SUCESIONES-SERIES-INFINITAS-Chavez-2021 (1).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
FACULTAD DE CIENCIAS
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Dr. DIONICIO MILTON CHÁVEZ MUÑOZ
(DOCENTE. UN/J. BASADRE G.)
2021
TACNA PERÚ

CAPÍTULO I
SUCESIONES INFINITAS.
1. SUCESIONES.
DEFINICIÓN 1. Una sucesión infinita de números reales es una función que se denota por {𝑎𝑛}𝑛≥1 o
también por {𝑎𝑛}𝑛∈𝑁 , cuya regla de correspondencia es:
𝑎:𝑁 → 𝑅 tal que 𝑎(𝑛):= {𝑎𝑛}𝑛∈𝑁 ∈ 𝑅;
Siendo 𝑁 el conjunto de números naturales y 𝑅 el conjunto de números reales. El dominio es 𝑁, la
imagen es un subconjunto de 𝑅.
En forma abreviada una sucesión se representa por {𝑎𝑛}𝑛≥1 o {𝑎𝑛}𝑛∈𝑁 .
Forma desarrollada es dada por: {𝑎𝑛}𝑛≥1: 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑎3;…; 𝑎𝑛;…
Cada elemento 𝑎1; 𝑎2 ; 𝑎3;…; 𝑎𝑛;… es llamado términodelasucesión, siendo 𝑎𝑛 el términogeneral.
EJEMPLO 1. Son sucesiones infinitas:
a) 2;1;
2
3
;
1
2
;
2
5
;
1
3
;… ;
2
𝑛
; … = {
2
𝑛
}
𝑛≥1
b) {√𝑛}𝑛≥1
= 1;√2;√3;2; √5;…; √𝑛;…
c) {(−1)𝑛+1(2𝑛 − 1)}𝑛≥1= 1; −3;5; −7;9;… ;(−1)𝑛+1(2𝑛 − 1);…
d) {
2𝑛−1
𝑛
}
𝑛≥1
=1;
3
2
;
5
3
;
7
4
;
9
5
; …; {
2𝑛−1
𝑛
} ;…
EJEMPLO 2. Graficar las sucesiones del Ejemplo 1, anterior.
a) {
2
𝑛
}
𝑛≥1
=2;1;
2
3
;
1
2
;
2
5
;
1
3
;… ;
2
𝑛
;…
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) {√𝑛}𝑛≥1
= 1;√2;√3;2; √5;…; √𝑛;…
c) {(−1)𝑛+1(2𝑛 − 1)}𝑛≥1= 1; −3;5; −7;9;… ;(−1)𝑛+1(2𝑛 − 1);…
d) {
2𝑛−1
𝑛
}
𝑛≥1
=1;
3
2
;
5
3
;
7
4
;
9
5
; …; {
2𝑛−1
𝑛
} ;…
DEFINICIÓN 2. Dos sucesiones {𝑎𝑛}𝑛≥1 y {𝑏𝑛}𝑛≥1 son iguales si 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛, ∀𝑛 ∈ 𝑁.
EJEMPLO 2. Las sucesiones infinitas {𝑎𝑛} = {1;
1
2
;
1
3
;
1
4
;… ;
1
𝑛
;…} y {𝑏𝑛}= {
1
2
;
1
3
;
1
4
;… ;
1
𝑛+1
;…} son
diferentes a pesar que se diferencian en un único valor.
2. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.
DEFINICIÓN1.Sediceque la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 tiene un valor𝐿 ∈ 𝑅 comosu límite si éste número real
𝐿 es el último término de dicha sucesión.
Equivalentemente: 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 𝐿  ∀𝜀 > 0,∃ 𝑁 > 0/ ∀𝑛 > 𝑁  |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀 .
EJEMPLO 1. Demostrar que el límite de la sucesión {
𝑛
2𝑛+1
}
𝑛≥1
es 𝐿 =
1
2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10

En efecto: Usando 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 𝐿  ∀𝜀 > 0,∃ 𝑁 > 0/ ∀𝑛 > 𝑁  |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀 .
 {
𝑛
2𝑛+1
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
1
2
 ∀𝜀 > 0,∃ 𝑁 > 0/ ∀𝑛 > 𝑁  |
𝑛
2𝑛+1
−
1
2
| < 𝜀 .
Se debe cumplir: |
𝑛
2𝑛+1
−
1
2
| < 𝜀  |
−1
4𝑛+2
| < 𝜀 
1
4𝑛+2
< 𝜀  4𝑛 + 2 >
1
𝜀
 𝑛 >
1−2𝜀
4𝜀
Tomando como 𝑁 =
1−2𝜀
4𝜀
, el limite queda demostrado, es decir que {
𝑛
2𝑛+1
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
1
2
NOTA 1. Hay diferencia con el cálculo del límite de la sucesión:
El cálculo del límite es: {
𝑛
2𝑛+1
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = {
𝑛/𝑛
2𝑛/𝑛+1/𝑛
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = {
1
2+1/𝑛
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
1
2
OBSERVACIÓN 1. Si la {𝑎𝑛}𝑛≥1 tiene un límite 𝐿 ∈ 𝑅 se dice que es convergente y converge a 𝐿. Si la
sucesión no tiene un límite 𝐿 se dice que es divergente.
EJEMPLO 2. Determinar si cada sucesión es convergente o divergente.
a) {
𝑛+1
2𝑛
}
𝑛≥1
b) {
𝑛2−1
𝑛+1
}
𝑛≥1
c) {
√𝑛
√𝑛+1
}
𝑛≥1
Solución.
𝑎) {
𝑛+1
2𝑛
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = {
1
2
+
1
2𝑛
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
1
2
; es convergente.
b) {
𝑛2−1
𝑛+1
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
(𝑛+1)(𝑛−1)
𝑛+1
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = (𝑛 − 1) = ∞
𝑛→∞
𝐿í𝑚 ; es divergente.
c) {
√𝑛
√𝑛+1
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = {
√𝑛/√𝑛
(√𝑛+1)/√𝑛
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = {
1
1+1/√𝑛
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 1 ; es convergente.
EJEMPLO 3. Demostrar que la sucesión {𝑟𝑛}𝑛≥1con 0 < |𝑟| < 1 converge a cero 𝐿 = 0.
En efecto: {𝑟𝑛} = 0
𝑛→∞
𝐿í𝑚  ∀𝜀 > 0, ∃ 𝑁 > 0/ ∀𝑛 > 𝑁  |𝑟𝑛 − 0| < 𝜀
Se debe cumplir: |𝑟𝑛 − 0| < 𝜀  |𝑟𝑛| < 𝜀  𝐿𝑛|𝑟𝑛| < 𝐿𝑛(𝜀)  𝑛 𝐿𝑛|𝑟| < 𝐿𝑛(𝜀)  𝑛 >
𝐿𝑛(𝜀)
𝐿𝑛|𝑟|
Tomando como𝑁 =
𝐿𝑛(𝜀)
𝐿𝑛|𝑟|
, el limite queda demostrado, es decir que la sucesión {𝑟𝑛}𝑛≥1 con0 < |𝑟| <
1 converge a cero.
EJERCICIO 1. Demostrar que la sucesión {𝑟𝑛}𝑛≥1 con |𝑟| > 1 es divergente 𝐿 = ∞.

EJERCICIOS.
1) Exhibir los 5 primeros términos de cada sucesión:
a) {
1
𝑛2
}
𝑛≥1
b) {
1
𝑛2+1
}
𝑛≥1
c) {
𝑛+1
𝑛
}
𝑛≥1
d) {
2𝑛−1
𝑛
}
𝑛≥1
e) {
(−1)𝑛
𝑛
}
𝑛≥1
f) {
(−1)𝑛+1
𝑛+1
}
𝑛≥1
2) Demostrar que la sucesión {
𝑛+1
𝑛
}
𝑛≥1
converge a 1.
3) Escriba el término general de cada sucesión dada:
a) 1;4;7; 10;… b) 1;
1
4
;
1
9
;
1
16
; …
c) 2;1;
4
5
;
5
7
;
6
9
;… d) 3; 7;11; 15;… e) {2}𝑛≥1:2; 2;2; 2;…; 2;…
3. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES.
Sean {𝑎𝑛}𝑛≥1 y {𝑏𝑛}𝑛≥1 dos sucesiones convergentes y sea 𝐶una constante real, entonces se cumplen:
a) 𝐶
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 𝐶 b) 𝐶
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = 𝐶𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛
c) (
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 + 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛 d) (
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 − 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛
e) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 [(𝑎𝑛)(𝑏𝑛)] = (𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛)(𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛)
f) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 [(𝑎𝑛)÷ (𝑏𝑛)] = (𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛) ÷ (𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛), con 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛 ≠ 0
TEOREMA 1.Validez del límite de una sucesión.Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función real de variable real tal que
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→∞
𝐿í𝑚 ; si {𝑎𝑛}𝑛≥1es una sucesión tal que 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 para todo 𝑛 ∈ 𝑁, entonces 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 𝐿.
b) {√𝑛}𝑛≥1
= 1;√2;√3;2; √5;…; √𝑛;…
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NOTA 1. Este teorema garantiza la aplicación del límite y sus propiedades a todas las sucesiones,
considerando que 𝑁𝑅 y que la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 es representada por la función real 𝑦 = 𝑓(𝑥). es
decir cada valor 𝑎𝑛 de la sucesión es un valor de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
EJEMPLO 1. Probar que la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 cuyo término general es 𝑎𝑛 =
𝑛2
2𝑛−1
converge.
En efecto:
Considérese la función 𝑓(𝑥) =
𝑥2
2𝑥−1
, se calcula (por L´Hopital) 𝑓(𝑥)
𝑥→∞
𝐿í𝑚 = {
𝑥2
2𝑥−1
}
𝑥→∞
𝐿í𝑚 = 0 .
Por el teorema de validez, como 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 para todo 𝑛 ∈ 𝑁 entonces 𝑎𝑛
𝑥→∞
𝐿í𝑚 = {
𝑛2
2𝑛−1
}
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 0 .
OBSERVACIÓN 1. Por lo anterior, para calcular el límite de sucesiones se pueden usar todas las
propiedades y teoremas sobre límites usados para las funciones reales.
TEOREMA 2. (DE ENCAJE) Si para todos los números enteros 𝑛 (𝑛 ∈ 𝑍), se tiene 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ≤ 𝑏𝑛 . Si
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = 𝐿 y 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛 = 𝐿 entonces 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑐𝑛 = 𝐿 .
EJEMPLO 2. Probar que la sucesión {
𝑆𝑒𝑛 𝑛
𝑛
}
𝑛≥1
converge a cero.
En efecto. Se sabe que −1 ≤ 𝑆𝑒𝑛 𝑛 ≤ 1 
−1
𝑛
≤
𝑆𝑒𝑛 𝑛
𝑛
≤
1
𝑛
Como 𝑛→∞
𝐿í𝑚 −1
𝑛
= 0 y 𝑛→∞
𝐿í𝑚 1
𝑛
= 0  𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑛
𝑛
= 0 .
TEOREMA 3.(Teoremadelcero)Si{𝑎𝑛}𝑛≥1esunasucesiónconvergentetalque 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 0 y {𝑏𝑛}𝑛≥1
es una sucesión acotada (no necesariamente convergente), entonces la sucesión {(𝑎𝑛)(𝑏𝑛)}𝑛≥1 es
convergente y (𝑎𝑛)(𝑏𝑛)
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 0.
4. PRUEBA DE LA RAZÓN PARA CONVERGENCIA DE SUCESIONES.
TEOREMA. Sea {𝑎𝑛}𝑛≥1 una sucesión de números reales. Si 𝑛→∞
𝐿í𝑚 |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| < 1 entonces 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = 0.
EJEMPLO 1. Determinar si la sucesión {
5𝑛
𝑛!
}
𝑛≥1
es convergente o divergente.
Solución. Primero: 𝑎𝑛 =
5𝑛
𝑛!
, 𝑎𝑛+1 =
5𝑛+1
(𝑛+1)!
Luego: |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = |
(5𝑛+1)/(𝑛+1)!
5𝑛/𝑛!
|= |
5𝑛 5 𝑛!
5𝑛(𝑛+1)𝑛!
|=
5
𝑛+1

