros. Se deja libre un carrito de masa de 8 kg. Calcular la aceleración del carrito al dejarlo libre y el tiempo empleado en recorrer el plano?. Datos: θ = 300 a = g * senθ V0 = 0 X = 90 metros a = 10 * sen 30 a = 5 m/seg2 Para hallar el tiempo, se despeja: 1 X = V0 + a (t )2 pero : V0 = 0 300 2 1 X = a (t )2 2 2 * X = a * t2 2X 2 * 90 t= = = 36 = 6 seg. a 5 65
  • 66.
    t = 6seg. Con que aceleración baja un cuerpo por un plano inclinado de 300. No hay rozamiento? Datos: θ = 300 PX = m g sen 30 Σ FX = m a m a = m g * senθ PX a = g sen 30 PY a = 10 * sen 30 30 0 a = 5 m/seg2 300 Un bloque se desliza por un plano inclinado liso con aceleración de 6,4 m/seg2. Que ángulo forma el plano con la horizontal? Datos: a = 6,4 m/seg2 Σ FX = m a m a = m g * senθ PX a = g * senθ PY a 6,4 sen θ = = = 0,64 g 10 sen θ = 0,64 θ0 θ = arc sen 0,64 θ = 39,790 Un cuerpo de masa m = 16 kg. se encuentra sobre una superficie horizontal áspera cuyos coeficientes de roce estático y cinético son respectivamente 0,3 y 0,25. Si sobre el cuerpo se aplica una fuerza horizontal F, durante 4 seg solamente. Determine: a) La fuerza neta sobre el cuerpo si F = 45 Newton. b) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento. c) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton Σ FY = 0 N–W=0 N=W=m*g N = 16 * 10 = 160 Newton N = 160 Newton Pero: FR EST = μEST * N N m1 = 16 kg V0 = 0 FR EST = 0,3 * 160 FR EST F = 45 N FR EST = 48 Newton F = 45 N Σ FX = m * a t = 4 seg Σ FX = F – FR W=m*g EST Como F = 45 Newton y la Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque es de 48 Newton, Se puede decir que la fuerza neta sobre el cuerpo es cero. Se necesita que F sea mayor que la fuerza de rozamiento para que exista desplazamiento del bloque y por lo tanto fuerza neta sobre el cuerpo. 66
  • 67.
    c) La magnitudmínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento. Si la F = 48 Newton, el bloque esta en equilibrio. Si F > FR EST se puede decir que el bloque se desplaza. d) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton N FR cin F = 50 N V0 = 0 VF = V01 = 2,5 m/seg2 m1 = 16 kg VF1 = 0 F = 50 N t = 4 seg W=m*g Σ FY = 0 X X1 N–W=0 N=W=m*g A partir de los 4 seg, se quita la F = 50 N. N = 16 * 10 = 160 Newton Es necesario encontrar la velocidad en esta N = 160 Newton posición y la distancia que recorre hasta FR cin = μ cin * N detenerse. FR cin = 0,25 * 160 FR cin = 40 Newton Σ FX = m * a Σ FX = F – FR cin = m * a 50 – 40 = 16 * a 10 = 16 a 10 m a = = 0,625 16 seg 2 a = 0,625 m/seg2 (Esta es la aceleración que tiene el bloque, mientras se ejerce la fuerza de 50 Newton.) Ahora se calcula la velocidad final que alcanza el bloque cuando se le retira F = 50 Newton, que es la misma velocidad inicial para el ultimo desplazamiento del bloque. 0 VF = V0 + a * t pero a = 0,625 m/seg2 t = 4seg. VF = a * t VF = 0,625 *4 VF = 2,5 m/seg La ecuación tiene signo (+) por que el cuerpo va ganando velocidad, con el tiempo. Datos: V0 = 0 m/seg. a = 0,625 m/seg2 VF = 2,5 m/seg. X = Distancia recorrida. 0 (VF )2 = (V0 )2 + 2 a X (2,5)2 = 2 * 0,625 * X 6,25 = 1,25 X X = 6,25/1,25 X = 5 Metros. 67
  • 68.
    Cuando se leretira F = 50 newton, el bloque empieza a perder la velocidad hasta que la vF1 = 0, Es necesario encontrar la nueva aceleración para este movimiento. FROZAMIENTO CINETICO = m * a1 Pero: FROZAMIENTO CINETICO = μ cin * N = μ cin * mg = 0,25 * 160 FROZAMIENTO CINETICO = 40 Newton. FROZAMIENTO CINETICO = m * a1 40 = 16 * a1 40 m a1 = = 2,5 16 seg 2 a1 = 2,5 m/seg2 La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo. Datos: VF1 = 0 m/seg. a = 2,5 m/seg2 V01 = 2,5 m/seg. X1 = Distancia recorrida. 0 (VF )2 = (V0 )2 - 2 a X 0 = (2,5)2 – 2 * 2,5 * X 0 = 6,25 - 5 X 5X = 6,25 X = 6,25/5 X = 1,25 Metros. La distancia total recorrida por el bloque = X +X1 = 1,25 + 5 = 6,25 Metros. Un cuerpo de 6 kg, se lanza hacia arriba en la parte inferior de un plano inclinado 300 y sube 30 metros hasta detenerse. Con que velocidad se lanzo y el tiempo empleado en alcanzar este punto. Σ FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen 30 W=mg WX = m g sen 30 WX WY m g sen 30 = m a g sen 30 = A 300 a = 10 sen 30 X = 30 metros a = 5 m/seg2 W 0 (VF) = (V0)2 – 2 * a * X 2 2 a x = (V0)2 300 m V0 = 2 a X = 2 * 5 * 30 = 300 = 17,32 seg 0 VF = V0 – a * t 68
  • 69.
