PROGRAMACION LINEAL - METODO SIMPLEX

MÉTODO GRÁFICO
Interpretación gráfica del Método Simplex
• La resolución de problemas lineales con sólo dos o tres
variables
de
decisión
se
puede
ilustrar
gráficamente, mostrándose como una ayuda visual para
comprender muchos de los conceptos y términos que se
utilizan y formalizan con métodos de solución más
sofisticados, como por ejemplo el Método Simplex, necesarios
para la resolución de problemas con varias variables. Para ello
se puede usar el método Gráfico.
• Aunque en la realidad rara vez surgen problemas con sólo dos
o tres variables de decisión, es sin embargo muy útil esta
metodología de solución e interpretación, en la que se verán
las situaciones típicas que se pueden dar, como son la
existencia de una solución óptima única, de soluciones
óptimas alternativas, la no existencia de solución y la no
acotación.
1

EJEMPLO: Método Gráfico
Resolver mediante el método Gráfico el siguiente
problema:

2

PASOS METODO GRAFICO
1. Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas
asociando a un eje la variable 'x' y al otro la 'y'
(generalmente se asocia 'x' al eje horizontal e 'y' al
vertical), como se puede ver en la figura.
2. Se marca en dichos ejes una escala numérica
apropiada a los valores que pueden tomar las
variables de acuerdo a las restricciones del problema.
Para ello en cada restricción se hacen nulas todas las
variables excepto la correspondiente a un eje
concreto, determinándose así el valor adecuado para
dicho eje. Este proceso se repite para cada uno de los
ejes.
3

A continuación se representan las restricciones
PRIMERA RESTRICCION COMO
IGUALDAD

• Aparece
representada como
el segmento que
une A con B y la
región que delimita
ésta
restricción
viene indicada por el
color AMARILLO
4

Se repite el proceso con las demás
restricciones, quedando delimitadas la región de color
AZUL y ROJO para la segunda y tercera restricción
respectivamente
IGUALDAD

IGUALDAD

5

REGION FACTIBLE
• La región factible es la
intersección
de
las
regiones
delimitadas
tanto por el conjunto de
restricciones, como por
las condiciones de no
negatividad
de
las
variables, es decir, por
ambos
ejes
de
coordenadas.
Dicha
región
factible
está
representada por el
polígono O-F-H-G-C, de
color VIOLETA
6

Región Factible y Solución Optima
• Como existe una región factible, se procede a
determinar sus puntos extremos, o vértices del
polígono que representa. Estos vértices son los
puntos candidatos a soluciones óptimas. En este
ejemplo son los puntos O-F-H-G-C de la figura.
• Finalmente, se evalúa la función objetivo (3x + 2y) en
cada uno de esos puntos (resultado que se recoge en
la tabla siguiente). Como el punto G proporciona el
mayor valor a la función Z y el objetivo es
maximizar, tal punto constituye la solución óptima:
Z = 33, con x = 3 e y = 12
7

Función Objetivo
PUNTO EXTREMO
O

COORDENADAS
(X,Y)
(0,0)

VALOR OBJETIVO
(Z)
0

C

(0,14)

28

G

(3,12)

33

H

(6,6)

30

F

(8,0)

24

8

Método Simplex
Resolver mediante el método simplex el
siguiente problema:

9

Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
• Se introduce una variable de holgura por cada
una de las restricciones del tipo ≤, para
convertirlas en igualdades, resultando el sistema
de ecuaciones lineales:
2x + y + S1 = 18
2x + 3y + S2 = 42
3x +y + S3 = 24
2. Se iguala la función objetivo a cero :
Z - 3x - 2y = 0
10

CUADRO GENERAL SIMPLEX –
Maximización

11

3. Escribir la tabla inicial simplex
• En las columnas aparecerán todas las variables
básicas del problema y las variables de
holgura/exceso. En las filas se observan, para
cada restricción las variables de holgura con
sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y
la última fila con los valores resultantes de
sustituir el valor de cada variable en la función
objetivo, y de operar tal como se explicó en la
teoría para obtener el resto de valores de la
fila:
12