Finalmente: 𝑛→∞
𝐿í𝑚 |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 |
5
𝑛+1
| = 0 < 1
Por lo tanto {
5𝑛
𝑛!
}
𝑛≥1
es convergente.
5. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS.
DEFINICIÓN 1. Dada la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1, decimos que es:
a) Creciente si 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
b) Estrictamente creciente si 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
c) Decreciente si 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
d) Estrictamente decreciente si 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
e) Monótona si cumple (a), (b), (c) o (d).
EJEMPLO 1. Clasificar las sucesiones según la definición anterior:
a) {
1
𝑛
}
𝑛≥1
b) {(−1)𝑛}𝑛≥1 c) {
(−1)𝑛+1
𝑛+1
}
𝑛≥1
d) {
3𝑛−1
4𝑛+5
}
𝑛≥1
e) {
2𝑛
1+2𝑛
}
𝑛≥1
f) {
𝑛!
3𝑛
}
𝑛≥1
DEFINICIÓN 2. Se dice que la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1:
a) Es acotada inferiormente si y solo si ∃ 𝑟 ∈ 𝑅/ 𝑟 ≤ 𝑎𝑛, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
b) Es acotada superiormente si y solo si ∃ 𝑠 ∈ 𝑅/ 𝑎𝑛 ≤ 𝑠, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
c) Es acotada si y solo si ∃ 𝑟;𝑠 ∈ 𝑅/ 𝑟 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑠, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
EJEMPLO 2. Determinar el tipo de acotación de cada sucesión y hallar las cotas:
a) {
1
𝑛
}
𝑛≥1
b) {𝑛2}𝑛≥1 c) {
𝑛−1
𝑛
}
𝑛≥1
d) {
2𝑛−1
𝑛+5
}
𝑛≥1
TEOREMA 1. Si la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 es monótona y acotada, entonces es convergente.
EJEMPLO 3.
a) Escribir el término general para cada sucesión:

i)
1
6
;
2
12
;
3
20
;
4
30
;
5
42
; … ii)
1
2
;1;
9
8
; 1;
25
32
;
36
64
;
49
128
;…
b) Calcular el límite de las siguientes sucesiones:
i) {
3𝑛2−𝑛+4
2𝑛2+1
}
𝑛≥1
ii) {
𝑛𝑝
𝑒𝑛
}
𝑛≥1
, 𝑝 > 0
c) Determinar si es convergente o divergente cada sucesión. Si es convergente hallar su límite.
i) {(−1)𝑛 𝑛
𝑛+1
}
𝑛≥1
ii) {
(𝑛−2)!
𝑛!
}
𝑛≥1
d) Determine si la sucesión cuyoelemento general es dado por 𝑎𝑛 =
4
3
(1 −
1
3𝑛
) es monótona. Si lo es
hallar su límite.
OBSERVACIÓN 1.
a) Sea {𝑎𝑛}𝑛≥1 una sucesión creciente y supongamos que tiene cota superior L, entonces {𝑎𝑛}𝑛≥1 es
convergente y 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 ≤ 𝐿 .
b) Sea {𝑎𝑛}𝑛≥1 una sucesión decreciente y supongamos que tiene cota inferior K, entonces {𝑎𝑛}𝑛≥1 es
convergente y 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 ≥ 𝐾 .
EJEMPLO 4. Use el teorema de sucesiones monótonas y acotadas para probar que la sucesión {3 −
4
𝑛
}
converge.
Solución. Siendo 𝑎𝑛 = 3 −
4
𝑛
y 𝑎𝑛+1 = 3 −
4
𝑛+1
entonces 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1  3 −
4
𝑛
< 3 −
4
𝑛+1
 𝑛 < 𝑛 + 1
Por lo tanto, la sucesión es estrictamente creciente.
Porotrolado, la cotainferior se da para el menor valorde 𝑛, es decir 𝑟 = −1; la cota superior se logra
conel límite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 {3 −
4
𝑛
} = 3.La sucesión es acotadainferiormente por 𝑟 = −1y superiormente por
𝐿 = 3 .
Finalmente, como la sucesión {3 −
4
𝑛
}
𝑛≥1
es creciente y tiene cota superior 𝐿 = 3, entonces es
convergente.
EJEMPLO 5. Considere la sucesión {𝐴𝑛}𝑛≥1 con término general, donde 𝑃 es la inversión inicial, 𝐴𝑛 es
el capital luego de 𝑛 meses de interés compuesto y 𝑟 = 0,115 es el porcentaje anual de interés.
a) Hallar los cinco (5) primeros términos si 𝑃 = 9000 dólares y 𝑟 = 0,115. Interpretar.

b) ¿Es la sucesión {𝐴𝑛}𝑛≥1convergente?
Solución.
a) Reemplazando 𝑛 desde 1 hasta 5 en 𝐴𝑛 = 𝑃 (1 +
𝑟
12
)
𝑛
, se tienen:
𝑛 1 2 3 4 5
𝐴𝑛 9086,25 9173,33 9261,24 9349,99 9439,6
b) No es convergente, pues 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑃 {3 −
4
𝑛
}
𝑛
= ∞
EJEMPLO6.Sielpreciomediode un automóvilnuevocreceen 5,5 % al añoy hoy es de 11000 dólares,
el precio medio tras 𝑛 años será dado por 𝑃
𝑛 = 11000(1,055)𝑛. Calcular el precio medio para los 5
primeros años. ¿Tiene un límite real cuando 𝑛 → ∞?
Solución. Usando 𝑃
𝑛 = 11 000(1,055)𝑛 se tiene:
𝑛 1 2 3 4 5
𝐴𝑛 11605 12243,275 12916,665 13627,071 14376,56
Significa que pasado el primer año, un automóvil nuevo tendrá en promedio un precio promedio de
11 605 dólares. Su valor va aumentando cada año.
OBSERVACIÓN 2. Se debe complementar la teoría sobre sucesiones infinitas mediante el acceso a
información de la Internet.
7. SUCESIONES CON LÍMITE INFINITO.
DEFINICIÓN 1. Una sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 tiene como límite +∞ si para todo número real 𝑘 > 0 existe un
entero 𝑁 tal que ∀𝑛 > 𝑁, 𝑎𝑛 > 𝑘. Lo cual se denota por 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = +∞.
DEFINICIÓN 2. Una sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 tiene como límite −∞ si para todo número real 𝑘 < 0 existe un
entero 𝑁 tal que ∀𝑛 > 𝑁, 𝑎𝑛 < 𝑘. Lo cual se denota por 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = −∞.
8. ARITMÉTICA DE LOS LÍMITES.
OBSERVACIÓN 1.

a) En la aritmética de los límites finitos, todos los casos son determinados.
b) Enla aritmética de los límites infinitos, aparecen casos indeterminados y no es posible determinar
a priori el valor del límite.
c) A continuación se presentan tablas que restringen el límite de una suma, de un producto y de una
potencia de series infinitas:
i) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) =
𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)=
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 =
−∞ 𝑎 +∞
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛 =
−∞ −∞ −∞ ¿?
𝑏 −∞ 𝑎 + 𝑏 +∞
+∞ ¿? +∞ +∞
Siendo: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
ii) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)(𝑏𝑛) =
𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)(𝑏𝑛)=
𝑛→∞
−∞ 0 𝑎 +∞
𝑛→∞
−∞ +∞ ¿? −𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑏)(∞) −∞
0 ¿? 0 0 ¿?
𝑏 −𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑏)(∞) 0 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑏)(∞)
+∞ −∞ ¿? 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑎)(∞) +∞
Siendo: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 − {0} y 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥) = {
−1, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
1, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
iii) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)𝑏𝑛 =
𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)𝑏𝑛 =
𝑛→∞
−∞ 0 𝑐 +∞
𝑛→∞
0 +∞ ¿? 0 0
𝑎 +∞ 1 𝑎𝑐 0
1 ¿? 1 1 ¿?
𝑏 0 1 +∞ +∞
+∞ 0 ¿? +∞ +∞
Siendo: 𝑎 ∈ 〈0;1〉, 𝑏 > 1 y 𝑐 ∈ 𝑅 − {0}

9. RESOLUCIÓN DE ALGUNAS INDETERMINACIONES.
NOTA. A pesar que no hay reglas generales, se pueden dar algunas indicaciones:
9.1 MÉTODO GENERAL. Si se tiene el término general 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛), siendo que 𝑓(𝑥) está bien definida
para 𝑥 lo bastante grande.
Si 𝑓(𝑥)
𝑥→∞
𝐿í𝑚 existe, entonces 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = 𝑥→∞
𝐿í𝑚 𝑓(𝑥)
OBSERVACIÓN.
a) Este método no es aplicable si aparecen expresiones de la forma (−1)𝑛, 𝑛! o sumas en las que el
número de términos depende de 𝑛.
b) Si el 𝑓(𝑥)
𝑥→∞
𝐿í𝑚 no existe, entonces 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 puede existir o no.
EJEMPLO 1. Calcular el 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛 𝑆𝑒𝑛 (
1
𝑛
)
Solución.
Obsérvese que 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛 = ∞ y que 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑆𝑒𝑛 (
1
𝑛
) = 0, entonces 𝑛→∞
1
𝑛
) es un límite de la forma
0 ∙ ∞, es decir indeterminado.
Se calcularáel limite suponiendo que la variables 𝑥 es continua y se le debe transformar en un límite
de la forma
0
0
y aplicar la regla de L’Hopital.
𝑥→∞
𝐿í𝑚 𝑥 𝑆𝑒𝑛 (
1
𝑥
) = 𝑥→∞
𝐿í𝑚
𝑆𝑒𝑛(1
𝑥
)
1
𝑥
= 𝑥→∞
𝐿í𝑚
𝐶𝑜𝑠(1
𝑥
)(−
1
𝑥2)
−
1
𝑥2
= 𝑥→∞
𝐿í𝑚 𝐶𝑜𝑠(
1
𝑥
) = 𝐶𝑜𝑠(0) = 1
Dado que el límite existe, se tiene: 𝑛→∞
1
𝑛
) = 1
𝐿í𝑚 [𝑛 + (𝑛 + 1) + (𝑛 + 2) + ⋯+ 2𝑛]
Solución.
No es aplicable el método general porque la cantidad de sumandos del término general depende de
𝑛.
𝐿í𝑚 𝑆𝑒𝑛 (2𝜋𝑛)

Solución.
Aplicando el método general, el 𝑥→∞
𝐿í𝑚 𝑆𝑒𝑛 (2𝜋𝑥)no existe, pero el𝑆𝑒𝑛 (2𝜋𝑛) = 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁; por lotanto
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑆𝑒𝑛 (2𝜋𝑛)
9.2 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA: 00 e ∞0.
Al desear calcular 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)𝑏𝑛, se hace el cambio de variable 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)𝑏𝑛 = 𝐿.
Tomando logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad se tiene que 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛𝐿𝑛(𝑎𝑛) = 𝐿𝑛(𝐿)
De lo anterior se tiene: 𝐿 = 𝑒𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛𝐿𝑛(𝑎𝑛)
Se reduce a calcular un límite de la forma 0 ∙ ∞
EJEMPLO 1. Calcular 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑛)1/𝑛2
.
Solución.
El 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛 = ∞ y el 𝑛→∞
𝐿í𝑚 1
𝑛2
= 0,o cualquiere decir que el límite 𝑛→∞
es de laforma ∞0,es decir
indeterminado.
De lo anterior se tiene: 𝐿 = 𝑒𝑛→∞
.
Calculando 𝑛→∞
= 𝑒𝑛→∞
𝐿í𝑚 1
𝑛2 𝐿𝑛 𝑛
= 𝑒𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝐿𝑛 𝑛
𝑛2
.
Hay una indeterminación de la forma
∞
∞
;usando la forma general (7.1) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝐿𝑛 𝑛
𝑛2
=𝑥→∞
𝐿í𝑚 𝐿𝑛 𝑥
𝑥2
= 𝑥→∞
𝐿í𝑚
1
𝑥
2𝑥
=𝑥→∞
𝐿í𝑚 1
2𝑥2
= 0
Por lo tanto: 𝐿 = 𝑒𝑛→∞
= 𝑒0 = 1.
9.3 INDETERMINACIÓN DE LA FORMA: 1∞.
Sea la sucesión (1 +
1
𝑛
)
𝑛
Esta sucesión es acotada y creciente, y por lo tanto existe su límite. El límite de esta sucesión es 𝑒. Es
decir𝑛→∞
𝐿í𝑚 (1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒.