    V0 = a* t V 17,32 t= 0 = = 3,46 seg. a 5 PROBLEMA DE REPASO Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin fricción y el sistema esta en equilibrio, determine (en función de m, g y θ). a) La masa M b) Las tensiones T1 y T2. Bloque 2m Bloque m N1 N2 T2 T2 m W1X T1 T1 T1 W2X T2 T1 W1Y W2Y 2m θ θ M θ W1 = 2m*g W2 = m*g Bloque 2m ΣFx = 0 T1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen θ Reemplazando T1 – W1X = 0 T1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 1) Bloque m ΣFx = 0 T2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m*g W2X = (m*g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = 0 T2 - T1 – (m*g) sen θ =0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) T2 - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 2) 69
  • 70.
    T2 – (2m * g) sen θ – (m * g) sen θ =0 T2 – (3 m * g) sen θ = 0 T2 = (3 m*g) sen θ T1 – W1X = 0 T1 = W1X = (2 m * g) sen θ T1 = (2 m*g) sen θ Bloque M Bloque M T2 ΣFY = 0 T2 – W3 = 0 T 2 = W3 W3 = M * g W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3 m * g) sen θ T2 = M * g M * g = (3m*g) sen θ a) La masa M M = 3 m sen θ Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleración de cada bloque. d) Las tensiones T1 y T2. Bloque m Bloque 2m T2 N2 N1 T2 m T1 T1 T2 W1X T1 W2X 2m T1 W2Y W1Y θ M θ θ W2 = m*g La masa es M = 3 m sen θ W1 = 2m*g El problema dice que se duplique la masa M = 2 * (3 m sen θ) M = 6 m sen θ Al duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha. Bloque 2m ΣFx = 2 m * a T1 – W1X = 2 m * a 70
  • 71.
    Pero: W1X =W1 sen θ W1 = 2 m * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 – W1X = 0 T1 – (2 m * g) sen θ = 2 m * a (Ecuación 1) Bloque m ΣFx = m * a T2 - T1 – W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m*g W2X = (m * g) sen θ Reemplazando T2 - T1 – W2X = m * a T2 - T1 – (m * g) sen θ = m * a (Ecuación 2) T2 Bloque M Bloque M ΣFY = 6 m sen θ * a W3 - T2 = 6 m sen θ * a W3 = 6 m sen θ * g W3 = 6 m sen θ * g 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 – (2m * g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T2 - T1 – (m*g) sen θ = m * a (Ecuación 2) 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) – (2m*g) sen θ – (m *g) sen θ + 6 m sen θ * g = 2m * a + m * a + 6 m sen θ * a – (3m*g) sen θ + 6 m sen θ * g = 3m * a + 6 m sen θ * a 3 m g sen θ = 3 m * a + 6 m sen θ * a m g sen θ = m * a + 2 m sen θ * a a + 2 sen θ * a = g sen θ a(1 + 2 sen θ) = g sen θ g senθ a= 1 + 2 senθ Despejando la ecuación 3 para hallar T2 6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3) 6 m sen θ * g - 6 m sen θ * a = T2 6 m sen θ ( g - a ) = T2 71
  • 72.
    g senθ Pero: a= 1 + 2 senθ ⎡ g senθ ⎤ 6 m sen θ ⎢g - = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥ ⎦ Factorizando g ⎡ senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢1 - = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥ ⎦ ⎡ 1 + 2senθ - senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢ ⎥ = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎦ ⎡ 1 + senθ ⎤ 6 m g sen θ ⎢ = T2 ⎣ 1 + 2 sen θ ⎥⎦ ⎡ (6 m g sen θ ) * (1 + senθ ) ⎤ T2 = ⎢ ⎥ ⎣ 1 + 2 sen θ ⎦ Despejando la ecuación 1 para hallar T1 T1 – (2m*g) sen θ = 2m * a (Ecuación 1) T1 = 2m * a + 2m*g sen θ g senθ Pero: a = 1 + 2 senθ ⎛ g sen θ ⎞ T1 = 2 m ⎜ ⎟ + 2 m g senθ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ ⎛ (2 m ) g sen θ ⎞ T1 = ⎜ ⎟ + 2 m g senθ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ ⎛ 2 m g sen θ + (2 m g sen θ )(1 + 2senθ ) ⎞ T1 = ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ ⎛ 2 m g sen θ + (2 m g sen θ ) + ⎛ 4 m g sen 2θ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ T1 = ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ 1 + 2 sen θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 m g sen θ + ⎛ 4 m g sen 2θ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ T1 = ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ 1 + 2 sen θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Factorizando ⎛ 4 m g sen θ ( 1 + sen θ ) ⎞ T1 = ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 2 sen θ ⎠ 72
  • 73.
    Si el coeficientede fricción estática entre m y 2m y el plano inclinado es μS y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor mínimo de M. f) El valor máximo de M. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Para hallar el valor mínimo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque m Bloque 2m Bloque M FR2 T2 FR1 N2 T2 N1 T1 W1X W2X T1 W3 = M * g W2Y W1Y θ θ Bloque 2m ΣFx = 0 W2 = m*g T1 + FR1 – W= 2m*g W1 1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m * g) sen θ Reemplazando T1 + FR1 – W1X = 0 T1 + FR1 – (2m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1) ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2) Pero: FR1 = μS * N1 (Ecuación 3) FR1 = μS *2 m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos T1 + FR1 – (2m * g) sen θ = 0 T1 + μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) Bloque m ΣFx = 0 T2 + FR2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m * g) sen θ ΣFY = 0 73
  • 74.
