Razonamiento Logico Matematico para la Toma de Decisiones X5 Ccesa007.pdf

Razonamiento Lógico Matemático para la Toma de Decisiones
Primera edición: 2015
Fecha de la edición: 26 de febrero de 2015
Fecha de 1ª. reimpresión: 27 de abril de 2015
Segunda edición: 30 de marzo de 2017
D.R. © 2016 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, C.P. 04510, Ciudad de México.
Facultad de Contaduría y Administración
Publicaciones Empresariales UNAM. FCA Publishing
Circuito Exterior s/n, Ciudad Universitaria
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ISBN: 978-607-02-8285-0
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“Prohibida la reproducción total o parcial de por cualquier medio sin la autorización
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Hecho en México
Dr. Juan Alberto Adam Siade
Director
Mtro. Tomás Humberto Rubio Pérez
Secretario General
Lic. Ma. del Carmen Márquez González
Secretaria de Divulgación y Fomento Editorial
Dr. Enrique Luis Graue Wiechers
Rector
Dr. Leonardo Lomelí Vanegas
Secretario General

Dedicado a:
Norma Paola Ángeles Peralta
A tres de mis mejores profesores:
Dr. Alberto Barajas Celis,
Mtro. Gonzalo Zubieta Russi,
Dr. José Alfredo Amor Montaño

Agradecimientos:
A Dios
A las autoridades universitarias que me brindaron todo su apoyo
para que este libro de texto fuera una realidad.

5
Índice
Introducción............................................................................................. 8
Parte I
CAPÍTULO I
ESTRUCTURA DE LOS EJERCICIOS. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Y SUFICIENCIA DE DATOS............................................................................. 11
CAPÍTULO 2
LÓGICA MATEMÁTICA .................................................................................. 17
Introducción....................................................................................... 17
I. Conceptos preliminares.................................................................. 19
II. Demostraciones directas de una condicional............................... 21
III. Demostración directa de una proposición simple
o demostración directa por casos................................................ 24
Bibliografía ......................................................................................... 27
CAPÍTULO 3
ARITMÉTICA ................................................................................................ 28
Introducción....................................................................................... 28
I. Conceptos preliminares (teoría de conjuntos)............................... 29
II. Diagramas de Venn ....................................................................... 31
III. Operaciones entre conjuntos....................................................... 34

6
IV. Conjuntos numéricos ................................................................... 36
V. Operaciones binarias de los conjuntos numéricos ....................... 37
VI. Razones y proporciones............................................................... 44
Bibliografía ......................................................................................... 48
CAPÍTULO 4
ÁLGEBRA ................................................................................................ 49
Introducción....................................................................................... 49
II. Polinomios..................................................................................... 52
III. Ecuaciones de primer grado........................................................ 55
IV. Ecuaciones de segundo grado...................................................... 69
Bibliografía ......................................................................................... 78
CAPÍTULO 5
GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO............................................................... 79
Introducción....................................................................................... 79
II. Trigonometría................................................................................ 85
III. Figuras planas .............................................................................. 89
IV. Perímetros y áreas de polígonos .................................................. 91
V. Volúmenes de sólidos .................................................................... 92
Bibliografía ......................................................................................... 97
CAPÍTULO 6
COMPENDIO DE EJERCICIOS DE SUFICIENCIA DE DATOS CON RESPUESTA.......... 98
Parte II
CAPÍTULO 7
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES................................................................. 105
Introducción....................................................................................... 105
II. Programación lineal ...................................................................... 108
III. Modelación de problemas de programación lineal .................... 110
IV. Método Gráﬁco............................................................................ 119

7
V. Método simplex simple ................................................................. 126
VI. Portafolios de inversión............................................................... 132
VII. Uso de LINDO 6.1 .................................................................... 139
VIII. Administración de proyectos.................................................... 143
Bibliografía ......................................................................................... 175
ANEXOS ................................................................................................ 176

8
Introducción
En el mundo, la mayoría de universidades de prestigio que ofrece pos-
grados en el área de negocios utiliza como herramienta de selección de
sus alumnos el Graduate Manegement Admission Test (GMAT), un examen
estandarizado que evalúa el razonamiento numérico y verbal de los aspiran-
tes. Está elaborado de manera tal que puede determinar las capacidades del
alumno, no sus conocimientos. Se presenta por completo en inglés.
El GMAT consta de tres grandes rubros: Redacción analítica, Sección
cuantitativa y Sección verbal. En la Sección cuantitativa, se maneja dos tipos
de problemas: Problem Solving (solución de problemas), de opción múltiple
con la variante de que es más fácil equivocarse si no se tiene el cuidado
adecuado, y los Data Sufficiency (suficiencia de datos), que presentan un
razonamiento totalmente nuevo para el estudiante.
En la Facultad de Contaduría y Administración, dentro de sus planes de
estudio 2012, se consideró y aprobó la inclusión de una asignatura que per-
mitiera al alumno reforzar los conocimientos cuantitativos adquiridos hasta
su ingreso a la facultad e introducir el razonamiento lógico matemático que
se requiere para presentar este examen de admisión, por si le interesa al alum-
no continuar sus estudios. Claro está que también debe considerar el estudio
del idioma inglés.
Este libro tiene por objeto reforzar los conocimientos cuantitativos que
los alumnos han adquirido a la fecha; entrenar a los alumnos en un nuevo
tipo de razonamiento lógico matemático, que les facilite la presentación del
GMAT, o, incluso, un nuevo enfoque en la resolución de problemas de tipo
cuantitativo; finalmente, enseñar una pequeña proporción de la teoría y al-
goritmos matemáticos fundamentales en la Toma de Decisiones.

Introducción
9
Se presenta como parte I, un capítulo de cada uno de los temas más rele-
vantes en GMAT: Lógica Matemática, Aritmética, Álgebra, Geometría Plana
y del Espacio. En cada sección, se presenta problemas prototipo del GMAT.
En la Parte II, se incluye una pequeña porción de la teoría y algoritmos ne-
cesarios en la Toma de Decisiones.
Importante
Los problemas presentados en este texto tienen la finalidad de que el razo-
namiento de quien los resuelve se agilice y tome un rigor de inspección en
la redacción del mismo. Las figuras NO son réplica idéntica de lo que se
quiere presentar, incluso, puede no estar de acuerdo con la redacción del
problema.
Para poder contestar los problemas en la categoría de opción múltiple,
se recomienda realizar las operaciones, dibujos y razonamientos en una hoja
aparte, antes de elegir su opción.
Los problemas de la categoría suficiencia de datos necesitan que usted
examine con detenimiento la pregunta y cada una de las dos declaraciones
que se le proporcionan en todos los capítulos de la primera parte de este
libro. Para resolver este tipo de problemas, será necesario que siempre tenga
a la mano la siguiente tabla:
Solución
del problema
Justificación
A
La declaración (1) por sí sola es suficiente, pero la declaración
(2) por sí sola no es suficiente.
B
C
Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna
declaración por sí sola es suficiente.
D Cada declaración por sí sola es suficiente.
E Ambas declaraciones no son suficientes.

11
Capítulo 1
Estructura de los ejercicios
Solución de problemas y
Suﬁciencia de datos
Estructura de los ejercicios Solución de Problemas
Deﬁnitivamente en este nivel de estudios, el alumno cuenta con un
amplio manejo de los problemas de opción múltiple, sin embargo,
los denominados solución de problemas se diferencian de los anteriores por
contener respuestas que consideran los posibles errores en el estudiante, de
esta manera no es tan sencillo determinar la respuesta correcta. A continua-
ción se muestra un sencillo ejemplo de los posibles razonamientos en un
problema de aritmética.
Ejemplo
En un grupo de 70 estudiantes de la FCA que cursan la asignatura de Estadís-
tica I, el 40% reprobó el primer examen parcial, el 20% reprobó el segundo
examen parcial y un 10% reprobó ambos exámenes ¿cuál es la probabilidad
de que un alumno de este grupo, elegido al azar haya reprobado el primer
examen parcial; pero no el segundo?

Razonamiento Lógico Matemático para la toma de decisiones
12
A. 4/7
B. 3/7
C. 2/5
D. 3/10
E. 1/10
Solución
Primero se presentará algunas formas de razonamiento ERRÓNEO que se
presenta en los alumnos al tratar de resolver un problema como éste:
Caso 1. A primera vista, si no se tiene la más remota idea de cómo deter-
minar la probabilidad, el alumno podría hacer un cociente inmediatamente
de 40/70 puesto que se menciona el 40% de 70 alumnos y, podría contestar
que la respuesta correcta es A.
Caso 2. A partir de un razonamiento completamente ilógico pero posi-
ble, podría ser que sumara el 10% con el 20% de los datos correspondientes
y los dividiera entre 70, entonces elegiría la opción B.
Caso 3. Si se tiene más nociones de probabilidad, seguramente, prime-
ro convertirá a número de alumnos el porcentaje de los que reprobaron el
primer examen y lo dividiría entre el total: 28/70, que al simpliﬁcarse queda
como 2/5 y corresponde a la respuesta C.
No obstante, el razonamiento correcto considera:
1. La probabilidad es un número entre 0 y 1.
2. Si trabaja con conjuntos, debe saber que el número de elementos en
la unión de dos conjuntos, no es la suma de los elementos de cada uno,
puesto que hay que restar una vez los elementos en la intersección.
Por tanto, se puede iniciar por convertir a números de alumnos los por-
centajes dados como información en el problema:
(0.4)(70) = 28
(0.2)(70) = 14
(0.1)(70) = 7

Estructura de los ejercicios “Solución de problemas” y “Suficiencia de datos”
13
Si el universo son los 70 alumnos, puede pensar en el siguiente diagrama
de Venn:
21 7
7
Reprobados del
2° examen
Reprobados del
1er examen
Aprobados
35
Recuerde que los alumnos que reprobaron ambos exámenes fueron el 10%,
es decir, 7 alumnos; pero éstos se deben restar de aquellos que reprobaron
el 1er examen y de los que reprobaron el 2° examen, por tanto, ya en el
diagrama: Es fácil ver que son solamente 21 los alumnos que reprobaron el
primer examen pero no el segundo. De esta manera, son 21 de 70 alumnos
la probabilidad buscada y como:
21
—
70
3
—
10
=
La respuesta correcta es D.
Estructura de los ejercicios de Suficiencia de Datos
Los problemas de la categoría suficiencia de datos se caracterizan por cons-
tar de un enunciado que presenta un problema que requiere mayor infor-
mación para poder resolverse y de dos enunciados adicionales enumerados
con los incisos (1) y (2). Es completamente necesario que se examine con
detenimiento la pregunta y cada una de las dos declaraciones que se le pro-
porcionan, pues sólo de esta manera se podrá elegir la respuesta adecuada,
que consiste en elegir una de las siguientes opciones:

14
Solución del
problema
Justificación
A
B
C
Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna de-
claración por sí sola es suficiente.
D Cada declaración por sí sola es suficiente
E Ambas declaraciones no son suficientes
Es justamente este tipo de problemas los que desconoce por completo el
alumno y, generalmente, le cuestan mucho más trabajo analizar y responder
correctamente.
Se recomienda al alumno imprimir esta tabla y tenerla siempre a la mano
para resolver los problemas de esta categoría.
Ejemplo:
En el triángulo ABC, determine el valor del ángulo “x” en grados.
—
(1) AB
—
BC
=
(2) y = 40
A
B C
x°
y° z°
Solución:
1. Analice primero la información del enunciado (1) sin considerar la
información del enunciado (2):
—
BC
=
—
AB

Estructura de los ejercicios “Solución de problemas” y “Suficiencia de datos”
15
Con esta información, se sabe que el triángulo es isósceles, pero no
aporta más información, y existe una infinidad de medidas de ángu-
los para los triángulos isósceles; por tanto, no se puede solucionar el
problema sólo con este enunciado.
2. Como siguiente paso, se analiza la oración (2) sin considerar la infor-
mación del enunciado (1):
y = 40
Con esta información, se sabe la medida de uno de los ángulos del
triángulo, pero se desconoce qué tipo de triángulo es: podría ser es-
caleno o isósceles; por tanto, no se puede solucionar el problema
sólo con este enunciado.
3. Ahora se analizará si se puede resolver el problema conjuntando los
enunciados (1) y (2):
—
BC
=
y = 40
—
AB
Conjuntando la información se sabe que la figura es un triángulo
isósceles, y que el ángulo diferente tiene una medida de 40° y el
ángulo “x” es igual al ángulo “z”; además, si se recuerda que la suma
de los ángulos internos de cualquier triángulo es de 180° se tiene:
40 + 2 x = 180
2 x = 180 – 40
140
x =
2
x = 70
La respuesta correcta a este problema es: C Ambas declaraciones juntas
son suficientes, pero ninguna declaración por sí sola es suficiente.
Observación 1: Este tema, en particular, se considera uno de los más di-
fíciles de manejar por presentar al estudiante una nueva manera de razona-
miento en las matemáticas.
A continuación, se presenta un esquema con un algoritmo que permitirá
al alumno obtener mejores resultados.

16
Razonamiento para los problemas de suﬁciencia de datos
Sí
No Sí
Sí
No
No
No
Sí
1. Recabe toda la
información
disponible
en el problema
2. Olvídese de la
información del
enunciado (1)
¿Con el
enunciado (1)
puede resolver
el problema?
2. Olvídese de la
información del
enunciado (1)
¿Con el
enunciado (2)
puede resolver
el problema?
La
respuesta
es B
La
respuesta
es A
La
respuesta
es C
La
respuesta
es E
La
respuesta
es D
¿Con el
enunciado (2)
puede resolver
el problema?
¿Con los
enunciados (1) y
(2) puede resolver
el problema?
3. Conjuntar
(1) y (2)
Observación 2: En este tipo de problemas, se debe resaltar que una propuesta
de clasiﬁcación, con base en el tipo de respuesta que se solicita es la siguiente:
a) Cuando se requiere de un análisis algebraico: En este caso se pre-
senta una problemática que necesita de modelar algebraicamente el
problema y despejar una solución. Para el alumno este tipo de pro-
blemas resultan ser más difíciles de resolver.
b) Cuando solo se debe determinar un número: En este caso, no se
requiere un modelo algebraico, puede resolverse con base en la ex-
periencia o con el uso de aritmética elemental y conceptos de geome-
tría también muy básicos.
c) Cuando la respuesta es cualitativa: En este caso, el problema requiere
saber si se puede determinar una solución o no. No está preguntando
la solución de manera concreta, solo si ésta puede obtenerse con la
información vertida en los enunciados (1) y (2).

17
Capítulo 2
Lógica Matemática
Introducción
La Real Academia Española define a la Lógica como: “Del lat. logĭca, y
este del gr. λογική. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del
conocimiento científico.”
Y a la Lógica formal o matemática como: “f. La que opera utilizando un
lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos.”
La Lógica Matemática es de vital importancia en el aprendizaje de las
matemáticas, pues adentra al estudiante en el manejo del lenguaje formal y
es la base del razonamiento deductivo.
Aristóteles, nacido en el año 384 a.C., es el creador de la lógica. Sus apor-
taciones, junto con las de los estoicos y los escolásticos, constituyen prácti-
camente toda la lógica hasta el siglo XIX. La lógica aristotélica se ocupa del
estudio de los conceptos, prestando especial atención a los razonamientos
deductivos categóricos o silogismos. A diferencia de la lógica formal, la lógica
aristotélica parte del supuesto de que las formas de pensamiento reproducen
lo que ocurre en la realidad.
Adicionalmente, se considera que la historia de la lógica se divide en tres
periodos claves: el Clásico Antiguo (hasta el siglo VI d. C.), la Escolástica
(siglos XI-XV) y la Lógica Matemática (desde el siglo XIX); durante esta última,
se construye una forma de álgebra abstracta. Kneale señaló que la diferencia
principal entre estos periodos radica en que los dos primeros fueron desa-
rrollados por filósofos y el tercero por matemáticos(Kneale, 1980, 349). En

18
la actualidad, es la Lógica Matemática la que fundamenta todo razonamiento
matemático.
Es Leibniz a quien se le considera el precursor de la moderna lógica ma-
temática, a pesar de que sus escritos lógicos fundamentales salieron a la luz
hasta que L. Couturat los publicó en 1901. Begriffsschrift de G. Frege, publi-
cada en 1879, es el momento de madurez de la moderna lógica, pese a que su
impacto real ocurrió hasta que Russell lo descubrió (Martín, 1997, 479).
El último periodo es el contemporáneo. Aparecen nuevos sistemas lógi-
cos como el de Lewis (1918), las lógicas polivalentes de Post y Lukasiewiez
(1920-21) y la lógica institucionista de Heyting. Los trabajos de Gödel, Ram-
sey, Tarski o Carnap hablan de la complejidad alcanzada por la nueva ciencia
totalmente constituida (Martín, 1997, 481).
Es Gödel quien demuestra que en una teoría consistente, no todo teo-
rema es demostrable. Esta importante aportación justiﬁca el trabajo trascen-
dente de todo matemático y es digno de señalarse en esta breve historia de
la lógica.
Finalmente, en el siglo XX surge la lógica matemática, donde todo puede
decirse con la precisión que se desee, y donde todo se puede demostrar
con el rigor que se quiera. Sólo hace falta, a ﬁn de difundir estos recursos
entre un público no matemático, disponer de ejemplos cotidianos que ten-
gan un valor ilustrativo equivalente al de los ejemplos matemáticos (Zubieta,
1992, xiii).

Lógica Matemática
19
I. Conceptos preliminares
El razonamiento ordenado en las matemáticas es fundamental para su apli-
cación. Se requiere tener claridad en el pensamiento y saber fundamentar
solamente en argumentos, resultados y algoritmos previamente demostrados
para llegar a la solución de un problema.
Tomando completamente como base el libro de texto del Mtro. Gonzalo
Zubieta, Taller de Lógica Matemática, se presenta a continuación un extracto
de él.
Definiciones:
1. Una proposición es una frase que afirma o niega algo. Una propo-
sición condicional es aquella que tiene la forma Si H entonces T,
donde a H se le conoce como hipótesis y a la T como tesis.
2. Definición implícita de un término es una lista convencional de pro-
posiciones, llamadas axiomas, que contienen al término en sí.
Las definiciones implícitas son como las adivinanzas: no dicen lo que
el objeto es, sino qué propiedades tiene. Toda definición implícita obliga a
interpretar los términos de manera que valgan los axiomas, por eso se dice
que los axiomas son válidos por definición.
3. La definición implícita de veraz, mitómano y normal, se conforma
de los siguientes axiomas:
I. Si x es veraz, y x dice que P, entonces P
II. Si x es mitómano, y x dice que P, entonces no P
III. Si x es veraz entonces x no es mitómano
Si x es mitómano entonces x no es normal
Si x es normal entonces x no es veraz
IV. x es veraz o x es mitómano o x es normal
De acuerdo con esta definición, veraz es el que siempre dice la verdad, el
que es mitómano es el que siempre miente y normal es quien a veces dice la
verdad y a veces dice mentiras. De igual manera, cualquier ser humano, sólo
puede pertenecer a una y sólo una categoría.

20
También se considera como parte de esta deﬁnición implícita a los res-
pectivos giros de cada axioma1
, a saber:
I*. Si no P, y x dice que P, entonces x es no veraz
II*. Si P, y x dice que P, entonces x es no mitómano
III*. Si x es mitómano entonces x no es veraz
Si x es normal, entonces x no es mitómano
Si x es veraz entonces x no es normal
IV*. Si x no es veraz y x no es mitómano entonces x es normal
Si x no es veraz y x no es normal entonces x es mitómano
Si x no es normal y x no es mitómano entonces x es veraz
Note usted que si x dice una mentira, no se puede garantizar que x sea
mitómano, pero sí que no es veraz. Si x dice una verdad, no se puede garan-
tizar que sea veraz, pero sí que no es mitómano. De igual manera, cualquier
ser humano, sólo puede pertenecer a una y sólo una categoría.
Como ejercicio, se sugiere al lector que busque en un diccionario la deﬁni-
ción de veraz y mitómano para que tenga mayor claridad de estos conceptos.
1
Llámese giro de una proposición a cualquier otra, cuya negación coincide con la original.

Lógica Matemática
21
II. Demostraciones directas de una condicional
A continuación, se presenta la forma en que se puede hacer una demostra-
ción formal, con un razonamiento ordenado, mediante la definición implíci-
ta de veraz, mitómano y normal de la sección anterior.
Definiciones:
1. Una deducción de la proposición P a partir de la proposición H es
una cadena de proposiciones P1
, P2
, …, Pn, n ≥ 2, llamadas pasos,
tales que Pn es P y cada paso es un resultado conocido, o es H o se
infiere de pasos anteriores mediante un resultado conocido. También
se le puede definir como demostración directa de la condicional si H
entonces P.
2. Resultado conocido es toda proposición cuya validez se ha demos-
trado antes, o es un axioma o una tautología (proposición válida por
su forma, no por su contenido).
Ejemplo 1
Mediante el uso de un conjunto de datos, se demostrará una proposición
condicional.
A dice que B es mitómano
B dice que C es normal
C dice que A no es normal
Si A es veraz entonces C es veraz:
1 A es veraz Hipótesis
2 A dice que B es mitómano Dato
3 B es mitómano (1)(2) Axioma I
4 B dice que C es normal Dato
5 C no es normal (3)(4) Axioma II
6 C dice que A no es normal Dato
7 A no es normal (1) Axioma III*
8 C no es mitómano (6)(7) Axioma II*
9 C es veraz (8)(5) Axioma IV*

22
Explicación
En una demostración directa de una condicional, el paso inicial es tomar a la
hipótesis como proposición válida. Como se parte de una aﬁrmación acerca
de la variable A, se revisa en los datos que dice A; posteriormente, se utiliza
el Axioma I para poder inferir en el paso 3. Observe que este proceso se
repite hasta llegar al paso 5, donde hay una negación; por tanto, siempre se
procederá a revisar en los datos, quién habla de la hipótesis. En este caso, es
la variable C. En ese momento, se utilizan los giros de los primeros axiomas
para realizar inferencias. La demostración termina cuando el último paso
coincide con la tesis, a través del axioma IV*.
Se recomienda al lector reproducir este ejemplo, justiﬁcando cada paso
en voz alta.
Ejemplo 2
A dice que B es normal
B dice que C es normal
C dice que A no es veraz
Si B es mitómano entonces C es veraz:
1 B es mitómano Hipótesis
2 B dice que C es normal Dato
3 C no es normal (1)(2) Axioma II
4 A dice que B es normal Dato
5 B no es normal (1) Axioma III
6 A no es veraz (3)(4) Axioma I*
7 C dice que A no es veraz Dato
8 C no es mitómano (6)(7) Axioma II*
9 C es veraz (3)(8) Axioma IV*

Lógica Matemática
23
Explicación
Nuevamente, como es una demostración directa de una condicional, el paso
inicial es tomar a la hipótesis como proposición válida. Como se parte de
una aﬁrmación acerca de la variable B, se revisa en los datos que dice B. Pos-
teriormente, se utiliza el Axioma II para poder inferir en el paso 3. Observe
que ahora se tiene una primera negación, por eso se procederá a revisar en
los datos quién habla de la hipótesis. En este caso es la variable B.
NOTE que en la hipótesis se habla de mitómano y en el dato de normali-
dad, por lo tanto se debe utilizar el axioma 3 para que después, en el paso 6,
se pueda realizar una inferencia a través del Axioma I*, que es un giro del
axioma I. Como nuevamente se inﬁere, una negación debe considerar el dato
de quién habla de esta última variable A; por tanto, C es quien habla de A
y se utiliza el axioma II* para inferir. La demostración termina cuando el
último paso coincide con la tesis, utilizando el axioma IV*.

