Resolución de problemas mediante el método de gauss

Resolución de problemas mediante el método de gauss

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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss Un joyero tiene tres clases de monedas A , B y C . Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss La información que tenemos acerca de la composición de las monedas es: Número de monedas que deben fundirse de tipo C z Número de monedas que deben fundirse de tipo B y Número de monedas que deben fundirse de tipo A x 6 6 8 C 10 4 6 B 14 4 2 A COBRE (g) PLATA (g) ORO (g) TIPO
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss Por tanto, traducimos los datos de la tabla al sistema: 2x + 6y + 8z = 44 4x + 4y + 6z = 44 14x + 10y + 6z =112 6 6 8 C 10 4 6 B 14 4 2 A COBRE (g) PLATA (g) ORO (g) TIPO 112 g 44 g 44 g Obtener
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss El sistema obtenido: 2x + 6y + 8z = 44 4x + 4y + 6z = 44 14x + 10y + 6z =112 Se puede simplificar dividiendo por 2 en todas las ecuaciones, para que nos resulte más sencillo trabajar: x + 3y + 4z = 22 2x + 2y + 3z = 22 7x + 5y + 3z = 56
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss Cogemos los coeficientes de las ecuaciones y construimos la matriz: x + 3y + 4z = 22 2x + 2y + 3z = 22 7x + 5y + 3z = 56 1 3 4 22 2 2 3 22 7 5 3 56
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss 1 3 4 22 2 2 3 22 7 5 3 56 1ª 2ª - 2·1ª 3ª - 7·1ª 1 3 4 22 0 -4 -5 -22 0 -16 -25 -98 1ª 2ª 3ª - 4·2ª 1 3 4 22 0 -4 -5 -22 0 0 -5 -10
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss 1 3 4 22 0 -4 -5 -22 0 0 -5 -10 De aquí volvemos a traducir al sistema: x + 3y + 4z = 22 -4y - 5z = -22 -5z = -10
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss x + 3y + 4z = 22 -4y - 5z = -22 -5z = -10 Empezando por la última de las ecuaciones, resolvemos. (1ª) (2ª) (3ª) (3ª) -5z = -10 z = -10/-5 z = 2 -22 + 5 z - 22 + 5 · 2 (2ª) y = ——–— = = 3 -4 -4 (1ª) x = 22 - 3 y - 4 z = 22 - 3· 3 - 4· 2 = 5
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  Resolución de problemasmediante el método de Gauss Solución del sistema: x = 5 y = 3 z = 2 Luego se deben fundir 5 monedas del tipo A, 3 monedas del tipo B y 2 monedas del tipo C.