    N2 – W2Y= 0 W2Y = W2 cos θ Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 5) Pero: FR2 = μS * N2 (Ecuación 6) FR2 = μS * m g cos θ Reemplazando la ecuación 5 en la ecuación 4T2 + FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 + μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) Bloque M ΣFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 + μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 + μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ + μS * m g cos θ – (m*g) sen θ +M*g =0 μS *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ +M*g =0 M * g = 3 m g sen θ - 3 μS m g cos θ M = 3 m sen θ - 3 μS m cos θ M = 3 m (sen θ - μS cos θ ) El valor mínimo de M Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ - μS cos θ ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mínimo 74
  • 75.
    f) El valormáximo de M. Para hallar el valor máximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto. Bloque m Bloque 2m Bloque M N2 T2 N1 T2 T1 W1X W2X T1 W3 = M * g FR1 W2Y W1Y FR2 θ θ W2 = m*g W1 = 2m*g Bloque 2m ΣFx = 0 T1 - FR1 – W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen θ W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen θ Reemplazando T1 - FR1 – W1X = 0 T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 1) ΣFY = 0 N1 - W1Y = 0 Pero: W1Y = W1 cos θ Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2) Pero: FR1 = μS * N1 (Ecuación 3) FR1 = μS *2 m g cos θ Reemplazando en la ecuación 1, tenemos T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 T1 - μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) Bloque m ΣFx = 0 T2 - FR2 - T1 – W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen θ W2 = m * g W2X = (m*g) sen θ ΣFY = 0 75
  • 76.
    N2 – W2Y= 0 W2Y = W2 cos θ Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 5) Pero: FR2 = μS * N2 (Ecuación 6) FR2 = μS * m g cos θ Reemplazando la ecuación 5 en la ecuación 4 T2 - FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 - μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) Bloque M ΣFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3 W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 - μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4) T2 - μS * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7) M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) - μS *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ - μS * m g cos θ – (m * g) sen θ +M*g =0 - μS *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ +M*g =0 M * g = 3 m g sen θ + 3 μS m g cos θ M = 3 m sen θ + 3 μS m cos θ M = 3 m (sen θ + μS cos θ ) El valor máximo de M Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuación 8) 3 m (sen θ + μS cos θ ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ - μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mínimo Despejando T2 T2 = 3 m (sen θ + μS cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo. 76
  • 77.
    CAPITULO 5 LASLEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 1 Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/seg2 La misma fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/seg2 . a) Cual es el valor de la proporción m1 / m2 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. a) Por la acción de la segunda ley de newton, tenemos: a1 = 3 m/seg2 a2 =1 m/seg2 F = m1 * a1 (Ecuación 1) F = m2 * a2 (Ecuación 2) Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones. m1 * a1 = m2 * a2 m1 a 2 1 = = m2 a1 3 m1 1 = m2 3 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F. MT = m1 + m2 F = (m1 + m2) * a F a = (Ecuación 3) m1 + m 2 Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3 F m1 = 3 F = m2 * a2 = m2 * 1 F m2 = = F 1 Reemplazando m1 y m2 en la ecuación 3, tenemos: F F F 3F 3 a = = = = = m1 + m 2 F 4F 4F 4 + F 3 3 a = ¾ m/seg2 a = 0,75 m/seg2 77
  • 78.
    CAPITULO 5 LASLEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 2 Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i -3j )N, y F3 = (-45i) N actúan sobre un objeto para producir una aceleración de magnitud 3,75 m/seg2 a) Cual es la dirección de la aceleración? ΣF = m * a ΣF = F1 + F2 + F3 ΣF = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a Donde a representa la dirección de a ΣF = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a θ - 42 F = (- 42)2 + (- 1)2 = 1765 = 42 Newton -1 F = 42 Newton -1 tg θ = = 2,3809 * 10 - 2 - 42 θ = arc tg 2,3809 * 10-2 θ = 181,360 42 = = m * (3,75 ) a La aceleración forma un ángulo de 1810 con respecto al eje x. b) Cual es la masa del objeto? 42 = m * (3,75 ) 42 m= = 11,2 Kg 3,75 c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10 seg? VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a = 3,75 m/seg2 VF = a * t = 3,75 m/seg2 * 10 seg θ = 181 0 VX VF = 37,5 m/seg 1810 VY F V = 37,5 m/seg d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg. VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 4 Una partícula de 3 kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la acción de una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza? m = 3 Kg. 78
  • 79.
    X = 4metros T = 2 seg. 1 2 X = V0 t + a t pero; V0 = 0 2 1 2 X= at 2 2 X = a t2 2 X 2*4 8 m a= = = =2 t2 22 4 seg 2 F=m*a F = 3 * 2 = 6 Newton. CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 26 Encuentre la tensión en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa de las cuerdas. 400 500 T2 T1 T2Y T1Y 400 500 T1 T2 T1X T2X T3 m = 5 Kg W=m*g m = 5 Kg T3 Σ FX = 0 Σ FX = T2X – T1X = 0 T2X = T1X Pero: T2X = T2 cos 50 T1X = T1 cos 40 Reemplazando T2X = T1X T2 cos 50 = T1 cos 40 T2 0,6427 = T1 0,766 T 0,766 T2 = 1 = T1 1,1918 0,6427 T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1) 79
  • 80.
    Σ FY =0 Σ FX = T2Y + T1Y - W = 0 Pero: T2Y = T2 sen 50 T1y = T1 sen 40 W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton Reemplazando T2Y + T1Y - W = 0 T2 sen 50 + T1 sen 40 – 49 = 0 T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2. pero: T2 = 1,1918 T1 T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49 1,5556 T1 = 49 49 T1 = = 31,5 Newton 1,5556 Se reemplaza en la ecuación 1 T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1) T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton T2 = 37,54 Newton. 600 T1 T1 T1Y T2 600 T3 T1X T2 T3 m = 10 Kg T3 Σ FX = 0 Σ FX = T2 – T1X = 0 T2 = T1X Pero: T1X = T1 cos 60 80
  • 81.
