Teoría de conjuntos

UNIVERSIDAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

Teoría de conjuntos

Christiam Huertas
chr1614@gmail.com

¿Por qué estudiar y aprender matemáticas?

1
Son una de las máximas expresiones de la inteligencia
humana y un magnífico ejemplo de las creaciones
intelectuales.

𝒄
𝒃

𝒂

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
Pitágoras de Samos (580 aC – 495 aC)
Fue un filósofo y matemático griego,
considerado el primer matemático puro

2

Constituyen un eje
central de la historia de
la cultura y de las
ideas del hombre a
través del tiempo.

El Partenón. Esta
construcción es uno de
los ejemplos más claros
del saber en geometría
por parte de los
matemáticos y arquitectos
griegos.

3
Gracias a su universalidad, se aplican en las otras ciencias,
de la naturaleza y sociales, se emplean en los distintos tipos
de actividad humana, de modo tal que resultan
fundamentales en el desarrollo y el progreso de los
pueblos.

4

Constituyen una
herramienta básica
para que la mayoría
de las personas
podamos comprender
y acceder a la
sociedad de la
información en que
vivimos actualmente.

Las matemáticas se aplican

Para diseñar y desa- Para realizar sistemas Para diseñar y cons-
rrollar diversos tipos de control, por ejemplo, truir automóviles, ca-
de dispositivos, por de los satélites que rreteras, aviones, ru-
ejemplo, los compo- permiten la comunica- tas aéreas, edificios,
nentes de las compu- ción y la transmisión de puentes, etc.
tadoras. los programas de tele-
visión, o la conexión
entre computadoras y
entre teléfonos celula-
res.

Introducción

El origen de este concepto se debe
al matemático alemán Georg
Cantor (1845-1918)

Su objetivo era el de formalizar las
matemáticas como ya se había
hecho con el cálculo cien años
antes.

El concepto de conjunto es uno de A
los mas fundamentales en
matemáticas, incluso mas que la
operación de contar.

Noción de conjunto y elemento

Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación,
reunión o colección de objetos reales o ideales, a los
cuales se les denomina elementos del conjunto.

A los conjuntos generalmente se les representa con letras
mayúsculas y a sus elementos separados por comas y
encerrados por llaves: { }

A={ , , , 5 ;2 ; , }

Nombre del Elementos
conjunto del conjunto

Ejemplos

1. El conjunto de los cinco primeros números impares.
A={ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 }

2. El conjunto de las vocales.
B={a ,e , i ,o ,u }

3. El conjunto de los días de las semana.
C = { Lu , Ma , Mi , Ju , Vi , Sa , Do }

4. El conjunto de los alumnos del aula 302.
D={ , , , ,…, , }

Relación de pertenencia

Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que
pertenece ( ) a este conjunto, en caso contrario se dirá
que no pertenece ( ) a dicho conjunto.
Elemento Conjunto
{ }

EJEMPLO 1. Dado el conjunto M = { a ; 3 ; 7 }
• a pertenece al conjunto M (a M)
• 3 pertenece al conjunto M (3 M)
• 5 no pertenece al conjunto M (5 M)

Aplicación

Dado el conjunto A = { 3 ; {3} ; 5 ; {7} }
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
 (V )

 (V)

 (V)

 (F )

 (V)

 (F)

Determinación de un conjunto

Determinar un conjunto es especificar o señalar en forma
precisa, cuales son los elementos que lo conforman sin
que existan ambigüedades.
Por extensión o en forma Por comprensión o en forma
tabular constructiva
Es cuando se señala a Es cuando se menciona
cada uno de sus elementos una o mas características
del conjunto. comunes y exclusivas de
los elementos del conjunto.
Ejemplo. Los cinco primeros números naturales.

Ejemplos

1. Las estaciones del año.
A = { Verano , Invierno , Otoño , Primavera }

2. Los cinco primeros números pares.
B = { 2 , 4 , 6 , 8 ,10 }

1. Las estaciones del año.
A={ es una estación del año}

2. Los cinco primeros números pares.
B={ }

Número cardinal

El número cardinal de un conjunto A nos indica la
cantidad de elementos diferentes que posee el conjunto y
se denota por n(A) .

