Tarea

Topolog´ 1
ıa
Veronica Villegas Santiago
Miguel Angel Mora luna
Rodrigo Jos´ Burgos
e

03/03/2012

TEOREMA: Sea X espacio m´trico, si τ es la familia de conjuntos abiertos
e
de X, entonces:
1)τ es estable bajo uniń arbitraria
o
2)τ es estable bajo la intersecciń finita
o
3)∅, X ∈ τ

TEOREMA: Sea X un conjunto no vac´ d1 y d2 dos m´tricas sobre X.
ıo. e
Si d1 es equivalente a d2 , entonces d1 y d2 generan la misma familia de conjuntos
abiertos de X y rec´ıprocamente.
d1 ∼ d2 si dado r > 0, x ∈ X∃r1 , r2 > 0 tal que
i j
Bri (x) ⊂ Br (x)
j
Donde Br (x) = {y ∈ X : dj (x, y) < r}
y
i
Bri (x) = {y ∈ X : di (x, y) < ri } con i = j i, j = 1, 2

DEMOSTRACION

⇒)d1 ∼ d2 q.p.q. U es di -abierto, entonces U es dj -abierto.
i
U es di -abierto entonces para x ∈ U ∃rx > 0 tal que Brx ⊂ U , como di ∼ dj ,
j i j
∃Brj (x) ⊂ Brx (x) ⊂ U , entonces U ⊂ Brj (x) ⊂ U ⇒ U es dj -vecindad de
x∈U
cada uno de sus puntos tal que U es dj -abierto.
Si di genera la misma familia de conjuntos abiertos que genera dj .
i i
Sea Br (x) es un di -abierto entonces Br (x) es tambiń dj -abierto.
e
i j
Tal que: Br (x) = Br (x) tal que d1 ∼ d2

Nota: Sea X un espacio m´trico y F ⊂ X es cerrado ssi F c es abierto.
e

TEOREMA (DUAL): Si F es la familia de conjuntos cerrados, entonces;

1) ∅, X son conjuntos cerrados
2)La familia F de conjuntos cerrados es estable bajo uniones finitas

1

3)La familia F es estable bajo intersecciones arbitrarias.

NOTA: Este teorema se cumple por la dualidad y por las leyes de De Mor-
gan.
Sea Ai Una familia de conjuntos.
( Ai ) c = ( Ai c ) y
( Ai )c = ( Ai c )

´
DEFINICION: Sea X un espacio m´trico , ∅ = A ⊂ X
e
Un punto x ∈ X es adherente a A si toda vecindad de x interseca al conjunto
A.

TEOREMA:En un espacio m´trico X un conjunto F ⊂ X es cerrado si y
e
solo si todos sus puntos son adherentes.

DEMOSTRACION ´
⇒
S´ x no es adherente a F , entonces ∃V , vecindad de x tal que V F = ∅ Por
ı
lo que entonces V ⊂ F c por lo cual F c es abierto.
Ahora, utilizando contrapositiva vemos que:
S´ F es cerrado, los puntos adherentes a F , son puntos adherentes de F
ı
⇐
Si todos sus puntos son adherentes, los no adherentes est´n en F c por lo tanto
a
F c es abierto de tal manera que F es cerrado.

´
DEFINICION: Sea X espacio m´trico y A ⊂ X,
e
−
A (La Adherencia o cerradura de A)= {y ∈ X; y es adherente a A}

TEOREMA: Sean X un espacio m´trico A ⊂ X no vac´ A− = min{F ⊂ x: F
e ıo
cerrado y A ⊂ F }

´
DEFINICION(DUAL):Sea X un espacio m´trico y sea A ⊂ X y sea x ∈ X,
e
Se dice que x es un punto interior de A si ∃V , vecindad de x tal que V ⊂ A
A◦ (Interior de A)= {x ∈ X: x es interior de A}
A◦ =max {U ⊂ X: U es abierto y U ⊂ A}
Entonces A◦ es abierto

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