    Reemplazando T2 = T1X T2 = T1 cos 60 T2 = T1 0,5 T T1 = 2 (Ecuación 1) 0,5 Σ FY = 0 Σ FY = T1Y - W = 0 Pero: T1y = T1 sen 60 W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton Reemplazando T1Y - W = 0 T1 sen 60 – 98 = 0 T1 sen 60 = 98 (ecuación 2) 98 98 T1 = = = 113,16 Newton sen 60 0,866 Reemplazando en la ecuación 1 T 113,16 T1 = 2 = = 56,58 Newton 0,5 0,5 CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 29 La distancia entre dos postes de teléfono es 45 metros. Un pájaro de 1 kg se posa sobre cable telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,18 metros. Cual es la tensión en el cable (Ignore el peso del cable). 45 metros 22.5 metros 22.5 metros θ θ 0,18 m m = 1 Kg TX TX W=m*g TY TY 0,18 Tg θ = = 0,008 22,5 m = 1 Kg θ = arc tg 0,008 W=m*g 81
  • 82.
    θ = 0,45830 Σ FY = 0 Σ F Y = T Y + TY - W = 0 Pero: Ty = T sen 0,4583 W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8 9,8 9,8 T= = = 612,88 Newton. 2 sen 0,4583 1,6 *10 - 2 CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO FISICA 1 SERWAY Problema 5 – 36 La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en dirección al Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 Newton al este. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 270 kg. Cuales son la magnitud y dirección de su aceleración? FR 390 N θ 180 N FR = (390)2 + (180)2 390 Tg θ = = 2,1666 180 θ = arc tg 2,1666 θ = 65,220 FR = m * a Pero: m = 270 Kg. F 430 m a = R = = 1,59 m 270 seg 2 SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 37 Una fuerza horizontal FX actúa sobre una masa de 8 kg.. a) Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?. b) Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. 82
  • 83.
    c) Grafique laaceleración de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 100N. y FX = 100N a m2 = 8 kg Bloque m1 Bloque m2 T FX T N T T FX m1 Bloque m1 Σ FY = m1 a P1 = m1 g P2 = m2 g Σ FY = T – P1 = m1 a T – m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = m2 a FX - T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T – m 1 g = m1 a (Ecuación 1) F X - T = m2 a (Ecuación 2) - m1 g + FX = m1 a + m2 a a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX 10 a + 19,6 = FX Si a = 0 FX = 19,6 Newton, es decir es la mínima fuerza necesaria para que el cuerpo se mantenga en equilibrio. Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la acción de la fuerza FX Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero. Despejando la aceleración en la ecuación 1 T – m1 g = m1 a T – 2g = 2 a T - 2g a= 2 Despejando la aceleración en la ecuación 2 F X - T = m2 a FX - T = 8 a FX - T a = 8 Igualando las aceleraciones. 83
  • 84.
    T - 2gFX - T = 2 8 8 * (T – 2g) = 2 * (FX – T) 8T – 16g = 2FX - 2T 8T + 2T = 2FX + 16g 10T = 2FX + 16g 2Fx + 16g 1 T = = (FX + 8g ) 10 5 F 8g T = X + 5 5 Si T = 0 FX 8g = - 5 5 FX = - 8 g SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 40 Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la aceleración del bloque? a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente? V0 = 0 N WX X = 2 metros WY 150 θ = 150 W=mg Σ FY = 0 WY – N = 0 WY = N Pero: WY = W cos θ W cos θ = N Σ FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen θ 84
  • 85.
    W sen θ= m a Pero: W = m g m g sen θ = m a g sen θ = a a = 9,8 * sen 15 = 9,8 * 0,258 a = 2,536 m/seg2 0 2 2 (VF) = (V0) – 2 * a * X 2 a x = (VF)2 m VF = 2 a X = 2 * 2,536 * 2 = 3,18 seg SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 47 Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 – 47). Si el coeficiente de fricción durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensión en la cuerda? Bloque m1 Bloque m2 m1 = 6,2 Kg. N1 T T FR T m2 = 8,5 Kg. W1 = m1 g W2 = m2 g Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton N1 = 60,76 Newton FR = μ N1 = 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton. FR = 12,152 Newton. Σ FX = m1 * a T - FR = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = m 2 * a m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto: 85
  • 86.
    T - FR= m1 * a (Ecuación 1) m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) - F R + m 2 * g = m1 * a + m 2 * a a (m1 + m2) = - FR + m2 * g Pero: FR = 12,152 Newton. m1 = 6,2 Kg. m2 = 8,5 Kg. a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8) a (14,7) = -12,152 + 83,3 a (14,7) = 71,148 71,148 m m a = = 4,84 14,7 seg 2 seg 2 a = 4,84 m/seg2 Para hallar la tensión de la cuerda se reemplaza en la ecuación 2. m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2) m2 * g - m2 * a = T T = 8,5 * 9,8 – 8,5 * 4,84 = 83,3 – 41,14 = T = 42,16 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 83 Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura 5 – 83 con el propósito de que los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro? Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin fricción (sugerencia: Observe que la fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1. Bloque m 2 Bloque m1 T N1 m1 T N2 T T N2 M m2 F W1 = m1 g W2 = m2 g a = aceleración Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto, es decir el bloque m1 tiene una aceleración igual a la del carro) Σ FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FY = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro impide que la masa m2 se desplace) 86
  • 87.
    m2 * g– T = 0 (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto: T = m1 * a (Ecuación 1) m2 * g – T = 0 (Ecuación 2) m2 * g = m1 * a m2 * g a = m1 Todos los bloques unidos MT = (M + m1 + m2) (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto) Σ FX = mT * a F = mT * a F = (M + m1 + m2) * a m2 * g Pero : a = m1 Reemplazando tenemos: m2 * g F = (M + m1 + m 2 ) * m1 SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 84 Inicialmente el sistema de masas mostrado en la fig 5- 83 se mantiene inmóvil. Todas las superficies, poleas y ruedas son sin fricción. Dejemos que la fuerza F sea cero y supongamos que m2 puede moverse solo verticalmente. En el instante ulterior en el que el sistema de masas se libere, encuentre: a) La tensión T en la cuerda? La aceleración de m2 ? b) La aceleración de M. c) La aceleración de m1. Bloque m1 T a-A a N1 m1 T T T A M m2 W1 = m1 g W2 = m2 g A = aceleración Bloque m1 Σ FY = 0 m1 * g – N1 = 0 (La aceleración resultante del sistema es la diferencia entre las aceleraciones, es decir el bloque m1 tiene una aceleración diferente a la del carro) Σ FX = m1 * (a – A) 87
  • 88.