En general si {𝑎𝑛}𝑛≥1 es una sucesión de números reales tales que 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = ∞, entonces
𝑛→∞
𝐿í𝑚 (1 +
1
𝑥𝑛
)
𝑥𝑛
= 𝑒.
OBSERVACIÓN 1. La indeterminación 1∞ se la convierte en 0 ∙ ∞
Si 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = 1y 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑏𝑛 = ∞, entonces 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)𝑏𝑛 = 𝑒𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛−1)𝑏𝑛
EJEMPLO 1. Calcular 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (
𝑎1 𝑛
⁄ +𝑏1 𝑛
⁄
2
)
𝑛
, con 𝑎 > 0, 𝑏 > 0.
Solución.
Dado que
𝑎1 𝑛
⁄ +𝑏1 𝑛
⁄
2
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 1 y 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛 = ∞. Este límite es de la forma 1∞. Para resolver se aplica:
𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛)𝑏𝑛 = 𝑒𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎𝑛−1)𝑏𝑛
 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (
𝑎1 𝑛
⁄ +𝑏1 𝑛
⁄
2
)
𝑛
= 𝑒
𝑛→∞
𝐿í𝑚 (𝑎1 𝑛
⁄ +𝑏1 𝑛
⁄
2
−1)𝑛
Cambiando 𝑛 por 𝑥 se tiene:
𝑒
𝑥→∞
𝐿í𝑚 (𝑎1 𝑥
⁄ +𝑏1 𝑥
⁄
2
−1)𝑥
= 𝑥→∞
𝐿í𝑚
𝑎1 𝑥
⁄ +𝑏1 𝑥
⁄
2
−1
1
𝑥
= 𝑥→∞
𝐿í𝑚
𝑎1 𝑥
⁄ 𝐿𝑛 𝑎+𝑏1 𝑥
⁄ 𝐿𝑛 𝑏
2
(−
1
𝑥2)
−
1
𝑥2
= 𝑥→∞
𝐿í𝑚 𝑎1 𝑥
⁄ 𝐿𝑛 𝑎+𝑏1 𝑥
⁄ 𝐿𝑛 𝑏
2
=
𝐿𝑛 𝑎+𝐿𝑛 𝑏
2
= 𝐿𝑛√𝑎𝑏
Luego: 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (
𝑎1 𝑛
⁄ +𝑏1 𝑛
⁄
2
)
𝑛
= 𝑒𝐿𝑛√𝑎𝑏 = √𝑎𝑏
9.4 EL CRITERIO DE STOLZ.
Este criterio es útil para para determinar el límite de sucesiones en las que aparecen sumas de
términos que se incrementan con 𝑛.
Criterio de Stolz: Sean las sucesiones {𝑎𝑛}𝑛≥1 y {𝑏𝑛}𝑛≥1 donde {𝑏𝑛}𝑛≥1 es monótona creciente o
decreciente con 𝑏𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁tales que: 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 𝑏𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 0
O bien 𝑏𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = ∞
Si existe 𝐿 =
𝑎𝑛+1−𝑎𝑛
𝑏𝑛+1−𝑏𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 ∈ 𝑅 ∪ {−∞;+∞}, entonces se tiene que
𝑎𝑛
𝑏𝑛
𝑛→∞
𝐿í𝑚 = 𝐿
EJEMPLO 1. Calcular 𝐿 =
12+22+32+…+𝑛2
𝑛3
𝑛→∞
𝐿í𝑚

Solución.
Dado que la sucesión {𝑏𝑛}𝑛≥1 = {𝑛3}𝑛≥1 es creciente y que {𝑛3}= ∞
𝑛→∞
𝐿í𝑚 ; es aplicable el criterio de
Stolz 𝐿 =
𝑛→∞
𝐿í𝑚 , siendo {𝑎𝑛}𝑛≥1 = 12 + 22 + 32 + …+ 𝑛2, y {𝑏𝑛}𝑛≥1 = 𝑛3.
Entonces 𝐿 =
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
(𝑛+1)2
3𝑛2+3𝑛+1
𝑛→∞
𝐿í𝑚 =
1
3
.
CAPÍTULO II
SERIES INFINITAS.
DEFINICIÓN 1.Sea {𝑎𝑛}𝑛≥1 una sucesión infinita. Llamaremos SERIE INFINITA o simplemente SERIE
a la sumatoria:
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 + ⋯; a los elementos; 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; …; 𝑎𝑛;… se les llama términos
de la serie, siendo 𝑎𝑛 el término general.
DEFINICIÓN 2.Lassumas parciales de una serie son:
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
… …
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 (es la 𝑛-ésima suma parcial)
… …
S = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛 + ⋯
a) Si las sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛}𝑛≥1 converge a𝑆, decimos que la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge a
𝑆; y que 𝑆 es la suma de la serie; es decir: ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 =S.
b) Si la sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛}𝑛≥1diverge, decimos que la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge.
2. PROPIEDADES DE LAS SERIES.
Para las series ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑆 y ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑇, siendo 𝐶 un número real, se cumplen:
a) ∑ 𝐶 ∙ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝐶 ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝐶 ∙ 𝑆
b) ∑ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
∞
𝑛=1 = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 + ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑆 + 𝑇

c) ∑ (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)
∞
𝑛=1 = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 − ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑆 − 𝑇
d) También se pueden multiplicar y dividir adecuadamente.
3. CRITERIO DE DIVERGENCIA DE UNA SERIE.
TEOREMA 1. Si la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 no converge a cero, entonces la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 es divergente.
OBSERVACIÓN 2. Cuidado. Si la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1 converge a cero no implica que la serie
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge.
EJEMPLO 1. ¿Cuáles de las series dadas diverge?
a)
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+ ⋯ b) ∑
𝑛2
𝑛2+1
∞
𝑛=1 c) ∑
𝜋
𝑛
∞
𝑛=1
Solución.
a) Siendo a serie
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+ ⋯ El término general es 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
Aplicando límite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛
𝑛+1
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛/𝑛
𝑛/𝑛+1/𝑛
=𝑛→∞
𝐿í𝑚 1
1+1/𝑛
= 1 ≠ 0
Como la sucesión no converge a cero, entonces dicha serie
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+ ⋯ = ∑
𝑛
𝑛+1
∞
𝑛=1 es
divergente.
b) Siendo la serie ∑
𝑛2
𝑛2+1
∞
𝑛=1 . El término general es 𝑎𝑛 =
𝑛2
𝑛2+1
.
Aplicando el límite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛2
𝑛2+1
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛2/𝑛2
𝑛2/𝑛2+1/𝑛2
=𝑛→∞
𝐿í𝑚 1
1+1/𝑛2
= 1 ≠ 0 .
Como la sucesión no converge a cero, entonces la serie ∑
𝑛2
𝑛2+1
∞
c) Siendo la serie ∑
𝜋
𝑛
∞
𝑛=1 . El término general es 𝑎𝑛 =
𝜋
𝑛
. Aplicando el límite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝜋
𝑛
= 0 .
Como la sucesión convergea cero, entonces coneste criterio no se sabe si la serie convergeo diverge.
EJEMPLO 2. Usando sumas parciales muestre que la serie ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 converge.
Solución. La serie ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1 usando fracciones parciales, se puede escribir como: ∑ (
1
𝑛
−
1
𝑛+1
)
∞
𝑛=1
Desarrollando hasta 𝑛: 𝑆𝑛 = (1 −
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) + ⋯+ (
1
𝑛
−
1
𝑛+1
) suma telescópica.

Retirando paréntesis y simplificando: 𝑆𝑛 = 1 −
1
𝑛+1
.
Aplicando límite cuando 𝑛 →  se tiene: 𝑆 = 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑆𝑛=𝑛→∞
𝐿í𝑚 (1 −
1
𝑛+1
) = 1. Es decir, que la suma de
la serie es 1.
EJERCICIO 1. Muestre que la serie 2 − 1 +
1
2
−
1
4
+
1
8
− ⋯ converge y hallar su suma.
4. LA SERIE GEOMÉTRICA.
DEFINICIÓN 1.Una Serie Geométrica es la que tiene la forma ∑ 𝑎 ∙ 𝑟𝑛
∞
𝑛=0 con 𝑎 ≠ 0, siendo 𝑟 la razón.
El desarrollo de la serie de potencias es:
∑ 𝑎 ∙ 𝑟𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑛 + ⋯ = 𝑎(1 + 𝑟 + 𝑟2 + 𝑟3 + ⋯+ 𝑟𝑛 + ⋯)
TEOREMA (Convergencia de la Serie Geométrica). Una Serie Geométrica de la forma ∑ 𝑎 ∙ 𝑟𝑛
∞
𝑛=0 :
a) Es divergente si |𝑟| ≥ 1
b) Es convergente si 0 < |𝑟| < 1; y, la suma de la serie es 𝑆 =
𝑎
1−𝑟
.
EJEMPLO 1. Determinar si las series son convergentes o divergentes.
a) ∑
4
3𝑛
∞
𝑛=0 b) 0,3 + 0,03 + 0,003 + ⋯
Solución. Usando Series Geométricas:
a) ∑
4
3𝑛
∞
𝑛=0 = 4(1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ ⋯) , entonces 𝑎 = 4 y la razón 𝑟 =
1
3
entonces es convergente y la
suma es: 𝑆 =
4
1−
1
3
= 6
b) 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ⋯=
3
10
+
3
100
+
3
1000
+ ⋯ =
3
10
(1 +
1
10
+
1
100
+ ⋯), entonces 𝑎 =
3
10
y 𝑟 =
1
10
, la suma será: 𝑆 =
3/10
1−1/10
=
3/10
9/10
=
1
3
.
EJERCICIO 1. Usando series, expresar cada decimal periódico como el cociente de números enteros:
a) 0,535353 … b) 0,123123123 …
Solución.

a) 0,535353 … =
53
100
b) 0,123123123 … =
123
1000
TEOREMA2.Enunaseriese puedensuprimirunnúmerofinito detérminos,𝑎1; 𝑎2;…; 𝑎𝑘,sin afectar
la convergencia o divergencia. Es decir, para cualquier entero positivo 𝑘, las series siguientes, son
ambas convergentes o ambas divergentes:
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ y ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘+1 = 𝑎𝑘+1 + 𝑎𝑘+2 + 𝑎𝑘+3 + ⋯
5. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES.
TEOREMA. (CRITERIO DE LA INTEGRAL). Si 𝑓 es una función continua, positiva y decreciente para
𝑥 ≥ 1 y 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛), entonces la serie infinita ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=0 y la integral impropia ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1 , o ambas
convergen o ambas divergen.
La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) contiene a los elementos de la sucesión {𝑎𝑛}𝑛≥1.
EJEMPLO 1. Usando el criterio de la integral analizar la convergencia o divergencia de las series:
a) ∑
𝑛
𝑒𝑛
∞
𝑛=1 b) ∑
𝑛
𝑛2+1
∞
𝑛=1 c) ∑
𝐿𝑛(𝑛)
𝑛
∞
𝑛=1
Solución.
El elemento general es 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑒𝑛
, 𝑛 ≥ 1. La función real que la representa es: 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑒𝑥
y para 𝑥 ≥ 1
es positiva continua y decreciente, pues 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 
𝑥
𝑒𝑥
≥
𝑥+1
𝑒𝑥+1

𝑥
𝑒𝑥
≥
𝑥+1
𝑒∙𝑒𝑥
 𝑒𝑥 ≥ 𝑥 + 1, ∀ 𝑥 ≥ 1 .
Luego: ∫
𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑥
∞
1 = ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
∞
1 = 𝑏→∞
𝐿í𝑚
∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑏
1 = 𝑏→∞
𝐿í𝑚 [−𝑒−𝑥(𝑥+ 1)]1
𝑏
= 𝑏→∞
𝐿í𝑚 [−𝑒−𝑏(𝑏+ 1) + 𝑒−1(1 + 1)] = 𝑏→∞
𝐿í𝑚
[−
(𝑏+1)
𝑒𝑏
+
2
𝑒
] = 𝑏→∞
𝐿í𝑚
[−
1
𝑒𝑏
+
2
𝑒
] =
2
𝑒
.
Por tanto, la integral ∫
𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑥
∞
1 es convergente; lo cual implica que la serie ∑
𝑛
𝑒𝑛
∞
𝑛=1 es convergente.
b) ∑
𝑛
𝑛2+1
∞
𝑛=1
Solución.
Elelemento general es 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛2+1
, 𝑛 ≥ 1.La funciónreal que la representa es: 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
y para 𝑥 ≥
1 es positiva continua y decreciente, pues 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 
𝑥
𝑥2+1
≥
𝑥+1
(𝑥+1)2+1
 𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 2) ≥ (𝑥 +
1)(𝑥2 + 1)  𝑥3 + 2𝑥2 + 2𝑥 ≥ 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1  𝑥2 + 𝑥 ≥ 1 , ∀ 𝑥 ≥ 1 .