CUADRO INICIAL
Punto Inicial: X1=0 y X2=0

Solución Básica Factible - Punto Inicial

15

Métodos Grafico
y Simplex:
Punto Inicial – PO

16

4. Condición de parada
• Cuando en la fila Z no existe ningún
valor negativo, se ha alcanzado la
solución óptima del problema. En tal
caso, se ha llegado al final del
algoritmo. De no ser así, se ejecutan
los siguientes pasos.
17

5. Condición de entrada y
salida de la base
A. Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello
escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor
de los negativos. En este caso sería la variable X1 de coeficiente - 3.
• Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la
condición anterior (caso de empate), entonces se optará por
aquella variable que sea básica.
• La columna de la variable que entra en la base se llama columna
pivote (En color verde).
B. Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en
condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se
divide cada término independiente (X1) entre el elemento
correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea
mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos.

18

Paso B
• En nuestro caso:
18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
• Si hubiera algún elemento menor o igual a
cero no se realiza dicho cociente, y caso de
que todos los elementos de la columna pivote
fueran de ésta condición tendríamos una
solución no acotada y terminaríamos el
problema.
19

Paso B
• El término de la columna pivote que en la
división anterior dé lugar al menor cociente
positivo, el 3, ya que 8 es el menor
cociente, indica la fila de la variable de holgura
que sale de la base, S3. Esta fila se llama fila
pivote (En color verde).
• Si al calcular los cocientes, dos o más son
iguales (caso de empate), se escoge aquella
que no sea variable básica (si es posible).
20

Paso C
• En la intersección de la fila pivote
y columna pivote tenemos el
elemento pivote, 3.

21

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA LA PRIMERA ITERACION

1. Se elige el coeficiente de Costos que tengan el valor
mas negativo y entra a la Base la Variable
correspondiente en este caso X1.
2. Se calcula el coeficiente (bi/Yij) y se escoge el
coeficiente menor positivo y sale de la Base la
Variable correspondiente en este Caso S3.
3. Del primer punto y aplicando la metodología GaussJordan se convierte la columna en un vector unitario
(…0 0 1 0 …).
4. Punto Inicial: X1=0 y X2=0,
5. Con la función objetivo, Z=0

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA LA PRIMERA ITERACION

6. Encontrar los coeficientes de la
nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de la fila pivote, S3, se
obtienen dividiendo todos los coeficientes de
dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es
el que hay que convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana
hacemos ceros los restantes términos de su
columna, con lo que obtenemos los nuevos
coeficientes de las otras filas incluyendo los de
la función objetivo Z.
24

También se puede hacer de la
siguiente manera:
• Fila del pivote:
• Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) /
(Pivote)
• Resto de las filas:
• Nueva fila = (Vieja fila)-(Coeficiente de la vieja
fila en la columna de la variable entrante) x
(Nueva fila del pivote)

25

RESULTADO PRIMERA ITERACION y PROCEDIMIENTO
PARA LA SEGUNDA ITERACION
1. Se elige el coeficiente de Costos que tengan el valor mas negativo y entra a la Base
la Variable correspondiente en este caso X2.
2. Se calcula el coeficiente (bi/Yij) y se escoge el coeficiente menor positivo y sale de
la Base la Variable correspondiente en este Caso S1.
3. Del primer punto y aplicando la metodología Gauss-Jordan se convierte la
columna en un vector unitario (…0 0 1 0 …).
4. Punto: X1=8 y X2=0

Primer Desplazamiento
• La variable que entra a la base en el método
Simplex determina hacia qué nuevo vértice se
realiza el desplazamiento. En este ejemplo, como
entra
X1
(correspondiente
a
'x'),
el
desplazamiento se lleva a cabo por la arista OF
hasta llegar al vértice F, donde se calcula el valor
que toma la función Z. Este paso se produce en la
segunda iteración del método Simplex, mostrado
en el cuadro de la Iteración 1. En ella se ha
calculado el valor que corresponde al vértice F
obteniéndose un valor:
Z = 24 para la función.
27