Ejemplos:
1. En el conjunto A = {2; 0; -1} n(A) = 3

2. En el conjunto B = {3; 2; 5; 2; 1; 3} n(B) = 4

3. M = { es una vocal } n(M) = 5

4. N = n(N) = 5

Diagramas de Venn-Euler

Los diagramas de Venn-Euler representan a los conjuntos
mediante regiones planas limitadas por figuras
geométricas cerradas.
Ejemplos:
1. A = 2. B = { es una vocal}

B
A o
a

i
e u

Relaciones entre conjuntos

Se dice que un conjunto A esta incluido en el conjunto B,
si solo si los elementos de A son también elementos del
conjunto B.
Si A esta incluido en B se denota: A B
Diagrama
Se lee B
• A esta incluido en B. A
• A esta contenido en B.
• A es un subconjunto de B. •x
• B contiene al conjunto A.

Ejemplos

1. Dados los conjuntos A B
A = {2; 0; -1} •5 •0 Luego,
•2 •3 A B
B = {3; 2; 5; 0; -1; 9}
•9 • -1

M
2. Dados los conjuntos
N Luego,
M={ es un ave}
N M
N={ es una gallina}

Igualdad

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los
mismos elementos sin importar el orden.
Se denota: A = B
Se define:

Ejemplo: Dados los conjuntos
A={ } B = {3; 2}

Luego, A = { 2 ; 3 }
A B
•2
A=B
•3

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen
elementos comunes.
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos 2. Dados los conjuntos
A = {2; 0; 5} P = { x / x es un varón}
B = {3; 7; 4} Q = { x / x es una mujer}
A y B son disjuntos P y Q son disjuntos

A Q
•2 •3 B P
•0 •7
•5 •4

Diagrama de Carroll
Es un diagrama rectangular utilizado mayormente para
conjuntos disjuntos cuya unión comprende la totalidad de
los elementos.
EJEMPLO: En una reunión asistieron hombres y mujeres,
además se observo que un grupo de dichos asistentes son
casados. Representar a través de un diagrama los conjuntos
mencionados.

Sean S C
• H: conjunto de los hombres a b
H
• M: conjunto de las mujeres
• S: conjunto de los solteros M y
x
• C: conjunto de los casados

Aplicación

En una fiesta donde habían 70 personas, 10 eran hombres
que no les gusta la cumbia, 20 eran mujeres que gustaban de
esta música. Si el número de hombres que gusta de la cumbia
es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta
música, ¿a cuantos les gusta la cumbia?
Solución: Consideremos el diagrama de Carroll
C NC Pero, el total de asistentes es de 70
x + 10 + 20 + 3x = 70
H x 10
4x + 30 = 70
4x = 40
M 20 3x x = 10
Les gusta la cumbia a: 30 personas

Clases de conjuntos

Finito Infinito
Un conjunto es finito, si Un conjunto es infinito, si
posee una cantidad limitada tiene una cantidad ilimitada
de elementos. de elementos.

Ejemplos Ejemplos

A = {1; 4; 0} A = {x / x es un número primo}

B = {x / x es alumno aula 605 } B = {x / x es una estrella del U}

C={ } C = {x / x es un número real }

C = {2; 3; 4; …; 18; 19} C=

Conjuntos especiales

Conjunto vacío o nulo Conjunto unitario o
Es aquel conjunto que no singletón
posee elementos. Es aquel conjunto que solo
Se denota por: ó posee un elemento.
Ejemplos
Ejemplos
A = {x / x es una moneda de M = {2; 2; 2} M ={2}
tres nuevos soles}
N={ }
A=
N = {4}
B={ }
B=

Conjunto universal

Es un conjunto referencial para el estudio de una situación
particular, que contiene a todos los conjuntos considerados.
No existe un conjunto universal absoluto.
Se denota generalmente con la letra
A = {x / x es un gato}
B = {x / x es un tigre}
Los siguientes conjuntos pueden A B
ser considerados universos que
contiene a los conjuntos
anteriores.
= {x / x es un animal}
= {x / x es un felino}