Luego desarrollando: ∫
𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
∞
1 = 𝑏→∞
𝐿í𝑚 1
2
∫
2𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
𝑏
1 =
1
2 𝑏→∞
𝐿í𝑚 [𝐿𝑛(𝑥2 + 1)]1
𝑏
= 𝑏→∞
𝐿í𝑚 [𝐿𝑛(𝑏2 + 1) −
𝐿𝑛(2)] = ∞ .
𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥
∞
1 es divergente; es decir que la serie ∑
𝑛
𝑛2+1
∞
c) ∑
𝐿𝑛(𝑛)
𝑛
∞
𝑛=1
Solución.
El elemento general es 𝑎𝑛 =
𝐿𝑛 𝑛
𝑛
, 𝑛 ≥ 1. La función real que la representa es: 𝑓(𝑥) =
𝐿𝑛 𝑥
𝑥
y para 𝑥 ≥
1 es positiva continua y decreciente, pues 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 
𝐿𝑛 𝑥
𝑥
≥
𝐿𝑛(𝑥+1)
𝑥+1
 (𝑥 + 1) 𝐿𝑛 𝑥 ≥ 𝑥 𝐿𝑛(𝑥 + 1)
 𝑥𝑥+1 ≥ (𝑥 + 1)𝑥, ∀ 𝑥 ≥ 3 .
Luego desarrollando: ∫
𝐿𝑛 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
∞
1 = 𝑏→∞
𝐿í𝑚
∫
𝐿𝑛 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑏
1 = 𝑏→∞
𝐿í𝑚
[
1
2
𝐿𝑛2𝑥]
1
𝑏
= 𝑏→∞
𝐿í𝑚 [𝐿𝑛2(𝑏) − 𝐿𝑛2(3)] = ∞ .
𝐿𝑛 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
∞
1 es divergente; es decir la serie ∑
𝐿𝑛(𝑛)
𝑛
∞
TEOREMA (CONVERGENCIA DE LAS P-SERIES).
La p-serie es definida por: ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 =
1
1𝑝
+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+ ⋯
a) La p-serie es divergente si 0 < 𝑝 ≤ 1. Cuando 𝑝 = 1, la serie es llamada serie armónicadivergente
y toma la forma: ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 =
1
1
+
1
2
+
1
3
+ ⋯
b) La p-serie es convergente si 𝑝 > 1.
EJEMPLO 1. Determinar la convergencia o divergencia de las series:
a) ∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 b) ∑
1
𝑛𝑒
∞
𝑛=1 c) ∑
1
√𝑛
5
∞
𝑛=1
Solución. a) La serie ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 es 𝑝-serie con 𝑝 = 2 > 1, entonces es convergente.
Solución b) La serie ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 , es 𝑝-serie con 𝑝 = 𝑒 > 1, entonces es convergente.
Solución c) La serie ∑
1
√𝑛
5
∞
𝑛=1 = ∑
1
𝑛1/5
∞
𝑛=1 es 𝑝-serie con 𝑝 =
1
5
< 1, entonces es divergente.
TEOREMA. (CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA). Si se cumple que
0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 , ∀ 𝑛 ≥ 1 ,

a) Si la serie ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 converge, entonces la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge.
b) Si la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge, entonces la serie ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 diverge.
EJEMPLO 1. Estudiar la convergencia de las series:
a) ∑
1
𝐿𝑛 𝑛
∞
𝑛=1 ,
Solución. Buscamos una serie para compararla: 𝑛 ≥ 𝐿𝑛 𝑛, ∀ 𝑛 ≥ 1 
1
𝑛
≤
1
𝐿𝑛 𝑛
 0 ≤
1
𝑛
≤
1
𝐿𝑛 𝑛
. Como la serie armónica: ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 diverge, entonces la serie dada ∑
1
𝐿𝑛 𝑛
∞
𝑛=2 diverge.
b) ∑
1
√𝑛+1
∞
𝑛=1 ,
Solución. Buscamos una serie para compararla: 𝑛2 ≥ 𝑛 + 1 , ∀ 𝑛 ≥ 1 
1
𝑛2
≤
1
𝑛+1
 0 ≤
1
𝑛
≤
1
√𝑛+1
.
Como la serie armónica: ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 diverge, entonces la serie dada ∑
1
√𝑛+1
∞
𝑛=1 diverge.
c) ∑
1
2+3𝑛
∞
𝑛=1 ,
Solución. Buscamos una serie para compararla: 3𝑛 = 3𝑛 ∀ 𝑛 ≥ 1  2 + 3𝑛 ≥ 3𝑛  0 ≤
1
2+3𝑛
≤
1
3𝑛
.
La serie de comparación es: ∑
1
3𝑛
∞
𝑛=1 geométrica y converge, pues 0 < 𝑟 =
1
3
< 1 .
Luego como la serie geométrica ∑
1
3𝑛
∞
𝑛=1 converge, entonces la serie dada ∑
1
2+3𝑛
∞
𝑛=1 converge.
TEOREMA.(CRITERIODE COMPARACIÓNENELLÍMITE).Supongaquesisecumpleque𝑎𝑛 > 0,𝑏𝑛 >
0 , y cumple que 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝐿, donde 𝐿 es un número real, finito y positivo; entonces las dos series
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 y ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 son ambas convergentes o ambas divergentes.
OBSERVACIÓN 1. Este criterio es eficaz para series algebraicas molestas, comparándolas con una p-
serie apropiada. Generalmente se toma como serie de comparación, la que tiene el término general
con máxima potencia en el numerador y denominador, a partir de la serie dada.
EJEMPLO 1. Analice la convergencia de las series que se dan:
a) ∑
1
3𝑛2−4𝑛+5
∞
𝑛=1
Solución. Tomamos como serie de comparación la p-serie convergente ∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 .

Los términos generales son: 𝑏𝑛 =
1
3𝑛2−4𝑛+5
, 𝑎𝑛 =
1
𝑛2
.
Aplicando el límite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛
𝑏𝑛
=𝑛→∞
𝐿í𝑚 1/𝑛2
1/(3𝑛2−4𝑛+5)
=𝑛→∞
𝐿í𝑚 3𝑛2−4𝑛+5
𝑛2
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 (3 −
4
𝑛
+
5
𝑛2
) = 3 que es un
número real, finito y positivo, entonces la serie dada es convergente.
b) ∑
1
√3𝑛−2
∞
𝑛=1 ,
Solución. Tomamos como serie de comparación la p-serie divergente ∑
1
𝑛1/2
∞
𝑛=1 .
Los términos generales son: 𝑏𝑛 =
1
√3𝑛−2
, 𝑎𝑛 =
1
𝑛1/2
.
Aplicando ellímite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛
𝑏𝑛
=𝑛→∞
𝐿í𝑚 1/𝑛1/2
1/(3𝑛−2)1/2
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 √
3𝑛−2
𝑛
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 √3 −
2
𝑛
= √3quees un número real,
finito y positivo, entonces la serie dada es divergente.
c) ∑
𝑛2+10
4𝑛5−𝑛3
∞
𝑛=1 ,
Solución.
Según la observación tomamos como serie de comparación la 𝑝-serie convergente ∑
1
𝑛3
∞
𝑛=1 .
Los términos generales son: 𝑎𝑛 =
𝑛2+10
4𝑛5−𝑛3
, 𝑏𝑛 =
1
𝑛3
. Aplicando el límite 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚
𝑛2+10
4𝑛5−𝑛3
1
𝑛3
=
𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛3(𝑛2+10)
4𝑛5−𝑛3
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑛2+10
4𝑛2−1
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚
𝑛2+10
𝑛2
4𝑛2−1
𝑛2
= 𝑛→∞
𝐿í𝑚
1+
1
𝑛2
4−
1
𝑛2
=
1
4
, que es un número real, finito y positivo,
entonces la serie dada es convergente.
Como el resultado es real finito y positivo, entonces la serie dada es convergente.
e) ∑
1
√𝑛3+1
∞
𝑛=1 . Use la serie de comparación ∑
1
𝑛3/2
∞
𝑛=1 .
f) ∑
1
2𝑛−5
∞
𝑛=1 . Use la serie de comparación ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=1 .
TEOREMA. (CRITERIOPARA SERIES ALTERNADAS). Sea 𝑎𝑛 > 0; las series alternadas ∑ (−1)𝑛𝑎𝑛
∞
𝑛=1
o ∑ (−1)𝑛−1𝑎𝑛
∞
𝑛=1 convergen si cumplen las condiciones:
i) 0 < 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛 , ∀ 𝑛 ≥ 1 (decreciente) y ii) 𝑛→∞
𝐿í𝑚 𝑎𝑛 = 0

a) ∑
(−1)𝑛+1
2𝑛−1
∞
𝑛=1 b) ∑
(−1)𝑛𝑛2
𝑛2+1
∞
𝑛=1
Solución.
a) ∑
(−1)𝑛+1
2𝑛−1
∞
𝑛=1 = ∑ (−1)𝑛+1 1
2𝑛−1
∞
𝑛=1 de donde 𝑎𝑛 =
1
2𝑛−1
y 𝑎𝑛+1 =
1
2𝑛+1
Cumple (i) 0 < 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛. En efecto:
1
2𝑛+1
≤
1
2𝑛−1
 2𝑛 + 1 ≥ 2𝑛 − 1  1 ≥ −1
Cumple (ii) pues Lím
𝑛→∞
𝑎𝑛= Lím
𝑛→∞
1
2𝑛−1
= 0
Por tanto, la serie ∑
(−1)𝑛+1
2𝑛−1
∞
𝑛=1 converge.
b) ∑
(−1)𝑛𝑛2
2𝑛−1
∞
𝑛=1 = ∑ (−1)𝑛 𝑛2
𝑛2+1
∞
𝑛=1 de donde 𝑎𝑛 =
𝑛2
𝑛2+1
y 𝑎𝑛+1 =
(𝑛+1)2
(𝑛+1)2+1
Se cumple (i) 0 < 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛.
En efecto:
(𝑛+1)2
(𝑛+1)2+1
≤
𝑛2
𝑛2+1
 (𝑛 + 1)2(𝑛2 + 1) ≤ 𝑛2(𝑛2 + 2𝑛 + 2)  2𝑛 + 1 ≤ 1, ∀𝑛 > 1
No cumple (ii), pues Lím
𝑛→∞
𝑎𝑛= Lím
𝑛→∞
𝑛2
𝑛2+1
= 1 ≠ 0
(−1)𝑛𝑛2
𝑛2+1
∞
𝑛=1 diverge.
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL.
DEFINICIÓN 1. La serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 :
a) Es absolutamente convergente si la serie ∑ |𝑎𝑛|
∞
𝑛=1 converge.
b) Es condicionalmente convergente si la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge, pero la serie ∑ |𝑎𝑛|
∞
𝑛=1 diverge.
TEOREMA (Convergencia absoluta). Si la serie ∑ |𝑎𝑛|
∞
𝑛=1 converge, entonces la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
converge.
EJEMPLO 1. Muestre que la serie ∑
2(−1)𝑛+1
3𝑛
∞
𝑛=1 es absolutamente convergente.
En efecto: ∑ |
2(−1)𝑛+1
3𝑛
|
∞
𝑛=1 = ∑
2
3𝑛
∞
𝑛=1 es una serie geométrica convergente, pues 𝑟 =
1
3
; por lo tanto la
serie dada ∑
2(−1)𝑛+1
3𝑛
∞
𝑛=1 es absolutamente convergente.

EJEMPLO 2. Muestre que la serie ∑
(−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 es condicionalmente convergente.
En efecto. ∑ |
(−1)𝑛
𝑛
|
∞
𝑛=1 = ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 es la serie armónica divergente, sin embargo la serie alternada
∑
(−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 es convergente, pues 𝑎𝑛 =
1
𝑛
, 𝑎𝑛+1 =
1
𝑛+1
Cumple (i) 0 < 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛. En efecto:
1
𝑛+1
≤
1
𝑛
Cumple (ii), pues Lím
𝑛→∞
𝑎𝑛= Lím
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
(−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 es condicionalmente convergente.
TEOREMA. (CRITERIO DEL COCIENTE).
Sea ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 una serie de términos diferentes de cero y sea r = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|, entonces:
i) Si 𝑟 < 1 la serie converge.
ii) Si 𝑟 > 1 la serie diverge.
iii) Si 𝑟 = 1 el criterio no decide.
a) ∑
𝑛!
𝑛3𝑛
∞
𝑛=1
b) 1 + 3 +
32
2!
+
33
3!
+
+34
4!
…
c) ∑
𝑛𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1
d) ∑
(2𝑛)!
𝑛5
∞
𝑛=1
Solución.
a) De la serie dada ∑
𝑛!
𝑛3𝑛
∞
𝑛=1 : 𝑎𝑛 =
𝑛!
𝑛3𝑛
y 𝑎𝑛+1 =
(𝑛+1)!
(𝑛+1)3𝑛+1
𝑟 = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|= Lím
𝑛→∞
|
(𝑛+1)!
(𝑛+1)3𝑛+1
𝑛!
𝑛3𝑛
| = Lím
𝑛→∞
(𝑛+1)(𝑛!)𝑛3𝑛
(𝑛!)(𝑛+1)3𝑛3
= Lím
𝑛→∞
𝑛
3
= ∞  𝑟 = ∞ > 1
Por lo tanto, la serie dada ∑
𝑛!
𝑛3𝑛
∞
b) De la serie dada 1 + 3 +
32
2!
+
33
3!
+
+34
4!
… = ∑
3𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1 : 𝑎𝑛 =
3𝑛
𝑛!
y 𝑎𝑛+1 =
3𝑛+1
(𝑛+1)!