Solución Básica Factible –
Segundo Punto

28

Métodos Grafico
y Simplex:
Punto Dos – PF

29

Análisis Segunda Tabla Simplex
• Se puede observar que no hemos alcanzado la condición
de parada ya que en los elementos de la última
fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso:
a. La variable que entra en la base es y X2, por ser la
variable que corresponde a la columna donde se
encuentra el coeficiente -1.
b. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos
de la última columna entre los términos
correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3
[=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24] y como el menor
cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale
es (S1).
c. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.
30

RESULTADO SEGUNDA ITERACION y PROCEDIMIENTO PARA LA
TERCERA ITERACION
1. Se elige el coeficiente de Costos que tengan el valor mas negativo y entra
a la Base la Variable correspondiente en este caso S3.
2. Se calcula el coeficiente (bi/Yij) y se escoge el coeficiente menor positivo y
sale de la Base la Variable correspondiente en este Caso S2.
3. Del primer punto y aplicando la metodología Gauss-Jordan se convierte la
columna en un vector unitario (…0 0 1 0 …).
4. Punto: X1=6 y X2=6

Segundo Desplazamiento
• Se realiza un nuevo desplazamiento
por la arista FH, hasta llegar a H
(datos en el cuadro Iteración 2). En
ésta tercera iteración se calcula el
valor de la función en el vértice
H, obteniéndose, Z = 30.
32

Tercer Punto

33

Métodos Grafico
y Simplex:
Punto Dos – PH

34

Análisis Tercera Tabla Simplex
• Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, 1, significa que no hemos llegado todavía a la solución
óptima. Hay que repetir el proceso:
a. La variable que entra en la base es S3, por ser la
variable que corresponde al coeficiente -1.
b. Para calcular la variable que sale, dividimos los
términos de la última columna entre los términos
correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2)
[=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6] y como el menor cociente
positivo es 3, tenemos que la variable que sale es S2.
c. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
35

RESULTADO TERCERA ITERACION y
CUADRO OPTIMO
1. No se tiene coeficientes negativos.
2. Cuadro Optimo.
3. Punto Optimo: X1=3 y X2=12

Tercer Desplazamiento
• Se continúa el proceso a través de la arista
HG, hasta llegar al vértice G. Los datos
obtenidos se reflejan en el cuadro Iteración 3.
En este punto acaba el proceso, pudiéndose
comprobar que la solución no mejora al
desplazarse por la arista GC hasta el vértice G
(no supera el valor actual de la función).

37

Cuarto Punto - Optimo

38

Métodos Grafico
y Simplex:
Punto Dos – PG

39

Y

VECTOR V

(14,0)

Función Objetivo:

(3,12)

Z = 3X + 2Y
Z = aX + bY
Vector: V = (-b, a)
V = (-2, 3)

(6,6)
Se
desplaza
el
vector, guardando
su orientación y
ubicar el
último
vértice que toque
antes de salir de la
Región Factible.

(-2,3)

X
(0,0)

(0,8)
40

Análisis Final
• El valor máximo de la función objetivo es
Z=33, y corresponde a los valores x = 3 e y =
12 (coordenadas del vértice G).
• Con el método Gráfico es necesario calcular el
valor de la función objetivo en todos los
vértices de le región factible, mientras que el
método Simplex acaba en cuanto halla el valor
óptimo.
41

Análisis Cuarta Tabla Simplex
• Se observa que en la última fila todos los
coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple
la condición de parada, obteniendo la solución
óptima.
• La solución óptima viene dada por el valor de Z
en la columna de los valores solución, en nuestro
caso: 33. En la misma columna se puede observar
el punto donde se alcanza, observando las filas
correspondientes a las variables de decisión que
han entrado en la base: (x,y) = (3,12)
42

COMPARACION DEL MÉTODO GRÁFICO CON EL
MÉTODO SIMPLEX
• Las sucesivas tablas construidas durante el
método Simplex van proporcionando el valor de
la función objetivo en los distintos vértices de la
región factible, ajustándose, a la vez, los
coeficientes de las variables iniciales y de holgura.
• En la tabla inicial se ha calculado el valor de la
función objetivo en el vértice O, cuyas
coordenadas (0,0) se corresponden con el valor
que tienen las variables básicas, siendo el
resultado 0.
43

• Cabe mencionar que como Z representa
la producción, sus valores no pueden ser
negativos. El Método Simplex nos
permite rectificar los valores de Z y
encontrar la solución optima para la
Maximización en producción. Además de
que el Método Simplex nos permite
comprobar de manera matemática algún
caso ya antes resuelto con el método
grafico.