    Σ FX =m1 * a – m1 * A T = m1 * a – m1 * A (Ecuación 1) Para el carro M Σ FX = M * A T = M * A (Ecuación 2) Bloque m2 Σ FY = m2 * a (La masa m2 se desplaza hacia abajo con aceleración = a) m2 * g – T = m2 * a m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3) En la ecuación 1, despejamos la aceleración : T = m1 * a – m 1 * A T+ m1 * A = m1 * a T + m1 * A T a = = + A (Ecuación 1) m1 m1 En la ecuación 2, despejamos la aceleración : T=M* A T A= (Ecuación 2) M Reemplazamos (ecuación 1) y (ecuación 2) en la (ecuación 3) para hallar la tensión en función de la masa y gravedad. m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3) T + m1 * A T T pero: a = = + A (Ecuación 1) A= (Ecuación 2) m1 m1 M ⎡ T ⎤ m2 * g - m2 * ⎢ + A⎥ = T ⎣ m1 ⎦ ⎡ T T⎤ m2 g - m2 ⎢ + ⎥ = T ⎣ m1 M ⎦ ⎡ T T⎤ m2 g = m2 ⎢ + ⎥ + T ⎣ m1 M ⎦ ⎛ T ⎞ ⎡ T⎤ m2 g = m2 ⎜ ⎜ m ⎟ + m2 ⎢ M ⎥ + T ⎟ ⎝ 1⎠ ⎣ ⎦ ⎛ m T ⎞ ⎡ m T⎤ m2 g = ⎜ 2 ⎟ + ⎢ 2 ⎥ + T ⎜ m ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎣ M ⎦ 88
  • 89.
    ⎡ m MT + m 2 m1 T + m1 M T ⎤ m2 g = ⎢ 2 ⎥ ⎣ m1 M ⎦ ( m1 M)* m 2 g = [ m2 M + m 2 m1 + m1 M ] T (m1 M) * m2 g = T m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎡ m1 M ⎤ T = ⎢ ⎥ * m2 g ⎣ m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎦ SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5-85 Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: a) Las tensiones en la cuerda b) El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma μ para ambos bloques) m2 T1 T2 T2 m3 T1 FR2 FR3 250 m1 Datos: m1 = 10 kg. m2 = 5 kg. m3 = 3 kg a = 2,35 cm/seg2 g = 9,8 m/seg2 Bloque m1 Bloque m2 Bloque m3 T1 N2 N3 T2 T1 FR2 T2 P3X FR3 P3Y P1 = m1 g P2 = m2 g 250 Bloque m1 ∑ FY = m1 a P1 – T1 = m1 a (Ecuación 1) P3 = m3 g P1 = m1 g P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton 89
  • 90.
    P1 = 98Newton 98 - T1 = m1 a = 10 * 2,35 = 23,5 98 - T1 = 23,5 98 + 23,5 = T1 T1 = 74,5 Newton Bloque m2 ∑ FX = m2 a T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) ∑ FY = 0 P2 – N2 = 0 P2 = N2 m2 g = N2 P2 = m2 g P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton P2 = N2 = 49 Newton Pero: FR2 = μ N2 FR2 = μ 49 Reemplazando en la ecuación 2 T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2) 74,5 - μ 49 – T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75 74,5 - μ 49 – T2 = 11,75 74,5 - 11,75 - μ 49 = T2 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) Bloque m3 ∑ FX = m3 a T2 – P3X – FR3 = m3 a Pero: P3X = P3 sen 25 P3X = 3 * 9,8 sen 25 P3X = 12,42 Newton ∑ FY = 0 P3Y – N3 = 0 P3Y = N3 P3Y = P3 cos 25 P3Y = 3 * 9,8 sen 25 P3Y = 26,64 Newton N3 = 26,64 Newton FR3 = μ N3 FR3 = μ 26,64 Reemplazando en: T2 – P3X – FR3 = m3 a T2 – 12,42 - μ 26,64 = 3 * 2,35 T2 = 12,42 + μ 26,64 + 7,05 90
  • 91.
    T2 = 19,47+ μ 26,64 (Ecuación 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción 62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3) T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) 62,75 - μ 49 = 19,47 + μ 26,64 62,75 – 19,47 = μ 26,64 + μ 49 43,28 = 75,64 μ 43,28 μ = = 0,572 75,64 Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la ecuación 4 T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4) T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64 T2 = 19,47 + 15,23 T2 = 34,7 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 - 86 El coeficiente de fricción cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg. es 0,3. La superficie horizontal y las poleas son sin fricción y las masas se liberan desde el reposo. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine la aceleración de cada bloque c) Encuentre la tensión en las cuerdas? m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 10 kg T1 m1 FR T1 T2 FR m2 T2 N1 N2 T2 T1 FR T1 T2 m3 g m3 FR m1 g m2 g Bloque m1 ∑ FX = m1 a T 1 - FR = m 1 a ∑ FY = 0 P1 – N1 = 0 P1 = N1 m1 g = N1 91
  • 92.