 𝑟 = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|= Lím
𝑛→∞
|
3𝑛+1
(𝑛+1)!
3𝑛
𝑛!
|= Lím
𝑛→∞
(𝑛!)(3)
(𝑛+1)(𝑛!)3𝑛
= Lím
𝑛→∞
3
(𝑛+1)
= 0  𝑟 = 0 < 1
Por lo tanto, la serie dada 1 + 3 +
32
2!
+
33
3!
+
+34
4!
… es convergente.
c) De la serie dada ∑
𝑛𝑛
𝑛!
∞
𝑛=1 : 𝑎𝑛 =
𝑛𝑛
𝑛!
y 𝑎𝑛+1 =
(𝑛+1)𝑛+1
(𝑛+1)!
 𝑟 = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|= Lím
𝑛→∞
|
(𝑛+1)𝑛+1
(𝑛+1)!
3𝑛
𝑛!
|= Lím
𝑛→∞
(𝑛!)(𝑛+1)(𝑛+1)𝑛
𝑛𝑛(𝑛+1)(𝑛!)
= Lím
𝑛→∞
(
𝑛+1
𝑛
)
𝑛
= Lím
𝑛→∞
(𝑛 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒
 𝑟 = 𝑒 > 1
Por lo tanto, la serie dada ∑
𝑛𝑛
𝑛!
∞
TEOREMA (CRITERIO DE LA RAÍZ). Sea ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 una serie de términos diferentes de cero y sea
𝑟 = Lím
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
, entonces:
i) Si 𝑟 < 1 la serie converge.
ii) Si 𝑟 > 1 la serie diverge.
iii) Si 𝑟 = 1 el criterio no decide.
a) ∑ (
𝑛
2𝑛+1
)
𝑛
∞
𝑛=1 b) ∑ (2√𝑛
𝑛
+ 1)
𝑛
∞
𝑛=1 c) ∑ ( √𝑛
𝑛
− 1)
𝑛
∞
𝑛=1 d) ∑ (
ln 𝑛
𝑛
)
𝑛
∞
𝑛=2
Solución a) ∑ (
𝑛
2𝑛+1
)
𝑛
∞
𝑛=1
𝑟 = Lím
𝑛→∞
√|(
𝑛
2𝑛+1
)
𝑛
|
𝑛
=Lím
𝑛→∞
√(
𝑛
2𝑛+1
)
𝑛
𝑛
=Lím
𝑛→∞
𝑛
2𝑛+1
=Lím
𝑛→∞
1
2+1/𝑛
=
1
2
Por lo tanto, como 𝑟 =
1
2
< 1, la serie converge.
b) ∑ (2√𝑛
𝑛
+ 1)
𝑛
∞
𝑛=1
𝑟 = Lím
𝑛→∞
√|(2√𝑛
𝑛
+ 1)
𝑛
|
𝑛
=Lím
𝑛→∞
√(2√𝑛
𝑛
+ 1)
𝑛
𝑛
=Lím
𝑛→∞
(2√𝑛
𝑛
+ 1) = 2(1) + 1 = 3
Por lo tanto, como 𝑟 = 3 > 1, la serie diverge.

c) ∑ ( √𝑛
𝑛
− 1)
𝑛
∞
𝑛=1
𝑟 = Lím
𝑛→∞
√|( √𝑛
𝑛
− 1)
𝑛
|
𝑛
=Lím
𝑛→∞
√( √𝑛
𝑛
− 1)
𝑛
𝑛
=Lím
𝑛→∞
(√𝑛
𝑛
− 1) = 1 − 1 = 0
Por lo tanto, como 𝑟 = 0 < 1, la serie converge.
d) ∑ (
ln𝑛
𝑛
)
𝑛
∞
𝑛=2
𝑟 = Lím
𝑛→∞
√|(
ln 𝑛
𝑛
)
𝑛
|
𝑛
=Lím
𝑛→∞
√(
ln 𝑛
𝑛
)
𝑛
𝑛
=Lím
𝑛→∞
𝐿𝑛 𝑛
𝑛
=Lím
𝑛→∞
1
𝑛
⁄
1
= 0
Por lo tanto, como 𝑟 = 0 < 1, la serie converge.
LA SERIE DE POTENCIAS Y SU CONVERGENCIA.
DEFINICIÓN 1. Sea 𝑥 una variable real. Las series infinitas de la forma:
a) Serie en 𝑥 centrada en cero, 0: ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯
b) Serie en 𝑥 centrada en 𝐶:
∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝐶) + 𝑎2(𝑥 − 𝐶)2 + 𝑎3(𝑥 − 𝐶)3 + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛 + ⋯
c) Serie en 𝑓(𝑥): ∑ 𝑎𝑛[𝑓(𝑥)]𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1𝑓(𝑥) + 𝑎2[𝑓(𝑥)]2 + 𝑎3[𝑓(𝑥)]3 … + 𝑎𝑛[𝑓(𝑥)]𝑛 + ⋯,
son llamada Serie de Potencias.
TEOREMA(Convergencia de la Seriede Potencias).Unaseriede Potencias ∑ 𝑎𝑛(𝑥− 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0 centrada
en 𝐶 cumple exactamente una de las siguientes condiciones:
a) La serie converge únicamente en 𝐶.

b) La serie converge en todo valor real.
c) Existe un 𝑅 > 0 tal que la serie:
i) Converge para todos los 𝑥 de |𝑥 − 𝐶| < 𝑅, y
ii) Diverge para los 𝑥 de |𝑥 − 𝐶| > 𝑅.
El 𝑅 es llamado radio de convergencia.
OBSERVACIONES.
a) El teorema es válido cuando la serie está centrada en cero.
b) El intervalo de convergencia será:
|𝑥 − 𝐶| < 𝑅  −𝑅 < 𝑥 − 𝐶 < 𝑅  𝐶 − 𝑅 < 𝑥 < 𝐶 + 𝑅  𝑥 ∈ 〈𝐶 − 𝑅;𝐶 + 𝑅〉
c) El teorema no da información para |𝑥 − 𝐶| = 𝑅 que son los puntos extremos del intervalo de
convergencia. Estos deben ser analizados por separado para unirlos o no a dicho intervalo de
convergencia.
Finalmente el intervalo de convergencia puede tomar la forma: 〈𝑎;𝑏〉, ⟨𝑎;𝑏], [𝑎;𝑏⟩ o [𝑎;𝑏].
d) Para la convergencia en los extremos del intervalo se usan los criterios estudiados para las series
infinitas.
e) Elcriterio del cociente aplicado a la serie de potencias ∑ 𝑎𝑛(𝑥− 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0 para hallar el intervalo de
convergencia 𝐼 se obtiene del siguiente modo. Si 𝐿 = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝑟 = {
0  𝑅 = ∞
∞  𝑅 = 0
𝐿 ≠ 0  𝑅 =
1
𝐿
, siendo 𝑅 el
radio de convergencia.
f) Una serie de potencias se la puede denotar como una función real en la forma:
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0
EJEMPLO 1. Hallar el intervalo de convergencia de las series dadas incluyendo un análisis en los
extremos de dicho intervalo.
a) 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑛! 𝑥𝑛
∞
𝑛=0 . Aquí 𝑎𝑛 = 𝑛!; 𝑎𝑛+1 = (𝑛 + 1)! Serie centrada en 𝐶 = 0.
Calculamos 𝐿 = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| =Lím
𝑛→∞
|
(𝑛+1)!
𝑛!
|=Lím
𝑛→∞
(𝑛+1)!
𝑛!
=Lím
𝑛→∞
(𝑛+1) 𝑛!
𝑛!
=Lím
𝑛→∞
(𝑛 + 1) = ∞

Entonces, según el Teorema, el radio de convergencia es 𝑅 = 0. Lo cual implica que la serie converge
únicamente en el punto 𝑥 = 0.
b) 𝑓(𝑥) = ∑
(−1)𝑛+1𝑥2𝑛−1
(2𝑛−1)!
∞
𝑛=0 . Aquí 𝑎𝑛 =
(−1)𝑛+1
(2𝑛−1)!
; 𝑎𝑛+1 =
(−1)𝑛+2
(2𝑛+1)!
. Serie centrada en 𝐶 = 0.
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| =Lím
𝑛→∞
|
(−1)𝑛+2
(2𝑛+1)!
(−1)𝑛+1
(2𝑛−1)!
|=Lím
𝑛→∞
1
(2𝑛+1)!
1
(2𝑛−1)!
=Lím
𝑛→∞
(2𝑛−1)!
(2𝑛+1)2𝑛(2𝑛−1)!
=Lím
𝑛→∞
1
(2𝑛+1)2𝑛
= 0
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es 𝑅 = ∞. Lo cual implica que la serie converge
para todo 𝑥 real o 𝑥 ∈ 𝑅.
c) 𝑓(𝑥) = ∑
𝑥𝑛
𝑛
∞
1
𝑛
; 𝑎𝑛+1 =
1
𝑛+1
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| =Lím
𝑛→∞
|
1
𝑛+1
1
𝑛
| =Lím
𝑛→∞
1
𝑛+1
1
𝑛
=Lím
𝑛→∞
𝑛
𝑛+1
=Lím
𝑛→∞
1
1+1/𝑛
= 1
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es 𝑅 = 1. Lo cual implica que la serie converge
inicialmente para todo 𝑥 ∈ 〈−1; 1〉.
Analizando los extremos del intervalo:
Para 𝑥 = −1, la serie queda 𝑓(−1) = ∑
(−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 . La cual es una serie alternada convergente, pues
siendo 𝑎𝑛 =
1
𝑛
es decreciente y cumple Lím
𝑛→∞
1
𝑛
= 0. Se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para 𝑥 = 1, la serie queda: 𝑓(1) = ∑
(1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 . La cual es la serie armónica divergente. No se
cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie 𝑓(𝑥) = ∑
𝑥𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 será 𝐼 = [−1; 1⟩
d) 𝑓(𝑥) = ∑
(𝑥−2)𝑛
3𝑛𝑛2
∞
1
3𝑛𝑛2
; 𝑎𝑛+1 =
1
3𝑛+1(𝑛+1)2
Calculamos
𝐿 = Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|=Lím
𝑛→∞
|
1
3𝑛+1(𝑛+1)2
1
3𝑛𝑛2
| =Lím
𝑛→∞
1
3𝑛+1(𝑛+1)2
1
3𝑛𝑛2
=Lím
𝑛→∞
3𝑛𝑛2
3𝑛(3)𝑛2
=Lím
𝑛→∞
𝑛2
3(𝑛+1)2
=
1
3
Lím
𝑛→∞
(
𝑛
𝑛+1
)
2
=
1
3
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es 𝑅 =
1
1
3
⁄
= 3. Lo cual implica que la serie
converge inicialmente para todo 𝑥 ∈ |𝑥 − 2| < 3 → −3 < 𝑥 − 2 < 3 → −1 < 𝑥 < 5
→ 𝑥 ∈ 〈−1; 5〉

Para 𝑥 = −1, la serie queda: 𝑓(−1) = ∑
(−1−2)𝑛
3𝑛𝑛2
∞
𝑛=1 =∑
(−3)𝑛
3𝑛𝑛2
∞
𝑛=1 =∑
(−1)𝑛3𝑛
3𝑛𝑛2
∞
𝑛=1 =∑
(−1)𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1
La cual es una serie alternada convergente, pues siendo 𝑎𝑛 =
1
𝑛2
es decreciente y cumple Lím
𝑛→∞
1
𝑛2
= 0.
Se cierra el lado izquierdo del intervalo.
(5−2)𝑛
3𝑛𝑛2
∞
𝑛=1 =∑
(3)𝑛
3𝑛𝑛2
∞
𝑛=1 =∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 .
La cual es la serie 𝑝-serie con 𝑝 = 2, convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie 𝑓(𝑥) = ∑
(𝑥−2)𝑛
3𝑛𝑛2
∞
𝑛=1 será 𝐼 = [−1; 5]
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE POTENCIAS.
TEOREMA 1. Si la función 𝑓 es definida mediante la serie de potencias
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛(𝑥− 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝐶) + 𝑎2(𝑥 − 𝐶)2 + 𝑎3(𝑥 − 𝐶)3 + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛 + ⋯ que
tiene un radio de convergencia 𝑅 > 0, entonces en el intervalo 𝐼 = 〈𝐶 − 𝑅;𝐶 + 𝑅〉, 𝑓 es continua,
derivable e integrable, por ser polinómica. Además se cumple:
a) 𝑓′(𝑥) = ∑ 𝑛 𝑎𝑛(𝑥− 𝐶)𝑛−1
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 2𝑎2(𝑥 − 𝐶) + 3𝑎3(𝑥 − 𝐶)2 + 4𝑎4(𝑥− 𝐶)3 + ⋯+ 𝑛 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛−1 + ⋯
b) ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∑
𝑎𝑛
𝑛+1
(𝑥 − 𝐶)𝑛+1 + 𝐶0
∞
𝑛=0
= 𝐶0 + 𝑎0(𝑥 − 𝐶) +
𝑎1
2
(𝑥 − 𝐶)2 +
𝑎4
3
(𝑥 − 𝐶)3 + ⋯+
𝑎𝑛
𝑛+1
(𝑥 − 𝐶)𝑛+1 + ⋯
OBSERVACIONES.
a) El intervalo inicial de convergencia de 𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥), 𝑓′′(𝑥) e ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥es el mismo, y coincide conel
dominio, es decir𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓′) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓′′) = 𝐷𝑜𝑚(∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥),salvoen los puntos terminales
del intervalo de convergencia; en estos puntos tiene que analizarse por separado, para cada caso.
b) 𝑓′′(𝑥) = ∑ 𝑛(𝑛 − 1) 𝑎𝑛(𝑥− 𝐶)𝑛−2
∞
𝑛=2 y así se puede tener derivada de orden 𝑛 para 𝑛 > 2.
c) Una serie también puede integrarse por segunda vez, tercera vez, según se le necesite.
EJEMPLO 1. Hallar los intervalos de convergencia para las series siguientes 𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥), 𝑓′′(𝑥) e
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥, si 𝑓(𝑥) = ∑
(−1)𝑛+1(𝑥−5)𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 .

