Razones y proporciones... proporcionalidad geometrica

Escuela Normal Superior del Sur
de Tamaulipas
Profra. Evelin Lizeth Cruz Alejandre
Tercer Semestre - Matemáticas
Materia: Los nùmeros y sus relaciones
Tutor: Ing. José Alejandro Salinas

Razón o
relación de 2
cantidades
Es el resultado de
comparar 2
cantidades
Hallando en
cuánto excede
una a la otra
(restándolas)
RAZÓN
ARITMÉTICA O
POR DIFERENCIA
Hallando cuántas
veces contiene
una a la otra
(dividiéndolas)
RAZÓN
GEOMÉTRICA O
POR COCIENTE
Pueden compararse de
2 maneras:
De aquí que hay 2
clases de razones:

Razón
aritmética o
por diferencia
Es la diferencia
entre 2
cantidades
Separando las 2
cantidades con
el signo –
Ejemplo: 6-4
Separando las 2
cantidades con
un punto ( . )
Ejemplo: 6.4
Antecedente el
primero y
Consecuente el
segundo
Se pueden escribir de 2
modos
Se lee 6 es
a 4
Los términos
de la razón
se llaman:

Razón
geométrica o
por cociente
Es el cociente
indicado de 2
cantidades
En forma de
quebrados,
separados
numerador y
denominador por
una raya
horizontal
Ejemplo: La
razón
geométrica de
8 a 4 se
escribe: 8/4
Se lee 8
es a 4
separadas las
cantidades por
el signo de
división ( ).
Ejemplo:
8 4
Se pueden escribir
de 2 modos

 PROPIEDADES DE LAS
RAZONES
ARITMÉTICAS O POR
DIFERENCIAS
Propiedades de toda resta o
diferencia:
 Si al antecedente de una razón
aritmética se suma o resta un
número, la razón queda
aumentada o disminuida en ese
número.
 Si al consecuente de una razón
aritmética se suma o resta un
número, la razón queda
disminuida en el primer caso y
aumentada en el segundo en el
mismo número.
 Si al antecedente y consecuente
de una razón aritmética se
suma o resta un mismo número,
la razón no varia.
 PROPIEDADES DE
LAS RAZONES
GEOMÉTRICAS O
POR COCIENTE
Propiedades de los quebrados:
 geométrica se multiplica o
divide por un número, la
razón queda multiplicada o
dividida por ese número.
 geométrica se multiplica o
divide por un número, la
razón queda dividida en el
primer caso y multiplicada en
el segundo por ese mismo
número.
 geométrica se multiplican o
dividen por un mismo
número, la razón no varía.

Equidiferencia o
proporción
aritmética
Términos
Extremos el 1º y
el 4º y
Medios el 2º y 3º
Ejemplo:
20-5=21-6
Clases
Discreta que es
aquella cuyos
medios no son
iguales: 9-7=8-6
Continua que es la
que tiene los
medios iguales:
10-8=8-6
Teorema
En toda
equidiferencia la
suma de los
extremos es igual
a la suma de los
medios.
Ejemplo: 8-6=9-7
tenemos: 8+7=9+6
o sea 15=15
PROPORCIONES
ARITMÈTICAS
Se llaman: Hay 2:

Colorarios
En toda equidiferencia un
extremo es = a la suma de los
medios, menos el otro extremo.
Sea la equidiferencia a – b = c
– d. Vamos a demostrar que a =
b + c – d.
EJEMPLO
En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos
que 9 = 5 + 10 – 6.
En toda equidiferencia un
medio es igual a la suma de
los extremos, menos el otro
medio.
Sea la equidiferencia a –
b = c – d. Vamos a
demostrar que b = a + d –
c
EJEMPLO
En 11-7=9-5 tenemos
que 7=11+5-9

Media diferencial o media
aritmética
Es cada uno de los términos
medios de una equidiferencia
continua, o sea cada uno de los
medios de una equidiferencia,
cuando son iguales.
En la equidiferencia 8 – 6 = 6 –
4, la media diferencial es 6.
La media diferencial es
igual a la semisuma de los
extremos.
Sea la equidiferencia a-
b=b-c. Vamos a demostrar
que b =a+c/2
Ejemplo:
12-9=9-6
tenemos
9=12+6/2
Teorema

 PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la
igualdad de dos razones geométricas o por
cociente.
 Una proporción geométrica se escribe de los dos
modos siguientes:
a/b=c/d o a : b :: c : d
y se lee: a es a b como c es a d.
 Los términos de una proporción geométrica se
llaman: extremos el 1º y el 4º, y medios el 2º y 3º.

 Hay 2 clases de proporciones geométricas:
 Discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales;
por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5
 Continua, que es la que tiene los medios iguales; por
ejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
GEOMÉTRICAS TEOREMA
 En toda proporción geométrica el producto de los
extremos es igual al producto de los medios.
Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a x d = c x
b.
 EJEMPLO
En la proporción 6/4=3/2 tenemos que 6 x 2 = 3 x 4 o sea
12 = 12

De la propiedad fundamental de las
proporciones geométricas se derivan los
siguientes corolarios:
1.-En toda proporción geométrica un extremo
es igual al producto de los medios divididos
por el otro extremo.
Sea la proporción a/b =c/d . Vamos a
demostrar que a =b x c/d .
EJEMPLO
En 9/12=3/4 tenemos 9 = 12 x 3/ 4

2.-En toda proporción geométrica un medio es
igual al producto de los extremos dividido por
el otro medio.
Sea la proporción a/b= c/d.
vamos a demostrar que b= a x d/ c.
Ejemplo: 5/10
= 2/4 tenemos 2= 5 x 4/10

Es cada uno de los términos medios de una
proporción geométrica continua son iguales.
Así, en la proporción 8:4::4:2 la media
proporcional es 4.

TEOREMA de la media
proporcional
o La media proporcional es igual a la raíz cuadrada
del producto de los extremos.
 Sea la proporción continua vamos a demostrar que
 EJEMPLO
 En 9/6= 6/4 tenemos que 6=√9 x 4 =√36=6

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