Operaciones entre conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por la agrupación de todos los
elementos de A con todos los elementos de B.
Se denota: Se lee A unión B
Se define:

A = {2; 3; 5}
A B
B = {5; 7} •2 •5 •7
= {2 ; 3 ; 5 ; 7 } •3


La intersección de dos conjuntos A y B es
el conjunto formado por los elementos que pertenecen a
los dos conjuntos a la vez.
Se denota: Se lee A intersección B
Se define:

A = { 2; 3; 5 }
A B
B={5;7} •2 •5 •7
={5} •3


La diferencia de dos conjuntos A y B (en
dicho orden) es el conjunto formado por los elementos de
A pero que no pertenecen a B.
Se denota: Se lee A menos B
Se define:

A = {2; 3; 5}
A B
B = {5; 7} •2 •5 •7
= {2; 3; 5 } •3


El complemento de un conjuntos A es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen al
conjunto universal pero no al conjunto A.

Se denota: Se lee complemento de A
Se define:

Ejemplo: Dado el conjunto
A = {a, e}
•i A
= {x / x es una vocal} •a
•e •u
= { i ,o , u }
•o

Casos posibles para la unión

Disjuntos Comparables
U U U

A B B
A B
A

Casos posibles para la intersección

U U U

A B B
A B
A

Casos posibles para la diferencia

U U U

A B B
A B
A

Complemento de un conjunto

U

A

Aplicación
Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido
entre 100 atletas en una competición deportiva. Se sabe que 45
atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60
reciben de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata,
25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce, 20 reciben
medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce.
¿Cuántos atletas no recibieron medallas?
U(100)
O (45) P(45)
Se debe cumplir que
10 10
x+15+10+10+20+20+15+5=100 15
5
De donde, x = 5 15 20
No recibieron medallas 5 atletas
20
B(60) x

Conjuntos numéricos

La evolución de la humanidad trae por consecuencias
la construcción de nuevos conocimientos como
también la evolución de estos, entre ellos la evolución
de los sistemas y conjuntos numéricos.
El hombre comienza de los sistemas y conjuntos
numéricos más básicos, y a medida que se presentan
nuevos desafíos como también debido a necesidades
se van creando nuevos sistemas y conjuntos.

Conjuntos numéricos

𝕀 ℝ
ℚ
ℤ
ℕ

Números naturales ℕ

Los números naturales surgieron de la necesidad del
ser humano de contar objetos.

A lo largo de la historia, cada cultura ha utilizado
diferentes símbolos para representar un número y ha
usado distintas reglas para escribirlos y trabajar con ellos.
En otras palabras, se han utilizado diferentes sistemas de
numeración: sistema egipcio, sistema romano, sistema
chino, sistema decimal (utilizado como lenguaje interno
de los ordenadores),…

Números enteros ℤ

Los números enteros forman un conjunto constituido por:
Los números naturales precedidos por el signo + que se
llaman enteros positivos.
Los números naturales precedidos por el signo – que se
llaman enteros negativos.
El número cero, que es entero.

Números racionales ℚ

El conjunto de los números racionales esta constituido
por todas las fracciones de enteros, con denominador
distinto de 0.

Todo número racional p/q se puede representar como un
número decimal finito o infinito periódico. Ello se logra
simplemente efectuando la división entre p y q.

Recíprocamente, todo decimal finito o infinito periódico
equivale a una fracción de enteros.

Números irracionales 𝕀

El conjunto de los números irracionales, esta constituido
por todos los números decimales infinitos y no
periódicos. Es decir,
es el conjunto formado por todos los números que no
se pueden escribir en forma de fracción.

Ejemplos:

Números reales ℝ

El conjunto de los números reales, , es la unión del
conjunto de los números racionales, (por lo tanto contiene
a los números naturales y enteros), y de los números
irracionales. Es decir:

No existe un número real que sea mayor o igual a todos
los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los
demás.
Además, entre dos números reales dados cualesquiera
existen infinitos números racionales, e infinitos números
irracionales.

Diagrama de Venn - Euler

ℂ
ℝ
ℚ
ℤ 𝕀
ℕ

Aplicaciones

halle 𝐴 ∩ 𝐵.

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