Solución.
a) 𝑓(𝑥) = ∑
(−1)𝑛+1(𝑥−5)𝑛
𝑛 5𝑛
∞
(−1)𝑛+1
𝑛 5𝑛
; 𝑎𝑛+1 =
(−1)𝑛+2
(𝑛+1)5𝑛+1
Calculamos Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| =Lím
𝑛→∞
|
(−1)𝑛+2
(𝑛+1)5𝑛+1
(−1)𝑛+1
𝑛 5𝑛
|=Lím
𝑛→∞
1
(𝑛+1)5𝑛+1
1
𝑛 5𝑛
=Lím
𝑛→∞
𝑛 5𝑛
(𝑛+1)5𝑛5
=
1
5
Lím
𝑛→∞
𝑛
𝑛+1
=
1
5
Lím
𝑛→∞
1
1+1
𝑛
⁄
=
1
5
Entonces, según el teorema, el radio de convergencia es 𝑅 =
1
1
5
⁄
= 5. Lo cual implica que la serie
converge inicialmente para todo 𝑥 ∈ |𝑥 − 5| < 5 → −5 < 𝑥 − 5 < 5 → 0 < 𝑥 < 10
→ 𝑥 ∈ 〈0; 10〉
Para 𝑥 = 0, la serie queda 𝑓(0) = ∑
(−1)𝑛+1(0−5)𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+1(−5)𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+1(−1)𝑛5𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 =
∑
(−1)2𝑛+15𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 = −∑
(−1)2𝑛
𝑛
∞
𝑛=1 = −∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 .
La cual es la serie armónica divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
(−1)𝑛+1(10−5)𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+1(5)𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+15𝑛
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=1 =
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
∞
𝑛=1
La cual es una serie alternada convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será 𝐼 = ⟨0;10].
b) 𝑓′(𝑥) = ∑
(−1)𝑛+1𝑛 (𝑥−5)𝑛−1
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=2 = ∑
(−1)𝑛+1 (𝑥−5)𝑛−1
5𝑛
∞
(−1)𝑛+1
5𝑛
; 𝑎𝑛+1 =
(−1)𝑛+2
5𝑛+1
. Serie
centrada en 𝐶 = 5.
Recordemos que el intervalo inicial de convergencia de 𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥), 𝑓′′(𝑥) e ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥es el mismo, es
decir 𝐼 = 〈0;10〉. Verifiquemos para este caso.
Calculamos Lím
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = Lím
𝑛→∞
|
(−1)𝑛+2
5𝑛+1
(−1)𝑛+1
5𝑛
| = Lím
𝑛→∞
1
5𝑛+1
1
5𝑛
= Lím
𝑛→∞
5𝑛
5𝑛5
= Lím
𝑛→∞
1
5
=
1
5
, lo cual implica que el
intervalo inicial de convergencia es 〈0; 10〉, como se esperaba.

Para 𝑥 = 0, la serie queda 𝑓′(0) = ∑
(−1)𝑛+1 (0−5)𝑛−1
5𝑛
∞
𝑛=2 = ∑
(−1)𝑛+1(−1)𝑛−15𝑛−1
5𝑛
∞
𝑛=2 =
∑
(−1)𝑛+1(−1)𝑛−15𝑛−1
5𝑛−15
∞
𝑛=2 = ∑
(−1)2𝑛
5
∞
𝑛=2 = ∑
1
5
∞
𝑛=2 .
La cual es la serie constante divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para 𝑥 = 10, la serie queda: 𝑓′(10) = ∑
(−1)𝑛+1(10−5)𝑛−1
5𝑛
∞
𝑛=2 = ∑
(−1)𝑛+1(5)𝑛−1
5𝑛−15
∞
𝑛=2 = ∑
(−1)𝑛+1
5
∞
𝑛=2
La cual es una serie alternada divergente. No se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será 𝐼 = 〈0;10〉.
c) 𝑓′′(𝑥) = ∑
(−1)𝑛+1𝑛(𝑛−1)(𝑥−5)𝑛−2
𝑛 5𝑛
∞
𝑛=3 = ∑
(−1)𝑛+1(𝑛−1)(𝑥−5)𝑛−2
5𝑛
∞
𝑛=3
El intervalo inicial de convergencia de 𝑓′′(𝑥) es 〈0;10〉.
Para 𝑥 = 0, la serie queda 𝑓′′(0) = ∑
(−1)𝑛+1(𝑛−1) (0−5)𝑛−2
5𝑛
∞
𝑛=3 = ∑
(−1)𝑛+1(𝑛−1)(−1)𝑛−25𝑛−2
5𝑛−2 52
∞
𝑛=3 =
∑
(−1)2𝑛−1(𝑛−1)5𝑛−2
5𝑛−252
∞
𝑛=3 = −∑
(𝑛−1)
25
∞
𝑛=3 .
La cual es una serie divergente. No se cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para 𝑥 = 10, la serie queda: 𝑓′′(10) = ∑
(−1)𝑛+1(𝑛−1)(10−5)𝑛−2
5𝑛
∞
𝑛=3 = ∑
(−1)𝑛+1(5)𝑛−2
5𝑛−252
∞
𝑛=3 =
∑
(−1)𝑛+1(𝑛−1)
25
∞
𝑛=3
La cual es una serie alternada divergente. No se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será 〈0;10〉.
d) ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∑
(−1)𝑛+1(𝑥−5)𝑛+1
𝑛(𝑛+1) 5𝑛
∞
𝑛=1 + 𝐶0
El intervalo inicial de convergencia de ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es 〈0; 10〉.
Para 𝑥 = 0, la serie queda: 𝐹(0) = ∑
(−1)𝑛+1 (0−5)𝑛+1
𝑛(𝑛+1)5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+1(−1)𝑛+15𝑛+1
𝑛(𝑛+1) 5𝑛
∞
𝑛=1 =
∑
(−1)2𝑛+2 5𝑛 5
𝑛(𝑛+1)5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
5
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1

La cual es una serie convergente, por el criterio de comparación directa con la p-serie ∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1 . Se
cierra el lado izquierdo del intervalo.
Para 𝑥 = 10, la serie queda: 𝐹(10) = ∑
(−1)𝑛+1(10−5)𝑛+1
𝑛(𝑛+1)5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+1(5)𝑛+1
𝑛(𝑛+1)5𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
(−1)𝑛+15𝑛 5
𝑛(𝑛+1)5𝑛
∞
𝑛=1
=∑
(−1)𝑛+1 5
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1
La cual es una serie alternada convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente el intervalo de convergencia de la serie será 𝐼 = [0;10].
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES USANDO SERIES DE POTENCIAS.
OBSERVACIÓN 1. Se pueden plantear las siguientes cuestiones para una función real 𝑦 = 𝑓(𝑥):
a) ¿Podrá ser representada por una serie de potencias? 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2
b) ¿Cuál será la serie que la representa? 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0
c) ¿En qué intervalo (o 𝐷𝑜𝑚(𝑓)) la representa? 𝐼 = 〈𝑎;𝑏〉
TEOREMA 1 (Serie de Potencias Geométrica). Para una función de la forma 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑥−𝑏
, la serie de
potencias:
a) Centrada en 𝐶 = 0 es dada por: 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑥−𝑏
=
−𝑎
𝑏
∑ (
𝑥
𝑏
)
𝑛
∞
𝑛=0
b) Centrada en 𝐶 ≠ 0 es dada por: 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑥−𝑏
=
−𝑎
𝑏−𝐶
∑ (
𝑥−𝐶
𝑏−𝐶
)
𝑛
∞
𝑛=0
Su radio de convergencia es: 𝑅 = |𝑏 − 𝐶|
TEOREMA 2(Operaciones con Series de Potencias). Dadas las series de potencias 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
y 𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0 , verifican las siguientes propiedades:
a) 𝑓(𝑘𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑘𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0 , 𝑘 ∈ 𝑅 b) 𝑓(𝑥𝑘) = ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑘𝑛
∞
𝑛=0 , 𝑘 ∈ 𝑅
c) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = ∑ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑥𝑛
∞
𝑛=0 d) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = ∑ (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑥𝑛
∞
𝑛=0

e) 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = (∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0 )(∑ 𝑏𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0 )
EJEMPLO 1. Hallar la serie de potencias para cada función:
a) 𝑓(𝑥) =
1
1−𝑥
, centrada en 𝐶 = 0.
b) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥+3
c) 𝑓(𝑥) =
3
4−𝑥
, centrada en 𝐶 = −2.
d) 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥2+𝑥−2
Solución.
a) 𝑓(𝑥) =
1
1−𝑥
=
−1
𝑥−1
, centrada en 𝐶 = 0, 𝑎 = −1, 𝑏 = 1.
Luego 𝑓(𝑥) =
1
1−𝑥
=
−1
𝑥−1
=
−(−1)
1
∑ (
𝑥
1
)
𝑛
∞
𝑛=0 = ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0 .
El radio de convergencia es 𝑅 = |𝑏 − 𝐶| =|1 − 0| = 1.
Finalmente 𝑓(𝑥) =
−1
𝑥−1
= ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑛 + ⋯
El radio de convergencia es 𝑅 = 1 y el intervalo de convergencia es 𝐼 = 〈−1; 1〉.
b) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥+3
=
2
𝑥−(−3)
, centrada en 𝐶 = 0, 𝑎 = 2, 𝑏 = −3.
Luego 𝑓(𝑥) =
2
𝑥+3
=
2
𝑥−(−3)
=
−2
−3
∑ (
𝑥
−3
)
𝑛
∞
𝑛=0 =
2
3
∑ (
𝑥
−3
)
𝑛
∞
𝑛=0 =
2
3
∑
(−1)𝑛𝑥𝑛
3𝑛
∞
𝑛=0
El radio de convergencia es 𝑅 = |𝑏 − 𝐶| =|−3 − 0| = 3.
2
𝑥+3
= ∑
(−1)𝑛𝑥𝑛
3𝑛
∞
𝑛=0 =
2
3
(1 −
𝑥
3
+
𝑥2
9
−
𝑥3
27
+ ⋯+
𝑥𝑛
3𝑛
+ ⋯)
c) 𝑓(𝑥) =
3
4−𝑥
=
−3
𝑥−4
, centrada en 𝐶 = −2, 𝑎 = −2, 𝑏 = 4.