EXPLICACION DEL
METODO SIMPLEX

45

METODO SIMPLEX
• El método Simplex es un procedimiento iterativo
que permite ir mejorando la solución a cada
paso. El proceso concluye cuando no es posible
seguir mejorando más dicha solución.
• Partiendo del valor de la función objetivo en un
vértice cualquiera, el método consiste en buscar
sucesivamente otro vértice que mejore al
anterior. La búsqueda se hace siempre a través de
los lados del polígono (o de las aristas del
poliedro, si el número de variables es mayor).
Cómo el número de vértices (y de aristas) es
finito, siempre se podrá encontrar la solución.
(Véase método Gráfico)
46

METODO SIMPLEX
• El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si
la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el
vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo
largo de la cual f aumenta.
• Deberá tenerse en cuenta que este método sólo
trabaja para restricciones que tengan un tipo de
desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores
o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para
el algoritmo. En caso de que después de éste
proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo
"≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el
más común el método de las Dos Fases.
47

PREPARANDO EL MODELO PARA
ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX
Esta es la forma estándar del modelo:
• Función objetivo:
c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
• Sujeto a:
a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
...
am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm
x1,..., xn ≥ 0
48

Para ello se deben cumplir las
siguientes condiciones:
1. El objetivo es de la forma de maximización
o de minimización.
2. Todas las restricciones son de igualdad.
3. Todas las variables son no negativas.
4. Las constantes a la derecha de las
restricciones son no negativas.

49

Cambio del tipo de optimización
• Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos
dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en
cuenta nuevos criterios para la condición de parada
(deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la
fila del valor de la función objetivo sean todos menores
o iguales a 0), así como para la condición de salida de
la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede
convertir el objetivo de minimizar la función F por el de
maximizar F·(-1).
• Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios
de parada, o condición de salida de filas, ya que se
mantienen.
50

Cambio del tipo de optimización
• Inconvenientes: En el caso de que la función tenga
todas sus variables básicas positivas, y además las
restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el
cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la
función objetivo se quedan positivos, por lo que se
cumple la condición de parada, y por defecto el valor
óptimo que se obtendría es 0.
• Solución: En la realidad no existen este tipo de
problemas, ya que para que la solución quedara por
encima de 0, alguna restricción debería tener la
condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo
para el método de las Dos Fases.
51

Conversión de signo de los términos independientes
(Las constantes a la derecha de las restricciones)

• Deberemos preparar nuestro modelo de forma
que los términos independientes de las
restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no
se puede emplear el método Simplex. Lo único
que habría que hacer es multiplicar por "-1" las
restricciones donde los términos independientes
sean menores que 0.
• Ventaja: Con ésta simple modificación de los
signos en la restricción podemos aplicar el
método Simplex a nuestro modelo.
52

Conversión de signo de los términos independientes
(Las constantes a la derecha de las restricciones)

• Inconvenientes: Puede resultar que en las
restricciones donde tengamos que modificar los
signos de las constantes, los signos de las
desigualdades fueran ("=", "≤"), quedando
("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos
desarrollar el método de las Dos Fases. Este
inconveniente no es controlable, aunque nos
podría beneficiar si sólo existen términos de
desigualdad ("≤","≥"), y los "≥" coincidieran con
restricciones donde el término independiente es
negativo.
53

Todas las restricciones son de igualdad
• Si en nuestro modelo aparece una inecuación con
una desigualdad del tipo "≥", deberemos añadir
una nueva variable, llamada variable de exceso
si, con la restricción si ≥ 0. La nueva variable
aparece con coeficiente cero en la función
objetivo, y restando en las inecuaciones.
• Surge ahora un problema, veamos cómo queda
una de nuestras inecuaciones que contenga una
desigualdad "≥":
a11·x1 + a12·x2 ≥ b1
Tenemos, a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1
54