24
III. Demostración directa de una proposición simple
o demostración directa por casos
La forma en que se puede hacer una demostración formal de una proposi-
ción simple es revisar los datos para saber quién habla de la variable en la
proposición simple y construir dos proposiciones condicionales: Una con
la aﬁrmación de la característica de quien habla y otra con la negación de la
hipótesis de la primera (una de ellas se puede demostrar muy fácilmente).
Ejemplo 1. Mediante un conjunto de datos, se demostrará una proposi-
ción simple.
A dice que B es mitómano
B dice que C no es normal
C dice que A es veraz
C no es veraz
Caso 1 Si B es mitómano entonces C no es veraz:
1 B es mitómano Hipótesis
2 B dice que C no es normal Dato
3 C es normal (1)(2) Axioma II
4 C no es veraz (3) Axioma III
Caso 2 Si B no es mitómano entonces C no es veraz:
1 B no es mitómano Hipótesis
2 A dice que B es mitómano Dato
3 A no es veraz (1)(2) Axioma I*
4 C dice que A es veraz Dato
5 C no es veraz (3)(4) Axioma I*
Explicación
En una demostración directa de una proposición simple, “C no es veraz”;
se analiza primero quién habla de C, en este caso es B; como B dice que C
no es normal, entonces si B fuera veraz se inferiría que C no es normal por lo
tanto podría ser veraz o mitómano y lo que se quiere es que no sea veraz. Por

Lógica Matemática
25
esta razón, se elige que B sea mitómano para la construcción de la primera
condicional. La segunda condicional es más sencilla de construir, basta con
negar la hipótesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden demos-
trar de manera directa, la proposición simple queda demostrada.
Ejemplo 2. A partir de un conjunto de datos, se demostrará una propo-
sición simple.
A dice que B es normal
B dice que C no es veraz
C dice que A es veraz
B no es mitómano
Caso 1 Si A es veraz entonces B no es mitómano:
1 A es veraz Hipótesis
2 A dice que B es normal Dato
3 B es normal (1)(2) Axioma I
4 B no es mitómano (3) Axioma III*
Caso 2 Si A no es veraz entonces B no es mitómano:
1 A no es veraz Hipótesis
2 C dice que A es veraz Dato
3 C no es veraz (1)(2) Axioma I*
4 B dice que C no es veraz Dato
5 B no es mitómano (3)(4) Axioma II*
Explicación
En una demostración directa de una proposición simple, “C no es veraz”.
Se analiza primero quién habla de C; en este caso es B. Como B dice que C
no es normal, entonces si B fuera veraz, se inferiría que C no es normal,
por lo tanto podría ser veraz o mitómano y lo que se quiere es que no sea
veraz. Por esta razón, se elige que B sea mitómano para la construcción de
la primera condicional. La segunda condicional es más sencilla de construir,
basta con negar la hipótesis de la primera. Si ambas condicionales se pueden
demostrar de manera directa, la proposición simple queda demostrada.

26
Problemas
Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro Taller de lógica mate-
mática. Realice las demostraciones directas de las proposiciones a, b, c y d
considerando los datos que se le proporcionan, tal como se muestra en el
capítulo.
1. A dice que B es mitómano
B dice que C es mitómano
a) B no es veraz
b) C no es mitómano
c) Si A es mitómano entonces B es normal
d) Si A es veraz entonces C es normal
2. A dice que B es veraz
B dice que C es veraz
a) A no es veraz
b) C no es mitómano
c) Si B es veraz entonces A es normal
d) Si B es mitómano entonces C es normal
1. A dice que B no miente
B dice que A miente
Para demostrar que A tiene la razón se tendría que considerar que:
(1) Si B miente entonces A no miente
(2) Si B no miente entonces A no miente
2. A dice que B miente
B dice que A no miente
Para demostrar que A miente se tendría que considerar que:
(1) Si B miente entonces A miente
(2) Si B no miente entonces A miente

Lógica Matemática
27
B dice que C miente
C dice que A miente
Para demostrar que C miente se tendría que considerar que:
(1) Si C miente entonces B no miente y si C no miente entonces B
no miente
(2) Si A miente entonces B no miente y si A no miente entonces B
no miente
B dice que C miente
C dice que A y B mienten
Para demostrar que C miente se tendría que considerar que:
(1) Si B no miente entonces C miente y si B miente entonces C
miente
(2) Si A no miente entonces C miente y si A miente entonces C
miente
Bibliografía
Kneale, W y M. Kneale (1980). El desarrollo de la lógica, Madrid: Tecnos.
Martín Collantes, C. y O. Expósito Hernández (1997). El comienzo de la
Lógica Matemática. Revista del Seminario Orotava de Historia
de la Ciencia Año III, de la ciencia triunfante a la pérdida de la
certidumbre (1700-1900) (Actas año III), Canarias, noviembre:
477-514.
Zubieta Russi, G. (1992). Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico),
México: McGrawHill.
http://www.rae.es/rae.html (07-febrero-2013)

28
Capítulo 3
Aritmética
Introducción
Aún no se cuenta con un documento base real que pueda explicar
quién fue el primero en descubrir las matemáticas suficientes para
poder conseguir que se construyeran esas grandes edificaciones en el pasa-
do. No obstante, se encuentra muchas exposiciones generales del origen de
las matemáticas en Egipto, por ejemplo en los escritos de Heródoto y otros
viajeros griegos.
Según Aristóteles, las matemáticas se originaron porque la clase sacerdo-
tal de Egipto, tenía el tiempo necesario para dedicarse a su estudio. Más de
dos mil años más tarde se obtuvo una corroboración exacta de esta observa-
ción, mediante el descubrimiento de un papiro conservado actualmente en
la colección Rhind en el British Museum. Esta obra muestra una colección
de problemas de geometría y aritmética.
La palabra aritmética es definida por la Real Academia de la Lengua
como “parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones
hechas con ellos”.
En este capítulo, será de vital importancia el manejo de conceptos básicos
de la Teoría de Conjuntos, de los conjuntos numéricos, de sus operaciones
elementales y de algunas aplicaciones.

Aritmética
29
I. Conceptos preliminares (teoría de conjuntos)
Para dar inicio en el aprendizaje de la aritmética, es preciso definir los con-
ceptos elementales para la comprensión del tema.
Definición: Un conjunto es la colección de objetos denominados ele-
mentos. A los conjuntos se les denota con letras mayúsculas A, B, C, etc., y a
sus elementos con letras minúsculas x, y, z, etcétera.
Definición: Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos
elementos.
Para denotar que un elemento forma parte de un conjunto o no, se utili-
zará cualquiera de las siguientes expresiones con su respectiva notación:
x ∈ A
{
x pertenece al conjunto A
x es elemento de A
x está en A
x A
{
x no pertenece al conjunto A
x no es elemento de A
x no está en A
Definición: Se dice que el conjunto A está contenido en B, o que el con-
junto A es subconjunto de B, si y sólo si cada elemento de A es elemento de
B y se denota A ⊆B.
Definición: Se dice que un conjunto A no está contenido en B o que un
conjunto A no es subconjunto de B, si y sólo si existe un elemento de A que
no pertenece a B y se denota A ⊈B.
Existen dos maneras de describir a un conjunto:
Por extensión, cuando se enumeran los elementos del conjunto.
Por comprensión, cuando a la totalidad de los elementos se le describe
a través de una fórmula o carac terística.
Ejemplos
Por extensión:
1. El conjunto A de todas las letras que conforman la palabra “Xochi-
milco”.
A = {x, o, c, h, i, m, l}
Note usted que omite las letras que se repiten. La razón es porque
resulta redundante.

30
2. El conjunto B de los meses del año cuyo nombre inicia con la letra m.
B = {marzo, mayo}
3. El conjunto C de los números pares positivos.
C = {2, 4, 6, 8, 10, …}
Por comprensión:
1. El conjunto A que se comprende de todos los meses del año.
A = {x | x es un mes del año}
2. El conjunto B de las soluciones de una ecuación de 2° grado.
B = {x | – 2x2
+ 5x + 3 = 0}
Si recuerda usted que una ecuación de 2° grado puede tener dos, una
o ninguna solución, se podrá percatar que este conjunto puede tener
0, 1 o 2 elementos.
Deﬁnición: Al conjunto que contiene a la totalidad de elementos en un
problema, se le denomina Conjunto Universal y se denota U.
Deﬁnición: Al conjunto que no contiene elementos, se le denomina Con-
junto Vacío y se denota Ø. A lo largo del tiempo, los matemáticos lo han
caracterizado de distintas maneras, una de ellas es:
Ø = {x | x ≠ x}

Aritmética
31
II. Diagramas de Venn
La manera de representar gráﬁcamente a los conjuntos es a través de los
diagramas de Venn. Éstos consisten en un rectángulo grande, que representa
al conjunto universal; éste, a su vez, contiene pequeños círculos que repre-
sentan cada uno de los conjuntos involucrados.
Ejemplo 1
Represente con un diagrama de Venn a los siguientes conjuntos:
A = {1, 2, 5, 10}
B = {7}
C = {1, 3, 5, 6, 7, 9}
D = {4, 8}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
C
B
D
A
1
5
2
10
9
3
4 8
6
7
U
Estos diagramas también tienen aplicación a problemas con cifras. A
continuación, se muestran.

32
Ejemplo 2
En una encuesta realizada a una muestra de 300 profesores de carrera de la
FCA sobre sus hábitos de lectura dominical, se encontró que 141 leen el pe-
riódico El Financiero y 158 El Universal, pero 63 leen los dos periódicos.
Esta información quedaría representada en el siguiente diagrama de
Venn. Los 63 profesores que leen ambos periódicos son contabilizados entre
los lectores que leen al menos una publicación; pero para determinar a los
que “exclusivamente leen una publicación”, se debe restar los 63 que leen
ambos periódicos. De igual manera, existen profesores que no leen estos
periódicos, estos quedarían representados en la parte complementaria a es-
tos conjuntos, dentro del universo conformado por la muestra.
El Universal
El Financiero
63
78 95
U
64

Aritmética
33
Deﬁnición: Se dice que el elemento x pertenece al complemento del
conjunto A, si y sólo si, x ∉ A y se denota x ∈ (AC
).
AC
= {x│x ∉ A}
A B

34
III. Operaciones entre conjuntos
Las principales operaciones entre conjuntos son: La Unión ∪, La Intersec-
ción ∩ y La Diferencia –, a continuación, se define formalmente a cada una
de ellas.
Definición: Se dice que el elemento x pertenece a la unión de dos conjun-
tos A y B, si y sólo si, x ∈ A o x ∈ B o x está en ambos y se denota x ∈ (A ∪ B).
A ∪ B = {x│x ∈ A o x ∈ B}
A B
Definición: Se dice que el elemento x pertenece a la intersección de dos
conjuntos y B, si y sólo si, x ∈ A y x ∈ B y se denota x ∈ (A ∩ B).
A ∩ B = {x │ x ∈ A y x ∈ B}
A B

Aritmética
35
Deﬁnición: Se dice que el elemento x pertenece a la diferencia de dos
conjuntos A menos B si y sólo si, x ∈ A y x ∉ B y se denota x ∈ (A – B).
A – B = {x│x ∈ A y x ∉ B}
A B

36
IV. Conjuntos numéricos
A continuación, se presenta los conjuntos numéricos más importantes den-
tro de las matemáticas:
1. Los números naturales N
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
2. Los números enteros Z
Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
3. Los números racionales Q
a
Q = {x = —│ a, b ∈ Z y b ≠ 0}
b
4. Los números Irracionales I
a
I = {x ≠ —│ a, b ∈ Z y b ≠ 0}
b
5. Los números reales R
R = Q ∪ I
Nota: El conjunto de números reales, para las matemáticas que se mane-
jan en este curso, es el conjunto que contiene a cualquier número.

Aritmética
37
V. Operaciones binarias en los conjuntos numéricos
Deﬁnición. Una operación binaria * en un conjunto numérico A es una apli-
cación a dos elementos y el resultado permanecerá nuevamente al conjunto
A, es decir, si a, b, c ∈ A si el resultado de aplicar la operación * a los elemen-
tos a y b es c, entonces:
a * b = c
Como ejemplos de operaciones binarias, el lector debe conocer la suma,
resta, multiplicación y división.
El conjunto de los Números Naturales tiene asociadas dos operaciones
binarias, la adición o suma y el producto o multiplicación que satisfacen los
siguientes axiomas:
1. La suma de números naturales es conmutativa, es decir, si a, b ∈ N
entonces:
a + b = b + a
2. La suma de números naturales es asociativa, es decir, si a, b, c ∈ N
entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. El producto de números naturales es conmutativo, es decir, si a, b, ∈ N
entonces:
a × b = b × a
4. El producto de números naturales es asociativo, es decir, si a, b, c ∈ N
entonces:
(a × b) × c = a × (b × c)

38
5. Existe en N un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si
a ∈ N entonces:
a × 1 = 1 × a = a
6. En N el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c ∈ N entonces:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Para conocer más acerca de los Números Naturales, es preciso enunciar
los cinco Axiomas de Peano:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el n+1 también es un número
natural (a n+1 se le denomina sucesor de n).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m tales que n + 1 = m + 1, entonces
n = m.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cual-
quiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto;
entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Notas:
1. Este conjunto de axiomas define implícitamente al conjunto de los
números naturales. Recuerde que en el capítulo de Lógica Matemá-
tica se explica lo que significa una definición implícita y el por qué se
dice que los axiomas son válidos por definición.
2. El último axioma presenta la fundamentación de la Inducción mate-
mática, que generalmente se utiliza para demostrar propiedades en
este conjunto de números.

Aritmética
39
El conjunto de los Números Enteros tiene asociadas dos operaciones
binarias, la adición o suma y el producto o multiplicación que satisfacen los
siguientes axiomas:
1. La suma de números enteros es conmutativa, es decir, si a, b ∈ Z
entonces:
a + b = b + a
2. La suma de números enteros es asociativa, es decir, si a, b, c ∈ Z
entonces:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. Existe en Z un elemento neutro para la suma el 0, es decir, si a ∈ Z
entonces:
a + 0 = 0 + a = a
4. Para cada a ∈ Z, existe en Z su inverso aditivo que se denota –a,
entonces:
a + (–a ) = (–a) + a = 0
5. El producto de números enteros es conmutativo, es decir, si a, b, ∈ Z
entonces:
a × b = b × a
6. El producto de números enteros es asociativo, es decir, si a, b, c ∈ Z
entonces:
(a × b) × c = a × (b × c)
7. Existe en Z un elemento neutro para el producto el 1, es decir, si a ∈ Z
entonces:
a × 1 = 1 × a = a

40
8. En Z el producto distribuye a la suma, es decir, si a, b, c ∈ Z entonces:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Nota: A cualquier conjunto numérico que cumpla con estos ocho axiomas
se le conoce como ANILLO.
El conjunto de los Números Racionales (o fraccionarios) tiene aso-
ciadas dos operaciones binarias: la adición o suma y el producto o multipli-
cación, deﬁnidas respectivamente de la siguiente manera, sean a, b, c, d ∈ Z
entonces
a c ad + bc
— + — =
b d bd
a c a x c
— x — =
b d b x d
Nota: En adelante, para denotar el producto se omitirá el signo x.

Aritmética
41
Con estas dos operaciones binarias se satisfacen los siguientes axiomas:
a c
1. La suma de números racionales es conmutativa, es decir, si —, — ∈ Q
entonces: b d
a c c a
— + — = — + —
b d d b
a c e
2. La suma de números racionales es asociativa, es decir, si —, —, — ∈ Q
entonces: b d f
a c e a c e
(— + —
)+ — = — +
(— + —
)
b d f b d f
0 a
3. Existe en Q un elemento neutro para la suma el —, es decir, si — ∈ Q
entonces: 1 b
a 0 0 a a
— +
(—
)=
(—
)+ — = —
b 1 1 b b
a –a
4. Para cada — ∈ Q existe en Q su inverso aditivo que se denota —,
entonces: b b
a –a –a a 0
— +
(—
)=
(—
)+ — = —
b b b b 1
5. El producto de números racionales es conmutativo, es decir, si
a c
—, — ∈ Q entonces:
b d
a c c a
— — = — —
b d d b
6. El producto de números racionales es asociativo, es decir, si
a c e
—, —, — ∈ Q entonces:
b d f
a c e a c e
(— —
)— = —
(— —
)
b d f b d f

42
1
7. Existe en Q un elemento neutro para el producto el —, es decir, si
a 1
— ∈ Q entonces:
b
a 1 1 a a
—
(—
)=
(—
)— = —
b 1 1 b b
a a 0
1. Para cada — ∈ Q, con — ≠ — existe en Q su inverso multiplicativo
b b 1
(otro número racional que al ser multiplicado por éste da como
1 b a –1
resultado al — ∈ Q), a saber, el número —, que se denota por (—)
entonces: 1 a b
a a –1 a b ab ab 1
—
(—
) =
(—
)(—
)= — = — = —
b b b a ba ab 1
a c e
2. En Q, el producto distribuye a la suma, es decir, si —, —, — ∈ Q
entonces: b d f
a c e a c a e
—
(— + —
)=
(— —
)=
(— —
)
b d f b d b f
a c e a e c e
(— + —
)— =
(— —
)=
(— —
)
b d f b f d f
Notas:
1. A cualquier conjunto numérico que cumpla con estos nueve axiomas
se le conoce como CAMPO.
2. Cualquier número entero a ∈ Z es un número racional, puesto que
a
a = — ∈ Q.
1
3. Otra manera de identiﬁcar a un número racional es cuando al realizar
la división de este número su expansión decimal es ﬁnita o periódica.

Aritmética
43
El conjunto de los Números Irracionales se caracteriza, precisamente,
porque no puede expresarse como cociente de números enteros; más aún,
son aquéllos cuyo cociente tiene una expansión decimal infinita.
El propósito de este libro no tiene contemplado el estudio a mayor pro-
fundidad de este conjunto numérico, por lo que sólo se presentará algunos
ejemplos de estos números.
π = 3.1415926535…
e = 2.7182818284…
2 = 1.4142135623…
3 = 1.7320508075…
También tienen asociadas dos operaciones binarias: la suma y el producto.
Los números reales se definieron como la unión de los números raciona-
les con los irracionales. Éste es un conjunto con un número infinito inconta-
ble de elementos; también tienen asociadas dos operaciones binarias: la
suma y el producto. Recuerde que en todos sus estudios anteriores tuvo que
operar con estos números, incluso en su forma decimal.
Las operaciones comúnmente utilizadas con los números reales, colo-
quialmente son: la suma, la resta, la multiplicación y la división, porque con
toda la formalidad se tiene definidas sólo la suma y el producto. Las otras
dos operaciones derivan de los inversos aditivos y multiplicativos.

44
VI. Razones y proporciones
Cuando se realiza la comparación de dos números reales, se puede hacer
a través de una diferencia (resta) o, de igual manera, se puede utilizar un
cociente y se determina qué tanto es mayor uno del otro. En este caso, se
abordará la comparación con cocientes.
Definición. Se dice que la razón de dos números es el resultado de divi-
dirlos. Sean c, d ∈ R, c/d o c: d representa la razón c es a d.
Ejemplo:
La razón de 5 a 3, se denota 5/3 o 5: 3 y se lee cinco es a tres.
En este caso, el número 5 se denomina antecedente y el 3 se denomina
consecuente.
Definición. Una proporción consiste en la igualdad entre dos razones y
se puede representar de dos maneras:
a a
— = — o a: b:: c: d y se lee: a es a b como c es d.
b d
Proporcionalidad
Definición. Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se dice
que las magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo 1:
Cualquier producto cuyo costo dependa de su peso o unidad de volumen
(carne, gasolina, papel, etc.). Se dice que los costos son proporcionales a las
unidades adquiridas.

Aritmética
45
Ejemplo 2:
Suponga que el litro de gasolina magna tiene un costo de $12.50. Complete
la siguiente tabla con los costos de llenar un tanque con los litros de gasolina
que se piden.
Gasolina (l) 5 10 15 20 25 30 35
Costo ($) 62.50 125.00 187.50 250.00 312.50 375.00 437.50
Es muy sencillo ver que los precios solicitados para los distintos números
de litros se puede determinar a través de una sencilla regla de tres.
Deﬁnición. Cuando una magnitud crece mientras que la otra magnitud
decrece, se dice que son inversamente proporcionales.
Ejemplo 1:
Suponga que quiere almacenar cajas en un almacén con capacidad de 240
metros cúbicos; cuenta con cajas cuyo volumen son de 1, 2, 4 y 8 metros
cúbicos. Entonces podrá llenar el almacén de acuerdo con:
Número de cajas 240 120 60 30
Tamaño en m3
1 2 4 8
Observe usted que entre más crezca el volumen de la caja, menor será el
número de cajas que podrá almacenar.

46
Problemas
Suficiencia de datos
1. En la progresión geométrica a1
, a2
, a3
, a4
, a5
, a6
, a7
¿cuál es el valor
de a4
?
(1) a1 = 6 = 6x1
(2) a7 = 4374
2. ¿Cuánto pesa un atún si su cola pesa 2 kg?
(1) La cabeza pesa lo mismo que la cola y la mitad de su cuerpo.
(2) El cuerpo pesa lo mismo que la cabeza y la cola juntas.
3. En dos cuartos hay 76 personas, ¿cuántas personas había en la primera
habitación?
(1) Quedaron el mismo número de personas cuando se salieron 30
del primero y 40 del segundo.
(2) En el segundo cuarto hay 10 personas más que en el primero.
4. En una misma caja, hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pa-
res negros. En otra caja, hay 10 pares de guantes de color café y otros
tantos negros. ¿Cuántos guantes debe sacar al menos de la caja para
garantizar un par del mismo color (el que sea)?
(1) Debe sacar tres calcetines.
(2) Los guantes son izquierdo y derecho.
5. Un corredor de autos calculó que si hacía 10km/h llegaría a la meta
una hora después del mediodía ¿A qué velocidad debe correr para
llegar exactamente a mediodía?
(1) Si corre a 15 km/h llegaría una hora antes del mediodía.
(2) Recorrió 60 km.
6. Un hombre comentó a sus amigos la siguiente anécdota: Tenía yo
tantos años como lo expresan las dos últimas cifras del año de mi
nacimiento; le platiqué a mi abuelo y él me contestó que le ocurría lo
mismo. Los amigos dijeron de inmediato que era imposible; pero él
les contestó que su abuelo tenía razón y les cuestionó. ¿Cuántos años
tenía cada uno de nosotros?
(1) El siglo XX fue de 1900 a 1999.
(2) La anécdota sucedió en 1932.