    P1 = m1g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = N1 = 19,6 Newton Pero: FR = μ N1 FR = 0,3 * 19,6 FR = 5,88 Newton. Reemplazando T 1 - FR = m 1 a T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) Bloque m2 ∑ FX = m2 a T 2 - FR – T 1 = m 2 a Reemplazando T 2 - FR – T 1 = m 2 a T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FY = m 3 a m 3 g – T2 = m 3 a 10 * 9,8 – T2 = 10 a 98 – T2 = 10 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones, se halla la aceleración del sistema T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) 98 – T2 = 10 a (Ecuación 3) - 5,88 - 5,88 + 98 = 2 a +3 a + 10 a 86,24= 15 a 86,24 m a= = 5,749 15 seg 2 Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T1 T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1) T1 - 5,88 = 2 * 5,749 T1 = 5,88 + 11,498 T1 = 17,378 Newton Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T2 T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2) T2 – 5,88 – 17,378 = 3 * 5,749 92
  • 93.
    T2 = 17,247+ 23,258 T2 = 40,5 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 87 Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (figura p 5 – 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre: a) La magnitud de la aceleración de cada bloque? b) La tensión en la cuerda? m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Bloque m1 Bloque m2 N1 N2 T T T T P1X P2X P1Y P2Y 350 350 350 350 NO HAY ROZAMIENTO P1 = m1 g P2 = m2 g Bloque m1 Σ FX = T – P1X = m1 * a Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 10 * sen 35 = 20 Newton T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = P2X – T = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 P2X = 8 * 10 * sen 35 = 45,88 Newton m2 g sen 35 – T = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T - m1 g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) m2 g sen 35 – T = m2 a (Ecuación 2) - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 a ( m1 + m2) = - 20 + 45,88 a ( 3,5 + 8) = 25,88 a ( 11,5 ) = 25,88 25,88 m a = 2,25 11,5 seg 2 b) La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 93
  • 94.
    T - m1g sen 35 = m1 a (Ecuación 1) T -20 = 3,5 * 2,25 T = 7,87 + 20 T = 27,87 Newton SERWAY CAPITULO 5 LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Problema 5 – 88 El sistema mostrado en (figura p5 – 87). Tiene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg2 . Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre: a) El coeficiente de fricción cinético. b) La tensión en la cuerda? m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Bloque m1 Bloque m2 N1 FR2 N2 T T T T P1X P2X P1Y P2Y 0 0 350 35 35 FR1 350 P1 = m1 g P2 = m2 g HAY ROZAMIENTO FR1 , FR2 que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha. Bloque m1 Σ FX = T – P1X - FR1 = m1 * a Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 10 * sen 35 = 20 Newton P1X =20 Newton Σ FY = P1Y – N1 = 0 P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35 P1Y = 3,5 * 10 * cos 35 = 28,67 Newton P1Y = 28,67 Newton P1Y = N1 = 28,67 Newton Pero : FR1 = μcin N1 FR1 = μcin * (28,67) T - m1 g sen 35 – 28,67 μcin = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 Σ FX = P2X – T - FR2 = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 = m2 g sen 35 94
  • 95.
    P2X = 8* 10 * sen 35 = 45,88 Newton Σ FY = P2Y – N2 = 0 P2Y = N2 Pero: P2 = m2 g P2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35 P2Y = 8 * 10 * cos 35 = 65,53 Newton P2Y = 65,53 Newton P2Y = N2 = 65,53 Newton Pero : FR2 = μcin N2 FR2 = μcin * (65,53) m2 g sen 35 – T- FR2 = m2 a m2 g sen 35 – T- 65,53 μcin = m2 a (Ecuación 2) Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema. T - m1 g sen 35 – 28,67 μcin = m1 a (Ecuación 1) m2 g sen 35 – T- 65,53 μcin = m2 a (Ecuación 2) - m1 g sen 35 – 28,67 μcin + m2 g sen 35 - 65,53 μcin = m1 a + m2 a a ( m1 + m2) = - m1 g sen 35 + m2 g sen 35 – 28,67 μcin - 65,53 μcin a ( m1 + m2) = - 20 + 45,88 – 28,67 μcin - 65,53 μcin 1,5 ( 3,5 + 8) = 25,88 – 94,2 μcin 1,5 ( 11,5 ) = 25,88 – 94,2 μcin 17,25 = 25,88 – 94,2 μcin 94,2 μcin = 25,88 -17,25 94,2 μcin = 8,63 8,63 μ cin = = 9,161 * 10 - 2 94,2 La tensión en la cuerda? Reemplazando en la ecuación 1 T - m1 g sen 35 – 28,67 μcin = m1 a (Ecuación 1) T -20 – 28,67 μcin = 3,5 * 1,5 T (– 28,67) * 9,161* 10-2 = 5,25 + 20 T – 2,6264 = 25,25 T = 25,25 + 2,6264 T = 27,876 Newton Un cuerpo de 16 kg. esta apoyado sobre una mesa horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2. Que fuerza horizontal debe aplicarse para que se mueva con aceleración constante de 3 m/seg2 95
  • 96.
    Σ FY =N – m g = 0 N =mg N m = 16 kg. F N = 16 * 10 = 160 Newton. FR F FR = μ N FR = 0,2 * 160 = 32 Newton FR = 32 Newton mg Σ FX = F - FR = m * a F - 32 = 16 * 3 F - 32 = 48 F = 48 + 32 F = 80 Newton. Sobre una mesa horizontal se encuentran dos bloques de 2 kg. unidos por un hilo. Uno de ellos esta unido mediante otro hilo que pasa por una polea a un tercer bloque que pende. El coeficiente de rozamiento de los bloques con la mesa es 0,2. a) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento b) Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las tensiones de los hilos? m = 2 kg m = 2 kg m = 2 kg T1 T1 T2 N2 T2 FR2 T1 T2 FR1 FR2 T2 N1 W= mg W3 = m3 g T1 W3 = m3 g FR1 W= mg Bloque m ∑ FX = m a T1 – FR1 = m a ∑ FY = 0 W – N1 = 0 W = N1 W = m g = N1 FR1 = μ N1 96
  • 97.
