tema5

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  TEMA 5: PROBABILIDAD
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  ÍNDICE 1. Experimentos aleatorios 2.Sucesos. Tipos de sucesos 2.1. Sucesos elementales 2.2. Suceso seguro 2.3. Suceso imposible 3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos 3.1. Unión de sucesos. Sucesos compatibles 3.2. Intersección de sucesos 3.3. Diferencia de sucesos 3.4. Leyes de Morgan 4. Definición Axiomática de probabilidad 5. Regla de La Place 6. Probabilidad condicionada 6.1. Sucesos Dependientes o Independientes 7. Teorema de la Probabilidad total. 8. Teorema de Bayes
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  1. Experimentos aleatorios Cuandose realiza un experimento puede ser de dos clases: -Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas condiciones iniciales se obtiene igual resultado. -Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se puede predecir el resultado. Los experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral. Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, depende de la suerte y el azar o bajo las mismas condiciones no se puede repetir dos veces. Ejemplo: lanzar un dado ó extraer una carta.
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  2. Sucesos. Tiposde sucesos Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E . Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas. Si lanzamos dos dados, son subconjuntos de E: -Salir múltiplo de 5: (5 , 10) -Salir número primo: (2, 3, 5, 7, 11) -Salir mayor o igual que 10: (10, 11, 12)
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  2.1. Sucesos elementales Sucesoelemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. 2.2. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. 2.3. Suceso imposible Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
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  3. Álgebra desucesos. Operaciones con sucesos 3.1. Unión de sucesos. Sucesos compatibles La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
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  3.2. Intersección desucesos La intersección de sucesos, A intersección B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A intersección B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. A intersección B se lee como "A y B". Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A intersección B = {6}
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  3.3. Diferencia desucesos La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A − B se lee como "A menos B". Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}
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  3.4. Leyes deMorgan
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  4. Definición Axiomáticade probabilidad Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A un número real, que será su probabilidad. cumpliéndose las siguientes condiciones: Ax.1 La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A)0 Ax.2 La probabilidad del suceso seguro es 1 P()=1 Ax.3 Dados dos sucesos A y B y tales que A B= Ø, es decir, son incompatibles, entonces: P(A U B)=P(A)+P(B)
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  De la definiciónaxiomática de probabilidad se tienen las siguientes consecuencias: 1.- Si dos sucesos son complementarios entonces P(Ac)=1-P(A) De la definición de suceso complementario se tiene que A U Ac = y A Ac = Ø Por el Ax.3 P(A U Ac)= P(A)+P(Ac) como A U Ac = y P()=1(Ax.2) 1=P(A)+P(Ac) => P(Ac)=1-P(A) 2.- La probabilidad del suceso imposible es 0. P(Ø) = 0 Ø = c, luego P(Ø)=1-P() => P(Ø) = 0 3.- Si un suceso A está contenido en otro B, , entonces, implica que B = A U (B-A) con A (B-A)= Ø, luego P(B) = P(A) + P(B-A), por Ax.1 P(B-A)0, entonces 4.- Si tenemos k sucesos A1,A2,...,Ak incompatibles dos a dos Ai Aj= Ø, entonces P(A1U A2U...U,Ak)=P(A1) + P(A2) + ...+ P(Ak) 5.- Dados dos sucesos cualesquiera se tiene P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A U B) = P(A-B) + P(B-A) + P(AB) Por otro lado P(A) = P(A-B) + P(AB) y P(B) = P(B-A) + P(AB) P(A-B)=P(A) - P(AB) y P(B-A)=P(B) - P(AB) y sustituyendo se obtine el resultado deseado P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
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  5. Regla deLa Place Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es: Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga un número par. Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Casos favorables: {2, 4, 6}.
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  6. Probabilidad condicionada Probabilidadcondicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B. No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos. El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
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  6.1. Sucesos Dependienteso Independientes Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
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  7. Teorema dela Probabilidad total. i A 1, A 2 ,... , A n son: -Sucesos incompatibles 2 a 2. -Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 U A 2 U... U A n = E). -Y B es otro suceso. Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
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  8. Teorema deBayes Si A 1, A 2 ,... , An son: -Sucesos incompatibles 2 a 2. -Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 U A 2 U... U A n = E). -Y B es otro suceso. Resulta que: -Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori. -Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. -Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.