Aritmética
47
7. Un padre y su hijo trabajan en la misma compañía. El hijo hace 20
minutos de casa de sus papás al trabajo; el papá, 30 minutos de su
casa al trabajo. ¿En cuántos minutos a lcanza el hijo al padre?
(1) El hijo recorre en 5 min ¼ del camino al trabajo.
(2) El papá recorre en 5 min 1/6 del camino al trabajo.
8. ¿Puede usted expresar el número 1000 utilizando ocho dígitos idén-
ticos en su conformación? Además de las cifras se permite utilizar
también los signos de operaciones.
(1) El dígito buscado es par.
(2) El dígito buscado es potencia de 2.
Problemas de opción múltiple
1. Un alumno realizó un examen de 50 preguntas. Cada respuesta co-
rrecta tiene un valor de tres puntos, pero por cada respuesta inco-
rrecta, o que el alumno no responda, se le resta dos puntos. Si obtuvo
60 puntos, ¿cuántas respuestas estuvieron correctas?
a. Falta información para resolverlo
b. Tuvo 20 aciertos
c. Tuvo 30 aciertos
d. Tuvo 32 aciertos
e. Tuvo 25 aciertos
2. El cociente de una división es nueve y el resto 4.Si el divisor dismi-
nuye en dos, el cociente aumenta en tres y el resto permanece igual.
Determine el dividendo y divisor.
a. El dividendo es 2/21 y el divisor 34/7
b. El dividendo es 76 y el divisor 8
c. El dividendo es 34/7 y el divisor 2/21
d. El dividendo es 8 y el divisor es 76
e. El dividendo es 16 y el divisor 3

48
Bibliografía
Cárdenas, H. y otros (1986). Álgebra Superior, México: Trillas.
Newman, James R. (1994). SIGMA El mundo de las matemáticas Vol. 1,
México: Grijalbo.
Zubieta Russi, G. (1992). Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico),
México: McGrawHill.

49
Capítulo 4
Álgebra
Introducción
La Real Academia de la Lengua deﬁne el álgebra como: Parte de las
matemáticas en la que las operaciones aritméticas son generalizadas
empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbóli-
camente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos
representa un valor desconocido, se le llama incógnita.
La historia del Álgebra tiene sus orígenes en el año 2000 a. C., en Meso-
potamia y Babilonia, puesto que su base es justamente la aritmética. Más
o menos en la misma época, los egipcios desarrollaron un álgebra elemental
para resolver problemas cotidianos. Por su parte, los griegos en los siglos I,
II y III d. C., hicieron grandes publicaciones acerca de la aritmética y la
geometría.
En el siglo VII, los indios desarrollaron reglas algebraicas fundamentales
para el manejo de números positivos y negativos, y ya en el siglo IX d. C.,
Al-Jwarizmi, matemático y astrónomo árabe, escribió sus investigaciones
acerca de los números, de los métodos de cálculo y de procedimientos alge-
braicos para resolver sistemas de ecuaciones. A partir de ese momento, y
hasta el siglo XII, otros matemáticos de medio oriente hicieron notables con-
tribuciones al álgebra.
En el año 1202, Leonardo Pisa, matemático italiano, mejor conocido
como Fibonacci, difundió en Europa el sistema de numeración arábiga, y
publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco). En los siglos XV y XVI, otros

50
notables matemáticos europeos hicieron contribuciones importantes en
el área.
En el año 1637, René Descartes, matemático francés, fusionó la geome-
tría y el álgebra al inventar la geometría analítica. En 1750, Gabriel Cramer,
matemático suizo, introdujo la regla de Cramer en el álgebra lineal para dar
solución a los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1799, Carl Friedrich Gauss, matemático alemán, a quien se le conoce
como el Príncipe de las Matemáticas, demuestra el hoy conocido Teorema
Fundamental del Álgebra.
A partir de ese tiempo, y a la fecha, son muchas las grandes contribu-
ciones que otros matemáticos han realizado. Se citará solamente a algunos
de ellos:
Pierre Frederic Sarrus, matemático francés que inventa la regla de
•
cálculo en 1833.
Évariste Galois, matemático francés a quien se le considera el padre
•
del álgebra abstracta.
William Rowam Hamilton, matemático y astrónomo irlandés, quien
•
desarrolló la aritmética de los números complejos.
Hermann Grassmann, matemático alemán, a quien se le considera el
•
creador del álgebra lineal.
George Boole, matemático inglés, se le reconoce porque redujo la
•
lógica formal en una álgebra simple.
Giuseppe Peano, matemático italiano, quien enuncia los postulados
•
con los que se formaliza la deﬁnición de conjunto de los números
naturales (Barrera, 2014).

Álgebra
51
Los símbolos usados en álgebra para representar cantidades son los núme-
ros y las letras.
Para dar inicio en el aprendizaje de la aritmética, es preciso definir los
conceptos elementales para la comprensión del tema.
Definiciones:
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y de-
•
terminadas. Por convención, se usan las primeras letras del abecedario
para denotar también cantidades conocidas como coeficientes.
Se denomina
• variables a las letras que representan cantidades descono-
cidas. Por convención, se usa las últimas letras del abecedario como
u, v, w, x, y, z.
Una
• expresión algebraica es la representación de un símbolo alge-
braico o de una o más operaciones algebraicas.
Término
• es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o
de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o el signo –.
Ejemplo:
La siguiente es una expresión algebraica:
3x2
+ 5xy –183
Esta expresión consta de tres términos:
Primer término Segundo término Tercer término
3 x2
5 x y -183
Observe que cuando un término no va precedido por un signo, toma el
valor positivo.
Ejemplo:
–3 y5
+ — x2
–18 xy + 10
1
3
El grado de este polinomio es 5.

52
II. Polinomios
Cuando un término involucra un coeficiente, una variable y un exponente,
estos elementos se distinguen:
axn
a = coe iciente
x = variable en la base
n = exponente
Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que tiene la forma:
an
xn
+ an–1
xn–1
+ … + a2
x2
+ a1
x + a0
Definiciones:
Un
• monomio es una expresión algebraica que consta de un solo
término.
Un
• polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un
término.
El
• grado de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.
Por lo general, un polinomio se ordena de forma ascendente o descen-
dente al grado del polinomio.
Suma de polinomios
Para poder sumar dos polinomios, será necesario hacerlo únicamente de
términos semejantes, es decir, se suman los coeficientes que estén multipli-
cando a variables con la misma potencia.
Ejemplo. Realice la suma de los siguientes polinomios:
P(x) = –8x5
+ 4x4
+ 10x3
– 15x2
+ 20x – 100 Con Q(x) = – 12x5
– 12x3
+
15x2
+ 2x + 117

Álgebra
53
Se recomienda colocar en orden cada uno de los términos y sumar los
coeﬁcientes, como se muestra a continuación:
+
–8x5
+4x4
+10x3
–15x2
+20x –100
–12x5
–12x3
+15x2
+2x +117
–20x5
+4x4
–2x3
0x2
+22x +17
Puesto que por convención no se expresa de manera escrita un término
que esté multiplicado por cero, el polinomio que resultó de la suma es:
–20x5
+ 4x4
– 2x3
+22x + 17
Leyes de los exponentes
x0
= 1 x n
= 1
xn
x1
= x
xn
xm = xn–m
xn
= xx … x
(multiplicar x n-veces)
(x–n
)m
= x –(nm)
xn
xm
= xn+m x
y
( )
n n
n
= x
y
(axn
)(bxm
) = (ab)xn+m
x =
( )
1
m
m

(xn
)m
= xnm
x = —
( )
–1
1
m

m

(xy)n
= xn
yn
x =
( )
n
m
m
xn
(xn
)m
= xm
1 n
x = —
( )
–n
1
m
xn
m

Producto de polinomios
Recuerde la forma de multiplicar que estudió en su educación básica: cuan-
do las unidades se sumaban con unidades, decenas con decenas y centenas
con centenas. Ese mismo proceso se realizará, pero considerando un orden
estrictamente relacionado con la potencia del término en cuestión.

54
A continuación, se hará un ejemplo de la manera en que se multiplican
dos polinomios. Recuerde que para los propósitos de este libro se están orde-
nando de forma descendente.
Ejemplo:
Multiplicar –10x3
+ 15x2
– 20x + 10 con 5x2
– 2x + 11
X
–10x3
+15x2
–20x +10
5x2
–2x +11
–110x3
+165x2
–220x +110
+20x4
–30x3
+40x2
–20x
–50x5
+75x4
–100x3
+50x2
–50x5
+95x4
–240x3
+255x2
–240x +110
Por lo tanto, el polinomio que resulta del producto es:
–50x5
+ 95x4
– 240x3
+ 255x2
– 240x + 110
También se puede realizar este producto de forma lineal, al aplicar conti-
nuamente la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, aplicar
repetidamente las leyes de los exponentes y sumar los términos semejantes.
Sin embargo, observe que el método expuesto de multiplicar polinomios
permite reducir un posible error por omisión de algún término.

Álgebra
55
III. Ecuaciones de primer grado
Como su nombre lo indica, se presenta a continuación expresiones algebrai-
cas de grado 1. Para el propósito de este libro, sólo se analizarán los casos
más simples.
La recta
Una recta en su expresión pendiente ordenada al origen se expresa de la
siguiente manera:
y = mx + d
La pendiente de una recta indica su grado de inclinación, de esta manera:
m 0 m 0
m = 0 m, no determinada
Y en términos generales, a la ecuación de una recta, también se le pre-
senta como:
a x + by = c
Pero son exactamente lo mismo; mire a continuación el despeje que se
hará de la ecuación general de la recta:
ax +by = c
by = c – ax
c a
b
b
y = — — — x

56
Note que y que –a c
b
b
m = — y que d = —
Además, existe también la manera de determinar la ecuación de una recta
de la que se conoce su pendiente y que pasa por un punto, digamos P0
(x0
, y0
):
(y – y0
) = m(x – x0
)
Observe que x y y, que no tienen subíndice son unas variables, y x0
, y0
son valores conocidos.
En caso de no conocer la pendiente, pero sí dos puntos en el plano car-
tesiano por los que pasa, digamos P1
(x1
, y1
) y P2
(x2
, y2
), la forma de determi-
nar la ecuación de la recta es a partir de la pendiente, con la fórmula:
y2
– y1
x2
– x1
m =
De esta manera, la ecuación de la recta queda:
y2
– y1
x2
– x1
(y – y1
) = (x – x1
)
( )
Ejemplos:
1. Determine la recta cuya pendiente es -1/2 y que pasa por el punto
(-3,5)
Se sustituyen los valores directamente en la fórmula:
–1
2
(y – 5) = — (x – (–3))
De esta manera:
–1
3
2
2
(y – 5) = — (x + 3)
–1
2
(y – 5) = — x – —
3
2
–1
2
y = — x – — + 5

Álgebra
57
Quedando la ecuación de la recta con pendiente y ordenada al origen:
–1 7
2
2
y = — x + —
Y la ecuación general:
–1 7
2
2
–1 7
2
2
— x + y = —
O, si se multiplica por completo por 2:
– x + 2y = 7
2. Determine la recta que pasa por (2,3) y por (–3, –5).
Se sustituye los valores directamente en la fórmula:
–5 –3
–3 –2
(y – 3) = (x – 2)
( )
De esta manera:
–8
–5
(y – 3) = (x – 2)
( )
8
5
(y – 3) = — (x – 2)
( )
8
5
(y – 3) = — x – —
16
5
8
5
y = — x – — + 3
16
5
Quedando la ecuación de la recta con pendiente y ordenada al origen:
8
5
y = — x – —
1
5
Y la ecuación general:
–8
5
— x + y = —
–1
5

58
O, si se multiplica por completo por 5:
–8 x + 5y = –1
Ejemplo de aplicación
Un partido político, para la campaña del Jefe de Gobierno del Distrito Fe-
deral en las próximas elecciones, observó que si pasan 3 comerciales en apo-
yo a su candidato en horario estelar su candidato obtiene 35% de posibles
votantes en la encuesta de un periódico; pero si pasan 6 comerciales en ese
mismo horario, su candidato obtiene el 42% de posibles votos. ¿Cuántos
comerciales deberían pasar en horario estelar para obtener 55% de posibles
votantes?
Solución
Primero, se determina que el porcentaje de votantes depende del número de
comerciales en horario estelar; por tanto, se tiene la siguiente información:
P1
(3,35) y P2
(6,42)
Para poder contestar la pregunta, es necesario construir la recta que pasa
por estos puntos, utilizando la fórmula correspondiente:
y2
– y1
x2
– x1
(y – y1
) = (x – x1
)
( )
Por tanto:
42 – 35
6 – 3
(y – 35) = (x – 3)
( )
Después de realizar operaciones algebraicas, se llega a la siguiente fun-
ción lineal:
7
3
y = — x + 28

Álgebra
59
Ahora, observe que se quiere determinar cuántos comerciales son nece-
sarios transmitir para obtener un porcentaje del 55% de posibles votantes,
es decir, se requiere despejar la variable x, puesto que ya se conoce el valor
de y. En la función se sustituye el valor de y y se despeja el valor de x:
7
3
55 = — x + 28
81
7
— = x
11.571428 = x
Por tanto, se requiere de aproximadamente 12 comerciales en horario
estelar.
Inecuaciones
Las inecuaciones lineales son expresiones algebraicas de grado 1 y se carac-
terizan porque en lugar de tener un signo de igualdad se tienen desigualdades
del tipo , ≤, y ≥..
Ejemplos:
− 7x + 21 2x – 5
3y + 17 ≥ – 2y + 50
y + y – 1
1
5
2
3
≤
¿Cómo se resuelve una inecuación?
La manera en que se resuelve una inecuación es muy similar a como se
resuelve una ecuación lineal, sólo debe recordarse que si divide o multiplica
de ambos lados de una desigualdad por un valor negativo la desigualdad se
invierte. La solución a una inecuación de primer grado es necesariamente un
intervalo de la recta real.

60
Ejemplos:
Se resuelven, a continuación, dos inecuaciones lineales para que quede más
claro y, posteriormente, se representará su conjunto solución en la recta real.
7y + 21 ≥ 4y – 36
7y + 21 ≥ – 4y – 36 – 21
7y + 4y ≥ – 4y + 4y – 57
11y ≥ – 57
(11y) ≥ (– 57)
1
11
1
11
y ≥ ≈ – 5.1818
–57
11
Que es un intervalo de la recta real:
–57
11
[ ,+ ∞)
0 1
-1
-5 -4 -3 -2
-7 -6
–3x + 18 9x – 12
–3x + 18 – 18 9x – 12 – 18
–3x – 9x 9x – 9x – 30
–12x – 30
(–12x) (– 30)
–1
12
–1
12
x =
30
12
5
2
= 2.5
Que es un intervalo de la recta real:
5
2
( , + ∞)
3 4
2
-2 -1 0 1
-4 -3

Álgebra
61
Note que en el primer ejemplo el círculo está relleno, eso indica que –57
11
está
incluído en el intervalo y, en el segundo ejemplo, el 2.5 no está considerado,
por esa razón tiene un hueco el dibujo.
Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2
Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 se expresa de la siguiente forma:
(Ecuación 1) a1
x + b1
y = c1
(Ecuación 2) a2
x + b2
y = c2
Como puede apreciarse, se trata de dos líneas rectas en el plano cartesia-
no, por tanto, la solución implica determinar el punto en que se intersectan
dichas rectas, si no son rectas paralelas.
Para determinar la solución de un sistema de ecuaciones de 2x2, hay una
diversidad de algoritmos, de los cuales se recordará sólo cuatro:
Suma y resta
•
Sustitución
•
Igualación
•
Determinantes
•
Suma y resta
El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
1. Elegir una variable a despejar (x o y).
2. El coeﬁciente de la variable no elegida en la ecuación 1, multiplicará
a toda la ecuación 2, y el coeﬁciente de la variable no elegida en la
ecuación 2, multiplicará a toda la ecuación 1.
3. Restar la ecuación 2 de la ecuación 1.
4. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer grado con una incógni-
ta, por tanto se despeja su valor.
5. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 4, se susti-
tuye en cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor
de la otra variable.

62
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y.
2. Note que basta con sumar las ecuaciones.
3x + 5y = 14
–3x + 3y = 18
0x + 8y = 32
32
y = = 4
8
3. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer grado con una incógnita,
por tanto se despeja su valor.
y = 4
tuye en cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor
de la otra variable.
3x + 5(4) = 14
3x = 14 – 20
3x = –6
x = –2

Álgebra
63
Sustitución
1. Elegir una variable a despejar (x o y) de una de las dos ecuaciones (1
o 2) y despejarla.
2. Sustituir la variable despejada en la ecuación no-elegida.
3. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer grado con una incógni-
ta, por tanto se despeja su valor.
tuye en la variable despejada en el paso 1.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y de la ecuación 2.
3y = 18 + 3x
y = 6 + x
2. Sustituir la variable despejada en la ecuación 1.
3x + 5(6 + x) = 14
3. Ahora, ya sólo existe una ecuación de primer grado con una incógnita,
por tanto se despeja su valor.
3x + 5(6 + x)= 14
3x + 30 + 5x = 14
8x = 14 – 30
x = – 2
4. X = –2, se sustituye en la variable despejada en el paso 1.
y = 6 – 2
y = 4

64
Igualación
1. Elegir una variable a despejar (x o y) de las dos ecuaciones y despe-
jarlas.
2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya sólo existe una ecuación
de primer grado con una incógnita, por tanto se despeja su valor.
tuye en una de las variables despejadas en el paso 1.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
1. Elegir una variable a despejar, digamos x de las dos ecuaciones y
despejarlas.
14 – 5y
3
18 – 3y
–3
3x = 14 – 5y ⇒ x =
⬚
–3x = 18 – 3y ⇒ x =
⬚
2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya sólo existe una ecuación
de primer grado con una incógnita, por tanto se despeja su valor.
18 – 3y
–3
54 – 9y = –42 + 15y
–24y = –96
y = 4
=
14 – 5y
3

Álgebra
65
tuye en una de las variables despejadas en el paso 1; por ejemplo, en
la x que se despejó de la primera ecuación.
14 – 5(4)
x =
–6
3
x = —
3
x = –2
Determinantes
Antes de abordar el algoritmo como en los casos anteriores, será preciso
deﬁnir algunos conceptos:
Deﬁnición: El determinante de una matriz de orden 2x2 de valores rea-
les es un valor numérico que se determina de acuerdo con:
a
c
b
d
= ad – cb
En el sistema de ecuaciones de 2x2:
a1
x + b1
y = c1
a2
x + b2
y = c2
Se tendrá asociados tres determinantes: el determinante del sistema, a
quien se denotará Δs
, el determinante para despejar el valor de la incógnita
x Δx
y el determinante para despejar el valor de la incógnita y Δy
:
a1
a2
b1
b2
= a1
b2
– a2
b1
∆s
=
a1
a2
c1
c2
= a1
c2
– a2
c1
∆y
=
c1
c2
b1
b2
= c1
b2
– c2
b1
∆x
=

66
La solución al sistema de ecuaciones se determina con los siguientes co-
cientes:
x = — y y = —
∆s
∆x
∆y
∆s
Observaciones:
1. Note que el determinante del sistema se conforma únicamente de los
coeficientes que multiplican a las variables.
2. Para determinar el determinante de la variable x, se cambiaron los
coeficientes que multiplican a esta variable por los coeficientes del
lado derecho de las igualdades; análogamente, se procedió con el
determinante de la variable y.
3. Un punto relevante en este caso es que si el determinante del sistema
es cero, entonces este sistema de ecuaciones NO tiene solución.
Ejemplo:
Ec. 1 3x + 5y = 14
Ec. 2 –3x + 3y = 18
Se calcula los determinantes asociados a los sistemas de ecuaciones:
3
–3
5
3
= (3)(3) – (–3)(5) = 9 + 15 = 24
∆s
=
14
18
5
3
= (14)(3) – (18)(5) = 42 – 90 = –48
∆x
=
3
–3
14
18
= (3)(18) – (–3)(14) = 54 + 42 = 96
∆y
=
Finalmente, se determina la solución al sistema:
x = — = — = –2 y y = — = — = 4
∆s
∆s
∆x
∆y
–48 96
24
24

Álgebra
67
Una compañía fabrica dos tipos de jabón, A y B, que se deben procesar por
dos departamentos: producción y empaque. Si los tiempos estimados en la
producción de 100 jabones se presentan en la siguiente tabla, determinar
cuántos jabones de cada tipo deben fabricarse para aprovechar al máximo la
capacidad de la fábrica.
Departamento
Productos Horas disponibles
A B Por mes
Producción 4 3 4300
Empaque 3 1.5 2625
Solución
x = Número de jabones del tipo A a producir en un mes
y = Número de jabones del tipo B a producir en un mes
El modelo es:
Depto.de producción 4x + 3y = 4300
Depto.de empaque 3x + 1.5y = 2625
Se resolverá utilizando igualación:
4300 – 3y
4
4x = 4300 – 3y ⇒ x =
⬚
2625 – 1.5y
3
3x = 2625 – 1.5y ⇒ x =
⬚

68
4300 – 3y
4
2625 – 1.5y
3
=
12900 – 9y = 10500 – 6y
–3y = –2400
y = 800
4300 – 3(800)
4
x =
1900
4
x =
x = 475
La solución es:
1) Se requiere producir mensualmente 475 jabones del tipo A
2) Se requiere producir mensualmente 800 jabones del tipo B
De esta manera, se aprovechará por completo la capacidad de los depar-
tamentos en esta fábrica.