    FR1 = μm g T1 – FR1 = m a T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) Bloque m ∑ FX = m a T2 - T1 – FR2 = m a ∑ FY = 0 W – N2 = 0 W = N2 W = m g = N2 FR2 = μ N2 FR2 = μ m g T2 - T1 – FR2 = m a T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FY = m3 a W 3 – T2 = m 3 a m3 g – T2 = m3 a (Ecuación 3) Sumando las tres ecuaciones T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T 2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) m3 g – T2 = m 3 a (Ecuación 3) – μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + m3 a – 2 μ m g + m3 g = 2 m a + m3 a – 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a (Ecuación 4) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en movimiento. En el momento en que el sistema se pone en movimiento a = 0 – 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a (Ecuación 4) – 2 μ m g + m3 g = 0 m3 g = 2 μ m g 2 μ m g m3 = = 2 μ m = 2 * 0,2 * 2 = 0,8 kg g m3 = 0,8 kg. 97
  • 98.
    Si a esamínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las tensiones de los hilos? m = 2 kg m3 = 0,8 kg. M3 = 0,8 kg. + 1 kg = 1,8 Kg. T2 m3 = 0,8 kg 1 kg Las ecuaciones siguen iguales, la única que cambia es la tercera ecuación Sumando las tres ecuaciones T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T 2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) m3 g – T2 = M3 a (Ecuación 3) – μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + M3 a – 2 μ m g + m3 g = 2 m a + M3 a – 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (Ecuación 4) Reemplazando los valores, se halla la aceleración – 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (– 2 * 0,2 * 2 * 9,8) + 1,8 * 9,8 = (2 * 2 + 1,8 ) a - 7,84 + 17,64 = 5,8 * a 9,8 = 5,8 a 9,8 m a = = 1,69 5,8 seg 2 a = 1,69 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T1 T1 – μ m g = m a (Ecuación 1) T1 = μ m g + m a T1 = (0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69 T1 = (3,92) + 3,38 = 7,3 Newton T1 = 7,3 Newton Se reemplaza en la ecuación 2 para hallar la tensión T2 T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2) T2 = T1 + μ m g + m a T2 = 7,3 + ( 0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69 T2 = 7,3 + 3,92 + 3,38 T2 = 14,6 Newton 98
  • 99.
    Que aceleración horizontalhay que proporcionar al sistema de la figura para que la masa no deslice?. Aplicarlo al caso en que el coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies sea de 0,15 y el ángulo de inclinación sobre la horizontal 300 N N FR NY FR 300 FRY NY 300 FRY 600 EJE X 300 600 FRX NX EJE X FRX 0 60 NX P 300 300 P Aceleración horizontal ∑ F X = m aX NX – FRX = m a Pero: NX = N cos 60 FR = μ N FRX = FR cos 30 FRX = μ N cos 30 NX – FRX = m a N cos 60 - μ N cos 30 = m aX (Ecuación 1) ∑ FY = m aY = 0 Si queremos que el cuerpo no deslice, aY = 0 P - NY - FRY = 0 Pero: NY = N sen 60 FR = μ N FRY = FR sen 30 FRY = μ N sen 30 P - NY - FRY = 0 m g - N sen 60 - μ N sen 30 = 0 N sen 60 + μ N sen 30 = m g (Ecuación 2) Dividiendo las ecuaciones N cos 60 - μ N cos 30 = m aX (Ecuación 1) N sen 60 + μ N sen 30 = m g (Ecuación 2) N cos 60 - μ N cos 30 m ax = N sen 60 + μ N sen 30 mg cos 60 - μ cos 30 a = x sen 60 + μ sen 30 g 99
  • 100.
    g * (cos60 - μ cos 30 ) 9,8 (0,5 - 0,15(0,866)) ax = = sen 60 + μ sen 30 0,866 + 0,15(0,5) 9,8 * (0,3701) 3,62698 m ax = = = 3,83 0,947 0,947 seg 2 Sobre un cuerpo de 5 kg, se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 70 Newton b) 35 Newton c) 50 Newton Calcular en cada caso la aceleración del cuerpo. Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 70 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton F = 70 N ∑ FY = m a a F–mg=ma 70 – 50 = 5 a 20 = 5 a W=mg a = 20/5 = 4 m/seg2 a = 4 m/seg2 Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 35 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton F = 35 N ∑ FY = m a a F–mg=ma 35 – 50 = 5 a - 15 = 5 a W=mg a = - 15/5 = - 3 m/seg2 a = - 3 m/seg2 Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 50 Newton y esta dirigida hacia arriba W=mg W = 5 * 10 = 50 Newton F = 50 N ∑ FY = m a F–mg=ma 50 – 50 = m a 0=ma W=mg No hay desplazamiento. Un cuerpo de masa M y peso W se encuentra dentro de un ascensor. Calcular la fuerza que ejerce el ascensor sobre el cuerpo. a) Si el ascensor sube con aceleración a F ∑ FY = m a a F–W=Ma W F=W+Ma 100
  • 101.
    b) Si elascensor baja con aceleración a ∑ FY = m a F+W=Ma F= Ma-W Ascensor a F W Si el ascensor sube o baja con velocidad constante. Cuando un cuerpo se mueve a velocidad constante, se dice que la aceleración es cero. En el caso que baja ∑ FY = m a = 0 Ascensor a F+W=0 F= -W F W De los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija, penden dos cuerpos de 60 kg y otro de 100 kg. respectivamente. Calcular: a) La aceleración de los cuerpos? b) La tensión de la cuerda T1 T T T T W1 = m1 g W2 = m2 g m1 m2 ∑ FY = m1 a T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a m2 g - T = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) m 2 g - T = m2 a (Ecuación 2) m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a 100 * 10 – 60 * 10 = (60 + 100) a 1000 – 600 = 160 a 400 = 160 a a = 2,5 m/seg2 101
  • 102.