Luego 𝑓(𝑥) =
3
4−𝑥
=
−3
𝑥−4
=
−(−3)
4−(−2)
∑ (
𝑥−(−2)
4−(−2)
)
𝑛
∞
𝑛=0 =
3
6
∑ (
𝑥+2
6
)
𝑛
∞
𝑛=0 =
1
2
∑ (
𝑥+2
6
)
𝑛
∞
𝑛=0
El radio de convergencia es 𝑅 = |𝑏 − 𝐶| =|4 − (−2)| = 6.
3
4−𝑥
=
−3
𝑥−4
=
1
2
∑ (
𝑥+2
6
)
𝑛
∞
𝑛=0 =
1
2
(1 −
𝑥+2
6
+
(𝑥+2)2
62
−
(𝑥+2)3
63
+ ⋯+
(𝑥+2)𝑛
6𝑛
+ ⋯)
d) 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥2+𝑥−2
, centrada en 𝐶 = 0, usando fracciones parciales.
Entonces 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥2+𝑥−2
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵
𝑥−1
=
2
𝑥+2
+
1
𝑥−1
=
2
𝑥−(−2)
+
1
𝑥−1
=
−2
−2
∑ (
𝑥
−2
)
𝑛
+
−1
1
∑ (
𝑥
1
)
𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0 = ∑
(−1)𝑛 𝑥𝑛
2𝑛
− ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
= ∑ (
(−1)𝑛
2𝑛
− 1) 𝑥𝑛
∞
𝑛=0 = −(
3𝑥
2
+
3𝑥2
4
+
9𝑥2
8
+
15𝑥3
16
+ ⋯)
El radio de convergencia de
2
𝑥+2
es 𝑅1 = |𝑏 − 𝐶| =|−2 − 0| = 2, el intervalo será 𝐼1 = 〈−2;2〉
El radio de convergencia de
1
𝑥−1
es 𝑅2 = |𝑏 − 𝐶| = |1 − 0| =|1| = 1, el intervalo será 𝐼2 = 〈−1; 1〉
De aquí, el intervalo final es la intersección de los intervalos y será 𝐼1 ∩ 𝐼2 = 〈−1;1〉
EJEMPLO2.Hallarlaseriede potencias para 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥por integración de laserie dada para 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
centrada en 𝐶 = 1. Muestre el intervalo completo de convergencia.
Solución.
Hallando la serie para 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
, 𝐶 = 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 0.
Luego 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
=
1
𝑥−0
=
−1
0−1
∑ (
𝑥−1)
0−1
)
𝑛
∞
𝑛=0 = ∑ (−1)𝑛(𝑥− 1)𝑛
∞
𝑛=0 .
El radio de convergencia es 𝑅 = |𝑏 − 𝐶| =|0 − 1| = 1. El intervalo de convergencia es 𝐼 = 〈0;2〉.
Ahora, integrando 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
= ∑ (−1)𝑛(𝑥− 1)𝑛
∞
𝑛=0 para hallar la serie de potencias de 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛𝑥

∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫∑ (−1)𝑛(𝑥− 1)𝑛
∞
𝑛=0 𝑑𝑥
 𝐿𝑛 𝑥 =∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(𝑥 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0 + 𝐶0.
Para hallar el valor de 𝐶0 , se usa 𝑥 = 1: 𝐿𝑛 1 = 𝐶0, de donde 𝐶0 = 0.
Luego: 𝑔(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 = ∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(𝑥 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0 y su intervalo inicial de convergencia es 〈0;2〉,
analizando los extremos:
Si 𝑥 = 0, la serie no existe. No se cierra el lado izquierdo.
Si 𝑥 = 2, la serie queda 𝐿𝑛 2 =∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(2 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0 = ∑
(−1)𝑛
𝑛+1
∞
𝑛=0 la cual es una serie alternada
convergente. Se cierra el lado derecho del intervalo.
Finalmente la serie es 𝐿𝑛 𝑥 = ∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(𝑥 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0 y el intervalo de convergencia es 𝐼 = ⟨0;2].
𝑔(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 =∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(𝑥 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0
𝐿𝑛 2𝑥 = ∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(2𝑥 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0
𝐿𝑛 𝑥2 = ∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(𝑥2 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0
𝐿𝑛 √𝑥 = ∑
(−1)𝑛
𝑛+1
(√𝑥 − 1)𝑛+1
∞
𝑛=0
SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE MACLAURIN. SERIE TELESCÓPICA, SERIE BINOMICA, OTRAS.
TEOREMA. Sea 𝑓 una función real que es representada por una serie de potencias centrada en 𝐶:
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝐶) + 𝑎2(𝑥 − 𝐶)2 + 𝑎3(𝑥 − 𝐶)3…+ 𝑎𝑛(𝑥− 𝐶)𝑛 + ⋯ para
todo 𝑥𝜖𝐼, interalo abierto con 𝐶 ∈ 𝐼, entonces 𝑎𝑛 =
𝑓(𝑛)
(𝐶)
𝑛!
y además:
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)
(𝐶)
𝑛!
(𝑥 − 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0 =𝑓(𝐶) + 𝑓′(𝐶)(𝑥 − 𝐶) +
𝑓′′(𝐶)
2!
(𝑥 − 𝐶)2 +
𝑓′′′(𝐶)
3!
(𝑥 − 𝐶)3 …+
𝑓(𝑛)
(𝐶)
𝑛!
(𝑥 −
𝐶)𝑛 + ⋯

DEFINICIÓN 1.Sea 𝑓 una función real tal que posee derivada de todos los órdenes en 𝑥 = 𝐶, entonces
la siguiente es llamada SERIE DE TAYLOR de 𝑓 en 𝐶.
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)
(𝐶)
𝑛!
(𝑥 − 𝐶)𝑛
∞
𝑛=0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐶) + 𝑓′(𝐶)(𝑥− 𝐶)+
𝑓′′(𝐶)
2!
(𝑥 − 𝐶)2 +
𝑓′′′(𝐶)
3!
(𝑥 − 𝐶)3 + ⋯+
𝑓(𝑛)
(𝐶)
𝑛!
(𝑥 − 𝐶)𝑛 + ⋯
Si 𝐶 = 0, entonces la siguiente es llamada SERIE DE MACLAURIN de 𝑓 en 𝐶 = 0.
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)
(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0 =𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +
𝑓′′′(0)
3!
𝑥3 + ⋯+
𝑓(𝑛)
(0)
𝑛!
𝑥𝑛 + ⋯
EJEMPLO 1. Hallar la serie de Maclaurin para cada función dada:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, entrada en 𝐶 = 0
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓′′′(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓(4)(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓(5)(𝑥) = 𝑒𝑥, …
𝑓(0) = 1, 𝑓′(0) = 1, 𝑓′′(0) = 1, 𝑓′′′(0) = 1, 𝑓(4)(0) = 1, 𝑓(5)(0) = 1, …
Reemplazando en 𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)
(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0 =𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +
𝑓′′′(0)
3!
𝑥3 + ⋯+
𝑓(𝑛)
(0)
𝑛!
𝑥𝑛 + ⋯
Se tiene: 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯+
𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯  𝑒𝑥 = ∑
𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥
Por el teorema de operaciones en series de potencias usando (a)
Se tiene: 𝑒2𝑥 = 1 + 2𝑥 +
22𝑥2
2!
+
23𝑥3
3!
+ ⋯+
2𝑛𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯  𝑒2𝑥 = ∑
2𝑛𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
c) 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥2
Por el teorema de operaciones en series de potencias usando (a)
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥2
= 1 + 𝑥2 +
𝑥4
2!
+
𝑥6
3!
+ ⋯+
𝑥2𝑛
𝑛!
+ ⋯  𝑒𝑥2
= ∑
𝑥2𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
d) 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛𝑥, 𝑓′(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥, 𝑓′′(𝑥) = −𝑆𝑒𝑛 𝑥,

𝑓′′′(𝑥) = −𝐶𝑜𝑠 𝑥, 𝑓(4)(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥, 𝑓(5)(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥, …
𝑓(0) = 0, 𝑓′(0) = 1, 𝑓′′(0) = 0, 𝑓(3)(0) = −1, 𝑓(4)(0) = 0, 𝑓(5)(0) = 1, …
Reemplazando en 𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)
(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0 =𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +
𝑓′′′(0)
3!
𝑥3 + ⋯+
𝑓(𝑛)
(0)
𝑛!
𝑥𝑛 + ⋯
Se tiene: 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0 + 𝑥 +
0
2!
𝑥2 +
−1
3!
𝑥3 +
0
4!
𝑥4 + ⋯+
𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯
𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 −
1
3!
𝑥3 +
1
5!
𝑥5 −
1
7!
𝑥7 + ⋯+
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛+1)!
+ ⋯  𝑆𝑒𝑛 𝑥 = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0
e) 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥2
Por el teorema de operaciones en series de potencias
𝑔(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥2 = 𝑥2 −
1
3!
𝑥6 +
1
5!
𝑥10 −
1
7!
𝑥14 + ⋯+
(−1)𝑛𝑥2(2𝑛+1)
(2𝑛+1)!
+ ⋯
 𝑆𝑒𝑛 𝑥2 = ∑
(−1)𝑛𝑥2(2𝑛+1)
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0
e) 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥
Por el teorema de derivada de series usando (d) 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛+1
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0
 Derivando: 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛
(2𝑛)!
∞
𝑛=1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 1 −
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
−
𝑥6
6!
+
𝑥8
8!
…+
(−1)𝑛𝑥2𝑛
(2𝑛)!
+ ⋯  𝐶𝑜𝑠 𝑥 = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛
(2𝑛)!
∞
𝑛=0
EJEMPLO 2. Hallar la serie de Taylor para 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥, centrada en 𝐶 = 1.
Solución.
En forma general 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥, 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
, 𝑓′′(𝑥) =
−1
𝑥2
, 𝑓′′′(𝑥) =
2
𝑥3
, 𝑓(4)(𝑥) =
−6
𝑥4
, 𝑓(5)(𝑥) =
24
𝑥5
, …
Reemplazando 𝐶 = 1 𝑓(1) = 0, 𝑓′(0) = 1, 𝑓′′(0) = −1, 𝑓′′′(0) = 2, 𝑓(4)(0) = −6, 𝑓(4)(0) = 24, …
Reemplazando en la siguiente serie general:

𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)
(1)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0
𝑓(𝑥) = 𝑓(1) + 𝑓′(1)(𝑥 − 1) +
𝑓′′(1)
2!
(𝑥 − 1)2 +
𝑓′′′(1)
3!
(𝑥 − 1)3 + ⋯+
𝑓(𝑛)
(1)
𝑛!
(𝑥 − 1)𝑛 + ⋯
Se tiene:
𝐿𝑛 𝑥 = 0 + 1(𝑥 − 1) +
−1(𝑥−1)2
2!
+
2(𝑥−1)3
3!
+
−6(𝑥−1)4
4!
+
24(𝑥−1)5
5!
+
24(𝑥−1)5
5!
+ ⋯+
(𝑛−1)! (𝑥−1)𝑛
𝑛!
+ ⋯
 𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) +
−1(𝑥−1)2
2!
+
2! (𝑥−1)3
3!
+
−3! (𝑥−1)4
4!
+
4! (𝑥−1)5
5!
+ ⋯
(𝑛−1)! (𝑥−1)𝑛
𝑛!
+ ⋯
 𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) −
(𝑥−1)2
2
+
(𝑥−1)3
3
−
(𝑥−1)4
4
+
(𝑥−1)5
5
…+
(−1)𝑛+1 (𝑥−1)𝑛
𝑛
+ ⋯
 𝐿𝑛 𝑥 = ∑
(−1)𝑛 (𝑥−1)𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
LA SERIE BINÓMICA.
EJEMPLO 3. La serie de Maclaurin para 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)𝑘 es llamada SERIE BINÓMICA y resulta ser
dada por:
𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)𝑘=1 +
𝑘𝑥
1!
+
𝑘(𝑘−1)𝑥2
2!
+
𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)𝑥3
3!
y converge para 𝐼 = 〈−1;1〉.
a) En particular si 𝑘 ∈ 𝑍 la serie binómica es finita.
Si 𝑘 = 2, 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 𝑥2.
Si 𝑘 = 3, 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)3 = 1 + 3𝑥 + 3𝑥2 + 𝑥3.
b) Hallar la serie de potencias para 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)1/3, 𝑘 =
1
3
.
𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)1/3=1 +
1
3
𝑥 +
1
3
−2
3
𝑥2
2!
+
1
3
−2
3
−5
3
𝑥3
3!
+
1
3
−2
3
−5
3
−8
3
𝑥4
4!
+ ⋯
𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)1/3=1 +
1
3
𝑥 −
2
32
𝑥2
2!
+
2∙5
33
𝑥3
3!
−
2∙5∙8
34
𝑥4
4!
+
2∙5∙8∙11
35
𝑥5
5!
+ ⋯
c) Hallar la serie de potencias para 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2)1/3, 𝑘 =
1
3
.
Usando la parte (b) anterior se tiene:

𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2)1/3=1 +
1
3
𝑥2 −
2
32
𝑥4
2!
+
2∙5
33
𝑥6
3!
−
2∙5∙8
34
𝑥8
4!
+
2∙5∙8∙11
35
𝑥10
5!
+ ⋯
OBSERVACIÓN.
Se observa que diversas funciones reales pueden ser representadas por una serie infinita en un
intervalo dado; 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el intevalo de covergencia 𝐼.
A partir de series básicas conocidas se pueden obtener otras funciones usando:
- Las operaciones elementales con series.
- Derivación de series.
- Integración de series.
- Cambio de variable en series.
-
LISTADO DE SERIES REPRESENTANDO A FUNCIONES.
LA SERIE EXPONENCIAL.
a) 𝑎𝑥 = 1 + 𝑥 𝐿𝑛 𝑥 +
1
2!
(𝑥 𝐿𝑛 𝑎)2 +
1
3!
(𝑥 𝐿𝑛 𝑎)3 + ⋯
b) 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯
c) 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 =
1
2
(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) = 1 + 𝑥 +
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
+ ⋯
d) 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 =
1
2
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)= 1 +
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
+ ⋯
e) 𝑒−𝑥2
= 1 − 𝑥2 +
𝑥4
2!
+
𝑥6
3!
+
𝑥8
4!
+ ⋯
LA SERIE LOGARÍTMICA.
a) 𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) −
1
2
(𝑥 − 2)2 +
1
3
(𝑥 − 1)3 − ⋯ , 0 < 𝑥 < 2
b) 𝐿𝑛(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
2
+
𝑥3
3
−
𝑥4
4
…, 1 < 𝑥 < ∞
LAS SERIES TRIGONOMÉTRICAS.
a) 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+ ⋯ b) 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 1 −
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
−
𝑥6
6!
+ ⋯

c) 𝑇𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥 +
𝑥3
3
+
2𝑥5
15
+
17𝑥7
315
+
62𝑥9
2835
+ ⋯ , 𝑥2 <
𝜋2
4
LAS SERIES LOGARÍTMICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) 𝐿𝑛(𝑆𝑒𝑛 𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 −
𝑥2
6
−
𝑥4
180
+
𝑥6
2835
+ ⋯ , 𝑥2 < 𝜋2
b) 𝐿𝑛(𝐶𝑜𝑠 𝑥) = −
𝑥2
2
−
𝑥4
12
−
𝑥6
45
−
17𝑥8
2520
− ⋯ , 𝑥2 <
𝜋2
4
c) 𝐿𝑛(𝑇𝑎𝑛 𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 +
𝑥2
3
+
7𝑥4
90
+
62𝑥6
2835
+ ⋯ , 𝑥2 <
𝜋2
4
LAS SERIES EXPONENCIALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) 𝑒𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
−
3𝑥4
4!
−
8𝑥5
5!
+
3𝑥6
6!
+ ⋯
b) 𝑒𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑒 (1 −
𝑥2
2!
+
4𝑥4
4!
−
31𝑥6
6!
+ ⋯)
c) 𝑒𝑇𝑎𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
3𝑥3
3!
+
9𝑥4
4!
+
37𝑥5
5!
+ ⋯
EJERCICIOS PROPUESTOS.
PARTE 1.
1. Escribir los diez primeros términos de la sucesión cuyotérmino general se da:
a) an= 2n b) an=
n







2
1
c) an=
)!
1
(
!
2

n
n
d) an= 2
1
1
n
n


e) an=
1
2
4
2


n
n
f) an=
n
1
3
2. Graficar las sucesiones que se dan en el ejercicio 1 anterior.
3. Demostrar:

a) Que la sucesión {an}, con an=
n
n 1

converge a 1.
b) Que la sucesión {an}, con an=
n





 
3
2
converge a 0.
4. Escriba el término general para cada sucesión dada:
a) ;...
16
2421
;
8
81
;
4
27
;
2
9
;
3 
 b) ;...
42
5
;
30
4
;
20
3
;
12
2
;
6
1
c) ;...
8
1
;
4
1
;
2
1
;
1
;
2 

5. Determinar si es convergente o divergente cada sucesión, cuyo término general se da. Si es
convergente, hallar el límite:
a) an=
n
n 1

b) an=
1

n
n
c) an=
n
n
)
1
(
1 

d) an=
!
)!
2
(
n
n 
6. Determinar si la sucesión, cuyo término general se da, es monótona:
a) an=
1
4

n
n
b) an=
n





 
3
2
c) an= Sen(n/6).
7. Probar que la sucesión, de término general dado, converge, use el teorema de las sucesiones
monótonas y hallar su límite:
a) an=
n
4
3 b) an= n
2
1
4 
8. Calcular el límite de las siguientes sucesiones, correspondientes al término general que se da.
a) an=
2
1
3


n
n
b) an=
1
)
1
(


n
n
n
c) an= n
n
e
2
d) an= )
(n
Cos
e n

e) an=1+(0,9)n

f) an= ;...
5
/
1
5
4
;
4
/
1
4
3
;
3
/
1
3
2
;
2
/
1
2
1




9. Considerar la sucesión {An} cuyotérmino general es An=
n
r







12
1 , donde P es la inversión; An
el capital tras n meses de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés. ¿Es convergente?;
Halla sus ocho primeros términos para P=5000$ y r=0,112.
10. Considerar la sucesión {Bn} cuyotérmino general es Bn=
n
r







6
1 , donde P es la inversión; Bn
el capital tras n bimestres de interés compuesto y r el porcentaje anual de interés. ¿Es convergente?;
Halla sus ocho primeros términos para P=5000$ y r=0,1125.
11. Si el precio promedio de un coche nuevo crece un 6,5% al año y es ahora de 14000$, el precio
promedio tras n años será: Pn=14000(1,065)n .
Calcular el precio promedio para los ocho primeros años venideros.
PARTE 2.
1. Para la serie dada hallar sus cinco primeras sumas parciales:
a. ...
9
1
7
1
5
1
3
1
1 



 b. 



1
1
2
3
n
n
2. Verifique que la serie es divergente:
a. ...
16
2421
8
81
4
27
2
9
3 



 b. 

 
1
2
1
n n
n
c. 








1 3
4
k
k
3. Verificar que la serie dada converge:

a. ...
8
1
4
1
2
1
1
2 



 b.  




0
6
,
0
k
k
c. 

 

1 )
3
)(
2
(
1
k k
k
4. Hallar la suma de la serie convergente que se indica:
a. 








0 3
2
2
n
n
b. 










0 2
2
2
n
n
c. 









0 3
1
2
1
n
n
n
5. Miscelánea. Determine si la serie dada converge o no.
a. 

 

1 1
10
10
n n
n
b.  


0
9
,
0
100
n
n
c. 

2 )
ln(
n n
n
d. 












1
2
2
3
)
1
(
3
n k
k
6. Se deja caer una pelota desde una altura de 100 pies. Cada vez que golpea el piso rebota a 2/3 de
su altura anterior. Encuentre la distancia total que recorre.
7. Una empresa espera vender 8000 unidades de un producto nuevo al año. Supongamos que en
cualquier periodo de un año el 25% de las unidades (independientemente de su edad) quedarán
fuera de uso. ¿Cuántas unidades seguirán en uso tras n años?
PARTE 3.
1. Determine la convergencia o divergencia de la p–serie siguiente:
a. 

1
5
n n
n
b. 

1
75
,
1
n n
n
c. 

1
1
k k
k
2. Determine la convergencia o divergencia de la serie dada mediante el criterio de la integral:
a. ...
5
5
ln
4
4
ln
3
3
ln
2
2
ln



 b. 

 
1
2
1
k k
k
c. 

 
1
2
)
2
(
1
k k
3. Miscelánea. Determinar la convergencia o divergencia de la serie dada:

a. 

 
1
2
1
1
n n
n
b. 









1
1
1
n
n
n
c. 









1
2
2
1
1
k
k
k
d. 



1
)
/
1
(
k
k
Sen
k
4. Usar el criterio de comparación directa para decidir la convergencia o divergencia:
a. 

 
1 1
3
1
n
n
b. 

 

1
4
1
n n
n
c. 

1 !
1
n n
d. 

 
1 1
4
n n
5. Usar el criterio de comparación en el límite para determinar si cada serie es o no convergente:
a. 

 
0
2
1
1
n n
b. 

1
2
)
ln(
n n
n
c. 



1
2
1
2
n n
n
d. 





1
1
2
)
1
(
n
n
n
n
6. Miscelánea. Discutir la convergencia usando alguno de los criterios estudiados:
a. 







 
0 5
1
5
n
n
b. 

 


1
2
5
3
1
4
3
4
n n
n
n
n
c. 

1 )!
2
(
n
n
n
n
d. 

 
1 )
3
(
3
n n
n
PARTE 4.
1. Desarrolle cada serie dada hasta su sexto término:
a. 









0 3
)
(
n
n
x
x
f b. 



0 )!
3
(
)
2
(
)
(
n
n
n
x
x
f c. 






1
1
1
)
(
)
(
n
n
n
c
c
x
x
f .
2. Encuentre una fórmula para el n-ésimo término en cada serie:
a. ...
!
3
)
2
(
!
2
)
2
(
)
2
(
1
3
2







x
x
x b. ...
5
4
3
2
1
5
4
3
2






x
x
x
x
x
3. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos terminales:

a. ...
!
8
!
6
!
4
!
2
1
8
6
4
2





x
x
x
x
b. 

0 )!
2
(
)
3
(
n
n
n
x
c. 







1
2
2
1
1
2
)
1
(
)
(
n
n
n
n
x
x
f d.




0
1
)
1
(
n
n
n
nx
e. ...
4
)
2
(
3
)
2
(
2
)
2
(
1
)
2
(
2
4
3
3
2
2
2







 x
x
x
x
4. Hallar la primera y segunda derivada, así como la integral de las series dadas. No analice los
extremos del intervalo:
a. ...
!
4
)
2
(
!
3
)
2
(
!
2
)
2
(
2
1
4
3
2





x
x
x
x b. 



0
2
!
)
1
(
n
n
n
n
x
c.





1
1
)
(
)
1
(
k
n
n
n
nc
c
x
5. Hallar el intervalo de convergenciade las series dadas, incluyendo un análisis en los extremos del
intervalo: f(x), f’(x) y f(x), siendo:
a. 






1
1
)
1
(
)
1
(
)
(
n
n
n
n
x
x
f . b. ...
)
3
(
4
)
3
(
3
)
3
(
2
)
3
(
)
( 4
3
2








 x
x
x
x
x
f
6. Hallar el intervalo de convergencia de las series:
a.
n
x
n
n
n
n
4
)
3
2
(
)
1
(
1





b.
n
n
p
x
n
pn


0 )
!
(
)!
(
c.
1
2
1 )
1
2
(
5
3
1
3
2
1
)
( 


 










 n
n
x
n
n
x
f .
PARTE 5.
1. Hallar una serie de potencias centrada en c para la función propuesta y halle su intervalo de
convergencia:
a. 0
,
4
3
)
( 

 c
x
x
f b. 2
,
1
3
5
)
( 

 c
x
x
f c. 0
,
2
3
2
7
4
)
( 2




 c
x
x
x
x
f
2. Usar la siguiente serie de potencias: 




 0
)
1
(
1
1
n
n
n
x
x
, para determinar una representación
en serie de potencias, centrada en 0, de la función dada. Hallar el intervalo de convergencia.

a. 3
)
1
(
2
)
(


x
x
h b. )
1
(
)
( 2

 x
Ln
x
h c. )
2
(
)
( x
Arctg
x
k 
3. Hallar la serie de Taylor (centrada en c) para cada función:
a. 1
,
)
( 
 c
e
x
f x
b. 4
/
),
(
)
( 

 c
x
Cos
x
f
4. Usar la serie binómica para hallar la serie de Maclaurin de la función indicada:
a.
x
x
f


1
1
)
( b.
3
1
1
)
(
x
x
f

 c.
2
4
1
)
(
x
x
f


5. Hallar la serie de Maclaurin usando el método que se indica:
a. )
(
)
( x
Cos
x
f  ; derivar Sen(x).
b. )
(
)
( 2
x
Cos
x
f  ; identidad
2
)
2
(
1
)
(
2 x
Cos
x
Cos

 .
c.
x
e
x
f 
)
( ; usar la serie para
x
e d. )
(
)
( 2
x
Cos
x
g  use Cos(x).
e. 2
1
)
(
x
x
h  use
x
x
f
1
)
(  .
PROFESOR: Dr. MILTON CHÁVEZ MUÑOZ
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA BÁSICA I
NOMBRE:________________________________ CODIGO________
1. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos extremos del intervalo;


 


0 )
2
)(
1
(
)
1
(
n
n
n
n
n
x
.

2. Hallar la Serie de Potencias centrada en c=2 para la función
2
3
4
)
(


x
x
f y calcular su
intervalo de convergencia realizando un análisis en los extremos del intervalo.
3. Hallar la Serie de Taylor para la función x
x
f 
)
( , centrada en c=4. Resuelva usando
derivadas de orden superior.
4. Use la Serie Binómica para hallar la Serie de Potencias de la función: 4
1
)
( x
x
f 
 .
5. Hallar la Serie de Potencias para la función )
(
)
( x
Sen
x
f  centrada en c= – /4.
1.- (4p) 2.- (4p) 3.- (4p) 4.- (4p) 5.- (4p)
El Profesor
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA BÁSICA I
NOMBRE:________________________________ CODIGO________
1. Hallar el intervalo de convergencia y hacer un estudio en los puntos extremos del intervalo;


 


0 )
2
)(
1
(
)
1
(
n
n
n
n
n
x
.

2. Hallar la Serie de Potencias centrada en c=2 para la función
2
3
4
)
(


x
x
f y calcular su
intervalo de convergencia realizando un análisis en los extremos del intervalo.
3. Hallar la Serie de Taylor para la función x
x
f 
)
( , centrada en c=4. Resuelva usando
derivadas de orden superior.
4. Use la Serie Binómica para hallar la Serie de Potencias de la función: 4
1
)
( x
x
f 
 .
5. Hallar la Serie de Potencias para la función )
(
)
( x
Sen
x
f  centrada en c= – /4.
1.- (4p) 2.- (4p) 3.- (4p) 4.- (4p) 5.- (4p)
El Profesor

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