Álgebra
69
IV. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado en su expresión genérica se representa
mediante:
ax2
+ bx + c=0
Gráficamente, en el plano cartesiano, representa a una parábola que
puede abrir hacía arriba ∪ si el signo del coeficiente a 0 (es positivo), o
puede abrir hacía abajo ∩ si el signo del coeficiente a 0 (es negativo).
Una parábola puede intersectar al eje de las “x” en uno, en dos o en
ningún punto:
Intersección
en dos puntos
Intersección
en un punto
No existe intersección
a 0 a 0 a 0
a 0 a 0 a 0
Gráficamente es visible la correspondencia biunívoca que existe entre el
número de soluciones de la cuadrática y las intersecciones con el eje de las
“x”. Es más: en el caso en que no toca a este eje, sí tiene soluciones, pero
éstas pertenecen al conjunto de los números complejos no contemplados en
este texto.
Regresando a ax2
+ bx + c = 0, la ecuación cuadrática, la manera de re-
solverla se puede analizar por casos, dependiendo de cuál de los coeficientes
no está presente o de manera genérica, cuando los tres coeficientes están
presentes.

70
Caso 1) c = 0
3x2
– 9x = 0
En este caso, se puede proceder factorizando la expresión de la siguiente
forma:
3x (x – 3)= 0
Note que se tiene un producto de dos expresiones igualado a cero. Esto
implica que uno de los dos factores debe ser cero, entonces hay dos solucio-
nes posibles:
(3)(x) = 0 y, por tanto x = 0
Con factor derecho del producto, se tendría:
x – 3 = 0 y, por tanto x = 3
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
x1
= 0 y, x2
= 3
Caso 2) b = 0
–3x2
+ 12 = 0
En este caso, se realiza el despeje algebraico correspondiente:
–3x2
= –12
–12
= 3
4
x2
=
–3
x = ± = ± 2
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
x1
= 2 y, x2
= –2

Álgebra
71
Caso 3) a, b, c ≠ 0
Es justamente este caso el que requiere la fórmula general para su solución:
2a
–b ± b2
– 4ac
x1,2
=
Ejemplo:
–2x2
+ 5x +3 = 0
En este caso:
a = –2, b = 5 y C = 3
Aplicando la fórmula para determinar las dos soluciones posibles y ha-
ciendo las operaciones correspondientes, se tiene:
–5 ± 52
– 4(–2) (3)
x1,2
=
2(–2)
–5 ± 49
x1,2
=
–4
–5 ± 7
x1,2
=
–4
Se determina la primera solución con el signo positivo de la raíz y la se-
gunda solución con el signo negativo de la raíz:
–1
x1
=
2
y, x2
= 3
Aprovechando este último caso en la solución de ecuaciones cuadráti-
cas, es importante subrayar que el vértice es el punto que pertenece a la pa-
rábola, y es aquel donde alcanza su valor máximo o mínimo, según sea el
caso; pero siempre se puede determinar a través del uso de las siguientes
formulas, derivadas de la fórmula general. De esta manera:
–b
Vx
=
2a
4ac – b2
4a
y, Vy
=

72
La función demanda de un producto es una función lineal donde y repre-
senta la demanda en miles de unidades, y x es el precio del producto en
pesos mexicanos:
y = f (x) = 1500 – 50x
La función que expresa los ingresos totales de la venta de y unidades
como producto de x por y es:
I(x) = (x)(y)
Sustituyendo la y por la función que depende de x, queda expresada de
la siguiente forma:
I(x) = (x)(1500 – 50x)
I(x) = 1500x – 50x2
Que es precisamente una función cuadrática del caso 1, c = 0 y, por lo
tanto, intersecta al eje de las x en 0 y 30; como –50 0, entonces el gráﬁco tiene
la forma ∩ y el punto donde se obtienen los mayores ingresos es justamente en
el vértice; solo se requiere determinar los valores de cada coordenada.
Solución
–b
Vx
=
2a
–1500
2(–50)
–1500
–100
= = = 15
y,
4ac – b2
Vx
=
4a
0 – (1500)2
4(–50)
–2250000
–200
= = = 11250
La interpretación que se da es inmediata de la manera en que se constru-
yó la función:
Cada unidad se debe vender en
• $15.00 por unidad.
Los ingresos totales serán de
• $11,250.00

Álgebra
73
Problemas
Suficiencia de datos
1. Determine las dimensiones de un rectángulo.
(3) Tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces su ancho.
(4) Su perímetro es de 19 cm.
2. Un parque posee un jardín de ﬂores de 50 m de largo y 30 m de
ancho, así como un andador de ancho constante a su alrededor. Cal-
cular el ancho del andador.
(1) El área plantada con ﬂores es de 1500 m2
.
(2) El área del andador es de 600 m2
.
3. Una mujer tiene dinero invertido en dos cuentas de las que recibe
anualmente una ganancia neta de $14,560.00. De una inversión, ella
recibe el 12% anual, y de la segunda el 8% anual. ¿Qué cantidad de
dinero tiene invertida en cada tipo de inversión?
(1) La mujer inicialmente invirtió $150,000.00 en total.
(2) En la que genera 12% de ganancia, ella invirtió más de dos ter-
ceras partes que en la de 8%.
4. Determine qué cantidad de cada solución debe usar un químico para
obtener 6 l de una solución ácida al 10% mezclando dos soluciones
ácidas.
(1) La primera solución está al 7% de acidez.
(2) La segunda solución está al 12% de acidez.
5. Se recaudaron $42,795.00 de la venta de boletos para una función de
teatro, ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
(1) El costo de los boletos para el público general fue de $60.00
(2) El costo de los boletos para estudiantes fue de $45.00

74
6. ¿Existen dos números pares consecutivos cuya suma de recíprocos
es
9
40?
(1) Un entero es múltiplo de 4
(2) Un entero es múltiplo de 5
7. Luisa compró un vestido que tenía descuentos extraordinarios y
pagó por él $280.00. ¿Cuál era el precio original?
(1) El vestido tenía un 50% más el 20% de descuento.
(2) Luisa pagó por su vestido sólo el 40% de su precio original.
8. Una compañía fabrica dos tipos de computadoras, la LX3 y la LTT1.
¿Cuántas computadoras deben vender de cada tipo para obtener uti-
lidades totales de $11’500,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada computadoras
modelo LX3 es de $2,500.00
(2) Las utilidades netas que genera la venta de cada computadoras
modelo LTT1 es de $3,500.00
9. Una compañía fabrica dos tipos de muebles, el A y el B. ¿Cuántos
muebles deben vender de cada tipo para obtener utilidades totales
de $130,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada mueble es de
$250.00 y $350.00 para los del tipo A y B, respectivamente.
(2) El fabricante ha determinado que se puede vender 20% más de
los muebles A que de los del tipo B.
10. Una tienda de autos paga a sus vendedores un porcentaje con base
en los primeros $100,000.00 de ventas, más otro porcentaje sobre el
excedente de los $100,000.00 ¿A cuánto asciende cada porcentaje?
(1) Un vendedor obtuvo $8,500.00 por ventas de $175,000.00 y otro
por $14,800.00 por vender $280,000.00
(2) El segundo porcentaje es el triple de la mitad del primer por-
centaje.
11.Determine las utilidades de este año y las del año pasado para una
compañía que reportó.
(1) El año pasado la empresa obtuvo utilidades por $800,000.00
(2) Este año la empresa obtuvo utilidades por $200,000.00 por encima
de las obtenidas el año anterior, e indicaron que aumentaron 25%.

Álgebra
75
12. Si usted decide realizar dos inversiones que le reditúan lo mismo,
¿cuánto invirtió en cada una de ellas?
(1) De la cantidad total invertida, 3
10
de ella más $600,000.00 invir-
tió en la primera.
(2) Al ﬁnal del primer año usted recibió $150,000.00 de ganancia
total.
13. Dos engranes, uno de ocho dientes y otro de 24 dientes, al dar la
vuelta el engrane más grande, el más chico gira alrededor del grande.
¿Cuántas veces gira el engrane pequeño sobre su propio eje mientras
da una vuelta completa alrededor de la grande?
(1) Es sencillo: son 3 vueltas.
(2) Al girar un cuerpo trazando una circunferencia, se tiene siempre
una revolución más de las que pueden contarse.
14. ¿De cuántas formas se puede elegir una mesa directiva que consta de
un presidente, un tesorero y dos vocales, considerando que el orden
es importante?
(1) El presidente es más importante que el tesorero y el tesorero que
los dos vocales.
(2) Son 20 profesores a los que se puede elegir.
¿De cuántas formas se puede elegir una muestra aleatoria de 500 perso-
nas para un estudio de mercado?
(1) La población a considerar se divide en 7 estratos.
(2) La población a considerar se tiene 4 características de relevancia
a considerar.

76
1. Un deportista desea establecer una dieta a partir de pescado y pollo,
que contenga 183 gramos de proteína y 93 gramos de hidratos de
carbono. Si una porción de pescado de 100 gr contiene un 70% de
proteínas y un 10% de hidratos de carbono, y una porción de pollo
de 100 gr contiene un 30% de proteína y un 60% de hidratos de
carbono, ¿qué cantidad de pescado se necesita cada día?
a. 190 gr
b. 230 gr
c. 250 gr
d. 210 gr
e. 200 gr
2. El precio de un refrigerador es de $10,350.00. ¿Cuánto costaba hace
un año si aumentó un 11.7%?
a. $ 9,139.05
b. $ 10,230.30
c. $ 5,219.36
d. $ 9,265.90
E. $ 11,721.40
3. El 30 de marzo el IPC cerró en 5,327.5 puntos. ¿Con cuánto cerró el
día anterior si subió 0.82%?
a. 958.95
b. 4,923.75
c. 2,927.19
d. 4,514.83
e. 4,368.55
4. ¿Qué capital se debe invertir hoy al 27% capitalizable por meses
para tener $30,000.00 en 7 meses?
a. $ 24,500.00
b. $ 21,900.00
c. $ 26,700.00
d. $ 23,622.05
e. $ 25,673.08

Álgebra
77
5. ¿Qué capital se debe invertir hoy al 30.5% capitalizable por meses
para tener $13,000.00 en 5 meses?
a. $ 11,466.78
b. $ 9,035.00
c. $ 6,825.00
d. $ 9,961.68
e. $ 7,669.61
Otros
6. En un estudio reciente, se indica que la función –t2
f(t) = + — t
4
3
2
representa la popularidad del ex presidente de la República Mexica-
na durante su sexenio, cuando 0 ≤ t ≤ 6. Determine el valor de t para
el cual obtuvo la mayor popularidad.
7. La policía del Distrito Federal estudia la compra de carros patrulla.
Los analistas estiman que el costo de cada carro, completamente
equipado, es de $185,000.00, además, han estimado un costo pro-
medio de $20.00 por kilómetro recorrido. Determine:
a) La función de costo total
b) ¿Cuál es el costo de cada carro patrulla, si en promedio recorre
50,000 kilómetros en su vida útil?
c) ¿Y si recorriera 75,000 kilómetros?
8. Problema 7. La función de utilidad de una empresa, en miles de
pesos, depende del número de artículos x en cientos de unidades, de
acuerdo con la siguiente función:
U(x) = –4x2
+ 5x + 10
a) ¿Cuántos artículos se deben vender para obtener la ganancia
más grande?
b) ¿De cuánto es esa ganancia?

78
Bibliografía
Baldor, Aurelio (1980). Álgebra, Madrid: Ediciones y distribuciones códice.
Budnick, Frank (2007). Matemáticas Aplicadas para Administración, Econo-
mía y Ciencias Sociales, México: Mc Graw Hill.
Cárdenas, H. y otros (1986). Álgebra Superior, México: Trillas.
Newman, James R. (1994). SIGMA El mundo de las matemáticas Vol. 1,
México: Grijalbo.
Web
Barrera Francisco, Historia del Álgebra, Facultad de Ingeniería UNAM
http://www.dcb.unam.mx/users/ericagv/algebra/historia%20del%20alge-
bra.pdf
Consultada el 1 de octubre de 2014.

79
Capítulo 5
Geometría plana y del espacio
Introducción
La palabra geometría se deriva de las palabras griegas geo, que significa
“tierra”, y metron, que significa medir. Los antiguos egipcios y babilo-
nios (4000-3000 a. C.) pudieron desarrollar una serie de reglas prácticas para
medir figuras geométricas sencillas y para determinar sus propiedades.
De Egipto y Babilonia, el conocimiento de la geometría pasó a Grecia.
Los griegos legaron algunos de los más grandes descubrimientos para el
avance de las matemáticas.
Entre los griegos más prominentes que contribuyeron al progreso estaban
Tales de Mileto (640-546 a. C.), Pitágoras discípulo de Tales (¿580?-500
a. C.), Platón (429-348 a. C.), Arquímedes (287-212 a. C.) y Euclides (al-
rededor de 300 a. C.).
Euclides, que enseñaba matemáticas en Alejandría, escribió el primer
tratado de geometría amplio y lo intituló Elementos. La mayor parte de los
principios que se presenta ahora en los libros modernos estaban ya contem-
plados en este tratado. Su obra ha servido de modelo para la mayor parte de
los libros de geometría que se han escrito a lo largo del tiempo.

80
Para dar inicio a la comprensión de la teoría necesaria en el aprendizaje de
la geometría, es precisa la definición de los conceptos elementales. Euclides
intentó hacer esto al definir el punto como lo que tiene posición pero no
dimensión. No obstante, las palabras “posición” y “dimensión” también son
conceptos básicos y sólo pueden describirse usando tautologías. También
intentó definir la recta como lo que tiene sólo una dimensión.
Definición: Un punto es lo que tiene posición, pero no dimensión. Se
denota por medio de una letra mayúscula escrita cerca de él.
Definición: Una recta es un conjunto de puntos que de manera conjunta
tiene una sola dimensión. También se le puede definir como el conjunto de
puntos que no tiene partes curvas. La recta se denota designando dos puntos
sobre ella con letras mayúsculas.
A B
Definición: Los puntos que se encuentran todos en el mismo plano son
coplanares.
Definición: Un ángulo es la unión de dos segmentos de recta que coin-
ciden en un punto extremo.
Ejemplo: En la figura siguiente, se muestra el ángulo α que está determi-
nado por los segmentos de recta B C y B A.
C
A
B
α
Definición: Los ángulos generalmente se miden en términos de unidad
grado (°). A cada ángulo le corresponde un valor real entre 0° y 360°, la
medida de un giro completo.

81
Definición: Se dice que dos ángulos son ángulos adyacentes si, y solo si,
tienen el mismo vértice. Un lado en común y los otros dos lados están con-
tenidos en los semiplanos cerrados opuestos determinados por la recta que
contiene el lado común.
Ejemplo: En la figura siguiente, los ángulos α y β son ángulos adyacentes.
El vértice O es común y comparten el segmento de recta O B; de igual forma,
los segmentos de recta O C y O A se encuentran opuestos al segmento común.
B
A
O
α
C
β
Definición: Un ángulo es un ángulo recto si, y sólo si, tiene medida de 90°.
Definición: En geometría, se utiliza la palabra congruente para definir lo
que tiene el mismo tamaño y la misma forma. Dos ángulos son congruentes
si, y sólo si, tienen la misma medida.
Definición: Dos rectas son perpendiculares si, y sólo si, se intersectan
para formar un ángulo recto.
Ejemplos:
.
A
B C
A
B
C
A
B C

82
Definición: Se dice que dos ángulos son ángulos complementarios si, y
sólo si, la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 90°.
Definición: Se dice que dos ángulos son ángulos suplementarios si, y
sólo si, la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180°.
Ejemplos:
Ángulos complementarios Ángulos suplementarios
α
O
β
α
β
Definición: Dos rectas son paralelas si, y sólo si, son coplanares y no se
intersectan.
Definición: Dos planos son paralelos si, y sólo si, su intersección es el
conjunto nulo.
Ejemplos: A continuación, se muestra que la recta A B y la recta C D son
paralelas; de igual manera, el plano ABCD y el plano A’ B’ C’ D’ son paralelos.
A B
C D
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’

83
Teorema 1: Si dos rectas se intersectan entre sí, los ángulos opuestos por
el vértice son iguales.
α
β
α'
β'
En este dibujo, el teorema aﬁrma que α = α’ y que β = β’. La razón de la
veracidad de este teorema radica en que α y β son ángulos suplementarios, y
los ángulos α’ y β’ también son suplementarios (suman 180°).
Teorema 2: Si dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal
entonces se cumplen las siguientes postulados:
1) Los ángulos correspondientes son congruentes.
2) Los ángulos internos del mismo lado son suplementarios.
3) Los ángulos alternos internos son congruentes.
α
β
θ
δ
β'
α'
θ'
δ'

84
A partir de este dibujo, se explicará cada uno de los postulados:
1. Los ángulos correspondientes se refieren a α con α’, a β con β’, a θ
con θ’ y aδ con δ’. Es claro que al ser rectas paralelas el ángulo que se
forma con la transversal para estos casos queda idéntico.
2. Los ángulos internos del mismo lado se refieren a α con β, a β con θ,
a θ con δ y a δ con α. La justificación es muy evidente, puesto que la
suma de cada pareja es de 180°. Ocurre exactamente lo mismo para
el caso de α’, β’, θ’ y δ’.
3. Los ángulos alternos internos se refieren a β’ con δ y a θ con α’; éstos
son iguales, respectivamente. La razón por la que se cumple este
postulado es porque β’ es igual a δ’ por ser ángulos opuestos y, al
aplicar el postulado 2, δ’ es igual a δ. Por transitividad, el postulado
es verdadero. Se verifica de igual manera cada caso.

85
II. Trigonometría
En matemáticas, se ha convenido que los ángulos medidos en sentido con-
trario a las manecillas del reloj son positivos; pero si se miden en el mismo
sentido que las manecillas del reloj, se consideran negativos.
Ejemplos:
a) Ángulo positivo b) Ángulo negativo
O
β = 45°
B
A O
β = – 45°
A
B
Para poder deﬁnir las llamadas razones o funciones trigonométricas, se
considera un triángulo rectángulo:
α
hipotenusa
Cateto
opuesto
Cateto
adyacente
Observación: En este caso, se considera al ángulo α para entender con
mayor facilidad las siguientes deﬁniciones; también se usarán siglas.

86
Deﬁniciones:
El
• seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
El
• coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La
• tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
La
• cotangente es la razón entre cateto adyacente y el cateto opuesto.
La
• secante es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
La
• cosecante es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Seno Coseno Tangente
sen α =
C O
H
cos α =
C A
H
tan α =
C O
C A
Cosecante Secante Cotangente
csc α =
C O
H
sec α =
C A
H
cot α =
C A
C O
Para poder comprender en términos más generales las deﬁniciones, con-
sidere el triángulo rectángulo ABC:
A
B
C
a
b
c
Teorema de Pitágoras: a2
= b2
+ c2

87
Seno Coseno Tangente
sen B =
b
a
sen C =
c
a
cos B =
c
a
cos C =
b
a
tan B =
b
c
tan C =
c
b
Cosecante Secante Cotangente
csc B =
a
b
csc C =
a
c
sec B =
a
c
sec C =
a
b
cot B =
c
b
cot C =
b
c
Algunos valores importantes para estas funciones trigonométricas son
aquéllos relacionados con 0°= 360°, 90°, 180° y 270°, por tanto se enuncia-
rán a continuación:
sen 0° = 0 cos 0° = 1 tan 0° = 0
sen 90° = 1 cos 90° = 0 tan 90° = ∞
sen 180° = 0 cos 180° = –1 tan 180° = 0
sen 270° = 1 cos 270° = 0 tan 270° = ∞
Algunas relaciones entre funciones trigonométricas:
csc α =
1
sen α
sec α =
1
cos α
cot α =
1
tan α
sen2
α + cos2
α = 1 sen2
α = 1 — cos2
α cos2
α = 1 — sen2
α

88
Ley de los senos
Es una herramienta básica para resolver los ángulos o magnitudes de triángu-
los de cualquier tipo, siempre y cuando se conozcan algunos de los datos:
A
B
C
a
b
c = =
a
sen A
b
sen B
c
sen C
Ley de los cosenos
Es una herramienta básica que no es necesaria para los propósitos de este
libro, pero se presenta como breviario cultural:
A
B
C
a
b
c
a2
= b2
+ c2
— 2bc (cos A)
b2
= a2
+ c2
— 2ac (cos B)
c2
= a2
+ b2
— 2ab (cos C)

89
III. Figuras planas
Definición: Se define como triángulo a la figura plana que consta de tres la-
dos y tres ángulos interiores. Éstos se clasifican principalmente en tres tipos:
Escaleno, Isósceles y Equilátero.
Un triángulo es
• Escaleno si, y sólo si, no tiene dos lados que sean
iguales.
Un triángulo es
• Isósceles si, y sólo si, tiene dos lados iguales.
Un triángulo es
• Equilátero si, y sólo si, tiene tres lados iguales.
Ejemplos:
Escaleno Isósceles Equilátero
Definición: Se dice que un triángulo es un triángulo rectángulo si, y sólo
si, tiene un ángulo recto.

90
Propiedades:
1) La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es de 180°
2) En un triángulo escaleno, todos los ángulos son diferentes.
3) En un triángulo isósceles, dos de los ángulos son iguales.
4) En un triángulo equilátero, los tres ángulos miden 60°.
Definición: Según la Real Academia de la Lengua Española, un polígono
es una porción del plano limitada por líneas rectas.
Ejemplos:
Observación 1: De acuerdo con esta definición, el polígono debe tener
asociados los ángulos internos determinados por las líneas rectas que se
unen y forman un vértice.
Observación 2: A la circunferencia, también se le conoce como un po-
lígono con un número infinito de lados.
Definición: Un polígono es regular si, y sólo si, todos sus lados y sus
ángulos son iguales. De otra manera, se le denomina polígono irregular.
Como ejemplos de polígonos regulares, podemos citar al triángulo equi-
látero y al cuadrado.

91
IV. Perímetros y áreas de polígonos
Definición: Se denomina perímetro a la medida del contorno de una figura
o superficie.
Definición: La unidad de medida para un perímetro será la longitudinal.
Ejemplo:
2 m
5 m
P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14 m
En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas fórmulas de pe-
rímetros.
Definición: Se denomina área o superficie de una figura plana a la
medida de esa superficie.
Definición: La unidad de medida para un área o superficie será el
cuadrado de la unidad de medida longitudinal.
Ejemplo:
2 m
4 m
a = 8 m2
En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas fórmulas de áreas.

92
V. Volúmenes de sólidos
Deﬁnición: Se denomina volumen de un sólido al número de unidades de la
medida de espacio en el sólido.
Deﬁnición: La unidad de medida para el espacio será el cubo de la uni-
dad de medida longitudinal.
Ejemplo:
3 m
2 m
2 m
v = 12 m3
En el ANEXO I, se presenta una tabla con algunas fórmulas de volú-
menes.