    Se reemplaza enla ecuación 1 para hallar la tensión T - m1 g = m1 a (Ecuación 1) T = m1 a + m1 g T = 60 * 2,5 + 60 * 10 T = 150 + 600 T = 750 Newton T1 = 2 T = 2 * 104,528 T1 = 209,056 Newton Un cuerpo de 10 kg, cuelga de una bascula de resorte fijada al techo de un elevador. Cual es el peso que marca la bascula a) Si el elevador esta en reposo. b) Si el elevador sube a 3 m/seg2 c) Si el elevador baja a 2,5 m/seg. d) Si el elevador sube y baja con velocidad constante. Ascensor Si el elevador esta en reposo. ∑ FY = m a = 0 Bascula F–W=0 F=W Si el elevador sube a 3 m/seg2 F ∑ FY = m a F–W=ma m = 10 kg F=W+ma F = 10 * 10 + 10 * 3 W=m g F = 100 +30 F = 130 Newton Si el elevador baja a 2,5 m/seg. ∑ FY = m a -F–W=ma F=-W-ma F = - 10 * 10 - 10 * 2,5 F = - 100 - 25 F = - 75 Newton Si el elevador sube y baja con velocidad constante. Si el elevador sube ∑ FY = m a = 0 F–W=0 F=W F = - 10 * 10 F = 100 Newton Entre los bloques y la mesa de la figura no hay rozamiento., hallar? a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda A? c) Tensión de la cuerda B? d) Tensión de la cuerda C? e) Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg. 102
  • 103.
    m4 m3 TA m2 TD TB TB TC TC TA TD m1 m5 N2 N3 N4 TA TA TB TB TC TD TB TC TC TD m1 g m2 g m3 g m4 g m5 g Bloque m1 ∑ FY = m1 a TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) Bloque m2 ∑ FX = m2 a TB – TA = m2 a (Ecuación 2) Bloque m3 ∑ FX = m3 a TC – TB = m3 a (Ecuación 3) Bloque m4 ∑ FX = m4 a TD – TC = m4 a (Ecuación 4) Bloque m5 ∑ FY = m5 a m5 g - TD = m5 a (Ecuación 5) Sumando las 5 ecuaciones, hallamos la aceleración del sistema. m1 = 4 kg m2 = 2 kg m3 = 3 kg m4 = 5 kg m5 = 16 kg TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) TB – T A = m 2 a (Ecuación 2) T C – TB = m 3 a (Ecuación 3) T D – TC = m 4 a (Ecuación 4) m 5 g - TD = m 5 a (Ecuación 5) 103
  • 104.
    - m1 g+ m5 g = (m1 + m2 + m3 + m4 + m5 ) a - 4 * 10 + 16 * 10 = (4 + 2+ 3 + 5+ 16 ) a - 40 + 160 = (30) a 120 = 30 a a = 120/30 a = 4 m/seg2 Tensión de la cuerda A? TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1) TA = m1 a + m1 g TA = 4 * 4 + 4 * 10 TA = 16 +40 TA = 56 Newton Tensión de la cuerda B? TB – TA = m2 a (Ecuación 2) TB – 56 = 2 * 4 TB = 56 + 8 TB = 64 Newton Tensión de la cuerda C? TC – TB = m 3 a (Ecuación 3) TC = TB + m3 a TC = 64 + 3 * 4 TC = 64 + 12 TC = 76 Newton Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg. 1 X = V0 * t + a * t2 2 1 1 X = a * t 2 = * 4 (3)2 = 18 metros 2 2 X = 18 metros Entre el bloque y la mesa de la figura no hay rozamiento m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. Calcular: a) Aceleración del sistema b) Tensión de la cuerda c) Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo. T Bloque m1 Bloque m2 N T m1 = 2 kg T T m2 =3 kg m1 = 2 kg m 2 = 3 kg W1 = m1 * g W2 = m2 * g 104
  • 105.
    Bloque m1 T =m1 * a T = m1 * a (Ecuación 1) Bloque m2 m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) T = m1 * a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) m 2 g = m1 * a + m2 * a m2 g = (m1 + m2 ) * a (m 2 ) g (3 )10 = 30 a = = =6 m (m1 + m 2 ) (2 + 3) 5 seg 2 a =6 m seg 2 Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1. T = m1 * a (Ecuación 1) T = 2 * 6 = 12 Newton T = 12 Newton Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo. VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t = (6 m/seg2 ) 5 seg = 30 m/seg VF = 30 m/seg Si entre el bloque de 2 kg y la mesa de la figura anterior existe una fuerza de rozamiento de 6 Newton, Calcular: a) El valor del coeficiente de rozamiento b) Aceleración del sistema c) Tensión de la cuerda Debemos hacer un diagrama que nos represente las condiciones del problema T Bloque m1 Bloque m2 N T m1 = 2 kg T T FR m2 =3 kg m1 = 2 kg m 2 = 3 kg W1 = m1 * g W2 = m2 * g 105
  • 106.
    Bloque m1 ∑ FX= m1 * a T - FR = m1 * a T - FR = m1 * a T – 6 = m1 * a (Ecuación 1) ∑ FY = 0 m1 * g – N = 0 m1 g = N N = 2 * 10 = 20 Newton Bloque m2 m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) T - 6 = m1 * a (Ecuación 1) m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2) - 6 + m 2 g = m 1 * a + m2 * a - 6 + m2 g = (m1 + m2 ) * a − 6 + (m 2 ) g - 6 + 3 * 10 24 a = = = = 4,8 m (m1 + m 2 ) (2 + 3) 5 seg 2 a = 4,8 m seg 2 Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1. T – 6 = m1 * a (Ecuación 1) T – 6 = 2 * 4,8 T = 9,6 + 6 T = 15,6 Newton El valor del coeficiente de rozamiento FR = μ * N PERO: FR = 6 Newton N = 20 Newton 6 = μ * 20 6 μ = = 0,3 20 106