• Como todo nuestro modelo, está basado en que
todas sus variables sean mayores o iguales que
cero, cuando hagamos la primera iteración con el
método Simplex, las variables básicas no estarán
en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor
que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras
hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1. No
cumpliría la condición de no negatividad, por lo
que habrá que añadir una nueva variable, xr, que
aparecerá con coeficiente cero en la función
objetivo, y sumando en la inecuación de la
restricción correspondiente.
55

• Quedaría entonces de la siguiente manera:
a11·x1 + a12·x2 ≥ b1
Tenemos, a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1 ·xr = b1

• Este tipo de variables se les llama variables
artificiales, y aparecerán cuando haya
inecuaciones con desigualdad ("=","≥"). Esto nos
llevará obligadamente a realizar el método de las
Dos Fases, que se explicará más adelante.
56

• Del mismo modo, si la inecuación tiene
una desigualdad del tipo "≤", deberemos
añadir una nueva variable, llamada
variable de holgura si, con la restricción si
"≥" 0 . La nueva variable aparece con
coeficiente cero en la función objetivo, y
sumando en las inecuaciones.
57

A modo resumen podemos dejar esta
tabla resumen:
TIPO DE DESIGUALDAD TIPO DE VARIABLE QUE
APARECE
≥
- Exceso + Artificial
=
+ Artificial
≤
+ Holgura

58

DESARROLLANDO EL
MÉTODO SIMPLEX

Una vez que hemos
estandarizado
nuestro
modelo,
puede
ocurrir
que
necesitemos aplicar
el método Simplex o
el método de las Dos
Fases. Véase en la
figura
como
debemos
actuar
para llegar a la
solución de nuestro
problema.

59

Método Simplex: Construcción de la
primera tabla
1. En la primera columna de la tabla aparecerá
lo que llamaremos base.
2. En la segunda el coeficiente que tiene en la
función objetivo cada variable que aparece
en la base (llamaremos a esta columna Cb).
3. En la tercera el término independiente de
cada restricción (P0), y a partir de ésta
columna aparecerán cada una de las
variables de la función objetivo (Pi).
60

Método Simplex: Construcción de la
primera tabla
4. Para tener una visión más clara de la tabla,
incluiremos una fila en la que pondremos
cada uno de los nombres de las columnas.
5. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos
nuevas filas: una que será la que liderará la
tabla donde aparecerán las constantes de los
coeficientes de la función objetivo, y otra que
será la última fila, donde tomará valor la
función objetivo. Nuestra tabla final tendrá
tantas filas como restricciones.
61

Tabla Inicial
• Los valores de la fila Z se obtienen de la
siguiente forma: El valor Z0 será el de
sustituir Cim en la función objetivo (y
cero si no aparece en la base). El resto de
columnas se obtiene restando a este
valor el del coeficiente que aparece en la
primera fila de la tabla.
• Se observará al realizar el método
Simplex, que en esta primera tabla, en la
base estarán las variables de holgura.
63

Condición de parada:
Comprobaremos si debemos de dar
una nueva iteración o no, que lo
sabremos si en la fila Z aparece algún
valor negativo. Si no aparece
ninguno, es que hemos llegado a la
solución óptima del problema.
64

Elección de la variable que entra:
Si no se ha dado la condición de
parada, debemos seleccionar una
variable para que entre en la base en la
siguiente tabla. Para ello nos fijamos en
los valores estrictamente negativos de la
fila Z, y el menor de ellos será el que nos
de la variable entrante.
65

Elección de la variable que sale:
Una vez obtenida la variable entrante,
obtendremos la variable que sale, sin más
que seleccionar aquella fila cuyo cociente
P0/Pj sea el menor de los estrictamente
positivos (teniendo en cuenta que sólo se
hará cuando Pj sea mayor de 0). La
intersección entre la columna entrante y la
fila saliente nos determinará el elemento
pivote.
66

Actualización de la tabla:
• Las filas correspondientes a la función objetivo y a los
títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El
resto deberá calcularse de dos formas diferentes:
1. Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará:
Nuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote.

2. Para el resto de elementos de filas se calculará:
Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento
Columna Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila).

67

Sitio Web

• http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo
_simplex.htm#preparacion

68

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