93
Problemas
1. Una persona observa un avión a 500 m. Obtener la altura del avión.
(1) El ángulo de elevación respecto de la vista del observador es
de 50°.
(2) La distancia en la persona a donde está el avión en tierra es de
321.394 m.
1.7 m
500 m
2. El ángulo de un avión que va a aterrizar sobre una de las pistas de un
aeropuerto es de 15°. ¿Qué distancia recorre el avión hasta el instante
que hace contacto con la pista de aterrizaje?
(1) El coseno del ángulo de inclinación es de 0.9659°.
(2) La altura del avión en ese instante es de 1250 m.
15°

94
3. Determinar el valor del ángulo x.
(1) y = 6 m
(2) Sen (180°) = 0
y
5 m
x°
4. Si el lado AB es paralelo al lado CD, ¿cuál es el valor de x?
(1) 30° x°+90° 180°
(2) y = 40° A
B
C D
120° x° + 90°
x°
y°
30°
5. Determinar el valor del ángulo x. (***)
(1) Sen (0º) = 0
(2) y = 26 m
y
x
14
10

95
6. Determinar el valor del ángulo x. (***)
(1) r mide 10 m
(2) El área del Δ es 400 m2
20 m
r
h
x
a
7. Determine las dimensiones de un rectángulo.
(1) Tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces su ancho.
(2) Su perímetro es de 19 cm
8. ¿Cuál es el volumen de un depósito abierto con fondo cuadrado y una
altura de 3 m si su costo total de construcción fue de $7,560.00?
(1) El costo del material que se ocupó para el fondo costó $360.00
por m2
.
(2) El costo del material para los lados costó $120.00 por m2
9. Un cuadrado se recorta en 36 cuadrados, 35 son iguales y uno es
desigual. ¿Cuál es el área del cuadrado desigual?
(1) El área de los 35 cuadros iguales es de 1 cm2
(2) Los 35 cuadrados tienen igual área
10. ¿Cuántas caras tiene un lápiz de seis aristas?
(1) El lápiz no tiene punta
(2) La arista no es una cara

96
1. Si el lado PQ es paralelo al lado RS, determinar el valor de x.
a. 130º
b. 140º
c. 135º
d. 165º
e. 125º
P Q
70° 40°
x
R S
2. Determinar x.
a. 90º
b. 45º
c. 35º
d. 30º
e. 60º
120°
x
3. Determinar el valor de X.
a. (225)(1/2)
b. 108/2
c. (63)(1/2)
d. (21)(1/2)
e. (42)(1/2)
12 m
9 m
X
4. Determinar el valor de X.
a. (125)(1/2)
b. 20/5
c. (15)(2)
d. (50)(1/2)
e. (75)(1/2)
5 m
10 m
X

97
Bibliografía
Baldor, A. (1991). Geometría plana y del espacio con una introducción a la
trigonometría, México: Publicaciones Cultural.
Barnett, R. (1970). Teoría y problemas de geometría plana con geometría de
coordenadas, México: Mc Graw Hill.
Hemmerling, E. M. (1971). Geometría elemental, México: Centro Regional
de Ayuda Técnica (AID).
Wenworth, G. (1979). Geometría plana y del espacio, México: Porrúa.

98
Capítulo 6
Compendio de ejercicios
de suficiencia de datos
con respuesta
Como el alumno aprende por primera vez este tipo de problemas, que
requieren un razonamiento distinto al que han manejado con anteriori-
dad, a continuación se presenta un compendio de ejercicios para resolver, con
las respuestas correctas al final, para que pueda verificar su respuesta.
1. Determine el valor de xy
(1) x y y son dos números naturales consecutivos
(2) x2
+ y2
= 313
2. Considere cinco números naturales. Indique cuál es el menor.
(1) La suma de los cinco números es 40
(2) Los cinco números son pares consecutivos
3. Determine el valor de x considerando que l1
son l2
rectas paralelas y l3
las intersecta.
(1) x + 2y = 217
1
2
3
l y
x
l
l
(2) x – y = 106

Anexo
99
4. En un grupo de la FCA hay 120 estudiantes de Administración y Con-
taduría Pública, ¿cuántas mujeres estudiantes de administración hay
en este grupo?
(1) La proporción de estudiantes de administración con respecto a
los de Contaduría pública es 2:1
(2) La proporción de mujeres a hombres en el grupo es 4:1
5. Si a = 52x
+ 3 ¿cuál es el valor de a?
(1) 25x
= 16
1
(2) 5–x
=
4
6. Determine la proporción de ventas de este año con relación a las del
año pasado de una tienda de equipos de cómputo.
(1) La tienda vendió $850,000.00 el año pasado
(2) La tienda incrementó sus ventas en un 25% con relación a las del
año pasado.
7. Sea abc un triángulo cualquiera y sean A, B, C las áreas de los tres
cuadrados con lado que coincide con uno de los lados del triángulo.
¿Se puede decir que es un triángulo rectángulo?
(1) B = A + C
A
B
C
c
a
b
__ __ __
(2) ab + bc ≥ ac
8. Sean a y b enteros, ¿a es negativo?
(1) a + b 0
(2) ab 0
9. Sean a y b enteros, ¿es 6a + b par o impar?
(1) b es número par
(2) a es número impar

100
10. Determine el promedio de los números naturales x, y, z
x y 2
(1) _ = _ = _
3 4 z
(2) xz – 6 = 0
11. Sean mn y nm dos números naturales que están a su vez conforma-
dos por dos dígitos ¿se puede determinar la diferencia de m – n?
(1) mn – nm = m – n
(2) m = 9
12. En la ecuación 9x2
– (t + 20) x + (t – 1) = 0 ¿cuál es el valor de t?
(1) 9x2
– (t + 20) x + (t – 1) es divisible entre (x – 3)
1
(2) x = _ es raíz del polinomio
3
13. Sea x un número natural, entonces ¿se puede aﬁrmar que x es un
número impar?
(1) 4x + 2 es par
(2) 3x
+ x2
+ 1 es impar
14. x y y son dos enteros consecutivos donde x ¿cuál es el valor de y2
– x2
?
(1) 3x – 2y = 38
(2) –x + y = 1
x2
y – yz
15. Determine el valor de cuando:
y2
(1) y = 2
(2) x = 2z, z = y2
16. Sean x, y números naturales y suponga que es cierto: (2x
– 7)y
= 1
entonces ¿cuál es el valor de x?
(1) x es impar
(2) y es impar
17. Suponga que en una bolsa se tienen pelotas verdes y amarillas. Si se eli-
ge al azar una pelota ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea verde?
(1) El número de pelotas amarillas es de 50
(2) El número de pelotas verdes guarda la proporción de 3/5 del
número de pelotas amarillas
18. Sea un número entero ¿x 5?
(1) 11 – 2x 1
(2) – x + 4 – 1

Anexo
101
a
19. Si a y b son números reales, determine el valor de –
b
1
(1) b – – = 5
a
1
(2) a – – = –3
b
20. Sean a, b, c y d cuatro dígitos distintos y ninguno de ellos cero ¿a + b
+ c + d 25?
(1) abcd 3000
4 3
(2) abcd se divide entre 7 y – a = c, – a = d
3 2
21. Sea • una operación binaria para cualesquiera dos números reales a, b
4a – b
que se deﬁne mediante: a • b =
2
(1) a • b = 10
(2) a = 4 – b
22. Cuando x se divide entre el cociente es 7 y el residuo r. Determine el
residuo cuando 2x se divide entre 7.
(1) r = 5
(2) y = 4
23. Determine el valor de x
(1) y = 10 – 3x
2 + x – 3z
(2) y =
4
24. Determine el área del rectángulo ABCD, donde la medida de sus
lados son números naturales.
–– ––
(1) AB es un número primo y BC no es
número primo
A
B C
D
(2) Su perímetro es igual a 48m
25. Partiendo de los enunciados (1) y/o (2) ¿se puede determinar esta
igualdad 12x + 8y = xy?
1 1 1
(1) — + — = —
3x 2x 24
(2) x(y – 1) = 8y + 11x

102
26. Suponga que a y b son números enteros y distintos de cero. Determi-
ne la proporción de a con respecto a b
(1) a2
+ 3b2
= 8ab
(2) 5ab = 11b2
27. Sea A, B, C, D, E y F un hexágono regular, si O es el punto del cen-
tro, determine el área del triángulo OED
––
(1) EA = 6
A
O
E D
C
B
F
—
(2) AB = 6
28. Sea ABCD un paralelogramo. Determine el área del triángulo DOC
que está contenido en el mismo.
(1) El área del paralelogramo es 84 cm2 A B
O
C D
(2) O es el punto que está exactamente en
—
la mitad del lado AB
29. César tiene una colección de monedas que exhibe en 7 vitrinas, entre
otras, tiene varias monedas de plata ¿se puede determinar el número
promedio de monedas de plata por vitrina?
(1) Cuatro de las vitrinas tienen el mismo número de monedas de
plata y el resto de vitrinas, el doble.
(2) La mediana del número de monedas de plata es igual a 7
3x + y
30. ¿Se puede determine el valor de 9x2
+ 6xy + y2
– (———) – 3x – y?
y
5
(1) — = 9
3x
(2) 3x + y = 10
3

Anexo
103
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D E D B A E A E
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A D B A C D B D C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
C A E E D B D A C B

105
Capítulo 7
Investigación de operaciones
Introducción
Sus principios son los mismos que los del método científico, cuyo ori-
gen exacto se desconoce. A través de diversos estudios, se asignan sus
orígenes a partir del siglo XVIII. Previamente, al ingeniero Frederick Winslow
Taylor, norteamericano, se le reconoce la paternidad de la Administración
Científica debido a sus aportaciones, como la división del trabajo mediante
capacitación, selección y adiestramiento de los trabajadores. Además, de la
aplicación del análisis científico a los problemas de manufactura, estable-
ciendo normas de trabajo y de especialización. Por su parte, Henry L. Gant
planeó las tareas de las máquinas para evitar demoras de producción.
El desarrollo como Investigación de Operaciones IO, se dio en el siglo XX,
justamente en el transcurso de la Segunda Guerra Mundial, cuando los
llamados Aliados (Reino Unido, Unión Soviética, Estados Unidos, Francia,
etc.), congregaron a un grupo multidisciplinario de científicos para determi-
nar tácticas de guerra que les permitieran vencer al bloque opositor (liderado
por Alemania, Japón e Italia). Como se conoce hasta la fecha, fueron justa-
mente los denominados aliados quienes finalmente ganaron la Segunda
Guerra Mundial, pero a estas tácticas de guerra desarrolladas en este periodo
se le conoció como Investigación de Operaciones (militares).
Al término de la guerra, en los países que quedaron devastados, se si-
guió utilizando para la reconstrucción del país, pero, por ejemplo, en los
Estados Unidos de Norteamérica se siguieron desarrollando algoritmos muy

106
importantes que permitieron integrarse en las organizaciones para su ópti-
mo desarrollo en problemas de tipo logísticos, el desarrollo de patrones de
vuelo, planeación de maniobras navales.
Ya en la década de 1950, con el desarrollo y comercialización de compu-
tadoras, se pudieron mejorar notablemente los algoritmos para este tipo de
problemas. Es más: se inventaron muchos otros, sobre todo en programación
entera y simulación en donde la solución de problemas sería impensable si
no existieran las computadoras.
La Programación Lineal es una de las áreas mayormente conocidas den-
tro de la IO por su gran facilidad de aplicación a diversos problemas empre-
sariales y financieros. Otra área de gran aplicación es la Evaluación y Admi-
nistración de proyectos, en la que se requieren conocimientos de las
matemáticas financieras.
Ahora se cuenta con un sinnúmero de algoritmos para resolver distintos
problemas que se han clasificado dentro de la investigación de operaciones,
para ello se requiere determinar el modelo más adecuado utilizando diversas
herramientas de las matemáticas.
En la actualidad, el desarrollo de esta disciplina ha sido tan importante
que su ámbito de aplicación abarca casi todas las disciplinas.

107
Lo principal es conocer las definiciones clave dentro de la IO, de manera muy
breve, pero después hacer un análisis más profundo en la Programación Lineal.
Definición: La Investigación de Operaciones es la aplicación del método
científico para la solución de un problema específico, por un grupo multidisci-
plinario de personas, con un enfoque de sistemas.
Metodología
Se debe precisar que en la definición, la aplicación del método científico no
es literal; evidentemente, se debe adaptar cada uno de los pasos involucra-
dos en la metodología.
Método científico Metodología de la IO
Observación Análisis del problema
Elaboración de hipótesis Elaboración de un modelo (generalmente matemático)
Experimentación Resolver el modelo
Comprobación Comparar la solución con la realidad
Conclusión Implantar la solución o modificar el modelo
Clasificación de problemas en IO
Existen diversas maneras de clasificar los tipos de problemas que pueden
abordarse en IO. Una de ellas es con base en la naturaleza de sus variables
(puede variar):
Programación Lineal
Programación No Lineal
Programación Entera y
Binaria
Teoría de Redes
Programación Dinámica
Teoría de Inventarios
Simulación
Heurísticos
Teoría de Colas
Cadenas de Markov
Teoría de Juegos
Investigación de Operaciones
Determinísticos Híbridos Estocásticos

108
II. Programación lineal
En esta sección, se profundizará en la teoría y aplicación de los problemas de
programación lineal, los más aplicados en diversas áreas.
Definición: Un Problema de Programación Lineal (PPL) está conforma-
do por una función objetivo (FO) de tipo lineal, a maximizar o minimizar en
presencia de un conjunto de restricciones lineales de la forma ≤, ≥ 0 =.
Maximizar z = c1
x1
+ c2
x2
+ ⋯ + cn
xn
Sujeto a
a11
x1
+ a12
x2
+ ⋯ + a1n
xn
≤ b1
a21
x1
+ a22
x2
+ ⋯ + a2n
xn
≤ b2
⋮ ⋮ ⋮
am1
x1
+ am2
x2
+ ⋯ + amn
xn
≤ bm
x1
, x 2
, …, xn
≥ 0
Definición: Un punto factible o solución factible es una n-ada
x1
, x2
, …, xn
, n ≥ 2
0 0 0
, de valores reales, tales que satisfacen a la totalidad de
restricciones.
Definición: Una región factible es el conjunto de soluciones factibles.
Para observar gráficamente lo que representaría una región factible, se
utilizará un PPL en dos variables, como el siguiente problema:
Min z = 8x1
+ 6x2
Sujeto a
x1
+ x2
≥ 15
–4x1
+ 6x2
≤ 0
x1
, x2
≥ 0

109
A continuación, se debe dibujar en el plano cartesiano las distintas regio-
nes que están acotando cada una de las restricciones lineales:
L1
15
15
X1
X2
L2
(6,4)
Note usted que, por ejemplo, el punto de coordenadas (17,1) está en la re-
gión factible y satisface a la totalidad de restricciones del PPL; lo mismo ocu-
rre con (17,2), (18,1), (19,1), (19,2), etc. Por tanto, existe una inﬁnidad de
parejas de números que satisfacen a las restricciones del PPL, y los métodos
para resolver este tipo de problemas encuentran la solución que maximice o
minimice a la FO, según sea el caso.

110
III. Modelación de problemas de programación lineal
Los ejemplos presentados en esta sección son ficticios; pero muy didácticos,
muestran con claridad situaciones de la vida cotidiana que pueden modelarse
matemáticamente a través de un PPL.
Problema 1. La dieta
Una actriz de televisión está preocupada por su peso y el costo de la comida
diaria. Para bajar de peso, ella requiere consumir un máximo de 2000 kcal,
pero para mantenerse nutrida requiere un mínimo de 400 mg de vitaminas
diversas, 325 mg de proteínas y 125 mg de calcio; los demás nutrientes los
tomará en cápsulas.
La actriz ha elegido alimentos que le gustaría incluir en su dieta, baratos
y nutritivos.
Alimento Porción kcal
Vitaminas
(mg)
Proteínas
(mg)
Calcio
(mg)
Costo
($)
Huevo 1 pieza 30 15 35 25 2.00
Frutas 1 plato 40 25 10 — 50.00
Pollo en mole
Pierna con
muslo
75 20 50 15 75.00
Cerdo en verdolagas Dos trozos 100 25 65 10 95.00
Leche 1 taza 25 20 15 14 10.00
Pan o tortilla 2 piezas 43 15 — 20 5.00
Al analizar la tabla, ella se percató de que podría satisfacer su problema
consumiendo únicamente cerdo con verdolagas, por lo que decidió conside-
rar que diariamente a lo más puede comer cuatro porciones de huevo, dos
de fruta, dos de pollo, dos de cerdo, tres de leche y cuatro de pan o tortilla.
Solución
Primero, se debe definir lo que va a significar cada una de las variables de
decisión. En este caso, la cantidad de porción que se va a incluir en la dieta

111
diaria, de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan los requerimientos
de nutrientes con los que indican las cantidades máximas a consumir.
El modelo completo es:
xi
= Cantidad de porción del alimento i a incluir en la dieta diaria,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Minimizar z = 2x1
+ 50x2
+ 75x3
+ 95x4
+ 10x5
+ 5x6
Sujeto a
30x1
+ 40x2
+ 75x3
+ 100x4
+ 25x5
+ 43x6
≤ 2000 Kcal
15x1
+ 25x2
+ 20x3
+ 25x4
+ 20x5
+ 15x6
≥ 400 mg vitaminas
35x1
+ 10x2
+ 50x3
+ 65x4
+ 15x5
–––≥ 325 mg proteinas
25x1
––– + 15x3
+ 10x4
+ 14x5
+ 20x6
≥ 125 mg calcio
0≤ x1
≤ 4
0≤ x2
≤2
0≤ x3
≤2
0≤ x4
≤2
0≤ x5
≤3
0≤ x6
≤4
Problema 2. De producción
Una compañía de zapatos mantiene en su producción tres líneas: zapatillas,
calzado para caballero y de niña. Las utilidades netas que proporciona cada
par de zapatos son de $35, $25 y $19, respectivamente, y se requiere para la
fabricación de una hora con 30 minutos, 45 minutos y 30 minutos de corte,
respectivamente; una hora y 90 minutos, media hora y una hora de costura, res-
pectivamente; ﬁnalmente, 15 minutos de revisión para cada par de zapatos.
Si la próxima semana se tiene un pedido de 50 pares de zapatillas y 25
pares de zapatos de niña, pero, según un estudio de mercado, no se vende-
rán más de 125 pares de caballero. Determine el modelo de PL que determine
la producción ideal, considerando que sólo se dispondrá de 45 horas de
corte, 40 horas de costura y 30 horas para revisión.

112
Solución
xi
= Número de pares de zapatos del tipo i a fabricar en la semana,
i = 1 (zapatillas), 2 (caballero), 3 (niña)
Maximizar z = 35x1
+ 25x2
+ 19x3
Sujeto a
90x1
+ 45x2
+ 30x3
≤ 45 × 60 = 2700 min de corte
90x1
+ 30x2
+ 60x3
≤ 40 × 60 = 2400 min de costura
15x1
+ 15x2
+ 15x3
≤ 30 × 60 = 1800 min de revisión
50 ≤ x1
0 ≤ x2
≤ 125
25 ≤ x3
x1
, x2
, x3
enteros
Problema 3. De contratación de personal
Restaurantes California abrirá un restaurante en la Col. Copilco. Su gerente
quiere determinar cuántas meseras deberá contratar para que atienda a los
comensales en los distintos horarios. Este restaurante trabaja las 24 horas
del día, las meseras trabajarán ocho horas consecutivas y se requieren como
mínimo distintos números para la demanda en horarios de cuatro horas.
Horario
Número mínimo
de meseras
0 - 4 3
4 - 8 4
8 - 12 8
12 - 16 10
16 - 20 9
20 - 24 6

113
Solución
xi
= Número de meseras a contratar para que inicien sus labores en el horario i,
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Minimizar z = x1
+ x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
Sujeto a
x1
+ x2
–––––––––––––––≥ 4 meseras en el horario 2
–––––––x2
+ x3
–––––––≥ 8 meseras en el horario 3
–––––––––– x3
+ x4
–––––≥ 10 meseras en el horario 4
––––––––––––x4
+ x5
–––≥ 9 meseras en el horario 5
–––––––––––––––x5
+ x6
≥ 6 meseras en el horario 6
x1
––––––––––––––– + x6
≥ 3 meseras en el horario 1
x1
, x2
, x3
, x4
, x5
, x6
≥ 0 y enteros
Problema 4. Concesión de contratos
Una Secretaría de Estado requiere contar con alternativas de proveedores de
productos de papelería para realizar sus compras de manera transparente. A
continuación, se muestra tres opciones para la licitación:
Costos ofertados para el producto ($)
Proveedor 1 2 3 4 5
1 5.00 57.50 3.00 104.50
2 57.25 3.20 8.75 103.20
3 4.80 57.75 3.10 9.00
Requerimientos
de la secretaría
20000 15000 30000 25000 2000
Observe que los proveedores no necesariamente hacen ofertas de los
cinco productos mayormente demandados por la entidad; también, algu-
nos de ellos indicaron cantidades máximas que pueden surtir de productos

114
particulares. El proveedor 1 indicó que no puede surtir más de 10,000 unida-
des del producto 3, y el proveedor 2 no puede surtir más de 8,000 unidades
del producto 2. Las regulaciones de compras estatales no permiten que se
compren todas las unidades de un producto solicitado a un solo proveedor.
Solución
xij
= Número de artículos del tipo i a comprar al proveeedor j,
i = 1, 2, 3, 4, 5 j = 1, 2, 3
Minimizar z
= 5x11
+ 4.8x13
+ 57.5x21
+ 57.25x22
+ 57.75x23
+ 3x31
+ 3.2x32
+ 3.1x33
+ 8.75x42
+ 9x43
+ 104.5x51
+ 103.2x52
Sujeto a
x11
– x13
––––––––––––––––––––––––––––––≥ 20,000 artículos del tipo 1
x21
+ x22
+ x23
–––––––––––––––––––––––≥ 15,000 artículos del tipo 2
x31
+ x32
+ x33
–––––––––––––––≥ 30,000 artículos del tipo 3
x42
+ x43
–––––––––––––––≥ 25,000 artículos del tipo 4
x51
+ x52
≥ 2,000 artículos del tipo 5
x31
≤ 10,000
x22
≤ 8,000
x11
,x13
, x21
, x22
, x23
, x31
, x32
, x33
, x42
, x43
, x51
, x52
≥ 1 y enteros
Problema 5. De transporte
Después de un huracán en el Pacíﬁco Mexicano, se dañaron severamente
tres entidades del estado de Guerrero. El Gobierno Federal decidió enviar
provisiones y medicamentos desde la capital de cuatro estados de la Repú-
blica Mexicana. Debido al costo de transporte aéreo por tonelada, a conti-
nuación se presenta los costos en miles de pesos por tonelada transportada:

115
Localidades de Guerrero
Capital proveedora 1 2 3 Oferta (T)
D. F. 3 2.5 4.5 80
Guadalajara 5 6 2.5 30
Monterrey 7 6.5 3 80
Toluca 9 8 4.5 35
Demanda (T) 90 70 65
Solución
xij
= Número de toneladas de suministros a transportar de la capital i a la
localidad j,
i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3
Minimizar z
= 3x11
+ 2.5x12
+ 4.5x13
+ 5x21
+ 6x22
+ 2.5x23
+ 7x31
+ 6.5x32
+ 3x33
+ 9x41
+ 8x42
+ 4.5x43
Sujeto a
x11
+ x12
+ x13
–––––––––––––––––––––≤ 80 Ton disponibles en el DF
x21
+ x22
+ x23
–––––––––––––––––––––≤ 30 Ton disponibles en Guad
x31
+ x32
+ x_33
––––––––––––––––≤ 80 Ton disponibles en Mty
x41
+ x42
+ x43
≤ 35 Ton disponibles en Tol
x11
––––– + x21
–––––––+ x31
––––––– + x41
≥ 90 Ton necesarias en loc.1
x12
–––– + x22
––––––+ x32
–––––– + x42
– ≥70 Ton necesarias en loc.2
x13
–––– + x23
––––––+ x33
–––––– + x43
≥65 Ton necesarias en loc.3
x11
, x12
, x13
, x21
, x22
, x23
, x31
, x32
, x33
, x41
, x42
, x43
≥ 0

116
Problema 6. De asignación
En un Juzgado de Distrito, se quiere asignar cuatro jueces a cuatro listas
de causas de los tribunales. El responsable de esta tarea estimó el número de
días que requeriría cada juez para completar cada listado, con base en
su experiencia y la composición de equipos de caso en cada lista, así como su
experiencia para culminar los diferentes casos:
Grupo de causas
Juez 1 2 3 4
1 20 18 22 24
2 18 21 26 20
3 22 26 27 25
4 25 24 22 24
Solución:
1, si el juez i se asigna al grupo de causas j
xij
= { 0, si el juez i NO se asigna al grupo de causas j
i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4
Minimizar z
= 20x11
+ 18x12
+ 22x13
+ 24x14
+ 18x21
+ 21x22
+ 26x23
+ 20x24
+ 22x31
+ 26x32
+ 27x33
+ 25x34
+ 25x41
+ 24x42
+ 22x43
+ 24x44

117
Sujeto a
x11
+ x12
+ x13
+ x14
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––= 1
x21
+ x22
+ x23
+ x24
––––––––––––––––––––––––= 1
x31
+ x32
+ x33
+ x34
–––––––––––––––––= 1
x41
+ x42
+ x43
+ x44
= 1
x11
––––––––– + x21
–––––––––– + x31
–––––––––– + x41
–––––––––– = 1
x12
––––––––– + x22
––––––––– + x32
––––––––– + x42
––––––––– = 1
x13
–––––––– + x23
–––––––– + x33
–––––––– + x43
–––––––– = 1
x14
––––––––– + x24
––––––––– + x34
––––––––– + x44
= 1
Note usted que las primeras cuatro restricciones sólo están restringiendo
el hecho de a cada juez le debe tocar solamente un grupo de causas; pero si el
modelo quedara así, podría suceder que el mismo grupo de causas se asig-
nara a todos los jueces; por tanto, las últimas cuatro restricciones indican
que también se debe cumplir que cada grupo de causas se le asignen a un
sólo juez.
Problema 7. Tipo mochila
En una secretaría de Estado, se analizaron varios proyectos de inversión,
de los cuales se elegirán sólo cinco como candidatos para elegir. Puesto que
éstos reditúan buenas ganancias, la decisión de elegir en cuáles invertir no es
sencilla, puesto que al elegir un proyecto se tendrá que invertir el costo total
y la secretaría sólo asignó $8’000,000.00 para este propósito.
Proyecto
Costo
(Millones de pesos)
Ganancias
(Millones de pesos)
1 1.5 0.5
2 2 1
3 2.1 1.2
4 3 1.6
5 2.5 1.8

118
El modelo que se usará se denomina “mochila” porque se hace una com-
paración con el excursionista que desea llevar al viaje una serie de objetos;
pero no puede llevarse todos, pues la capacidad de su mochila es limitada, es
decir, sólo se debe considerar una restricción. Por tanto, el modelo quedaría:
Solución:
1, si se invierte en el proyecto i
xij
= {0, si eNO se invierte en el proyecti i
i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 0.5x1
+ x2
+ 1.2x3
+ 1.6x4
+ 1.8x5
Sujeto a
1.5x1
+ 2x2
+ 2.1x3
+ 3x4
+ 2.5x5
≤ 8 ($ disponibles)

119
IV. Método Gráfico
Pedagógicamente, es importante su aprendizaje, porque permite entender la
idea intuitiva del método simplex. Por esta razón, no se profundizará en el
tema; sólo se mostrará la idea básica y un ejemplo completo de aplicación.
Definición: El método gráfico consiste en utilizar la geometría analítica
para resolver problemas de programación lineal en dos variables: a través de
graficar la región factible e identificar los puntos de tangencia de ésta con la
Función Objetivo.
Algoritmo del método gráfico
1. Dibujar las rectas correspondientes a las restricciones lineales.
2. Determinar la región factible involucrando las restricciones del tipo
≤ o ≥
3. Dibujar la FO que pasa por el origen (0, 0)
4. Trazar rectas paralelas a la FO en dirección de la región factible y
encontrar el punto (los puntos) de tangencia.
5. Determinar las coordenadas del punto (los puntos) de tangencia de
la FO con la región factible y calcular el valor óptimo de la FO.
Ejemplo numérico:
Maximizar z = 4x1
+ 6x2
Sujeto a
2x1
+ x2
≤18
x1
+ 2x2
≤ 16
x1
, x_2
≥ 0
Dibujar las rectas correspondientes a las restricciones lineales y deter-
minar la región factible involucrando las restricciones del tipo ≤ o ≥
L
1
2x
1
+ x
2
= 18 pasa por (0,18) y (9,0);

120
Evaluar (0,0) 2(0) + (0) = 0 18 como SÍ satisface la restricción. La
región es hacia el origen, en el primer cuadrante.
18
9 L1
X2
X1
18
9 L1
X2
X1
L2
x1
+ 2x2
= 16 pasa por (0,8) y (16,0);
Evaluar (0,0) (0) + (0) = 0 ≤ 16
Como SÍ satisface la restricción, la región es hacia el origen, en el primer
cuadrante.
18
16
9
8
X2
X1
L1
L2
18
16
9
8
L2
X2
X1
L1

121
La región factible que resulta es la intersección de las dos regiones deli-
mitadas por el par de rectas.
18
16
9
8
X2
X1
L2
L1
Dibujar la FO que pasa por el origen (0,0)
4 x 1 + 6 x 2 = 0 pasa por el punto (0,0) y, por ejemplo, por el punto (-6,4)
18
16
9
8
(-6,4)
L2
L1
X2
X1

122
Trazar rectas paralelas a la FO en dirección de la región factible y encon-
trar el punto (los puntos) de tangencia.
18
16
9
8
(-6,4)
punto de
tangencia
X2
X1
L2
L1
Determinar las coordenadas del punto (los puntos) de tangencia de la FO
con la región factible y calcular el valor óptimo de la FO.
Al resolver el sistema de ecuaciones involucrado de 2x2 utilizando cual-
quier método (suma y resta, sustitución, igualación, determinantes, elimina-
ción gaussiana, etc.), se obtiene:
x1
* = 20/3, x2
* = 14/3 y z* = 164/3
La interpretación del problema dependerá exclusivamente de las varia-
bles de decisión y lo que representan en el modelo, como también la FO y las
restricciones.
Ejemplo práctico de minimización
La Secretaría de Seguridad Pública del Distrito Federal necesita contratar
personal para monitorear la seguridad en los principales cruceros viales de

123
la Ciudad de México. Para ello, ha considerado que este trabajo puede ser
desarrollado por dos tipos de personas: con estudios de preparatoria termi-
nada o de preparatoria incompleta; que las pantallas necesitan al menos de
15 personas que estén vigilando, pero el jefe de personal pide que el 60%
de los contratados tenga la preparatoria terminada. Si los sueldos de las
personas con estudios de preparatoria ascienden a $8,000.00 pesos mensua-
les y de los otros empleados a $6,000.00, ¿cuál será el número óptimo de
empleados a contratar de manera que el costo de prestación de este servicio
sea mínimo?
Este problema involucra a dos variables:
x1
= Número de personas a contratar con estudios de preparatoria
x2
= Número de personas a contratar sin estudios de preparatoria
La función objetivo pretende minimizar el costo por la prestación de
este servicio:
Min z = 8000x1
+ 6000x2
La primera restricción es que el número mínimo de empleados necesa-
rios es de 15:
x1
+ x2
≥ 15
La segunda restricción es que al menos el 60% de los contratados tenga
la preparatoria terminada:
0.60(x1
+ x2
) ≤ x1
⇔ 0.60x1
+ 0.60x2
– x1
≤ 0 ⇔ (0.60-1)x1
+ 0.60x2
≤ 0
–0.40x1
+ 0.60x2
≤ 0
Multiplicando por 100 de ambos lados de la desigualdad:
–4x1
+ 6x2
≤ 0
La no-negatividad y que las variables sean valores enteros, que en este
caso indicarían que no se pueden contratar números negativos de empleados
o fracciones de los mismos:
x1
, x2
≥ 0 y enteros

124
Solución del problema utilizando el método gráfico
Dibujar la región factible, al considerar las restricciones del tipo ≤ o ≥ y la
no-negatividad.
L1
15
15
X1
X2
L2
(6,4)
En este punto, se omiten los gráﬁcos que representan los dibujos de cada
una de las restricciones lineales y el razonamiento que se sigue para determi-
nar la región acotada.
Se recomienda al estudiante repetir el proceso que se desarrolló en el ejem-
plo numérico anterior, con la ﬁnalidad de reforzar el algoritmo aprendido.

125
A continuación, se dibuja la FO que pasa por el origen y rectas paralelas en
dirección de la región factible, para encontrar el o los puntos de tangencia.
L1
15
15
X1
X2
L2
(-6,8)
(6,4)
FO
Punto de
tangencia
15
Se determina la solución óptima al PPL utilizando cualquier método de solu-
ción del sistema de ecuaciones de 2x2.
x1
= 9 y x2
= 6
Finalmente, se evalúa la FO:
z = 8000(9) + 6000(6) = 108000
Interpretación
Se debe contratar 9 personas con estudios de preparatoria y 6 personas con
estudios de preparatoria no concluidos; se tendrán que pagar mensualmente
por concepto de salarios a este personal $108,000.00
Nota
Veriﬁque usted que la solución encontrada, satisface a todas y cada una de
las restricciones planteadas.

126
V. Método simplex simple
El propósito de aprender en qué consiste el método simplex simple es que el
alumno tenga claridad en la manera de operar el software de apoyo LINDO,
que se utilizará, y la interpretación de las soluciones que se obtienen.
Deﬁnición: Una variable de holgura vh es aquella que representa la can-
tidad no-negativa necesaria en el lado izquierdo de una restricción lineal y
que, al ser sumada de este lado en una restricción del tipo ≤, permite que la
desigualdad sea una igualdad.
Cada restricción tiene asociada una distinta variable de holgura. Por ello
se tendrán tantas variables de holgura como número de restricciones distin-
tas a la no-negatividad existan en el PPL.
La notación que se usará será si
con i igual al número de restricción.
Observación: Este algoritmo sólo puede aplicarse a problemas cuya to-
talidad de restricciones (exceptuando la no-negatividad) son del tipo ≤.
Algoritmo simplex simple (caso de maximización)
1. Sumar las variables de holgura (vh) a todas las restricciones del tipo ≤.
2. Sumar las variables de holgura multiplicadas por cero en la función
objetivo (FO).
3. Igualar a cero la FO.
4. Introducir los coeﬁcientes de los puntos (1) y (3) a la matriz simplex
(Figura 1).
5. Iterar hasta encontrar la solución óptima el siguiente subprograma:
i. Elegir el valor más negativo del renglón de la FO. La variable que
se encuentra sobre él es la que entrará a la base. Los candidatos
a ser elemento pivote son los números estrictamente positivos en
esta columna.
ii. Hacer los cocientes de los valores que se encuentran en el lado
derecho (LD) de la matriz sobre los valores positivos de la colum-
na elegida. Elegir el denominador del cociente más pequeño; el
denominador de este cociente es el número al que denominare-
mos pivote, y la variable en la base que está en este renglón sale
de la base.
iii. Multiplicar el renglón pivote por el inverso multiplicativo del
número pivote.

127
iv. Al renglón que se acaba de determinar en el paso (iii), multipli-
carlo por cada uno de los inversos aditivos de los números que
se encuentran arriba y abajo d
el pivote y realizar las sumas a los renglones correspondientes, de
tal forma que se obtengan ceros arriba y abajo del pivote, que
ahora es el número uno.
v. Veriﬁcar si en el renglón de la FO quedan aún valores negativos.
Si aún los hay, repetir (i), (ii), (iii) y (iv); si no, entonces ya se
terminó. Los valores óptimos de las variables que están en la base
y de la FO “Z” se encuentran en el mismo renglón en la colum-
na del lado derecho, LD, las variables que no están en la base
valen cero.
Figura 1. Matriz simplex
X1 X2 … S1 S2 … LD
Z C1 C2 … 0 0 … 0
S1 a11 a12 … 1 0 … b1
S2 a21 a22 … 0 1 … b2
… … … … … … … …
Sn an1 an2 … 0 0 bn
z
Observación: Este algoritmo se muestra sólo para el caso de maximiza-
ción por la existencia del siguiente
Teorema: Un PPL con FO de minimización es equivalente a una de maxi-
mización mediante:
Minimizar z = Maximizar (–z)

128
Y a la inversa
Minimizar z = Maximizar (–z)
Ejemplo numérico 1
Maximizar z = 2x1
+ 3x2
Sujeto a
–x1
+ 5x2
≤ 15
4x1
– 2x2
≤ 12
x1
, x2
≥ 0
En la matriz simplex queda:
X1 X2 S1 S2 LD
Z -2 -3 0 0 0
S1 -1 5 1 0 15 *(1/5)
S2 4 -2 0 1 12
z -13/5 0 3/5 0 9
X2 -1/5 1 1/5 0 3 *(3)*(2)
S2 18/5 0 2/5 1 18 *(5/18)
z 0 0 8/9 13/18 22
X2 0 1 2/9 1/18 4
X1 1 0 1/9 5/18 5 *(13/5)*(1/5)
En este ejemplo, el valor más negativo es el -3; por tanto, la variable x2
entrará a la base. Sólo hay un candidato a elemento pivote, el número 5; por
tanto, la variable s1 sale de la base. El elemento pivote cumple el mismo
papel del método de eliminación gaussiana. Se repitió este proceso hasta
obtener la solución que da como resultado:
x1
= 5, x2
= 4 y z = 22

129
Gráﬁcamente, la manera de operar del método simplex se vería:
(0,3)
Inicio (0,0)
Óptimo
(5,4)
Ejemplo numérico 2
Maximizar z = 4x1
– 2x2
+ 2x3
Sujeto a
6x1
+ 2x2
- 2x3
≤ 12
3x1
- 3x2
+ 6x3
≤ 3
4x1
+ 4x2
- 4x3
≤ 8
x1
, x2
, x3
≥ 0
X1 X2 X3 S1 S2 S3 LD
Z -4 2 -2 0 0 0 0
S1 6 2 2 1 0 0 12
S2 3 -3 6 0 1 0 3 *(1/3)
S3 4 4 -4 0 0 1 8
z 0 -2 6 0 4/3 0 4
S1 0 8 -10 1 -2 0 6
X1 1 -1 2 0 1/3 0 1 *(4)*(-6)*(-4)
S3 0 8 -12 0 -4/3 1 4 *(1/8)
z 0 0 3 0 1 1/4 5
S1 0 0 2 1 5/3 -1 2
X1 1 0 1/2 0 1/6 1/8 3/2
X2 0 1 -3/2 0 -1/6 1/8 1/2 *(2)*(-8)*(1)

130
En este ejemplo, el valor más negativo es el -4; por tanto, la variable x1
entrará a la base. Los candidatos a elemento pivote son 6, 3 y 4; se hacen los
cocientes (12/6)=2, (3/3)=1 y (8/4)=2. Por tanto, el cociente más pequeño es
1 y la variable s2 sale de la base. El elemento pivote se hace 1 al multiplicar
a todo el renglón por su inverso multiplicativo y con él se hacen ceros arriba
y abajo con operaciones elementales. Se repitió este proceso hasta obtener
la solución que da como resultado:
x1
= —, x2
= —, x3
= 0 y z = 5
3
2
1
2
Note que en este caso la variable de holgura s1 está en la base y su valor
ﬁnal es 2. Esto se interpretará con base en la representación que cada res-
tricción tenga.
Ejemplo de aplicación a un problema de producción
Una empresa textil tiene como objetivo para la próxima semana trabajar
en la confección de tres tipos de vestido A, B y C, de los cuales obtendrá
utilidades netas de $65.00, $55.00 y $45.00, respectivamente. En la siguiente
tabla, se muestra los tiempos requeridos (minutos) para la elaboración de
cada tipo de vestido:
Tipo de
vestido
Tiempo requerido en minutos para su confección
Corte Costura Planchado
A 35 60 20
B 45 80 20
C 30 60 10
Si para la realización de estas tareas se cuenta con 30 horas de corte,
45 horas de costura y 13 horas con 20 minutos para planchar. Determine el
modelo de PPL. Resuelva el problema e interprete los resultados.
Modelo:
xi
= Número de vestidos del tipo i a fabricar en la semana,
i = 1 (A), 2 (B), 3 (C)

131
Maximizar z = 65x1
+ 55x2
+ 45x3
Sujeto a
35x1
+ 45x2
+ 30x3
≤ 1800 min de corte
60x1
+ 80x2
+ 60x3
≤ 2700 min de costura
20x1
+ 20x2
+ 10x3
≤ 800 min de planchado
x1
, x2
, x3
enteros
Solución mediante el método simplex simple:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 LD
Z -65 -55 -45 0 0 0 0
S1 35 45 30 1 0 0 1800
S2 60 80 60 0 1 0 2700
S3 20 20 10 0 0 1 800 *(1/20)
z 0 10 -25/2 0 0 13/4 2600
S1 0 10 25/2 1 0 -7/4 400
S2 0 20 30 0 1 -3 300 *(1/30)
X1 1 1 1/2 0 0 1/20 40 *(65)*(-35)*(-60)
z 0 55/3 0 1 5/12 2 2725
S1 0 5/3 0 0 -5/12 -1/2 275
X3 0 2/3 1 0 1/30 -1/10 10
X1 1 2/3 0 0 -1/60 1/10 35
x1
= 35, x2
= 0, x3
= 10, s1
= 275, s2
= 0, s3
= 0
z = 2725
Interpretación
Se tiene que confeccionar para la próxima semana 35 vestidos del tipo A y
10 vestidos del tipo C; pero no será necesario confeccionar vestidos del tipo
B. De igual manera, se contará con 275 minutos de holgura para el proceso
de corte, en los demás procesos los tiempos se cubrirán por completo. Con
esta producción, se obtendrá utilidades netas por $2,725.00 en la semana
próxima.

132
VI. Portafolios de inversión
En el área económico administrativa, es de vital importancia la construcción
de modelos matemáticos que permitan al tomador de decisiones elegir las
mejores opciones de inversión. Con las herramientas aprendidas al momen-
to y con el uso de un software adecuado, será enriquecedor aprender los
modelos de portafolios de inversión de la Programación lineal, que pueden
utilizarse, y la manera en que se interpretan.
Motivación
Suponga que usted trabaja en una Secretaría de Estado donde se tiene que
invertir en proyectos de desarrollo. Usted cuenta con 5 proyectos para los
que se requiere distintos flujos de efectivo a lo largo de cinco años. Suponga
que los límites de presupuesto exterior para el inicio de los dos primeros
periodos son conocidos e iguales a $4’400,000 y $4’000,000.
Los flujos netos de efectivo que corresponden a cada proyecto se mues-
tran en la siguiente tabla.
Se desea elegir los niveles de inversión en cada uno de los proyectos de
manera que generen la mayor cantidad posible de utilidades, al considerar
una tasa de cambio del 20% por periodo. A continuación, se presenta una
tabla con los flujos netos de efectivo en miles de pesos.
Inicio del
periodo
Proyecto
1 2 3 4 5
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
Con la información presentada, será necesario, primero, evaluar si cada
uno de los proyectos es redituable; segundo, como hay restricciones de capi-
tal en los dos primeros años, no se puede invertir en todos los proyectos.

