Series y Sumatorias completo

Profesor: Martín H. P. 1
“SERIES Y SUMATORIAS”
1) SERIE NUMÉRICA:
Se denomina “serie numérica” a la adición indicada de los términos de una sucesión
numérica llamándose al resultado de la adición valor de la serie. Veamos:
t1
3
t2
7
t3
11
t4
15; ; ;
Serie: 3 + 7 + 11 + 15 = 36 Valor de la serie
 SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTES:
A. SERIE ARITMÉTICA:
 Dada la serie aritmética:
t1
+r
t2 t3 t4+ + + + ... + tn
+r +r
S =
1( )
2
nt t n
S


 Adicionalmente podemos también utilizar :
1
( 1)
2
n r
S t n
 
  
 
0 nt rn t
B. SERIE GEOMÉTRICA:
a) Serie Geométrica de Infinitos Términos:
 Dado:
t1
xq
t2 t3 t4+ + + + ... +
8
xq xq
S =
1
1
t
S
q


Sucesión:
Donde:
t1 = primer término
tn = último término
n = número de términos
Donde:
t0 = anterior al primero
r = razón

b) Serie Geométrica Finita:
 Dado:
t1
xq
t2 t3 t4+ + + + ... +
xq xq
S = tn
1( 1)
1
n
t q
S
q



1
1. 
 n
nt t q
2) SERIES Y SUMAS NOTABLES:
 Suma de los “n” Primeros Números Naturales:
1
( 1)
1 2 3 4 5 ...
2
i n
i
n n
i n



       
 Suma de los “n” Primeros Números Pares Naturales:
1
2 2 4 6 8 ... 2 ( 1)
i n
i
i n n n


       
 Suma de los “n” Primeros Números Impares Naturales:
2
1
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)
i n
i
i n n


        
 Suma de los “n” Primeros Números Cuadrados Perfectos:
2 2 2 2 2 2
1
( 1)(2 1)
1 2 3 4 ...
6
i n
i
n n n
i n


 
      
 Suma de los “n” Primeros Números Cubos Perfectos:
2
3 3 3 3 3 3
1
( 1)
1 2 3 4 ...
2
i n
i
n n
i n


 
         

 Suma de los “n” Primeros Productos Consecutivos tomados de 2 en 2:
1
( 1)( 2)
( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 ... ( 1)
3
i n
i
n n n
i i n n


 
        
 Suma de los “n” Primeros Productos Consecutivos tomados de 3 en 3:
1
( 1)( 2)( 3)
( 1)( 2) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... ( 1)( 2)
4
i n
i
n n n n
i i i n n n


  
         
Donde:
t1 = primer término
q = razón geométrica

 Suma de los Cuadrados de los “n” Primeros Números Pares Naturales:
2 2 2 2 2 2
1
(2 )(2 1)(2 2)
(2 ) 2 4 6 8 ... (2 )
6
i n
i
n n n
i n


 
      
 Suma de los Cuadrados de los “n” Primeros Números Impares Naturales:
2 2 2 2 2 2 2
1
(2 1)(2 )(2 1)
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1) (4 1)
3 6
i n
i
n n n n
i n n


 
          
 Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Pares Naturales:
 
23 3 3 3 3 3
1
(2 ) 2 4 6 8 ... (2 ) 2 1
i n
i
i n n n


         
 Suma de los Cubos de los “n” Primeros Números Impares Naturales:
 3 3 3 3 3 3 2 2
1
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1) 2 1
i n
i
i n n n


         
 Suma de los “n” Primeros Números Naturales a la Cuarta Potencia:
   2
4 4 4 4 4 4 4
1
1 2 1 3 3 1
( ) 1 2 3 4 5 ...
30
i n
i
n n n n n
i n


   
       
 Suma de Potencias:
 1
1 2 3 4 5
1
1
( ) ...
1 1
nni n
k n
i
k kk k
i k k k k k k
k k



        
 

 Suma de las Inversas de los Productos de Números Consecutivos de 2 en 2:
 1
1 1 1 1 1 1
...
1 1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1) 1
i n
i
n
i i n n n


      
  

 Suma de las Inversas de los Productos de Números Consecutivos de 3 en 3:
 1
1 1 1 1 1 ( 3)
...
1 ( 2) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)
i n
i
n n
i i i n n n n n



     
     


 Otras Fórmulas Importantes:
         
1 2 3 4 1
1
(2) 1 2 2 2 3 2 4 2 ... 2 2 ( 1)2
i n
ni n
i
i n n



        
 
   2
44 4 4 4 4
1
8 1 2 1 3 3 1
(2 ) 2 4 6 8 ... 2
15
i n
i
n n n n n
i n


   
      
 4 2
4 4 4 4 4 4
1
48 40 7
(2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)
15
i n
i
n n n
i n


 
        
1
4
2 (2 2) 2.4 4.6 6.8 8.10 ... 2 (2 2) ( 1)( 2)
3
i n
i
i i n n n n


          
  1
1 2 3 4 5
1
2 1 .3 3
.3 1.3 2.3 3.3 4.3 5.3 ... .3
4
ni n
i n
i
n
i n


 
       
     1
1 1 1 1 1 1
...
2 1 2 1 1.3 3.5 5.7 7.9 2 1 2 1 2 1
i n
i
n
i i n n n


      
    

     1
1 1 1 1 1 1
...
2 2 2 2.4 4.6 6.8 8.10 2 2 2 4 1
i n
i
n
i i n n n


      
  

 1 2 3 4 5
1
2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 1
i n
i n n
i


        
 1 2 3 4 5
1
3
3 3 3 3 3 3 ... 3 3 1
2
i n
i n n
i


        
 OBSERVACIÓN:
" cifras"
S ... ...
n
a aa aaa aaaa aaa aaa     
 1
S 10 9 10
81
na
n
  

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