133
El valor del dinero en el tiempo
Es del conocimiento cotidiano que no es lo mismo tener $100,000.00 en
este momento, que tenerlos en 10 años. Esto debido a que diversos factores
influyen en el valor del dinero en el tiempo, por tanto, tomando como base
los libros de texto de José Luis Villalobos y Coss Bu, será necesario iniciar
con algunas definiciones básicas.
Definición: El interés es el cambio en el valor del dinero en el tiempo. El
dinero, como cualquier bien, tiene un precio que es el interés I.
Se dice que el interés es el dinero que produce un capital al invertirlo, al
otorgarlo en préstamo o al pagarlo por la adquisición de bienes y servicios
en operaciones a crédito.
Definición: Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero C se incre-
menta hasta otra M, entonces el interés I es:
I = M – C ⇔ M = C + I ⇔ C = M – I
Dónde: C = Capital o valor presente M = Monto e I = Intereses generados.
Es decir, si un dinero se contempla en el futuro con todo y los intereses
que generó, se le llama monto M; de igual manera, al dinero futuro, si se
le considera en la actualidad descontándole los intereses que generó, se le
llama capital C o valor presente.
Interés Simple e Interés Compuesto
El interés es simple cuando sólo el capital gana intereses, y es compuesto si
a intervalos de tiempo preestablecidos el interés vencido se agrega al capital,
por lo que éste también genera intereses.
Es decir, si al terminar el tiempo en una inversión a plazo fijo no se retira
el capital ni los intereses, entonces a partir del segundo periodo estos intere-
ses comienzan a generar sus propios intereses. Éste es el interés compuesto.
Para determinar el Monto o el Capital de una cantidad de dinero con
interés compuesto, se utilizará:
i
p
M – C 1 + — ⇔ C = M 1 + —
[ ] i
p
[ ]
np –np

134
M = monto
C = capital o valor actual
np = número total de periodos involucrados
p = periodos de capitalización en un año
n = plazo en años
i = tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año.
Ejemplo
¿Qué capital debe invertirse ahora al 32.7% capitalizable por bimestres para
tener $40,000.00 en 5 bimestres?
C $40,000.00
Dónde:
M = 40000
C =
np = 5 bimestres
p = 6
i = 0.327
Entonces
0.327
6
C = 40000 1 + = 30678
[ ]
–5
Por tanto, debe invertir $30,678.00
De esta forma, se puede conocer el valor actual de dinero futuro. Pero
en el problema original, se contemplaba varios montos futuros, ¿cómo de-
terminar el valor actual de todos ellos?
Deﬁnición: El Valor Presente Neto (VPN) es el valor monetario que re-
sultante de restar la suma de los ﬂujos descontados a la inversión inicial.
1 + —
i
p
VPN = + + … +
FNEO
FNE1
FNEn
( )
0
1 + —
i
p
( )
1
1 + —
i
p
( )
n

135
Considerando los datos iniciales, se puede calcular para cada proyecto
su Valor Presente Neto y saber si todos son redituables o no.
Inicio del
periodo
Proyecto
1 2 3 4 5
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
Los cálculos correspondientes se muestran a continuación.
–1000
(1 + 0.20)0
2000
(1 + 0.20)1
2000
(1 + 0.20)2
2900
(1 + 0.20)3
1308
(1 + 0.20)4
VPN1
– + +
–1200
(1 + 0.20)0
2400
(1 + 0.20)1
2500
(1 + 0.20)2
3567
(1 + 0.20)3
VPN2
= – + +
= –1000 – 1666.66666 + 1388.88888 + 1678.24074 = 400.5
= –1200 – 2000 + 1736.11111 + 2064.23611 = 600.3
–2000
(1 + 0.20)0
2100
(1 + 0.20)1
3000
(1 + 0.20)2
3000
(1 + 0.20)3
VPN3
= – + + +
= –1200 – 1750 + 2083.33333 + 1736.11111 = 630.78703 = 700.2
2000
(1 + 0.20)4
2296
(1 + 0.20)5
–2500
(1 + 0.20)0
1300
(1 + 0.20)1
2000
(1 + 0.20)2
2000
(1 + 0.20)3
VPN4
= – + + + +
= –2500 – 1083.33333 + 1388.88888 + 1157.40740 = 964.50617 = 850.2
1800
(1 + 0.20)4
955
(1 + 0.20)5
–3000
(1 + 0.20)0
900
(1 + 0.20)1
1400
(1 + 0.20)2
1600
(1 + 0.20)3
VPN5
= + + + + +
= –3000 – 750 + 972.22222 + 925.92592 = 868.05555 = 383.79308 = 900

136
En esta información, se aprecia con claridad que cada uno de los pro-
yectos son redituables. A continuación, se completa la tabla inicial con la
evaluación respectiva de cada uno:
Inicio del
periodo
Proyecto
1 2 3 4 5
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
VPN 400.5 600.3 700.2 850.2 900
Recuerde que su deber es maximizar la ganancia de la inversión total, y que
ésta se representa con el VPN de cada proyecto. Para resolver este problema,
se hará uso del modelo clásico de portafolios de inversión para Problemas
de Programación Lineal, para el cual se puede considerar dos casos:
Modelo binario. Si al invertir en un proyecto deben respetarse la totalidad
de los ﬂujos de efectivo.
Modelo continuo. Si es posible invertir parte de la inversión total y ob-
tener una ganancia proporcional a la inversión.
Modelo binario
La variable de decisión queda deﬁnida mediante:
xi
= {1, si se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
0, si no se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
i = 1, 2, …, n
Maximizar z = VPN1
x1
+ VPN2
x2
+ + VPNn
xn

137
Sujeto a
FNE(0)1
x1
+ FNE(0)2
x2
+ … + FNE(0)n
xn
≤ b0
(capital disponible en el periodo 0)
FNE(1)1
x1
+ FNE(1)2
x2
+ … + FNE(1)n
xn
≤ b1
…
FNE(m)1
x1
+ FNE(m)2
x2
+ … + FNE(m)n
xn
≤ bm
(capital disponible en el
periodo m)
Para el ejemplo que se analiza:
xij
= {1, si se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
0, si no se invierte la totalidad requerida en el proyecto i
i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 400.5x1
+ 600.3x2
+ 700.2x3
+ 850.2x4
+ 900x5
Sujeto a
1000x1
+ 1200x2
+ 2000x3
+ 2500x4
+ 3000x5
≤ 4400 (capital disponible
en el priodo 0)
2000x1
+2400x2
+2100x3
+1300x4
– 900x5
≤ 4000 (capital disponible en
el priodo 1)
Nota: Los ﬂujos netos de efectivo cambian de signo porque las restric-
ciones de capital son cantidades positivas y sólo existen en los primeros dos
años.
Modelo continuo
En este caso, no es necesario invertir la cantidad total requerida, pero la
utilidad será proporcional a la inversión; entonces, se deﬁne las variables de
decisión como:
xi
= Fracción del total a invertir en el proyecto i, i = 1, 2, …, n
Maximizar z = VPN1
x1
+ VPN2
x2
+ … + VPNn
xn

138
Sujeto a
FNE(0)1
x1
+ FNE(0)2
x2
+ … + FNE(0)n
xn
≤ b0
FNE(1)1
x1
+ FNE(1)2
x2
+ … + FNE(1)n
xn
≤ b1
…
FNE(m)1
x1
+ FNE(m)2
x2
+ … + FNE(m)n
xn
≤ bm
(capital disponible en el
periodo m)
0 ≤ x1
, x2
, …, xn
≤ 1
Es necesario destacar que las variables deben acotarse a los requerimien-
tos totales para cada proyecto; por eso, lo más que pueden invertir es la
totalidad que equivale a 1.
Con la información presentada:
xi
= Fracción del total a invertir en el proyecto i, i = 1, 2, 3, 4, 5
Maximizar z = 400.5x1
+ 600.3x2
+ 700.2x3
+ 850.2x4
+ 900x5
Sujeto a
1000x1
+ 1200x2
+ 2000x3
+ 2500x4
+ 3000x5
≤ 4400 (capital disponible
en el priodo 0)
2000x1
+2400x2
+2100x3
+1300x4
– 900x5
≤ 4000 (capital disponible en
el priodo 1)
0 ≤ x1
, x2
, x3
, x4
, x5
≤ 1

139
VII. Uso de LINDO 6.1
Este software se eligió por la facilidad que tiene en su uso, por su practicidad
y por su capacidad para resolver problemas de programación lineal y entera
hasta con 500 variables.
Primero, se debe instalar el software, de la página oﬁcial www.lindo.com
El alumno puede bajar de la Internet una versión legal de prueba por 40
días, que le permitirá realizar los ejercicios señalados en esta sección.
A continuación, tomando como base los modelos realizados en la sec-
ción anterior para portafolios de inversión, se iniciará el aprendizaje del uso
del software.
Modelo continuo de portafolios de inversión
La información que se debe escribir en LINDO para el modelo continuo es
de la siguiente manera:

140
Se le da click al botón solve y el paquete muestra la siguiente pantalla:
Lo que se interpreta como:
Las variables x2
= 1 y x4
= 1; por tanto, se deberá invertir la totalidad de
flujos de efectivo necesarios para los proyectos 2 y 4. Así, se obtendrá el total
de sus VPN dentro del valor de la FO.
La variable x1
= 0.221 se debe invertir, esta proporción de dinero, en los
flujos requeridos para el proyecto 1; por tanto, se obtendrá el valor propor-
cional de VPN del proyecto 1 dentro del valor total de la FO.
La variable x5
= 0.159 se debe invertir, esta proporción de dinero, en los
flujos requeridos para el proyecto 5; por tanto, se obtendrá el valor propor-
cional de VPN del proyecto 5 dentro del valor total de la FO.
La variable x3
= 0 por eso NO se debe invertir en el proyecto 3 y, por
tanto, su valor de VPN es cero dentro del valor total de la FO.
Finalmente, el valor de z = 1682.785, el máximo valor posible de la suma
de los VPN de los proyectos en que se invertirá, indica que la inversión será
redituable.

141
Modelo binario de portafolios de inversión
La información que se debe escribir en LINDO para el modelo binario cam-
biará con el anterior, pues se debe especiﬁcar que cada variable es binaria.
Eso es posible escribiendo al ﬁnal las variables con la palabra int antes de
cada variable de decisión. De la manera siguiente:
Y la solución queda en este caso:

142
Lo que se interpreta de la siguiente manera:
Las variables x2
= 1 y x5
= 1, por tanto, se deberá invertir la totalidad de
ﬂujos de efectivo necesarios para los proyectos 2 y 5; así, se obtendrá el total
de sus VPN dentro del valor de la FO.
Las variables x1
= 0, x3
= 0 y x4
= 0, por eso NO se debe invertir en los
proyectos 1, 3 y 4 y, por tanto, su valor de VPN es cero dentro del valor total
de la FO.
Finalmente, el valor de z = 1500.3, en realidad es la suma de los VPN
que corresponden a los dos proyectos en que se invertirá, y la inversión será
redituable.
Modelos de PPL con variables enteras
La información que se debe escribir en LINDO, para el modelo entero, cam-
biará con el binario, pues ahora la palabra que se debe escribir antes de cada
variable de decisión es gin. Con esta indicación, la solución proporcionará
valores enteros para las variables en que se especiﬁque esta característica.

143
VIII. Administración de proyectos
Suponga que en la Secretaría de Salud se tiene asignado un presupuesto
para la construcción de un hospital especializado en pediatría que se ediﬁ-
cará en el estado de Hidalgo. Para este propósito, se le propone el siguiente
proyecto, que incluye una estimación de tiempos y costos necesarios para su
realización.
Actividad Descripción
Actividad
anterior
inmediata
Tiempo
(Meses) Costo
A
Levantamiento topográ-
ﬁco del sitio de cons-
trucción
— 1.5
$40,000.00
B
Elección y contratación
del despacho de arqui-
tectos y/o ingenieros
— 0.5 $10,000.00
C
Elaboración del diseño
arquitectónico del hos-
pital
A, B 2 $56,000.00
D
Trámites de gestiones
municipales
B 2 $45,000.00
E
Construcción del hos-
pital
D 7 $48’500,000.00
F
Selección de mueblería
especializada y no espe-
cializada
C 2 $25,000.00
G
Realizar las instalaciones
eléctricas, telefónicas y
de áreas especializadas
E,F 2.5 $1’736,000.00
H
Instalación del mobilia-
rio necesario
G 2 $15’500,000.00
I
Contratación de perso-
nal
E 1 $25,000.00
J
Inauguración y puesta
en marcha
H, I 0.5 $750,000.00
Total $66’687,000.00

144
Para tener el control de las actividades y los recursos financieros, es ne-
cesario conocer cuánto durará la realización total del proyecto. Para ello,
habrá que saber qué actividades pueden realizarse al mismo tiempo, cuáles
de ellas es necesario que culminen en tiempo y cuáles tienen holgura para
su realización, etc. De igual forma, es importante saber qué cantidad de
dinero se necesita al inicio de cada mes de realización del proyecto, y qué
tanto dinero se ha erogado al final de cada mes de realización. Para este
propósito, se analizará a continuación la Técnica de Revisión y Evaluación
de Programas (PERT), que con un procedimiento muy sencillo puede mostrar
los puntos mencionados con anterioridad.
Definiciones:
Un nodo es un punto específico en el plano que se representa por un círculo
pequeño.
Un arco es una curva que conecta un par de nodos. El arco puede tener
sentido o no.
i1 i2
i1 i2
Sea A un conjunto de arcos. Sea N un conjunto de nodos. Una RED
G[N, A] es una gráfica que se constituye de una tripleta: un conjunto finito
de nodos N = {i1
, i2
, ..., in
}, un conjunto finito de arcos A = {j1
, j2
, ..., jm
} y una
función de asignación que, a cada arco j є A le asigna una pareja de nodos
(ir, is) є NxN tal que ir ≠ is.
Una red es DIRIGIDA si sus arcos tienen dirección (un sentido de-
•
terminado).
Una red es A-DIRIGIDA en otro caso.
•

145
Ejemplos de redes
i1
i2
i3
j1
j2
j3
i1 i2
i1 i1
j1
j2 j3 j4
j5
a) Red dirigida b) Red a-dirigida
Formulación de redes con la Técnica de Evaluación
y Revisión de Programas, PERT.
Para tener una idea visible de la manera en que se llevará a efecto el proyecto,
será necesario formular una red dirigida. Para determinar el tiempo total de
realización del proyecto, sus actividades críticas y tiempos de holgura, será
necesario aplicar el Método de Ruta Crítica (CPM), y para definir los recursos
necesarios de cada actividad por mes, será necesario aplicar PERT/Costos.
El éxito de estas técnicas depende de la construcción correcta de la red
dirigida. Para tales efectos, será necesario:
1. Especificar las actividades fundamentales en el proyecto.
2. Estimar los tiempos necesarios para la ejecución de cada actividad.
3. Definir los antecedentes inmediatos de una actividad específica.
4. Elaborar la red correspondiente.
En cuanto a este último punto, a manera de ejemplo, se citarán algunos
casos que pueden presentarse.
Actividad Antecedente inmediato
A —
B —
C B
D A, C
E C
F C
G D, E, F

146
a) Las actividades A y B, que no tienen actividades antecedentes, se
dibujan a partir de un nodo raíz.
1 3
2
A
B
b) Las actividades A,B,C y D quedan refrendadas en la red de la si-
guiente manera. Note que C tiene como antecedente inmediato a la
actividad B, y D tiene tanto a la actividad A como a la C.
1 3
2
A
B
D
C
4

147
c) Como E tiene de antecedente la actividad C, pero no la actividad A,
introducimos una actividad ﬁcticia Z1 y de esta manera la actividad
E no depende de que haya terminado o no la actividad A. Llamamos
ﬁcticia a una actividad que no consume tiempo ni dinero.
1 3
2
5
A
B
Z1
C
4
D
E
d) Las actividades A, B, C, D, E, F y G quedarían dibujadas así, pero...
1 3
2 5
A
B
Z1
C
4
D
F
6
G
E

148
e) En la definición del concepto de red, que permite identificarla con
precisión, se incluyó una función de asignación que a cada arco le
asigna un único par de nodos. Sin embargo, en este caso, las ac-
tividades E y F comparten la misma asignación de nodos, lo que
causaría, en particular, que en los distintos programas de cómputo
se identificarán un solo arco. Para resolver esta dificultad de diagra-
mación de la red, se agrega nuevamente una actividad ficticia Z2 que
permite identificar a E y a F como actividades diferentes. La red,
finalmente, quedará así:
1 3
2 5
A
B
Z1
4
D
F
6
G
E
7
Z 2
Note que de esta manera se puede apreciar perfectamente qué actividad
se tiene que concluir para iniciar otra. Si se incluye en la red los tiempos
de realización de las actividades, queda completa una red PERT. Los arcos
ficticios, utilizados con fines auxiliares, no implican demoras y tendrán ob-
viamente, un tiempo de cero asignado para su realización.

149
Ejemplo 1. Proyecto de apoyo económico
a familias de bajos recursos
La Secretaría de Desarrollo Social (Sedesol) ha decidido brindar un apoyo
económico a familias de escasos recursos en toda la República Mexicana. Se
iniciará el programa en el estado de Chiapas. Las actividades que se deﬁnieron
necesarias, sus tiempos de realización por semanas y los costos correspon-
dientes se encuentran en la siguiente tabla:
Antecesor
inmediato
Tiempo
(semanas)
Costos
($)
X Activ.
Costos ($)
X Semana
A
Elaborar programa
logístico
— 3 45,000 15,000
B
Determinar los reque-
rimientos de personal
— 5 15,000 3,000
C
Contratación de
personal
B 3 15,000 5,000
D
Hacer los recorridos
para la realización
de encuestas socio-
económicas
A,C 4 950,000 237,500
E
Analizar la
información obtenida
en las encuestas
D 8 30,000 3,750
F
Alquilar habitaciones
necesarias para el
personal que se
trasladará a Chiapas
C 2 1’500,000 750,000
G
Trasladar o comprar
el equipo de cómputo
necesario para trabajar
en Chiapas
F 4 50,000 12,500
H
Proveeer de
instalaciones
adecuadas para que
el equipo de cómputo
trabaje en red
F 2 150,000 75,000

150
I
Hacer los ajustes
ﬁnancieros necesarios
para los sueldos del
personal y demás
recursos necesarios en
el proyecto
B 5 2’350,000 470,000
J
Realizar la selección
de las familias que
recibirán el apoyo
y tramitarlo con la
Sedesol
H,E,G 3 500,000 16,666.67
Total 5’605,000
Red PERT
Primero, se formula la red PERT; para ello, se denotarán los nodos con nú-
meros, las actividades con letras y las duraciones de las actividades que para
este caso están dadas en semanas, entre corchetes (paréntesis cuadrados).
La construcción de la red PERT correspondiente inicia con las primeras
dos actividades, que no tienen actividades antecedentes.
1 3
2
A[3]
B[5]

151
Se continúa con la actividad C, que como antecedente sólo tiene a la
actividad B.
1
3
2
A[3]
B[5]
3
C[3]
La actividad D tiene como antecedentes a las actividades A y C; entonces
la red será:
1
3
2
A[3]
B[5]
4
C[3]
D[4]

152
La actividad E tiene como antecedente a la actividad D.
1
3
2
A[3]
B[5]
4
C[3]
D[4]
5
E[8]
La actividad F tiene como antecedente a la actividad C; pero no a la ac-
tividad A, por lo que será necesario utilizar un arco ﬁcticio Z1.
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4 6
F[2]
Z1[0]

153
Las actividades G y H tienen como antecedente a la actividad F, por lo
que la red resulta así:
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4 6
F[2]
Z1[0]
8
9
G[4]
H[2]
La actividad I tiene como antecedente a la actividad B, por lo que queda:
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4 6
F[2]
Z1[0]
8
9
G[4]
H[2]
10
I[5]

154
La actividad J tiene como antecesores inmediatos a las actividades H, E y
G. Note que no podemos trazar esta actividad de manera que las actividades
H y G tengan el mismo nodo inicial y final, por lo que se hará uso de otro
arco ficticio (Z2).
Z2[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1[0]
9
8
G[4]
H[2]
10
I[5]
J[3]
Finalmente, se conecta la actividad I con el nodo 9, que representa el
nodo final de la red.
Z2[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]

155
Método de Ruta Crítica (CPM)
Consta de dos algoritmos.
Algoritmo de paso adelante (progresivo)
Determina el tiempo más cercano en que puede iniciar la siguiente actividad
en la red PERT.
Se inicia etiquetando las actividades conectadas con el nodo raíz y, pos-
teriormente, se etiquetan en orden las actividades subsecuentes. La etiqueta
consiste de una pareja ordenada:
[tiempo más cercano de inicio, tiempo más cercano de inicio + tiempo
de realización de la actividad]
En caso de tener dos o más arcos previos a una actividad, se elegirá el
valor más grande para continuar.
Algoritmo de paso atrás (regresivo)
Determina el tiempo más lejano de término de la actividad antecedente en
la red PERT.
Se inicia etiquetando las actividades conectadas con el nodo ﬁnal y, pos-
teriormente, se van etiquetando en orden, las actividades antecedentes. La
etiqueta consiste de una pareja ordenada:
(tiempo más lejano de término de la actividad – tiempo de realización de
la actividad , tiempo más lejano de término de la actividad)
En caso de tener dos o más arcos posteriores a una actividad, se elegirá
el valor más pequeño para continuar.
Para comprender este procedimiento, se hará uso de la red PERT del pro-
yecto de la Sedesol.

156
Algoritmo de paso adelante
Se comienza considerando que el proyecto iniciará de inmediato, es decir, el
tiempo inicial es cero.
Se comienza con las actividades A y B, que se conectan al nodo origen 1.
Z2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5]
Se continúa con los arcos conectados a los dos iniciales, por lo que lo
más cercano que pueden iniciar estas actividades es, precisamente, cuando
hayan terminado las actividades antecedentes, y se suma su tiempo de reali-
zación particular.
Z2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5] [5,8]
[5,10]

157
Así sucesivamente, se hace lo mismo en los demás arcos; pero cuando
hay dos actividades que anteceden a la siguiente, es necesario que ambas
terminen para iniciar otra actividad. Por lo que se elige el mayor de los va-
lores numéricos de término de las actividades antecedentes (observe que la
actividad J inicia en 20 y no en 12 o 14). Asimismo, observe que la actividad
D inicia en 8 y no en 3 (semanas).
Z2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5] [5,8]
[5,10]
[8,12]
[8,10]
[8,8]
[12,12]
[10,12]
[10,14]
[12,20]
[20,23]
Al lector: Revise con cuidado todos los cálculos para asegurarse que
comprendió bien cada paso y cada cálculo efectuado.
Algoritmo de paso atrás
Se inicia considerando que el proyecto concluirá en la semana 23, es decir, des-
de el tiempo de terminación mayor que llega al nodo ﬁnal en el paso adelante.
Se comienza con las actividades J e I, que se conectan al nodo ﬁnal.
Z2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[0,5] [5,8]
[5,10]
[8,12]
[8,10]
[8,8]
[12,12]
[10,12]
[10,14]
[12,20]
[20,23]
[20,23]
[18,23]

158
Se continúa con los arcos de actividades antecedentes a estas últimas,
considerando la coordenada derecha igual a la coordenada izquierda de la
actividad posterior, y restando el tiempo de realización de la actividad. Para
anotar la coordenada izquierda, por ejemplo, note que NO se puede etique-
tar el arco B, pues tiene dos actividades que le suceden y una de ellas, la F,
aún no ha sido etiquetada.
Z2
[0]
1
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3] [12,20]
[12,20]
[10,14]
[8,12]
[16,20]
[12,12]
[10,12]
[18,23]
[20,23]
[20,23]
[20,20]
3
[8,8]
[8,10]
[0,5] [5,8]
Se continúa de la misma manera, considerando que cuando existan dos
o más arcos subsecuentes, se elegirá el menor de los valores numéricos invo-
lucrados (observe, por ejemplo, que la actividad F termina en la semana 16
y no en la 18).
Z2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
[5,8]
[5,8]
[0,5]
[0,5]
[8,12]
[12,20]
[12,20]
[8,10]
[8,8]
[5,8]
[8,8]
[8,12]
[20,23]
[20,23]
[18,23]
[5,10]
[18,20]
[10,12]
[12,12]
[20,20]
[16,20]
[10,14]
[14,16]

159
La Ruta Crítica
La Ruta Crítica es aquélla donde coinciden las coordenadas de los cálculos
de paso adelante y paso atrás, y permite determinar el tiempo total en que
se realizará el proyecto (note que no es igual a la suma de los tiempos de la
tabla). Además, indica que estas actividades deben realizarse exactamente
en el tiempo establecido, porque, de no hacerlo, atrasarían al proyecto total.
Las demás actividades tienen tiempo de holgura para su realización.
En este caso, la ruta crítica está formada por las actividades B, C, Z1, D,
E y J. La duración del proyecto es de 23 semanas. Sobre estas actividades, se
debe ejercer un control estricto para evitar retrasos innecesarios.
Z2
[0]
1
3
2
A[3]
B[5]
5
C[3]
D[4]
7
E[8]
4
6
F[2]
Z1
[0]
9
8
G[4]
H[2]
I[5]
J[3]
[0,3]
(0,5)
[8,12]
[8,12]
[8,8]
[8,8]
[5,8]
[5,8]
[5,8]
[0,5]
[12,20]
[12,20]
[10,14]
[8,10]
[20,23]
[20,23]
[20,20]
[18,23]
[5,10]
[14,16]
[18,20]
[10,12]
[12,12]
[16,20]
Resumen tabular
A manera de resumen, la información se puede presentar en una tabla:
En las primeras dos columnas se copia los datos de las columnas 1 y 4
del proyecto de Sedesol, es decir, la columna de actividades y la columna de
tiempos de realización.
Posteriormente, se anota las cuatro columnas correspondientes a:
CI = Tiempo más cercano de inicio (paso adelante)
CT= Tiempo más cercano de término (paso adelante)
LI = Tiempo más lejano de inicio (paso atrás)
LT= Tiempo más lejano de término (paso atrás)

160
En la columna “Holgura”, se anota el tiempo disponible para terminar
una actividad, sin que retrase el tiempo de realización total del proyecto.
Éste se determina restando los tiempos más lejanos de inicio y los más cer-
canos de inicio (LI – CI) o los tiempos más lejanos de término y los tiempos
más cercanos de término (LT – CT).
En la columna “¿Es crítica?”, se anota Sí para cada actividad que no
dispone de tiempo de holgura para su realización. Esto significa que si esta
actividad se atrasa, el proyecto total también se atrasará.
Actividad
Tiempo
(semanas)
CI CT LI LT
Holgura
(semanas)
¿Es crítica?
A 3 0 3 5 8 5 NO
B 5 0 5 0 5 0 SÍ
C 3 5 8 5 8 0 SÍ
D 4 8 12 8 12 0 SÍ
E 8 12 20 12 20 0 SÍ
F 2 8 10 14 16 6 NO
G 4 10 14 16 20 6 NO
H 2 10 12 18 20 8 NO
I 5 5 10 18 23 13 NO
J 3 20 23 20 23 0 SÍ
De acuerdo con estos datos, el proyecto total se realizará en 23 semanas.
Las actividades críticas son: B, C, D, E y J (en ese orden) y deben cumplirse
por completo en los tiempos preestablecidos, pues de no hacerlo así atrasa-
rán la realización total del proyecto. Las actividades A, F, G, H e I cuentan
con 5, 6, 6, 8 y 13 semanas de holgura, respectivamente, de manera que
podrían retrasarse un poco sin afectar la realización total del proyecto. No
incluimos las actividades señaladas con arcos ficticios, porque no requieren
tiempo y por lo tanto, no pueden influir en la duración del proyecto.
PERT/Costos
En todos los proyectos, se necesita su calendario de erogaciones a fin de orga-
nizar su administración financiera. Para determinar los recursos financieros

161
necesarios para cada periodo de realización del proyecto, se analizarán dos
escenarios: uno optimista y uno pesimista, que se presentarán también en
las tablas correspondientes. Antes de continuar con el proyecto de Sedesol,
veamos un ejemplo más sencillo.
Supongamos que se cuenta con la siguiente información:
Actividad
Antecedente
inmediato
Tiempo
(Meses)
Costo ($)
X Actividad
Costo ($)
X mes
A --- 2 325,000 162,500
B --- 1 175,500 175,500
C --- 3 450,000 150,000
D A 2 150,000 75,000
E A 1 75,000 75,000
F B 2 133,000 66,500
G C 1 13,500 13,500
H E, F 4 280,000 70,000
I E, F 3 210,000 70,000
J D, H 2 150,000 75,000
K G 1 75,500 75,500
L J, I, K 1 125,000 125,000
Total 2,162,500
1
2
3
5
C[3]
A[2]
D[2]
E[1]
H[4]
J[2]
I[3]
L[1]
K[1]
B[1]
7
4
6
F[2]
9
8
G[1]
[2,4]
[7,9]
[9,10]
[9,10]
[8,9]
[7,8]
[4,7]
[0,2]
[0,2]
[0,1]
[0,1]
[0,3]
[2,3]
[2,3]
[5,7]
[3,7]
[1,3]
[1,3]
[7,9]
[3,6]
[6,9]
[4,5]
[3,4]
[3,7]

162
Con los datos que tomamos de la tabla anterior en las columnas (1) y
(3) y con los que extraemos de esta red, construimos el siguiente resumen
tabular:
Actividad
Tiempo
(meses)
CI CT LI LT
Holgura
(meses)
¿Es crítica?
A 2 0 2 0 2 0 SÍ
B 1 0 1 0 1 0 SÍ
C 3 0 3 4 7 4 NO
D 2 2 4 5 7 3 NO
E 1 2 3 2 3 0 SÍ
F 2 1 3 1 3 0 SÍ
G 1 3 4 7 8 4 NO
H 4 3 7 3 7 0 SÍ
I 3 3 6 6 9 3 NO
J 2 7 9 7 9 0 SÍ
K 1 4 5 8 9 4 NO
L 1 9 10 9 10 0 SÍ
Ahora se hace la distribución del ﬁnanciamiento requerido suponiendo
dos escenarios de avance de las obras, el optimista y el pesimista.

163
Escenario optimista
Para el escenario optimista, los recursos ﬁnancieros se distribuyen de acuerdo con el tiempo de inicio más cercano (CI)
y la duración de la actividad correspondiente. Note que la tabla está dividida en meses, tiempo en que están medidas las
actividades, por esto los recursos se dividen en meses.
Tiempo en meses
Actividad 0 - 1 1 - 2 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10
A 162500 162500
B 175500
C 150000 150000 150000
D 75000 75000
E 75000
F 66500 66500
G 13500
H 70000 70000 70000 70000
I 70000 70000 70000
J 75000 75000
K 75500
L 125000
Total 488000 379000 366500 228500 215500 140000 70000 75000 75000 125000
Acum. 488000 867000 1233500 1462000 1677500 1817500 1887500 1962500 2037500 2162500

164
Escenario pesimista
Para el escenario pesimista, los recursos ﬁnancieros se distribuyen de acuerdo con el tiempo de inicio más lejano (LI) y
la duración de la actividad correspondiente.
Tiempo en meses
Actividad 0 - 1 1 - 2 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10
A 162500 162500
B 175500
C 150000 150000 150000
D 75000 75000
E 75000
F 66500 66500
G 13500
H 70000 70000 70000 70000
I 70000 70000 70000
J 75000 75000
K 75500
L 125000
Total 338000 229000 141500 70000 220000 295000 365000 158500 220500 125000
Acum. 338000 567000 708500 778500 998500 1293500 1658500 1817000 2037500 2162500
En el proyecto de la Sedesol para realizar el PERT/Costos, se requiere una tabla con 25 columnas; pero también
se puede hacer una con periodos de dos semanas, y de esta manera se tendrá 13 columnas (no importa que la última
columna sea de un solo periodo). Sólo se tiene que distribuir los recursos de acuerdo con los tiempos más cercanos de
inicio y más lejanos de inicio, respectivamente. Por lo tanto, las tablas quedarían como se observa a continuación.

165
Escenario optimista
Para el escenario optimista, los recursos ﬁnancieros se distribuyen de acuerdo con la semana de inicio más cercana (CI)
y la duración de la actividad correspondiente.
Tiempo en semanas
Actividad 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-23
A 30000 15000
B 6000 6000 3000
C 5000 10000
D 475000 475000
E 7500 7500 7500 7500
F 1500000
G 25000 25000
H 150000
I 470000 940000 940000
J 333334 166666
Total 36000 21000 478000 950000 2915000 650000 32500 7500 7500 7500 333334 166666
Acum. 36000 57000 535000 1485000 4400000 5050000 5082500 5090000 5097500 5105000 5438334 5605000

166
Escenario pesimista
Para el escenario pesimista, los recursos ﬁnancieros se distribuyen de acuerdo con la semana de inicio más lejana (LI) y
la duración de la actividad correspondiente.
Tiempo en semanas
Activ. 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-23
A 15000 30000
B 6000 6000 3000
C 5000 10000
D 475000 475000
E 7500 7500 7500 7500
F 1500000
G 25000 25000
H 150000
I 940000 940000 470000
J 333334 166666
Total 6000 6000 23000 40000 475000 475000 7500 1507500 32500 1122500 1273334 636666
Acum. 6000 12000 35000 75000 550000 1025000 1032500 2540000 2572500 3695000 4968334 5605000

167
El problema inicial
Para practicar los conocimientos adquiridos, se resolverá a continuación el problema inicial.
Suponga que en la Secretaría de Salud se tiene asignado un presupuesto para la construcción de un hospital especia-
lizado en pediatría que se ediﬁcará en el estado de Hidalgo. Para este propósito, se le propone el siguiente proyecto que
incluye una estimación de tiempos y costos necesarios para su realización.
Actividad
anterior
inmediata
Tiempo
(Meses) Costo
A Levantamiento topográﬁco del sitio de construcción. — 1.5 $40,000.00
B Elección y contratación del despacho de arquitectos y/o ingenieros. — 0.5 $10,000.00
C Elaboración del diseño arquitectónico del hospital. A,B 2 $56,000.00
D Trámites de gestiones municipales. B 2 $45,000.00
E Construcción del hospital. D 7 $48’500,000.00
F Selección de mueblería especializada y no especializada. C 2 $25,000.00
G
Realizar las instalaciones eléctricas, telefónicas y de áreas especiali-
zadas.
E,F 2.5 $1’736,000.00
H Instalación del mobiliario necesario. G 2 $15’500,000.00
I Contratación de personal. E 1 $25,000.00
J Inauguración y puesta en marcha. H,I 0.5 $750,000.00
Total $66’687,000.00

168
Se procederá a su análisis con las herramientas vistas hasta el momento.
La red de actividades con sus respectivas duraciones es la siguiente:
6
5
8
Z2
1
2
3
A[1.5]
B[0.5]
C[2]
F[2] G[2.5]
J[0.5]
H[2]
D[2]
7
E[7]
4
9
I[1]
Z1
[0]
[0]
[3.5,5.5]
[1.5,3.5]
[9.5,12]
[9.5,12]
[12,14]
[13,14]
[2.5,9.5]
[0.5,2.5]
[0.5,2.5]
[0,0.5]
[4,5.5]
[0,1.5]
[0,0.5]
[05,0.5]
[5.5,5.5] [9.5,9.5]
[9.5,9.5]
[9.5,10.5]
[2.5,9.5]
(7.5,9.5)
[12,14]
(5.5,7.5)
10
[14,14.5]
[14,14.5]
La tabla que resume esta información:
Actividad
Tiempo
(semanas)
CI CT LI LT
Holgura
(semanas)
¿Es crítica?
A 1.5 0 1.5 4 5.5 4 NO
B 0.5 0 0.5 0 0.5 0 SÍ
C 2 1.5 3.5 5.5 7.5 4 NO
D 2 0.5 2.5 0.5 2.5 0 SÍ
E 7 2.5 9.5 2.5 9.5 0 SÍ
F 2 3.5 5.5 7.5 9.5 4 NO
G 2.5 9.5 12 9.5 12 0 SÍ
H 2 12 14 12 14 0 SÍ
I 1 9.5 10.5 13 14 3.5 NO
J 0.5 14 14.5 14 14.5 0 SÍ

169
El tiempo total de realización del proyecto es de 14.5 meses.
Las actividades que deben cumplirse en tiempo son B, D, E, G, H y J (en ese orden), pues de no ser así el proyecto
en total sufriría un retraso de tiempo. Las actividades A, C y F tienen 4 meses de holgura para su realización, por lo
que no importa si sufren algún contratiempo que las retrase. Finalmente, la actividad I tiene 3.5 meses de holgura para
su realización.
La distribución de los recursos ﬁnancieros según dos escenarios:
Escenario optimista (CI)
Tiempo en meses
Actividad 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 14.5
A 40000
B 10000
C 14000 42000
D 33750 11250
E 10392857.14 13857142.86 13857142.86 10392857.14
F 6250 18750
G 347200 1388800
H 15500000
I 12500 12500
J 750000
Total 97750 10452357.14 13875892.86 13857142.86 10752557.14 1401300 15500000 750000
Acum. 97750 10550107.14 24426000 38283142.86 49035700 50437000 65937000 66687000

170
Escenario pesimista (LI)
Tiempo en meses
Actividad 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 14.5
A 40000
B 10000
C 14000 42000
D 33750 11250
E 10392857.14 13857142.86 13857142.86 10392857.14
F 6250 18750
G 347200 1388800
H 15500000
I 25000
J 750000
Total 43750 10404107.14 13911142.86 13905392.86 10758807.14 1388800 15525000 750000
Acum. 43750 10447857.14 24359000 38264392.86 49023200 50412000 65937000 66687000
De esta manera, se puede hacer un análisis de los recursos ﬁnancieros necesarios para dar inicio al proyecto. Por
ejemplo, se requiere de, al menos, $43,750.00 para iniciar, dejando algunas actividades pendientes (que podrían haber
empezado de inmediato). Si se cuenta con $97,750.00 se inicia de inmediato con todas las actividades que pueden ir
desarrollándose. De igual manera, se sabe que al inicio del octavo mes se han consumido más de la mitad de los recursos
totales, más de $38’000,000.00 y así sucesivamente se va haciendo un análisis ﬁnanciero.

171
Problemas
1. Determine el modelo de PPL para los siguientes problemas:
i. Un organismo federal tiene un presupuesto de $ 100, 000, 000 para
dar como premio a las investigaciones más innovadoras en el área de
alternativas de energía. Un equipo de revisión de científicos y eco-
nomistas redujeron en la revisión preliminar de 200 proyectos, a seis
finalistas, y se calificó en relación con los beneficios esperados en los
próximos 10 años.
Proyecto Clasificación
Beneficio neto
por peso
invertido
Nivel de fondo
requerido
(Millones de pesos)
1 Solar 4.4 220
2 Solar 3.8 180
3
Combustibles
sintéticos
4.1 250
4 Carbón 3.5 150
5 Nuclear 5.1 400
6 Geotermia 3.2 120
El beneficio neto por peso invertido en cada alternativa sugiere que
cada peso invertido dará un beneficio neto (en el proyecto 1) de $4.40
en los próximos 10 años. Las cifras de los fondos requeridos re-
presentan la cantidad máxima que se puede otorgar como premio a
cada proyecto.
El presidente de la República ordenó que al proyecto Nuclear se le
otorgue por lo menos el 50% de la cantidad solicitada. El Secretario
de esta entidad federativa solicitó que se priorizara a los dos proyec-
tos solares; propuso que al menos se le otorgue a ambos de manera
conjunta $300’000,000.00
ii. En el mes de mayo, un partido político local resuelve iniciar la difu-
sión de publicidad de las propuestas de su candidato para las próxi-
mas elecciones. Se considera al periódico local que le ofrece los
siguientes precios:

172
Un anuncio en plana completa los días de lunes a sábado le cuesta
$2,000, en tanto que el domingo cuesta $8,000. El partido ha desti-
nado $40,000 en un mes para este propósito y desea que se publi-
quen sus propuestas al menos 8 días de los lunes a sábado y 2 domin-
gos. Si en este mes de mayo se tienen 26 días de la primera categoría
(L-S) y 5 domingos, determine la contratación idónea de publicidad
periodística.
2. Resolver a través del método gráﬁco
i. Maximizar z = 5x1
+ 6x2
Sujeto a
30x1
+ 20x2
≤ 1200
40x1
+ 60x2
≤ 2600
x1
, x2
≥ 0
ii. Minimizar z = 30x1
+ 60x2
Sujeto a
4 x1
+ x2
≥ 20
x1
+ x2
≤ 20
–2x1
+ 2x2
≥ 10
x1
, x2
≥ 0
3. Resolver con el método simplex simple
i. Maximizar z = 20x1
+ 120x2
+ 80x3
Sujeto a
10x1
– 20x2
+50x3
≤ 800
2x1
+ 2x2
+ x3
≤ 100
10x1
+ 5x2
+ 4x3
≤ 300
x1
, x2
, x3
≥ 0

173
ii. Maximizar z = 40x1
– 20x2
+ 10x3
Sujeto a
6x1
+ 2x2
+ 2x3
≤ 240
20x1
– 20x2
+ 40x3
≤ 400
20x1
+ 20x2
– 20x3
≤ 800
x1
, x2
, x3
≥ 0
4. En el software de apoyo LINDO, introduzca los modelos de PL de los
siete ejemplos modelados en este capítulo e interprete la solución.
5. Realizar la red de actividades para el siguiente ejercicio:
Actividad
Antecedente
inmediato
Tiempo de realización
(semanas)
A — 3
B — 5
C — 11
D C 3
E A 5
F B 7
G E, F, D 8
H D 3
I D 1
J G 5
K I 2
L J, H, K 2
M I 4

174
6. Aplicar los procedimientos PERT/CPM y PERT/Costos para cada uno de los
siguientes proyectos.
i. La Secretaría de Energía desea ampliar sus oficinas y para ello con-
trata a una constructora, que presenta el siguiente cuadro:
Antecedente
Inmediato
Tiempo
(Meses)
Costos ($)
X Actividad
A
Preparar dibujos
arquitectónicos
— 1 20,000
B
Identificar empleados a
trasladarse
— 1 5,000
C
Desarrollar proyectos
arquitectónicos
A 4 35,000
D
Elegir ingenieros
responsables
A 1 5,000
E Preparar permisos A 1 15,000
F Obtener permisos E 4 48,000
G
Construcción de nuevas
oficinas
D,F 8 3,250,500
H Finiquitar contratos B,C 3 250,000
I Mudanza de empleados G,H 1 17,000
ii. Pronabes ha considerado las siguientes actividades para otorgar be-
cas anuales a estudiantes de escasos recursos.
Anterior
inmediata
Tiempo
(Meses)
Costos ($)
X Actividad
A
Preparación de la convocatoria y
estrategias publicitarias — 2 150,000
B
Eleccióndelpersonalquetrabajará
en la elección
— 1 50,000
C Realización de la convocatoria A,B 3 75,600
D Recepción de solicitudes C 2 35,000
E Clasificación de solicitudes C 2 80,000
F Entrevistas de candidatos a beca D,E 1 50,000
G Elección de becarios E 3 90,000
H
Formalización de otorgamiento
de beca
F,G 1 78,500

175
7. Elaborar todas las redes y tablas que corresponden al siguiente problema.
Actividad
Antecedente
inmediato
Tiempo
de realización
(Meses)
Costo ($)
X Activ.
Costo ($)
X Mes
A — 3 450,000 150,000
B — 2 300,000 150,000
C A, B 1 175,000 175,000
D B 1 350,500 350,500
E D 2 321,000 160,500
F C, E 2 150,000 75,000
G D 2 235,000 117,500
H C, E 1 57,500 57,500
I D 3 105,000 35,000
J I 1 225,000 225,000
K H, G 1 135,000 135,000
L F 1 121,000 121,000
M L, K, J 2 100,000 50,000
Total 2,725,000
Bibliografía
Coss, BU (1981). Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión, 2ª ed.,
México: Limusa Noriega Editores.
Eppen, G. D. y otros (2000). Investigación de Operaciones (en la Ciencia
Administrativa), 5ª ed., México: Pearson Prentice Hall Hispano-
américa.
Hillier, F. y G. Lieberman (2010). Introducción a la Investigación de Opera-
ciones, 9ª ed., México: McGrawHill.
Taha Hamdy, A. (2010). Investigación de Operaciones, 9ª. ed., México:
Pearson.
Villalobos, J. L. (2011). Matemáticas Financieras, 4ª ed., México: Pearson
Prentice Hall Hispanoamérica.

Anexo
177
Triángulo Fórmula
h
b
c
a
p = a + b + c
Cuadrado Fórmula
l p = 4l
Rectángulo Fórmula
h
b
p = 2b + 2h
Paralelogramo Fórmula
h
b
p = 2b + 2c
Perímetros

178
Trapecio Fórmula
b'
b
h
p = a + b + c + b'
Circunferencia Fórmula
r
a = π × 2r

Anexo
179
Áreas
Triángulo Fórmula
h
b
b x h
2
a =
Cuadrado Fórmula
l a = l2
Rectángulo Fórmula
h
b
a = b × h
Paralelogramo Fórmula
h
b
a = b × h

180
Trapecio Fórmula
b'
b
h
(b’ x b) x h
2
a =
Circunferencia Fórmula
r
a = π × r2

Anexo
181
Volúmenes
Exaedro regular o cubo Fórmula
l
v = l3
Paralelogramo rectangular Fórmula
a
b
c
v = a × b × c
Esfera Fórmula
r
● 3
a = x r2

182
Tetraedro Fórmula
a
a
a
v = 0.1178a3
Cono circular recto Fórmula
r
h
v = h × (π × r2
)

Razonamiento Lógico Matemático
para la toma de decisiones
Editado por Universidad Nacional Autónoma de México,
Publicaciones Empresariales UNAM. FCA Publishing.
Facultad de Contaduría y Administración.
Se terminó de imprimir el 30 de marzo de 2017.
En los talleres de Tipos Futura S.A. de C.V.
Francisco González Bocanegra Núm. 47-B,
Colonia Peralvillo, Delegación Cuauthémoc,
C.P. 06220, Ciudad de México.
Se tiraron 400 ejemplares, en papel bond de 75 grs. en interiores
y en forros cartulina couche brillante de 200 grs.
Tipo de impresión: digital
Se utilizó en la composición tipo
Simoncini Garamond Std/Cambria
18:21.6, 21:25.2, 13:16, 14:17, 11:13.2, 10:12.2, 9:11.2 puntos..
Idioma original: español
Producción Editorial: Secretaría de Divulgación y Fomento Editorial:
Lic. Ma. del Carmen Márquez González
Departamento de Publicaciones y Fomento Editorial: Mtro. Víctor A. Hernández Arteaga
Edición y corrección: L.C.C. Iván Ventura González López
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Revisión técnica: Fis. Edgar Raymundo López Téllez e Ing. Alejandro Morales Trejo

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